初中数学《圆的基本性质》讲义及练习 14页

第九讲圆的基本性质中考要求内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题知识点睛一、圆的基本概念圆的定义1．描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径．2．集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．3．圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作”“，读作”圆“．4．同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．弦和弧1．弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍．3．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．4．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧．5．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．6．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．7．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．8．弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．二、垂径定理圆的对称性圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．\n⑴旋转对称性：无论绕圆心旋转多少度它都能与自身重合，对称中心为圆心．圆的旋转对称性弦、弧、弦心距，圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距这四组量中，只要有其中一组量相等，则其余三组量也分别相等，其相互推导关系如下图：所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．⑵轴对称性：它的任意一条直径所在的直线均为它的对称轴．圆的轴对称性垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、并且平分弦所对的两条弧．垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2．推论1：⑴平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．重、难点重点：（1）揭示圆有关的本质属性（2）垂径定理的探索及其应用难点：垂径定理探索及其应用例题精讲\n一、圆的基本概念【例1】判断题：⑴直径是弦()⑵弦是直径()⑶半圆是弧()⑷弧是半圆()⑸长度相等的两条弧是等弧()⑹等弧的长度相等()⑺两个劣弧之和等于半圆()⑻半径相等的两个圆是等圆()⑼两个半圆是等弧()⑽圆的半径是，则弦长的取值范围是大于且不大于()【解析】√；×；√；×；×；√；×；√；×；√．【点评】学生刚开始接触圆，基本概念一定要清晰，老师在讲完概念以后可以再补充几道判断题让学生快速口答．【例2】下列判断中正确的是()A．平分弦的直线垂直于弦B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【解析】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧，答案是C．【例3】如图，在两半径不同的同心圆中，，则()A．B．C．的度数的度数D．的长度的长度【解析】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而，所以的度数＝的度数．所以答案是．【巩固】在同圆中，的度数小于，且，那么弦和弦的大小关系为()A．B．C．D．无法确定\n【解析】D．如图当的度数为时，；当的度数大于时，，当的度数小于时，．【例1】如图，点在半圆上，四边形均为矩形，设，，则下列格式中正确的是()A．B．C．D．【解析】连结由矩形对角线相等可知，又，∴．选B．【巩固】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为______．【解析】如图，连两条半径由已知小正方形半径为，设大正方形半径为则，整理得解得(舍去)∴大正方形半径为则半圆的半径为．三、垂径定理【例2】(09湖南娄底)如图，是的弦，于交于，则下列说法错误的是()A．B．C．D．\n【解析】D．【巩固】若中等于的劣弧所对的弦长为，则的半径是_______．【解析】．【巩固】(07年枣庄中考题)如图，是的直径，是弦，于，交于．⑴请写出五个不同类型的正确结论；⑵若，，求的半径．【解析】⑴不同类型的正确结论有：①；②；③；④；⑤，⑥；⑦；⑧；⑨是等腰三角形；⑩等⑵∵，∴．设的半径为，则．在中，由勾股定理得，即，解得．【例1】(2006年青岛市)某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．【解析】(1)正确作出图形，并做答．(2)过O作OC⊥AB于D，交弧AB于C，∵OC⊥AB，∴BD＝AB＝×16＝8cm．由题意可知，CD＝4cm．设半径为xcm，则OD＝(x－4)cm．在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2＋BD2＝OB2，∴(x－4)2＋82＝x2．∴x＝10．即这个圆形截面的半径为10cm．【例2】如图所示，在中，，，若以为圆心、的长为半径的圆交\n于，则．【解析】过作于，即，设为，中，有，，得∴∴故．【点评】解决与弦有关的问题，常常过圆心向弦作垂线，借助垂径定理加以解决．【巩固】如图所示，在与三角形所组成的图形中，，求证．【解析】过作于因为，所以，所以又根据垂径定理可知所以即．【例1】如图，矩形与圆心在上的交于点，，，，则_________．【解析】过点作于．由题意得：，则，∵，∴，∴．【例2】如图所示，已知的直径和弦相交于点，，，，求的长．\n【解析】过作于，连结，∵，，∴，∴，，在中，∵∴．∴又∵∴，故的长为．【点评】要充分利用条件，构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形，通过直角三角形求得未知量．【例1】已知的直径是，的两条平行弦，，求弦与间的距离．【解析】本题有两种情况：⑴，在圆心的同侧，当，在圆心的同侧时，作于，交于如右图所示．∵，∴由垂径定理知：，．连结与，．∴，∴与之间的距离⑵，在圆心的两侧如右图所示，与之间的距离．【例2】在半径为的中，弦的长分别为和，则的度数为________．【解析】此题分两种情况讨论：⑴若在圆心的同侧，如图连结，过点分别作，垂足分别为\n则，∴，∴．⑵若在圆心的异侧，如图根据圆的对称性，综上所述，的度数为或．【例1】如图，已知的半径是，点到圆心的距离为，求过点的所有弦中最短弦的长度．【解析】连结，过点作的垂线交于两点，则弦即为所求．连结，由垂径定理得．在中，，，∴，∴．【点评】此题是经典的垂径定理的应用，也是一个十分有用的结论．当然，在使用前需要证明一下．过点再任意作一条与不同的弦，过点作于．在和中，显然，又是直角三角形，∴，则∴．【例2】⑴若中等于的劣弧所对的弦长为，则的半径是_______．⑵在半径为的圆中，垂直平分半径的弦长是_______．⑶如图，同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，，的弦心距等于，那么，大圆半径与小圆半径之比是_________．【解析】⑴；⑵；⑶．【例3】如图，中，是直径，弦，交于．求证：．\n【解析】过点作于点，∴是中点，∵，∴，又，∴，∴是中点，∵，∴．【例1】如图，分别是中长度相等但不平行的两条弦的中点．求证：．【解析】连结∵分别是弦的中点，∴∵，∴∴．【变式1】如图，为外一点，过点引两条割线和，点分别是的中点，连结交，与．求证：为等腰三角形．【解析】连结，分别交于．∵分别是的中点，∴，，即．又∵，∴，由此得，即，∴，即为等腰三角形．【变式2】当点在上或内时其它条件不变，结论还成立吗？【解析】答案是肯定的，即依旧是等腰三角形．证明方法与例题类似．【例2】(09湖北荆门)如图，半径为的内有互相垂直的两条弦相交于点．\n⑴求证：；⑵设的中点为，连结并延长交于，求证：；⑶若，求的长．第23题图【解析】⑴∵，∴，∴，∴．⑵∵，∴，∵是中点，∴，∴，∵，∴∵，∴，∴，即．⑶过点作，垂足分别为由垂径定理得，∴，易证得四边形是矩形，∴．【巩固】(09湖北黄石)如图，是的直径，且，弦的长为，若弦的两端在圆上滑动时，始终与相交，记点到的距离分别为，则等于()A．B．C．D．【解析】解法一：设相交于，过点作于，连结．由垂径定理，∴，∵，∴，∴，即，∴当点在点左侧时，，当点在点右侧时，，∴．解法二：极端假设法⑴当点运动到与点重合时，，，\n此时是直角三角形，，∴．⑵当与垂直时，，∵，由垂径定理知，∴，∴，∴．【例1】如图，已知是半圆的直径，为半圆周上一点，是的中点，于，则与的关系是___________．【解析】连结，交于∵是的中点，∴，即，，∵，∴，∴，∴．家庭作业【习题1】在半径为的圆中，垂直平分半径的弦长是_______．【解析】．【习题2】的半径为，为圆内一点，点到圆心的距离为，则过点的弦长的最小值是__________．【解析】．【习题3】(福州)中，弦的长为cm，圆心到的距离为，则的半径长为()【解析】选．【习题4】(08年江苏宿迁)如图，⊙的直径是，过点的直线是⊙的切线，、是⊙上的两点，连接、、和．(1)求证：；(2)若是的平分线，且，求的长．\n【解析】(1)证明：∵是⊙的直径∴∵切⊙于点∴∴∵∴．(2)如右图，连接，过点作于点．∵平分∴∴弧弧∵是⊙的直径∴又∵∴∵∴∵∴∴．【习题1】(2008广东湛江)如图所示，已知为的直径，是弦，且于点．连接．⑴求证：．⑵若，求的直径．图9EDBAOC【解析】⑴∵为的直径，是弦，且于，∴，，∴，∵，∴，∴．⑵设的半径为，则，，在中，由勾股定理可得，即，解得，∴，∴的直径为．月测备选\n【备选1】(2009年甘肃白银)如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为(　　)A．5B．4C．3D．2【解析】考察垂径定理结合勾股定理求半径．关键是OM最小值实际上是考察点到直线的最短距离是垂线段的长度，所以选A【备选2】如图所示，同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，试证明：．【解析】作，垂足为，大圆中，∵，∴小圆中，∵，∴∴即．【备选3】把正的外接圆对折，使点落在的中点上，若，则折痕在内的部分长为()A．B．C．D．【解析】B．【备选4】(08郴州)已知在中，半径，是两条平行弦，且，求的长．【解析】此题要分四种情况讨论：不仅要讨论弦在圆心的同、异侧，还要讨论两点在两弦垂直平分线的同、异侧．连结半径，作出垂径，求解是不困难的．图⑴中；图⑵中；图⑶中；图⑷中∴的长为或或．【备选5】(08沈阳)如图，是的弦，，垂足为，交于点，点在上．⑴若，求的度数；⑵若，，求的长．\nEBDCAO【解析】⑴∵，∴，∴，⑵∵在中，，∵，∴．