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- 2021-05-10 发布
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cosθ>sinθ B.sinθ>cosθ>tanθ C.tanθ>sinθ>cosθ D.sinθ>tanθ> cosθ 例 题 3. ( 1 ) 如 图 , 在 Rt△ABC 中 , ∠C=90° , AD 是 ∠BAC 的 平 分 线 , ∠CAB=60°,CD= ,BD=2 ,求 AC,AB 的长. 1 2 4 5 2 3 3 3 思考与收获 例题 4.“曙光中学”有一块三角形状的花园 ABC,有人已经测出∠A=30°,AC=40 米,BC=25 米,你能求出这块花园的面积吗? 例题 5.某片绿地形状如图所示,其中 AB⊥BC,CD⊥AD,∠A=60°,AB=200m, CD=100m,求 AD、BC 的长. 【当堂检测】 1.若∠A 是锐角,且 cosA=sinA,则∠A 的度数是( ) A.300 B.450 C.600 D.不能确定 2.如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=450,∠C=1200, AB=8,则 CD 的长为( ) A. B. C. D. 3.在 Rt△ABC 中,∠C=900,AB=2AC,在 BC 上取一点 D,使 AC=CD,则 CD:BD= ( ) A. B. C. D.不能确定 4.在 Rt△ABC 中,∠C=900,∠A=300,b= ,则 a= ,c= ; 5.已知在直角梯形 ABCD 中,上底 CD=4,下底 AB=10,非直角腰 BC= , 则底角∠B= ; 6.若∠A 是锐角,且 cosA= ,则 cos(900-A)= ; 7.在 Rt△ABC 中,∠C=900,AC=1,sinA= ,求 tanA,BC. 8.在△ABC 中,AD⊥BC,垂足为 D,AB= ,AC=BC= ,求 AD 的长. 63 8 64 3 28 24 2 13 + 13 − 2 3 310 34 5 3 2 3 22 52 B A D C A B CD 第 2 题图 第 8 题图 思考与收获 9. 去年某省将地处 A、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学,为了方便两地 师生交往,学校准备在相距 2km 的 A、B 两地之间修一条笔直的公路,经测量在 A 地北偏东 600 方向,B 地北偏西 450 方向的 C 处有一个半径为 0.7km 的公园,问 计划修筑的这条公路会不会穿过公园?为什么? 第 28 课时 锐角三角函数的简单应用 【知识梳理】 1. 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度 i(或坡比),即坡度等于坡角的正切值. 2. 仰角:仰视时,视线与水平线的夹角. 俯角:俯视时,视线与水平线的夹角. 【思想方法】 1. 常用解题方法——设 k 法 2. 常用基本图形——双直角 【例题精讲】 例题 1.如图,梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为 ,关于 的三角函数值 与梯子的倾斜程度之间,叙述正确的是( ) A. 的值越大,梯子越陡 B. 的值越大,梯子越陡 C. 的值越小,梯子越陡 D.陡缓程度与 的函数值无关 例题 1 图 例题 2.如图,一束光线照在坡度为 的斜坡上,被斜坡上的平面镜反射成与 地面平行的光线,则这束与坡面的夹角 是 度. A A∠ sin A cos A tan A A∠ 1 3: α C A B 第 9 题图 思考与收获 例题 2 图 例题 3 图 例题 3.如图,张聪同学在学校某建筑物的 C 点处测得旗杆顶部 A 点的仰角为 30°,旗杆底部 B 点的俯角为 45°.若旗杆底部 B 点到该建筑的水平距离 BE=6 米,旗杆台阶高 1 米,求旗杆顶部 A 离地面的高度(结果保留根号) 【当堂检测】 1.一个钢球沿坡角 的斜坡向上滚动了 米,则钢球距地面的高度是(单位:米) ( ) A. B. C. D. 第 1 题图 2.某渔船上的渔民在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60o 方向处,这艘渔船以每小时 28 海里的速度向正东方向航行,半小时后到达 B 处,在 B 处观测到灯塔 M 在北 偏东 30o 方向处.问 B 处与灯塔 M 的距离是多少海里? 第 2 题图 3.如图所示,小明家住在 32 米高的 楼里,小丽家住在 楼里, 楼坐落在 楼的正北面,已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 . 1 3:i = A ╭ α ╭ C E B A 31 5 5cos31 5sin31 5cot31 5tan31 A B B A 30 A B M 东 北 60 30 思考与收获 (1)如果 两楼相距 米,那么 楼落在 楼上的影子有多长? (2)如果 楼的影子刚好不落在 楼上,那么两楼的距离应是多少米? (结果保留根号) 第 3 题图 第 29 课时 多边形及其内角和、梯形 【知识梳理】 1. 多边形内角和,外角和,对角线 2. 正多边形的内切圆和外接圆 3.利用三角形、四边形或正六边形进行简单的镶嵌设计 【思想方法】 解决此类问题时要注重观察、操作、猜想、探究等活动过程,注重知识的理解和 运用. 【例题精讲】 例题 1.一个多边形,它的每个内角都等于相邻外角的 5 倍,则这个多边形是( ) A. 正五边形 B. 正十边形 C.正十二边形 D.不存在. 例题 2.只用一种正多边形进行镶嵌,在下列的正多边形中,不能镶嵌成一个平面 的是( ). A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 例题 3.(1)n 边形的内角和等于 ,多边形的外角和都等于 . (2)一个多边形的内角和等于它的外角和,那么这个多边形是 边形. (3)一个多边形的每个外角都是 300, 则这个多边形是 边形. (4)一个十边形所有内角都相等,它的每一个外角等于 度. (5)一个五边形五个外角的比是 2:3:4:5:6,则这个五边形五个外角的度 数分别是 . (6)多边形边数增加一条,则它的内角和增加 度,外角和 例题 4.半径为 2 的圆的内接正六边形边长为_______,外切正三角形的边长为 __________. 例题 5.如图,四边形 中, , , , ,则该四边形的面积是 . A B, 20 3 A B A B ABDC 120ABD∠ = ° AB AC⊥ BD CD⊥ 4 5 3AB CD= =, A 楼 B 楼C E G F H D30° A B DC 思考与收获 例题 6.一个多边形的外角和是内角和的 ,它是几边形? 例题 7.一个多边形每一个外角都等于与它相邻的内角,这种多边形是几边形? 例题 8.五角星图案中间部分的五边形 ABCDE 是一个正五边形,则图中∠ABC 的度 数是多少? 【当堂检测】 1.填空: (1)n 边形的内角和为 720°,则 n=______. (2)五边形的内角和与外角和的比值是______. (3)过六边形的每一个顶点都有______条对角线. (4)过七边形的一个顶点的所有对角线把七边形分成______个三角形. (5)将正六边形绕其对称中心 O 旋转后,恰好能与原来的正六边形重合,那么 旋转的角度至少是 度. 2.一个多边形的内角和是外角和的 2 倍,则这个多边形的边数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 3.只用下列正多边形地砖中的一种,能够铺满地面的是( ) A.正十边形 B.正八边形 C.正六边形 D.正五边形 4.一个五边形有三个内角是直角,另两个内角都等于 n,则 n 的值是 A.30° B.120° C.135° D.108° 5.n 边形与 m 边形内角和度数差为 720°,则 n 与 m 的差为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.下列角度中,不是多边形内角和的只有( ) A.540° B.720° C.960° D.1080° 7.一个多边形的每一个顶点处取一个外角,这些外角中最多有钝角( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.一个多边形除了一个内角外,其余各内角的和为 1700°,求多边形的边数. 9.一个零件的形状如图中阴影部分.按规定∠A 应等于 90º,∠B、∠C 应分别是 29º 和 21º,检验人员度量得∠BDC=141º,就断定这个零件不合格.你能说明理 由吗? 1 5 A B C D E 思考与收获 E BA F CD 10.一个多边形,它的外角最多有几个是钝角?说说你的理由. 11.在四边形 ABCD 中,∠D=60°,∠B 比∠A 大 20°,∠C 是∠A 的 2 倍, 求∠A,∠B,∠C 的大小. 12. 一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗?画出所有可能的图形,并分别 说出内角和和外角和变化情况. 第 30 课时 平行四边形 【知识梳理】 1、掌握平行四边形的概念和性质 2、四边形的不稳定性. 3、掌握平行四边形有关性质和四边形是平行四边形的条件. 4、能用平行四边形的相关性质和判定进行简单的逻辑推理证明. 【例题精讲】 例题 1.(2009 年 常 德 市 )下列命题中错误的是( ) A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.一组邻边相等的平行四边形是菱形 D.一组对边平行的四边形是梯形 例题 2. (2008 年 泰州市)在平面上,四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O,且满足 AB=CD.有下列四个条件:(1)OB=OC;(2)AD∥BC;(3) ;(4)∠OAD=∠OBC.若只增加其中的一个条件,就一定能使 ∠BAC=∠CDB 成立,这样的条件可以是( ) A.(2)、(4) B.(2) C.(3)、(4) D.(4) 例题 3.(2009 年 威海)如图,在四边形 ABCD 中,E 是 BC 边的中点,连结 DE 并延长,交 AB 的延长线于 F 点, .添加一个条件,使四边形 ABCD 是 平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是( ) A. B. C. D. BO DO CO AO = AB BF= AD BC= CD BF= A C∠ = ∠ F CDE∠ = ∠ 思考与收获 例题 4.如图,在 ABCD 中,AB=6,AD=9,∠BAD 的平分线交 BC 于点 E, 交 DC 的延长线于点 F,BG⊥AE,垂足为 G,BG= ,则 ΔCEF 的周长为( ) A.8 B.9.5 C.10 D.11.5 例题 5.(2009 年新疆)如图, 是四边形 的对角线 上两点, . 求证:(1) . (2)四边形 是平行四边形. 【当堂检测】 1.(2008 年 永州市).下列命题是假命题的是( ) A.两点之间,线段最短; B.过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. C.一组对应边相等的两个等边三角形全等; D.对角线相等的四边形是矩形. 2.如图,一个四边形花坛 ,被两条线段 分成四个部分,分别 种 上 红 、 黄 、 紫 、 白 四 种 花 卉 , 种 植 面 积 依 次 是 , 若 , ,则有( ) A. B. C. D.都不对 3 .( 2009 襄 樊 ) 如 图 , 在 平 行 四 边 形 中 , 于 E 且 是一元二次方程 的根,则平行四边形 的周长为( ) A. B. C. D. 4.(2009 年南宁市)如图(1),在边长为 5 的正方形 中,点 、 分别 是 、 边上的点,且 , . (1)求 ∶ 的值; (2)延长 交正方形外角平分线 ,如图 2 试判断 的大小关 系,并说明理由; AE BC⊥ AE EB EC a= = = , a 2 2 3 0x x+ − = 4 2 2+ 12 6 2+ 2 2 2+ 2 2 12 6 2+ +或 24 E F, ABCD AC AF CE DF BE DF BE= =, , ∥ AFD CEB△ ≌△ ABCD ABCD MN EF, 1 2 3 4S S S S, , , MN AB DC∥ ∥ EF DA CB∥ ∥ 1 4S S= 1 4 2 3S S S S+ = + 1 4 2 3S S S S= ABCD ABCD ABCD E F BC DC AE EF⊥ 2BE = EC CF EF CP P于点 AE EP与 红 紫 白黄 D M A F E C N B A B D E F C A D CE C B 图 5 第 3 题图 第 4 题图 第 2 题图 第 3 题图 思考与收获 (3)在图(2)的 边上是否存在一点 ,使得四边形 是平行四边形? 若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由. 第 31 课时 矩形、菱形、正方形(一) 【知识梳理】 1.矩形的性质:(1)矩形的四个角都是直角;(2)矩形的对角线相等. 2. 矩形的判定:(1)有一个角是 90°的平行四边形;(2)三个角是直角的四边 形;(3)对角线相等的平行四边形. 3. 菱形的性质:(1)四边相等;(2)对角线互相垂直,并且每一条对角线平分 一组对角. 4.菱形的判定:(1)一组邻边相等的平行四边形;(2)四边相等的四边形; (3)对角线互相垂直的平行四边形. 5.正方形的性质:正方形具有矩形和菱形的性质. 6.正方形的判定:(1)一组邻边相等的矩形;(2)有一个角是直角的菱形. 【例题精讲】 例题 1. 将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠,使点 C 与 A 重合,点 D 落到 D′ 处,折痕为 EF.(1)求证:△ABE≌△AD′F; (2)连接 CF,判断四边形 AECF 是什么特殊四边形?证明你的结论. 例题 2.如图,正方形 ABCD 和正方形 A′OB′C′是全等图形,则当正方形 A′OB′C′绕 正方形 ABCD 的中心 O 顺时针旋转的过程中. AB M DMEP A B C D E F D' ′ A D CB E B CE DA F P F 图(1) 图(2) 思考与收获 (1)证明:CF=BE; (2)若正方形 ABCD 的面积是 4,求四边形 OECF 的面积. 例题 3.如图,将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折 叠,使点 B 落到点 B′的位置,AB′与 CD 交于点 E. (1)试找出一个与△AED 全等的三角形,并证明. (2)若 AB=8,DE=3,P 为线段 AC 上的任意一点, PG⊥AE 于 G,PH⊥EC 于 H,试求 PG+PH 的值,并 说明理由. 例题 4. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=12,AC=20,两条对角线相交于点 O.以 OB、OC 为邻边作第 1 个平行四边形 OBB1C,对角线相交于点 A1,再以 A1B1、A1C 为邻边作第 2 个平行四边形 A1B1C1C,对角线相交于点 O1;再以 O1B1、O1C1 为 邻边作第 3 个平行四边形 O1B1B2C1……依次类 推. (1)求矩形 ABCD 的面积; (2)求第 1 个平行四边形 OBB1C、第 2 个平行四 边形 A1B1C1C 和第 6 个平行四边形的面积. 【当堂检测】 1. 如果菱形的边长是 a,一个内角是 60°,那么菱形较短的对角线长等于( ) A. a B. a C.a D. a 2.在菱形 ABCD 中,AB = 5,∠BCD =120°,则对角线 AC 等于( ) A.20 B.15 C.10 D.5 3. 如图,菱形 ABCD 的周长为 20cm,DE⊥AB, 垂足为 E , ,则下列结论①DE=3cm ; 1 2 3 2 3 5 4Acos = A′ G D B C A A B C D E 第 3 题图 思考与收获 ②EB=1cm ;③ 中正确的个数为( )A.3 个 B . 2 个 C.1 个 D.0 个 4. 如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=4,AD=3,折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重 合,折痕为 DG,则 AG 的长为( ) A.1 B. C. D.2 6. 如图,在菱形 ABCD 中,∠A=110°,E,F 分别是边 AB 和 BC 的中点,EP⊥CD 于点 P,求∠FPC 的度数. 第 32 课时 矩形、菱形、正方形(二) 【例题精讲】 例题 1.如图所示,在 中, 将 绕点 顺时针方 向旋转 得到 点 在 上,再将 沿着 所在直线翻转 得到 连接 (1)求证:四边形 是菱形; (2)连接 并延长交 于 连接 请问:四边形 是什么特殊平行 四边形?为什么? 例题 2.如图,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开,再把△ACD 沿 CA 方向平移得到 . (1)证明 ; (2)若 ,试问当点 在线段 AC 上的什么位置时,四边形 是菱 形,并请说明理由. Rt ABC△ 90ABC = °∠ . Rt ABC△ C 60° DEC△ , E AC Rt ABC△ AB 180° ABF△ . AD. AFCD BE AD G, CG, ABCG 2 ABCD 15S cm=菱形 3 4 2 3 A D F C E G B A C D′ ′ ′△ A AD CC B′ ′ ′△ ≌△ 30ACB∠ = ° C′ ABC D′ ′ A D E P C B F 第 4 题图 第 5 题图 C B A D A′ C′ D′ 思考与收获 例题 3. 如图:平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,BD=12cm, AC=6cm,点 E 在线段 BO 上从点 B 以 1cm/s 的速度运动,点 F 在线段 OD 上从 点 O 以 2cm/s 的速度运动. (1)若点 E、F 同时运动,设运动时间为 t 秒,当 t 为何值时,四边形 AECF 是 平行四边形; (2)在(1)的条件下,①当 AB 为何值时,四边形 AECF 是菱形; ②四边形 AECF 可以是矩形吗?为什么? 例题 4. 已知正方形 ABCD 中,E 为对角线 BD 上一点,过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F,连接 DF,G 为 DF 中点,连接 EG,CG. (1)求证:EG=CG; (2)将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º,如图②所示,取 DF 中点 G,连 接 EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立, 请说明理由. (3)将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段, 问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明) 【当堂检测】 1.已知菱形的周长为 20,两对角线之和为 14,则菱形的面积为 . 2. 如图所示,把一个长方形纸片沿 EF 折叠后,点 D,C 分别落在 D′,C′的位 置.若∠EFB=65°,则∠AED′等于 ( ) D F B A D C E G 第 24 题图② F B A C E 第 24 题图③ FB A D C E G 第 24 题图① E D B C′ F C D′ A 思考与收获 A.70° B. 65° C. 50° D. 25° 3.菱形 在平面直角坐标系中的位置如图所示, ,则点 的坐标为( ) A. B. C. D. 4.将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠,AE、EF 为 折痕,∠BAE=30°,AB= ,折叠后,点 C 落在 AD 边 上的 C1 处,并且点 B 落在 EC1 边上的 B1 处.则 BC 的长 为( ) A. B.2 C.3 D. 5.已知四边形 ABCD,AD//BC,连接 BD. (1)小明说:“若添加条件 BD2=BC2+CD2,则四边形 ABCD 是矩形”.你认为小明 的说法是否正确,若正确请说明理由,若不正确,请举出一个 反例. (2)若 BD 平分∠ABC,∠DBC=∠BDC,tan∠DBC=1,求证: 四边形 ABCD 是正方形. 第 33 课时 四边形综合 【例题精讲】 例题 1.如图,在矩形 ABCD 中,AE 平分∠DAB 交 DC 于点 E,连接 BE,过 E 作 EF⊥BE 交 AD 于 F. (1)求证:∠DEF=∠CBE; (2)请找出图中与 EB 相等的线段(不另添加辅助线和字母),并说明理由. 例题 2.如图,矩形 ABCD 中,AB=3cm,AD=6cm,点 E 为 AB 边上的任意一点, 四边形 EFGB 也是矩形,且 EF=2BE,则 S△AFC . 例题 3.如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=8,将纸片折叠,使顶点 B 落在边 AD 的 E 点 上,BG=10. (1)当折痕的另一端 F 在 AB 边上时,如图(1).求△EFG 的面积. OABC 45 2AOC OC∠ = =°, B ( 21), (1 2), ( 2 11)+ , (1 2 1)+, 3 3 32 2cm x y O C B A D CB A 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 A B CD E F A D C EF G B 思考与收获 (2)当折痕的另一端 F 在 AD 边上时,如图(2).证明四边形 BGEF 为菱形,并求出折 痕 GF 的长. 例题 4.如图,菱形 ABCD 的边长为 2,BD=2,E、F 分别是边 AD,CD 上的两 个动点,且满足 AE+CF=2. (1)求证:△BDE≌△BCF; (2)判断△BEF 的形状,并说明理由; (3)设△BEF 的面积为 S,求 S 的取值范围. 例题 5.在边长为 6 的菱形 ABCD 中,动点 M 从点 A 出发,沿 A→B→C 向终点 C 运动,连接 DM 交 AC 于点 N. (1)如图(1),当点 M 在 AB 边上时,连接 BN. ①求证: ; ②若∠ABC = 60°,AM = 4,∠ABN = ,求点 M 到 AD 的距离及 tan 的值; (2)如图(2),若∠ABC = 90°,记点 M 运动所经过的路程为 x(6≤x≤12). 试问:x 为何值时,△ADN 为等腰三角形. 【当堂检测】 1. 如图所示,正方形 ABCD 中,E、F 是对角线 AC 上两点, 连接 BE、BF、DE、DF,则添加下列哪一个条件可以判定 四边形 BEDF 是菱形( ) ABN ADN△ ≌△ α α HA B C DE F G A B C DE F G 图(1) 图(2) A B C DEF G H (A) (B) C B M A N D 图 1 C M B N AD 图 2 A B D C E F 1 2 思考与收获 A、∠1=∠2 B、BE=DF C、∠EDF=60° D、AB=AF 2. 如图,直线 上有三个正方形 ,若 的面 积分别为 5 和 11,则 的面积为( ) A.4 B.6 C.16 D.55 3. 如图,矩形 ABCD 的周长是 20cm,以 AB、CD 为 边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH,若正方形 ABEF 和 ADGH 的面积之和 68cm2,那么矩形 ABCD 的面积是( ) A.21cm2 B.16cm2 C.24cm2 D.9cm2 4.如图,已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点,且 BP = BC,则∠ACP 度数是 . 5.如图,在矩形 ABCD 中,E、F 分别是边 AD、BC 的 中点,点 G、H 在 DC 边上,且 GH= DC.若 AB=10, BC=12,则图中阴影部分面积是多少? 第 34 课时 相似形 【知识梳理】 1、比例的基本性质,线段的比、成比例线段,黄金分割. 2、认识图形的相似,相似多边形的对应角相等,对应边成比例,面积比等于对应 边比的平方. 3、相似三角形的概念、性质 4、两个三角形相似的条件. 【思想方法】 1. 常用解题方法——设 k 法 2. 常用基本图形——A 形、X 形…… 【例题精讲】 例题 1.△ABC 的三条边的长分别为 3、4、5,与△ABC 相似的△A′B′C′的最长边为 15.求△ A′B′C′最短边的长. 变化:△ABC 的三条边的长分别为 3、4、5,与△ABC 相似的△A′B′C′的一边长为 15.求△ A′B′C′的周长. 例题 2.如图,小正方形的边长均为 l,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC l a b c, , a c, b 2 1 a b c l G D E A C F GH B C DA P 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 思考与收获 CB A A B C D E 相似的是( ) 例题 3.如图,在四边形 ABCD 中,E 是 AD 边上的一点,EC∥AB,EB ∥DC. (1)△ABE 与△ECD 相似吗?为什么? (2)若△ABE 的面积为 3,△CDE 的面积为 1,求△BCE 的面积. 例题 4 .在△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,现将它折叠,使 B 点与 C 点重合, 如图,则折痕 DE 的长是多少? 【当堂检测】 1.若 ,则 . 2.已知三个数 1,2, ,请你再添上一个数,使它们能构成一个比例式,则这 个数是________. 3.已知数 3、6,请再写出一个数,使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中 项,则这个数是 . 4. 如图,D 是△ABC 的边 AB 上的点,请你添加 一个条件,使△ACD 与△ABC 相似.你添加 的条件是_____ . 5.在比例尺为 1:8000 的南京市城区地图上,太平南路的长度约为 25 cm,它的实 际长度约为( ) A.320cm B.320m C.2000cm D.2000m 6.下列命题中,正确的是( ) A.所有的等腰三角形都相似 B.所有的直角三角形都相似 C.所有的等边三角形都相似 D.所有的矩形都相似 3 12 =− n nm = n m 3 B C A D 第 4 题 思考与收获 7. 如图,在□ABCD 中,E 是 AB 延长线上一点,连结 DE,交 AC 于点 G,交 BC 于点 F,那么图中相似的三角形(不含全等三角形)共有( ) A. 6 对 B. 5 对 C. 4 对 D. 3 对 8. 如图,在正方形网格上,若使△ABC∽△PBD,则点 P 应在( ) A.P1 处 B.P2 处 C.P3 处 D.P4 处 9.在△ABC 中,AB=12,AC=10,BC=9,AD 是 BC 边上的高.将△ABC 按如图所 示的方式折叠,使点 A 与点 D 重合,折痕为 EF,则△DEF 的周长为( ) A.9.5 B.10.5 C.11 D.15.5 第 35 课时 相似形的应用 【知识梳理】 1. 相似三角形的性质:对应边(高)的比、周长比等于相似比;面积比等于相似 比的平方. 【思想方法】 1. 常用解题方法——设 k 法 2. 常用基本图形——A 形、X 形…… 【例题精讲】 例题 1.如图,王华晚上由路灯 A 下 B 处走到 C 处时,测得 影子 CD长为 1 米,继续往前走 2 米到达 E 处,测得影子 EF 长为 2 米,王华身高是 1.5 米,则路灯 A 高度等于( ) A.4.5 米 B.6 米 C.7.2 米 D.8 米 例题 2.如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边 BC=120mm,高 AD=80mm, 要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB、 AC 上,这个正方形零件的边长是多少? G F A D B C E 第 7 题 P4 P3 P2 P1C A B D 第 8 题 第 9 题 思考与收获 例题 3.一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为:3.5cm×3.5cm,放映 的荧屏的规格为 2m×2m,若放映机的光源距胶片 20cm 时,问荧屏应拉在离镜头 多远的地方,放映的图象刚好布满整个荧屏? 例题 4. 如图,已知:AD=AE,DF=EF;求证:△ADC≌△AEB 例题 5. 如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,E 为 DC 中点,直线 BE 交 AC 于 F,交 AD 的延长线于 G;请说明:EF·BG=BF·EG 【当堂检测】 1.如图 1,铁道口栏杆的短臂长为 1.2m,长臂长为 8m,当短臂端点下降 0.6m 时, 长臂端点升高________m(杆的粗细忽略不计). 2.如图 2 所示,在△ABC 中,DE∥BC,若 ,DE=2,则 BC 的长为 ________. 3.如图 3 所示,在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,D 为 BC 上一点,过点 D 作 DE⊥BC 交 AB 于 E,若 ED=1,BD=2,则 DC 的长为________. 4.如图 4,有两个形状相同的星星图案,则 x 的值为( ) 1 3 AD AB = A B D E F C A B CD E F G 第 1 题 第 2 题 第 3 题 思考与收获 A.15 B.12 C.10 D.8 5.如图 5,△ABC 中,DE∥BC,DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E,若 AD=4, DB=2,则 DE:BC 的值为( ) A. B. C. D. 6.如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚 B 距墙脚 60cm,梯上点 D 距离墙角 50cm,BD 长 55cm,求出梯子的长. 第 36 课时 圆的基本性质 【知识梳理】 1.圆的有关概念:(1)圆:(2)圆心角: (3)圆周角: (4)弧: (5)弦: 2.圆的有关性质: (1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线;圆是中心对称图 形,对称中心为圆心.(2)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. (3)弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两 条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是 直角;900 的圆周角所对的弦是直径. 3.三角形的内心和外心: (1)确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆. (2)三角形的外心: (3)三角形的内心: 4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数.圆周角的度数等于它所对弧的度数一 半. 同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 【例题精讲】 例题 1.如图,公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为 24 米,拱的半径为 13 米,则拱高为 ( ) A.5 米 B.8 米 C.7 米 D.5 米 例题 2.如图⊙O 的半径为 5,弦 AB=8,M 是弦 AB 上的动 点,则 OM 不可能为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2 3 1 2 3 4 3 5 3 A E CB D ┌ ┌ 第 4 题 第 5 题 第 6 题图 思考与收获 例题 1 图 例题 2 图 例题 3 图 例题 4 图 例题 3.如图⊙O 弦 AB=6,M 是 AB 上任意一点,且 OM 最小值为 4,则⊙O 半径 为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 例题 4.如图,⊙O 的半径为 1,AB 是⊙O 的一条弦,且 AB= ,则弦 AB 所对 圆周角的度数为( )A.30°B.60°C.30°或 150°D.60°或 120° 例题 5. AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,∠CDB=30°,⊙O 的半径为 ,则弦 CD 的长为( )A. B. C. D. 例题 6.如图, 是以线段 为直径的 的切线, 交 于点 ,过点 作弦 垂足为点 ,连接 .(1)仔细观察图形并写出四个不 同的正确结论:①___ ___,②___ _____ , ③_____ _,④________(不添加其它字母和辅助 线)(2) = , = ,求 的半径 例题 6 图 【当堂检测】 1.如图,⊙P 内含于⊙O,⊙O 的弦 AB 切⊙P 于点 C,且 AB∥OP.若阴影部分的 面积为 ,则弦 AB 的长为( ) A.3 B.4 C.6 D.9 2.如图,△ABC 内接于⊙O,若∠OAB=28°,则∠C 的大小为( ) A.28° B.56° C.60° D.62° 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 5 题图 第 6 题图 3.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,∠CDB=30°, ⊙O 的半径为 , 则弦 CD 的长为( ) A. B. C. D. 4.⊙O 的半径为 10cm,弦 AB=12cm,则圆心到 AB 的距离为( ) A. 2cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 5.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,连结 OC,若 OC=5,CD=8, 则 tan∠COE=( ) A. B. C. D. π9 3 cm3 3 cm2 3cm 2 3cm 9cm BC AB O⊙ AC O⊙ D D DE AB⊥ , F BD BE、 . A∠ 30° CD 2 3 3 O⊙ r. cm3 3 cm2 3cm 2 3cm 9cm 3 5 4 5 3 4 4 3 思考与收获 6.如图,弦 CD 垂直于⊙O 的直径 AB,垂足为 H,且 CD= ,BD= , 则 AB 的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图,小量角器的零度线在大量角器的零度线上,且小量角器的中心在大量角 器的外缘边上.如果它们外缘边上的公共点 在小量角器上对应的度数为 , 那么在大量角器上对应的度数为__________ (只需写出 ~ 的角度). 第 7 题 图 第 8 题图 第 9 题图 8.如图,⊙O 的半径为 5,P 为圆内一点,P 点到圆心 O 的距离为 4,则过 P 点的 弦长的最小值是_______. 9.如图,AB 是⊙0 的直径,弦 CD∥AB.若∠ABD=65°,则∠ADC=______. 10.如图,半圆的直径 ,点 C 在半圆上, . (1)求弦 的长;(2)若 P 为 AB 的中点, 交 于点 E,求 长. 第 37 课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 【知识梳理】 1. 直线与圆的位置关系: 2. 切线的定义和性质: 3.三角形与圆的特殊位置关系: 4. 圆与圆的位置关系:(两圆圆心距为 d,半径分别为 ) 相交 ; 外切 ; 内切 ; 外离 ; 内含 【注意点】 与圆的切线长有关的计算. 【例题精讲】 例 1.⊙O 的半径是 6,点 O 到直线 a 的距离为 5,则 直线 a 与⊙O 的位置关系为( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.内含 例 2. 如图 1 ,⊙O 内切于 ,切点分别为 . , ,连结 , 则 等于( ) A. B. C. D. 2 2 3 P 65° ° 0° 90° 10AB = 6BC = AC PE AB⊥ AC PE 21,rr ⇔ 2121 rrdrr +<<− ⇔ 21 rrd += ⇔ 21 rrd −= ⇔ 21 rrd +> ⇔ 210 rrd −<< ABC△ D E F, , 50B∠ = ° 60C∠ = ° OE OF DE DF, , , EDF∠ 40° 55° 65° 70° D O A F CB E 例题 2 图 P B C E A 第 10 题图 思考与收获 例 3. 如图,已知直线 L 和直线 L 外两定点 A、B,且 A、B 到直线 L 的距离相等, 则经过 A、B 两点且圆心在 L 上的圆有( ) A.0 个 B.1 个 C.无数个 D.0 个或 1 个或无数个 例 4.已知⊙O1 半径为 3cm,⊙O2 半径为 4cm,并且⊙O1 与⊙O2 相切,则这两个 圆的圆心距为( ) A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或 7cm 例 5.两圆内切,圆心距为 3,一个圆的半径为 5,另一个圆的半径为 例 6.两圆半径 R=5,r=3,则当两圆的圆心距 d 满足___ ___时,两圆相交; 当 d满足___ ___时,两圆不外离. 例 7.⊙O 半径为 6.5cm,点 P 为直线 L 上一点,且 OP=6.5cm,则直线与⊙O 的位置关系是____ 例 8.如图,PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B,⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F,切点 C 在弧 AB 上,若 PA 长为 2,则△PEF 的周长是 _. 例 9. 如图,⊙M 与 轴相交于点 , ,与 轴切于点 ,则圆心 的坐标是 例 10. 如图,四边形 ABCD 内接于⊙A,AC 为⊙O 的直径,弦 DB⊥AC,垂足为 M,过点 D 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 E,若 AC=10,tan∠DAE= ,求 DB 的长. 【当堂检测】 1.如果两圆半径分别为 3 和 4,圆心距为 7,那么两圆位置关系是( ) A.相离 B.外切 C.内切 D.相交 2.⊙A 和⊙B 相切,半径分别为 8cm 和 2cm,则圆心距 AB 为( ) A.10cm B.6cm C.10cm 或 6cm D.以上答案均不对 3.如图,P 是⊙O 的直径 CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点 A,如果 PA= ,PB =1,那么∠APC 等于( )A. B. C. D. 4. 如图,⊙O 半径为 5,PC 切⊙O 于点 C,PO 交⊙O 于点 A,PA=4,那么 PC 的长等于 ( ) A)6 (B)2 (C)2 (D)2 5.如图,在 10×6 的网格图中(每个小正方形的边长均为 1 个单位长).⊙A 半径为 2,⊙B 半径为 1,需使⊙A 与静止的⊙B 相切,那么⊙A 由图示的位置向左平移 x (2 0)A , (8 0)B , y C M 4 3 3 15 30 45 60 5 10 14 O D CB A x y M BAO Cl B A 例题 3 图 例题 8 图 例题 9 图 • A B P C E F •O 例 题 10 图 思考与收获 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 O O2O1 个单位长. 6. 如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C= ,AO 的延长线交 BC 于点 D,AC= 4,DC=1,,则⊙O 的半径等于 ( ) A. B. C. D. 7.⊙O 的半径为 6,⊙O 的一条弦 AB 长 6 ,以 3 为半径⊙O 的同心圆与直线 AB 的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定 8.如图,在 中, , 与 相切于 点 ,且交 于 两点,则图中阴影部分的面积是 (保留 ). 9.如图,B 是线段 AC 上的一点,且 AB:AC=2:5,分别以 AB、AC 为直径画圆, 则小圆的面积与大圆的面积之比为_______. 10. 如图,从一块直径为 a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为 a 和 b 的两个圆,则 剩下的纸板面积是___. 11. 如图,两等圆外切,并且都与一个大圆内切.若此三个圆的圆心围成的三角 形的周长为 18cm.则大圆的半径是______cm. 12.如图,直线 AB 切⊙O 于 C 点,D 是⊙O 上一点,∠EDC=30º,弦 EF∥AB,连 结 OC 交 EF 于 H 点,连结 CF,且 CF=2,则 HE 的长为_________. 13. 如图,PA、PB 是⊙O 的两条切线,切点分别为 A、B,若直径 AC=12cm, ∠P=60°.求弦 AB 的长. 第 38 课时 圆的有关计算 【知识梳理】 1. 圆周长公式: 2. n°的圆心角所对的弧长公式: 3. 圆心角为n°的扇形面积公式: 、 . 4. 圆锥的侧面展开图是 ;底面半径为 ,母线长为 的圆锥的侧面 积公式为: ;圆锥的表面积的计算方法是: 5.圆柱的侧面展开图是: ;底面半径为 ,高为 的圆柱的侧面积公式 是: ;圆柱的表面积的计算方法是: 【注意点】 【例题精讲】 【例 1】如图,正方形网格中,△ABC 为格点三角形(顶点都是格点),将 绕点 按逆时针方向旋转 90°,得到△AB1C1. (1)在正方形网格中,作出△AB1C1; (2)设网格小正方形的边长为 1,求旋转过程中动点 所经过的路径长. 90 4 5 5 4 4 3 6 5 3 ABC△ 120 2 3AB AC A BC= ∠ = =, °, A⊙ BC D AB AC、 M N、 π r l r h ABC△ A B B P A O C 思考与收获 第 8 题图 第 9 题图 第 11 题图第 10 题图 第 12 题图 第 13 题图 40% 5=R (图 1) (图 2) 60% 【例2】如图,AB为⊙O的直径,CD⊥AB于点E,交⊙O于点D,OF⊥AC于点F. (1)请写出三条与BC有关的正确结论; (2)当∠D=30°,BC=1时,求圆中阴影部分的面积. 【例 3】如图,小明从半径为 5 的圆形纸 片中剪下 40%圆周的 一个扇形,然后利用剪 下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽(接缝处 不重叠),那么这个圆锥的高为( ) A.3 B.4 C. D. 【例 4】(庆阳)如图,线段 AB 与⊙O 相切于点 C,连结 OA、OB,OB 交⊙O 于 点 D,已知 OA=OB=6㎝,AB= ㎝. 求:(1)⊙O 的半径;(2)图中阴影部分的面积. 【当堂检测】 1.圆锥的底面半径为 3cm,母线为 9 ,则圆锥的侧面积为( ) A.6 B.9 C.12 D.27 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,将△ABC绕边AC所在直线旋转一周 得到圆锥,则该圆锥的侧面积是( ) A.25π B.65π C.90π D.130π 3.圆锥的侧面展开图形是半径为8cm,圆心角为120°的扇形,则此圆锥的底面半 径为( ) A. cm B. cm C.3cm D. cm 4.圆锥侧面积为 8πcm 2,侧面展开图圆心角为 45 0,则圆锥母线长为( ) A.64cm B.8cm C. ㎝ D. ㎝ 5.一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为 ,则这个圆锥底面圆的半径为( ) A. B. C. D. 6.如图,有一圆心角为120 o、半径长为6cm的扇形,若将OA、OB重合后围成一 圆锥侧面,那么圆锥的高是( ) A. cm B. cm C. cm D. cm 7.已知圆锥的底面半径是2㎝,母线长是4㎝,则圆锥的侧面积是 ㎝2. cm cm cm 21 cm 62 cm 36 cm π 2cm π 2cm π 2cm π 2cm 3 8 3 16 3 4 22 4 2 12π 6 12 24 2 3 24 35 62 32 C BA O F D E O A C B D 思考与收获 C BA C′ A′ 8.如图,两个同心圆的半径分别为 2 和 1,∠AOB=120°,则阴影部分的面积为 9.如图,Rt△ABC 中,AC=8,BC=6,∠C=90°,分别以 AB、BC、AC 为直径作 三个半圆,那么阴影部分的面积为 (平方单位) 10.王小刚制作了一个高12cm,底面直径为10cm的圆锥,则这个圆锥的侧面积 是 cm2. 11.如图,梯形 中, , , , , 以 为 圆 心 在 梯 形 内 画 出 一 个 最 大 的 扇 形 ( 图 中 阴 影 部 分 ) 的 面 积 是 . 12. 制 作 一 个 圆 锥 模 型 , 圆 锥 底 面 圆 的 半 径 为 3.5cm,侧面母线长为 6cm,则此圆锥侧面展开 图的扇形圆心 角为 度. 13.如图, 是由 绕 点顺时针旋转而得,且点 在同一条 直线上,在 中,若 , , ,则斜边 旋转 到 所扫过的扇形面积为 . 14.翔宇中学的铅球场如图所示,已知扇形 AOB 的面积是 36 米 2,弧 AB 的长为 9 米,那么半径 OA=______米. 15.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,半径OD⊥BC,垂 足为E,若BC= ,DE=3. 求:(1) ⊙O的半径; (2)弦AC的长;(3)阴影部分的面积. 第 39 课时 圆的综合 【例题精讲】 1.如图,已知圆心角 ,则圆周角 的度数是( ) A. B. C. D. 2.如图 2 所示,圆 O 的弦 AB 垂直平分半径 OC.则四边形 OACB( ) A.是正方形 B. 是长方形 C. 是菱形 D.以上答案都不对 3.圆锥的底面半径为 3cm,母线为 9 ,则圆锥的侧面积为( ) A.6 B.9 C.12 D.27 4.⊙O 半径 OA=10cm,弦 AB=16cm,P 为 AB 上一动点,则点 P 到圆心 O 的最 短距离为 cm. 5. 如图,一个扇形铁皮 OAB. 已知 OA=60cm,∠AOB=120°,小华将 OA、OB 合 ABCD AD BC∥ 90C∠ = 4AB AD= = 6BC = A Rt A BC′ ′△ Rt ABC△ B A B C′, , Rt ABC△ 90C = ∠ 2BC = 4AB = AB A B′ 36 78BOC∠ = BAC∠ 156 78 39 12 cm π 2cm π 2cm π 2cm π 2cm A O B 120o 第 6 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 A BC D 第 11 题图 120° O A B 第 1 题图 思考与收获 第 2 题图 第 5 题图 第 6 题图 O P M y A x N 拢制成了一个圆锥形烟囱帽(接缝忽略不计),则烟囱帽的底面圆的半径为( ) A. 10cm B. 20cm C. 24cm D. 30cm 6.如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为 16cm2,则该半圆 的半径为( )A. cm B.9 cm C. cm D. cm 7.如图,⊙O 的半径为 3cm,B 为⊙O 外一点,OB 交⊙O 于点 A,AB=OA,动 点 P 从点 A 出发,以 cm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立 即停止.当点 P 运动的时间为 s 时,BP 与⊙O 相切. 8.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影,则该圆锥的侧面积是 9.如图,边长为 1 的小正方形构成的网格中,半径为 1 的⊙O 的圆心 O 在格点 上,则∠AED 的正切值等于 . 10.如图,AB为⊙O直径,AC为弦,OD∥BC交AC于点D, AB=20cm,∠A=30°,则AD= cm 11.半径为 5 的⊙P 与 y 轴交于点 M(0,-4),N(0,- 10), 函数 的图像过点 P,则 = . 12 .如图 ,已知 圆 O 的 半 径 为 6cm ,射线 经 过 点 , ,射线 与圆 O 相切于点 . 两点同时从 点 出发,点 以 5cm/s 的速度沿射线 方向运动,点 以 4cm/s 的速度沿射线 方向运动.设运动时间为 s. (1)求 的长; (2)当 为何值时,直线 与圆 O 相切? 【当堂检测】 1.下列命题中,真命题的个数为( ) ①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 ②如果四边形的两条对角线互相垂直,那么它的面积等于两条对角线长的积的一 半③在一个圆中,如果弦相等,那么所对的圆周角相等④已知两圆半径分别为 5,3,圆心距为 2,那么两圆内切 A.1 B.2 C.3 D.4 2.圆 O 是等边三角形 的外接圆,圆 O 的半径为 2,则等边三角形 的 边长为( )A. B. C. D. 3.如图,圆 O 的半径为 1, 与圆 O 相切于点 , 与圆 O 交于点 , ,垂足为 ,则 的值等于( ) A. B. C. D. 4.如图, 是圆 O 的弦,半径 , ,则弦 的长为( ) A. B. C.4 D. (4 5)+ 4 5 6 2 π ( 0)ky xx = < k PM O 10cmOP = PN Q A B, P A PM B PN t PQ t AB ABC ABC 3 5 2 3 2 5 AB A OB C OD OA⊥ D cos AOB∠ OD OA CD AB AB 2OA = 2sin 3A = AB 2 5 3 2 13 3 4 5 3 第 3 题图 A B C O D x y O 1 1B A BAO P 2 3 E O DC BA A B Q OP N M O DA B C O A B A B O M 思考与收获 第 7 题图 第 9 题图第 8 题图 第 10 题图 第 11 题图 第 12 题图 第 6 题图第 5 题图 5.如图,⊙O 的半径为 2,点 A 的坐标为(2, ),直线 AB 为⊙O 的切线,B 为切点.则 B 点的坐标为( ) A. B. C. D. 6.如图 4,⊙O 的半径为 5,弦 AB=6,M 是 AB 上任意一点,则线段 OM 的长可能 是( )A.2.5 B.3.5 C.4.5 D.5.5 7.高速公路的隧道和桥梁最多,如图是一个隧道的横截面,若它的形状是以 O 为圆 心的圆的一部分,路面 =10 米,净高 =7 米,则此圆的半径 为( ) A.5 B.7 C. D. 8.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=12,BC=5,将△ABC 绕边 AC 所在直线旋转一 周得到圆锥,则该圆锥的侧面积是( ) A.25π B.65π C.90π D.130π 9.如图, 为圆 O 的直径, 于点 ,交圆 O 于点 , 于点 . (1)请写出三条与 有关的正确结论; (2)当 , 时,求圆中阴影部分的面积. 10.如图, 是圆 O 的一条弦, ,垂足为 , 交圆 O 于点 ,点 在圆 0 上. (1)若 ,求 的度数; (2)若 , ,求 的长. 第 40 课时 图形的变换(一) 【知识梳理】 1、轴对称及轴对称图形的联系:轴对称及轴对称图形可以相互转化. 区别:轴对 称是指两个图形之间的位置关系,而轴对称图形一个图形自身的性质;轴对称只 有一条对称轴,轴对称图形可能有几条对称轴. 2、通过具体实例认识轴对称,探索它的基本性质,理解对应点所连的线段被对称 轴垂直平分的性质. 3、能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形;探索简单图形 之间的轴对称关系,并能指出对称轴. 4、探索基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对 称性及其相关性质. 5、欣赏现实生活中的轴对称图形,结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜 面对称,能利用轴对称进行图案设计. 【思想方法】抓住变与不变的量 【例题精讲】 32 − 5 8 2 3 , ( )13,− − 5 9 5 4 , ( )31,− AB CD OA 37 5 37 7 AB CD AB⊥ E D OF AC⊥ F BC 30D∠ = 1BC = AB OD AB⊥ C D E 52AOD∠ = DEB∠ 3OC = 5OA = AB C BA O F D E E B D CA O 思考与收获 第 10 题图 第 7 题图 第 9 题图 第 4 题图 1、观察下列一组图形,根据你所发现的规律下面一个应该是什么形状? 2、如图,菱形 ABCD 中,AB=2,∠BAD=60°,E 是 AB 的中点,P 是对角线 AC 上的一个动点, 则 PE+PB 的最小值是 . 3、如图,P 在∠AOB 内,点 M、N 分别是点 P 关于 AO、BO 的对称点,MN 分别交 OA、OB 于 E、F. ⑴ 若 △ PEF 的周长是 20cm,求 MN 的长. ⑵若∠AOB=30°试 判断△MNO 的形状,并说明理由 4、将一张矩形的纸对折,如图所示可得到一条折痕(图中 虚线).继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持 平行,连续对折三次后,可以得到 7 条折痕,那么对折四次可得到 条折 痕.如果对折 n 次,可以得到 条折痕. 5、做一做:用四块如图 1 的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你 在图 2、图 3、图 4 中各画出一种拼法(要求三种拼法各不相同,所画图案中的 阴影部分用斜线表示). 6、已知如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,BC=5cm,CD=6cm,∠DCB=60º, ∠ ABC=90º,等边三角形 MNP(N 为不动点)的边长为 a cm,边 MN 和直角梯 形 ABCD 的底边 BC 都在直线 l 上,NC=8 cm ,将直角梯形 ABCD 向左翻折 180º,翻折一次得图形①,翻折二次得图形②,如此翻折下去.(1)、将直角梯 形 ABCD 向左翻折二次,如果此时等边三角形 MNP 的边长 a≥2cm,这时两图 形重叠部分的面积是多少?(2)、将直角梯形 ABCD 向左翻折三次,如果第三次 翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积就等于直角梯形 ABCD 的 面积,这时等边三角形 MNP 的边长 a 至少应为多少?(3)、将直角梯形 ABCD 向左翻折三次,如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积 等于直角梯形 ABCD 的面积的一半,这时等边三角形 MNP 的边长 a 应为多少? F E N M A O B P A B P M N ② ① D C 思考与收获 C′ A B CD 【当堂检测】 1.下列图形是否是轴对称图形,找出轴对称图形的有几条对称轴. 2.小明的运动衣号在镜子中的像是 ,则小明的运动衣号码是 ( ) A. B. C. D 3.在角、线段、等边三角形、平行四边形形中,轴对称图形有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.下面四个图形中,从几何图形的性质考虑,哪一个与其它三个不同?请指出这 个图形,并简述你的理由.答:图形 ;理由是 : 5.如图,ΔABC 中,DE 是边 AC 的垂直平分线 AC=6cm, ΔABD 的周长为 13cm,则 ΔABC 的周长为______cm. 6.如图,AD 是△ABC 的中线,∠ADC=45°,把△ADC 沿 AD 对折,点 C 落在点 的位置,则 与 BC 之间的数量关系是 . 第 41 课时 图形的变换(二) 【知识梳理】 一、图形的平移 1、平移的概念:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图 形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小. 注:(1)平移是运动的一种形式,是图形变换的一种,本讲的平移是指平面图形 在同一平面内的变换. (2)图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向,二是图形平移的距离, 这两个要素是图形平移 的依据. (3)图形的平移是指图形整体的平移,经过平移后的图形,与原图形相比, 只改变了位置,而不改变图形的大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的 依据. 2.平移的基本性质:由平移的基本概念知,经过平移,图形上的每一个点都沿 同一个方向移动相同的距离,平移不改变图形的形状和大小,因此平移具有下 列性质:经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对 C′ CB ′ 第 1 题图 第 5 题图 第 6 题图 思考与收获 图 3 图 4 A G(O) E C B F ① 应角相等. 注:(1)要注意正确找出“对应线段,对应角”,从而正确表达基本性质的特 征.(2)“对应点所连的线段平行且相等”,这个基本性质既可作为平移图形之 间的性质,又可作为平移作图的依据. 二、图形的旋转 1.图形旋转的基本性质:对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的距 离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等; 2.中心对称图形:____________________________________ 3.平行四边形、矩形、菱形、正多边形(边数是偶数)、圆是中心对称图形; 【思想方法】 数形结合 【例题精讲】 1.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=2cm,把这个三角形在平面内 绕点 C 顺时针旋转 90°,那么点 A 移动所走过的路线长是 cm. 2.将两块含 30°角且大小相同的直角三角板如图 1 摆放.(1) 将图 2 中△ 绕点 C 顺时针旋转 45°得图 2,点 与 AB 的交点,求证: ;(2)将图 2 中△ 绕点 C 顺时针旋转 30°到△ (如图 3),点 与 AB 的交 点.线段 之间存在 一个确定的等量关系,请你 写出这个关系式并说明理由; (3 )将图 3 中线段 绕点 C 顺时针 旋转 60°到 (图 4),连结 ,求证: ⊥AB. 3.把两个全等的等腰直角三角板 ABC 和 EFG(其直角边长均为 4)叠放在一起 (如图①),且使三角板 EFG 的直角顶点 G 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合.现 将三角板 EFG 绕 O 点顺时针方向旋转(旋转角 α 满足条件:0°<α<90°),四边 形 CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图②).(1)在上述旋转过程中, BH 与 CK 有怎样的数量关系?四边形 CHGK 的面积有何变化?证明你发现的结 论;(2)连接 HK,在上述旋转过程中,设 BH= ,△GKH 的面积为 ,求 与 之间的函数关系式,并写出自变量 的取值范围;(3)在(2)的前提下,是否存在某 一位置,使△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的 ?若存在,求出此时 的值; 若不存在,说明理由. x y y x x 1 1A B C 1 1P A C是 1 1 2CP AP2 = 1 1A B C 2 2A B C 2 2P A C是 1 1 2CP P P与 1CP 3CP 3 2P P 3 2P P 5 16 x 思考与收获 图 1 图 2 4.如图 1,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图 2), 量得他们的斜边长为 10cm,较小锐角为 30°,再将这两张三角纸片摆成如图 3 的形状,但点 B、C、F、D 在同一条直线上,且点 C 与点 F 重合(在图 3 至 图 6 中统一用 F 表示) (图 1) (图 2) (图 3) 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决. (1)将图 3 中的△ABF 沿 BD 向右平移到图 4 的位置,使点 B 与点 F 重合,请 你求出平移的距离; (2)将图 3 中的△ABF 绕点 F 顺时针方向旋转 30°到图 5 的位置,A1F 交 DE 于 点 G,请你求出线段 FG 的长度; (3)将图 3 中的△ABF 沿直线 AF 翻折到图 6 的位置,AB1 交 DE 于点 H,请证 明:AH﹦DH (图 4) (图 5) (图 6) 【当堂检测】 1.下列说法正确的是( ) A.旋转后的图形的位置一定改变 B.旋转后的图形的位置一定不变 C.旋转后的图形的位置可能不变 D.旋转后的图形的位置和形状都发生变化 2.下列关于旋转和平移的说法错误的是( ) A.旋转需旋转中心和旋转角,而平移需平移方向和平移距离 B.旋转和平移都只能改变图形的位置 C.旋转和平移图形的形状和大小都不发生变化 D.旋转和平移的定义是相同的 3.在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中,旋转 180 o 后不变的字是_____,在字母 “X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转不超过 180 后能与原图形重合的是____. 4.△ABC 是等腰直角三角形,如图,A B=A C,∠BA C=90°,D 是 BC 上一点, △ACD 经过旋转到达△ABE 的位置,则其旋转角的度数为( ) A.90° B.120° C.60° D.45° 5.以下图形:平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、 思考与收获 第 4 题图 A B CD E 菱形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.3 个 6.如图的图案中,可以看出由图案自身的部分经过平移而得到的是( ) 7.有以下现象:①温度计中,液柱的上升或下降;②打气筒打气时,活塞的运动; ③钟摆的摆动;④传送带上瓶装饮料的移动,其中属于平移的是( ) A.①③ B.①② C.②③ D.②④ 8.如图,若将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°后得到△ ,则 A 点的对应点 A′ 的坐标是( ) A.(-3,-2)B.(2,2) C.(3,0)D.(2,1) 第 42 课时 视图与投影 【知识梳理】 1、 主视图、左视图、俯视图 2、 主俯长相等,主左高平齐,俯左宽相等 【思想方法】 转化:立体与平面互化 【例题精讲】 1. 下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是( ) A、三角形 B、正方形 C、任意四边形 D、正八边形 2. 用一张正多边形的纸片,在某一点处镶嵌(即无缝隙的围成一周),可实施的 方案有哪 6 种?每一种方案中需要的纸片各是几张? 3.如图,用灰白两色正方形瓷砖铺设地面,第 6 个图案中灰色瓷砖块数为____. A B C′ ′ ′ 第 6 题图 第 8 题图 第 1 个图案 第 2 个图案 第 3 个图案 思考与收获 4. 用含 角的两块同样大小的直角三角板拼图形,下列四种图形:①平行四边 形,②菱形,③矩形,④直角梯形.其中可以被拼成的图形是( ) A.①② B.①③ C.③④ D.①②③ 5. 为创建绿色校园,学校决定对一块正方形的空地进行种植花草,现向学生征集 设计图案.图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计,使正方形和所画的图弧构 成的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形.种植花草部分用阴影表示.请你 在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案. 注:两个图案中,只有半径变化而圆心不变的图案属于一种,例如:图①、图② 只算一种. 6.下图是某几何体的展开图. (1)这个几何体的名称是 ; (2)画出这个几何体的三视图; (3)求这个几何体的体积.( 取 3.14) 7.东东和爸爸到广场散步,爸爸的身高是 176cm,东东的 身高是 156cm,在同一时刻爸爸的影长是 88cm,那么东东的影长是 cm. 8.如图(1)是一个小正方体的侧 面展开图,小正方体从图(2)所 示的位置依次翻到第 1 格、第 2 格、第 3 格,这时小正方体朝上 一面的字是( ) A.奥 B.运 C.圣 D.火 【当堂检测】 1.如图所示的阴影部分图案是由方格纸上 3 个小方格组成,我们称这样的图案为 L 形.那么在由 4×5 个小方格组成的方格纸上最多可以 画出不同位置的 L 形图案的个数是 ( ) A.16 个 B.32 个 C.48 个 D.64 个 2.在下面的四个几何体中,它们各自的左视图与主视图不相同的是( ) 3.如图甲,正方形被划分成 16 个全 30 π ① ② ③ ④ ⑤ 20 10 迎 接 奥 运 圣 火 图 1 迎 接 奥 1 2 3 图 2 正方体 长方体 圆柱 圆锥 A B C D 第 1 题图 思考与收获 等的三角形,将其中若干个三角形涂黑,且满足下列条件: (1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半; (2)涂黑部分成轴对称图形. 如图乙是一种涂法,请在图 1~3 中分别设计另外三种涂法.(在所设计的图案 中,若涂黑部分全等,则认为是同一种涂法,如图乙与图丙) 4.现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片,分别放在方格纸中,方 格纸中的每个小正方形的边长均 为 1,并且平行四边形纸片的每个 顶点与小正方形的顶点重合(如图 1、 图 2、图 3).分别在图 1、图 2、 图 3 中,经过平行四边形纸片的任 意一个顶点画一条裁剪线,沿此裁 剪线将平行四边形纸片裁成两部 分,并把这两部分重新拼成符合下 列要求的几何图形.要求: (1)在左边的平行四边形纸片中画 一条裁剪线,然后在右边相对应的 方格纸中,按实际大小画出所拼成 的符合要求的几何图形; (2)裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙; (3)所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合. 图 1 矩形(非正方形) 图 2 正方形 图 3 有一个角是 135°的三角形