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  • 2021-05-10 发布

中考数学动点问题题型方法归纳

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xAO Q P B y 图(3) A B C O E F A B C O D 图(1) A BO E F C 图(2) 动点问题题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分 析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。) 动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、(2009 年齐齐哈尔市)直线 与坐标轴分别交于 两点,动点 同时从 点出发, 同时到达 点,运动停止.点 沿线段 运动,速度为每秒 1 个 单 位长度,点 沿路线 → → 运动. (1)直接写出 两点的坐标; (2)设点 的运动时间为 秒, 的面积为 ,求出 与 之间 的函数关系式; (3)当 时,求出点 的坐标,并直接写出以点 为顶点 的 平行四边形的第四个顶点 的坐标. 解:1、A(8,0) B(0,6) 2、当 0<t<3 时,S=t2 当 3<t<8 时,S=3/8(8-t)t 提示:第(2)问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类; 第(3)问是分类讨论:已知三定点 O、P、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同 分类-----①OP 为边、OQ 为边,②OP 为边、OQ 为对角线,③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各 类的图形,根据图形性质求顶点坐标。 2、(2009 年衡阳市) 如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BC=2cm, ∠ABC=60º. (1)求⊙O 的直径; (2)若 D 是 AB 延长线上一点,连结 CD,当 BD 长为多少时,CD 与⊙O 相切; (3)若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动,同时动点 F 以 1cm/s 的速度从 B 点出发沿 BC 方向运动,设运动时间为 ,连结 EF,当 为何值时,△BEF 为直角三角形. 注意:第(3)问按直角位置分类讨论 3、(2009 重庆綦江)如图,已知抛物线 经过点 ,抛物线的顶点为 ,过 作射线 .过顶点 平行于 轴的直线交射线 于点 , 在 轴正半轴上,连结 . (1)求该抛物线的解析式; 3 64y x= − + A B、 P Q、 O A Q OAP O B A A B、 Q t OPQ△ S S t 48 5S = P O P Q、 、M )20)(( << tst t ( 1)2 3 3( 0)y a x a= − + ≠ ( 2 )A − ,0 D O OM AD∥ D x OM C B x BC O M BHA C x y 图(1) O M BHA C x y 图(2) x y M CD P QO A B P QA B CD (2)若动点 从点 出发,以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 运动,设点 运动的时间为 .问 当 为何值时,四边形 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形? (3)若 ,动点 和动点 分别从点 和点 同时出发,分别以每秒 1 个长度 单位和 2 个长度单位的速度沿 和 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随 之停止运动.设它们的运动的时间为 ,连接 ,当 为何值时,四边形 的面积最小?并求出最小值及此时 的长. 注意:发现并充分运用特殊角∠DAB=60° 当△OPQ 面积最大时,四边形 BCPQ 的面积最小。 二、 特殊四边形边上动点 4、(2009 年吉林省)如图所示,菱形 的边长为 6 厘米, .从初始时刻开始,点 、 同时从 点出发,点 以 1 厘米/秒的速度沿 的方向运动,点 以 2 厘米/秒的速度沿 的方向运动,当点 运动到 点时, 、 两点同时停止运动,设 、 运动的时间 为 秒时, 与 重叠部分的面积为 平方厘米(这里规定:点和线段是面积为 的三角 形),解答下列问题: (1)点 、 从出发到相遇所用时间是 秒; (2)点 、 从开始运动到停止的过程中,当 是等边三角形时 的值是 秒; (3)求 与 之间的函数关系式. 提示:第(3)问按点 Q 到拐点时间 B、C 所有时间分段分类 ; 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于 底边的比 。 5、(2009 年哈尔滨)如图 1,在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,四边形 ABCO 是菱形,点 A 的坐 标为( ,4),点 C 在 x 轴的正半轴上,直线 AC 交 y 轴于点 M,AB 边交 y 轴于点 H. (1)求直线 AC 的解析式; (2)连接 BM,如图 2,动点 P 从点 A 出发,沿折线 ABC 方向以 2 个单位/秒的速度向终点 C 匀速运动, 设△PMB 的面积为 S( ),点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 之间的函数关系式(要求写出自变量 t 的取值范围); ( 3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,∠MPB 与∠BCO 互为余角,并求此时直线 OP 与直线 AC 所 夹 锐 角 的正切值. 注意:第(2)问按点 P 到拐点 B 所用时间分段分类; 3− 0S ≠ P O OM P ( )t s t DAOP OC OB= P Q O B OC BO t ( )s PQ t BCPQ PQ ABCD 60B∠ = ° P Q A P A C B→ → Q A B C D→ → → Q D P Q P Q x APQ△ ABC△ y O P Q P Q APQ△ x y x 第(3)问发现∠MBC=90°,∠BCO 与∠ABM 互余,画出点 P 运动过程中, ∠MPB=∠ABM 的两种情况,求出 t 值。 利用 OB⊥AC,再求 OP 与 AC 夹角正切值. 6、(2009 年温州)如图,在平面直角坐标系中,点 A( ,0),B(3 ,2),C(0,2).动点 D 以每秒 1 个单位的速度从点 0 出发沿 OC 向终点 C 运动,同时动点 E 以每秒 2 个单 位的速度从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动.过点 E 作 EF 上 AB,交 BC 于点 F,连结 DA、DF.设运动时间为 t 秒. (1)求∠ABC 的度数; (2)当 t 为何值时,AB∥DF; (3)设四边形 AEFD 的面积为 S. ①求 S 关于 t 的函数关系式; ②若一抛物线 y=x2+mx 经过动点 E,当 S<2 时,求 m 的取值范围(写出答案即可). 注意:发现特殊性,DE∥OA 7、(07 黄冈)已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCO 是菱形,且 ∠AOC=60°,点 B 的坐标是 ,点 P 从点 C 开始以每秒 1 个单位长度的速度在线段 CB 上向点 B 移动,同时,点 Q 从 点 O 开始以每秒 a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿射线 OA 方 向移动,设 秒后,直线 PQ 交 OB 于点 D. (1)求∠AOB 的度数及线段 OA 的长; (2)求经过 A,B,C 三点的抛物线的解析式; (3)当 时,求 t 的值及此时直线 PQ 的解 析式; (4)当 a 为何值时,以 O,P,Q,D 为顶点的三角形与 相似?当 a 为何值时,以 O,P,Q,D 为顶点的三角形与 不相似?请给出你的结论,并加以证明. 8、(08 黄冈)已知:如图,在直角梯形 中, ,以 为原点建立平面直角坐标系, 三点的坐标分别为 ,点 为线段 的中点,动点 从点 出发, 以每秒 1 个单位的速度,沿折线 的路线移动,移动的时间为 秒. (1)求直线 的解析式; (2)若动点 在线段 上移动,当 为何值时,四边形 的面积是梯形 面积的 ? (3)动点 从点 出发,沿折线 的路线移动过程中,设 的面积为 ,请直接写出 与 的函数关系式,并指出自变量 的取值范围; (4)当动点 在线段 上移动时,能否在线段 上找到一点 ,使四边形 为矩形?请求出此 时动点 的坐标;若不能,请说明理由. 3 3 3 (0,8 3) (0 8)t t< ≤ 43, 33a OD= = OAB∆ OAB∆ COAB OC AB∥ O A B C, , (8 0) (810) (0 4)A B C,, , , , D BC P O OABD t BC P OA t OPDC COAB 2 7 P O OABD OPD△ S S t t P AB OA Q CQPD P B AC D P O Q x y A B D C O P x y A B D C O x y (此题备用) y O x C N B P MA 9 、(09 年 黄 冈 市 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 抛 物 线 与 x 轴的交点为点 A,与 y 轴的交点为点 B. 过点 B 作 x 轴的平行线 BC,交抛物线于点 C,连结 AC.现有两动点 P,Q 分别从 O,C 两点同时出发,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿 OA 向终点 A 移动,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移 动,点 P 停止运动时,点 Q 也同时停止运动,线段 OC,PQ 相交于点 D,过点 D 作 DE∥OA,交 CA 于点 E,射线 QE 交 x 轴于点 F.设动 点 P,Q 移动的时间为 t(单位:秒) (1)求 A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标; (2)当 t 为何值时,四边形 PQCA 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当 0<t< 时,△PQF 的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由; (4)当 t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程. 提示:第(3)问用相似比的代换, 得 PF=OA(定值)。 第(4)问按哪两边相等分类讨论 ①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF. 三、 直线上动点 8、(2009 年湖南长沙)如图,二次函数 ( )的图象与 轴交于 两点,与 轴 相交于点 .连结 两点的坐标分别为 、 ,且当 和 时二次 函数的函数值 相等. (1)求实数 的值; (2)若点 同时从 点出发,均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 边运动,其中一个点到 达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为 秒时,连结 ,将 沿 翻折, 点恰好落在 边上的 处,求 的值及点 的坐标; (3)在(2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点 ,使得以 为项点的三角形与 相似?如果存在,请求出点 的坐标;如果不存在,请说明理由. 提示:第(2)问发现 特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60° 特殊图形四边形 BNPM 为菱形; 第(3)问注意到△ABC 为直角三角形后,按直角位置对应分类;先画出与△ABC 相似的△BNQ ,再 判断是否在对称轴上。 9、(2009 眉山)如图,已知直线 与 轴交于点 A,与 轴交于 21 4 1018 9y x x= − − 9 2 2y ax bx c= + + 0a ≠ x A B、 y C AC BC A C、 , 、 ( 3 0)A − , (0 3)C , 4x = − 2x = y a b c, , M N、 B BA BC、 t MN BMN△ MN B AC P t P Q B N Q, , ABC△ Q 1 12y x= + y x 点 D,抛物线 与直线交于 A、E 两点,与 轴交于 B、C 两点,且 B 点坐标为 (1,0)。 ⑴求该抛物线的解析式; ⑵动点 P 在 x 轴上移动,当△PAE 是直角三角形时,求点 P 的坐标 P。 ⑶在抛物线的对称轴上找一点 M,使 的值最大,求出点 M 的坐标。 提示:第(2)问按直角位置分类讨论后画出图形----①P 为直角顶点 AE 为斜边时,以 AE 为直径画圆与 x 轴交点即为所求点 P,②A 为直角顶点时,过点 A 作 AE 垂线交 x 轴于点 P,③E 为直角顶点时,作法同 ②; 第(3)问,三角形两边之差小于第三边,那么等于第三边时差值最大。 10、(2009 年兰州)如图①,正方形 ABCD 中,点 A、B 的坐标分别为(0,10),(8,4), 点 C 在第一 象限.动点 P 在正方形 ABCD 的边上,从点 A 出发沿 A→B→C→D 匀速运动,同时动点 Q 以相同速度在 x 轴正半轴上运动,当 P 点到达 D 点时,两点同时停止运动, 设运动的时间为 t 秒. (1)当 P 点在边 AB 上运动时,点 Q 的横坐标 (长度单位)关于 运动时间 t(秒)的函数图象如图②所示,请写出点 Q 开始运动时 的坐标及点 P 运动速度; (2)求正方形边长及顶点 C 的坐标; (3)在(1)中当 t 为何值时,△OPQ 的面积最大,并求此时 P 点 的坐标; (4)如果点 P、Q 保持原速度不变,当点 P 沿 A→B→C→D 匀速运 动时,OP 与 PQ 能否相等,若能,写出所有符合条件的 t 的值;若不能,请说明理由. 注意:第(4)问按点 P 分别在 AB、BC、CD 边上分类讨论;求 t 值时,灵活运用等腰三角形“三线合一”。 11、(2009 年北京市)如图,在平面直角坐标系 中,△ABC 三个顶点的坐标分别为 , , ,延长 AC 到点 D,使 CD= ,过点 D 作 DE∥AB 交 BC 的延长线于 点 E. (1)求 D 点的坐标; (2)作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF,若过 B 点的直线 将四边形 CDFE 分成 周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式; (3)设 G 为 y 轴上一点,点 P 从直线 与 y 轴的交点出发,先沿 y 轴到达 G 点,再沿 GA 到达 A 点,若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍,试确定 G 点的位置,使 P 点按照上述 要求到达 A 点所用的时间最短。(要求:简述确定 G 点位置的方法,但不要求证明) 21 2y x bx c= + + x | |AM MC− x xOy ( )6,0A − ( )6,0B ( )0,4 3C 1 2 AC y kx b= + y kx b= + A D P CB Q 图 1 DA P CB(Q) ) 图 2 图 3 C A D P B Q 提示:第(2)问,平分周长时,直线过菱形的中心;    第(3)问,转化为点G到A的距离加G到(2)中直线的距离和最小;发现(2)中直线与x轴 夹角为60°.见“最短路线问题”专题。 2、(2009 年上海市) 已知∠ABC=90°,AB=2, BC=3,AD∥BC,P 为线段 BD 上的动点,点 Q 在射线 AB 上,且满足 (如图 1 所示). (1)当 AD=2,且点 与点 重合时(如图 2 所示),求线段 的长; (2)在图 8 中,联结 .当 ,且点 在线段 上时,设点 之间的距离为 , ,其 中 表示△APQ 的面积, 表示 的面积,求 关于 的函数解析式,并写出函数定义域; (3)当 ,且点 在线段 的延长线上时(如图 3 所示),求 的大小. 注意:第(2)问,求动态问题中的变量取值范围时,先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值, 然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当 PC⊥BD 时,点 Q、B 重合,x 获得最小值; 当 P 与 D 重合时,x 获得最大值。 第(3)问,灵活运用 SSA 判定两三角形相似,即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用 SSA 来判定 两个三角形相似;或者用同一法;或者证∠BQP=∠BCP,得 B、Q、C、P 四点共圆也可求解。 AB AD PC PQ = Q B PC AP 3 2AD= Q AB B Q、 x APQ PBC S yS =△ △ APQS△ PBCS△ PBC△ y x AD AB< Q AB QPC∠ A C B P Q E D 13、(08 宜昌)如图,在 Rt△ABC 中,AB=AC,P 是边 AB(含端点)上的动点.过 P 作 BC 的垂线 PR, R 为垂足,∠PRB 的平分线与 AB 相交于点 S,在线段 RS 上存在一点 T,若以线段 PT 为一边作正方形 PTEF,其顶点 E,F 恰好分别在边 BC,AC 上. (1)△ABC 与△SBR 是否相似,说明理由; (2)请你探索线段 TS 与 PA 的长度之间的关系; (3)设边 AB=1,当 P 在边 AB(含端点)上运动时,请你探索正方形 PTEF 的面积 y 的最小值和最大 值. 提示:第(3)问,关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形;当 p 运动到使 T 与 R 重合时,PA=TS 为最大;当 P 与 A 重合时,PA 最小。此问与上题中求取值范围类似。 14、(2009 年河北)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个 单位长的速度向点 A 匀速运动,到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回;点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每 秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动.伴随着 P、Q 的运动,DE 保持垂直平分 PQ,且交 PQ 于点 D,交 折线 QB-BC-CP 于点 E.点 P、Q 同时出发,当点 Q 到达点 B 时停止运动,点 P 也随之停止.设点 P、Q 运动的时间是 t 秒(t>0). (1)当 t = 2 时,AP = ,点 Q 到 AC 的距离是 ; (2)在点 P 从 C 向 A 运动的过程中,求△APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式;(不必写出 t 的取值范围) (3)在点 E 从 B 向 C 运动的过程中,四边形 QBED 能否成为直角梯形?若能,求 t 的值.若不能,请说 明理由; (4)当 DE 经过点 C 时,请直接写出 t 的值. 提示:(3)按哪两边平行分类,按要求画出图形,再结合图形性质求出 t 值;有二种成立的情形,    DE∥QB,PQ∥BC; (4)按点 P 运动方向分类,按要求画出图形再结合图形性质求出 t 值;有二种情形,    CQ=CP=AQ=t 时,    QC=PC=6-t时. (第 13 题) T P SR E A B C F (第 13 题) T P SR E A B C F 15、(2009 年包头)已知二次函数 ( )的图象经过点 , , , 直线 ( )与 轴交于点 . (1)求二次函数的解析式; (2)在直线 ( )上有一点 (点 在第四象限),使得 为顶点的三角形与以 为顶点的三角形相似,求 点坐标(用含 的代数式表示); (3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点 ,使得四边形 为平行四边形?若存在,请 求出 的值及四边形 的面积;若不存在,请说明理由. 提示: 第(2)问,按对应锐角不同分类讨论,有两种情形; 第(3)问,四边形 ABEF 为平行四边形时,E、F 两点纵坐标相等,且 AB=EF,对第(2)问中两种情形 分别讨论。 2y ax bx c= + + 0a ≠ (1 0)A , (2 0)B , (0 2)C −, x m= 2m > x D x m= 2m > E E E D B、 、 A O C、 、 E m F ABEF m ABEF O y x B E A D C F 四、 抛物线上动点 16、(2009 年湖北十堰市)如图①, 已知抛物线 (a≠0)与 轴交于点 A(1,0)和点 B (- 3,0),与 y 轴交于点 C. (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线的对称轴与 轴交于点 M ,问在对称轴上是否存在点 P,使△CMP 为等腰三角形?若存在, 请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,若点 E 为第二象限抛物线上一动点,连接 BE、CE,求四边形 BOCE 面积的最大值,并求此 时 E 点的坐标. 注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 P 坐标----①C 为顶点时,以 C 为 圆心 CM 为半径画弧,与对称轴交点即为所求点 P,②M 为顶点时,以 M 为圆心 MC 为半径画弧,与对 称轴交点即为所求点 P,③P 为顶点时,线段 MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点 P。 第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值); 方法二,先求与 BC 平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组),再求面积。 17、(2009 年黄石市)正方形 在如图所示的平面直角坐标系中, 在 轴正半轴上, 在 轴的 负半轴上, 交 轴正半轴于 交 轴负半轴于 , ,抛物线 过 三点. (1)求抛物线的解析式; (2) 是抛物线上 间的一点,过 点作平行于 轴的直线交边 于 ,交 所在直线于 , 若 ,则判断四边形 的形状; (3)在射线 上是否存在动点 ,在射线 上是否存在动点 ,使得 且 ,若存 在,请给予严格证明,若不存在,请说明理由. 注意:第(2)问,发 现并利用好 NM∥FA 且 NM=FA; 第(3)问,将此 问题分离出来单独解答,不受其它图形的干扰。需分类讨论,先画出合适的 图形,再证明。 32 ++= bxaxy x x ABCD A x D y AB y E BC, x F 1OE = 2 4y ax bx= + − A D F、 、 Q D F、 Q x AD M BC N 3 2 FQNAFQMS S= △四边形 AFQM DB P CB H AP PH⊥ AP PH= 近 三 年 黄 冈 中 考 数 学 “ 坐 标 几 何 题 ” ( 动 点 问 题 ) 分 析 三 年 共 同 点 : 0 7 0 8 0 9 动 点 个 数 两 个 一 个 两 个 问 题 背 景 特 殊 菱 形 两 边 上 移 动 特 殊 直 角 梯 形 三 边 上 移 动 抛 物 线 中 特 殊 直 角 梯 形 底 边 上 移 动 考 查 难 点 探 究 相 似 三 角 形 探 究 三 角 形 面 积 函 数 关 系 式 探 究 等 腰 三 角 形 考 点 ① 菱 形 性 质 ② 特 殊 角 三 角 函 数 ③ 求 直 线 、 抛 物 线 解 析 式 ④ 相 似 三 角 形 ⑤ 不 等 式 ① 求 直 线 解 析 式 ② 四 边 形 面 积 的 表 示 ③ 动 三 角 形 面 积 函 数 ④ 矩 形 性 质 ① 求 抛 物 线 顶 点 坐 标 ② 探 究 平 行 四 边 形 ③ 探 究 动 三 角 形 面 积 是 定 值 ④ 探 究 等 腰 三 角 形 存 在 性 特 点 ① 菱 形 是 含 6 0 ° 的 特 殊 菱 形 ; △ A O B 是 底 角 为 3 0 ° 的 等 腰 三 角 形 。 ② 一 个 动 点 速 度 是 参 数 字 母 。 ③ 探 究 相 似 三 角 形 时 , 按 对 应 角 不 同 分 类 讨 论 ; 先 画 图 , 再 探 究 。 ④ 通 过 相 似 三 角 形 过 度 , 转 化 相 似 比 得 出 方 程 。 ⑤ 利 用 a 、 t 范 围 , 运 用 不 等 式 求 出 a 、 t 的 值 。 ① 观 察 图 形 构 造 特 征 适 当 割 补 表 示 面 积 ② 动 点 按 到 拐 点 时 间 分 段 分 类 ③ 画 出 矩 形 必 备 条 件 的 图 形 探 究 其 存 在 性 ① 直 角 梯 形 是 特 殊 的 ( 一 底 角 是 4 5 ° ) ② 点 动 带 动 线 动 ③ 线 动 中 的 特 殊 性 ( 两 个 交 点 D 、 E 是 定 点 ; 动 线 段 P F 长 度 是 定 值 , P F = O A ) ④ 通 过 相 似 三 角 形 过 度 , 转 化 相 似 比 得 出 方 程 。 ⑤ 探 究 等 腰 三 角 形 时 , 先 画 图 , 再 探 究 ( 按 边 相 等 分 类 讨 论 ) ⑤ 探 究 存 在 性 问 题 时 , 先 画 出 图 形 , 再 根 据 图 形 性 质 探 究 答 案 。 大 趋 势 : ① 特 殊 四 边 形 为 背 景 ; ② 点 动 带 线 动 得 出 动 三 角 形 ; ③ 探 究 动 三 角 形 问 题 ( 相 似 、 等 腰 三 角 形 、 面 积 函 数 关 系 式 ) ; ④ 求 直 线 、 抛 物 线 解 析 式 ;