云南中考数学总复习专题训练专题一 规律探索题 15页

专题一 规律探索题 类型一 数式规律 ‎ (2019·云南省卷)观察下列各个等式的规律：‎ 第一个等式：＝1，第二个等式：＝2，第四个等式：＝3…‎ 请用上述等式反映出的规律解决下列问题：‎ ‎(1)直接写出第四个等式；‎ ‎(2)猜想第n个等式(用n的代数式表示)，并证明你猜想的等式是正确的．‎ ‎【自主解答】 ‎ ‎1．(2019·咸宁)按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列的前2 018个数的和为________．‎ ‎2．(2019·黔南州)根据下列各式的规律，在横线处填空：＋－1＝，＋－＝，＋－＝，＋－＝，…，＋－________＝.　‎ ‎3．(2019·孝感)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，那么a9＋a11－‎2a10＋10的值是________．‎ ‎4．(2019·昆明盘龙区模拟)观察下列等式：第一个等式是1＋2＝3，第二个等式是2＋3＝5，第三个等式是4＋5＝9，第四个等式是8＋9＝17，…猜想：第n个等式是2n－1＋(2n－1＋1)＝__________．‎ ‎5．(2019·云南二模)有一系列方程，第1个方程是x＋＝3，解为x＝2；第2个方程是＋＝5，解为x＝6；第3个方程是＋＝7，解为x＝12；…根据规律第10个方程是＋＝21，解为______________．‎ ‎6．观察下列各式的规律：‎ ‎(x－1)(x＋1)＝x2－1‎ ‎(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1‎ ‎(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1‎ 可得到(x－1)(x7＋x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1)＝____________；‎ 一般地(x－1)(xn＋xn－1＋…＋x2＋x＋1)＝________________．‎ ‎7．(2019·绵阳)将全体正奇数排成一个三角形数阵：‎ 按照以上排列的规律，第25行第20个数是( )‎ A．639 B．‎637 ‎ C．635 D．633‎ ‎8．计算两个两位数的积，这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10.‎ ‎53×57＝3 021，38×32＝1 216，84×86＝7 224，71×79＝5 609.　‎ ‎(1)你发现上面每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的______________，请写出一个符合上述规律的算式__________________________；‎ ‎(2)设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a，b的算式表示这个规律．‎ ‎9．(2019·安徽)观察以下等式：‎ 第1个等式：＋＋×＝1，‎ 第2个等式：＋＋×＝1，‎ 第3个等式：＋＋×＝1，‎ 第4个等式：＋＋×＝1，‎ 第5个等式：＋＋×＝1，‎ 按照以上规律，解决下列问题：‎ ‎(1)写出第6个等式：________________；‎ ‎(2)写出你猜想的第n个等式：________________(用含n的等式表示)，并证明．‎ ‎10．(2019·腾冲模拟)小明在某次作业中得到如下结果：‎ sin2 7°＋sin2 83°≈0.122＋0.992＝0.994 5，‎ sin2 22°＋sin2 68°≈0.372＋0.932＝1.001 8，‎ sin2 29°＋sin2 61°≈0.482＋0.872＝0.987 3，‎ sin2 37°＋sin2 53°≈0.602＋0.802＝1.000 0，‎ sin2 45°＋sin2 45°＝()2＋()2＝1.‎ 据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2 α＋sin2(90°－α)＝1.‎ ‎(1)当α＝30°时．验证sin2 α＋sin2(90°－α)＝1是否成立：‎ ‎(2)小明的猜想是否成立？若成立，若成立，请给予还明；请举出一个反例．‎ ‎11．(2019·昆明五华区一模)在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38‎ 的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38　①，然后在①的两边都乘以3，得：3S＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39　②，②－①得：3S－S＝39－1，即2S＝39－1，‎ ‎∴S＝.‎ 请阅读张红发现的规律，并帮张红解决下列问题：‎ ‎(1)爱动脑筋的张红想：如果把“‎3”‎换成字母m(m≠0且m≠1)，应该能用类比的方法求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2 018的值，对该式的值，你的猜想是________(用含m的代数式表示)．‎ ‎(2)证明你的猜想是正确的．‎ ‎12．(2019·云南一模)从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：‎ 加数的个数n 和S ‎1‎ ‎2＝2＝1×2‎ ‎2‎ ‎2＋4＝6＝2×3‎ ‎3‎ ‎2＋4＋6＝12＝3×4‎ ‎4‎ ‎2＋4＋6＋8＝20＝4×5‎ ‎5‎ ‎2＋4＋6＋8＋10＝30＝5×6‎ ‎(1)若n＝8时，则S的值为________；‎ ‎(2)根据表中的规律猜想：用含n的式子表示S的公式为：S＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝________________，‎ ‎(3)根据上题的规律求102＋104＋106＋108＋…＋200的值(要有过程)．‎ 类型二 图形规律 ‎ (2019·云南省卷)如图，在△ABC中，BC＝1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2‎ 的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为________(n为正整数)．‎ ‎【分析】 根据中位线定理得出规律解答即可．‎ ‎【自主解答】‎ ‎ (2019·曲靖)如图，图象①②③均是以P0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北、正南、西北方向同时平移，每次移动一个单位长度；第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1、P2、P3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4、P5、P6，…，依此规律，P0P2 018＝________个单位长度．‎ ‎【自主解答】‎ ‎1．(2019·曲靖沾益区二模)下面是用棋子摆成的“上”字：‎ 如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第n个“上”字需用____________枚棋子．‎ ‎2．(2019·遵义)每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2 018层的三角形个数为______________．‎ ‎3．(2019·宁夏)如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的变化规律：A0纸长度方向对折一半后变为A1纸；A1纸长度方向对折一半后变为A2纸；A2纸长度方向对折一半后变为A3纸；A3纸长度方向对折一半后变为A4纸…，A4规格的纸是我们日常生活中最常见的，那么有一张A4的纸可以裁________张A8的纸．‎ ‎4．(2019·昆明官渡区二模)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，按此规律，第8个图形有________个小圆．‎ ‎5．如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 ‎1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2 019次运动后动点P的坐标是______________________．‎ ‎6．元宵节，广场上要设计一排灯笼增强气氛，其中有一个设计由以下图案逐步演变而成，其中圆圈代表灯笼，n代表第n次演变过程，s代表第n次演变后的灯笼的个数．仔细观察下列演变过程，当sn＝190时，n＝______．‎ ‎7．已知等边三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，C(1，0)，点A在y轴的正半轴上，把等边三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转120°，经过2 018次翻转之后，点C的坐标是____________________．‎ ‎8．(2019·齐齐哈尔)在平面直角坐标系中，点A(，1)在射线OM上，点B(，3)在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA1，以BA1为直角边作第二个Rt△BA1B1，以A1B1为直角边作第三个Rt△A1B‎1A2，…，依此规律，得到Rt△B2 ‎017A2 018B2 018，则点B2 018的纵坐标为________________．‎ ‎9．(2019·烟台)如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为( )‎ A．28 B．‎29 ‎ C．30 D．31‎ ‎10．(2019·广州)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动‎1 m，其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An，则△OA‎2A2 018的面积是( )‎ A．‎504 m2‎ B. m2‎ C.m2 D．1 ‎‎009 m2‎ ‎11．(2019·贺州)如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为( )‎ A．()n B．2n－‎1 ‎ C.n D．2n ‎12．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：‎ ‎(1)认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式．‎ ‎①1＝1；‎ ‎②1＋2＝＝3；‎ ‎③1＋2＋3＝＝6；‎ ‎④____________________________；‎ ‎(2)结合(1)观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式．‎ ‎①1＝12‎ ‎②1＋3＝22‎ ‎③3＋6＝32‎ ‎④6＋10＝42‎ ‎⑤____________________…‎ ‎(3)通过猜想，写出(2)中与第n个点阵相对应的等式________________________．‎ ‎13．如图a是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图b，在分别连接图b中间的小三角形三边中点，得到图c，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：‎ ‎(1)将下表填写完整 图形编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎…‎ 三角形个数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎…‎ ‎(2)在第n个图形中有多少个三角形(用含n的式子表示)．‎ ‎14．如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠)：‎ ‎(1)填写如表：‎ 正方形ABCD 内点的个数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ n 分割成的三角 形的个数 ‎4‎ ‎6‎ ‎______‎ ‎________‎ ‎…‎ ‎________‎ ‎(2)如果原正方形被分割成2 018个三角形，此时正方形ABCD内部有多少个点？‎ ‎(3)上述条件下，正方形又能否被分割成2 019个三角形？若能，此时正方形ABCD内部有多少个点？若不能，请说明理由．‎ ‎15．(2019·黔南州)“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，…，按此规律，求图10、图n有多少个点？‎ 我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同(如图)，这样图1中黑点的个数是6×1＝6个；图2中黑点的个数是6×2＝12个；图3中黑点的个数是6×3＝18个；…，∴容易求出图10、图n中黑点的个数分别是________、________．‎ 请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：‎ ‎(1)第5个点阵中有________个圆圈；第n个点阵中有____________________个圆圈．‎ ‎(2)小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．‎ 参考答案 ‎【专题类型突破】‎ 类型一 ‎【例1】 解： (1)由题目中式子的变化规律可得，‎ 第四个等式是：＝4；‎ ‎(2)第n个等式是：＝n，‎ 证明：∵　 ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝n，‎ ‎∴第n个等式是：＝n.‎ 针对训练 ‎1.　【解析】 ∵＝，＝，＝，＝，…，∴这个数列的前2 018个数的和为＋＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.‎ ‎2.　【解析】 由所给等式可以看出，等号左边第三个分数的分母是第二个分数分母的一半．则所填的数为.‎ ‎3．11　【解析】 由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，知an＝1＋2＋3＋…＋n＝，∴a9＝＝45，a10＝＝55，a11＝＝66，则a9＋a11－‎2a10＋10＝45＋66－2×55＋10＝11.‎ ‎4．2n＋1‎ ‎5．x＝110　【解析】 第1个方程是x＋＝3，解为x＝2×1＝2；第2个方程是＋＝5，解为x＝2×3＝6；第3个方程是＋＝7，解为x＝3×4＝12；…可以发现，第n个方程为＋＝2n＋1，解为x＝n(n＋1)．∴第10个方程＋＝21的解为x＝10×11＝110.‎ ‎6．xn＋1－1　【解析】 由(x－1)(x＋1)＝x2－1，(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1，(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1，则(x－1)(x7＋x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1)＝x8－1，(x－1)(xn＋xn－1＋…＋x2＋x＋1)＝xn＋1－1.‎ ‎7．A　【解析】 分析每一行的第一个数可知第n行的第一个数为：n(n－1)＋1，∴第25行的第1个数为：25×24＋1＝601，在每一行中相邻的两个数相差为2，∴第25行的第20个数为：601＋2×19＝639.‎ ‎8．解： (1)由已知等式知，每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的十位和个位，‎ 例如：44×46＝2 024；‎ ‎(2)(‎10a＋b)(‎10a＋10－b)＝‎100a(a＋1)＋b(10－b)．‎ ‎9．解： (1)＋＋×＝1；‎ ‎(2)第n个等式是＋＋×＝1.‎ 证明：∵左边＝＋＋× ‎＝ ‎＝ ‎＝1，‎ ‎∴等式成立．‎ ‎10．解： (1)当α＝30°时，sin2 α＋sin2(90°－α)＝sin2 30°＋sin2 60°＝()2＋()2＝＋＝1，‎ ‎∴sin2 α＋sin2(90°－α)＝1成立；‎ ‎(2)小明的猜想成立．证明如下：‎ 在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，则∠B＝90°－α，‎ sin2 α＋sin2(90°－α)＝()2＋()2＝＝＝1.　‎ ‎11．解： (1).‎ ‎(2)证明：设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2 018.‎ 在①式的两边都乘以m，得：‎ mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2 018＋m2 019，②‎ ‎②－①得：mS－S＝m2 019－1.‎ ‎∴S＝. ‎ ‎12．解： (1)观察可得出从2开始，连续的n个偶数相加，它们和S＝n(n＋1)，‎ 则当n＝8时，S＝8×9＝72；‎ ‎(2)S＝n(n＋1)；‎ ‎(3)102＋104＋…＋200＝2＋4＋6＋…＋200－(2＋4＋…＋100)＝100×101－50×51＝7 550.‎ 类型二 ‎【例2】 在△ABC中，BC＝1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，可得：P‎1M1＝，P‎2M2‎＝×＝，故PnMn＝.‎ ‎【例3】 2 018÷3＝672……2，第672次平移得到的扇形的圆心依次是P2 014、P2 015、P2 016，∴第673次平移得到的三个扇形的圆心依次是P2 017、P2 018、P2 019，∴点P0到P2 018的距离673.‎ 针对训练 ‎1．4n＋2　【解析】 “上”字共有四个端点每次每个端点增加一枚棋子，而初始时内部有两枚棋子不发生变化，∴第n个字需要4n＋2枚棋子． ‎ ‎2．4 035　【解析】 ∵第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，…，也就是说，1＝2×1－1；3＝2×2－1；5＝2×3－1；7＝2×4－1；以此类推，第n层有(2n－1)个三角形，当n＝2 018时，2×2 018－1＝‎ ‎4 035.‎ ‎3．16　【解析】 由图可知A0＝‎2A1，A1＝‎2A2，A2＝‎2A3，A3＝‎2A4，A4＝‎2A5，A5＝‎2A6，A6＝‎2A7，A7＝‎2A8.得A4＝‎2A5＝‎4A6＝‎8A7＝‎16A8.‎ ‎4．76　【解析】‎ ‎ 由题意可知第1个图形有小圆4＋1×2＝6个；第2个图形有小圆4＋2×3＝10个；第3个图形有小圆4＋3×4＝16个；第4个图形有小圆4＋4×5＝24个；∴第8个图形有小圆4＋8×9＝76个．‎ ‎5．(2 019，2)　【解析】 分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．∴2 019＝4×504＋3，当第504个循环结束时，点P位置在(2 016，0)，在此基础之上运动三次到(2 019，2)．‎ ‎6．7　【解析】 ∵s1＝1，s2＝s1＋3＝4，s3＝s2＋6＝10，s4＝s3＋12＝22，∴sn＝3×(2n－1－1)＋1＝3×2n－1－2，∴当sn＝190时，3×2n－1－2＝190，解得n＝7.‎ ‎7．(4 036，)　【解析】 第一次点C的坐标是(1，0)，第二次点C的坐标是(4，)，第三次点C的坐标是(7，0)，第四次点C的坐标是(7，0)，第五次点C的坐标是(10，)，第六次点C的坐标是(13，0)，…根据这个规律2 018＝672×3＋2，∴经过2 018次翻转之后，点C的横坐标为672×3×2＋4＝4 036，纵坐标为，∴点C的坐标是(4 036，)．‎ ‎8．32 019　【解析】 ∵A(，1)，B(，3)，∴ON与x轴所夹锐角为60°，OM与x轴所夹锐角为30°，AB＝2，∴∠BA‎1A＝30°，∴BA1＝AB＝2，A1B1＝BA1＝6，B1的纵坐标为9＝32，A2B1＝6，A2B2＝18，B2的纵坐标为27＝33，…，照此规律，点B2 018的纵坐标为32 019.‎ ‎9．C　【解析】 第1个图中有4×1＝4朵玫瑰花，第2个图中有4×2＝8朵玫瑰花，第3个图中有4×3＝12朵玫瑰花，…，根据这个规律，第n个图形有4n朵玫瑰花，根据题意得4n＝120，解得n＝30.‎ ‎10．A　【解析】 观察图形可以发现，每4个点为一个循环组依次循环，2019÷4＝540……2，可得A‎2A2 018＝504×2＝1 008，∴△OA‎2A2 018的面积是×1×1 008＝‎504 m2‎.‎ ‎11．B　【解析】 第一个正方形的面积为1＝20，第二个正方形的面积为()2＝2＝21，第三个正方形的面积为22，第n个正方形的面积为2n－1.‎ ‎12．解： (1)1＋2＋3＋4＝＝10；‎ ‎(2)10＋15＝52；‎ ‎(3)＋＝n2.‎ ‎13．解： (1)第1个图形中有1个三角形；‎ 第2个图形中有1＋4＝5个三角形；‎ 第3个图形中有1＋2×4＝9个三角形；‎ 第4个图形中有1＋3×4＝13个三角形；‎ 第5个图形中有1＋4×4＝17个三角形．‎ ‎(2)1＋4(n－1)＝4n－3.‎ ‎14．解： (1)8，10，2(n＋1)；‎ ‎(2)设点数为n，‎ 则2(n＋1)＝2 018，‎ 解得n＝1 008，‎ 答：原正方形被分割成2 018个三角形时正方形ABCD内部有1 008个点；‎ ‎(3)设点数为n，‎ 则2(n＋1)＝2 019，‎ 解得n＝1 008.5，‎ 答：原正方形不被分割成2 019个三角形．‎ ‎15．解： 60，6n.‎ ‎(1)31，3n2－3n＋1；‎ ‎【解法提示】(1)第1个点阵中是1个点；第2个点阵中有6＋1＝7个点；第3个点阵中有6＋12＋1＝19个点；第5个点阵中有6＋12＋18＋24＋1＝61个点；第n个点阵中有6＋12＋18＋…＋6(n－1)＋1＝1＋6×x＝3n2－3n＋1个点；‎ ‎(2)依题意，得3n2－3n＋1＝271，‎ 解得n1＝10，n2＝－9(不合题意，舍去)．‎ 小圆圈的个数会等于271，是第10个点阵．‎