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- 2021-05-10 发布
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第14讲 一般三角形及其性质
知识清单梳理
知识点一:三角形的分类及性质
关键点拨与对应举例
1.三角形的分类
(1)按角的关系分类 (2)按边的关系分类
失分点警示:
在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时,必须考虑三角形三边关系.
例:等腰三角形两边长分别是3和6,则该三角形的周长为15.
2.三边关系
三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
3.角的关系
(1)内角和定理:
①三角形的内角和等180°;
②推论:直角三角形的两锐角互余.
(2)外角的性质:
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
利用三角形的内、外角的性质求角度时,若所给条件含比例,倍分关系等,列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰(边)三角形的性质求解.
4.三角形中的重要线段
四线
性 质
(1)角平分线、高结合求角度时,注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.
(2)当同一个三角形中出现两条高,求长度时,注意运用面积这个中间量来列方才能够求解.
角平分线
角平线上的点到角两边的距离相等
三角形的三条角平分线的相交于一点(内心)
中线
将三角形的面积等分
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
高
锐角三角形的三条高相交于三角形内部;直角三角形的三条高相交于直角顶点;钝角三角形的三条高相交于三角形的外部
中位线
平行于第三边,且等于第三边的一半
5. 三角形中内、外角与角平分线的规律总结
如图①,AD平分∠BAC,AE⊥BC,则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C)-(90°-∠C)=(∠C-∠B);
如图②,BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线,则有∠O=∠A+90°;
如图③,BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线,则∠O=∠A,∠O’=∠O;
如图④,BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线,则∠O=90°-∠A.
对于解答选择、填空题,可以直接通过结论解题,会起到事半功倍的效果.
知识点二 :三角形全等的性质与判定
6.全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边、对应角相等.
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.
(3)全等三角形的周长等、面积等.
失分点警示:运用全等三角形的性质时,要注意找准对应边与对应角.
7.三角形全等的判定
一般三角形全等
SSS(三边对应相等)
SAS(两边和它们的夹角对应相等)
ASA(两角和它们的夹角对应相等)
AAS(两角和其中一个角的对边对应相等)
失分点警示
如图,SSA和AAA不能判定两个三角形全等.
直角三角形全等
(1)斜边和一条直角边对应相等(HL)
(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA和AAS.
8.全等三角形的运用
(1)利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度:将特征的边或角放到两个全等的三角形中,通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时,注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.
(2)全等三角形中的辅助线的作法:
①直接连接法:如图①,连接公共边,构造全等.
②倍长中线法:用于证明线段的不等关系,如图②,由SAS可得△ACD≌△EBD,则AC=BE.在△ABE中,AB+BE>AE,即AB+AC>2AD.
③截长补短法:适合证明线段的和差关系,如图③、④.
例:
如图,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE=3.
典例讲解
内参P56---2、4、5、6、7、10、11、12、14、16、18、20
P58---1、2、4、6、9、11、14、17、20
P61---4、5、6
三、课后反思: