北京中考数学各区一模试题汇编几何综合全教师版 19页

1、（2014 西城数学一模）24．四边形 是正方形， 是等腰直角三角形， ， ．连接 ， 为 的中点，连接 ． （1）如图 1，若点 在 边的延长线上，直接写出 与 的位置关系及 的值； （2）将图 1 中的 绕点 顺时针旋转至图 2 所示位置，请问（1）中所得的结论是否 仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）将图 1 中的 ，绕点 顺时针旋转 ，若 ， ，当 、 、 三点共线时，求 的长及 的值． 解析：24 解：（1） ， ； （2）倍长 至 ，连接 、 、 、 ； 在 与 中， ∴ （SAS） ∴ ， ． ∴ ∴ ． ∴ ． 在 与 中 ∴ （SAS） ∴ ， ∴ ∴ 为等腰 又∵ 为 的中点 ∴ ， ，故（1）中的结论仍然成立； （3）连接 备用图图2图1 A CB DA CB D E F GG F E D B C A ABCD BEF△ 90BEF∠ = ° BE EF= DF G DF EG CG EC， ， E CB EG GC EC GC BEF△ B BEF△ B (0 90 )α α° < < ° 1BE = 2AB = E F D DF tan ABF∠ EG GC⊥ 2EC GC = EG H GH OH CH CE EFG△ HDG△ GF GD EGF HGD EG HG = ∠ = ∠  = EFG HDG△ ≌△ DH EF BE= = FEG DHG∠ = ∠ //EF OH 1 2 90 3 4∠ = ∠ = ° − ∠ = ∠ 180 4 180 1EBC HDC∠ = ° − ∠ = ° − ∠ = ∠ EBC△ HDC△ BE DH EBC HDC BC CD = ∠ = ∠  = EBC HDC△ ≌△ CE CH= BCE DCH∠ = ∠ 90ECH DCH ECD BCE ECD BCD∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ = ° ECH△ Rt△ G EH EG GC⊥ 2EC GC = BD 则 ， ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； ∴ ∴ 2、（2014 朝阳一模）24．在△ABC 中，CA＝CB，在△AED 中， DA＝DE，点 D 、E 分别在 CA、AB 上，． （1）如图①，若∠ACB＝∠ADE＝90°，则 CD 与 BE 的数量关系是 ； （2）若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED 绕点 A 旋转至如图②所示的位置，则 CD 与 BE 的数 量关系是 ；， （3）若∠ACB＝∠ADE＝2α（0°< α < 90°），将△AED 绕点 A 旋转至如图③所示的位置，探 究线段 C D 与 BE 的数量关系，并加以证明(用含 α 的式子表示)． 解析：24.解：（1）BE＝ CD； ……………………………………………………………… 1 分 （2）BE＝ CD； ………………………………………………………………… 3 分 （3）BE=2CD·sinα． ……………………………………………………………… 4 分 证明：如图，分别过点 C、D 作 CM⊥AB 于点 M，DN⊥AE 于点 N， ∵ CA＝CB，DA＝DE，∠ACB＝∠ADE=2α ， ∴ ∠CAB＝∠DAE，∠ACM＝∠ADN=α ，AM= AB，AN= AE． ∴∠CAD＝∠BAE． ……………………………………………………………… 5 分 Rt△ACM 和 Rt△ADN 中, sin∠ACM= ，sin∠ADN= ． ∴ ． ∴ ．……………………… 6 分 又 ∵∠CAD＝∠BAE， 2BD = 2AB = 1cos 2 BEDBE BD ∠ = = 60DBE∠ = ° 15ABE DBE ABD∠ = ∠ − ∠ = ° 45 15 30ABF∠ = ° − ° = ° 3tan 3ABF∠ = 3 3DE BE= = 3 1DF DE EF= − = − 2 3 1 2 1 2 AM AC AN AD sinAM AN AC AD α= = 2sinAB AE AC AD α= = E D BA C 图① E D BA C 图③ E D BA C 图② Q P E D C B A Q P E D C B A Q P E D C B A 2 1 G Q P E D C B A ∴ △BAE∽△CAD． ∴ ∴ BE=2DC·sinα． ……………………………………………………………… 7 分 3、（2014 东城一模）24. 如图 1，已知∠DAC=90°，△ABC 是等边三角形，点 P 为射线 AD 上任意一点（点 P 与点 A 不重合），连结 CP，将线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线 段 CQ，连结 QB 并延长交直线 AD 于点 E. （1）如图 1，猜想∠QEP= °； （2）如图 2，3，若当∠DAC 是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP 的度数，选取 一 种 情 况 加 以 证 明； （3）如图 3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且 AC=4，求 BQ 的长． 解析：24. （本小题满分 7 分） 解： (1) ∠QEP= 60 °．………………1 分 (2) ∠QEP= 60 °． 证明: 如图 1，以∠DAC 是锐角为例． ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ AC=BC，∠ACB=60°． 又由题意可知，CP=CQ，∠PCQ=6O °． ∴ ∠ACP=∠BCQ． ∴ △ACP≌△BCQ． ∴ ∠APC=∠Q． 2sinBE AB CD AC α= = G Q P E D C B A 设 PC 与 BQ 交于点 G， 图 1 ∵ ∠1=∠2， ∴ ∠Q EP=∠PCQ=60°． ………………4 分 （3）由题意可求，∠APC=30°，∠PCB=45°． 又由（2）可证 ∠QEP=60°． ∴ 可证 QE 垂直平分 PC， △GBC 为等腰直角三角形． ∵ AC=4， ∴ ， ． ∴ ． ………………7 分 4、（2014 房山一模）24. 将等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 按图 1 方式放置，∠A=90 °， AD 边与 AB 边重合， AB＝2AD＝4．将△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转一个 角度α（0°≤α≤180°），BD 的延长线交直线 CE 于点 P. （1）如图 2，BD 与 CE 的数量关系是 , 位置关系是 ； （2）在旋转的过程中，当 AD⊥BD 时，求出 CP 的长； （3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长.[来源:学*科*网] 2 2GC = 2 6GQ = 2 6 2 2BQ = − 图 1 图 2 D E B ACE D B C A B AC 备用图 解析： A B C ED F G H C H F G E P B D A 5、（2014 丰台一模）24.在 等 腰 直 角 △ ABC 中 ， ∠ BAC=90° ， AB=AC， （ 1） 如 图 1， 点 D、 E 分 别 是 AB、 AC 边 的 中 点 ， AF⊥ BE 交 BC 于 点 F， 连 结 EF、 CD 交 于 点 H.求 证 ， EF⊥ CD； （ 2） 如 图 2， AD=AE， AF⊥ BE 于 点 G 交 BC 于 点 F， 过 F 作 FP⊥ CD 交 BE 的 延 长 线 于 点 P， 试 探 究 线 段 BP,FP,AF 之 间 的 数 量 关 系 ， 并 说 明 理 由 。 解析：24.解： （1）如图，过点 C 作 CM⊥AC 交 AF 延长线于点 M ∵∠ BAC=90° ， AF⊥ BE 于 G ∴ ∠ 1+∠ 5=∠ 2+∠ 5=90° ∴ ∠ 1=∠ 2 又 ∵ ∠ BAC= ∠ ACM=90° ， AB=AC ∴ △ ABE≌ △ CAM………………………………1 分 ∴ AE=CM， ∠ 5=∠ M ∵ AE=EC ∴ EC=CM ∵ AB=AC， ∠ BAC=90° ∴ ∠ ABC=∠ ACB=45 ° ∵ ∠ ACM=90° ∴ ∠ 4= =∠ ACF ∴ △ ECF≌ △ MCF………………………………2 分 ∴ ∠ 6=∠ M ∴ ∠ 6=∠ 5 ∵ AB=AC， 点 D、 E 分 别 是 AB、 AC 边 的 中 点 ∴ AD=AE 又 ∵ AB=AC， ∠ BAE=∠ CAD ∴ △ ABE≌ △ ACD………………………………3 分 ∴ ∠ 1=∠ 3 ∴ ∠ 3+∠ 6=90° ∴∠ EHC=90° ∴EF⊥CD………………………………4 分 90 45 45− =   6 5 4 3 2 1 M A B C ED F G H （2）如图，过点 C 作 CM⊥AC 交 AF 延长线于点 M 由 （ 1） 得 ： △ ABE≌ △ CAM ∴ AE=CM， ∠ 5=∠ M， BE=AM 由 （ 1） 得 ： △ ABE≌ △ ACD ∴ ∠ 1=∠ 3 ∵ FP⊥ CD 于 H， ∠ BAC=90° ∴ ∠ 3+∠ 6=∠ 1+∠ 5 ∴ ∠ 6=∠ 5………………………………5 分 ∵ ∠ 6=∠ 8， ∠ 7=∠ 5 ∴ ∠ 7=∠ 8 ∴ EP=QP………………………………6 分 ∵ ∠ 6=∠ 5， ∠ 5=∠ M ∴ ∠ 6=∠ M ∵ AB=AC， ∠ BAC=90° ∴ ∠ ABC=∠ ACB=45° ∵ ∠ ACM=90° ∴ ∠ 4= =∠ ACF ∴ △ QCF≌ △ MCF ∴ FQ=FM ∴ BP=BE+PE =AM+PQ =（ AF+FM） +PQ =AF+FQ+PQ =AF+FP………………………………7 分 6、（2014 怀柔一模）24．问题：在 中， ，∠A=100°，B D 为∠B 的平分线， 探究 AD、BD、BC 之间的数量 关系. 请你完成下列探究过程： （1）观察图形，猜想 A D、BD、BC 之间的数量关系为 . （2）在对（1）中的猜想进行证明时，当推出∠ABC=∠C=40°后， 可进一步推出∠ABD=∠DBC= 度. （3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，小强同学提 供了一种探究的思路：在 BC 上截取 BE=BD，连接 DE,在此基础上 继续推理可使问题得到解决.你可以参考小强的思路，画出图形， 在此基础上对（1）中的猜想加以证明.也可以选用其它的方法证 明你的猜想. 解析：24． 解：（1）AD+BD=BC………………………………………1 分 （2）20……………………………………………………2 分 (3)画出图形……………………………………………………3 分 继续证明：在 BC 上截取 BF=BA，连接 DF, ∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∴△ABD≌△FBD， ∴AD=DF，①………………………………4 分 ∵∠A=100°，∴∠DFB=∠A=100°，∴∠DFC=80°， ∵BE=BD，∠DBC=20°, ∴∠BED =∠BDE =80°，∠DFE =∠FED, ∴DF=DE，②………………………………5 分 ABCΔ ACAB = 90 45 45− =   Q8 7 1 2 5 6 3 4 M C H F G E P B D A D CB A EF D CB A ∵∠FED=80°，∠C=40°，∴∠EDC=40°， ∴∠EDC =∠C，∴DE =EC，③………………………………………………6 分 ∴AD =EC，∴AD+BD=BC. ……………………………………………………7 分 （其它方法对应给分）. （2014 门头沟一模）24.已知：在△ABC 中，∠ABC=∠ACB=α，点 D 是 AB 边上任意一点， 将射线 DC 绕点 D 逆时针旋转 α 与过点 A 且平行于 BC 边的直线交于点 E. （1）如图 12-1，当 α=60°时，请直接写出线段 BD 与 AE 之间的数量关系；_______________ （2）如图 12-2，当 α=45°时，判断线段 BD 与 AE 之间的数量关系，并进行证明； （3）如图 12-3，当 α 为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段 BD 与 AE 之间的 数量关系：_______________________．（用含 α 的式子表示,其中 ） 解析： 24.(1)BD=AE；………………1 分 (2)BD= AE；理由如下：………………2 分 过点 D 作 DF∥AC，交 BC 于 F． ∵DF∥AC， ∴∠ACB=∠DFC． ∵∠ABC=∠ACB=α，α=45°， ∴∠ABC=∠ACB=∠DFB=45°． ∴△DFB 是等腰直角三角形 ∴BD =DF= BF．………………3 分 ∵AE∥BC， ∴∠ABC+∠BAE=180°． ∵∠DFB +∠DFC=180° ∴∠BAE=∠DFC． ∵∠ABC+∠BCD=∠ADC，∠ABC=∠CDE=α， ∴∠ADE =∠BCD． ∴△ADE∽△FCD． 0 90a< <  2 2 2 E CB A D 图 12-1 E CB A D 图 12-2 CB A D 图 12-3 F E CB A D 图 24-2 ∴ ．………………4 分 ∵DF∥AC， ∴ ． ∴ ．………………5 分 ∴BD= AE． (3)补全图形如图 3，………………6 分 关系：BD=2cosα·AE．………………7 分 (图正确得 1 分，结论正确得 1 分) 7、（2014 密云一模）24． 如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形 和一个长为 2、宽 为 1 的长方形 拼在一起， 构成一个大的长方形 .现将小长方形 绕点 顺时针旋转至 ,旋 转角为 . （1）当点 恰好落在 边上时，求旋转角 的值； （2）如图 2， 为 中点，且 0°＜ ＜90°，求证： ； （3）小长方形 绕点 顺时针旋转一周的过程中， 与 能否全等？ 若能，直接写 出旋转角 的值；若不能，说明理由. 解析： 24．(1) CF AD DF AE = CF AD BF BD = 2 2== BF BD BD AE 2 ABCD CEFD ABEF CEFD C ''' DFCE α 'D EF α G BC α DEGD '' = CEFD C 'DCD∆ 'CBD∆ α E CB A D 图 24-3 ' ' 1sin ' 2 30 ....................................2 DC EF DCD CD E CE CE CD CD α α α ∴∠ = ∠ = ∴ = = = ∴ = °   分 G BC GC=CG'=CE=1 D'CG= DCG+ DCD'=90 + DCE'= D'CE'+ DCD'=90 + D'CG= DCE' CD'=CD GCD E'CD GD'=E'D........................................5 α α ∴ ∠ ∠ ∠ ° ∠ ∠ ∠ ° ∴∠ ∠ ∴ ≅ ∴     为 中点， 又 分  M' AB C D E F M N (2) (3) 能, …………………7 分 8、（2014 平谷一模）24．（1）如图 1，点 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，∠ EAF=45°，连接 EF， 则 EF、BE、FD 之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结 BD，交 AE、AF 于点 M、N，且 MN、 BM、DN 满足 ，请证明这个等量关系； （2）在△ABC 中， AB=AC，点 D、E 分别为 BC 边上的两点． ①如图 2，当∠BAC=60°，∠DAE=30°时，BD、DE、EC 应满足的等量关系是 __________________； ②如图 3，当∠BAC= ，(0°< <90°)，∠DAE= 时，BD、DE、EC 应满足的等量关系是 ____________________．【参考： 】 解析： 24． (1) 在正方形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=90°， ∠ABM=∠ADN=45°． 把△ABM 绕点 A 逆时针旋转 90°得到 ． 连结 ．则 , ， ． ∵∠EAF=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°, ∠DAM′+∠DAF=45°, ． ∴ ≌ ． ∴ =MN． 在 中， , ∴ ----------------------------------------------------- --------------3 分 （2）① ； ------------------------------------------------------5 分 AB C D E F 图1 B CD E 图2 A B CD E 图3 A M N =135 =315α α° °或 222 DNBMMN += α α α 2 1 1cossin 22 =+ αα MAD ′∆ MN ′ ，， AMAMBMMD ==′ ' °=∠=′∠ 45ABMMAD BAMMDA ∠=′∠ °=∠=∠ 45' MANANM NAM '∆ AMN∆ NM ' NDM '∆ °=∠+∠=∠ 90'' ADMADNDNM 222 '' DMDNNM += 222 BMDNMN += 222 ECECBDBDDE +⋅+= E G DA B C F ② ----------------------------------------------7 分 9、（2014 石景山一模）24．在矩形 ABCD 中，AD=12，AB=8，点 F 是 AD 边上一点，过点 F 作∠AFE=∠DFC，交射线 AB 于点 E，交射线 CB 于点 G． （1）若 ，则 ； （2）当以 F，G，C 为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求 GB 的长； （3）过点 E 作 EH//CF 交射线 CB 于点 H，请探究：当 GB 为何值时，以 F，H，E，C 为 顶点的四边形是平行四边形． 解析：24．解：（1）90° ………………………………………………2 分 （2）正确画图 ………………………………………………3 分 四边形 ABCD 是矩形， ∠D=90°. △ 是等边三角形, . ∠DFC=∠AFE， ∠DFC=60° . …………4 分 DC=8 ， . △ 是等边三角形， GC=FC= . BC=AD=12， GB=12- . ………………………………5 分 （3）过点 F 作 FK⊥BC 于点 K 四边形 ABCD 是矩形 ∠ABC=90°，AD//BC ∠DFC=∠KCF，∠AFG=∠KGF ∠DFC=∠AFG ∠KCF=∠KGF FG=FC……………………………………………………………6 分 GK=CK 四边形 FHEC 是平行四边形 FG=EG……………………………………………………………7 分 ∠FGK=∠EGB, ∠FKG=∠EBG=90° ∴△FGK≌△EGB ∴BG=GK=KC= ……………………………………………8 分 222 cos2 ECECBDBDDE +⋅⋅+= α 8 2FG = _____CFG∠ = ° ∴  FGC =60GFC∴∠ ° ∴  ∴ 3 316 60sin =°= DCFC  FGC ∴ 16 3 3  ∴ 16 3 3 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴  43 12 = DA B C备用图G E DA B C F KH E G DA B C F CB A F D 10、（2014 海淀一模）在△ABC 中， ，将线段 AC 绕着点 C 逆时针旋转得到线段 CD，旋转角为 ，且 ，连接 AD、BD． （1）如图 1，当 ， 时，∠CBD 的大小为_________； （2）如图 2，当 ， 时，求∠CBD 的大小； （3）已知∠BAC 的大小为 m（ ），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相 同，请直接写出 的大小． 解析：24．解：（1）30°；……………………………… ………………………………………1 分 （2）如图作等边△AFC，连结 DF、BF． ∴ ， . ∵ ， ， ∴ . ∵ ， AB AC= α 0 180α° < < ° 100BAC∠ = ° 60α = ° 100BAC∠ = ° 20α = ° 60 120m° < < ° α AF FC AC= = 60FAC AFC∠ = ∠ = ° 100BAC∠ = ° AB AC= 40ABC BCA∠ = ∠ = ° 20ACD∠ = ° 图 1 A B C D 图 2 D CB A ∴ . ∴ . ① ∵ ， ， ∴ ．② ∵ ，③ ∴由①②③，得 △DCB≌△FCB， ∴ ， . ∵ ， ，∴ . ∵ ， ， ∴ . ∴ . ∴ . ④ ∵ ， ， ∴ . ⑤ ∵ ，⑥ ∴由④⑤⑥，得 △DAB≌△DAF． ∴ . ∴ ∴ . ∴ . ………………………………………………………………………4 分 （3） ， 或 . ……………………………7 分 11、（2014 通州一模）24．已知：等边三角形 ABC 中，点 D、E、F 分别为边 AB、AC、BC 的中点，点 M 在直线 BC 上，以点 M 为旋转中心，将线段 MD 顺时针旋转 60º 至 ， 连接 . （1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，线段 与 MF 的数量关系是__________； （2）如图 2，当点 M 在 BC 边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图 2 证明，如果不成立，请说明理由； （3）当点 M 在点 C 右侧时，请你在图 3 中画出相应的图形，直接判断（1）中的结论是 否依然成立？不必给出证明或说明理由. 20DCB∠ = ° 20DCB FCB∠ = ∠ = ° AC CD= AC FC= DC FC= BC BC= DB BF= DBC FBC∠ = ∠ 100BAC∠ = ° 60FAC∠ = ° 40BAF∠ = ° 20ACD∠ = ° AC CD= 80CAD∠ = ° 20DAF∠ = ° 20BAD FAD∠ = ∠ = ° AB AC= AC AF= AB AF= AD AD= FD BD= FD BD FB= = 60DBF∠ = ° 30CBD∠ = ° 120 mα = ° − 60α = ° 240 mα = °− DM ′ DE ′ DE ′ D' F ED C A B M D' F ED C A B M 图 1 F ED C A B M 图 3图 2 G P M F E D CB A 解析：24. （1） =MF； ..........................................................(1 分) （2） 与 MF 的相等关系依然成立 证明：连接 DE、DF、 D、E、F 分别是 AB、AC、BC 的中点 DE//BC，DE= BC，DF//AC，DF= AC 四边形 DFCE 为平行四边形 △ABC 是等边三角形 BC=AC，∠C=60º DE=DF，∠EDF=∠C=60º...................(2 分) MD= ， =60º..................(3 分) △ 是等边三角形 ， ..........................................................(4 分) △ ≌△DMF（SAS） =MF ..........................................................(5 分) （3） 与 MF 的相等关系依然成立..................................... ...............(6 分) 画出正确图形 ..............................................(7 分) 12、（2014 一模）24. 如图，正方形 ABCD 的边长是 2，M 是 AD 的中点． 点 E 从点 A 出发， 沿 AB 运动到 点 B 停止．连接 EM 并延长交射线 CD 于点 F，过 M 作 EF 的垂线交射线 BC 于点 G，连 接 EG、FG． （1）设 AE=x 时，△EGF 的面积为 y．求 y 关于 x 的函数关系式， 并写出自变量 x 的取值范围； （2）P 是 MG 的中点，求点 P 运动路线的长． 解析：24.解：（1）当点 E 与点 A 重合时， x=0，y=2 当点 E 与点 A 不重合时，0＜x≤2 在正方形 ABCD 中，∠A=∠ADC=90° ∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF 在△AME 和△DMF 中 DE ′ DE ′ DD ′  ∴ 1 2 1 2 ∴ ∴ ∴  DM ′ DDM ′∠ ∴ DDM ′ ∴ °=′∠ 60DMD DDMD ′= ∴ EDFDMD ∠=′∠  DFDDMDMDF ′∠−′∠=∠ DFDEDFDED ′∠−∠=′∠ ∴ DEDMDF ′∠=∠ ∴ EDD ′ ∴ DE ′ DE ′    DMF＝∠AME∠ DM＝AM MDF＝∠A∠ D' F ED C A B M D' F ED C A B M -----------1 分 -----------2 分 ∴△AME≌△DMF（ASA） ∴ME=MF 在 Rt△AME 中，AE=x，AM=1，ME= ∴EF=2ME=2 过 M 作 MN⊥BC，垂足为 N（如图） 则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM ∴∠AME+∠EMN=90° ∵∠EMG=90° ∴∠GMN+∠EMN=90° ∴∠AME=∠GMN ∴Rt△AME∽Rt△NMG ∴ 即 ∴MG=2ME= ∴ ∴ (2）如图，PP′即为 P 点运动的距离； 在 Rt△BMG′中，MG⊥BG′； ∴∠MBG=∠G′MG=90°-∠BMG； ∴tan∠MBG= ∴tan∠GMG′=tan∠MBG= ∴GG′=2MG=4； △MGG′中，P、P′分别是 MG、MG′的中点， ∴PP′是△MGG′的中位线； ∴PP′= 即：点 P 运动路线的长为 2． 13、（2014 燕山一模）24.如图 1，已知 是等腰直角三角形， ,点 是 的中点．作正方形 ，使点 、 分别在 和 上，连接 ， ． ABC∆ °=∠ 90BAC D BC DEFG A C DG DE AE BG 12 +x 12 +x MG ME= NM AM 2 1= MG ME 1 2 2 +x 2212122 1 2 1 222 +=+×+×=⋅= xxxMGEFy )20(22 2 ≤≤+= xxy 2= BG MG -----------7 分 -----------6 分 -----------5 分 -----------3 分 -----------4 分 ----------5 分 -----------2 分 （1）试猜想线段 和 的数量关系是 ； （2）将正方形 绕点 逆时针方向旋转 ， ①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图 2 证明你的结论； ②若 ，当 取最大值时，求 的值． 解析： 24. 解：（1） ； …………………2 分 （2）①成立．以下给出证明： 如图，连接 ， ∵在 Rt 中， 为斜边 中点， ∴ ， ， ∴ ． …………………3 分 ∵四边形 为正方形， ∴ ，且 ， ∴ ， ∴ ． ……4 分 在 和 中， ∴ ≌ ， ∴ ． ……………………5 分 ②由①可得 ，当 取得最大值时， 取得最大值． 当旋转角为 时， ，最大值为 . ………6 分 如图,此时 ． ……………………7 分 BG AE DEFG D )3600( °≤<° αα 4== DEBC AE AF AEBG = AD BAC∆ D BC BDAD = BCAD ⊥ °=∠+∠ 90GDBADG EFGD DGDE = °=∠ 90GDE °=∠+∠ 90ADEADG ADEBGD ∠=∠ BDG∆ ADE∆    = ∠=∠ = , , , EDGD ADEBDG ADBD BDG∆ ADE∆ AEBG = AEBG = BG AE °270 AEBG = 642 =+ 13222 =+= EFAEAF B A CD E G F 14、（2014 昌 平一模）24．如图 1，正方形 与正 方形 AEFG 的边 AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形 AEFG 以点 A 为旋转中心逆时 针旋转，设旋转角为 . 在旋转过程中，两个正方形只有点 A 重合，其它顶点均不重合， 连接 BE、DG. （1）当正方形 AEFG 旋转至如图 2 所示的位置时，求证：BE=DG； （2）当点 C 在直线 上时，连接 FC，直接写出∠FCD 的度数； （3）如图 3， 如果 =45°，AB =2，AE= ，求点 G 到 BE 的距离. 解析：24．（1）证明：如图 2，∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°. ∵四边形 AEFG 是正方形， ∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°. ∴∠BAE=∠DAG. ………………………………… 1 分 ∴△ ≌△ . ∴ BE=DG. ………………………………………………………………… ………… 2 分 A B C D E F G 图2 A B C D E F G 图3 G FE D CB A 图1 ABCD α BE α 4 2 ABE (SAS)ADG B A C D E G F 图2 A B C D E F G （2）解：45°或 135 °. ………………………………………………………………………… 4 分 （3）解：如图 3，连接 GB、GE. 由已知 α=45°，可知∠BAE=45°. 又∵GE 为正方形 AEFG 的对角线， ∴∠AEG=45°. ∴AB∥GE. ∵ , ∴GE =8， .………………………………………………………… …… 5 分 过点 B 作 BH⊥AE 于点 H. ∵AB=2， ∴ . ∴ . ∴ . ………………………………………………………………………6 分 设点 G 到 BE 的距离为 h. ∴ . ∴ . ……………………………………………………………………………… 7 分 即点 G 到 BE 的距离为 . 4 2AE = 1= = 162BEG AEG AEFGS S S =   正方形 2BH AH= = 3 2HE = 2 5BE = 1 1 2 5 162 2BEGS BE h h= ⋅ ⋅ = × × =  16 5 5h = 16 5 5 图3 G F E D CB A H