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- 2021-05-10 发布
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专题07 一元一次不等式(组)
聚焦考点☆温习理解
一、不等式的概念
1、不等式
用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。
2、不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程,叫做解不等式。
3、用数轴表示不等式的方法
二、不等式基本性质
1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
三、一元一次不等式
1、一元一次不等式的概念
一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤:
(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将x项的系数化为1
四、一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。
当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解法
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集
(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、不等式的性质
【例1】(2015南充)若,下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D.
考点:不等式的性质.
【点睛】根据不等式的性质: 1.不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。对各选项进行判断
【举一反三】
1.(2015乐山)下列说法不一定成立的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【答案】C.
【解析】
试题分析:A.在不等式的两边同时加上c,不等式仍成立,即,故本选项错误;
B.在不等式的两边同时减去c,不等式仍成立,即,故本选项错误;
C.当c=0时,若,则不等式不成立,故本选项正确;
D.在不等式的两边同时除以不为0的,该不等式仍成立,即,故本选项错误.
故选C.
考点:不等式的性质.
2.写出一个解为的一元一次不等式 .
【答案】(答案不唯一).
【解析】根据不等式的性质,从x≥1逆推即可得到一元一次不等式:(答案不唯一).
考点典例二、解一元一次不等式
【例2】((2015自贡)(8分)解不等式:,并把解集在数轴上表示出来.
【答案】.
考点:1.解一元一次不等式;2.在数轴上表示不等式的解集.
【点睛】先求出不等式的解集,再在数轴上表示出来即可.
【举一反三】
1.(2015南充)不等式的解集是 .
【答案】x>3.
【解析】
试题分析:去分母得:x﹣1>2,移项得:x>3,所以不等式的解集是:x>3.故答案为:x>3.
考点:解一元一次不等式.
2.(2015.安徽省,第16题,8分)解不等式:>1-.
【答案】x>3.
【解析】
试题分析:根据解不等式的基本方法解出即可.
试题解析:
考点:一元一次不等式的解法.
考点典例三、一元一次不等式组
【例3】(2015遂宁)(7分)解不等式组,并将解集在数轴上表示出来.
【答案】.
考点:1.解一元一次不等式组;2.在数轴上表示不等式的解集.
【点睛】分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.不等式组的解集在数轴上表示的方法:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
【举一反三】
1..(2015·辽宁沈阳)不等式组的解集是 .
【答案】﹣2≤x<3.
【解析】
试题分析:,由①得:x<3,由②得:x≥﹣2,则不等式组的解集为﹣2≤x<3,
故答案为:﹣2≤x<3.
考点:解一元一次不等式组.
2.(2015.上海市,第20题,10分) (本题满分10分)
解不等式组:,并把解集在数轴上表示出来.
【答案】解集为,在数轴上的表示如下:
考点:1.解一元一次不等式组;2.不等式组的解集在数轴上的表示.
考点典例四、一元一次不等式(组)的应用
【例4】(2015·四川省绵阳市期中)某商品的标价比成本价高m%,根据市场需要,该商品需降价n%出售,为了不亏本,n应满足( )
A.n≤m B. n≤ C. n≤ D. n≤
【答案】B.
【解析】设进价为a元,由题意可得:a(1+m%)(1﹣n%)﹣a≥0,
则(1+m%)(1﹣n%)﹣1≥0,
整理得:100n+mn≤100m,
故n≤.
故选:B.
【点睛】根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价,可得:a(1+m%)(1﹣n%)﹣a≥0,通过解不等式,进而得出n的取值.本题主要考查了一元一次不等式的应用,得出正确的不等关系是解题关键.
【举一反三】
1.(2015·湖南株洲)(本题满分6分)为了举行班级晚会,孔明准备去商店购买20乒乓球做道具,并买一些乒乓球拍做奖品,已知乒乓球每个1.5元,球拍每个22元,如果购买金额不超过200元,且买的球拍尽可能多,那么孔明应该买多少个球拍?
【答案】7
考点:一元一次不等式的应用题
课时作业☆能力提升
一.选择题
1.如图,身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时,如果用一个不等式来表示他们的身高关系,则这个式子可以表示成x y(用“>”或“<”填空).
【答案】<.
【解析】
试题分析:由图知1号同学比2号同学矮,据此可解答.
试题解析:如果用一个不等式来表示他们的身高关系,则这个式子可以表示成x<y.
考点:不等式的定义.
2.(2015·湖南长沙)在数轴上表示不等式组的解集,正确的是( )
【答案】A
考点:不等式组的解.
3.(2015·辽宁大连)不等式2x+3<-1的解集是:__________.
【答案】x<-2
【解析】
试题分析:解不等式2x+3<-1,移项得:2x<-1-3,合并得:2x<-4,系数化成1得:x<-2,故答案为x<-2.
考点:解一元一次不等式.
二.填空题
4.(2015·辽宁丹东)不等式组的解集为 .
【答案】-1-1;解不等式②得:3x<1+2,3x<3,∴x<1,∴-1 3时,不等式组的解集为x≤3;当a < 3时,不等式组的解集为x < a.
【解析】
解①得:x≤3,解②得:x < a.
∵a是不等于3的常数,
∴当a > 3时,不等式组的解集为x≤3;当a < 3时,不等式组的解集为x < a.
考点:1.解一元一次不等式组;2.分类思想的应用.
13.定义新运算:对于任意实数a,b都有a△b=ab-a-b+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,例如:2△4=2×4-2-4+1=8-6+1=3,请根据上述知识解决问题:若3△x的值大于5而小于9,求x的取值范围.
【答案】<x<
【解析】∵a△b=ab-a-b+1
∴3△x=3x-3-x+1=2x-2,
根据题意得:
,
解得:<x<.
考点:解一元一次不等式组.
14.甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致,每张办公桌800元,每张椅子80元.甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案,甲厂家:买一张桌子送三张椅子;乙厂家:桌子和椅子全部按原价8折优惠.现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子,若购买的椅子数为x张(x≥9).
(1)分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额;
(2)购买的椅子至少多少张时,到乙厂家购买更划算?
【答案】(1)甲厂家所需金额为:3×800+80(x﹣9)=1680+80x;乙厂家所需金额为:(3×800+80x)×0.8=1920+64x;(2)16.
考点:一元一次不等式的应用.
15.(2015.宁夏,第22题,6分)某校在开展 “校园献爱心”活动中,准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包.已知男款书包的单价50元/个,女款书包的单价70元/个.
(1)原计划募捐3400元,购买两种款式的书包共60个,那么这两种款式的书包各买多少个?
(2)在捐款活动中,由于学生捐款的积极性高涨,实际共捐款4800元,如果至少购买两种款式的书包共80个,那么女款书包最多能买多少个?
【答案】(1)原计划买男款书包40个,买女款书包20个;(2)最多能买女款书包40个.
【解析】
试题分析:(1)设原计划买男款书包个,则买女款书包(60-)个,根据等量关系“买男款书包的钱+买女款书包的钱=3400”列出方程,解方程即可;(2)设能买女款书包个,则可买男款书包个,根据不等关系“买男款书包的钱+买女款书包的钱≤4800”列出不等式,解不等式即可.
考点:一元一次方程的应用;一元一次不等式的应用.
16.(2015.山东淄博,第20题)某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”,计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.
(1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来;
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明(1)中哪种方案费用最低,最低费用是多少元?
【答案】(1)有三种组建方案:
方案一,中型图书角18个,小型图书角12个;
方案二,中型图书角19个,小型图书角11个;
方案三,中型图书角20个,小型图书角10个.
(2)方案一费用最低,最低费用是22320元.
【解析】
试题分析:(1)设组建中型两类图书角x个、小型两类图书角(30﹣x)个,由于组建中、小型两类图书角共30个,已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.若组建一个中型图书角的费用是860本,组建一个小型图书角的费用是570本,因此可以列出不等式组 ,解不等式组然后去整数即可求解.(2)根据(1)求出的数,分别计算出每种方案的费用即可.
(2)方案一的费用是:860×18+570×12=22320(元);
方案二的费用是:860×19+570×11=22610(元);
方案三的费用是:860×20+570×10=22900(元).
故方案一费用最低,最低费用是22320元.
考点:一元一次不等式组的应用.