中考圆形综合题型考点分析 23页

中考圆形综合题型考点分析 一、 主要考试知识点 1、 求特殊角度 （难度系数：★★★）‎ 2、 证明相等的角 （难度系数：★★★）‎ 3、 证明相似三角形 （难度系数：★★★★）‎ 4、 证明相等线段 （难度系数：★★★★）‎ 5、 证明线段乘积、比例关系 （难度系数：★★★★）‎ 6、 求线段（或图形面积）比值 （难度系数：★★★★★）‎ 7、 求一些角度的三角函数值（实质上线段的比值） （难度系数：★★★★★）‎ 8、 求特殊线段的长 （难度系数：★★★★★）‎ 9、 求图形面积 （难度系数：★★★★★）‎ 10、 求几何图形之间的函数解析式 （难度系数：★★★★★★）‎ 二、 解题思路分析 1、 注意等角的使用（包括等弦、等弧、等弦心距的运用）‎ 分析：特别要分析图中相等的角的关系，看图中有没有相等有弦、相等的弧、相等的弦心距等，还要注意有没有垂径定理的情况。通过分析找出图中相等的角，为以后寻找相似埋下伏笔。‎ 2、 注意圆心角与圆周角的使用 分析：对于圆心角和圆周角的2倍关系，一定要特别注意。已知圆心角度数就要寻找相应的圆周角的度数；反之，已知圆周角的度数也要寻找相应的圆心角的度数。‎ 3、 注意一些特殊角度的运用 分析：图中一些特殊角度特别要引起注意，常见的如15°、30°、45°、60°、120°、150°等。这些角度都可以和直角组成特殊的直角三角形，从而解决问题。‎ 4、 直径对直角的运用 分析：一般直径常连接90°的圆周角，使图中出现直角三角形，便于思考。特别是配合一些特殊角度（30°、45°、60°）使用，能使计算更为便捷。‎ 5、 垂径定理的运用 分析：对于直径上作垂线（或高），特别要注意垂径定理的运用。这样就会出现相等的弧，也会产生相等的弦，进而出现相等的角。‎ 6、 切线与直径的关系的运用 分析：说起切线，一定要连接接切点和圆，这样便会产生垂直，进而产生直角三角形，从而使思考简化。‎ 7、 全等三角形的运用 分析：通过圆的对称性（轴对称、中心对称）、垂径定理、切线长定理思考图中全等三角形 8、 相似三角形的运用 分析：俗话说：“圆内盛产相似”。通过寻找相等的角，产生相似三角形，为成比例具备条件。特别是要注意圆内四点共圆（蝴蝶形）产生的几组相似。‎ 寻找相等的角可以考虑：‎ ‎（1）、是否有相等的弧、弦、弦心距等 ‎（2）、是否有弦切角（弦切角=其所夹的弧所对的圆周角）‎ ‎（3）、是否有四点共圆（对角互补，外角=内对角）‎ ‎（4）、两条相交弦产生的相似（圆幂定理-------相交弦定理）‎ ‎（5）、切线和割线产生的相似（圆幂定理-------切割线定理）‎ ‎（6）、两条割线产生的相似（圆幂定理-------割线定理）‎ 1、 射影定理的使用 分析：在圆内常出现直径上作高的情况，这样射影定理便可以直接运用了，省去了相似的步骤。射影定理中的“知二求四”特别是在计算一些直径上的线段时非常方便。‎ 2、 弦切角定理的使用 ‎ 分析：圆中有切线时，除了考虑垂直关系外，也要特别关注弦切角与圆周角的相等关系。使用弦切角定理能够省去一些等量代换求角相等的步骤。‎ 3、 切割线、割线定理的使用（实质上也是相似三角形的推广）‎ 分析：对于圆中即有切线又有割线的情况，特别要考虑切割线、割线定理定理。这是计算圆中线段中必不可少的方法之一。直接运用切割线定理、割线定理比使用相似来分析要节省思考时间和空间。‎ 4、 勾股定理的使用 分析：当圆中出现垂直，特别是不与直径垂直的情况时（与直径垂直时常用垂径定理），常考虑勾股定理的运用，结合一些特殊角度，能起到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉，在计算圆中线段的长中有非常重要的作用。‎ 5、 连心线与公共弦的运用 分析：当有两圆相交时，公共弦和连心线是必不可少的思考方向。这两条特殊线段包含着两种特殊关系，即垂直又平分（位置关系：垂直 数量关系：平分），往往成为解题的入手点。‎ 6、 余弦定理的使用（实质上是勾股定理的推广）‎ 分析：在计算圆中线段时，有时使用余弦定理比较方便，特别是知道两边和夹角，求第三边时常用这种方法（不管夹角是否为直角）。虽然余弦定理是勾股定理的推广，但是直接使用也能节约思考的时间和空间（既使计算过程有些繁杂）。只是余弦定理公式较为复杂而已（复习一下：，注意：钝角的余弦值为负数）。‎ 7、 角平线成比例的运用（实质上也是相似三角形的推广）‎ 分析：圆中经常会出现相等的角，有时还会有角平分线。此时用角平分线成比例定理可以使思考简化，在计算线段中收到意想不到的效果 8、 不规则面积的综合加减计算 分析：圆中经常会出一些图形面积的计算。有的可以直接求（常用的面积公式：①底高 ②底高 ③对角线乘积的一半 ④上下底和的一半高 ⑤中位线高 ⑥ 两边与夹角正弦乘积的一半 ⑦ 周长一半与内切圆半径之积 （圆面积为： ）⑧ 边长的平方 ⑨ 长宽 ⑩ 水平宽度与竖直高度乘积的一半 等），有的只能间接求，用其他图形的面积的和与差来计算。如：总面积—部分面积，或几部分面积的和等。‎ 一、 中考例题分析 ‎1、（2013年四川成都，27题10分）如图，⊙的半径，四边形内接圆⊙，于点，为延长线上的一点，且.‎ ‎（1）试判断与⊙的位置关系，并说明理由：‎ ‎（2）若，，求的长；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求四边形的面积.‎ 思路点拨：‎ （1） 实质上这就是弦切角定理的逆命题，但不能用弦切角定理来证明。只能用弦切角定理的证明方法来证。连接DO并延长交⊙于Ｅ点，再连接AE即产生Rt△ADE。通过等量代换于是PD⊥DE即得证。‎ （2） 通过分析Rt△ADH中的正弦值，引入一个参数，得到AH、DH的值、，利用PA和AH的比值，求出PA和AH的值（含的代数式）。再用勾股定理求出PD的值（含的代数式）。这样分析PD和DH的值，发现一个特殊角度（DH=PD）。再用弦切角=圆周角求出∠DCB的度数，从而分析出圆心角∠DOB的度数，又已知了半径，所以利用勾股定理和特殊角度，可以求弦长（BD）。（知识点梳理：圆内六组数量：①直径（半径）② 弦长 ③ 弦心距 ④ 圆心角 ⑤ 圆周角 ⑥ 弧长 任意知道两组数量，就可以求出其他数量）只是此题中圆心角的度数要通过圆外Rt△PDH和弦切角来求得，可谓来之不易！‎ （3） 显然利用对对角线乘积的一半可求出四边形ABCD的面积，转而全力求AC的长。由相似三角形可得BH：HC=3：4。（BH=BD—DH），于是可以用含的代数式表示HC，再代入切割线定理表达式中可得含的方程。解之求出值，从而求出AC的值，于是四边形ABCD的面积就求出了。‎ 要点：对于引入一个参数的方法越来越重要！有了参数计算就简单了，而且通过图中数量关系，最终也要求出参数的具体值。‎ ‎2、（2012年四川成都，27题10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．‎ ‎（1）求证：KE=GE；‎ ‎（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．‎ 思路点拨：‎ （1） 实质上是证等角。连接BG是必须的！直径对直角！再以现弦切角等圆周角。又观察发现两直角三角形相似，等量代换，等角证毕！‎ （2） 一看就知道由相似下手，连接GD又是必须的！（含KG2=KD•GE的三角形），从而等角又产生了，再用等弧代换一下，于是内错角相等了，结论也就不言面明了。‎ （3） 通过sinE得出sinC。从而得到Rt△AHC三边的关系，引入一个参数。于是AH、CH、AC均可以用含的代数式表示。又（1）易知AC=CK，于是HK又能用含的代数式表示，勾股定理可求出AK，从而确定参数的值。由射影定理求出AB。由相似求出AG的值。再利用“X”形相似求出GE、KE的值。从而得到HE的值。再利用一次“X”型相似，求出EF的值。二者之差即为FG的值。‎ ‎（说明第三问多次利用相似，可见难题用相似是多么的正确！中间也利用了勾股定理和射影定理。需要说明的是引入参数代入分析，最后再把引入的参数求出来的这种方法在解题中越来越重要。）‎ ‎3、（2012年四川成都，27题10分）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥ A C，垂足为K。过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．‎ ‎(1)求证：AE=CK；‎ ‎ (2)如果AB=，AD= (为大于零的常数)，求BK的长：‎ ‎(3)若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．‎ 思路点拨：‎ （1） 全等即可。‎ （2） 利用勾股定理求出斜边AC，再利用射影定理可求出斜边上的高BK。‎ （3） 由垂径定理可得：DE=GE=2EF=6，于是可分析出EF=3。利用在Rt△AFD中由射影定理可求出AE的长，又在Rt△ADC中由射影定理可求出AC的长，也就是直径。（两次使用射影定理）。然后由勾股定理可以分别求出DC、AF的长度，进而求出BF的长度。再次利用“X”形相似求出HF的长度，减去DF（和EF相等）即为HG的长。‎ 要点：第三问多次利用相似（射影定理其实也是相似的产物）和勾股定理求出相关的线段，然后进行加减即可。‎ ‎4、（2010年四川成都，27题10分）已知：如图，内接于，为直径，弦　于，是弧AD的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、．‎ ‎（1）求证：是的外心；‎ ‎ （2）若,求的长；‎ ‎（3）求证：．‎ 思路点拨：‎ （1） 证明P点是Rt△ACQ斜边上的中点即可。关键是寻找角相等（证明等腰三角形）。注意图中有几段弧相等即可。‎ （2） 解直角三角形可求出线段BF的长，射影定理再次登场，求出AF的长。勾股定理求出AC的长。利用相似三角形（△ACQ∽△ACF）可求出CQ。‎ （3） 显然是典型的相似思路。通过（1）问知道：FP+PQ=CF，原式即化简为，三线一条线，显然需要代换线段。射影定理又一次发挥功用。显然，这样原式再次化简为：。容易发现两三角形相似即可（△APF∽△GBF）‎ ‎ ‎ 要点：多次利用射影定理和相似知识！‎ ‎5、（2009年四川成都，27题10分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结‎0G．‎ ‎ (1)判断‎0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；‎ ‎(2)求证：AE=BF；‎ ‎（3）若，求⊙O的面积。‎ 思路点拨：‎ （1） 用等腰三角形“三线合一”即可证明。‎ （2） 用全等证明（Rt△ACE和Rt△BCF）‎ （3） 显然是典型的相似思路。连接OD，易发现△BDE和△OGD相似。通过比例代换。则已知条件中的乘积式可换为。再分析角平分线可得DB=2DG。于是求出了弦DB的长。知道弦长求半径。显然需要圆心角。△ABC为等腰直角三角形。于是弦DB所对的圆心角为45°的特殊角。作高即产生特殊直角三角形。过D作DH⊥AB于H。则DH=OH=。BH=，于是代入Rt△DBH中（前面DB已求出），用勾股定理列方程即可求出（不必求出）的值。代入圆形面积公式即可。‎ 要点：第三问较难，用相似是必须的！到了求出弦DB和它所对的圆心角时，由于用常规手法（垂径定理）作高，会产生22.5°的非特殊角，无法下手。所以需另外作高，保留45°的角，产生特殊直角三角形来分析！当然你如果能记得22.5°的三角函数值，其实更为简单！‎ ‎6、（2008年四川成都，27题10分）如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）.连结AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连结DE.若AB=2.‎ ‎（1）求∠C的度数；‎ ‎（2）求DE的长；‎ ‎（3）如果记tan∠ABC=y，=x（0