2020年山东省聊城市中考数学试卷(含解析） 23页

‎2020年山东省聊城市中考数学试卷 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．（3分）在实数﹣1，‎-‎‎2‎，0，‎1‎‎4‎中，最小的实数是（　　）‎ A．﹣1 B．‎1‎‎4‎ C．0 D．‎‎-‎‎2‎ ‎2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（　　）‎ A．120° B．130° C．145° D．150°‎ ‎4．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．a2•a3＝a6 B．a6÷a﹣2＝a﹣3 ‎ C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 D．（2a+b）2＝4a2+b2‎ ‎5．（3分）为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（　　） ‎ 成绩/分 ‎84‎ ‎88‎ ‎92‎ ‎96‎ ‎100‎ 人数/人 ‎2‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎5‎ A．92分，96分 B．94分，96分 C．96分，96分 D．96分，100分 ‎6．（3分）计算‎45‎‎÷‎3‎3‎‎×‎‎3‎‎5‎的结果正确的是（　　）‎ A．1 B．‎5‎‎3‎ C．5 D．9‎ ‎7．（3分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都 第23页（共23页）‎ 在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（　　）‎ A．‎3‎‎5‎‎5‎ B．‎17‎‎5‎ C．‎3‎‎5‎ D．‎‎4‎‎5‎ ‎8．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）‎ A．（x‎-‎‎3‎‎4‎）2‎=‎‎17‎‎16‎ B．（x‎-‎‎3‎‎4‎）2‎=‎‎1‎‎2‎ ‎ C．（x‎-‎‎3‎‎2‎）2‎=‎‎13‎‎4‎ D．（x‎-‎‎3‎‎2‎）2‎‎=‎‎11‎‎4‎ ‎9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝2‎3‎，那么图中阴影部分的面积是（　　）‎ A．π B．2π C．3π D．4π ‎10．（3分）如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（　　）‎ A．‎1‎‎4‎m B．‎3‎‎4‎m C．‎15‎‎4‎m D．‎3‎‎2‎m ‎11．（3分）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（　　）‎ 第23页（共23页）‎ A．150 B．200 C．355 D．505‎ ‎12．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于（　　）‎ A．2（‎3‎‎3‎‎+‎1） B．‎3‎‎3‎‎+‎1 C．‎3‎‎-‎1 D．‎3‎‎+‎1‎ 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）‎ ‎13．（3分）因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝　 　．‎ ‎14．（3分）如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在AmC上，则∠ADC的度数是　 　．‎ ‎15．（3分）计算：（1‎+‎a‎1-a）‎÷‎1‎a‎2‎‎-a=‎　 　．‎ ‎16．（3分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是　 　．‎ ‎17．（3分）如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD 第23页（共23页）‎ ‎，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为　 　．‎ 三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）‎ ‎18．（7分）解不等式组‎1‎‎2‎x+1＜7-‎3‎‎2‎x，‎‎3x-2‎‎3‎‎≥x‎3‎+x-4‎‎4‎，‎并写出它的所有整数解．‎ ‎19．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：A“剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．‎ 根据以上信息，回答下列问题：‎ ‎（1）本次调查的样本容量为　 　；统计图中的a＝　 　，b＝　 　；‎ ‎（2）通过计算补全条形统计图；‎ ‎（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．‎ ‎20．（8分）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．‎ ‎（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？‎ ‎（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．‎ 第23页（共23页）‎ ‎21．（8分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．‎ ‎22．（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到lm）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．‎ ‎23．（8分）如图，已知反比例函数y‎=‎kx的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．‎ ‎（1）求出直线y＝ax+b的表达式；‎ ‎（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．‎ ‎24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．‎ ‎（1）试证明DE是⊙O的切线；‎ 第23页（共23页）‎ ‎（2）若⊙O的半径为5，AC＝6‎10‎，求此时DE的长．‎ ‎25．（12分）如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．‎ ‎（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；‎ ‎（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；‎ ‎（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 第23页（共23页）‎ ‎2020年山东省聊城市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．（3分）在实数﹣1，‎-‎‎2‎，0，‎1‎‎4‎中，最小的实数是（　　）‎ A．﹣1 B．‎1‎‎4‎ C．0 D．‎‎-‎‎2‎ ‎【解答】解：∵|‎-‎‎2‎|＞|﹣1|，‎ ‎∴﹣1‎＞-‎‎2‎，‎ ‎∴实数﹣1，‎-‎‎2‎，0，‎1‎‎4‎中，‎-‎2‎＜-‎1＜0‎＜‎‎1‎‎4‎．‎ 故4个实数中最小的实数是：‎-‎‎2‎．‎ 故选：D．‎ ‎2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的靠右边有一条纵向的实线，‎ 故选：C．‎ ‎3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（　　）‎ A．120° B．130° C．145° D．150°‎ ‎【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝65°，‎ ‎∴∠B＝∠C＝65°，‎ ‎∵DF∥AB，‎ ‎∴∠CDE＝∠B＝65°，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴∠FEC＝∠CDE+∠C＝65°+65°＝130°；‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．a2•a3＝a6 B．a6÷a﹣2＝a﹣3 ‎ C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 D．（2a+b）2＝4a2+b2‎ ‎【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不合题意；‎ B、a6÷a﹣2＝a8，原计算错误，故此选项不合题意；‎ C、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，原计算正确，故此选项合题意；‎ D、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，原计算错误，故此选项不合题意．‎ 故选：C．‎ ‎5．（3分）为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（　　） ‎ 成绩/分 ‎84‎ ‎88‎ ‎92‎ ‎96‎ ‎100‎ 人数/人 ‎2‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎5‎ A．92分，96分 B．94分，96分 C．96分，96分 D．96分，100分 ‎【解答】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第15、16个数的平均数，‎ 所以全班30名同学的成绩的中位数是：‎92+96‎‎2‎‎=‎94；‎ ‎96出现了10次，出现的次数最多，则众数是96，‎ 所以这些成绩的中位数和众数分别是94分，96分．‎ 故选：B．‎ ‎6．（3分）计算‎45‎‎÷‎3‎3‎‎×‎‎3‎‎5‎的结果正确的是（　　）‎ A．1 B．‎5‎‎3‎ C．5 D．9‎ ‎【解答】解：原式‎=3‎5‎÷3‎3‎×‎‎15‎‎5‎ ‎=3‎5‎×‎3‎‎9‎×‎‎15‎‎5‎‎ ‎ ‎=‎‎5×3×15‎‎15‎‎ ‎ ‎=‎‎15‎‎15‎‎ ‎ ‎＝1．‎ 第23页（共23页）‎ 故选：A．‎ ‎7．（3分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（　　）‎ A．‎3‎‎5‎‎5‎ B．‎17‎‎5‎ C．‎3‎‎5‎ D．‎‎4‎‎5‎ ‎【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．‎ 在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，‎ ‎∴AC‎=AH‎2‎+CH‎2‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎5，‎ ‎∴sin∠ACH‎=AHAC=‎‎4‎‎5‎，‎ 故选：D．‎ ‎8．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）‎ A．（x‎-‎‎3‎‎4‎）2‎=‎‎17‎‎16‎ B．（x‎-‎‎3‎‎4‎）2‎=‎‎1‎‎2‎ ‎ C．（x‎-‎‎3‎‎2‎）2‎=‎‎13‎‎4‎ D．（x‎-‎‎3‎‎2‎）2‎‎=‎‎11‎‎4‎ ‎【解答】解：由原方程，得 x2‎-‎‎3‎‎2‎x‎=‎‎1‎‎2‎，‎ x2‎-‎‎3‎‎2‎x‎+‎9‎‎16‎=‎1‎‎2‎+‎‎9‎‎16‎，‎ ‎（x‎-‎‎3‎‎4‎）2‎=‎‎17‎‎16‎，‎ 故选：A．‎ ‎9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝2‎3‎，那么图中阴影部分的面积是（　　）‎ 第23页（共23页）‎ A．π B．2π C．3π D．4π ‎【解答】解：连接OD，BC，‎ ‎∵CD⊥AB，OC＝OD，‎ ‎∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，‎ ‎∵OC∥BD，‎ ‎∴∠COB＝∠OBD，‎ ‎∴∠BOD＝∠OBD，‎ ‎∴OD＝DB，‎ ‎∴△BOD是等边三角形，‎ ‎∴∠BOD＝60°，‎ ‎∴∠BOC＝60°，‎ ‎∵DM＝CM，‎ ‎∴S△OBC＝S△OBD，‎ ‎∵OC∥DB，‎ ‎∴S△OBD＝S△CBD，‎ ‎∴S△OBC＝S△DBC，‎ ‎∴图中阴影部分的面积‎=‎60⋅π×(2‎‎3‎‎)‎‎2‎‎360‎=‎2π，‎ 故选：B．‎ ‎10．（3分）如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（　　）‎ 第23页（共23页）‎ A．‎1‎‎4‎m B．‎3‎‎4‎m C．‎15‎‎4‎m D．‎3‎‎2‎m ‎【解答】解：设底面半径为rm，则2πr‎=‎‎90π×1‎‎180‎，‎ 解得：r‎=‎‎1‎‎4‎，‎ 所以其高为：‎1‎‎2‎‎-(‎‎1‎‎4‎‎)‎‎2‎‎=‎‎15‎‎4‎m，‎ 故选：C．‎ ‎11．（3分）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（　　）‎ A．150 B．200 C．355 D．505‎ ‎【解答】解：由图形可知图ⓝ的地砖有（7n+5）块，‎ 当n＝50时，7n+5＝350+5＝355．‎ 故选：C．‎ ‎12．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于（　　）‎ 第23页（共23页）‎ A．2（‎3‎‎3‎‎+‎1） B．‎3‎‎3‎‎+‎1 C．‎3‎‎-‎1 D．‎3‎‎+‎1‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，‎ ‎∴BC＝2‎3‎，AC＝4，‎ ‎∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，‎ ‎∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2‎3‎，‎ ‎∴B′C＝2，‎ 延长C′B′交BC于F，‎ ‎∴∠CB′F＝∠AB′C′＝90°，‎ ‎∵∠C＝30°，‎ ‎∴∠CFB′＝60°，B′F‎=‎‎3‎‎3‎B′C‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∵B′D＝2，‎ ‎∴DF＝2‎+‎‎2‎‎3‎‎3‎，‎ 过D作DE⊥BC于E，‎ ‎∴DE‎=‎‎3‎‎2‎DF‎=‎3‎‎2‎×‎（2‎+‎‎2‎‎3‎‎3‎）‎=‎3‎+‎1，‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）‎ ‎13．（3分）因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝　（x﹣2）（x﹣1）　．‎ ‎【解答】解：原式＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）．‎ 故答案为：（x﹣2）（x﹣1）．‎ ‎14．（3分）如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在AmC上，则∠ADC的度数是　60°　．‎ 第23页（共23页）‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴∠B+∠D＝180°，‎ ‎∵四边形OABC为菱形，‎ ‎∴∠B＝∠AOC，‎ ‎∴∠D+∠AOC＝180°，‎ ‎∵∠AOC＝2∠D，‎ ‎∴3∠D＝180°，‎ ‎∴∠ADC＝60°，‎ 故答案为60°．‎ ‎15．（3分）计算：（1‎+‎a‎1-a）‎÷‎1‎a‎2‎‎-a=‎　﹣a　．‎ ‎【解答】解：原式‎=‎‎1-a+a‎1-a•a（a﹣1）‎ ‎=‎‎1‎‎1-a‎•a（a﹣1）‎ ‎＝﹣a．‎ 故答案为：﹣a．‎ ‎16．（3分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是　‎1‎‎3‎　．‎ ‎【解答】解：画树状图如下：‎ 由树状图知，共有9种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有3种结果，‎ 所以抽到同一类书籍的概率为‎3‎‎9‎‎=‎‎1‎‎3‎，‎ 第23页（共23页）‎ 故答案为：‎1‎‎3‎．‎ ‎17．（3分）如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为　4+2‎5‎　．‎ ‎【解答】解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，‎ ‎∴AC∥x轴，‎ ‎∴∠BAC＝45°，‎ ‎∵CA＝CB，‎ ‎∴∠ABC＝∠BAC＝45°，‎ ‎∴∠C＝90°，‎ ‎∵B（3，3）‎ ‎∴C（3，1），‎ ‎∴AC＝BC＝2，‎ 作B关于y轴的对称点E，‎ 连接AE交y轴于D，‎ 则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，‎ 过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，‎ 则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，‎ ‎∴AE‎=EF‎2‎+AF‎2‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎2‎5‎，‎ ‎∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2‎5‎，‎ 故答案为：4+2‎5‎．‎ 第23页（共23页）‎ 三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）‎ ‎18．（7分）解不等式组‎1‎‎2‎x+1＜7-‎3‎‎2‎x，‎‎3x-2‎‎3‎‎≥x‎3‎+x-4‎‎4‎，‎并写出它的所有整数解．‎ ‎【解答】解：‎1‎‎2‎x+1＜7-‎3‎‎2‎x①‎‎3x-2‎‎3‎‎≥x‎3‎+x-4‎‎4‎②‎，‎ 解不等式①，x＜3，‎ 解不等式②，得x‎≥-‎‎4‎‎5‎，‎ ‎∴原不等式组的解集为‎-‎4‎‎5‎≤‎x＜3，‎ 它的所有整数解为0，1，2．‎ ‎19．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：A“剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．‎ 根据以上信息，回答下列问题：‎ ‎（1）本次调查的样本容量为　120　；统计图中的a＝　12　，b＝　36　；‎ ‎（2）通过计算补全条形统计图；‎ ‎（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．‎ 第23页（共23页）‎ ‎【解答】解：（1）18÷15%＝120（人），因此样本容量为120；‎ a＝120×10%＝12（人），b＝120×30%＝36（人），‎ 故答案为：120，12，36；‎ ‎（2）E组频数：120﹣18﹣12﹣30﹣36＝24（人），‎ 补全条形统计图如图所示：‎ ‎（3）2500‎×‎30‎‎120‎=‎625（人），‎ 答：该校2500名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有625人．‎ ‎20．（8分）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．‎ ‎（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？‎ ‎（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．‎ ‎【解答】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列，得：‎ ‎630‎‎0.9x‎-‎600‎‎1.2x=10‎‎，‎ 解这个方程，得x＝20，‎ 经检验，x＝20是原分式方程的解，并符合题意，‎ 答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；‎ ‎（2）由（1）可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9＝18（元），B种树苗每棵的价格为：20×1.2＝24（元），‎ 设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则：‎ w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∵w是t的一次函数，k＝﹣6＜0，‎ ‎∴w随t的增大而减小，‎ 又∵t≤3500，‎ ‎∴当t＝3500棵时，w最小，‎ 此时，B种树苗每棵有：5500﹣3500＝2000（棵），w＝﹣6×3500+132000＝111000，‎ 答：购进A种树苗3500棵，BA种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．‎ ‎21．（8分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，AB＝CD，‎ ‎∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，‎ ‎∵E为BC的中点，‎ ‎∴EB＝EC，‎ ‎∴△ABE≌△FCE（AAS），‎ ‎∴AB＝CF．‎ ‎∵AB∥CF，‎ ‎∴四边形ABFC是平行四边形，‎ ‎∵BC＝AF，‎ ‎∴四边形ABFC是矩形．‎ ‎22．（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到lm）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．‎ 第23页（共23页）‎ ‎【解答】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，‎ 则AE＝MN＝CF＝1.6，‎ EF＝AC＝35，‎ ‎∠BEN＝∠DFN＝90°，‎ EN＝AM，NF＝MC，‎ 则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15，‎ 在Rt△DFN中，‎ ‎∵∠DNF＝45°，‎ ‎∴NF＝DF＝15，‎ ‎∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20，‎ 在Rt△BEN中，‎ ‎∵tan∠BNE‎=‎BEEN，‎ ‎∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43≈28.6，‎ ‎∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30．‎ 答：居民楼AB的高度约为30米．‎ ‎23．（8分）如图，已知反比例函数y‎=‎kx的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．‎ ‎（1）求出直线y＝ax+b的表达式；‎ ‎（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．‎ 第23页（共23页）‎ ‎【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝﹣2×3＝﹣6，‎ 故反比例函数表达式为：y‎=-‎‎6‎x，‎ 将点B的坐标代入上式并解得：m＝﹣6，故点B（1，﹣6），‎ 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得‎3=-2a+b‎-6=a+b，解得a=-3‎b=-3‎，‎ 故直线的表达式为：y＝﹣3x﹣3；‎ ‎（2）设直线与x轴的交点为E，当y＝0时，x＝﹣1，故点E（﹣1，0），‎ 分别过点A、B作x轴的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，‎ 则S△PAB‎=‎‎1‎‎2‎PE•CA‎+‎‎1‎‎2‎PE•BD‎=‎‎3‎‎2‎PE‎+‎‎6‎‎2‎PE‎=‎‎9‎‎2‎PE＝18，解得：PE＝4，‎ 故点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．‎ ‎24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．‎ ‎（1）试证明DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为5，AC＝6‎10‎，求此时DE的长．‎ 第23页（共23页）‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD、BD，‎ ‎∵AB是⊙O直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴BD⊥AC，‎ ‎∵AB＝BC，‎ ‎∴D为AC中点，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴OD∥BC，‎ ‎∵DE⊥BC，‎ ‎∴DE⊥OD，‎ ‎∵OD为半径，‎ ‎∴DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）由（1）知BD是AC的中线，‎ ‎∴AD＝CD‎=‎1‎‎2‎AC=‎3‎10‎，‎ ‎∵O的半径为5，‎ ‎∴AB＝6，‎ ‎∴BD‎=AB‎2‎-AD‎2‎=‎1‎0‎‎2‎-(3‎‎10‎‎)‎‎2‎=‎‎10‎，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠A＝∠C，‎ ‎∵∠ADB＝∠CED＝90°，‎ ‎∴△CDE∽△ABD，‎ ‎∴CDAB‎=‎DEBD，即‎3‎‎10‎‎10‎‎=‎DE‎10‎，‎ ‎∴DE＝3．‎ 第23页（共23页）‎ ‎25．（12分）如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．‎ ‎（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；‎ ‎（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；‎ ‎（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y═ax2+bx+4，‎ 得：‎0=a-b+4‎‎0=16a+4b+4‎，‎ 解得：a=-1‎b=3‎，‎ ‎∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，‎ 当x＝0时，y＝4，‎ ‎∴C（0，4），‎ 设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，‎ 将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，‎ 得：‎4=n‎0=4m+n，‎ 第23页（共23页）‎ 解得：m=-1‎n=4‎，‎ ‎∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；‎ ‎（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，‎ ‎∴DE∥PF，‎ 只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，‎ ‎∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x‎-‎‎3‎‎2‎）2‎+‎‎25‎‎4‎，‎ ‎∴点D的坐标为：（‎3‎‎2‎，‎25‎‎4‎），‎ 将x‎=‎‎3‎‎2‎代入y＝﹣x+4，即y‎=-‎3‎‎2‎+‎4‎=‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∴点E的坐标为：（‎3‎‎2‎，‎5‎‎2‎），‎ ‎∴DE‎=‎25‎‎4‎-‎5‎‎2‎=‎‎15‎‎4‎，‎ 设点P的横坐标为t，‎ 则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），‎ ‎∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，‎ 由DE＝PF得：﹣t2+4t‎=‎‎15‎‎4‎，‎ 解得：t1‎=‎‎3‎‎2‎（不合题意舍去），t2‎=‎‎5‎‎2‎，‎ 当t‎=‎‎5‎‎2‎时，﹣t2+3t+4＝﹣（‎5‎‎2‎）2+3‎×‎5‎‎2‎+‎4‎=‎‎21‎‎4‎，‎ ‎∴点P的坐标为（‎5‎‎2‎，‎21‎‎4‎）；‎ ‎（3）存在，理由如下：‎ 如图2所示：‎ 由（2）得：PF∥DE，‎ ‎∴∠CED＝∠CFP，‎ 又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，‎ ‎∴∠PCF≠∠DCE，‎ ‎∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，‎ ‎∴PFCE‎=‎CFDE，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∵C（0，4）、E（‎3‎‎2‎，‎5‎‎2‎），‎ ‎∴CE‎=‎(‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎+(4-‎‎5‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎，‎ 由（2）得：DE‎=‎‎15‎‎4‎，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），‎ ‎∴CF‎=t‎2‎‎+[4-(-t+4)‎‎]‎‎2‎=‎‎2‎t，‎ ‎∴‎-t‎2‎+4t‎3‎‎2‎‎2‎‎=‎‎2‎t‎15‎‎4‎，‎ ‎∵t≠0，‎ ‎∴‎15‎‎4‎（﹣t+4）＝3，‎ 解得：t‎=‎‎16‎‎5‎，‎ 当t‎=‎‎16‎‎5‎时，﹣t2+3t+4＝﹣（‎16‎‎5‎）2+3‎×‎16‎‎5‎+‎4‎=‎‎84‎‎25‎，‎ ‎∴点P的坐标为：（‎16‎‎5‎，‎84‎‎25‎）．‎ 第23页（共23页）‎