中考复习中点及中心对称类全等问题 无答案 2页

中点及中心对称类全等问题 中考要求 内容 基本要求 略高要求 较高要求 全等三角形 了解全等三角形的概念，了解相似三角形和全等三角形之间的关系 掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用三角形全等的性质和判定解决简单问题 会利用全等三角形的知识解释或证明经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系 例题精讲 三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 ‎ 三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 ‎ 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)‎ 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．‎ 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．‎ 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．‎ 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)‎ 见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．‎ 【例1】 如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，且平分，求证：‎ 【例2】 在四边形中，设,分别为,的中点，求证，当且仅当时等号成立．‎ 【例3】 在梯形中，，，，，，是中点，试判断与的位置关系，并写出推理过程．‎ 【例4】 如图所示，在的边上取两点、，使，连接、，求证：．‎ 【例5】 以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，.连接，、分别是、的中点．探究：与的位置关系及数量关系．‎ ‎⑴如图① 当为直角三角形时，与的位置关系是 ；线段与的数量关系是 ；‎ ‎⑵将图①中的等腰绕点沿逆时针方向旋转()后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．‎ 【例6】 在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问题：如图1，已知，，，分别以为边向外作和，且，，，连接交于点，探究线段与的数量关系。‎ 小慧同学的思路是：过点作于，构造全等三角形，通过推理使问题得解 小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，，‎ 小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。‎ 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：‎ ‎（1）写出原问题中与的数量关系 ‎（2）如图2，若，，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；‎ ‎（3）如图3，若 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明。‎ 【例1】 已知：在中，，在中，，连结，取的中点，连结和．‎ ‎⑴ 若点在边上，点在边上且与点不重合，如图①，探索、的关系并给予证明；‎ ‎⑵ 如果将图①中的绕点逆时针旋转小于的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．‎ ‎【巩固】已知：如图，在中，，在中，，且在边上，连结，取的中点，连结和．将等腰直角三角形绕点按逆时针方向旋转，结论：为等腰直角三角形，成立吗?‎ ‎【巩固】如图，在中，，在中，，且，连结，取的中点，连结和．结论：为等腰直角三角形还成立吗?‎ ‎【巩固】如图，在中，，在中，，且在线段上，连结，取 的中点，连结和．证明：．‎ ‎【巩固】如图，在中，，在中，，且，连结，取的中点，连结和．结论成立吗?‎ ‎【巩固】如图，和都是等腰直角三角形，点为的中点，求证：．‎ 【例2】 已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接，．‎ ‎⑴求证：；‎ ‎⑵将图①中绕点逆时针旋转，如图②所示，取中点，连接，．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎⑶将图①中绕点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问⑴中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）‎ 【例3】 问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．‎ 小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．‎ 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：‎ ‎（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；‎ ‎（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．‎ ‎（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．‎ 课后作业 1. 如图，是等腰直角三角形，，点，分别是边和的中点，点在射线上，且，点在射线上，且，求证：．‎ 2. 如图，在中，，在中，，且在线段上，连结，取的中点，连结和，结论成立吗?‎