广州市天河区中考数学一模 27页

‎2016年广东省广州市天河区中考数学一模 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．‎ ‎2．（3分）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）下面角的图示中，能与30°角互补的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均分都是85分，方差分别是S甲2=3.8，S乙2=2.3，S丙2=6.2，S丁2=5.2，则成绩最稳定的是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎5．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．x4+x4=2x8 B．（x2）3=x5 C．（x﹣y）2=x2﹣y2 D．x3•x=x4‎ ‎6．（3分）如图是由8个小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（3分）一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎8．（3分）下列三个命题中，是真命题的有（　　）‎ ‎①对角线相等的四边形是矩形；‎ ‎②三个角是直角的四边形是矩形；‎ ‎③有一个角是直角的平行四边形是矩形．‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎9．（3分）已知圆的半径是2，则该圆的内接正三角形的面积是（　　）‎ A．9 B．9 C．6 D．6‎ ‎10．（3分）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　）‎ A．8 B．20 C．8或20 D．10‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11．（3分）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=　　°．‎ ‎12．（3分）某校有数学教师25名，将他们的年龄分成3组，在38﹣45岁组内有8名教师，那么这个年龄组的频率是　　．‎ ‎13．（3分）因式分解4m2﹣n2=　　．‎ ‎14．（3分）一条直线经过点（2，﹣1），且与直线y=﹣3x+1平行，则这条直线的解析式为　　．‎ ‎15．（3分）如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则tan∠BAC=　　．‎ ‎16．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（9分）解不等式组：．‎ ‎18．（9分）在△ABC 中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠CAD．‎ ‎19．（10分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a是小于3的正整数．‎ ‎20．（10分）中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注，为此媒体记者随机调查了某校若干名学生上学带手机的目的，分为四种类型：A接听电话；B收发短信；C查阅资料；D游戏聊天．并将调查结果绘制成图1和图2的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）此次抽样调查中，共调查了　　名学生；‎ ‎（2）将图1、图2补充完整；‎ ‎（3）现有4名学生，其中A类两名，B类两名，从中任选2名学生，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）．‎ ‎21．（12分）在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？‎ ‎22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）将这个菱形沿x轴正方向平移，当顶点D落在反比例函数图象上时，求菱形平移的距离．‎ ‎23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．‎ ‎（1）利用尺规，以AB为直径作⊙O，交BC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）在（1）所作的图形中，求证：AC2=CD•CB．‎ ‎24．（14分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．‎ ‎（1）如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B=∠D．求证：四边形ABCD为等邻边四边形．‎ ‎（2）如图2，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB′的方向平移，得到△A′B′C′，连接AA′、BC′，若平移后的四边形ABC′A′是等邻边四边形，且满足BC′=AB，求平移的距离．‎ ‎（3）如图3，在等邻边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC和BD为四边形对角线，△BCD为等边三角形，试探究AC和AB的数量关系．‎ ‎25．（14分）如图，抛物线的顶点坐标为C（0，8），并且经过A（8，0），点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作直线y=8的垂线，垂足为点F，点D，E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD，PE，DE．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）猜想并探究：对于任意一点P，PD与PF的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；‎ ‎（3）求：①当△PDE的周长最小时的点P坐标；②使△PDE的面积为整数的点P的个数．‎ ‎　‎ ‎2016年广东省广州市天河区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（3分）（2015•大连）﹣2的绝对值是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．‎ ‎【考点】绝对值．菁优网版权所有 ‎【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．‎ ‎【解答】解：﹣2的绝对值是2，‎ 即|﹣2|=2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2015•常州）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】轴对称图形．菁优网版权所有 ‎【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；‎ B、是轴对称图形，故本选项正确；‎ C、不是轴对称图形，故本选项错误；‎ D、不是轴对称图形，故本选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2015•玉林）下面角的图示中，能与30°角互补的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余角和补角．菁优网版权所有 ‎【分析】先求出30°的补角为150°，再测量度数等于150°的角即可求解．‎ ‎【解答】解：30°角的补角=180°﹣30°=150°，是钝角，‎ 结合各图形，只有选项D是钝角，‎ 所以，能与30°角互补的是选项D．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了互为补角的定义，根据补角的定义求出30°角的补角是钝角是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2016•天河区一模）甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均分都是85分，方差分别是S甲2=3.8，S乙2=2.3，S丙2=6.2，S丁2=5.2，则成绩最稳定的是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【考点】方差．菁优网版权所有 ‎【分析】由题意易得s乙2＜s甲2＜s丁2＜S丙2，根据方差的意义（方差反映一组数据的波动大小，方差越小，波动越小，越稳定）即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵S甲2=3.8，S乙2=2.3，S丙2=6.2，S丁2=5.2，‎ ‎∴s乙2＜s甲2＜s丁2＜S丙2，‎ ‎∴成绩最稳定的是乙．‎ 故选B ‎【点评】本题考查了方差的意义，解答本题要掌握方差反映一组数据的波动大小，方差越小，波动越小，越稳定．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2015•宜昌）下列运算正确的是（　　）‎ A．x4+x4=2x8 B．（x2）3=x5 C．（x﹣y）2=x2﹣y2 D．x3•x=x4‎ ‎【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．菁优网版权所有 ‎【分析】A：根据合并同类项的方法判断即可．‎ B：根据幂的乘方的运算方法判断即可．‎ C：根据完全平方公式的计算方法判断即可．‎ D：根据同底数幂的乘法法则判断即可．‎ ‎【解答】解：∵x4+x4=2x4，‎ ‎∴选项A不正确；‎ ‎∵（x2）3=x6，‎ ‎∴选项B不正确；‎ ‎∵（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，‎ ‎∴选项C不正确；‎ ‎∵x3•x=x4，‎ ‎∴选项D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】（1）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．‎ ‎（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．‎ ‎（3）此题还考查了完全平方公式，以及合并同类项的方法，要熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2015•百色）如图是由8个小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有 ‎【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．‎ ‎【解答】解：从上边看第一层是三个小正方形，第二层有两个小正方形，第三层一个小正方形，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2015•常德）一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】一次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有 ‎【分析】根据一次函数y=﹣x+1中k=﹣＜0，b=1＞0，判断出函数图象经过的象限，即可判断出一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是哪个．‎ ‎【解答】解：∵一次函数y=﹣x+1中k=﹣＜0，b=1＞0，‎ ‎∴此函数的图象经过第一、二、四象限，‎ ‎∴一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是第三象限．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2016•天河区一模）下列三个命题中，是真命题的有（　　）‎ ‎①对角线相等的四边形是矩形；‎ ‎②三个角是直角的四边形是矩形；‎ ‎③有一个角是直角的平行四边形是矩形．‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎【考点】命题与定理；矩形的判定．菁优网版权所有 ‎【分析】利用矩形的判定定理对三个命题进行判断后即可确定正确的选项．‎ ‎【解答】解：①对角线相等的平行四边形四边形是矩形，故错误，是假命题；‎ ‎②三个角是直角的四边形是矩形，正确，是真命题；‎ ‎③有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，‎ 真命题有2个，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的几种判定方法，难度不大．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2016•天河区一模）已知圆的半径是2，则该圆的内接正三角形的面积是（　　）‎ A．9 B．9 C．6 D．6‎ ‎【考点】三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有 ‎【分析】首先根据题意画出图形，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB=90°，BD=CD，∠OBC=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OD，由勾股定理求出BD，得出BC，根据△ABC的面积=3S△OBC计算即可．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 连接OB、OC，作OD⊥BC于D，‎ 则∠ODB=90°，BD=CD，∠OBC=30°，‎ ‎∴OD=OB=，‎ ‎∴BD==3，‎ ‎∴BC=2BD=6，‎ ‎∴△ABC的面积=3S△OBC=3××BC×OD=3××6×=9，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握正三角形和圆的关系，并能进行推理计算是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2015•通辽）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　）‎ A．8 B．20 C．8或20 D．10‎ ‎【考点】菱形的性质；解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】边AB的长是方程y2﹣7y+10=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．‎ ‎【解答】解：∵解方程y2﹣7y+10=0得：y=2或5‎ ‎∵对角线长为6，2+2＜6，不能构成三角形；‎ ‎∴菱形的边长为5．‎ ‎∴菱形ABCD的周长为4×5=20．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11．（3分）（2016•天河区一模）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=　40　°．‎ ‎【考点】平行线的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．‎ ‎【解答】解：如图，，‎ ‎∵∠1=50°，‎ ‎∴∠3=∠1=50°，‎ ‎∴∠2=90°﹣50°=40°．‎ 故答案为：40‎ ‎【点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2016•天河区一模）某校有数学教师25名，将他们的年龄分成3组，在38﹣45岁组内有8名教师，那么这个年龄组的频率是　0.32　．‎ ‎【考点】频数与频率．菁优网版权所有 ‎【分析】根据题意可得总人数与该组的频数，由频数、频率的关系，可得这个小组的频率．‎ ‎【解答】解：根据题意，38﹣45岁组内的教师有8名，‎ 即频数为8，而总数为25；‎ 故这个小组的频率是=0.32；‎ 故答案为：0.32．‎ ‎【点评】本题考查频数、频率的关系，属于基础题，关键是掌握频率的求法：频率=．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2015•南通）因式分解4m2﹣n2=　（2m+n）（2m﹣n）　．‎ ‎【考点】因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】原式利用平方差公式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式=（2m+n）（2m﹣n）．‎ 故答案为：（2m+n）（2m﹣n）‎ ‎【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2016•天河区一模）一条直线经过点（2，﹣1），且与直线y=﹣3x+1平行，则这条直线的解析式为　y=﹣3x+5　．‎ ‎【考点】待定系数法求一次函数解析式．菁优网版权所有 ‎【分析】设所求直线解析式为y=kx+b，根据两条直线平行问题得到k=﹣3，然后把点（2，﹣1）代入y=﹣3x+b可求出b的值，从而可确定所求直线解析式．‎ ‎【解答】解：设所求直线解析式为y=kx+b（k≠0），‎ ‎∵直线y=kx+b与直线y=﹣3x+1平行，‎ ‎∴k=﹣3，‎ 把（2，﹣1）代入y=﹣3x+b得4+b=﹣1，解得b=5，‎ ‎∴所求直线解析式为y=﹣3x+5．‎ 故答案是：y=﹣3x+5．‎ ‎【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．也考查了待定系数法求函数解析式．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2016•天河区一模）如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则tan∠BAC=　　．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义；圆周角定理．菁优网版权所有 ‎【分析】求出OA、AC，通过余弦函数即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵A（0，1），B（0，﹣1），‎ ‎∴AB=2，OA=1，‎ ‎∴AC=2，OC=，‎ 在Rt△AOC中，cos∠BAC==，‎ ‎∴∠BAC=60°，‎ ‎∴tan∠BAC===，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了锐角三角函数以及垂径定理的应用，关键是求出AC、OA的长．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2015•陕西）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是　3　．‎ ‎【考点】三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．‎ ‎【解答】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，‎ ‎∴MN=AC，‎ ‎∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，‎ 当AC是直径时，最大，‎ 如图，‎ ‎∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，‎ ‎∴AD=6，‎ ‎∴MN=AD=3‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（9分）（2016•天河区一模）解不等式组：．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有 ‎【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵解不等式①得：x≥1，‎ 解不等式②得：x＜3，‎ ‎∴原不等式组解集为1≤x＜3．‎ ‎【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（9分）（2016•天河区一模）在△ABC 中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠CAD．‎ ‎【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ADC=∠BEC=90°，再根据∠C为公共角即可得∠CBE=∠CAD．‎ ‎【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，‎ ‎∴AD⊥BC，‎ 又∵BE⊥AC，‎ ‎∴∠ADC=∠BEC=90°，‎ ‎∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°‎ ‎∴∠CBE=∠CAD．‎ ‎【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）（2016•天河区一模）先化简，再求值：（1+）÷，其中a是小于3的正整数．‎ ‎【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先把括号内通分，再把分子分母因式分解，接着把除法运算化为乘法运算后约分得到原式=a+2，然后根据a是小于3的正整数和分式有意义的条件得到a=1，再把a的值代入计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=•‎ ‎=a+2，‎ ‎∵a是小于3的正整数，‎ ‎∴a=1或a=2，‎ ‎∵a﹣2≠0，‎ ‎∴a=1，‎ 当a=1时，原式=1+2=3．‎ ‎【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）（2015•赤峰）中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注，为此媒体记者随机调查了某校若干名学生上学带手机的目的，分为四种类型：A接听电话；B收发短信；C查阅资料；D游戏聊天．并将调查结果绘制成图1和图2的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）此次抽样调查中，共调查了　200　名学生；‎ ‎（2）将图1、图2补充完整；‎ ‎（3）现有4名学生，其中A类两名，B类两名，从中任选2名学生，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）．‎ ‎【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；数形结合．‎ ‎【分析】（1）用A类的人数除以该类所占的百分比即可得到总人数；‎ ‎（2）分别计算出B、D两类人数和C、D两类所占百分比，然后补全统计图；‎ ‎（3）先画树状图展示所有有12种等可能的结果数，再找出两名学生为同一类型的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）100÷50%=200，‎ 所以调查的总人数为200名；‎ 故答案为200；‎ ‎（2）B类人数=200×25%=50（名）；D类人数=200﹣100﹣50﹣40=10（名）；‎ C类所占百分比=×100%=20%，D类所占百分比=×100%=5%，‎ 如图：‎ ‎（3）画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中两名学生为同一类型的结果数为4，‎ 所以这两名学生为同一类型的概率==．‎ ‎【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了扇形统计图和条形统计图．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2015•十堰）在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？‎ ‎【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有 ‎【分析】首先设原来每天改造管道x米，则引进新设备前工程队每天改造管道（1+20%）x米，由题意得等量关系：原来改造360米管道所用时间+引进了新设备改造540米所用时间=27天，根据等量关系列出方程，再解即可．‎ ‎【解答】解：设原来每天改造管道x米，由题意得：‎ ‎+=27，‎ 解得：x=30，‎ 经检验：x=30是原分式方程的解，‎ 答：引进新设备前工程队每天改造管道30米．‎ ‎【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程不要忘记检验．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016•长清区一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）将这个菱形沿x轴正方向平移，当顶点D落在反比例函数图象上时，求菱形平移的距离．‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）根据点D的坐标为（4，3），即可得出DE的长以及DO的长，即可得出A点坐标，进而求出k的值；‎ ‎（2）根据D′F′的长度即可得出D′点的纵坐标，进而利用反比例函数的性质求出OF′的长，即可得出答案；‎ ‎【解答】解：（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，，‎ ‎∵点D的坐标为（4，3），‎ ‎∴FO=4，DF=3，‎ ‎∴DO=5，‎ ‎∴AD=5，‎ ‎∴A点坐标为：（4，8），‎ ‎∴xy=4×8=32，‎ ‎∴k=32；‎ ‎（2）∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y=（x＞0）的图象上，‎ ‎∴DF=3，D′F′=3，‎ ‎∴D′点的纵坐标为3，‎ ‎∴3=，‎ x=，‎ ‎∴OF′=，‎ ‎∴FF′=﹣4=，‎ ‎∴菱形ABCD向右平移的距离为：．‎ ‎【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用了菱形的性质，利用了平移的特点，根据已知得出A点坐标是解题关键．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）（2016•天河区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．‎ ‎（1）利用尺规，以AB为直径作⊙O，交BC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）在（1）所作的图形中，求证：AC2=CD•CB．‎ ‎【考点】作图—复杂作图；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【专题】作图题．‎ ‎【分析】（1）作AB的垂直平分线得到AB的中点O，然后以O为圆心，OA为半径作圆交BC于D；‎ ‎（2）先利用圆周角定理得到∠ADB=∠CAB，则可判断△CAD∽△CBA，然后利用相似比得到CA：CB=CD：CA，再根据比例的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）解：如图，‎ ‎（2）证明：连接AD，如图，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴∠ADB=∠CAB，‎ ‎∵∠C=∠C，‎ ‎∴△CAD∽△CBA，‎ ‎∴CA：CB=CD：CA，‎ ‎∴AC2=CD•CB．‎ ‎【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用相似比是解决（2）小题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（14分）（2016•天河区一模）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．‎ ‎（1）如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B=∠D．求证：四边形ABCD为等邻边四边形．‎ ‎（2）如图2，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB′的方向平移，得到△A′B′C′，连接AA′、BC′，若平移后的四边形ABC′A′是等邻边四边形，且满足BC′=AB，求平移的距离．‎ ‎（3）如图3，在等邻边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC和BD为四边形对角线，△BCD为等边三角形，试探究AC和AB的数量关系．‎ ‎【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）先判断△ABC≌△ADC，得到AB=AD，即可；‎ ‎（2）根据平移得特征，得到A′B′∥AB，∠A′B′C′=∠ABC=90°，C′B′=CB=1，用勾股定理列出方程求解即可；‎ ‎（3）先判断出△AED为等边三角形，再说明△BDE≌△CDA，最后用勾股定理即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠BAC=∠DAC，∠B=∠D，AC=AC，‎ ‎∴△ABC≌△ADC，‎ ‎∴AB=AD，‎ ‎∴四边形ABCD是等邻边四边形．‎ ‎（2）如图2，延长C′B′交AB于点D，‎ ‎∵△A′B′C′由△ABC平移得到，‎ ‎∴A′B′∥AB，∠A′B′C′=∠ABC=90°，C′B′=CB=1，‎ ‎∴B′D⊥AB，‎ ‎∵BB′平分∠ABC，‎ ‎∴∠B′BD=45°，‎ 即B′D=BD 设B′D=BD=x，‎ ‎∴C′D=1+x，‎ ‎∵BC′=AB=2，‎ ‎∴Rt△BDC′中，x2+（1+x）2=4，‎ 解得x1=，x2=（不合题意，舍去），‎ ‎∴等腰Rt△BB′D中，BB′=x=，‎ ‎∴平移的距离为，‎ ‎（3）AC=AB，‎ 理由：如图3，过A作AE⊥AB，且AE=AB，连接ED，EB，‎ ‎∵AE⊥AB，‎ ‎∴∠EAD+∠BAD=90°，‎ 又∵∠BAD+∠BCD=90°，△BCD为等边三角形，‎ ‎∴∠EAD=∠DCB=60°，‎ ‎∵AE=AB，AB=AD，‎ ‎∴AE=AD，‎ ‎∴△AED为等边三角形，‎ ‎∴AD=ED，∠EDA=∠BDC=60°‎ ‎∴∠BDE=∠CDA，‎ ‎∵ED=AD，BD=CD，‎ ‎∴△BDE≌△CDA，‎ ‎∴AC=BE ‎∵AE=BE，∠BAE=90°，‎ ‎∴BE=AB，‎ ‎∴AC=AB．‎ ‎【点评】此题是几何变换综合题，主要考查新定义等邻边四边形，理解这个新定义，平移得特征，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，新定义的理解是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．（14分）（2016•天河区一模）如图，抛物线的顶点坐标为C（0，8），并且经过A（8，0），点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作直线y=8的垂线，垂足为点F，点D，E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD，PE，DE．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）猜想并探究：对于任意一点P，PD与PF的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；‎ ‎（3）求：①当△PDE的周长最小时的点P坐标；②使△PDE的面积为整数的点P的个数．‎ ‎【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+8．将点A的坐标代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；‎ ‎（2）设P（a，﹣a2+‎ ‎8），则F（a，8），依据两点间的距离公式求得PD的长（用含a的式子表示），然后由点P和点F的坐标可求得PF的长（用含a的式子表示，于是可求得PD与PF的差；‎ ‎（3）由（2）可知PD=PF+2，故此三角形的周长=DE+PE+PF+2，由两点之间线段最短可知当P、E、F三点共线时，△PDE的周长最小，从而可求得点P的坐标；②如图1所示：过点P做PH⊥x轴，垂足为H．设P（a，﹣a2+8），依据S△DPE=S梯形PHOD﹣S△PHE﹣S△DOE列出阴影部分面积与a的函数关系，然后依据a的取值范围可求得△DPE面积的取值范围，从而可确定出点P的个数．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+8．‎ ‎∵经过点A（8，0），‎ ‎∴64a+8=0，解得a=﹣．‎ 抛物线的解析式为：y=﹣x2+8．‎ ‎（2）PD与PF的差是定值．‎ 理由如下：设P（a，﹣a2+8），则F（a，8），‎ ‎∵D（0，6），‎ ‎∴PD===a2+2，PF=8﹣（）=．‎ ‎∴PD﹣PF=2．‎ ‎（3）①当点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，‎ ‎∵PD﹣PF=2，‎ ‎∴PD=PF+2，‎ ‎∴PE+PD=PE+PF+2，‎ ‎∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，此时点P，E的横坐标都为4，‎ ‎∵将x=4代入y=﹣x2+8，得y=6，‎ ‎∴P（4，6），此时△PDE的周长最小．‎ ‎②如图1所示：过点P做PH⊥x轴，垂足为H．‎ 设P（a，﹣a2+8）‎ ‎∴PH=﹣a2+8，EH=a﹣4，OH=a S△DPE=S梯形PHOD﹣S△PHE﹣S△DOE=a（﹣a2+8+6）﹣（+8）（a﹣4）﹣×4×6=﹣a2+3a+4=﹣（a﹣6）2+13．‎ ‎∵点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），‎ ‎∴0≤a≤8，‎ ‎∴当a=6时，S△DPE取最大值为13．当a=0时，S△DPE取最小值为4．即4≤S△DPE≤13，其中，当S△DPE=12时，有两个点P．‎ ‎∴共有11个令S△DPE为整数的点．‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的函数值的范围、不规则图形的面积计算，列出△DPE的面积与a的函数关系式是解题的关键．‎ ‎　‎