中考数学3月模拟试卷二含解析 10页

‎2016年北京市朝阳区普通中学中考数学模拟试卷（二）（3月份）‎ 一.选择题 ‎1．下列运算中，正确的是（　　）‎ A．x3•x3=x6 B．3x2+2x3=5x5 C．（x2）3=x5 D．（x+y2）2=x2+y4‎ ‎2．若0＜a＜1，则点M（a﹣1，a）在第（　　）象限．‎ A．一 B．二 C．三 D．四 ‎3．某地连续10天的最高气温统计如下表：‎ 最高气温（℃）‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ 天数 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ 则这组数据的中位数和平均数分别为（　　）‎ A．24.5，24.6 B．25，26 C．26，25 D．24，26‎ ‎4．如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=（　　）‎ A．12 B．8 C．4 D．3‎ ‎5．抛物线y=2x2﹣3x+l的顶点坐标为（　　）‎ A．（﹣，） B．（，﹣） C．（，） D．（﹣，﹣）‎ ‎6．下面等式中，对于任意实数，使各式都有意义的实数a总能成立的个数为（　　）‎ ‎（1）|a﹣1|=a﹣1‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）（1﹣a）2=（a﹣1）2．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎7．在直角△ABC，∠C=90°，sinA=，BC=8，则AB的长为（　　）‎ A．10 B． C． D．12‎ ‎8．如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A10，P2A20，P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（　　）‎ A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S1=S2=S3‎ ‎　‎ 二.填空题 ‎9．﹣3的相反数是　　　　　　；的绝对值是　　　　　　．‎ ‎10．不等式组的解集是　　　　　　．‎ ‎11．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点E为AB的中点，以E为圆心，1为半径作圆，分别交AD，BC于M，N两点，与DC切于点P，则图中阴影部分面积是　　　　　　．‎ ‎12．已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2，若一只小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是　　　　　　（结果保留根号）．‎ ‎　‎ 三.解答题.‎ ‎13．计算：°．‎ ‎14．解方程：‎ ‎15．如图，是某公园“六一”前新增设的一架滑梯，该滑梯高度AC=2cm，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4cm．‎ ‎（1）求滑梯AB的长．‎ ‎（2）若规定滑梯倾斜面（∠ABC）不超过45度属于安全范围，通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？‎ ‎16．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：‎ x（元）‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎…‎ y（件）‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎…‎ 若日销售量y是销售价x的一次函数．‎ ‎（1）求出日销售量y（件）是销售价x（元）的函数关系式；‎ ‎（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少元？‎ ‎17．在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长．‎ ‎18．如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°，得到△FEC ‎（1）猜想AE与BF有何关系，说明理由．‎ ‎（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积．‎ ‎（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？‎ ‎19．如图，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D．‎ ‎（1）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件　　　　　　（任写一个）；‎ ‎（2）增加条件后，请你说明⊙O与AC边相切的理由．‎ ‎20．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．‎ ‎（1）求圆心C的坐标．‎ ‎（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数的图象上，求抛物线的解析式．‎ ‎（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．‎ ‎（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年北京市朝阳区普通中学中考数学模拟试卷（二）（3月份）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.选择题 ‎1．下列运算中，正确的是（　　）‎ A．x3•x3=x6 B．3x2+2x3=5x5 C．（x2）3=x5 D．（x+y2）2=x2+y4‎ ‎【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】A、根据同底数幂的乘法法则计算；‎ B、不是同类项，不能合并；‎ C、根据幂的乘方法则计算；‎ D、根据完全平方公式计算．‎ ‎【解答】解：A、x3•x3=x6，此选项正确；‎ B、3x2+2x3=3x2+2x3，此选项错误；‎ C、（x2）3=x6，此选项错误；‎ D、（x+y2）2=x2+2xy4+y4，此选项错误．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．若0＜a＜1，则点M（a﹣1，a）在第（　　）象限．‎ A．一 B．二 C．三 D．四 ‎【考点】点的坐标．‎ ‎【分析】根据a的取值范围判断出点M的横坐标的正负情况，再根据各象限内点的坐标特征解答．‎ ‎【解答】解：∵0＜a＜1，‎ ‎∴﹣1＜a﹣1＜0，‎ ‎∴点M（a﹣1，a）第二象限．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．某地连续10天的最高气温统计如下表：‎ 最高气温（℃）‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ 天数 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ 则这组数据的中位数和平均数分别为（　　）‎ A．24.5，24.6 B．25，26 C．26，25 D．24，26‎ ‎【考点】中位数；算术平均数．‎ ‎【分析】①求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；‎ ‎②平均数是10天的气温总和除以10．‎ ‎【解答】解：①根据题意可知题目中数据共有10个，故中位数是按从小到大排列后第5和第6个数，是25℃和24℃，它们的平均数24.5℃，所以中位数是24.5．‎ ‎②这组数据的平均数（23×3+24×2+25×1+26×4）÷10=24.6．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=（　　）‎ A．12 B．8 C．4 D．3‎ ‎【考点】等边三角形的性质．‎ ‎【分析】过点P作平行四边形PGBD，EPHC，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可．‎ ‎【解答】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，‎ 则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，‎ 四边形PGBD，EPHC是平行四边形，‎ ‎∴PG=BD，PE=HC，‎ 又△ABC是等边三角形，‎ 又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，‎ ‎∴PF=PG=BD，PD=DH，‎ 又△ABC的周长为12，‎ ‎∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=×12=4，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．抛物线y=2x2﹣3x+l的顶点坐标为（　　）‎ A．（﹣，） B．（，﹣） C．（，） D．（﹣，﹣）‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】将抛物线一般式配方为顶点式，可求抛物线顶点坐标．‎ ‎【解答】解：配方得：y=2x2﹣3x+1=2（x﹣）2﹣，‎ ‎∴抛物线顶点坐标为（，﹣）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．下面等式中，对于任意实数，使各式都有意义的实数a总能成立的个数为（　　）‎ ‎（1）|a﹣1|=a﹣1‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）（1﹣a）2=（a﹣1）2．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】二次根式有意义的条件．‎ ‎【分析】根据绝对值的性质可得非负数的绝对值等于它本身，因此（1）中a≥1；根据二次根式有意义的条件可得=|a|对任意实数a都有意义，中必须a≥0；根据偶次幂的性质可得1﹣a）2=（a﹣1）2|，对任意实数a都有意义．‎ ‎【解答】解：（1）|a﹣1|=a﹣1，则a≥1；‎ ‎（2）=|a|，对任意实数a都有意义；‎ ‎（3）=a，则a≥0；‎ ‎（4）（1﹣a）2=（a﹣1）2|，对任意实数a都有意义；‎ 共2个，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．在直角△ABC，∠C=90°，sinA=，BC=8，则AB的长为（　　）‎ A．10 B． C． D．12‎ ‎【考点】解直角三角形．‎ ‎【分析】根据正弦的定义列式计算即可．‎ ‎【解答】解：∵，∠C=90°，sinA=，‎ ‎∴=，又BC=8，‎ ‎∴AB=10，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A10，P2A20，P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（　　）‎ A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S1=S2=S3‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义．‎ ‎【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系S=|k|即可判断．‎ ‎【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|，所以S1=S2=S3．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二.填空题 ‎9．﹣3的相反数是　3　；的绝对值是　2﹣　．‎ ‎【考点】实数的性质．‎ ‎【分析】直接利用相反数的定义以及绝对值的性质分别得出答案．‎ ‎【解答】解：﹣3的相反数是：3；‎ 的绝对值是：2﹣．‎ 故答案为：3，2﹣．‎ ‎　‎ ‎10．不等式组的解集是　﹣1＜x＜2．　．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组．‎ ‎【分析】分别求出①②的解集，再找到其公共部分即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得，x＜2，‎ 由②得，x＞﹣1，‎ 不等式组的解集为﹣1＜x＜2．‎ 故答案为﹣1＜x＜2．‎ ‎　‎ ‎11．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点E为AB的中点，以E为圆心，1为半径作圆，分别交AD，BC于M，N两点，与DC切于点P，则图中阴影部分面积是　　．‎ ‎【考点】正方形的性质；切线的性质；扇形面积的计算．‎ ‎【分析】根据题意得，阴影部分的面积=S正方形﹣S△AME﹣S△BNE﹣S扇形EMN，根据已知可证明Rt△MAE≌Rt△NBA，从而得到式子：阴影部分的面积=S正方形﹣2S△AME﹣S扇形EMN，分别求得各部分面积即可求得阴影部分的面积．‎ ‎【解答】解：∵AE=BE，∠A=∠B，EM=EN，‎ ‎∴Rt△MAE≌Rt△NBE，‎ 由勾股定理得，AM=BN==，‎ ‎∵AE：ME=1：2，‎ ‎∴∠AEM=∠BEN=60°，‎ ‎∴∠MEN=60°，‎ 则阴影部分的面积=S正方形﹣2S△AME﹣S扇形EMN=1﹣2×AM•AE﹣=．‎ ‎　‎ ‎12．已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2，若一只小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是　8　（结果保留根号）．‎ ‎【考点】平面展开-最短路径问题；圆锥的计算．‎ ‎【分析】由于圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可．‎ ‎【解答】解：圆锥的侧面展开图，如图所示：‎ ‎∵圆锥的底面周长=2π×2=4π，‎ 设侧面展开图的圆心角的度数为n．‎ ‎∴=4π，‎ 解得n=90，‎ ‎∴最短路程为： =8．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三.解答题.‎ ‎13．计算：°．‎ ‎【考点】实数的运算．‎ ‎【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ ‎【解答】解：原式=1+9+3﹣9×‎ ‎=1+9+3﹣3‎ ‎=10．‎ ‎　‎ ‎14．解方程：‎ ‎【考点】解分式方程；解一元二次方程-因式分解法．‎ ‎【分析】本题考查解分式方程的能力．因为x2﹣1=（x+1）（x﹣1），所以可得方程最简公分母为（x+1）（x﹣1）．再去分母整理为整式方程即可求解．结果需检验．‎ ‎【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），‎ 得6﹣3（x+1）=x2﹣1，‎ 整理得x2+3x﹣4=0，‎ 即（x+4）（x﹣1）=0，‎ 解得x1=﹣4，x2=1．‎ 经检验x=1是增根，应舍去，‎ ‎∴原方程的解为x=﹣4．‎ ‎　‎ ‎15．如图，是某公园“六一”前新增设的一架滑梯，该滑梯高度AC=2cm，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4cm．‎ ‎（1）求滑梯AB的长．‎ ‎（2）若规定滑梯倾斜面（∠ABC）不超过45度属于安全范围，通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；两点间的距离．‎ ‎【分析】（1）直接利用勾股定理得出AB的长，进而得出答案；‎ ‎（2）直接利用特殊角的三角函数值，再结合tanB==，得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得：在直角三角形ABC中，‎ AB===2（cm），‎ 答：滑梯AB的长为2cm；‎ ‎（2）因为：tanB==，tan45°=1，‎ 所以0°＜B＜45°，故符合要求．‎ ‎　‎ ‎16．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：‎ x（元）‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎…‎ y（件）‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎…‎ 若日销售量y是销售价x的一次函数．‎ ‎（1）求出日销售量y（件）是销售价x（元）的函数关系式；‎ ‎（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少元？‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）本题属于市场营销问题，销售利润=一件利润×销售件数，一件利润=销售价﹣成本，日销售量y是销售价x的一次函数，所获利润W为二次函数．‎ ‎（2）运用二次函数的性质，可求最大利润．‎ ‎【解答】解：（1）设此一次函数关系式为y=kx+b，‎ 则，‎ 解得k=﹣1，b=40‎ 故一次函数的关系式为y=﹣x+40．‎ ‎（2）设所获利润为W元，‎ 则W=（x﹣10）（40﹣x）=﹣x2+50x﹣400=﹣（x﹣25）2+225‎ 所以产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润为225元．‎ ‎　‎ ‎17．在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）由已知可得B（3，0），又C（0，﹣3），代入抛物线解析式可求b、c；‎ ‎（2）求抛物线顶点坐标，设对称轴与x轴交于D点，在直角三角形中用勾股定理可求AM的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），OC=|﹣3|=3，‎ ‎∴c=﹣3‎ 又∵OC=BO，‎ ‎∴BO=3，‎ ‎∴B（3，0）‎ ‎9+3b﹣3=0，6+3b=0，b=﹣2‎ ‎∴y=x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）∵对称轴x=，B（3，0），‎ ‎∴A点坐标为：（﹣1，0），‎ ‎∵顶点纵坐标y=﹣4，‎ ‎∴AM===2．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°，得到△FEC ‎（1）猜想AE与BF有何关系，说明理由．‎ ‎（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积．‎ ‎（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）由△ABC绕点C顺时针旋转180°可知：AC=CF，BC=CE，四边形ABFE为平行四边形，于是得到结论；‎ ‎（2）由于AC是△ABE的BE边上中线，于是得到S△ABE=2S△ABC=6，同理S△BEF=2S△CEF=6，即可得到结论；‎ ‎（3）要判断四边形ABFE为矩形，从对角线来看，要求AF=BE，又AF与BE互相平分，只需要AC=BC，而AB=AC，故△ABC为等边三角形，∠ACB=60°．‎ ‎【解答】解：（1）AE∥BF，AE=BF．‎ 理由是：∵△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，‎ ‎∴△ABC≌△FEC，‎ ‎∴AB=FE（全等三角形的对应边相等），‎ ‎∠ABC=∠FEC（全等三角形的对应角相等），‎ ‎∴AB∥FE（内错角相等，两直线平行），‎ ‎∴四边形ABFE为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），‎ ‎∴AE∥BF，AE=BF（平行四边形的对边平行且相等）；‎ ‎（2）由（1）得四边形ABFE为平行四边形，‎ ‎∴AC=CF，BC=CE，‎ ‎∴根据等底同高得到S△ABC=S△ACE=S△BCF=S△CEF=3，‎ S四边形ABFE=4S△ABC=12cm2；‎ ‎（3）当∠ACB=60°时，四边形ABFE为矩形．‎ 理由是：AB=AC，∠ACB=60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∴BC=AC，∠BAC=60°，‎ ‎∴∠ACE=120°．‎ 又BC=CE，AC=CF，‎ ‎∴∠EAC=∠CEA=30°，‎ ‎∴∠BAE=90°，同理可证其余三个角也为直角．‎ ‎∴四边形ABFE为矩形．‎ ‎　‎ ‎19．如图，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D．‎ ‎（1）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件　　（任写一个）；‎ ‎（2）增加条件后，请你说明⊙O与AC边相切的理由．‎ ‎【考点】切线的判定；等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】（1）要使⊙O与AC边也相切，则应满足AO⊥BC，结合已知OB=OC，所以只要符合等腰三角形的三线合一即可；‎ ‎（2）根据所添加的条件，利用等腰三角形的三线合一即可证明．‎ ‎【解答】（1）解：AB=AC（或∠B=∠C或AO平分∠BAC或AO⊥BC）．‎ ‎（2）证明：过O作OE⊥AC于E，连OD；‎ ‎∵AB切⊙O于D，‎ ‎∴OD⊥AB．‎ ‎∵AB=AC，AO是BC边上中线，‎ ‎∴OA平分∠BAC，‎ 又∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，‎ ‎∴OE=OD，‎ ‎∴AC是⊙O的切线．‎ ‎　‎ ‎20．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．‎ ‎（1）求圆心C的坐标．‎ ‎（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数的图象上，求抛物线的解析式．‎ ‎（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．‎ ‎（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；‎ ‎（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；‎ ‎（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；‎ ‎（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．‎ ‎【解答】解：（1）∵⊙C经过原点O ‎∴AB为⊙C的直径 ‎∴C为AB的中点 过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=，OH=OA=1‎ ‎∴圆心C的坐标为（1，）．‎ ‎（2）∵抛物线过O、A两点，‎ ‎∴抛物线的对称轴为x=1，‎ ‎∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，‎ ‎∴顶点坐标为（1，﹣）．‎ 把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．‎ ‎（3）∵OA=2，OB=2，‎ ‎∴AB==4，即⊙C的半径r=2，‎ ‎∴D（3，），E（﹣1，），‎ 代入y=x2﹣x检验，知点D、E均在抛物线上．‎ ‎（4）∵AB为直径，‎ ‎∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，‎ ‎∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．‎