全国各地中考数学模拟题分类55动态综合型问题含答案 98页

动态综合型问题 一、选择题 1．（淮安市启明外国语学校 2010－2011 学年度第二学期初三数学期中试卷）如图，已知 A、 B 两点的坐标分别为(－2，0)、(0，1)，⊙C 的圆心坐标为(0，－1)，半径为 1．若 D 是⊙C 上的一个动点，射线 AD 与 y 轴交于点 E，则△ABE 面积的最大值是（ ） A．3 B．11 3 C．10 3 D．4 答案：B 2011 年黄冈中考调研六）(2011 年浙江省杭州市中考数学模拟 22)如 图，已知点 的坐标为（3，0），点 分别是某函数图象与 轴、 轴的交点，点 是此图象上的一动点．设点 的横坐标为 ， 的长 为 ，且 与 之间满足关系： （ ），则结论：① ；② ； ③ ；④ 中，正确结论的序号是（ ）A、①③④ B、 ①③ C、 ①②③ D、 ①②③④ 答案：C (浙江省杭州市瓜沥镇初级中学 2011 年中考数学模拟试卷) ( ) 答案：B ）如图，C 为⊙O 直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交⊙O 于 D、E 两点， 且 ∠ACD=45°，DF⊥AB 于点 F,EG⊥AB 于点 G,当点 C 在 AB 上运动时，设 AF= ， DE= ，下列中图象中，能表示 与 的函数关系式的图象大致是（ ） F A B， x y P P x PF d d x 35 5d x= − 0 5x≤ ≤ 2AF = 5BF = 5OA = 3OB = 2 4 x y y x 第 1 题图 A B C·D E y x x y O AF B P （第 3 题） 第 6 题图 A D F E C M B 答案：A 6.（2011 深圳市模四）如图，△ABC 和△DEF 是两个形状大小完全 相同的等腰直角三角形， ∠ACB＝∠DFE＝90°，点 C 落在 DE 的中点处，且 AB 的中点 M、 C、F 三点共线，现在让△ABC 在直线 MF 上向右作匀速移动， 而△DEF 不动，设两个三角形重合部分的面积为 y，向右水平 移动的距离为 x，则 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） 答案：C 二、填空题 1、（浙江省杭州市 2011 年中考数学模拟）如图在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F，O 分 别是 AB，CD，AD 的中点，以 O 为圆心，以 OE 为半径画弧 EF．P 是 上的一个动 点，连结 OP，并延长 OP 交线段 BC 于点 K，过点 P 作⊙O 的切线，分别交射线 AB 于 点 M，交直线 BC 于点 G． 若 ，则 BK﹦ ． 答案： ， 2 .(浙江省杭州市瓜沥镇初级中学 2011 年中考数学模拟试卷)如图，在平面直角坐标系中，矩形 3= BM BG 1 3 5 3 A O D B F K E ( 第 1 题 ) 图) G M C K C P AO B Q X y o x y B o x y A o x y D o x y C OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上，OA=10cm，OC=6cm。P 是线段 OA 上的动点，从点 O 出发，以 1cm/s 的速度沿 OA 方向作匀速运动，点 Q 在线段 AB 上。已知 A、Q 两点间 的距离是 O、P 两点间距离的 a 倍。若用（a，t）表示经过时间 t(s)时，△OCP、△PAQ 、 △CBQ 中有两个三角形全等.请写出（a，t）的所有可能情况 . 答案：（0，10），（1，4），（ ，5） 3．(2011 年江苏省东台市联考试卷）线段 OA 绕原点 O 逆时针旋转 到 的位置，若 A 点坐标为 ，则点 的坐标为____________________. 答案： 4（2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）如图，已知⊙P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线 上运动，当⊙P 与 轴相切时，圆心 P 的坐标为 . 答案： 或 三、解答题 1、（重庆一中初 2011 级 10—11 学年度下期 3 月月考）如图，以 Rt△ABO 的直角顶点 O 为 原点，OA 所在的直线为 x 轴，OB 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系．已知 OA=4， OB=3，一动点 P 从 O 出发沿 OA 方向，以每秒 1 个单位长度的速度向 A 点匀速运动，到达 A 点后立即以原速沿 AO 返回；点 Q 从 A 点出发沿 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 匀速运动．当 Q 到达 B 时，P、Q 两点同时停止运动,设 P、Q 运动的时间为 t 秒(t＞0)． (1) 试求出△APQ 的面积 S 与运动时间 t 之间的函数关系式； (2) 在某一时刻将△APQ 沿着 PQ 翻折，使得点 A 恰好落在 AB 边的点 D 处，如图①． 求出此时△APQ 的面积． (3) 在点 P 从 O 向 A 运动的过程中，在 y 轴上是否存在着点 E 使得四边形 PQBE 为等腰 梯形？若存在，求 出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． (4) 伴随着 P、Q 两点的运动，线段 PQ 的垂直平分线 DF 交 PQ 于点 D，交折线 QB－BO －OP 于点 F． 当 DF 经过原点 O 时，请直接写出 t 的值． 答案：解：(1)在 Rt△AOB 中，OA＝4，OB＝3 90° OA′ (1, 3) A′ ( 3,1)− 6 5 21 12y x= − x )2,6( )2,6(− 第 4 题 ∴AB＝ ①P 由 O 向 A 运动时，OP＝AQ＝t，AP＝4－t 过 Q 作 QH⊥AP 于 H 点，由 QH//BO 得 ∴ 即 (01 ∴美丽抛物线的顶点只有 B1B2. ①若 B1 为顶点，由 B1(1, )，则 d=1- = ②若 B2 为顶点，由 B2(2, )，则 d=1- = 综上所述，d 的值为 或 时，存在美丽抛物线。 22．（2011 天一实验学校 二模）如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，6），点 B 是 x 轴上 的一个动点，连结 AB，取 AB 的中点 M，将线段 MB 绕着点 B 按顺时针方向旋转 90o，得到 线段 BC.过点 B 作 x 轴的垂线交直线 AC 于点 D.设点 B 坐标是（t，0）. （1）当 t=4 时，求直线 AB 的解析式； （2）当 t>0 时，用含 t 的代数式表示点 C 的坐标及△ABC 的面积； （3）是否存在点 B,使△ABD 为等腰三角形?若存在，请写出所有符合条件的点 B 的坐标， 并写出其中一个的求解过程；若不存在，请说明理由. 12 7 2)1(12 7 −d 2)1(12 7 −d 2)1(12 7 −d 2 12 7 3 1 4 1 12 7 3 1 4 1 12 11 3 1 4 1 4 1 12 7 12 7 12 5 12 11     −− 1)12 112( 12 11 12 5 12 11 · y O A x 备用图 M y O C A B x D 解：（1）当 t=4 时，B(4,0) 设直线 AB 的解析式为 y= kx+b . 把 A(0,6)，B(4,0) 代入得： {b = 6 4k + b = 0 , 解得：{k = － b = 6 , ∴直线 AB 的解析式为：y=－3 2x+6. (2) 过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E 由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC. ∴ ， ∴BE= 1 2AO=3，CE= 1 2OB= t 2， ∴点 C 的坐标为(t+3，t 2). ∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S ABC= 1 2AB·BC= BC2. 在 Rt△ABC 中，BC2= CE2+ BE2 = 1 4t2+9， 即 S ABC= 1 4t2+9. (3)存在，理由如下： ①当 t≥0 时. Ⅰ.若 AD＝BD. 又∵BD∥y 轴 ∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD， ∴∠OAB=∠BAD. 又∵∠AOB=∠ABC， ∴△ABO∽△ACB， ∴ ， ∴t 6= 1 2， ∴t=3，即 B(3，0). Ⅱ.若 AB＝AD. 延长 AB 与 CE 交于点 G， 又∵BD∥CG ∴AG＝AC 过点 A 画 AH⊥CG 于 H． ∴CH＝HG＝1 2CG 由△AOB∽△GEB， 1 2 BE CE BC AO BO AB = = = 1 2 OB BC AO AB = = y O C A B x D E y O C A B D E H G x 得GE BE＝AO OB ， ∴GE= 18 t . 又∵HE＝AO＝６，CE＝t 2 ∴18 t ＋６＝1 2×（t 2＋18 t ） ∴t2-24t-36=0 解得：t=12±6 5. 因为 t≥0， 所以 t=12＋6 5，即 B(12＋6 5，0). Ⅲ.由已知条件可知，当 0≤t<12 时，∠ADB 为钝角，故 BD ≠ AB. 当 t≥12 时，BD≤CE S∴ 17 3 2 （图 4） y A C O ( )D N B x E G P ( )M I 答 案 ： ， ∴ ·r（OA +OB+AB）= r (r+x+10-x+r+10)= r (20+2r)= ∴S= = ) 37．（2011 年深圳二模）如图，已知抛物线ｙ＝ｘ －ａｘ＋ａ －4ａ－4 与ｘ轴相交于点 A 和点 B，与ｙ轴相交于点 D（0，8），直线 DC 平行于ｘ轴，交抛物线于另一点 C，动点 P 以每秒 2 个单位长度的速度从 C 点出发，沿 C→D 运动，同时，点 Q 以每秒 1 个单位长度 的速度从点 A 出发，沿 A→B 运动，连接 PQ、CB，设点 P 运动的时间为 t 秒． （１）求ａ的值； （２）当四边形 ODPQ 为矩形时，求这个矩形的面积； （３）当四边形 PQBC 的面积等于 14 时，求 t 的值． （４）当 t 为何值时，△PBQ 是等腰三角形？（直接写出答 案） 解：（１）∵抛物线ｙ＝ｘ －ａｘ＋ａ －4ａ－4 经过 点（0，8） ∴ａ －4ａ－4＝8 解得：ａ ＝6，ａ ＝－2（不合题意，舍去） ∴ａ的值为 6 （２）由（１）可得抛物线的解析式为 ｙ＝ｘ －6ｘ＋8 当ｙ＝0 时，ｘ －6ｘ＋8＝0 解得：ｘ ＝2，ｘ ＝4 ∴A 点坐标为（2，0），B 点坐标为（4，0） 当ｙ＝8 时， ｘ＝0 或ｘ＝6 ∴D 点的坐标为（0，8），C 点坐标为（6，8） DP＝6－2t，OQ＝2＋ｔ 当四边形 OQPD 为矩形时，DP＝OQ 2 2 2100 40 4 2x x a b ab− + = + − 2 2( ) (10 ) 100x r x r+ + − + = 2 210 10r r x x+ = − + 1 2 1 2 1 2 2 10r r+ 2 10r r+ 2 10x x− + 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2＋t＝6－2t，t＝ ，OQ＝2＋ ＝ S＝8× ＝ 即矩形 OQPD 的面积为 （３）四边形 PQBC 的面积为 ，当此四边形的面积为 14 时， （2－t＋2t）×8＝14 解得 t＝ （秒） 当 t＝ 时，四边形 PQBC 的面积为 14 （４）t＝ 时，PBQ 是等腰三角形． 38.广东省澄海实验学校模拟）已知：如图，抛物线 与 轴交于点 、点 ，与 直 线 相 交 于 点 、 点 ， 直 线 与 轴交于点 。 （1）求直线 的解析式； （2）求 的面积； （3）若点 在线段 上以每秒 1 个单位长 度的速度从 向 运动（不与 重合），同 时，点 在射线 上以每秒 2 个单位长度的速 度从 向 运动．设运动时间为 秒，请写出 的面积 与 的函数关系式，并求出点 运动多少时间时， 的面积最大，最大 面积是多少？ 解：（1）在 中，令 ， ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 又 点 在 上 …………………………………2 分 3 4 3 4 3 10 3 10 3 80 3 80 8)(2 1 ×+ PCBQ 2 1 2 3 2 3 5 6 23 34y x= − + x A B 3 4y x b= − + B C 3 4y x b= − + y E BC ABC△ M AB A B A B， N BC B C t MNB△ S t M MNB△ 23 34y x= − + 0y = 23 3 04 x∴− + = 1 2x∴ = 2 2x = − ( 2 0)A∴ − ， (2 0)B ，  B 3 4y x b= − + 30 2 b∴ = − + 3 2b = 第 38 题图 x y A B C E MD P N O 的解析式为 ………………………3 分 （2）过点 C 作 CD⊥AB 于点 D. 由 ，得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 ， ， ………………………………………6 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 （3）过点 作 于点 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 由 直 线 可 得 ： 在 中 ， ， ， 则 ， ∵BM=4－t ∴△MBN 的面积= ×BM×NP= (4－t)· t ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 此抛物线开口向下， 当 时， 当点 运动 2 秒时， 的面积达到最大，最大为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 39.（2011 湖北省崇阳县城关中学模拟）如图 1，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边∆ABC 边 AB、 BC 上的动点，点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s， （1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中，∠CMQ 变化吗？若变化，则 说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时∆PBQ 是直角三角形？ （3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP 交点为 M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； BC∴ 3 3 4 2y x= − + 23 34 3 3 4 2 y x y x  = − +  = − + 1 1 1 9 4 x y = − = 2 2 2 0 x y =  = 91 4C  ∴ −  ， (2 0)B ， 4AB∴ = 9 4CD = 1 9 942 4 2ABCS∴ = × × =△ N NP MB⊥ P EO MB⊥ NP EO∴ ∥ BNP BEO∴△ ∽△ BN NP BE EO ∴ = 3 3 4 2y x= − + 30 2E     ， ∴ BEO△ 2BO = 3 2EO = 5 2BE = 2 5 3 2 2 t NP∴ = 6 5NP t∴ = 1 2 1 2 6 5 23 12 (0 4)5 5S t t t= − + < < 23 12( 2)5 5S t= − − +  ∴ 2t = 12 5S =最大 ∴ M MNB△ 12 5 A P B Q C M 第 39 题 图 1 A P B QC M 第 39 题 图 2 第 38 题答案图 P N M C B AO y x 40.（2011 深圳市模四）如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=7，点 P 从 A 点开始沿 AB 边向点 B 点以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动. （1）如果点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ 的面积等于 4？ （2）如果点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，PQ 的长度等于 5？ 解：（1）设经过 x 秒钟，△PBQ 的面积等于 4， 则由题意得 AP=x，BP=5－x，BQ=2x, 由 BP·BQ=4，得 （5－x）·2x=4， 解得，x 1=1，x2=4． 当 x=4 时，BQ=2x=8＞7=BC，不符合题意。故 x=1 （2）由 BP +BQ =5 得（5－x） +（2x） =5 , 解得 x1=0（不合题意），x2=2． 所以 2 秒后，PQ 的长度等于 5。 41.（2011 深圳市模四）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A、B 的坐标 分别为（6，0），（6，8）。动点 M、N 分别从 O、B 同时出发，以每秒 1 个单位的速度运 动。其中，点 M 沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动。过点 N 作 NP⊥BC， 交 AC 于 P，连结 MP。已知动点运动了 x 秒。 （1）P 点的坐标为（ ， ）；（用含 x 的 代数式表示） （2）试求 ⊿MPA 面积的最大值，并求此时 x 的值。 （3）请你探索：当 x 为何值时，⊿MPA 是一个等腰三角形？ 你发现了几种情况？写出你的研究成果。 解：（１）（6－x , x ）; P Q B C A 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 3 4 (2) 设⊿MPA 的面积为 S ，在⊿MPA 中，MA=6﹣x ，MA 边上的高为 x ，其中， 0≤x≤6.∴S= （6—x）× x= (﹣x2+6x) = — (x﹣3)2+6。∴S 的最大值为 6, 此时 x =3. (3)延长ＮＰ交 x 轴于Ｑ，则有ＰＱ⊥ＯＡ ①若ＭＰ＝ＰＡ ∵ＰＱ⊥ＭＡ ∴ＭＱ＝ＱＡ＝x. ∴3x=6, ∴x=2; ②若ＭＰ＝ＭＡ，则ＭＱ＝6—2x，ＰＱ= x，ＰＭ＝ＭＡ＝6—x 在Ｒt⊿ＰＭＱ 中，∵ＰＭ2＝ＭＱ2＋ＰＱ2 ∴(6—x) 2=(6—2x) 2+ ( x) 2∴x= ③若ＰＡ＝ＡＭ，∵ＰＡ＝ x，ＡＭ＝6—x ∴ x=6—x ∴x= 综上所述，x=2，或 x= ，或 x= 。 42.（2011 年北京四中 33 模）在△ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M 是 AB 上的动点（不 与 A、B 重合），过 M 作 MN//BC 交 AC 于点 N，以 MN 为直径作⊙O，设 AM=x （1）用含 x 的代数式表示△AMN 的面积 S； （2）M 在 AB 上运动，当⊙O 与 BC 相切时（如图①），求 x 的值； （3）M 在 AB 上运动，当⊙O 与 BC 相交时（如图②），在⊙O 上取一点 P，使 PM//AC，连接 PN，PM 交 BC 于 E，PN 交 BC 于点 F，设梯形 MNFE 的面积为 y，求 y 关 于 x 的函数关系式。 答案：解：（1）∵MN//BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C ∴△AMN∽△ABC………………………………………… ∴ ，即 ，∴ ∵AM⊥AN，∴ …………… （2）设 BC 与⊙O 相切于点 D，连接 AO、OD， 则 AO=OD= MN 在 Rt△ABC 中， 又∵△AMN∽△ABC， 3 4 2 1 3 4 3 2 3 2 3 4 3 4 43 108 3 5 3 5 4 9 43 108 4 9 AC AN AB AM = 68 ANx = xAN 4 3= 2 8 3 4 3 2 1 2 1 xxxANAMS AMN =⋅⋅=⋅⋅=∆ 2 1 1022 =+= BCABBC O A M N B C 图① O A M N B C Ｐ E F 图② O A M N B C Ｐ E F ∴ ，即 ，∴ ，∴ 过 M 作 MQ⊥BC 于 Q，则 则△BMQ∽△ABC， ∴ ，∴ ∵ ∴ ………………………………………………………………………… （3）∵∠A=90°，PM//AC，∠MPN=90° ∴四边形 AMPN 是矩形………………… ∴PN=AM=x 又∵四边形 BFNM 是平行四边形， ∴FN=BM=8－x，PF=PN－FN=x－(8－x)=2x－8…（ 又 Rt△PEF∽Rt△ABC，∴ ， ∴ ∵ ……… 43、（2011 年北京四中 34 模）如图，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 AOCB 是梯形，AB∥OC，点 A 的坐标为（0，8），点 C 的坐标为（10，0），OB＝OC． （1）求点 B 的坐标； （2）点 P 从 C 点出发，沿线段 CO 以 5 个单位/秒的速度向终点 O 匀速运动，过点 P 作 PH⊥OB，垂足为 H，设△HBP 的面积为 S（S≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的 函数关系式（直接写出自变量 t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点 P 作 PM∥CB 交线段 AB 于点 M，过点 M 作 MR⊥OC， 垂足为 R，线段 MR 分别交直线 PH、OB 于点 E、G，点 F 为线段 PM 的中点，连接 EF， 当 t 为何值时， ？ BC MN AB AM = 108 MNx = xMN 4 5= xOD 8 5= xODMQ 8 5== AC QM BC BM = x x BM 24 25 6 8 510 = × = 824 25 =+=+= xxBMAMAB 49 192=x ABC PEF S S AB PF ∆ ∆=     2 2 2 )4(2 3682 1 8 82 −=××⋅     −=∆ xxS PEF PMNAMN SS ∆∆ = 24128 9)4(2 3 8 3 222 −+−=−−=−= ∆∆ xxxxSSS PEFPMNMNFE梯形 2 5 EG EF = O A M N B CＤQ y xo C A B y xo C A B 答案：（1）如图 1 过点 B 作 BN⊥OC 于点 N ∵OB=OC=10 BN=OA=8 ∴ON=AB= ∴B（6,8） （2）如图 2 ∵∠BON=∠POH ∠ONB=∠OHP=90° ∴⊿BON∽⊿POH ∴ ∵PC=5t ∴OP=10-5t ，OH=6-3t ，PH=8-4t … ∴BH=OB-OH=10-（6-3t）=3t+4 … ∴ （0≤t＜2） （3）如图 3 ，当点 G 在 E 上方时 过点 B 作 BN⊥OC 于点 N BN=8 ，CN=4 ，CB= =4 ∵BM∥PC，BC∥PM ∴BMPC 是平行四边形 图 2 ∴PM=BC=4 BM=PC=5t ∵OC=OB ∴∠OCB=∠OBC ∵PM∥BC ∴∠OPD=∠OCB ∠ODP=∠OBC ∴∠OPD=∠ODP ∵∠OPD+∠RMP=90°∠ODP+∠MPH=90° ∴∠RMP=∠MPH ∴EM=EP …… ∵点 F 为线段 PM 的中点 ∴EF⊥PM ∴⊿MEF∽⊿MRP ∴ ∵MF= , MR=8 ,RP=4 ∴ME=5 ,EF= ∵ ∴EG=2 MG=5-2=3 …… 622 =− BNOB PH BN OH ON PO BO == 1646)48)(43(2 1 2 ++−=−+= ttttS 22 CNBN + 5 5 RP EF MR MF MP ME == 522 1 =MP 5 2 5 EG EF = y xo C A B x y F D G E R M H No A B CP x y F E D G R M H No A B CP x y H No A B CP x y No A B C ∵∠MBO=∠BON ,∠BMG=∠BNO ∴⊿BMG∽⊿ONB ∴ ∴BM= =PC …… ∴5t= 得 t= …… 当点 G 在 E 的下方时 可得 MG=5+2=7 BM=5t= ∴t= …… ∴当 t= 或 t= 时， 44、（2011 年浙江杭州 27 模）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 BC 上的一点，且 CE ＝8，BC＝12，CD＝4 ，∠C＝30°，∠B＝60°.点 P 是线段 BC 边上一动点（包括 B、C 两 点），设 PB 的长是 x. （1）当 x 为何值时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为直角梯形. （2）当 x 为何值时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为平行四边形. （3）P 在 BC 上运动时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形能否为菱形. 答案： (1)分别过点 A、D 作 BC 的垂线，垂足分别为 F、G. EB C A D P GFB C A D EP BN MG ON BM = 4 9 4 9 20 9 4 21 20 21 20 21 20 9 2 5 EG EF = 3 ∵∠C=30°,且 CD＝ ∴DG＝2 ，CG＝6 ∴DG＝AF＝2 ∵∠B＝60° ∴BF＝2。 ∵BC＝12 ∴FG＝AD＝4…………………………………………………………… 显然，当 P 点与 F 或点 G 重合时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为直角梯形. 所以 x=2 或 x=6……………………………………………………… (2) ∵AD=BE=4，且 AD∥BE ∴当点 P 与 B 重合时， 即 x=0 时。点 P、A、D、E 为顶点的四边形为平行四边形………………………… 又∵当点 P 在 CE 中点时，EP＝AD＝4，且 EP∥AD， ∴x=8 时，点 P、A、D、E 为顶点的四边形为平行四边形……………………………… （3）由（1）（2）知，∵∠BAF＝30° ∴AB＝2BF＝4 ∴x=0 时，且 PA＝AD，即以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为菱形。………… ∵AB＝BE，且∠B＝60° ∴△ABE 为正三角形。 ∴AE＝AD＝4。 45、（2011 年浙江杭州 28 模）即当 x=8 时，即以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为菱形. 如图，在直角梯形 OABC 中，OA∥BC，A、B 两点的坐标 分别为 A（13，0），B（11，12）.动点 P、Q 分别从 O、B 两点出发，点 P 以每秒 2 个单位的速度沿 x 轴向终点 A 运 动，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 BC 方向运动；当点 P 停 止运动时，点 Q 也同时停止运动.线段 PQ 和 OB 相交于 点 D，过点 D 作 DE∥x 轴，交 AB 于点 E，射线 QE 交 x 轴 于点 F.设动点 P、Q 运动时间为 t（单位：秒）. （1）当 t 为何值时，四边形 PABQ 是平行四边形. 34 3 3 （2）△PQF 的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF 的面积 s 关于时间 t 的函数关系 式；若不变，请求出△PQF 的面积。 （3）随着 P、Q 两点的运动，△PQF 的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰△PQF? 答 案 ： （ 1 ） 设 要 四 边 形 PABQ 为 平 行 四 边 形 ， 则 ∴ . （2）不变. （1 分） ∴AF=2QB=2t，∴PF=OA=13 ∴S△PQF （2 分） （3）由(2)知， PF=OA=13 ①QP=FQ，作 QG⊥ 轴于 G，则 ②PQ=FP， ③FQ=FP， 综上，当 时，△PQF 是等腰三角形. （2011 年杭州市上城区一模）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长 为 2cm，点 A、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B 和 D . （1）求抛物线的解析式. （2）如果点 P 由点 A 出发沿 AB 边以 2cm/s 的速度向点 B 运动，同 时点 Q 由点 B 出发沿 BC 边以 1cm/s 的速度向点 C 运动，当其中一点到达终点时，另一点 也随之停止运动. 设 S=PQ2(cm2) ①试求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围； ②当 S 取 时，在抛物线上是否存在点 R，使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平 行四边形? 如果存在，求出 R 点的坐标；如果不存在，请说明理由. （3）在抛物线的对称轴上求点 M，使得 M 到 D、A 的距离之差最大，求出点 M 的坐标. 2 , , 13 2 ,OP t QB t PA t= = = − 13 2t t− = 13 3t = 1 2 QB QD QD OP DP DP = ∴ = 1 2 QB QE BD QDOB DE PA AF EF DO DP ∴ = = = = ∥ ∥ 1 13 12 782 = × × ＝ x 11 2 2 13 (11 )t t t t− − = + − − 3 2t∴ = 2 2(11 3 ) 12 13t∴ − + = 162 3t∴ = 或 ( ) 2 213 2 11 12 13t t+ − − + =   1t∴ = 3 162 12 3t = 或 或 或 2(4, )3 − 5 4 答案： 47. （2011 年杭州市模拟）（本题 10 分）如图， 中， 厘米， 厘米，点 为 的中点． （1）如果点 在线段 上以 厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动． ①若点 的运动速度与点 的运动速度相等，经过秒后， 与 是否全等，请说明理由； ②若点 的运动速度与点 的运动速度不相等，当点 的运 动速度为多少时，能够使 与 三点组成的三角形全等？ （2）若点 以②中的运动速度从点 出发，点 以原来的运动速度从点 同时出发， 都逆时针沿 三边运动，求经过多长时间点 与点 第一次在 的哪条边 上相遇？ 答案：解：（1）①经过 秒后， 与 全等 ∵ 秒， ∴ 厘米， ∵ 厘米，点 为 的中点， ∴ 厘米． 又∵ 厘米， ∴ 厘米， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． ②∵ ， ∴ ，又∵ ， ，则 ， ∴点 ，点 运动的时间 秒， ∴ 厘米/秒． （2）设经过 秒后点 与点 第一次相遇， 由题意，得 ， 解得 秒． ∴点 共运动了 厘米． 1t = 3 1 3BP CQ= = × = 10AB = D AB 5BD = 8PC BC BP BC= − =， 8 3 5PC = − = PC BD= AB AC= B C∠ = ∠ BPD CQP△ ≌△ P Qv v≠ BP CQ≠ BPD CQP△ ≌△ B C∠ = ∠ 4 5BP PC CQ BD= = = =， P Q 4 3 3 BPt = = 5 15 4 4 3 Q CQv t = = = x P Q 15 3 2 104 x x= + × 80 3x = P 80 3 803 × = ABC△ 10AB AC= = 8BC = D AB P BC 3 B C Q CA C A Q P 1 BPD△ CQP△ Q P Q BPD△ , ,C Q P Q C P B ABC△ P Q ABC△ 1 BPD△ CQP△ （第 46 题） 第 47 题 第 47 题 ∵ ， ∴点 、点 在 边上相遇，∴经过 秒点 与点 第一次在边 上相遇． 48. （2011 年浙江省杭州市模 2） 如图 1，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边∆ABC 边 AB、BC 上的动点，点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s， （1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中，∠CMQ 变化吗？若变化，则 说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时∆PBQ 是直角三角形？ （3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP 交点为 M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； 答案：（1） 不变。 又由条件得 AP=BQ，∴ ≌ (SAS) ∴ ∴ （2）设时间为 t，则 AB=BQ=t，PB=4-t 当 当 ∴当第 秒或第 2 秒时，∆PBQ 为直角三角形 （3） 不变。 80 2 28 24= × + P Q AB 80 3 P Q AB 060=∠CMQ 060=∠=∠= CAPBACAB ，等边三角形中， ABQ∆ CAP∆ ACPBAQ ∠=∠ 060=∠=∠+∠=∠+∠=∠ BACCAMBAQCAMACPCMQ 3 4,24,2,6090 00 ==−=∴=∠=∠ tttBQPBBPQB 得时， 2),4(22,2,6090 00 =−==∴=∠=∠ tttPQBQBBPQ 得时， 3 4 0120=∠CMQ A P B Q C M 第 48 题 图 1 A P B QC M 第 48 题 图 2 ∴ 又由条件得 BP=CQ，∴ ≌ (SAS) ∴ 又 ∴ 49. （2011 年浙江省杭州市模 2） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 矩 形 ABCD 的 边 AB 在 x 轴 上 ， 且 AB=3 ， BC= ，直线 y= 经过点 C，交 y 轴于点 G。 （1）点 C、D 的坐标分别是 C（ ），D（ ）； （2）求顶点在直线 y= 上且经过点 C、D 的抛物 线的解析式； （3）将（2）中的抛物线沿直线 y= 平移，平移后 的抛物线交 y 轴于点 F，顶点为点 E（顶点在 y 轴右侧）。 平移后是否存在这样的抛物线，使⊿EFG 为等腰三角形？ 若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说 明理由。 答案：（1） （ 2 ） 由 二 次 函 数 对 称 性 得 顶 点 横 坐 标 为 ， 代 入 一 次 函 数 ，得顶点坐标为（ ， ）， ∴设抛物线解析式为 ，把点 代入得， ∴解析式为 （3）设顶点 E 在直线上运动的横坐标为 m，则 ∴可设解析式为 060=∠=∠= CAPBACAB ，等边三角形中， 0120=∠=∠ ACQPBC PBC∆ ACQ∆ MQCBPC ∠=∠ MCQPCB ∠=∠ 0120=∠=∠ PBCCMQ 32 323 −x 323 −x 323 −x )324( ，C ），（ 321D 2 5 2 41 =+ 2 3322 53 =−×=y 2 5 2 3 2 3)2 5( 2 +−= xay ），（ 321D 3 32=a 2 3)2 5(3 32 2 +−= xy )0)(323( >− mmmE ， 323)(3 32 2 −+−= mmxy O xA B C y D G o 第 49 题 ①当 FG=EG 时，FG=EG=2m， 代入解析式得： ，得 m=0(舍去)， ， 此时所求的解析式为： ； ②当 GE=EF 时，FG=4m， 代入解析式得： ，得 m=0(舍去)， ， 此时所求的解析式为： ； ③当 FG=FE 时，不存在； B 组 一、选择题 1．（ 2011 年杭州三月月考）如图，C 为⊙O 直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交⊙O 于 D、E 两点， 且∠ACD=45°，DF⊥AB 于点 F,EG⊥AB 于点 G,当点 C 在 AB 上运动时， )322,0( −mF 3223233 32 2 −=−+ mmm 2 33 −=m 2 373)2 33(3 32 2 −++−= xy )324,0( −mF 3243233 32 2 −=−+ mmm 2 332 −=m 2 376)2 332(3 32 2 −++−= xy 第 2 题图 A D F E C M B 设 AF= ，DE= ，下列中图象中，能表示 与 的函数关系式的图象大致是（ ） 答案：A 2、（2011 深圳市模四）如图，△ABC 和△DEF 是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形， ∠ACB＝∠DFE＝90°，点 C 落在 DE 的中点处，且 AB 的中点 M、C、F 三点共线，现在 让△ABC 在直线 MF 上向右作匀速移动，而△DEF 不动，设两个三角形重合部分的面积 为 y，向右水平移动的距离为 x，则 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） 答案：C 二、填空题 1．（2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）如图，已知⊙P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线 上运动，当⊙P 与 轴相切时，圆心 P 的坐标为 . 答案： 或 三、解答题 1．（2011 天一实验学校 二模）如图，已知 中， 厘米， 厘米， 点 为 的中点． （1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动． ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， 与 是否全 等，请说明理由； ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 与 全等？ x y y x 21 12y x= − x )2,6( )2,6(− ABC△ 10AB AC= = 8BC = D AB BPD△ CQP△ BPD△ CQP△ 第 1 题 o x y B o x y A o x y D o x y C A Q C D B P y O M xn l 1 2 3 …1B 2B 3B nB 1A 2A 3A 4A nA 1nA + （2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发， 都逆时针沿 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 的哪条边上相 遇？ 答案： ⑴ ①全等。 理由：∵AB=AC,∴∠B=∠C,运动 1 秒时 BP=3,CP=5,CQ=3 ∵D 为 AB 中点，AB=10，∴BD=5. ∴BP=CQ,BD=CP,∴△BPD≌△CQP ②若 Q 与 P 的运动速度不等，则 BP≠CQ,若△BPD 与△CQP 全等，则 BP=CP=4 CQ=5,Q 的运动速度为 5× cm/s ⑵设经过 t 秒两点第一次相遇则 （ -3）t=20 t= 3t=80, 80÷28=2 ×28=24,所以在 AB 边上。 即经过 两点第一次相遇，相遇点在 AB 上。 2.（2011 天一实验学校 二模）已知：如图，直线 ： 经过点 M(0, )，一组抛 物线的顶点 （ 为正整数）依次是直线 上 的 点 ， 这 组 抛 物 线 与 轴 正 半 轴 的 交 点 依 次 是 ： A1 （ x1,0 ） , A2 （ x2,0 ） , A3 （x3,0）,……An+1（xn+1,0）（ 为正整数），设 （1）求 的值； （2）求经过点 的抛物线的解析式（用含 的代数式表示） （3）定义：若抛物线的顶点与 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线 就称为：“美丽抛物线”． 探究：当 的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请 你求出相应的 的值． l 1 3y x b= + ， 1 1 2 2 3 3(1 ) (2 ) (3 ) ( )n nB y B y B y B n y， ， ， ， ， ， ， ， n l x n 1 0 1x d d= < <（ ）． b 1 1 2A B A、 、 d x 0 1d d< <（ ） d ABC△ ABC△ 4 15 4 3 = 4 15 3 80 7 6 7 6 3 80 4 1 答案： ⑴∵M(0, 在直线 y= x+b 上， ∴b= ⑵由⑴得 y= x+ ,∵B1(1,y1)在直线 l 上，∴当 x=1 时，y1= ×1+ = ∴B1(1, ) 又∵A1(d,0) A2(2-d,0) 设 y=a(x-d)(x-2+d),把 B1(1, )代入得：a=- ∴过 A1、B1、A2 三点的抛物线解析式为 y=- (x-d)(x-2+d) (或写出顶点式为 y=- (x-1) + ) ⑶存在美丽抛物线。 由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必定是以抛物线为顶点为直角顶点的等腰 直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵01 ∴美丽抛物线的顶点只有 B1B2. ①若 B1 为顶点，由 B1(1, )，则 d=1- = ②若 B2 为顶点，由 B2(2, )，则 d=1- = 综上所述，d 的值为 或 时，存在美丽抛物线。 )4 1 3 1 4 1 3 1 4 1 3 1 4 1 12 7 12 7 12 7 2)1(12 7 −d 2)1(12 7 −d 2)1(12 7 −d 2 12 7 3 1 4 1 12 7 3 1 4 1 12 11 3 1 4 1 4 1 12 7 12 7 12 5 12 11     −− 1)12 112( 12 11 12 5 12 11 3．（2011 天一实验学校 二模）如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，6），点 B 是 x 轴上 的一个动点，连结 AB，取 AB 的中点 M，将线段 MB 绕着点 B 按顺时针方向旋转 90o， 得到线段 BC.过点 B 作 x 轴的垂线交直线 AC 于点 D.设点 B 坐标是（t，0）. （1）当 t=4 时，求直线 AB 的解析式； （2）当 t>0 时，用含 t 的代数式表示点 C 的坐标及△ABC 的面积； （3）是否存在点 B,使△ABD 为等腰三角形?若存在，请写出所有符合条件的点 B 的坐标， 并写出其中一个的求解过程；若不存在，请说明理由. 答案： 解：（1）当 t=4 时，B(4,0) 设直线 AB 的解析式为 y= kx+b . 把 A(0,6)，B(4,0) 代入得： {b = 6 4k + b = 0 , 解得：{k = － b = 6 , ∴直线 AB 的解析式为：y=－3 2x+6. (2) 过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E 由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC. ∴ ， ∴BE= 1 2AO=3，CE= 1 2OB= t 2， ∴点 C 的坐标为(t+3，t 2). ∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ ABC= 1 2AB·BC= BC2. 在 Rt△ABC 中，BC2= CE2+ BE2 = 1 4t2+9， 即 S△ ABC= 1 4t2+9. (3)存在，理由如下： ①当 t≥0 时. Ⅰ.若 AD＝BD. 又∵BD∥y 轴 ∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD， ∴∠OAB=∠BAD. 又∵∠AOB=∠ABC， ∴△ABO∽△ACB， ∴ ， 1 2 BE CE BC AO BO AB = = = 1 2 OB BC AO AB = = · y O A x 备用图 M y O C A B x D y O C A B x D E ∴t 6= 1 2， ∴t=3，即 B(3，0). Ⅱ.若 AB＝AD. 延长 AB 与 CE 交于点 G， 又∵BD∥CG ∴AG＝AC[from:www.xk100.com] 过点 A 画 AH⊥CG 于 H． ∴CH＝HG＝1 2CG 由△AOB∽△GEB， 得GE BE＝AO OB ， ∴GE= 18 t .[from:www.xk100.com] 又∵HE＝AO＝６，CE＝t 2 ∴18 t ＋６＝1 2×（t 2＋18 t ） ∴t2-24t-36=0 解得：t=12±6 5. 因为 t≥0， 所以 t=12＋6 5，即 B(12＋6 5，0). Ⅲ.由已知条件可知，当 0≤t<12 时，∠ADB 为钝角，故 BD ≠ AB. 当 t≥12 时，BD≤CE S∴ 17 3 2 xoy oy ox x x （图 4） y A C O ( )D N B x E G P ( )M I K O x y A B E F P 第 25 题 ∴PB=BF=6， ∴ =-12（不合） =2…………………………………………7 分 （3）设 AO=b，OB=a，⊙K 与 Rt△AOB 三边相切于 E、F、P， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ……………………………………………………9 分 另一解法： ，∴ S= ·r（OA +OB+AB）= r (r+x+10-x+r+10)= r (20+2r)= ∴S= = ) 又∵ = +25 ∵当 x=5 时，S 最大，即 AE=BF=5，∴OA= .…………10 18．（2011 年深圳二模）如图，已知抛物线ｙ＝ｘ －ａｘ＋ａ －4ａ－4 与ｘ轴相交于点 A 和点 B，与ｙ轴相交于点 D（0，8），直线 DC 平行于ｘ轴，交抛物线于另一点 C，动 点 P 以每秒 2 个单位长度的速度从 C 点出发，沿 C→D 运动，同时，点 Q 以每秒 1 个单 位长度的速度从点 A 出发，沿 A→B 运动，连接 PQ、CB， 设点 P 运动的时间为 t 秒． （１）求ａ的值； （２）当四边形 ODPQ 为矩形时，求这个矩形的面积； （３）当四边形 PQBC 的面积等于 14 时，求 t 的值． （４）当 t 为何值时，△PBQ 是等腰三角形？（直接写出答 案） 解：（１）∵抛物线ｙ＝ｘ －ａｘ＋ａ －4ａ－4 经过点（0，8） ∴ａ －4ａ－4＝8 2 2(4 ) (6 ) 100r r+ + + = r r 10 2( ) 10 10 22 a bOE r b x a b x a b + −= = ⇒ − + = + ⇒ − = − 2 2 2100 40 4 2x x a b ab− + = + − 1 2S ab= 2ab S= 2 2 210a b+ = 2100 40 4 100 4x x S− + = − 2 10S x x= − + 2 2( ) (10 ) 100x r x r+ + − + = 2 210 10r r x x+ = − + 1 2 1 2 1 2 2 10r r+ 2 10r r+ 2 10x x− + 2 10S x x= − + 2( 5)x− − 10 5 2 2 = 2 2 2 2 2 解得：ａ ＝6，ａ ＝－2（不合题意，舍去） ∴ａ的值为 6…………………………………………4 分 （２）由（１）可得抛物线的解析式为 ｙ＝ｘ －6ｘ＋8 当ｙ＝0 时，ｘ －6ｘ＋8＝0 解得：ｘ ＝2，ｘ ＝4 ∴A 点坐标为（2，0），B 点坐标为（4，0） 当ｙ＝8 时， ｘ＝0 或ｘ＝6 ∴D 点的坐标为（0，8），C 点坐标为（6，8） DP＝6－2t，OQ＝2＋ｔ 当四边形 OQPD 为矩形时，DP＝OQ 2＋t＝6－2t，t＝ ，OQ＝2＋ ＝ S＝8× ＝ 即矩形 OQPD 的面积为 …………………………………………8 分 （３）四边形 PQBC 的面积为 ，当此四边形的面积为 14 时， （2－t＋2t）×8＝14 解得 t＝ （秒） 当 t＝ 时，四边形 PQBC 的面积为 14…………………………………………12 分 （ ４ ） t ＝ 时 ， PBQ 是 等 腰 三 角 形．…………………………………………14 分 19、（2011 年广东省澄海实验学校模拟）已知：如 图，抛物线 与 轴交于点 、点 1 2 2 2 1 2 3 4 3 4 3 10 3 10 3 80 3 80 8)(2 1 ×+ PCBQ 2 1 2 3 2 3 5 6 23 34y x= − + x A ，与直线 相交于点 、点 ，直线 与 轴交于点 。 （1）求直线 的解析式； （2）求 的面积； （3）若点 在线段 上以每秒 1 个单位长度的速度从 向 运动（不与 重 合），同时，点 在射线 上以每秒 2 个单位长度的速度从 向 运动．设运动时间为 秒，请写出 的面积 与 的函数关系式，并求出点 运动多少时间时， 的面积最大，最大面积是多少？ 解：（1）在 中，令 ， ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 又 点 在 上 …………………………………2 分 的解析式为 ………………………3 分 （2）过点 C 作 CD⊥AB 于点 D. 由 ，得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 ， ， ………………………………………6 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 （3）过点 作 于点 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 由 直 线 可 得 ： 在 中 ， ， ， 则 ， ∵BM=4－t ∴△MBN 的面积= ×BM×NP= (4－t)· t ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 B 3 4y x b= − + B C 3 4y x b= − + y E BC ABC△ M AB A B A B， N BC B C t MNB△ S t M MNB△ 23 34y x= − + 0y = 23 3 04 x∴− + = 1 2x∴ = 2 2x = − ( 2 0)A∴ − ， (2 0)B ，  B 3 4y x b= − + 30 2 b∴ = − + 3 2b = BC∴ 3 3 4 2y x= − + 23 34 3 3 4 2 y x y x  = − +  = − + 1 1 1 9 4 x y = − = 2 2 2 0 x y =  = 91 4C  ∴ −  ， (2 0)B ， 4AB∴ = 9 4CD = 1 9 942 4 2ABCS∴ = × × =△ N NP MB⊥ P EO MB⊥ NP EO∴ ∥ BNP BEO∴△ ∽△ BN NP BE EO ∴ = 3 3 4 2y x= − + 30 2E     ， ∴ BEO△ 2BO = 3 2EO = 5 2BE = 2 5 3 2 2 t NP∴ = 6 5NP t∴ = 1 2 1 2 6 5 23 12 (0 4)5 5S t t t= − + < < x y A B C E MD P N O ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 此抛物线开口向下， 当 时， 当点 运动 2 秒时， 的面积达到最大，最大为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 20.（2011 湖北省崇阳县城关中学模拟）（本小题满分 10 分） 如图 1，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边∆ABC 边 AB、BC 上的动点，点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s， （1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中，∠CMQ 变化吗？若变化，则 说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时∆PBQ 是直角三角形？ （3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP 交点为 M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （1） 不变。 又由条件得 AP=BQ，∴ ≌ (SAS) ∴ ∴ （2）设时间为 t，则 AB=BQ=t，PB=4-t 当 当 23 12( 2)5 5S t= − − +  ∴ 2t = 12 5S =最大 ∴ M MNB△ 12 5 060=∠CMQ 060=∠=∠= CAPBACAB ，等边三角形中， ABQ∆ CAP∆ ACPBAQ ∠=∠ 060=∠=∠+∠=∠+∠=∠ BACCAMBAQCAMACPCMQ 3 4,24,2,6090 00 ==−=∴=∠=∠ tttBQPBBPQB 得时， 2),4(22,2,6090 00 =−==∴=∠=∠ tttPQBQBBPQ 得时， A P B Q C M 第 3 题图 1 A P B QC M 第 3 题图 2 …… 1′ …… 1′ …… 2′ …… 2′ P N M C B AO y x ∴当第 秒或第 2 秒时，∆PBQ 为直角三角形 （3） 不变。 ∴ 又由条件得 BP=CQ，∴ ≌ (SAS) ∴ 又 ∴ 21.（2011 深圳市模四）如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=7，点 P 从 A 点开始沿 AB 边向点 B 点以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动. （1）如果点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ 的面积等于 4？ （2）如果点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，PQ 的长度等于 5？ 解：（1）设经过 x 秒钟，△PBQ 的面积等于 4， 则由题意得 AP=x，BP=5－x，BQ=2x, 由 BP·BQ=4，得 （5－x）·2x=4， 解得，x 1=1，x2=4． 当 x=4 时，BQ=2x=8＞7=BC，不符合题意。故 x=1 （2）由 BP +BQ =5 得（5－x） +（2x） =5 , 解得 x1=0（不合题意），x2=2． 所以 2 秒后，PQ 的长度等于 5。 22.（2011 深圳市模四）（2011 深圳市模四）（9 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A、B 的坐标分别为（6，0），（6，8）。动点 M、N 分别从 O、B 同时 出发，以每秒 1 个单位的速度运动。其中，点 M 沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向 终点 C 运动。过点 N 作 NP⊥BC，交 AC 于 P，连结 MP。已知动点运动了 x 秒。 （1）P 点的坐标为（ ， ）；（用含 x 的代数式表示） （2）试求 ⊿MPA 面积的最大值，并求此时 x 的值。 （3）请你探索：当 x 为何值时，⊿MPA 是一个等腰三角形？ 你发现了几种情况？写出你的研究成果。 3 4 0120=∠CMQ 060=∠=∠= CAPBACAB ，等边三角形中， 0120=∠=∠ ACQPBC PBC∆ ACQ∆ MQCBPC ∠=∠ MCQPCB ∠=∠ 0120=∠=∠ PBCCMQ P Q B C A 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 …… 1′ …… 1′ …… 1′ 第 4 题图 解：（１）（6－x , x ）; (2)设⊿MPA 的面积为 S，在⊿MPA 中，MA=6﹣x，MA 边上的高为 x，其中， 0≤x≤6.∴S= （6—x）× x= (﹣x2+6x) = — (x﹣3)2+6。∴S 的最大值为 6, 此时 x =3. (3)延长ＮＰ交 x 轴于Ｑ，则有ＰＱ⊥ＯＡ ①若ＭＰ＝ＰＡ ∵ＰＱ⊥ＭＡ ∴ＭＱ＝ＱＡ＝x. ∴3x=6, ∴x=2; ②若ＭＰ＝ＭＡ，则ＭＱ＝6—2x，ＰＱ= x，ＰＭ＝ＭＡ＝6—x 在Ｒt⊿ＰＭＱ 中，∵ＰＭ2＝ＭＱ2＋ＰＱ2 ∴(6—x) 2=(6—2x) 2+ ( x) 2∴x= ③若ＰＡ＝ＡＭ，∵ＰＡ＝ x，ＡＭ＝6—x ∴ x=6—x ∴x= 综上所述，x=2，或 x= ，或 x= 。 23、（2011 年北京四中 33 模）在△ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M 是 AB 上的动点 （不与 A、B 重合），过 M 作 MN//BC 交 AC 于点 N，以 MN 为直径作⊙O，设 AM=x （1）用含 x 的代数式表示△AMN 的面积 S； （2）M 在 AB 上运动，当⊙O 与 BC 相切时（如图①），求 x 的值； （3）M 在 AB 上运动，当⊙O 与 BC 相交时（如图②），在⊙O 上取一点 P，使 PM//AC， 连接 PN，PM 交 BC 于 E，PN 交 BC 于点 F，设梯形 MNFE 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数 关系式。 3 4 3 4 2 1 3 4 3 2 3 2 3 4 3 4 43 108 3 5 3 5 4 9 43 108 4 9 第 5 题图 O A M N B C 图① O A M N B C Ｐ E F 图② O A M N B C Ｐ E F 答案：解：（1）∵MN//BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C ∴△AMN∽△ABC…………………（1 分） ∴ ，即 ，∴ ∵AM⊥AN，∴ ………………… （2）设 BC 与⊙O 相切于点 D，连接 AO、OD， 则 AO=OD= MN 在 Rt△ABC 中， 又∵△AMN∽△ABC， ∴ ，即 ，∴ ，∴ ……………………… 过 M 作 MQ⊥BC 于 Q，则 则△BMQ∽△ABC， ∴ ，∴ ∵ ∴ ………………………………………………………………………… （3）∵∠A=90°，PM//AC，∠MPN=90° ∴四边形 AMPN 是矩形………………… ∴PN=AM=x 又∵四边形 BFNM 是平行四边形， ∴FN=BM=8－x，PF=PN－FN=x－(8－x)=2x－8…（ 又 Rt△PEF∽Rt△ABC，∴ ， ∴ ∵ ……… AC AN AB AM = 68 ANx = xAN 4 3= 2 8 3 4 3 2 1 2 1 xxxANAMS AMN =⋅⋅=⋅⋅=∆ 2 1 1022 =+= BCABBC BC MN AB AM = 108 MNx = xMN 4 5= xOD 8 5= xODMQ 8 5== AC QM BC BM = x x BM 24 25 6 8 510 = × = 824 25 =+=+= xxBMAMAB 49 192=x ABC PEF S S AB PF ∆ ∆=     2 2 2 )4(2 3682 1 8 82 −=××⋅     −=∆ xxS PEF PMNAMN SS ∆∆ = 24128 9)4(2 3 8 3 222 −+−=−−=−= ∆∆ xxxxSSS PEFPMNMNFE梯形 O A M N B CＤQ 24、（2011 年北京四中 34 模）如图，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 AOCB 是梯形，AB∥OC，点 A 的坐标为（0，8），点 C 的坐标为（10，0），OB＝OC． （1）求点 B 的坐标； （2）点 P 从 C 点出发，沿线段 CO 以 5 个单位/秒的速度向终点 O 匀速运动，过点 P 作 PH⊥OB，垂足为 H，设△HBP 的面积为 S（S≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的 函数关系式（直接写出自变量 t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点 P 作 PM∥CB 交线段 AB 于点 M，过点 M 作 MR⊥OC， 垂足为 R，线段 MR 分别交直线 PH、OB 于点 E、G，点 F 为线段 PM 的中点，连接 EF， 当 t 为何值时， ？ 答案：（1）如图 1 过点 B 作 BN⊥OC 于点 N ∵OB=OC=10 BN=OA=8 ∴ON=AB= ∴B（6,8） （2）如图 2 ∵∠BON=∠POH ∠ONB=∠OHP=90° ∴⊿BON∽⊿POH ∴ ∵PC=5t ∴OP=10-5t ，OH=6-3t ， PH=8-4t … ∴BH=OB-OH=10- （ 6-3t ） =3t+4 … ∴ …（0≤t＜2）… （3）如图 3 ，当点 G 在 E 上方时 过点 B 作 BN⊥OC 于点 N BN=8 ，CN=4 ，CB= =4 ∵BM∥PC，BC∥PM ∴BMPC 是平行四边形 图 2 ∴PM=BC=4 BM=PC=5t ∵OC=OB ∴∠OCB=∠OBC 2 5 EG EF = 622 =− BNOB PH BN OH ON PO BO == 1646)48)(43(2 1 2 ++−=−+= ttttS 22 CNBN + 5 5 y xo C A B y xo C A B y xo C A B x y F D G E R M H No A B CP x y H No A B CP x y No A B C ∵PM∥BC ∴∠OPD=∠OCB ∠ODP=∠OBC ∴∠OPD=∠ODP ∵∠OPD+∠RMP=90°∠ODP+∠MPH=90° ∴∠RMP=∠MPH ∴EM=EP …… ∵点 F 为线段 PM 的中点 ∴EF⊥PM ∴⊿MEF∽⊿MRP ∴ ∵MF= , MR=8 ,RP=4 ∴ME=5 ,EF= ∵ ∴EG=2 MG=5-2=3 …… ∵∠MBO=∠BON ,∠BMG=∠BNO ∴⊿BMG∽⊿ONB ∴ ∴BM= =PC …… ∴5t= 得 t= …… 当点 G 在 E 的下方时 可得 MG=5+2=7 BM=5t= ∴t= …… ∴当 t= 或 t= 时， 25、（2011 年浙江杭州 27 模）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 BC 上的一点， 且 CE＝8，BC＝12，CD＝4 ，∠C＝30°，∠B＝60°。点 P 是线段 BC 边上一动点（包括 B、C 两点），设 PB 的长是 x。 （1）当 x 为何值时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为直角梯形。 （2）当 x 为何值时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为平行四边形。 （3）P 在 BC 上运动时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形能否为菱形。 RP EF MR MF MP ME == 522 1 =MP 5 2 5 EG EF = BN MG ON BM = 4 9 4 9 20 9 4 21 20 21 20 21 20 9 2 5 EG EF = 3 x y F E D G R M H No A B CP 答案： (1)分别过点 A、D 作 BC 的垂线，垂足分别为 F、G。 ∵∠C=30°,且 CD＝ ∴DG＝2 ，CG＝6 ∴DG＝AF＝2 ∵∠B＝60° ∴BF＝2。 ∵BC＝12 ∴FG＝AD＝4…………………………………………………………… 显然，当 P 点与 F 或点 G 重合时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为直角梯形。 所以 x=2 或 x=6……………………………………………………… (2) ∵AD=BE=4，且 AD∥BE ∴当点 P 与 B 重合时， 即 x=0 时。点 P、A、D、E 为顶点的四边形为平行四边形………………………… 又∵当点 P 在 CE 中点时，EP＝AD＝4，且 EP∥AD， ∴x=8 时，点 P、A、D、E 为顶点的四边形为平行四边形……………………………… （3）由（1）（2）知，∵∠BAF＝30° ∴AB＝2BF＝4 _E_B _C _A _D _P _G_F_B _C _A _D _E_P 34 3 3 ∴x=0 时，且 PA＝AD，即以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为菱形。………… ∵AB＝BE，且∠B＝60° ∴△ABE 为正三角形。 ∴AE＝AD＝4。 26、（2011 年浙江杭州 28 模）即当 x=8 时，即以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为菱形。 如图，在直角梯形 OABC 中，OA∥BC，A、B 两点的坐标 分别为 A（13，0），B（11，12）.动点 P、Q 分别从 O、B 两点出发，点 P 以每秒 2 个单位的速度沿 x 轴向终点 A 运 动，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 BC 方向运动；当点 P 停 止运动时，点 Q 也同时停止运动.线段 PQ 和 OB 相交于 点 D，过点 D 作 DE∥x 轴，交 AB 于点 E，射线 QE 交 x 轴 于点 F.设动点 P、Q 运动时间为 t（单位：秒）. （1）当 t 为何值时，四边形 PABQ 是平行四边形. （2）△PQF 的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF 的面积 s 关于时间 t 的函数关系 式；若不变，请求出△PQF 的面积。 （3）随着 P、Q 两点的运动，△PQF 的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰△PQF? 答案：（1）设 要四边形 PABQ 为平行四边形，则 ∴ . （2）不变. （1 分） ∴AF=2QB=2t，∴PF=OA=13 ∴S△PQF （2 分） （3）由(2)知， PF=OA=13 ①QP=FQ，作 QG⊥ 轴于 G，则 2 , , 13 2 ,OP t QB t PA t= = = − 13 2t t− = 13 3t = 1 2 QB QD QD OP DP DP = ∴ = 1 2 QB QE BD QDOB DE PA AF EF DO DP ∴ = = = = ∥ ∥ 1 13 12 782 = × × ＝ x 11 2 2 13 (11 )t t t t− − = + − − 3 2t∴ = ②PQ=FP， ③FQ=FP， 综上，当 时，△PQF 是等腰三角形. 27．（2011 年杭州市上城区一模）（本小题满分 12 分） 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2cm，点 A、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B 和 D . （1）求抛物线的解析式. （2）如果点 P 由点 A 出发沿 AB 边以 2cm/s 的速度向点 B 运动，同 时点 Q 由点 B 出发沿 BC 边以 1cm/s 的速度向点 C 运动，当其中一点到达终点时，另一点 也随之停止运动. 设 S=PQ2(cm2) ①试求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围； ②当 S 取 时，在抛物线上是否存在点 R，使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平 行四边形? 如果存在，求出 R 点的坐标；如果不存在，请说明理由. （3）在抛物线的对称轴上求点 M，使得 M 到 D、A 的距离之差最大，求出点 M 的坐标. 答案：解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，— ）, 则 解得 ∴抛物线的解析式为: (2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2 , 即 S=5t2－8t+4 (0≤t≤1) …… 2 分（解析式和 t 取值范围各 1 分） ②假设存在点 R, 可构成以 P、B、R、Q 为顶点的平行四边形. ∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1), ∴当 S= 时, 5t2－8t+4= ,得 20t2－32t+11=0, 解得 t = ，t = （不合题意，舍去） …… 2 分 此时点 P 的坐标为（1，-2），Q 点的坐标为（2，— ） 若 R 点存在，分情况讨论: 【A】假设 R 在 BQ 的右边, 这时 QR PB, 则，R 的横坐标为 3, R 的纵坐标为— 2 2(11 3 ) 12 13t∴ − + = 162 3t∴ = 或 ( ) 2 213 2 11 12 13t t+ − − + =   1t∴ = 3 162 12 3t = 或 或 或 2(4, )3 − 5 4 3 2 23 1 6 1 2 −−= xxy 4 5 4 5 2 1 10 11 2 3 2 3 （第 24 题） 即 R (3, － )，代入 , 左右两边相等， ∴这时存在 R(3, － )满足题意. …… 1 分 【B】假设 R 在 BQ 的左边, 这时 PR QB, 则：R 的横坐标为 1, 纵坐标为－ 即(1, － ) 代入 , 左右两边不相等, R 不在抛物线上. …… 1 分 【C】假设 R 在 PB 的下方, 这时 PR QB, 则：R(1，— )代入, 左右不相等, ∴R 不在抛物线上. …… 1 分 综上所述, 存点一点 R(3, － )满足题意. （3）∵A 关于抛物线的对称轴的对称点为 B,过 B、D 的直线与抛物线的对称轴的交点为所 求 M，M 的坐标为（1，— ）…… 2 分 28. （2011 年杭州市模拟）（本题 10 分）如图， 中， 厘米， 厘米，点 为 的中点． （1）如果点 在线段 上以 厘米/秒的速度由 点向 点 运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动． ①若点 的运动速度与点 的运动速度相等，经过 秒后， 与 是否全等，请说明理由； ②若点 的运动速度与点 的运动速度不相等，当点 的运 动速度为多少时，能够使 与 三点组成的三角形全等？ （2）若点 以②中的运动速度从点 出发，点 以原来的运动速度从点 同时出发， 都逆时针沿 三边运动，求经过多长时间点 与点 第一次在 的哪条边 上相遇？ 答案：解：（1）①经过 秒后， 与 全等 ∵ 秒， ∴ 厘米， ∵ 厘米，点 为 的中点， ∴ 厘米． 又∵ 厘米， ∴ 厘米， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． ②∵ ， ∴ ，又∵ ， 1t = 3 1 3BP CQ= = × = 10AB = D AB 5BD = 8PC BC BP BC= − =， 8 3 5PC = − = PC BD= AB AC= B C∠ = ∠ BPD CQP△ ≌△ P Qv v≠ BP CQ≠ BPD CQP△ ≌△ 2 3 23 1 6 1 2 −−= xxy 2 3 2 3 2 3 23 1 6 1 2 −−= xxy 2 5 23 1 6 1 2 −−= xxy 2 3 3 8 ABC△ 10AB AC= = 8BC = D AB P BC 3 B C Q CA C A Q P 1 BPD△ CQP△ Q P Q BPD△ , ,C Q P Q C P B ABC△ P Q ABC△ 1 BPD△ CQP△ 第 22 题 ，则 ， ∴点 ，点 运动的时间 秒， ∴ 厘米/秒． （2）设经过 秒后点 与点 第一次相遇， 由题意，得 ， 解得 秒． ∴点 共运动了 厘米． ∵ ， ∴点 、点 在 边上相遇，∴经过 秒点 与点 第一次在边 上相遇． 29. （2011 年浙江省杭州市模 2）（本小题满分 10 分） 如图 1，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边∆ABC 边 AB、BC 上的动点，点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s， （1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中，∠CMQ 变化吗？若变化，则 说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时∆PBQ 是直角三角形？ （3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP 交点为 M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； 答案：（1） 不变。 B C∠ = ∠ 4 5BP PC CQ BD= = = =， P Q 4 3 3 BPt = = 5 15 4 4 3 Q CQv t = = = x P Q 15 3 2 104 x x= + × 80 3x = P 80 3 803 × = 80 2 28 24= × + P Q AB 80 3 P Q AB 060=∠CMQ 060=∠=∠= CAPBACAB ，等边三角形中， 第 22 题 A P B Q C M 第 22 题 图 1 A P B QC M 第 22 题 图 2 又由条件得 AP=BQ，∴ ≌ (SAS) ∴ ∴ （2）设时间为 t，则 AB=BQ=t，PB=4-t 当 当 ∴当第 秒或第 2 秒时，∆PBQ 为直角三角形 （3） 不变。 ∴ 又由条件得 BP=CQ，∴ ≌ (SAS) ∴ 又 ∴ 30. （2011 年浙江省杭州市模 2）(本小题满分 12 分) 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 矩 形 ABCD 的 边 AB 在 x 轴 上 ， 且 AB=3 ， BC= ，直线 y= 经过点 C，交 y 轴于点 G。 （1）点 C、D 的坐标分别是 C（ ），D（ ）； （2）求顶点在直线 y= 上且经过点 C、D 的抛物 线的解析式； （3）将（2）中的抛物线沿直线 y= 平移，平移后 的抛物线交 y 轴于点 F，顶点为点 E（顶点在 y 轴右侧）。 平移后是否存在这样的抛物线，使⊿EFG 为等腰三角形？ 若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说 明理由。 ABQ∆ CAP∆ ACPBAQ ∠=∠ 060=∠=∠+∠=∠+∠=∠ BACCAMBAQCAMACPCMQ 3 4,24,2,6090 00 ==−=∴=∠=∠ tttBQPBBPQB 得时， 2),4(22,2,6090 00 =−==∴=∠=∠ tttPQBQBBPQ 得时， 3 4 0120=∠CMQ 060=∠=∠= CAPBACAB ，等边三角形中， 0120=∠=∠ ACQPBC PBC∆ ACQ∆ MQCBPC ∠=∠ MCQPCB ∠=∠ 0120=∠=∠ PBCCMQ 32 323 −x 323 −x 323 −x O xA B C y D G o 第 24 题 答案：（1） （ 2 ） 由 二 次 函 数 对 称 性 得 顶 点 横 坐 标 为 ， 代 入 一 次 函 数 ，得顶点坐标为（ ， ）， ∴设抛物线解析式为 ，把点 代入得， ∴解析式为 （3）设顶点 E 在直线上运动的横坐标为 m，则 ∴可设解析式为 ①当 FG=EG 时，FG=EG=2m， 代入解析式得： ，得 m=0(舍去)， ， 此时所求的解析式为： ； ②当 GE=EF 时，FG=4m， 代入解析式得： ，得 m=0(舍去)， ， 此时所求的解析式为： ； ③当 FG=FE 时，不存在；http://www.czsx.com.cn )324( ，C ），（ 321D 2 5 2 41 =+ 2 3322 53 =−×=y 2 5 2 3 2 3)2 5( 2 +−= xay ），（ 321D 3 32=a 2 3)2 5(3 32 2 +−= xy )0)(323( >− mmmE ， 323)(3 32 2 −+−= mmxy )322,0( −mF 3223233 32 2 −=−+ mmm 2 33 −=m 2 373)2 33(3 32 2 −++−= xy )324,0( −mF 3243233 32 2 −=−+ mmm 2 332 −=m 2 376)2 332(3 32 2 −++−= xy