数学中考压轴题大全含答案详细解析版 146页

‎【最新】中考数学压轴题大全 开始 y与x的关系式 结束 输入x 输出y ‎（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：‎ ‎（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；‎ ‎（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。‎ ‎（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；‎ ‎（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k　(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）‎ ‎【解】（1）当P=时，y=x＋,即y=。‎ ‎∴y随着x的增大而增大，即P=时，满足条件（Ⅱ）……3分 又当x=20时，y==100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=时，这种变换满足要求；……6分 ‎（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。‎ 如取h=20,y=,……8分 ‎∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分 令x=20,y=60，得k=60 　 ①‎ 令x=100,y=100，得a×802＋k=100 ②‎ 145‎ 由①②解得， ∴。………14分 ‎2、（常州）已知与是反比例函数图象上的两个点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）由，得，因此． 2分 ‎（2）如图1，作轴，为垂足，则，，，因此．‎ 由于点与点的横坐标相同，因此轴，从而．‎ 当为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，‎ 故不符题意． 3分 当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，‎ 过点分别作轴，轴的平行线，交于点．‎ 由于，设，则，，‎ 由点，得点．‎ 因此，‎ 145‎ 解之得（舍去），因此点．‎ 图2‎ 图1‎ 此时，与的长度不等，故四边形是梯形． 5分 如图2，当为底时，过点作的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为．‎ 由于，因此，从而．作轴，为垂足，‎ 则，设，则，‎ 由点，得点，‎ 因此．‎ 解之得（舍去），因此点．‎ 此时，与的长度不相等，故四边形是梯形． 7分 如图3，当过点作的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为时，‎ 同理可得，点，四边形是梯形． 9分 综上所述，函数图象上存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，点 145‎ 的坐标为：或或． 10分 图3‎ ‎3、（福建龙岩）如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．‎ ‎（1）求抛物线的对称轴；‎ ‎（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；‎ ‎（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．‎ A C B y x ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ 解：（1）抛物线的对称轴………2分 ‎（2） …………5分 把点坐标代入中，解得………6分 ‎…………………………………………7分 A x ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ Ｑ Ｎ Ｍ Ｋ y ‎（3）存在符合条件的点共有3个．以下分三类情形探索．‎ 设抛物线对称轴与轴交于，与交于．‎ 145‎ 过点作轴于，易得，，，‎ ① 以为腰且顶角为角的有1个：．‎ ‎ 8分 在中，‎ ‎ 9分 ‎②以为腰且顶角为角的有1个：．‎ 在中， 10分 ‎ 11分 ‎③以为底，顶角为角的有1个，即．‎ 画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点．‎ 过点作垂直轴，垂足为，显然．‎ ‎．‎ ‎ 于是 13分 ‎ 14分 注：第（3）小题中，只写出点的坐标，无任何说明者不得分．‎ 145‎ ‎4、（福州）如图12，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；‎ 图12‎ ‎（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．‎ 解：(1)∵点A横坐标为4 , ∴当 = 4时， = 2 .‎ ‎∴ 点A的坐标为（ 4，2 ）. ‎ ‎∵ 点A是直线 与双曲线 （k>0）的交点 ,‎ ‎∴ k = 4 ×2 = 8 . ‎ ‎(2) 解法一：如图12-1，‎ ‎∵ 点C在双曲线上，当 = 8时， = 1‎ ‎∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ) . ‎ 过点A、C分别做轴、轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON .‎ S矩形ONDM= 32 ， S△ONC = 4 ， S△CDA = 9， S△OAM = 4 . ‎ S△AOC= S矩形ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 . ‎ 解法二：如图12-2，‎ 过点 C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，‎ ‎∵ 点C在双曲线上，当 = 8时， = 1 .‎ ‎∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ). ‎ ‎∵ 点C、A都在双曲线上 ,‎ 145‎ ‎∴ S△COE = S△AOF = 4 。 ‎ ‎∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF .‎ ‎∴ S△COA = S梯形CEFA . ‎ ‎∵ S梯形CEFA = ×（2+8）×3 = 15 , ‎ ‎∴ S△COA = 15 . ‎ ‎（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ,‎ ‎∴ OP=OQ，OA=OB .‎ ‎∴ 四边形APBQ是平行四边形 .‎ ‎∴ S△POA = S平行四边形APBQ = ×24 = 6 . ‎ 设点P的横坐标为（ > 0且）,‎ 得P ( , ) .‎ 过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，‎ ‎∵ 点P、A在双曲线上，∴S△POE = S△AOF = 4 .‎ 若0＜＜4，如图12-3，‎ ‎∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF,‎ ‎∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .‎ ‎∴ .‎ 解得= 2，= - 8(舍去) .‎ ‎∴ P（2，4）. ‎ 145‎ 若 ＞ 4，如图12-4，‎ ‎∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE,‎ ‎∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .‎ ‎ ∴，‎ 解得 = 8， = - 2 (舍去) .‎ ‎∴ P（8，1）.‎ ‎∴ 点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）. ‎ ‎5、（甘肃陇南）如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，点P是它的 顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1．‎ ‎(1)求、的值；‎ ‎(2）求直线PC的解析式；‎ ‎(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线 PC的位置关系，并说明理由．(参考数：，，)‎ 解： (1)由已知条件可知： 抛物线经过A(-3，0)、B(1，0)两点．‎ ‎∴ ……………………………………2分 解得 ． ………………………3分 ‎ (2) ∵， ∴ P(-1，-2)，C． …………………4分 设直线PC的解析式是，则 解得． ‎ 145‎ ‎∴ 直线PC的解析式是． …………………………6分 说明：只要求对，不写最后一步，不扣分．‎ ‎ (3) 如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E．‎ 设直线PC与轴交于点D，则点D的坐标为(3，0)． ………………………7分 在Rt△OCD中，∵ OC=，，‎ ‎∴ ． …………8分 ‎∵ OA=3，，∴AD=6． …………9分 ‎∵ ∠COD=∠AED=90o，∠CDO公用，‎ ‎∴ △COD∽△AED． ……………10分 ‎∴ ， 即． ∴ ． …………………11分 ‎∵ ，‎ ‎∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离． …………12分 ‎6、（贵阳）如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．‎ ‎（1）求这个扇形的面积（结果保留）．（3分）‎ ‎（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（4分）‎ ‎（3）当的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5分）‎ 解：（1）连接，由勾股定理求得：‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎ 1分 145‎ ‎ 2分 ‎（2）连接并延长，与弧和交于，‎ ‎ 1分 弧的长： 2分 圆锥的底面直径为： 3分 ‎，不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． 4分 ‎（3）由勾股定理求得：‎ 弧的长： 1分 圆锥的底面直径为： 2分 且 ‎ 3分 145‎ 即无论半径为何值， 4分 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．‎ ‎7、（河南）如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．‎ ‎（1）求抛物线解析式及顶点坐标；‎ ‎（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？‎ ‎②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；‎ 若不存在，请说明理由．‎ ‎8、（湖北黄岗）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，设秒后，直线PQ交OB于点D.‎ B A C D P O Q x y ‎（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；‎ ‎（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）当时，求t的值及此时直线PQ的解析式；‎ ‎（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与相似？当a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与不相似？请给出你的结论，并加以证明.‎ ‎9、（湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．‎ ‎(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；‎ ‎(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；‎ ‎(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE 145‎ 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．‎ 图1‎ 图2‎ 解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．‎ ‎∴Rt△POE∽Rt△BPA．…………………………………………………………2分 ‎∴．即．∴y=(0＜x＜4)．‎ 且当x=2时，y有最大值．…………………………………………………4分 ‎(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．……6分 设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则∴‎ y=．…………………………………………………………8分 ‎(3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．……………………9分 直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．‎ 将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，‎ ‎∴该直线为y=x＋1．……………………………………………………………10分 145‎ 由得∴Q(5，6)． ‎ 故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．……………………………12分 ‎（2009年重庆市）26．已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．‎ ‎（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；‎ ‎（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎26题图 y x D B C A E E O ‎26．解：（1）由已知，得，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎． （1分）‎ 设过点的抛物线的解析式为．‎ 将点的坐标代入，得．‎ 将和点的坐标分别代入，得 ‎ （2分）‎ 145‎ 解这个方程组，得 故抛物线的解析式为． （3分）‎ ‎（2）成立． （4分）‎ 点在该抛物线上，且它的横坐标为，‎ 点的纵坐标为． （5分）‎ y x D B C A E E O Ｍ F K G G 设的解析式为，‎ 将点的坐标分别代入，得 ‎ 解得 的解析式为． （6分）‎ ‎，． （7分）‎ 过点作于点，‎ 则．‎ ‎，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎． （8分）‎ ‎．‎ ‎（3）点在上，，，则设．‎ ‎，，．‎ ‎①若，则，‎ 解得．，此时点与点重合．‎ ‎． （9分）‎ ‎②若，则，‎ 145‎ 解得 ，，此时轴．‎ 与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为1，‎ 点的纵坐标为．‎ ‎． （10分）‎ ‎③若，则，‎ 解得，，此时，是等腰直角三角形．‎ 过点作轴于点，‎ y x D B C A E E O Q P H G G ‎(P)‎ ‎(Q)‎ Q ‎(P)‎ 则，设，‎ ‎．‎ ‎．‎ 解得（舍去）．‎ ‎． （12分）‎ 综上所述，存在三个满足条件的点，‎ 即或或．‎ ‎（2009年重庆綦江县）26．（11分）如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线．过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为．问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？‎ ‎（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连 145‎ x y M C D P Q O A B 接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．‎ ‎*26．解：（1）抛物线经过点，‎ ‎ 1分 二次函数的解析式为： 3分 ‎（2）为抛物线的顶点过作于，则，‎ ‎ 4分 x y M C D P Q O A B N E H 当时，四边形是平行四边形 ‎ 5分 当时，四边形是直角梯形 过作于，则 ‎（如果没求出可由求）‎ ‎ 6分 当时，四边形是等腰梯形 综上所述：当、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分 ‎（3）由（2）及已知，是等边三角形 则 过作于，则 8分 145‎ ‎= 9分 当时，的面积最小值为 10分 此时 ‎ 11分 ‎（2009年河北省）26．（本小题满分12分）‎ A C B P Q E D 图16‎ 如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．‎ ‎（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；‎ ‎（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）‎ ‎（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成 为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；‎ ‎（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值． ‎ A C ‎)‎ B P Q D 图3‎ E ‎)‎ F ‎26．解：（1）1，； ‎ ‎（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴．‎ 由△AQF∽△ABC，， ‎ 得．∴． ‎ A C B P Q E D 图4‎ ‎∴，‎ 即．‎ ‎（3）能．‎ ‎ ①当DE∥QB时，如图4．‎ ‎ ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．‎ ‎ 此时∠AQP=90°．‎ 由△APQ ∽△ABC，得，‎ 即． 解得． ‎ 145‎ A C B P Q E D 图5‎ A C(E)‎ ‎)‎ B P Q D 图6‎ G A C(E)‎ ‎)‎ B P Q D 图7‎ G ‎②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．‎ 此时∠APQ =90°．‎ 由△AQP ∽△ABC，得 ，‎ 即． 解得． ‎ ‎（4）或．‎ ‎【注：①点P由C向A运动，DE经过点C．‎ 方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．‎ ‎，．‎ 由，得，解得．‎ 方法二、由，得，进而可得 ‎，得，∴．∴． ‎ ‎②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．‎ ‎，】‎ ‎（2009年河南省）23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. ‎ ‎(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；‎ ‎ (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E ‎ ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?‎ ‎②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?‎ 请直接写出相应的t值. ‎ 解.(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分 将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx ‎ 8=16a+4b ‎ 得 ‎ ‎ 0=64a+8b ‎ 解 得a=-,b=4‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x …………………3分 145‎ ‎（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=‎ ‎∴PE=AP=t．PB=8-t．‎ ‎∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.‎ ‎∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8. …………………5分 ‎∴EG=-t2+8-(8-t)‎ ‎ =-t2+t.‎ ‎∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分 ‎②共有三个时刻. …………………8分 t1=， t2=，t3= ． …………………11分 ‎(2009年山西省)26．（本题14分）如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．‎ ‎ （1）求的面积；‎ ‎（2）求矩形的边与的长；‎ ‎（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设 移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关 A D B E O C F x y y ‎（G）‎ ‎（第26题）‎ 的函数关系式，并写出相应的的取值范围．‎ ‎26．（1）解：由得点坐标为 由得点坐标为 ‎∴ （2分）‎ 145‎ 由解得∴点的坐标为 （3分）‎ ‎∴ （4分）‎ ‎ （2）解：∵点在上且 ‎ ∴点坐标为 （5分）‎ 又∵点在上且 ‎∴点坐标为 （6分）‎ ‎∴ （7分）‎ ‎ （3）解法一：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）．过作于，则 A D B E O R F x y y M ‎（图3）‎ G C A D B E O C F x y y G ‎（图1）‎ R M A D B E O C F x y y G ‎（图2）‎ R M ‎∴即∴‎ ‎∴‎ 即 （10分）‎ ‎（2009年山西省太原市）29．（本小题满分12分）‎ 图（1）‎ A B C D E F M N 问题解决 如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．‎ 方法指导：‎ 为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2‎ 145‎ 类比归纳 在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 ．（用含的式子表示）‎ 联系拓广 图（2）‎ N A B C D E F M ‎ 如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 ．（用含的式子表示）‎ ‎29．问题解决 解：方法一：如图（1-1），连接．‎ N 图（1-1）‎ A B C D E F M ‎ 由题设，得四边形和四边形关于直线对称．‎ ‎ ∴垂直平分．∴ 1分 ‎ ∵四边形是正方形，∴‎ ‎ ∵设则 ‎ 在中，．‎ ‎ ∴解得，即 3分 ‎ 在和在中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ 5分 ‎ 设则∴‎ ‎ 解得即 6分 ‎ ∴ 7分 ‎ 方法二：同方法一， 3分 ‎ 如图（1－2），过点做交于点，连接 145‎ N 图（1-2）‎ A B C D E F M G ‎∵∴四边形是平行四边形．‎ ‎ ∴‎ ‎ 同理，四边形也是平行四边形．∴‎ ‎　　　∵‎ ‎　　　‎ ‎　　　在与中 ‎　　　∴ ５分 ‎∵ 6分 ‎∴ 7分 类比归纳 ‎（或）；； 10分 联系拓广 ‎ 12分 评分说明：1．如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分．‎ ‎ 2．如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没有影响，可依据参考答案及评分说明进行估分．‎ ‎（2009年安徽省）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．‎ 金额w（元）‎ O 批发量m（kg）‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．‎ ‎【解】‎ O ‎60‎ ‎20‎ ‎4‎ 批发单价（元）‎ ‎5‎ 批发量（kg）‎ ‎①‎ ‎②‎ 第23题图（1）‎ ‎（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的 函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．‎ 145‎ ‎【解】‎ ‎（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，‎ 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，‎ 使得当日获得的利润最大．‎ ‎【解】‎ O ‎6‎ ‎2‎ ‎40‎ 日 最高销量（kg）‎ ‎80‎ 零售价（元）‎ 第23题图（2）‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎（6，80）‎ ‎（7，40）‎ 金额w（元）‎ O 批发量m（kg）‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎240‎ ‎23．（1）解：图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，‎ 可按5元/kg批发；……3分 图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发．‎ ‎………………………………………………………………3分 ‎（2）解：由题意得：，函数图象如图所示．‎ ‎………………………………………………………………7分 由图可知资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果．……………………………8分 ‎（3）解法一：‎ 设当日零售价为x元，由图可得日最高销量 当m＞60时，x＜6.5‎ 由题意，销售利润为 ‎………………………………12分 当x＝6时，，此时m＝80‎ 即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，‎ 当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分 解法二：‎ 设日最高销售量为xkg（x＞60）‎ 则由图②日零售价p满足：，于是 销售利润………………………12分 当x＝80时，，此时p＝6‎ 即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，‎ 当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分 145‎ ‎（2009年江西省）25．如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.‎ ‎（1）求点到的距离；‎ ‎（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.‎ ‎①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；‎ ‎②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.‎ A D E B F C 图4（备用）‎ A D E B F C 图5（备用）‎ A D E B F C 图1‎ 图2‎ A D E B F C P N M 图3‎ A D E B F C P N M ‎（第25题）‎ ‎25．（1）如图1，过点作于点 1分 图1‎ A D E B F C G ‎∵为的中点，‎ ‎∴‎ 在中，∴ 2分 ‎∴‎ 即点到的距离为 3分 ‎（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．‎ ‎∵∴‎ ‎∵∴，‎ 同理 4分 如图2，过点作于，∵‎ 图2‎ A D E B F C P N M G H ‎∴‎ ‎∴‎ 145‎ ‎∴‎ 则 在中，‎ ‎∴的周长= 6分 ‎②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．‎ 当时，如图3，作于，则 类似①，‎ ‎∴ 7分 ‎∵是等边三角形，∴‎ 此时， 8分 图3‎ A D E B F C P N M 图4‎ A D E B F C P M N 图5‎ A D E B F（P）‎ C M N G G R G ‎ 当时，如图4，这时 此时，‎ 当时，如图5，‎ 则又 ‎∴‎ 因此点与重合，为直角三角形．‎ ‎∴‎ 此时，‎ 综上所述，当或4或时，为等腰三角形． 10分 ‎（2009年广东广州）25.（本小题满分14分）‎ 如图13，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为。‎ ‎（1）求该二次函数的关系式；‎ ‎（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与Δ 145‎ ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；‎ ‎（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎25.（本小题满分14分）‎ ‎ 解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=,得AB=，‎ ‎ 设A（a,0）,B(b,0)AB=b-a==，解得p=,但p<0,所以p=。‎ ‎ 所以解析式为：‎ ‎ （2）令y=0，解方程得，得,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC ‎ 中可求得AC=,同样可求得BC=,，显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB ‎ 为斜边，所以外接圆的直径为AB=,所以.‎ ‎ （3）存在，AC⊥BC,①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式 ‎ 为y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4，解方程组得D（,9）‎ ‎ ②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b，把 ‎ ‎ A(,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组得D()‎ ‎ 综上，所以存在两点：（,9）或()。‎ ‎（2009年广东省中山市）22. （本题满分9分）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.‎ ‎（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；‎ D B A M C N ‎（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；‎ ‎（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值.‎ 145‎ ‎（2009 年哈尔滨市）28．(本题10分）‎ ‎ 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），‎ 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．‎ ‎ （1）求直线AC的解析式；‎ ‎ （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；‎ ‎ （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．‎ ‎ ‎ 145‎ 145‎ ‎(2009山东省泰安市)26（本小题满分10分）‎ 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。‎ （1） 求证：BE=AD；‎ （2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线；‎ （3） ‎△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。‎ ‎26、（本小题满分10分）‎ 证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，‎ ‎∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，‎ ‎∴∠1=∠2…………………………………………………1分 ‎∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC ‎∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分 ‎∴AD=BE……………………………………………………3分 ‎（2）∵E是AB中点，‎ ‎∴EB=EA 由（1）AD=BE得：AE=AD……………………………5分 ‎∵AD∥BC ‎∴∠7=∠ACB=45°‎ ‎∵∠6=45°‎ ‎∴∠6=∠7‎ 由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。‎ 即，AC是线段ED的垂直平分线。……………………7分 ‎（3）△DBC是等腰三角（CD=BD）……………………8分 理由如下：‎ 由（2）得：CD=CE 由（1）得：CE=BD ‎∴CD=BD ‎∴△DBC是等腰三角形。……………………………10分 ‎（2009年威海市）25．（12分）‎ 一次函数的图象分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点分别作轴，轴，垂足分别为；过点分别作轴，轴，垂足分别为与交于点，连接．‎ ‎（1）若点在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：‎ ‎①；‎ 145‎ ‎②．‎ ‎（2）若点分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则与还相等吗？试证明你的结论．‎ O C F M D E N K y x ‎（第25题图1）‎ O C D K F E N y x M ‎（第25题图2）‎ O C F M D E N K y x 图1‎ ‎25．（本小题满分12分）‎ 解：（1）①轴，轴，‎ 四边形为矩形．‎ 轴，轴，‎ 四边形为矩形．‎ 轴，轴，‎ 四边形均为矩形． 1分 ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎． 2分 ‎②由（1）知．‎ ‎．‎ 145‎ ‎． 4分 ‎，‎ ‎． 5分 ‎．‎ ‎． 6分 轴，‎ 四边形是平行四边形．‎ ‎． 7分 同理．‎ ‎． 8分 ‎（2）与仍然相等． 9分 ‎，‎ O C D K F E N y x M 图2‎ ‎，‎ 又，‎ ‎． 10分 ‎．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎． 11分 轴，‎ 四边形是平行四边形．‎ ‎．‎ 同理．‎ ‎． 12分 ‎（2009年烟台市）26．(本题满分14分)‎ ‎ 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是．‎ （1） 求抛物线对应的函数表达式；‎ （2） 经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；‎ （3） 设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过 145‎ 三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由；‎ O B x y A M C ‎1‎ ‎（第26题图）‎ （1） 当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．‎ ‎26．（本题满分14分）‎ y x E D N O A C M P N ‎1‎ F ‎（第26题图）‎ 解：（1）根据题意，得 2分 解得 抛物线对应的函数表达式为． 3分 ‎（2）存在．‎ 在中，令，得．‎ 令，得，．‎ ‎，，．‎ 又，顶点． 5分 容易求得直线的表达式是．‎ 在中，令，得．‎ ‎，． 6分 在中，令，得．‎ ‎．‎ ‎，四边形为平行四边形，此时． 8分 ‎（3）是等腰直角三角形．‎ 理由：在中，令，得，令，得．‎ 145‎ 直线与坐标轴的交点是，．‎ ‎，． 9分 又点，．． 10分 由图知，． 11分 ‎，且．是等腰直角三角形． 12分 ‎（4）当点是直线上任意一点时，（3）中的结论成立． 14分 ‎（2009年山东省日照）24． (本题满分10分) ‎ 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．‎ ‎（1）求证：EG=CG；‎ ‎（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ‎ ‎（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）‎ D F B A C E 第24题图③‎ F B A D C E G 第24题图②‎ F B A D C E G 第24题图①‎ ‎ ‎ ‎24．（本题满分10分）‎ 解：（1）证明：在Rt△FCD中， ‎ ‎∵G为DF的中点，‎ ‎∴ CG= FD．………………1分 同理，在Rt△DEF中， ‎ EG= FD． ………………2分 ‎∴ CG=EG．…………………3分 ‎（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．‎ 145‎ 在△DAG与△DCG中，‎ ‎∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，‎ ‎∴ △DAG≌△DCG．‎ ‎∴ AG=CG．………………………5分 在△DMG与△FNG中，‎ ‎∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，‎ ‎∴ △DMG≌△FNG．‎ ‎∴ MG=NG ‎ 在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分 在Rt△AMG 与Rt△ENG中，‎ ‎∵ AM=EN， MG=NG，‎ ‎∴ △AMG≌△ENG．‎ ‎∴ AG=EG．‎ ‎∴ EG=CG． ……………………………8分 证法二：延长CG至M,使MG=CG，‎ 连接MF，ME，EC， ……………………4分 在△DCG 与△FMG中，‎ ‎∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，‎ ‎∴△DCG ≌△FMG．‎ ‎∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ‎ ‎∴MF∥CD∥AB．………………………5分 ‎∴ ．‎ 在Rt△MFE 与Rt△CBE中，‎ ‎∵ MF=CB，EF=BE，‎ ‎∴△MFE ≌△CBE．‎ ‎∴ ．…………………………………………………6分 ‎∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7分 ‎∴ △MEC为直角三角形．‎ ‎∵ MG = CG，‎ ‎∴ EG= MC．‎ 145‎ ‎∴ ．………………………………8分 ‎（3）（1）中的结论仍然成立，‎ 即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分 ‎（2009年潍坊市）24．（本小题满分12分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长．‎ ‎（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．‎ O x y N C D E F B M A ‎24．（本小题满分12分）‎ 解：（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1，‎ 点的坐标分别为 抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，‎ ‎． 2分 点在抛物线上，将的坐标代入 ‎，得： 解之，得：‎ 抛物线的解析式为：． 4分 ‎（2）‎ 145‎ 抛物线的对称轴为，‎ O x y N C D E F B M A P ‎． 6分 连结，‎ ‎，，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎． 8分 ‎（3）点在抛物线上． 9分 设过点的直线为：，‎ 将点的坐标代入，得：，‎ 直线为：． 10分 过点作圆的切线与轴平行，点的纵坐标为，‎ 将代入，得：．‎ 点的坐标为， 11分 当时，，‎ 所以，点在抛物线上． 12分 说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．‎ ‎（2009年山东临沂市）26．（本小题满分13分）‎ 如图，抛物线经过三点．‎ ‎（1）求出抛物线的解析式；‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎（第26题图）‎ ‎（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．‎ 145‎ ‎26．解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为．‎ 将，代入，‎ 得解得 此抛物线的解析式为． （3分）‎ ‎（2）存在． （4分）‎ 如图，设点的横坐标为，‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎（第26题图）‎ D P M E 则点的纵坐标为，‎ 当时，‎ ‎，．‎ 又，‎ ‎①当时，‎ ‎，‎ 即．‎ 解得（舍去），． （6分）‎ ‎②当时，，即．‎ 解得，（均不合题意，舍去）‎ 当时，． （7分）‎ 类似地可求出当时，． （8分）‎ 当时，．‎ 综上所述，符合条件的点为或或． （9分）‎ ‎（3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为．‎ 过作轴的平行线交于．‎ 145‎ 由题意可求得直线的解析式为． （10分）‎ 点的坐标为．‎ ‎． （11分）‎ ‎．‎ 当时，面积最大．‎ ‎． （13分）‎ ‎(2009年山东省济宁市)26. （12分）‎ 在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.‎ ‎（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；‎ ‎(第26题)‎ O A B C M N ‎（2）旋转过程中，当和平行时，求正方形 ‎ 旋转的度数；‎ ‎（3）设的周长为，在旋转正方形 的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.‎ ‎26.（1）解：∵点第一次落在直线上时停止旋转，‎ ‎∴旋转了.‎ ‎∴在旋转过程中所扫过的面积为.……………4分 ‎（2）解：∵∥，‎ ‎∴,.‎ 145‎ ‎∴.∴.‎ 又∵，∴.‎ 又∵,,∴.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴旋转过程中，当和平行时，正方形旋转的度数为 ‎.……………………………………………8分 ‎（3）答：值无变化.‎ ‎ 证明：延长交轴于点，则，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ 又∵，.‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ 又∵,,‎ ‎ ∴.∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（第26题）‎ O A B C M N ‎∴在旋转正方形的过程中，值无变化. ……………12分 ‎（2009年四川遂宁市）25.如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 145‎ ‎ 轴上截得的线段AB的长为6.‎ ‎⑴求二次函数的解析式；‎ ‎⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；‎ ‎⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎25.⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k ‎∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，)‎ ‎∴y=a(x-4)2+k ………………①‎ 又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6‎ ‎∴A(1，0)，B(7，0)‎ ‎∴0=9a+k ………………②‎ 由①②解得a=，k=‎ ‎∴二次函数的解析式为：y=(x-4)2－‎ ‎⑵∵点A、B关于直线x=4对称 ‎∴PA=PB ‎∴PA+PD=PB+PD≥DB ‎∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ‎∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M ‎∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO ‎∴△BPM∽△BDO 145‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴点P的坐标为(4，)‎ ‎⑶由⑴知点C(4，)，‎ 又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，‎ ‎∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o ‎①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有 BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o ‎∴QN=3，BN=3，ON=10，‎ 此时点Q(10，)，‎ 如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，)‎ ‎②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，‎ 此时点Q的坐标是(4，)，‎ 经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC 点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)．‎ ‎（2009年四川南充市）21．如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点．‎ ‎（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；‎ ‎（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；‎ ‎（3）第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；‎ ‎（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积与四边形OABD 145‎ 的面积S满足：？若存在，求点E的坐标；‎ 若不存在，请说明理由．‎ y x O C D B A ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎21．解：（1）设正比例函数的解析式为，‎ 因为的图象过点，所以 ‎，解得．‎ 这个正比例函数的解析式为． （1分）‎ 设反比例函数的解析式为．‎ 因为的图象过点，所以 ‎，解得．‎ 这个反比例函数的解析式为． （2分）‎ ‎（2）因为点在的图象上，所以 ‎，则点． （3分）‎ 设一次函数解析式为．‎ 因为的图象是由平移得到的，‎ 所以，即．‎ 又因为的图象过点，所以 ‎，解得，‎ 一次函数的解析式为． （4分）‎ ‎（3）因为的图象交轴于点，所以的坐标为．‎ 设二次函数的解析式为．‎ 145‎ 因为的图象过点、、和，‎ 所以 （5分） 解得 y x O C D B A ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ E 这个二次函数的解析式为． （6分）‎ ‎（4）交轴于点，点的坐标是，‎ 如图所示，‎ ‎．‎ 假设存在点，使．‎ 四边形的顶点只能在轴上方，，‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎，． （7分）‎ 在二次函数的图象上，‎ ‎．‎ 解得或．‎ 当时，点与点重合，这时不是四边形，故舍去，‎ 点的坐标为． （8分）‎ 145‎ ‎（2009年四川凉山州）26．如图，已知抛物线经过，两点，顶点为．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）将绕点顺时针旋转90°后，点落到点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；‎ y x B A O D ‎（第26题）‎ ‎（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标．‎ ‎26．解：（1）已知抛物线经过，‎ ‎ 解得 所求抛物线的解析式为． 2分 ‎（2），，‎ 可得旋转后点的坐标为 3分 当时，由得，‎ 可知抛物线过点 将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点．‎ 平移后的抛物线解析式为：． 5分 ‎（3）点在上，可设点坐标为 y x C B A O N D B1‎ D1‎ 图①‎ 将配方得，其对称轴为． 6分 ‎①当时，如图①，‎ 145‎ 此时 y x C B A O D B1‎ D1‎ 图②‎ N 点的坐标为． 8分 ‎②当时，如图②‎ 同理可得 此时 点的坐标为．‎ 综上，点的坐标为或． 10分 ‎（2009年武汉市）25．（本题满分12分）‎ 如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；‎ y x O A B C ‎（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．‎ ‎25．解：（1）抛物线经过，两点，‎ 解得 145‎ 抛物线的解析式为．‎ y x O A B C D E ‎（2）点在抛物线上，，‎ 即，或．‎ 点在第一象限，点的坐标为．‎ 由（1）知．‎ 设点关于直线的对称点为点．‎ ‎，，且，‎ ‎，‎ 点在轴上，且．‎ ‎，．‎ 即点关于直线对称的点的坐标为（0，1）．‎ ‎（3）方法一：作于，于．‎ y x O A B C D E P F 由（1）有：，‎ ‎．‎ ‎，且．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，，，‎ ‎．‎ 设，则，，‎ ‎．‎ 点在抛物线上，‎ ‎，‎ ‎（舍去）或，．‎ y x O A B C D P Q G H 方法二：过点作的垂线交直线于点，过点作轴于．过点作于．‎ ‎．‎ 145‎ ‎，‎ 又，．‎ ‎，，．‎ 由（2）知，．‎ ‎，直线的解析式为．‎ 解方程组得 点的坐标为．‎ ‎（2009年鄂州市）27．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO ‎(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由 ‎(2)令，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由 ‎(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.‎ ‎ (4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。‎ ‎27、（1）EO＞EC，理由如下：‎ 145‎ 由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC， 故EO＞EC …2分 ‎（2）m为定值 ‎∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)‎ S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ‎∴ ……………………………………………………4分 ‎（3）∵CO=1， ∴EF=EO=‎ ‎∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°，‎ ‎∴‎ ‎∴△EFQ为等边三角形， …………………………………………5分 作QI⊥EO于I，EI=，IQ=‎ ‎∴IO= ∴Q点坐标为 ……………………………………6分 ‎∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)， Q ，m=1‎ ‎∴可求得，c=1‎ ‎∴抛物线解析式为 ……………………………………7分 ‎（4）由（3），‎ 当时，＜AB ‎∴P点坐标为 …………………8分 ‎∴BP=AO 方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：‎ ‎①时，∴K点坐标为或 145‎ ‎②时， ∴K点坐标为或…………10分 故直线KP与y轴交点T的坐标为 ‎ …………………………………………12分 方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°‎ ‎①当∠RTP=30°时，‎ ‎②当∠RTP=60°时，‎ ‎∴ ……………………………12分 ‎（2009年湖北省黄石市）24、（本题满分9分）‎ 如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。‎ 解答下列问题：‎ ‎（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 。‎ ‎②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？‎ ‎（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。‎ 试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）‎ ‎（3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。‎ ‎24、解：（1）①CF⊥BD，CF=BD ‎ ‎②成立，理由如下：‎ ‎∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF 又 BA=CA AD=AF ‎∴△BAD≌△CAF ‎∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45°‎ ‎∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……（1分）‎ 145‎ ‎（2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：‎ 如图：过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G 则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45°‎ ‎∵AG=AC AD=AF ………（1分）‎ ‎∴△GAD≌△CAF（SAS） ∴∠ACF=∠AGD=45°‎ ‎∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………（2分）‎ ‎（3）如图：作AQBC于Q ‎∵∠ACB=45° AC=4 ∴CQ=AQ=4‎ ‎∵∠PCD=∠ADP=90°‎ ‎∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°‎ ‎∴△ADQ∽△DPC …（1分）‎ ‎∴=‎ 设CD为x（0＜x＜3）则DQ=CQ－CD=4－x 则= …………（1分）‎ ‎∴PC=(－x2+4x)=－(x－2)2+1≥1‎ 当x=2时，PC最长，此时PC=1 ………（1分）‎ ‎（2009年湖北省孝感市）25．（本题满分12分）‎ 如图，点P是双曲线上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y= （0＜k2＜|k1|）于E、F两点．‎ ‎（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= ▲ (用含k1、k2的式子表示)；（3分）‎ ‎（2）图2中，设P点坐标为（－4，3）．‎ ‎①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；（4分）‎ ‎②记，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5分）‎ 145‎ ‎25．解：（1）； … ………………………………3分 ‎（2）①EF∥AB． ……………………………………4分 证明：如图，由题意可得A（–4，0），B（0，3），， ．‎ ‎∴PA=3，PE=，PB=4，PF=．‎ ‎∴，‎ ‎∴． ………………………… 6分 ‎ 又∵∠APB=∠EPF．‎ ‎∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF．‎ ‎∴EF∥AB． …………………………… 7分 ‎②S2没有最小值，理由如下：‎ 过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．‎ 由上知M（0，），N（，0），Q（，）． ……………… 8分 而S△EFQ= S△PEF，‎ ‎∴S2＝S△PEF－S△OEF＝S△EFQ－S△OEF＝S△EOM＋S△FON＋S矩形OMQN ‎＝‎ ‎＝‎ ‎=． ………………………… 10分 当时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12． …………… 11分 ‎∴0＜S2＜24，s2没有最小值． …………………………… 12分 说明：1．证明AB∥EF时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的直线解析式，利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF；方法二：利用＝来证明AB∥EF；方法三：连接AF、BE，利用S△AEF＝S△BFE得到点A、点B到直线EF的距离相等，再由A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF．‎ ‎2．求S2的值时，还可进行如下变形：‎ S2＝ S△PEF－S△OEF＝S△PEF－（S四边形PEOF－S△PEF）＝2 S△PEF－S四边形PEOF，再利用第（1）题中的结论．‎ ‎（2009年湖北省荆门市）25．(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．‎ ‎(1)若m为常数，求抛物线的解析式；‎ ‎(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？‎ ‎(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ 145‎ 第25题图 ‎25．解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－4a．…………2分 ‎∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，‎ ‎∴C(m，－2)代入得a＝．∴解析式为：y＝(x－m)2－2．…………………………5分 ‎(亦可求C点，设顶点式)‎ ‎(2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y＝(x－m)2－2顶点在坐标原点．………………………………………7分 ‎(3)由(1)得D(0，m2－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．‎ ‎∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．……………………………………………9分 ‎∴m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)．‎ 当m＋2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；‎ 当m＋2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍)‎ 综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．……………………………12分 ‎（2009年襄樊市）26．（本小题满分13分）‎ 如图13，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．‎ ‎ （1）求证：梯形是等腰梯形；‎ ‎ （2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；‎ ‎ （3）在（2）中：①当动点、运动到何处时，以点、和点、、、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；‎ ‎②当取最小值时，判断的形状，并说明理由．‎ A D C B P M Q ‎60°‎ 图13‎ 145‎ A D C B P M Q ‎60°‎ ‎26．（1）证明：∵是等边三角形 ‎∴ 1分 ‎∵是中点 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴ 2分 ‎∴‎ ‎∴梯形是等腰梯形． 3分 ‎（2）解：在等边中，‎ ‎∴‎ ‎∴ 4分 ‎∴ ∴ 5分 ‎∵ ∴ 6分 ‎∴ ∴ 7分 ‎（3）解：①当时，则有 则四边形和四边形均为平行四边形 ‎∴ 8分 当时，则有 则四边形和四边形均为平行四边形 ‎∴ 9分 ‎∴当或时，以P、M和A、B、C、 D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．‎ 此时平行四边形有4个． 10分 ‎②为直角三角形 11分 ‎∵‎ ‎∴当取最小值时， 12分 145‎ ‎∴是的中点，而 ‎∴∴ 13分 ‎（2009年湖南省株洲市）23．（本题满分12分）如图，已知为直角三角形，，,点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、．‎ ‎（1）求点的坐标（用表示）；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结 并延长交于点，试证明：为定值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．（1）由可知，，又△ABC为等腰直角三角形，∴，，所以点A的坐标是（）. ………………… 3分 ‎（2）∵ ∴，则点的坐标是（）.‎ 又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得： ‎ ‎ 解得 ∴抛物线的解析式为 ………7分 ‎（3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，.‎ ‎∵ ∴∽ ∴ 即，得 ‎∵ ∴∽ ∴ 即，得 又∵‎ ‎∴‎ 145‎ 即为定值8. ……………………12分 本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分.‎ ‎（2009年衡阳市）26、（本小题满分9分）‎ 如图12，直线与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．‎ ‎ （1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；‎ ‎ （2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？‎ ‎（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与的函数关系式并画出该函数的图象．‎ B x y M C D O A 图12（1）‎ B x y O A 图12（2）‎ B x y O A 图12（3）‎ ‎ 解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（00，－x+4>0）；‎ ‎ 则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x；‎ ‎ ∴C四边形OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8‎ ‎∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；‎ ‎（2）根据题意得：S四边形OCMD＝MC·MD＝（－x+4）· x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4‎ ‎∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0PA，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P.‎ 如图2,过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点F,则AM=.‎ 由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得 145‎ ‎, ∴,‎ ‎∴. ………………1分 ‎∴CQ1==.则,‎ ‎∴ .……………………………1分 第二种情况：当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3,‎ 分别使A P= A Q2,PA=PQ3.‎ ‎①若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6.‎ 则,∴.……1分 ‎ ‎②若PA=PQ3，如图4,过点P作PN⊥AB，垂足为N，‎ 由△ANP∽△AEB,得. ‎ ‎∵AE= , ∴AN＝.‎ ‎∴AQ3=2AN=, ∴BC+BQ3=10-‎ 则.∴. ‎ ‎………………………1分 综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或 ‎.‎ ‎(2009年浙江省嘉兴市)C A B N M ‎（第24题）‎ 24．如图，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．‎ ‎（1）求x的取值范围；‎ ‎（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；‎ ‎（3）探究：△ABC的最大面积？‎ ‎24．（1）在△ABC中，∵，，．‎ ‎∴，解得．　 4分 ‎（2）①若AC为斜边，则，即，无解．‎ ‎②若AB为斜边，则，解得，满足．‎ 145‎ ‎③若BC为斜边，则，解得，满足．‎ C A B N M ‎（第24题-1）‎ D ‎∴或．　 9分 ‎（3）在△ABC中，作于D，‎ 设，△ABC的面积为S，则．‎ ‎①若点D在线段AB上，‎ 则．‎ ‎∴，即．‎ ‎∴，即．‎ ‎∴（）．　 11分 当时（满足），取最大值，从而S取最大值． 13分 C B A D M N ‎（第24题-2）‎ ‎②若点D在线段MA上，‎ 则．‎ 同理可得，‎ ‎（），‎ 易知此时．‎ 综合①②得，△ABC的最大面积为． 14分 ‎（2009年浙江省湖州市）‎ ‎24．（本小题12分）‎ 已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.‎ ‎(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则； ‎ ‎(2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；‎ ‎(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.‎ 145‎ 第（2）题 x y B C O D A M N N′‎ x y B C O A M N 备用图 ‎（第24题）‎ 四、自选题：（本题5分）‎ A C B 第（25）题 请注意：本题为自选题，供考生选做，自选题得分将计入本学科总分，但考试总分最多为120分.‎ ‎25．若P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点.‎ ‎（1）若点为锐角的费马点，且，则的值为________；‎ ‎（2）如图，在锐角外侧作等边′连结′.‎ 求证：′过的费马点，且′=.‎ 第（2）题 x y B C O D A M N N′‎ x y B C O A M N P1‎ P2‎ 备用图 ‎24.（本小题12分）‎ ‎（1）.……………4分 ‎（2）由题意得点与点′关于轴对称，，‎ 将′的坐标代入得，‎ ‎（不合题意，舍去），.……………2分 ‎，点到轴的距离为3.‎ 145‎ ‎， ，直线的解析式为，‎ 它与轴的交点为点到轴的距离为.‎ ‎.……………2分 ‎（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，‎ 把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，‎ 得：‎ ‎（不舍题意，舍去），，‎ ‎.……………2分 当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，‎ ‎．‎ ‎ 与关于原点对称，，‎ 将点坐标代入抛物线解析式得：，‎ ‎（不合题意，舍去），，．……………2分 存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．‎ 四、自选题（本题5分）‎ ‎25．（1）2. ……………2分 ‎（2）证明：在上取点，使，‎ 连结，再在上截取，连结．‎ ‎，‎ 为正三角形，……………1分 A C B P E 第（25）题 ‎=，‎ 为正三角形，‎ 145‎ ‎=，‎ ‎=，‎ ‎′，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，‎ 为的费马点，‎ 过的费马点，且=+．……………2分 ‎(2009年甘肃省兰州市)29.（本题满分9分）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， ‎ 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动， ‎ 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， ‎ 设运动的时间为t秒．‎ ‎(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；‎ ‎(2)求正方形边长及顶点C的坐标；‎ ‎(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；‎ ‎(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．‎ ‎29. （本题满分9分）‎ 解：（1）（1，0） 1分 ‎ 点P运动速度每秒钟1个单位长度． 2分 ‎（2） 过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，．‎ ‎ ∴．‎ ‎ 在Rt△AFB中， 3分 ‎ 过点作⊥轴于点，与的延长线交于点．‎ ‎∵ ∴△ABF≌△BCH． ‎ ‎ ∴． ‎ ‎∴．‎ 145‎ ‎∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分 ‎（3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，‎ 则△APM∽△ABF．‎ ‎ ∴． ． ‎ ‎ ∴． ∴．‎ 设△OPQ的面积为（平方单位）‎ ‎∴（0≤≤10） 5分 说明:未注明自变量的取值范围不扣分．‎ ‎ ∵<0 ∴当时， △OPQ的面积最大． 6分 ‎ 此时P的坐标为（，） ． 7分 ‎（4） 当 或时， OP与PQ相等． 9分 ‎ 对一个加1分，不需写求解过程．‎ ‎63.（2009年山东德州）23． (本题满分10分) ‎ 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．‎ ‎（1）求证：EG=CG；‎ ‎（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ‎ ‎（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）‎ F B A C E 第23题图③‎ F B A D C E G 第23题图②‎ F B A D C E G 第23题图①‎ ‎ ‎ ‎（2009年山东德州23题解析）解：（1）证明：在Rt△FCD中， ‎ ‎∵G为DF的中点，∴ CG=FD．………… 1分 同理，在Rt△DEF中， ‎ EG=FD． ………………2分 ‎∴ CG=EG．…………………3分 ‎（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分 145‎ 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．‎ F B A D C E G M N N 图 ②（一）‎ 在△DAG与△DCG中，‎ ‎∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，‎ ‎∴ △DAG≌△DCG．‎ ‎∴ AG=CG．………………………5分 在△DMG与△FNG中，‎ ‎∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，‎ ‎∴ △DMG≌△FNG．‎ ‎∴ MG=NG ‎ 在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分 在Rt△AMG 与Rt△ENG中，‎ ‎∵ AM=EN， MG=NG，‎ F B A D C E G M 图 ②（二）‎ ‎∴ △AMG≌△ENG．‎ ‎∴ AG=EG．‎ ‎∴ EG=CG． ……………………………8分 证法二：延长CG至M,使MG=CG，‎ 连接MF，ME，EC， ……………………4分 在△DCG 与△FMG中，‎ ‎∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，‎ ‎∴△DCG ≌△FMG．‎ ‎∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ‎ ‎∴MF∥CD∥AB．………………………5分 F B A D C E 图③‎ G ‎∴．‎ 在Rt△MFE 与Rt△CBE中，‎ ‎∵ MF=CB，EF=BE，‎ ‎∴△MFE ≌△CBE．‎ ‎∴．…………………………………………………6分 ‎∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7分 ‎∴ △MEC为直角三角形．‎ ‎∵ MG = CG，‎ ‎∴ EG=MC．‎ ‎∴ ．………………………………8分 ‎（3）（1）中的结论仍然成立，‎ 即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分[来源:学科网]‎ ‎74.（2009年山东德州）23． (本题满分10分) ‎ 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．‎ ‎（1）求证：EG=CG；‎ ‎（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ‎ F B A D C E G 第23题图①‎ ‎（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）‎ 145‎ ‎ ‎ F B A D C E G 第23题图②‎ ‎（2009年山东德州23题解析）解：（1）证明：在Rt△FCD中， ‎ ‎∵G为DF的中点，∴ CG=FD．………… 1分 同理，在Rt△DEF中， ‎ EG=FD． ………………2分 ‎∴ CG=EG．…………………3分 ‎（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分 D F B A C E 第23题图③‎ 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ F B A D C E G M N N 图 ②（一）‎ 在△DAG与△DCG中，‎ ‎∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，‎ ‎∴ △DAG≌△DCG．‎ ‎∴ AG=CG．………………………5分 在△DMG与△FNG中，‎ ‎∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，‎ ‎∴ △DMG≌△FNG．‎ ‎∴ MG=NG ‎ 在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分 在Rt△AMG 与Rt△ENG中，‎ ‎∵ AM=EN， MG=NG，‎ ‎∴ △AMG≌△ENG．‎ ‎∴ AG=EG．‎ F B A D C E G M 图 ②（二）‎ ‎∴ EG=CG． ……………………………8分 证法二：延长CG至M,使MG=CG，‎ 连接MF，ME，EC， ……………………4分 在△DCG 与△FMG中，‎ ‎∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，‎ ‎∴△DCG ≌△FMG．‎ ‎∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ‎ ‎∴MF∥CD∥AB．………………………5分 ‎∴．‎ 在Rt△MFE 与Rt△CBE中，‎ ‎∵ MF=CB，EF=BE，‎ ‎∴△MFE ≌△CBE．‎ ‎∴．…………………………………………………6分 F B A D C E 图③‎ G ‎∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7分 ‎∴ △MEC为直角三角形．‎ ‎∵ MG = CG，‎ ‎∴ EG=MC．‎ ‎∴ ．………………………………8分 145‎ ‎（3）（1）中的结论仍然成立，‎ 即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分 ‎76.（2009年山东济南）24．（本小题满分9分）‎ 已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、‎ ‎（1）求这条抛物线的函数表达式．‎ ‎（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．‎ ‎（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作交轴于点连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．‎ A C x y B O ‎（第24题图）‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎（第24题图）‎ O A C x y B E P D ‎（2009年山东济南24题解析）解：（1）由题意得 2分 解得 ‎∴此抛物线的解析式为 3分 ‎（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.‎ 设直线的表达式为 145‎ 则 ‎ 4分 解得 ‎∴此直线的表达式为 5分 把代入得 ‎∴点的坐标为 6分 ‎（3）存在最大值 7分 理由：∵即 ‎∴‎ ‎∴即 ‎∴‎ 方法一：‎ 连结 ‎=[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎= 8分 ‎∵‎ 145‎ ‎∴当时， 9分 方法二：‎ ‎ =‎ ‎= 8分 ‎∵‎ ‎∴当时， 9分 ‎77.（2009年山东临沂）26．（本小题满分13分）‎ 如图，抛物线经过三点．‎ ‎（1）求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎（第26题图）‎ ‎（2009年山东临沂26题解析）解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为．‎ 将，代入，‎ 得解得 此抛物线的解析式为． （3分）‎ ‎（2）存在． （4分）‎ 如图，设点的横坐标为，‎ 145‎ 则点的纵坐标为，‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎（第26题图）‎ D P M E 当时，‎ ‎，．‎ 又，‎ ‎①当时，‎ ‎，‎ 即．‎ 解得（舍去），． （6分）‎ ‎②当时，，即．‎ 解得，（均不合题意，舍去）‎ 当时，． （7分）‎ 类似地可求出当时，． （8分）‎ 当时，．‎ 综上所述，符合条件的点为或或． （9分）[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为．‎ 过作轴的平行线交于．‎ 由题意可求得直线的解析式为． （10分）‎ 点的坐标为．‎ ‎． （11分）‎ ‎．‎ 当时，面积最大．‎ ‎． （13分）‎ 145‎ ‎78.（2009年山东青岛）24．（本小题满分12分）‎ 如图，在梯形ABCD中，，，，，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE．若设运动时间为（s）（）．解答下列问题：‎ ‎（1）当为何值时，？‎ ‎（2）设的面积为（cm2），求与之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（4）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由．‎ A E D Q P B F C 第24题图 ‎（2009年山东青岛24题解析）解：（1）∵‎ A E D Q P B F C N M ‎∴．‎ 而，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴当． 2分 ‎（2）∵平行且等于，[来源:学科网]‎ ‎∴四边形是平行四边形．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎．‎ ‎∴．‎ 过B作，交于，过作，交于．‎ ‎．‎ ‎∵，‎ 145‎ ‎∴．‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎． 6分 ‎（3）．‎ 若，‎ 则有，‎ 解得． 9分 ‎（4）在和中，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎∴在运动过程中，五边形的面积不变． 12分 ‎79.（2009年陕西）25．（本题满分12分）‎ 问题探究 ‎（1）请在图①的正方形内，画出使的一个点，并说明理由．‎ ‎（2）请在图②的正方形内（含边），画出使的所有的点，并说明理由．‎ 问题解决 D C B A ‎①‎ D C B A ‎③‎ D C B A ‎②‎ ‎（第25题图）‎ ‎（3）如图③，现在一块矩形钢板．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的和钢板，且．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出的面积（结果保留根号）．‎ 145‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎（2009年陕西25题解析）解：（1）如图①，‎ 连接交于点，则．‎ 点为所求． （3分）‎ ‎（2）如图②，画法如下：‎ D C B A ‎①‎ P D C B A ‎②‎ O P E F D C B A ‎③‎ E G O P ‎（第25题答案图）‎ ‎1）以为边在正方形内作等边；‎ ‎2）作的外接圆，分别与交于点．‎ 在中，弦所对的上的圆周角均为，‎ 上的所有点均为所求的点． （7分）‎ ‎（3）如图③，画法如下：‎ ‎1）连接；‎ ‎2）以为边作等边；‎ ‎3）作等边的外接圆，交于点；‎ ‎4）在上截取．‎ 则点为所求． （9分）‎ ‎（评卷时，作图准确，无画法的不扣分）‎ 过点作，交于点．‎ 在中，．‎ ‎．‎ ‎． （10分）‎ 在中，，‎ ‎．‎ 在中，，‎ ‎．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎．‎ ‎． （12分）‎ ‎80.（2009年山东泰安）（本小题满分10分）‎ 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。‎ （1） 求证：BE=AD；‎ （2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线；‎ 145‎ （1） ‎△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。‎ ‎（2009年山东泰安26题解析）证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，‎ ‎∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，‎ ‎∴∠1=∠2…………………………………………………1分 ‎∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC ‎∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分 ‎∴AD=BE……………………………………………………3分 ‎（2）∵E是AB中点，‎ ‎∴EB=EA 由（1）AD=BE得：AE=AD……………………………5分 ‎∵AD∥BC ‎∴∠7=∠ACB=45°‎ ‎∵∠6=45°‎ ‎∴∠6=∠7‎ 由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。‎ 即，AC是线段ED的垂直平分线。……………………7分 ‎（3）△DBC是等腰三角（CD=BD）……………………8分 理由如下：‎ 由（2）得：CD=CE 由（1）得：CE=BD ‎∴CD=BD ‎∴△DBC是等腰三角形。……………………………10分 ‎81.（2009年山东威海）25．（12分）‎ 一次函数的图象分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点分别作轴，轴，垂足分别为；过点分别作轴，轴，垂足分别为与交于点，连接．‎ ‎（1）若点在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：‎ ‎①；‎ ‎②．‎ ‎（2）若点分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则与还相等吗？试证明你的结论．‎ O C F M D E N K y x ‎（第25题图1）‎ O C D K F E N y x M ‎（第25题图2）‎ 145‎ ‎（2009年山东威海25题解析）解：（1）①轴，轴，‎ 四边形为矩形．‎ 轴，轴，‎ 四边形为矩形．‎ 轴，轴，‎ 四边形均为矩形． 1分 ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎． 2分 ‎②由（1）知．‎ ‎．‎ ‎． 4分 ‎，‎ ‎． 5分 ‎．‎ ‎． 6分 轴，[来源:Z+xx+k.Com]‎ 四边形是平行四边形．‎ ‎． 7分 O C D K F E N y x M 图2‎ 同理．‎ ‎． 8分 ‎（2）与仍然相等． 9分 ‎，‎ 145‎ ‎，‎ 又，‎ ‎． 10分 ‎．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎． 11分 轴，‎ 四边形是平行四边形．‎ ‎．‎ 同理．‎ ‎． 12分 ‎82.（2009年山东烟台）26．(本题满分14分)‎ ‎ 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是．‎ （1） 求抛物线对应的函数表达式；‎ （2） 经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；‎ （3） 设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由；[来源:Z*xx*k.Com]‎ （4） 当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．‎ O B x y A M C ‎1‎ ‎（第26题图）‎ y x E D N O A C M P N ‎1‎ F ‎（第26题图）‎ ‎（2009年山东烟台26题解析）解：（1）根据题意，得 2分 145‎ 解得 抛物线对应的函数表达式为． 3分 ‎（2）存在．‎ 在中，令，得．‎ 令，得，．‎ ‎，，．‎ 又，顶点． 5分 容易求得直线的表达式是．‎ 在中，令，得．‎ ‎，． 6分 在中，令，得．‎ ‎．‎ ‎，四边形为平行四边形，此时． 8分 ‎（3）是等腰直角三角形．‎ 理由：在中，令，得，令，得．‎ 直线与坐标轴的交点是，．‎ ‎，． 9分 又点，．． 10分 由图知，． 11分 ‎，且．是等腰直角三角形． 12分 ‎（4）当点是直线上任意一点时，（3）中的结论成立． 14分 ‎83.（2009年山东枣庄）25．（本题满分10分）‎ 第25题图 如图，在平面直角坐标系中，点C（－3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足．‎ ‎（1）求点A、点B的坐标；‎ ‎（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连结AP，设的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t 145‎ 的函数关系式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（2009年山东枣庄25题解析）（1）∵，‎ ‎∴，.‎ ‎∴，．…………………1分 点，点分别在轴，轴的正半轴上，‎ ‎∴A（1，0），B（0，）． ……………2分 ‎（2）由（1），得AC=4，，．‎ ‎　　 ∴．‎ ‎∴△ABC为直角三角形，． …………………………………………4分 设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ=．‎ ‎∴S=‎ ‎==－t（0≤t＜）． …………………………7分 ‎ （说明：不写t的范围不扣分）‎ ‎（3）存在，满足条件的的有两个．‎ ‎， ………………………………………………………………………8分 ‎．…………………………………………………………………10分 ‎84.（2009年上海）25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）‎ 已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图8所示）．‎ ‎（1）当，且点与点重合时（如图9所示），求线段的长；‎ ‎（2）在图8中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；‎ 145‎ ‎（3）当，且点在线段的延长线上时（如图10所示），求的大小．‎ A D P C B Q 图8‎ D A P C B ‎（Q）‎ ‎）‎ 图9‎ 图10‎ C A D P B Q ‎ ‎ ‎（2009年上海25题解析）解：（1）AD=2，且Q点与B点重合，根据题意，∠PBC=∠PDA，因为∠A=90。 PQ/PC=AD/AB=1,所以：△PQC为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2,‎ ‎（2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成S1，S2， 高分别是H，h，‎ 则：S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2‎ S2=3*h/2 因为两S1/S2=y，消去H,h,得：‎ Y=-(1/4)*x+(1/2), ‎ 定义域：当点P运动到与D点重合时，X的取值就是最大值，当PC垂直BD时，这时X=0，连接DC,作QD垂直DC，由已知条件得：B、Q、D、C四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形QDC相似于三角形ABD QD/DC=AD/AB=3/4，令QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，由勾股定理得：‎ 直角三角形AQD中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2‎ 直角三角形QBC中：3^2+x^2=(5t)^2‎ 整理得：64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0‎ ‎ 得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数:‎ Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为[0，7/8]‎ ‎(3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ′垂直于PC，与AB交于Q′点，‎ 则：B，Q′，P，C四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：‎ PQ′/PC=AD/AB,‎ 又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q′与点Q重合，所以角∠QPC=90。 ‎ A D P C B Q 图8‎ D A P C B ‎（Q）‎ ‎）‎ 图9‎ 图10‎ C A D P B Q ‎72（08黑龙江齐齐哈尔28题）（本小题满分10分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．‎ ‎（1）求点，点的坐标．‎ ‎（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．‎ ‎（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 145‎ ‎（08黑龙江齐齐哈尔28题解析）解：（1）‎ ‎， （1分）‎ ‎，‎ 点，点分别在轴，轴的正半轴上 ‎ （2分）‎ ‎（2）求得 （3分）‎ ‎（每个解析式各1分，两个取值范围共1分） （6分）‎ ‎（3）；；；（每个1分，计4分）‎ ‎ （10分）‎ 注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，酌情给分．‎ ‎73（08海南省卷24题）（本题满分14分）如图13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.‎ ‎（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；‎ ‎（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；‎ A B C O D E x y x=2‎ 图13‎ ‎（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎（08海南省卷24题解析）（1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，‎ 145‎ ‎∴ m=-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分）‎ ‎∴ B(-2,3)‎ ‎∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，‎ ‎∴ 点A的坐标为(4,0) . ‎ 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). ……………………（3分）‎ 将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .‎ ‎∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即. （6分）‎ ‎ （2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).‎ ‎ 过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，‎ A B C O D E x y x=2‎ G F H ‎ 则BG⊥直线x=2，BG=4.‎ ‎ 在Rt△BGC中，BC=.‎ ‎∵ CE=5，‎ ‎∴ CB=CE=5. ……………………（9分）‎ ‎②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，‎ 则点H的坐标为H(0,-5).‎ 又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，‎ ‎∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.‎ ‎ ∴ △DFB≌△DHE （SAS），‎ ‎∴ BD=DE.‎ 即D是BE的中点. ………………………………（11分）‎ ‎ （3） 存在. ………………………………（12分）‎ ‎ 由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，‎ ‎∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.‎ ‎ 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.‎ ‎ 将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得 .‎ ‎ ∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.‎ ‎∵ 动点P的坐标为(x，)，‎ ‎∴ x-1=. ………………………………（13分）‎ 解得 ，. ∴ ，.‎ ‎∴ 符合条件的点P的坐标为(，)或(，).…（14分）‎ ‎(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)‎ ‎74.（08广东东莞22题）（本题满分9分）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边 AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．‎ ‎(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形.‎ 145‎ ‎(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.‎ ‎(3)如图10，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.‎ E D C H F G B A P y x 图10‎ ‎10‎ D C B A E 图9‎ ‎（08广东东莞22题解析）解：（1），，…………………………1分 等腰；…………………………2分 ‎ （2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）‎ ‎ 　①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)‎ ‎②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)‎ ‎③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)‎ 所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分 K ‎（3）由题意知，FP∥AE，‎ ‎ ∴ ∠1＝∠PFB，‎ 又∵ ∠1＝∠2＝30°，‎ ‎ ∴ ∠PFB＝∠2＝30°,‎ ‎∴ FP＝BP.…………………………6分 过点P作PK⊥FB于点K，则.‎ ‎∵ AF＝t，AB＝8，‎ ‎∴ FB＝8－t，.‎ 在Rt△BPK中，. ……………………7分 ‎∴ △FBP的面积，‎ ‎∴ S与t之间的函数关系式为：‎ ‎ ，或. …………………………………8分 t的取值范围为：. …………………………………………………………9分 145‎ ‎75（08甘肃兰州28题）（本题满分12分）如图19-1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．‎ ‎（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；‎ ‎（2）如图19-2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？‎ ‎（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标．‎ y x B C O A D E 图19-1‎ y x B C O A D E 图19-2‎ P M N ‎（08甘肃兰州28题解析）（本题满分12分）‎ 解：（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴，‎ 在中，，．‎ ‎．．‎ 点坐标为（2，4）． 2分 在中，， 又．‎ ‎ ． 解得：．‎ 点坐标为 3分 ‎（2）如图①，．‎ ‎，又知，，‎ ‎， 又．‎ 而显然四边形为矩形．‎ ‎ 5分 ‎，又 145‎ 当时，有最大值． 6分 ‎（3）（i）若以为等腰三角形的底，则（如图①）‎ 在中，，，为的中点，‎ y x B C O A D E 图①‎ P M N F ‎．‎ 又，为的中点．‎ 过点作，垂足为，则是的中位线，‎ ‎，，‎ 当时，，为等腰三角形．‎ 此时点坐标为． 8分 ‎（ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图②）‎ y x B C O A D E 图②‎ P M N F 在中，．‎ 过点作，垂足为．‎ ‎，．‎ ‎．‎ ‎，．‎ ‎，，‎ 当时，（），此时点坐标为． 11分 综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或． 12分 ‎76.（08天津市卷26题）（本小题10分）‎ 已知抛物线，‎ ‎（Ⅰ）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与 145‎ 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．‎ ‎（08天津市卷26题解析）解（Ⅰ）当，时，抛物线为，‎ 方程的两个根为，． ‎ ‎∴该抛物线与轴公共点的坐标是和． 2分 ‎（Ⅱ）当时，抛物线为，且与轴有公共点．‎ 对于方程，判别式≥0，有≤． 3分 ‎①当时，由方程，解得．‎ 此时抛物线为与轴只有一个公共点． 4分 ‎②当时， ‎ 时，，‎ 时，．‎ 由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，‎ 应有 即 解得．‎ 综上，或． 6分 ‎（Ⅲ）对于二次函数，‎ 由已知时，；时，，‎ 又，∴．‎ 于是．而，∴，即．‎ ‎∴． 7分 ‎∵关于的一元二次方程的判别式 145‎ ‎， ‎ ‎∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方． 8分 又该抛物线的对称轴，‎ x 由，，，‎ 得，‎ ‎∴．‎ 又由已知时，；时，，观察图象，‎ 可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点． 10分 ‎77（08湖北宜昌25题）如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)．动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示．m，n是常数， m＞1，n＞0．‎ ‎（1）请你确定n的值和点B的坐标；‎ ‎(图1) (图2) ‎ ‎(第25题)‎ ‎（2）当动点P是经过点O，C的抛物线y＝ax＋bx＋c的顶点，且在双曲线y＝上时，求这时四边形OABC的面积．‎ ‎（08湖北宜昌25题解析）解：(1) 从图中可知，当P从O向A运动时，△POC的面积S＝mz， z由0逐步增大到2,则S由0逐步增大到m，故OA＝2，n＝2 . (1分)‎ 同理，AB＝1，故点B的坐标是(1，2).(2分)‎ ‎(2)解法一：‎ ‎∵抛物线y＝ax＋bx＋c经过点O(0，0)，C(m ，0),∴c＝0，b＝－am，(3分)‎ ‎∴抛物线为y＝ax－amx，顶点坐标为(，－am2).(4分)‎ ‎(25题图1)‎ 如图1，设经过点O，C，P的抛物线为l.‎ 当P在OA上运动时，O,P都在y轴上，‎ 这时P,O,C三点不可能同在一条抛物线上，‎ 145‎ ‎∴这时抛物线l不存在, 故不存在m的值..①‎ 当点P与C重合时，双曲线y＝不可能经过P,‎ 故也不存在m的值.②(5分)‎ ‎(说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分)‎ 当P在AB上运动时，即当02,与 x＝≤1不合，舍去.(6分)③‎ 容易求得直线BC的解析式是：，(7分)‎ 当P在BC上运动，设P的坐标为 (x,y)，当P是顶点时 x＝，‎ 故得y＝＝，顶点P为(，)，‎ ‎∵1< x＝2，又∵P在双曲线y＝上，‎ 于是，×＝，化简后得5m－22m＋22＝0, ‎ 解得,,(8分)‎ 与题意20），则N（R+1，R），‎ 代入抛物线的表达式，解得 …………6分 ‎②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），‎ 则N（r+1，－r），‎ 145‎ 代入抛物线的表达式，解得 ………7分 ‎∴圆的半径为或． ……………7分 ‎（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，‎ 易得G（2，－3），直线AG为．……………8分 设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．‎ ‎ ……………………9分 当时，△APG的面积最大 此时P点的坐标为，． ……………………10分 ‎6.（08湖北恩施）六、(本大题满分12分)‎ ‎24. 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.‎ ‎（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.‎ ‎（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.‎ ‎ （3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.‎ G y x 图12‎ O F E D C B A G 图11‎ F E D C B A ‎ （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（08湖北恩施24题解析）六、(本大题满分12分)‎ 145‎ ‎24. 解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA 1分 ‎ ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°‎ ‎ ∴∠BAE=∠CDA ‎ 又∠B=∠C=45°‎ ‎ ∴∆ABE∽∆DCA 3分 ‎ (2)∵∆ABE∽∆DCA ‎ ∴‎ ‎ 由依题意可知CA=BA=‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴m= 5分 ‎ 自变量n的取值范围为1