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  • 2021-05-10 发布

2018春中考数学圆的基本性质强化练习

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第六单元 圆 圆的基本性质 命题点1垂径定理求长度 ‎1.如图,在⊙O中,半径OC与弦AB垂直于点D,且AB=8,OC=5,则CD的长是( )‎ A. 3 B. ‎2.5 C. 2 D. 1‎ ‎ ‎ 第1题图 第2题图 第3题图 ‎2. 如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于点E,若CD=6,BE=1,则⊙O的直径为_______.‎ ‎3. 如图,AD是⊙O的直径,弦BC⊥AD于点E,AB=BC=12,则OC=__________.‎ 命题点2圆周角定理相关证明与计算 类型1求角度 ‎4. 如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB且相交于点E,则下列结论中不成立的是( )‎ A. ∠A=∠D B. CB=BD C. ∠ACB=90° D. ∠COB=3∠D ‎ ‎ 第4题图 第5题图 ‎5. 如图,点A、B、C在⊙O上,∠A=36°,∠C=28°,则∠B=( )‎ A. 100° B. 72° C. 64° D. 36°‎ ‎6. 如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ACD=30°,则∠BAD为( )‎ A. 30° B. 50° C. 60° D. 70°‎ ‎ ‎ 第6题图 第7题图 ‎7. 如图,点A、B、C在⊙O上,∠OBC=18°,则∠A=_________.‎ ‎8.如图,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,∠BOD=130°,AC∥OD交⊙O于点C,连接BC,则∠B=___________度.‎ 类型2求长度 第9题图 ‎9.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,∠CDB=30°,⊙O的半径为‎5 cm,则圆心O到弦CD的距离为( )‎ A. cm B. ‎‎3 cm C. 3 cm D. ‎‎6 cm ‎10. 如图,已知⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为点E,∠ACD=22.5°,若CD=‎6 cm,则AB的长为( )‎ A. ‎4 cm B. ‎3‎ cm C. ‎2‎cm D. ‎2‎ cm ‎ ‎ 第10题图 第11题图 ‎11. 如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A=15°,半径为2,则弦CD的长为( )‎ A.2 B.‎-1 C. D.4‎ ‎12.如图,边长为2的正方形ABCD中,点P是CD的中点,连接AP并延长,交BC的延长线于点F,作△CPF的外接圆⊙O,连接BP并延长交⊙O于点E,连接EF,则EF的长为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 第12题图 第13题图 ‎13. AB是⊙O的直径,AB=4,点M是OA的中点,过点M的直线与⊙O交于C、D两点.若∠CMA=45°,则弦CD的长为____________.‎ 类型3求锐角三角函数值 ‎14. 如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰在半圆上,过点C作CD⊥AB交AB于点D,已知cos∠ACD=,BC=4,则AC的长为( )‎ A. 1 B. C. 3 D. ‎ 第14题图 第15题图 ‎ ‎15. 如图,AB是⊙O的直径,AB=15,AC=9,则tan∠‎ ADC=_________.‎ ‎16. 如图,已知⊙O的半径为‎6 cm,弦AB的长为 ‎8 cm,P是AB延长线上一点,BP=‎2 cm,则tan∠OPA的值是.‎ ‎ ‎ 第16题图 第17题图 ‎17. 如图,直径为10的⊙A经过点C(0,6)和点O(0,0),与x轴的正半轴交于点D,B是y轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC的值为_________.‎ 类型4证明与计算 ‎18. 如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,且∠ABC=60°,AB=BC,△ACD的外接圆⊙O交BC于点E,连接DE并延长,交AC于点P,交AB延长线于点F.‎ ‎(1)求证:CF=DB;‎ ‎(2)当AD=时,试求E点到CF的距离.‎ 第18题图 ‎19. 如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,交CA的延长线于点E,连接AD、DE.‎ ‎(1)求证:D是BC的中点;‎ ‎(2)若DE=3,BD-AD=2,求⊙O的半径;‎ ‎(3)在(2)的条件下,求弦AE的长.‎ 第19题图 ‎20. 如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足=,连接AF并延长交⊙O于点E,连接AD、DE,若CF=2,AF=3.‎ ‎(1)求证:△ADF∽△AED;‎ ‎(2)求FG的长;‎ ‎(3)求证:tan∠E=.‎ 第20题图 命题点3圆内接四边形与正多边形 ‎21. 如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O的半径为6,则这个正六边形的边心距OM的长为.‎ ‎ ‎ 第21题图 第22题图 ‎22. 如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,若正方形的面积等于4,则⊙O的面积等于. ‎ ‎23. 如图,已知正六边形ABCDEF内接于半径为4的⊙O中,则阴影部分的面积为____________.‎ 第23题图 ‎ ‎ 答案 ‎1.C.在Rt△OBD中,OB=5,BD=4,根据勾股定理可得OD=3,则CD=OC-OD=5-3=2.‎ ‎2. 10【解析】如解图,连接OC,设⊙O半径为r,则OC=r,OE=r-BE=r-1,∵CD⊥AB,∴CE=DE=CD=3,在Rt△OCE中,∵OE2+CE2=OC2,∴(r-1)2+32=r2,解得r=5,∴直径为10.‎ ‎ ‎ 第2题解图 ‎3. 4【解析】∵BC⊥AD,AD是⊙O的直径,∴BE=CE=6,,在Rt△ABE中,AB=BC=2BE,∴∠BAE=30°,∴∠DOC=2∠BAE=60°,∴在Rt△EOC中,OC= =6sin60°=4.‎ ‎4. D【解析】根据垂径定理和圆周角定理可得出选项A、B、C正确,而D,根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍,∴∠COB=2∠D≠3∠‎ D,故D不成立.‎ ‎5. C【解析】如解图,设OB与AC的交点为E,∵∠A=36°,∴∠O=2∠A=72°,∵∠C=28°,∴∠AEB=∠OEC=180°-72°-28°=80°,∴∠B=180°-80°-36°=64°.‎ ‎6. C【解析】如解图,连接BD,∵AB是在⊙O的第6题解图直径,∴∠ADB=90°,由同弧所对圆周角相等可知∠ABD=∠ACD=30°,∴∠BAD=90°-∠ABD=60°.‎ 第5题解图 ‎ 7. 72°【解析】∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=18°,∴∠BOC=180°-18°-18°=144°,∴∠A=∠BOC=72°.‎ ‎8. 40【解析】∵∠BOD=130°,∴∠AOD=50°,又∵AC∥OD,∴∠BAC=∠AOD=50°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=180°-90°-50°=40°.‎ ‎9. A【解析】∵∠CDB=30°,∴∠COB=60°,又∵CD⊥AB,∴∠OEC=90°,∴∠OCE=30°,∴OE=12OC=12×5= cm.‎ ‎10. B【解析】连接OA,如解图,∵∠ACD=22.5°,∴∠AOD=2∠ACD=45°,∵⊙O的直径CD垂直于弦AB,∴AE=BE,△OAE为等腰直角三角形,∴AE=OE,∵CD=‎6 cm,∴OC=OA=‎3 cm,∴AE= cm,∴AB=2AE=3‎ cm.‎ 第10题解图 ‎11. A【解析】由垂径定理可知CD=2CE,由圆周角定理知∠COE=2∠A=30°,∵⊙O的半径为2,∴OC=2,∴CE=1,∴CD=2.‎ ‎12. D【解析】∵PF为⊙O的直径,∴∠PCF=∠BEF=90°,又∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,∴PC∥AB,又∵P是CD的中点,∴△ADP≌△FCP,∴AP=PF,AD=CF=BC.∴CF=2,BF=4,CP=1,在Rt△BPC中,BP= =4+1=5,在Rt△BPC和Rt△BFE中,∵∠PBC=∠FBE,∠BCP=∠BEF=90°,∴‎ ‎△BPC∽△BFE, ∴EF:CP=BF:BP,∴EF=.‎ ‎13. 【解析】如解图,作ON⊥CD于N,连接OD,M为OA中点,则OM=OA=1,∵∠CMA=45°,∴∠OMN=45°,在Rt△OMN中,ON=OM·sin∠OMN=,DN= =,∴CD=2DN=.‎ ‎14. D【解析】∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∵CD⊥AB,∴∠BCD+∠B=90°,∴∠B=∠ACD,∵cos∠ACD=,∴cosB=,∴tanB=,∵BC=4,∴tanB=AC:BC=AC:4=4:3,∴AC=.‎ 第13题解图 ‎15. 【解析】∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴BC= =12,由同弧所对的圆周角相等,得∠ADC=∠B,∴tan∠ADC=tanB=AC:BC=.‎ ‎16. 【解析】如解图,连接OB,过点O作OM⊥AB于点M,∵OA=OB=‎6 cm,OM⊥AB, ∴在等腰△OAB中, BM= =×8=‎4 cm,∴在Rt△BOM中,OM=cm, 又∵PM=BM+BP=‎6 cm,   ∴在Rt△OPM中,tan∠OPA= =.‎ 第16题解图 ‎17. 【解析】如解图,连接CD,∵∠COD=90°,∴CD是⊙A的直径,即CD=10,∵点C(0,6),∴OC=6,∴OD= =8,∴cos∠ODC= =,由同弧所对的圆周角相等得∠OBC=∠ODC,∴cos∠OBC=.‎ 第17题解图 ‎18. (1)证明:如解图,连接AE,‎ ‎∵AC为⊙O的直径,‎ ‎∴∠AEC=90°,‎ 第18题解图 ‎∵∠ABC=60°,AB=BC,‎ ‎∴△ABC为等边三角形,‎ ‎∴AE为△ABC中BC边上的高,‎ ‎∴CE=BE,‎ ‎∵AB∥CD, ‎ ‎∴∠FDC=∠BFD,∠DCB=∠CBF,(2分)‎ ‎∵在△DCE和△FBE中,‎ ‎,‎ ‎∴△DCE≌△FBE(AAS),(4分)‎ ‎∴DE=EF,‎ 又∵CE=BE,‎ ‎∴四边形BDCF为平行四边形,(5分)‎ ‎∴CF=DB;(6分)‎ ‎(2)解:如解图,过点E作EH⊥CF于点H,(7分)‎ ‎∵AB∥CD, ‎ ‎∴∠DCA=∠CAB=60°,(8分)‎ 在Rt△ACD中,∵AD=3,∠DCA=60°,‎ ‎∴CD=ADtan60°=1,AC=AB=2,‎ 在Rt△ABD中,由勾股定理得:‎ BD= =7,(9分)‎ ‎∵四边形BDCF为平行四边形,‎ ‎∴BF=CD=1,CF=BD=7,‎ ‎∴S△CEF=S四边形BDCF,‎ 即CF·EH=AD·BF,‎ ‎∴EH=.(12分)‎ ‎19. (1)证明:∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴点D是BC的中点;(3分)‎ ‎(2)解:∵AB=AC,‎ ‎∴∠ABC=∠C,‎ 又∵∠ABC=∠AED,‎ ‎∴∠AED=∠C,‎ ‎∴CD=DE=3,‎ ‎∴BD=DC=3;(4分)‎ ‎∵BD-AD=2,‎ ‎∴AD=1,‎ 在Rt△ABD中,由勾股定理得 AB2=BD2+AD2=32+12=,‎ ‎∴AB=,‎ ‎∴⊙O的半径为;(7分)‎ ‎(3)解:如解图,连接BE,‎ 第19题解图 ‎∵AB=10,∴AC=10,‎ ‎∵∠ADC=∠BEA,∠C=∠C,‎ ‎∴△CDA∽△CEB,(9分)‎ ‎∴AC:BC=CD:CE,‎ ‎∴CE=,‎ ‎∴AE=CE-AC=-=.(12分)‎ ‎20. 解:(1)∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,‎ ‎∴,DG=CG,(1分)‎ ‎∴∠ADF=∠AED,(2分)‎ ‎∵∠FAD=∠DAE,‎ ‎∴△ADF∽△AED;(4分)‎ ‎(2)∵ =,CF=2,‎ ‎∴FD=6,(5分)‎ ‎∴CD=DF+CF=8,‎ ‎∴GC=GD=4,‎ ‎∴FG=CG-CF=2;(6分)‎ ‎(3)证明:∵AF=3.FG=2,‎ ‎∴在Rt△AGF中,AG= =,(7分)‎ ‎∴在Rt△AGD中,tan∠ADG= =.(9分)‎ ‎∵∠ADF=∠AED,‎ ‎∴tan∠E=.(10分)‎ ‎21. 3【解析】连接OB、OC,由正六边形的性质可得∠BOC=60°,△OBC为等边三角形,∴∠OBC=60°,在Rt△OBM中,sin∠OBM=OMOB=OM6=,解得OM=3.‎ ‎22. 2π【解析】如解图,连接BD,∵正方形的面积为4,∴BC=CD=2,在正方形ABCD中,∠C=90° ,∴BD是⊙O的直径.根据勾股定理得 BD= ,∴⊙O的半径r为2 ,其面积为πr2=π×()2=2π.‎ ‎23. 12【解析】如解图,连接OA、OE、OC,则OA=OC=OE,∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形,∴OA=AB=BC=OC,∴△AOC≌△ABC,同理可得△AFE≌△AOE,△EDC≌△EOC,‎ ‎∴S阴影=S正六边形ABCDEF,连接OB,则△AOB是等边三角形,且AB=4,∴S△ABO=AB=×16=4,‎ ‎∴S正六边形ABCDEF=6S△ABO=24,‎ ‎∴S阴影=12.‎