2020年四川省南充市中考数学试卷(含解析） 25页

‎2020年四川省南充市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．‎ ‎1．（4分）若‎1‎x‎=-‎4，则x的值是（　　）‎ A．4 B．‎1‎‎4‎ C．‎-‎‎1‎‎4‎ D．﹣4‎ ‎2．（4分）2020年南充市各级各类学校在校学生人数约为1150000人，将1150000用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.15×106 B．1.15×107 C．11.5×105 D．0.115×107‎ ‎3．（4分）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为（　　）‎ A．π B．2π C．3π D．4π ‎4．（4分）下列运算正确的是（　　）‎ A．3a+2b＝5ab B．3a•2a＝6a2 ‎ C．a3+a4＝a7 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2‎ ‎5．（4分）八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位：环）：4，5，6，6，6，7，8．则下列说法错误的是（　　）‎ A．该组成绩的众数是6环 ‎ B．该组成绩的中位数是6环 ‎ C．该组成绩的平均数是6环 ‎ D．该组成绩数据的方差是10‎ ‎6．（4分）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．a+b‎2‎ B．a-b‎2‎ C．a﹣b D．b﹣a ‎7．（4分）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（　　）‎ A．‎1‎‎4‎S B．‎1‎‎8‎S C．‎1‎‎12‎S D．‎1‎‎16‎S ‎8．（4分）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（　　）‎ A．‎2‎‎6‎ B．‎26‎‎26‎ C．‎26‎‎13‎ D．‎‎13‎‎13‎ ‎9．（4分）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．‎1‎‎9‎‎≤‎a≤3 B．‎1‎‎9‎‎≤‎a≤1 C．‎1‎‎3‎‎≤‎a≤3 D．‎1‎‎3‎‎≤‎a≤1‎ ‎10．（4分）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝‎ 第25页（共25页）‎ ‎2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则‎-‎4‎‎3‎＜‎a≤﹣1或1≤a‎＜‎‎4‎‎3‎；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a‎＜-‎‎5‎‎4‎或a≥1．其中正确的结论是（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上.‎ ‎11．（4分）计算：|1‎-‎‎2‎|+20＝　 　．‎ ‎12．（4分）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝　 　度．‎ ‎13．（4分）从长分别为1，2，3，4的四条线段中，任意选取三条线段，能组成三角形的概率是　 　．‎ ‎14．（4分）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔　 　支．‎ ‎15．（4分）若x2+3x＝﹣1，则x‎-‎1‎x+1‎=‎　 　．‎ ‎16．（4分）△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙O上，已知AE＝2，tanD＝3，则AB＝　 　．‎ 三、解答题（本大题共9个小题，其86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（8分）先化简，再求值：（‎1‎x+1‎‎-‎1）‎÷‎x‎2‎‎-xx+1‎，其中x‎=‎2‎+‎1．‎ ‎18．（8分）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．‎ 第25页（共25页）‎ ‎19．（8分）今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助．某批次派出20人组成的专家组，分别赴A、B、C、D四个国家开展援助工作，其人员分布情况如统计图（不完整）所示：‎ ‎（1）计算赴B国女专家和D国男专家人数，并将条形统计图补充完整．‎ ‎（2）根据需要，从赴A国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率．‎ ‎20．（10分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．‎ ‎（1）求k的取值范围．‎ ‎（2）是否存在实数k，使得等式‎1‎x‎1‎‎+‎1‎x‎2‎=‎k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎21．（10分）如图，反比例函数y‎=‎kx（k≠0，x＞0）的图象与y＝2x的图象相交于点C，过直线上点A（a，8）作AB⊥y轴交于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝4BD．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式．‎ ‎（2）求四边形OCDB的面积．‎ 第25页（共25页）‎ ‎22．（10分）如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．‎ ‎（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．‎ ‎（2）若DF＝4‎2‎，求tan∠EAD的值．‎ ‎23．（10分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．‎ ‎（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．‎ ‎（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）‎ ‎24．（10分）如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．‎ 第25页（共25页）‎ ‎（1）求证：AM＝BN．‎ ‎（2）请判定△OMN的形状，并说明理由．‎ ‎（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK＝x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为‎1‎‎10‎，请直接写出AK长．‎ ‎25．（12分）已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．‎ ‎（1）求二次函数的解析式．‎ ‎（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ‎=‎‎5‎‎3‎，求点K的坐标．‎ 第25页（共25页）‎ ‎2020年四川省南充市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．‎ ‎1．（4分）若‎1‎x‎=-‎4，则x的值是（　　）‎ A．4 B．‎1‎‎4‎ C．‎-‎‎1‎‎4‎ D．﹣4‎ ‎【解答】解：∵‎1‎x‎=-‎4，‎ ‎∴x‎=-‎‎1‎‎4‎，‎ 故选：C．‎ ‎2．（4分）2020年南充市各级各类学校在校学生人数约为1150000人，将1150000用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.15×106 B．1.15×107 C．11.5×105 D．0.115×107‎ ‎【解答】解：1150000＝1.15×106，‎ 故选：A．‎ ‎3．（4分）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为（　　）‎ A．π B．2π C．3π D．4π ‎【解答】解：由题意可得：点B运动路径的长度为‎=‎90×π×2‎‎180‎=‎π，‎ 故选：A．‎ ‎4．（4分）下列运算正确的是（　　）‎ A．3a+2b＝5ab B．3a•2a＝6a2 ‎ C．a3+a4＝a7 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2‎ ‎【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；‎ 第25页（共25页）‎ B、原式＝6a2，符合题意；‎ C、原式不能合并，不符合题意；‎ D、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意．‎ 故选：B．‎ ‎5．（4分）八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位：环）：4，5，6，6，6，7，8．则下列说法错误的是（　　）‎ A．该组成绩的众数是6环 ‎ B．该组成绩的中位数是6环 ‎ C．该组成绩的平均数是6环 ‎ D．该组成绩数据的方差是10‎ ‎【解答】解：A、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是6环，故本选项正确；‎ B、该组成绩的中位数是6环，故本选项正确；‎ C、该组成绩的平均数是：‎1‎‎7‎（4+5+6+6+6+7+8）＝6（环），故本选项正确；‎ D、该组成绩数据的方差是‎1‎‎7‎[（4﹣6）2+（5﹣6）2+3×（6﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]‎=‎‎10‎‎7‎，故本选项错误；‎ 故选：D．‎ ‎6．（4分）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（　　）‎ A．a+b‎2‎ B．a-b‎2‎ C．a﹣b D．b﹣a ‎【解答】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，‎ ‎∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，‎ ‎∴∠ABD＝36°＝∠A，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴BD＝AD，‎ ‎∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，‎ ‎∴BD＝BC，‎ ‎∵AB＝AC＝a，BC＝b，‎ ‎∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，‎ 故选：C．‎ ‎7．（4分）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（　　）‎ A．‎1‎‎4‎S B．‎1‎‎8‎S C．‎1‎‎12‎S D．‎1‎‎16‎S ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S‎=‎‎1‎‎2‎AC×BD，‎ ‎∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，‎ ‎∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，‎ ‎∵点E是线段BC的中点，‎ ‎∴EF、EG都是△OBC的中位线，‎ ‎∴EF‎=‎‎1‎‎2‎OC‎=‎‎1‎‎4‎AC，EG‎=‎‎1‎‎2‎OB‎=‎‎1‎‎4‎BD，‎ ‎∴矩形EFOG的面积＝EF×EG‎=‎‎1‎‎4‎AC‎×‎‎1‎‎4‎BD‎=‎‎1‎‎8‎S；‎ 故选：B．‎ ‎8．（4分）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（　　）‎ A．‎2‎‎6‎ B．‎26‎‎26‎ C．‎26‎‎13‎ D．‎‎13‎‎13‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：如图，作BD⊥AC于D，‎ 由勾股定理得，AB‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎‎13‎，AC‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎3‎2‎，‎ ‎∵S△ABC‎=‎‎1‎‎2‎AC•BD‎=‎1‎‎2‎×‎3‎2‎•BD‎=‎1‎‎2‎×‎1×3，‎ ‎∴BD‎=‎‎2‎‎2‎，‎ ‎∴sin∠BAC‎=BDAB=‎2‎‎2‎‎13‎=‎‎26‎‎26‎．‎ 故选：B．‎ ‎9．（4分）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．‎1‎‎9‎‎≤‎a≤3 B．‎1‎‎9‎‎≤‎a≤1 C．‎1‎‎3‎‎≤‎a≤3 D．‎1‎‎3‎‎≤‎a≤1‎ ‎【解答】解：当抛物线经过（1，3）时，a＝3，‎ 当抛物线经过（3，1）时，a‎=‎‎1‎‎9‎，‎ 观察图象可知‎1‎‎9‎‎≤‎a≤3，‎ 故选：A．‎ ‎10．（4分）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则‎-‎4‎‎3‎＜‎a≤﹣1或1≤a‎＜‎‎4‎‎3‎；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a‎＜-‎‎5‎‎4‎或a≥1．其中正确的结论是（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ ‎【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x‎=‎-4a‎2a=2‎，‎ ‎∴x1＝2+m与x2＝2﹣m关于直线x＝2对称，‎ ‎∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；‎ 故①正确；‎ 当x＝3时，y＝﹣3a﹣5，当x＝4时，y＝﹣5，‎ 若a＞0时，当3≤x≤4时，﹣3a﹣5＜y≤﹣5，‎ ‎∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，‎ ‎∴1≤a‎＜‎‎4‎‎3‎，‎ 若a＜0时，当3≤x≤4时，﹣5≤y＜﹣3a﹣5，‎ ‎∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，‎ ‎∴‎-‎4‎‎3‎＜‎a≤﹣1，‎ 故②正确；‎ 若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，‎ ‎∴△＞0，25a﹣20a﹣5≥0，‎ ‎∴‎16a‎2‎+20a＞0‎‎5a-5≥0‎，‎ ‎∴a≥1，‎ 若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，‎ ‎∴△＞0，25a﹣20a﹣5≤0，‎ ‎∴‎16a‎2‎+20a＞0‎‎5a-5≤0‎，‎ ‎∴a‎＜-‎‎5‎‎4‎，‎ 综上所述：当a‎＜-‎‎5‎‎4‎或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上.‎ ‎11．（4分）计算：|1‎-‎‎2‎|+20＝　‎2‎　．‎ ‎【解答】解：原式‎=‎2‎-‎1+1‎ 第25页（共25页）‎ ‎=‎‎2‎‎．‎ 故答案为：‎2‎．‎ ‎12．（4分）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝　38　度．‎ ‎【解答】解：∵两直线交于点O，‎ ‎∴∠1＝∠2，‎ ‎∵∠1+∠2＝76°，‎ ‎∴∠1＝38°．‎ 故答案为：38．‎ ‎13．（4分）从长分别为1，2，3，4的四条线段中，任意选取三条线段，能组成三角形的概率是　‎1‎‎4‎　．‎ ‎【解答】解：画树状图如图：‎ 共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有6个，‎ ‎∴能组成三角形的概率为‎6‎‎24‎‎=‎‎1‎‎4‎；‎ 故答案为：‎1‎‎4‎．‎ ‎14．（4分）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔　10　支．‎ ‎【解答】解：设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，由题意得：‎ ‎7x+5y＝100，‎ ‎∵x与y为整数，‎ ‎∴x的最大值为10，‎ 故答案为：10．‎ 第25页（共25页）‎ ‎15．（4分）若x2+3x＝﹣1，则x‎-‎1‎x+1‎=‎　﹣2　．‎ ‎【解答】解：x‎-‎‎1‎x+1‎ ‎=‎x(x+1)-1‎x+1‎‎ ‎ ‎=‎x‎2‎‎+x-1‎x+1‎‎，‎ ‎∵x2+3x＝﹣1，‎ ‎∴x2＝﹣1﹣3x，‎ ‎∴原式‎=‎-1-3x+x-1‎x+1‎=‎-2x-2‎x+1‎=-‎2(x+1)‎x+1‎=-‎2，‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎16．（4分）△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙O上，已知AE＝2，tanD＝3，则AB＝　‎10‎‎3‎　．‎ ‎【解答】解：∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB＝∠ACB＝90°，‎ ‎∵将△ABC绕点C旋转到△EDC，‎ ‎∴AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，‎ ‎∵tanD‎=CECD=‎3，‎ ‎∴设CE＝3x，CD＝x，‎ ‎∴DE‎=‎‎10‎x，‎ ‎∵∠ACE＝∠BCD，∠D＝∠ABC＝∠AEC，‎ ‎∴△ACE∽△DCB，‎ ‎∴ACBC‎=CECD=AEBD=‎3，‎ ‎∵AE＝2，‎ ‎∴BD‎=‎‎2‎‎3‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴BE＝DE﹣BD‎=‎‎10‎x‎-‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∵AE2+BE2＝AB2，‎ ‎∴22+（‎10‎x‎-‎‎2‎‎3‎）2＝（‎10‎x）2，‎ ‎∴x‎=‎‎10‎‎3‎，‎ ‎∴AB＝DE‎=‎‎10‎‎3‎，‎ 故答案为：‎10‎‎3‎．‎ 三、解答题（本大题共9个小题，其86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（8分）先化简，再求值：（‎1‎x+1‎‎-‎1）‎÷‎x‎2‎‎-xx+1‎，其中x‎=‎2‎+‎1．‎ ‎【解答】解：（‎1‎x+1‎‎-‎1）‎‎÷‎x‎2‎‎-xx+1‎ ‎=‎1-(x+1)‎x+1‎⋅‎x+1‎x(x-1)‎‎ ‎ ‎=‎‎1-x-1‎x(x-1)‎‎ ‎ ‎=‎‎-xx(x-1)‎‎ ‎ ‎=‎‎1‎‎1-x‎，‎ 当x‎=‎2‎+‎1时，原式‎=‎1‎‎1-‎2‎-1‎=-‎‎2‎‎2‎．‎ ‎18．（8分）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．‎ ‎【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，‎ ‎∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，‎ ‎∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴∠ACB＝∠CED．‎ 在△ABC和△CDE中，‎ ‎∠ACB=∠CEDBC=DE‎∠ABC=∠CDE‎，‎ ‎∴△ABC≌△CDE（ASA），‎ ‎∴AB＝CD．‎ ‎19．（8分）今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助．某批次派出20人组成的专家组，分别赴A、B、C、D四个国家开展援助工作，其人员分布情况如统计图（不完整）所示：‎ ‎（1）计算赴B国女专家和D国男专家人数，并将条形统计图补充完整．‎ ‎（2）根据需要，从赴A国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率．‎ ‎【解答】解：（1）（2+3）÷25%＝20（人），‎ 所以调查的总人数为20人，‎ 赴B国女专家人数为20×40%﹣5＝3（人）‎ 赴D国男专家人数为20×（1﹣20%﹣40%﹣25%）﹣2＝1（人）‎ 条形统计图补充为：‎ 第25页（共25页）‎ ‎（2）画树状图为：‎ 共有20种等可能的结果数，其中所抽取的两名专家恰好是一男一女的结果数为12，‎ 所以所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率‎=‎12‎‎20‎=‎‎3‎‎5‎．‎ ‎20．（10分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．‎ ‎（1）求k的取值范围．‎ ‎（2）是否存在实数k，使得等式‎1‎x‎1‎‎+‎1‎x‎2‎=‎k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，‎ ‎∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，‎ 解得：k≤﹣1．‎ ‎（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，‎ ‎∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．‎ ‎∵‎1‎x‎1‎‎+‎1‎x‎2‎=‎k﹣2，‎ ‎∴x‎1‎‎+‎x‎2‎x‎1‎x‎2‎‎=‎2‎k+2‎=‎k﹣2，‎ ‎∴k2﹣6＝0，‎ 解得：k1‎=-‎‎6‎，k2‎=‎‎6‎．‎ 又∵k≤﹣1，‎ ‎∴k‎=-‎‎6‎．‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴存在这样的k值，使得等式‎1‎x‎1‎‎+‎1‎x‎2‎=‎k﹣2成立，k值为‎-‎‎6‎．‎ ‎21．（10分）如图，反比例函数y‎=‎kx（k≠0，x＞0）的图象与y＝2x的图象相交于点C，过直线上点A（a，8）作AB⊥y轴交于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝4BD．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式．‎ ‎（2）求四边形OCDB的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（a，8）在直线y＝2x上，‎ ‎∴a＝4，A（4，8），‎ ‎∵AB⊥y轴于D，AB＝4BD，‎ ‎∴BD＝1，即D（1，8），‎ ‎∵点D在y‎=‎kx上，‎ ‎∴k＝8．‎ ‎∴反比例函数的解析式为y‎=‎‎8‎x．‎ ‎（2）由y=2xy=‎‎8‎x，解得x=2‎y=4‎或x=-2‎y=-4‎（舍弃），‎ ‎∴C（2，4），‎ ‎∴S四边形OBDC＝S△AOB﹣S△ADC‎=‎1‎‎2‎×‎4×8‎-‎1‎‎2‎×‎4×3＝10．‎ 第25页（共25页）‎ ‎22．（10分）如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．‎ ‎（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．‎ ‎（2）若DF＝4‎2‎，求tan∠EAD的值．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴∠OAD＝∠ODA，‎ ‎∵AD平分∠EAF，‎ ‎∴∠DAE＝∠DAO，‎ ‎∴∠DAE＝∠ADO，‎ ‎∴OD∥AE，‎ ‎∵AE⊥EF，‎ ‎∴OD⊥EF，‎ ‎∴EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：在Rt△ODF中，OD＝2，DF＝4‎2‎，‎ ‎∴OF‎=OD‎2‎+DF‎2‎=‎6，‎ ‎∵OD∥AE，‎ ‎∴ODAE‎=OFAF=‎DFEF，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴‎2‎AE‎=‎6‎‎8‎=‎‎4‎‎2‎ED+4‎‎2‎，‎ ‎∴AE‎=‎‎8‎‎3‎，ED‎=‎‎4‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∴tan∠EAD‎=DEAE=‎‎2‎‎2‎．‎ ‎23．（10分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．‎ ‎（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．‎ ‎（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）‎ ‎【解答】解：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，‎ 当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，‎ 则‎12k+b=16，‎‎20k+b=14，‎ 解得：‎k=-‎1‎‎4‎，‎b=19，‎ ‎∴z‎=-‎‎1‎‎4‎x+19，‎ ‎∴z关于x的函数解析式为z‎=‎‎16，(0＜x≤12)‎z=-‎1‎‎4‎x+19，(12＜x≤20)‎．‎ ‎（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，‎ 第25页（共25页）‎ ‎①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，‎ ‎∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；‎ ‎②当12＜x≤20时，‎ w＝（‎-‎‎1‎‎4‎x+19﹣10）（5x+40）‎ ‎=-‎‎5‎‎4‎x2+35x+360‎ ‎=-‎‎5‎‎4‎‎（x﹣14）2+605，‎ ‎∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．‎ 综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．‎ ‎24．（10分）如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．‎ ‎（1）求证：AM＝BN．‎ ‎（2）请判定△OMN的形状，并说明理由．‎ ‎（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK＝x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为‎1‎‎10‎，请直接写出AK长．‎ ‎【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB＝BC，∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠ABM+∠CBM＝90°，‎ ‎∵AM⊥BM，CN⊥BN，‎ ‎∴∠AMB＝∠BNC＝90°，‎ ‎∴∠MAB+∠MBA＝90°，‎ ‎∴∠MAB＝∠CBM，‎ ‎∴△ABM≌△BCN（AAS），‎ ‎∴AM＝BN；‎ 第25页（共25页）‎ ‎（2）△OMN是等腰直角三角形，‎ 理由如下：如图，连接OB，‎ ‎∵点O是正方形ABCD的中心，‎ ‎∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，‎ ‎∵∠MAB＝∠CBM，‎ ‎∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC，‎ ‎∴∠MAO＝∠NBO，‎ 又∵AM＝BN，OA＝OB，‎ ‎∴△AOM≌△BON（SAS），‎ ‎∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON，‎ ‎∵∠AON+∠BON＝90°，‎ ‎∴∠AON+∠AOM＝90°，‎ ‎∴∠MON＝90°，‎ ‎∴△MON是等腰直角三角形；‎ ‎（3）在Rt△ABK中，BK‎=AK‎2‎+AB‎2‎=‎x‎2‎+1‎，‎ ‎∵S△ABK‎=‎1‎‎2‎×‎AK×AB‎=‎1‎‎2‎×‎BK×AM，‎ ‎∴AM‎=AK⋅ABBK=‎xx‎2‎+1‎，‎ ‎∴BN＝AM‎=‎xx‎2‎+1‎，‎ ‎∵cos∠ABK‎=BMAB=‎ABBK，‎ ‎∴BM‎=AB⋅ABBK=‎‎1‎x‎2‎+1‎，‎ ‎∴MN＝BM﹣BN‎=‎‎1-xx‎2‎+1‎ ‎∵S△OMN‎=‎‎1‎‎4‎MN2‎=‎‎(1-x)‎‎2‎‎4x‎2‎+4‎，‎ ‎∴y‎=‎x‎2‎-2x+1‎‎4x‎2‎+4‎（0＜x＜1）；‎ 第25页（共25页）‎ 当点K在线段AD上时，则‎1‎‎10‎‎=‎x‎2‎-2x+1‎‎4x‎2‎+4‎，‎ 解得：x1＝3（不合题意舍去），x2‎=‎‎1‎‎3‎，‎ 当点K在线段AD的延长线时，同理可求y‎=‎x‎2‎-2x+1‎‎4x‎2‎+4‎（x＞1），‎ ‎∴‎1‎‎10‎‎=‎x‎2‎-2x+1‎‎4x‎2‎+4‎，‎ 解得：x1＝3，x2‎=‎‎1‎‎3‎（不合题意舍去），‎ 综上所述：AK的值为3或‎1‎‎3‎时，△OMN的面积为‎1‎‎10‎．‎ ‎25．（12分）已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．‎ ‎（1）求二次函数的解析式．‎ ‎（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ‎=‎‎5‎‎3‎，求点K的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），‎ ‎∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），‎ ‎∵二次函数图象过点C（0，4），‎ ‎∴4＝a（0+2）（0﹣4），‎ ‎∴a‎=-‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴二次函数的解析式为y‎=-‎‎1‎‎2‎（x+2）（x﹣4）‎=-‎‎1‎‎2‎x2+x+4；‎ ‎（2）存在，‎ 理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，‎ ‎∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC‎=‎(4-0)‎2‎+(0-4)‎‎2‎=‎4‎2‎，‎ 设直线BP解析式为：y＝kx+b，‎ 由题意可得：‎2=-k+b‎0=4k+b，‎ 解得：‎k=-‎‎2‎‎5‎b=‎‎8‎‎5‎ ‎∴直线BP的解析式为：y‎=-‎‎2‎‎5‎x‎+‎‎8‎‎5‎，‎ ‎∵∠BMC＝90°‎ ‎∴点M在以BC为直径的圆上，‎ ‎∴设点M（c，‎-‎‎2‎‎5‎c‎+‎‎8‎‎5‎），‎ ‎∵点Q是Rt△BCM的中点，‎ ‎∴MQ‎=‎‎1‎‎2‎BC＝2‎2‎，‎ ‎∴MQ2＝8，‎ ‎∴（c﹣2）2+（‎-‎‎2‎‎5‎c‎+‎8‎‎5‎-‎2）2＝8，‎ ‎∴c＝4或‎-‎‎24‎‎29‎，‎ 当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，‎ ‎∴c‎=-‎‎24‎‎29‎，则点M坐标（‎-‎‎24‎‎29‎，‎56‎‎29‎），‎ 故线段PB上存在点M（‎-‎‎24‎‎29‎，‎56‎‎29‎），使得∠BMC＝90°；‎ ‎（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，‎ ‎∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，‎ ‎∴∠OBC＝45°，‎ ‎∵DE⊥BC，‎ ‎∴∠EDB＝∠EBD＝45°，‎ ‎∴DE＝BE‎=BD‎2‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎，‎ ‎∵点B（4，0），C（0，4），‎ ‎∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，‎ 设点E（n，﹣n+4），‎ ‎∴﹣n+4‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴n‎=‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∴点E（‎5‎‎2‎，‎3‎‎2‎），‎ 在Rt△DNE中，NE‎=DEtanθ=‎3‎‎2‎‎2‎‎5‎‎3‎=‎‎9‎‎2‎‎10‎，‎ ‎①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），‎ ‎∵NE＝BN﹣BE，‎ ‎∴‎9‎‎2‎‎10‎‎=‎‎2‎（4﹣m）‎-‎‎3‎‎2‎‎2‎，‎ ‎∴m‎=‎‎8‎‎5‎，‎ ‎∴点N（‎8‎‎5‎，‎12‎‎5‎），‎ ‎∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，‎ 第25页（共25页）‎ 联立方程组可得：y=4x-4‎y=-‎1‎‎2‎x‎2‎+x+4‎，‎ 解得：x‎1‎=2‎y‎1‎=4‎或x‎2‎=-8‎y‎2‎=-36‎，‎ ‎∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；‎ ‎②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），‎ ‎∵NE＝BE﹣BN，‎ ‎∴‎9‎‎2‎‎10‎‎=‎3‎‎2‎‎2‎-‎‎2‎（4﹣m），‎ ‎∴m‎=‎‎17‎‎5‎，‎ ‎∴点N（‎17‎‎5‎，‎3‎‎5‎），‎ ‎∴直线DK解析式为：y‎=‎‎1‎‎4‎x‎-‎‎1‎‎4‎，‎ 联立方程组可得：y=‎1‎‎4‎x-‎‎1‎‎4‎y=-‎1‎‎2‎x‎2‎+x+4‎，‎ 解得：x‎3‎=‎‎3+‎‎145‎‎4‎y‎3‎=‎‎-1+‎‎145‎‎16‎或x‎4‎=‎‎3-‎‎145‎‎4‎y‎4‎=‎‎-1-‎‎145‎‎16‎，‎ ‎∴点K坐标为（‎3+‎‎145‎‎4‎，‎-1+‎‎145‎‎16‎）或（‎3-‎‎145‎‎4‎，‎-1-‎‎145‎‎16‎），‎ 综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（‎3+‎‎145‎‎4‎，‎-1+‎‎145‎‎16‎）或（‎3-‎‎145‎‎4‎，‎-1-‎‎145‎‎16‎）．‎ 第25页（共25页）‎