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- 2021-05-10 发布
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第26课时 与圆有关的概念及性质
姓名 学号 班级
学习目标
1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念.
2.探索并掌握垂径定理及其推论.
3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,了解并证明圆周角定理及其推论.
4. 知道三角形的外心,并能画任意三角形的外接圆.
学习重难点:利用圆周角与圆心角及其所对弧的关系
学习过程
一.知识梳理
(1)圆的基本概念:
在同一平面内,线段OA绕它固定的一个端点 形成的图形叫做圆, 叫做圆心, 叫做半径.圆上任意两点间的 叫做圆弧;在同圆或等圆中,能够 的弧叫做等弧.
(2) 圆的有关性质:
①对称性:圆是中心对称图形, 是它的对称中心;圆也是轴对称图形, 都是它的对称轴.
②圆心角、弧、弦之间的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别 .
③垂径定理:垂直于弦的直径 弦,并且平分弦所对的两条弧.推论:平分弦(不是直径)的直径 于弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
⑶圆心角和圆周角:
①圆心角:顶点在 的角叫做圆心角;圆心角的度数 它所对的弧的度数.圆周角:顶点在圆上,两边都与圆 的角叫做圆周角.
②圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ,都等于这条弧所对的圆心角的 .推论:半圆(或直径)所对的圆周角是 ,90°的圆周角所对的弦是 .
⑷确定圆的条件:
①不在 的三个点可以确定一个圆.
② 三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的 .
⑸圆的内接四边形:圆的内接四边形的对角 .
二、典型例题
1.垂直定理及其推论
问题1.(2017·呼和浩特)如图,为的直径,弦,
垂足为,若,,则的周长为 ( )
5
A. B. C. D.
2.圆心角的应用
问题2 (2016·兰州)如图,在中,是的中点,,
则的度数为 ( )
A. B. C. D.
3.圆周角定理及其推论
问题3、点是△的外心,若,求的度数.
4.圆内接四边形
问题4、(2017·广东)如图,四边形内接于,,,则的度数为( )
A. B. C. D.
问题5、如图,将沿弦折叠,圆弧恰好经过圆心,点是优弧上一点,
求.
5.圆的性质与其他知识的综合应用
问题6、(中考指要例3)如图,是的直径,弦与点,点在上,,
5
(1)求证:∥;(2)若,求的直径.
问题7、 (2017·六盘水)如图,是的直径,,点在上,,为弧的中点,是直径上一动点.
(1) 利用尺规作图,确定当最小时点的位置(不写作法,但要保留作图痕迹);
(2) 求的最小值.
三、中考预测
.如图,是的直径,点是圆上一动点,连接
(1)若,则_______
(2)若,,图中相等的线段有__________,
相等的弧(不包括半圆)有_______,_____。
(3)若是半圆的三等分点,求证:∥
四、反思总结
1.本节课你复习了哪些内容?
2.通过本节课的学习,你还有哪些困难?
五、达标检测
1. (2017·广州)如图,在中,是直径,是弦,
,垂足为,连接,,
5
则下列说法正确的是 ( )
A. B.
C. D.
2. (2017·衡阳)如图,点都在上,
且点在弦所对的优弧上,如果,
那么的度数是 ( )
A.26° B. 30° C. 32° D. 64°
3. (2017·西宁)如图,是⊙O的直径,弦交
于点,,,,
则的长为 ( )
A. B.2 C. D.8
4. (2017·潍坊)点为半径是的圆周上两点,为的中点,以线段为邻边作菱形,顶点恰在该圆直径的三等分点上,则该菱形的边长为 ( )
A. 或 B.或2 C.或 D.或
5. (2017·大连)如图,在中,弦,
垂足为,则的半径为
6. (2017·盐城)如图,将沿弦折叠,点在上,点在上,若,则 .
7. (2017·北京)如图,为的直径,为上的点, ,若,则 .
8. (2017·凉山州)如图,四边形内接于半径为的⊙O中,且,则 .
5
9. (2017·牡丹江)如图,在中,,于点,于点.
求证:
10.如图,在平行四边形中,,,点是边上的动点,以为半径的圆与边交于点 (点在点的右侧),射线与射线交于点.(1)当圆经过点时,求的长;(2)连结,当∥时,
求弦的长.
5