2017年度中考数学（二次根式）一轮复习教案 26页

第二十一章 二次根式 本章小结 小结 本章学习重难点 ‎【本章重点】利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．‎ ‎【本章难点】对(a≥0)是一个非负数的理解，对等式()2 ＝a(a≥0)和＝a(a≥0)的理解及应用，对二次根式乘、除法公式的条件的正确理解．‎ 小结3 学法指导 ‎1．注意观察、分析、归纳、探究等能力的培养，在本章知识的呈现方式上，重视体现“问题情境——数学活动——概括——巩固、应用和拓展”的模式．‎ ‎ 2．注重数学知识与现实生活的联系．无论是学习二次根式的概念，还是学习二次根式的性质和运算，都尽可能把所学的知识与现实生活联系，重视运用所学知识解决实际问题能力的培养．‎ ‎ 3．充分利用图形，使代数和几何有机结合．对于数与代数的内容，应重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助理解、解决有关代数问题是对数学的一种导向．‎ ‎4．运用类比思想．学习时注意回顾与类比，充分运用类比思想学习、理解算理和算法，提高运算能力．‎ 知识网络结构图 概念 二次根式:式子 （a≥0）叫做二次根式 最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式 性质 ‎（1） （a≥0，b≥0）‎ ‎（2） （a≥0，b≥0）‎ ‎（3）( )2=a（a≥0）‎ ‎（4） =|a|= ‎ 二 次 根 式 专题总结及应用 一、知识性专题 专题1 二次根式的最值问题 ‎【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.‎ 例1 当x取何值时，的值最小？最小值是多少？‎ 分析 由二次根式的非负性可知的最小值为0，因为3是常数，所以的最小值为3.‎ 解：∵‎ ‎∴，‎ ‎∴当9x+1=0，即时，有最小值，最小值为3.‎ ‎【解题策略】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即≥0（a≥0）.‎ 专题2 二次根式的化简及混合运算 ‎【专题解读】对于二次根式的化简问题，可根据定义，也可以利用这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.‎ 例2 下列计算正确的是 （ ）‎ 分析 根据具体选项，应先进行化简，再计算. A选项中，‎ B选若可化为，C选项逆用平方差公式可求得，而D选项应将分子、分母都乘，得.故选A. ‎ 例3 计算的结果是 （ ）‎ 分析 本题可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，将原式化为 故选D.‎ 例4 书知.‎ 分析 本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x的值应使分式有意义.‎ 解：由二次根式的定义及分式性质，得 ‎【解题策略】 本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义.‎ 例5 化简 ‎【解题策略】 本题应根据条件直接进行化简，主要应用性质 图21-8‎ 例6 已知实数，a，b，c在数轴上的位置如图21-8所示，化简 解：由a，b，c在数轴上的位置可知：‎ ‎【解题策略】 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简.‎ 专题2 二次根式的化简及混合运算 规律·方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”.‎ 例8 已知 分析 这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a，b的符号，本题中没明确告诉，a，b的符号，但可从a+b=-3，ab=12中分析得到.‎ 解：∵a+b=-3，ab=12，∴a＜0，b＜0.‎ ‎【解题策略】 本题最容易出现的错误就是不考虑a，b的符号，把所求的式子化简，直接代入. ‎ 专题3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简 例9 估计×+的运算结果应在 （ ）‎ A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 分析 本题应计算出所给算式的结果，原式，由于，即. 故选C.‎ 例10 已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的值.‎ ‎ 解：∵9＜13＜16，‎ ‎∴＜＜，即3＜＜4‎ ‎∴的整数部分为3，即m=3，‎ ‎∴的小数部分为 ‎∴‎ 二、规律方法专题 专题4 配方法 ‎【专题解读】 把被开方数配方，进而应用化简.‎ 例11 化简 规律·方法 一般地，对于型的根式，可采用观察法进行配方，即找出x，y(x＞y＞0)，使得xy=b，x+y=a，则，于是 ‎，从而使得到化简.‎ ‎ 例12 若a，b为实数，且b=，试求的值.‎ ‎ 分析 本题中根据b=可以求出a，b，对 的被开方数进行配方、化简.‎ 解：由二次根式的性质得 当 ‎【解题策略】 对于形如形式的代数式都要变为或的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意 专题5 换元法 ‎【专题解读】 通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题.‎ 例13 计算 解：令x=，两边同时平方得：‎ ‎∴x2=（）（）+2×=10‎ 专题6 代入法 ‎【专题解读】 通过代入求代数式的值.‎ 例14 已知 专题7 约分法 ‎【专题解读】 通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.‎ 例15 化简 例16 化简 三、思想方法专题 专题8 类比思想 ‎【专题解读】 类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式化简成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.‎ 例17 计算.‎ 解：（1）原式=（1+2）=3.‎ ‎ （2）原式=3-+2+2=2+4.‎ ‎【解题策略】 对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.‎ 专题9 转化思想 ‎【专题解读】 当问题比较复杂难于解决时，一般应采取转化思想，化繁为简，化难为易，本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决. ‎ 例18 函数y=中，自变量x的取值范围是 .‎ 分析 本题比较容易，主要考查函数自变量的取值范围的求法，本题中是二次根式，所以被开方数2x-4≥0,所以x≥2.故填x≥2.‎ 例19 如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为，则输出的数值为 .‎ 图21-9‎ 分析 本题比较容易，根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题，易知图中所表示的代数式为，代入可知（）2-1=2.故填2.‎ 专题10 分类讨论思想 ‎【专题解读】 当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论.本意在运用公式进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论.‎ 例20 若化简的结果为，则x的取值范围是 （ ）‎ A. x为任意实数 B. 1≤x≤4‎ C. x≥1 D. x≤4‎ 分析 由题意可知，由此可知，且，由绝对值的意义可知，且，所以的取值范围是.故选B.‎ ‎【解题策略】 对和|a|形式的式子的化简都应分类讨论.‎ 例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为‎7cm，‎5cm和‎3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？‎ 分析 这是一个求最短路径的问题，一个长方体有六个面，蚂蚁有三种不同的爬行方法，计算时要分类讨论各种方法，进而确定最佳方案.‎ 解：沿前、右两个面爬，路径长为(cm).‎ 图21-10‎ 沿前、上两个面爬，路径长为(cm).‎ 沿左、上两个面爬，路径长为(cm).‎ 所以它要爬行的最短路径长为cm.‎ 规律·方法 沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去，共有三个爬行路线，每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长.‎ ‎2011中考真题精选 一、选择题 ‎1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　）‎ A、 B、 C、 D、 ‎ 考点：最简二次根式．‎ 专题：计算题．‎ 分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．‎ 解答：解：A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故此选项错误 B、= ，被开方数含分母，不是最简二次根式；故此选项错误 C、 ，是最简二次根式；故此选项正确； D. =5，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故此选项错误 故选C．‎ 点评：此题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．‎ ‎2. （2011•江苏徐州，5，2）若式子实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ A、x≥1 B、x＞‎1 C、x＜1 D、x≤1‎ 考点：二次根式有意义的条件。‎ 专题：计算题 分析：根据二次根式有意义的条件判断即可．‎ 解答：解：根据二次根式有意义的条件得：x﹣1≥0，‎ ‎∴x≥1，‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了二次根式有意义的条件：‎ ‎（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．‎ ‎（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．‎ ‎（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．‎ ‎3. （2011江苏镇江常州，5，2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　）‎ ‎ A．x≥2 B．x≤2‎ ‎ C．x＞2 D．x＜2‎ 考点：二次根式有意义的条件．‎ 专题：计算题．‎ 分析：二次根式有意义，被开方数为非负数，即x﹣2≥0，解不等式求x的取值范围．‎ 解答：解：∵在实数范围内有意义，‎ ‎∴x﹣2≥0，解得x≥2．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了二次根式有意义的条件．关键是明确二次根式有意义时，被开方数为非负数．‎ ‎4. （2011四川凉山，5，4分）已知，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ 考点：二次根式有意义的条件．‎ ‎ 分析：首先根据分式有意义的条件求出x的值，然后根据题干式子求出y的值，最后求出2xy的值．‎ ‎ 解答：解：要使有意义，则， 解得x＝，故y＝－3，∴2xy＝－2××3＝－15． 故选A．‎ ‎ 点评：本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出x和y的值，本题难度一般．‎ ‎5. （2011台湾，4，4分）计算之值为何（　　）‎ ‎ A．5 B．33 C．3 D．9‎ 考点：同类二次根式；二次根式的加减法。‎ 分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类项即可得出答案．‎ 解答：解：原式＝7－5＋3＝5．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查同类二次根式及二次根式的加减运算，难度不大，注意只有同类二次根式才能合并．‎ ‎6.（2011•柳州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ ‎ A、x＞2 B、x＞3‎ ‎ C、x≥2 D、x＜2‎ 考点：二次根式有意义的条件。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据考查了二次根式（a≥0）有意义的条件得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．‎ 解答：解：根据题意得，x﹣2≥0，‎ ‎∴x≥2．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了二次根式（a≥0）有意义的条件：a≥0．‎ ‎7. （2011•广东汕头）使在实数范围内有意义的x的取值范围是　x≥2　．‎ 考点：二次根式有意义的条件。‎ 专题：探究型。‎ 分析：先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．‎ 解答：解：∵使在实数范围内有意义，‎ ‎∴x﹣2≥0，‎ 解得x≥2．‎ 故答案为：x≥2．‎ 点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．‎ ‎8. （2011山东滨州，2，3分）若二次根式有意义,则x的取值范围为( )‎ A.x≥ B. x≤ C.x≥ D.x≤‎ ‎【考点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式．‎ ‎【专题】存在型．‎ ‎【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，列出不等式，求出x的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：∵二次根式 有意义， ∴1+2x≥0， 解得x≥- ． 故选C．‎ ‎【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件及解一元一次不等式，比较简单．‎ ‎9. （2011山东烟台，5，4分）如果，则（ ）‎ A．a＜ B. a≤ C. a＞ D. a≥‎ 考点：二次根式的性质与化简.‎ 分析：由已知得‎2a﹣1≤0，从而得出a的取值范围即可．‎ 解答：解：∵，∴‎2a﹣1≤0，解得a≤．故选B．‎ 点评：本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．‎ ‎10. 5.已知，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 考点：二次根式有意义的条件．‎ 分析：首先根据分式有意义的条件求出x的值，然后根据题干式子求出y的值，最后求出2xy的值．‎ 解答：解：要使有意义，则， 解得x＝，故y＝－3，∴2xy＝－2××3＝－15． 故选A．‎ 点评：本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出x和y的值，本题难度一般．‎ ‎11. （2011四川泸州，8，2分）设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简 +|a+b|‎ 的结果是（　　）‎ A.‎-2a+b B‎.2a+b C.-b D.b 考点：二次根式的性质与化简；实数与数轴．‎ 分析：根据数轴上a，b的值得出a，b的符号，a＜0，b＞0，以及a+b＞0，即可化简求值．‎ 解答：解：根据数轴上a，b的值得出a，b的符号，a＜0，b＞0，a+b＞0，∴+|a+b|=-a+a+b=b，‎ 故选：D．‎ 点评：此题主要考查了二次根式的化简以及实数与数轴，根据数轴得出a，b的符号是解决问题的关键．‎ ‎12.（2011四川攀枝花，3，3分）下列运算中，正确的是（　　）‎ ‎ A、+= B、a2•a=a‎3 ‎ C、（a3）3=a6 D、=－3‎ 考点：二次根式的加减法；立方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。‎ 分析：此题涉及到二次根式的加减，同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，幂的乘方：底数不变，指数相乘；根式的化简，4个知识点，根据各知识点进行计算，可得到答案．‎ 解答：解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误； B、a2•a=a2+1=a3，故此选项正确； C、（a3）3=a3×3=a9，故此选项错误； D、=3，故此选项错误．故选：B．‎ 点评：此题主要考查了二次根式的加减，同底数幂的乘法，幂的乘方，根式的化简，关键是同学们要正确把握各知识点的运用．‎ ‎13 . （2011广州，9，3分）当实数x的取值使得有意义时，函数y=4x+1中y的取值范围是（ ）‎ A.y≥-7 B. y≥‎9 C. y>9 D. y≤9‎ ‎【考点】函数值；二次根式有意义的条件．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】易得x的取值范围，代入所给函数可得y的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意得x-2≥0， 解得x≥2， ∴4x+1≥9， 即y≥9． 故选B．‎ ‎【点评】考查函数值的取值的求法；根据二次函数被开方数为非负数得到x的取值是解决本题的关键．‎ ‎14. （2010河南，3，3分）下列各式计算正确的是（　　）‎ A． B．‎ C．‎2a2+‎4a2=‎6a4 D．（a2）3=a6‎ 考点：二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；负整数指数幂 分析：根据各选项进行分析得出计算正确的答案，注意利用幂的乘方的运算以及二次根式的加减，负整数指数幂等知识分别判断即可．‎ 解答：解：A、（﹣1）0﹣（）﹣1=1﹣2=﹣1，故此选项错误；B、与不是同类项无法计算，故此选项错误；C、‎2a2+‎4a2=‎6a2，故此选项错误；D、（a2）3=a6，故此选项正确．故选D．‎ 点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及幂的乘方的运算和负整数指数幂等知识，此题难度不大注意计算要认真，保证计算的正确性．‎ ‎15. （2011湖北随州，3，3）要使式子有意义，则a的取值范围为　a≥－2且a≠0　．‎ 考点：二次根式有意义的条件。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．‎ 解答：解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，‎ 解得：a≥－2且a≠0．‎ 故答案为：a≥－2且a≠0．‎ 点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．‎ ‎16. （2011梧州，14，3分）当a　≥﹣2　时，在实数范围内一有意义．‎ 考点：二次根式有意义的条件。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据二次根式的被开方数是非负数列出关于a的不等式，然后解不等式即可．‎ 解答：解：根据题意，得 a+2≥0，‎ 解得，a≥﹣2；‎ 故答案是：≥﹣2．‎ 点评：本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数大于等于零．‎ ‎17. （2011福建龙岩，12，3分）若式子有意义，则实数x的取值范围是　 　．‎ 考点：二次根式有意义的条件.‎ 分析：根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）解答．‎ 解答：解：根据题意，得x﹣3≥0，解得，x≥3；故答案是x≥3．‎ 点评：本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数．‎ ‎18. （2011福建省三明市，11,4分）计算：﹣20110=　 　．‎ 考点：实数的运算；零指数幂。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据二次根式的化简和零指数幂等知识点进行计算即可．‎ 解答：解：原式=2﹣1‎ ‎=1，‎ 故答案为1．‎ 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式等考点的运算．‎ ‎19. （2011广东湛江,18,4分）函数中自变量x的取值范围是________，若x=4，则函数值y=_____ ‎ 考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．‎ 专题：计算题．‎ 分析：根据二次根式有意义的条件求解即可．即被开方数是非负数．直接把x=4代入函数解析式即可求y的值．‎ 解答：解：依题意，得x-3≥0， 解得x≥3； 若x=4，则y= = =1．‎ 点评：本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．‎ ‎20. （2011广东肇庆，11，3分）化简：=．‎ 考点：二次根式的性质与化简。‎ 分析：根据二次根式的性质计算．‎ 解答：解：原式==．‎ 点评：主要考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．‎ ‎21. （2010广东，7，4分）使在实数范围内有意义的的取值范围是______ _____．‎ 考点：二次根式有意义的条件 分析：先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．‎ 解答：解：∵使在实数范围内有意义，∴x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．‎ 点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．‎ ‎22.（2011广西百色，15，3分）化简=　____　．‎ 考点：二次根式的性质与化简．‎ 分析：根据二次根式的性质解答．‎ 解答：解：==2．‎ 点评：主要考查了二次根式的化简．‎ 注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．‎ ‎23.（2011广西崇左，3，2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．‎ ‎ 考点：二次根式有意义的条件．‎ ‎ 分析：根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．‎ ‎ 解答：解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，‎ x≥1．‎ 故答案为x≥1．‎ ‎ 点评：此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．‎ ‎24.（2011•随州）要使式子有意义，则a的取值范围为　a≥﹣2且a≠0　．‎ 考点：二次根式有意义的条件。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．‎ 解答：解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，‎ 解得：a≥﹣2且a≠0．‎ 故答案为：a≥﹣2且a≠0．‎ 点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．‎ 二、填空题 ‎1. （2000•江西）计算：＝ ▲ .‎ 考点：二次根式的加减法。‎ 分析：运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．‎ 解答：解：原式=2=‎ 点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．‎ ‎2. （2011山东日照，15，4分）已知x，y为实数，且满足=0，那么x2011﹣y2011=　﹣2　．‎ 考点：非负数的性质：算术平方根；有理数的乘方。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．‎ 解答：解：∵=0，‎ ‎∴=0，‎ ‎∴x+1=0，y﹣1=0，‎ 解得x=﹣1，y=1，‎ ‎∴x2011﹣y2011=（﹣1）2011﹣12011，‎ ‎=﹣1﹣1，‎ ‎=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ 点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．‎ ‎3. （2011新疆建设兵团，9，5分）若二次根式有意义，则x的取值范围是　x≥．‎ ‎ 考点：二次根式有意义的条件．‎ ‎ 专题：计算题．‎ ‎ 分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．‎ ‎ 解答：解：根据二次根式有意义，分式有意义得：3x﹣1≥0，‎ 解得：x≥．‎ 故答案为：x≥．‎ ‎ 点评：本题考查二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．‎ ‎4. （2011新疆乌鲁木齐，11，4）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥1　．‎ 考点：二次根式有意义的条件。‎ 专题：存在型。‎ 分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．‎ 解答：解：∵在实数范围内有意义，∴x－1≥0，解得x≥1．‎ 故答案为：x≥1．‎ 点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．‎ ‎5. （2011重庆綦江，12，4分）若有意义，则x的取值范围是　 ．‎ 考点：二次根式有意义的条件。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．‎ 解答：解：要是有意义，‎ 则2x－1≥0，‎ 解得x≥．‎ 故答案为：x≥．‎ 点评：本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．‎ ‎6. 要使式子 a+‎2a有意义，则a的取值范围为 a≥-2且a≠0．‎ 考点：二次根式有意义的条件．‎ 专题：计算题．‎ 分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．‎ 解答：解：根据题意得：a+2≥0且a≠0， 解得：a≥-2且a≠0． 故答案为：a≥-2且a≠0．‎ 点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．‎ ‎7. （2011•青海）若a，b是实数，式子和|a﹣2|互为相反数，则（a+b）2011=　﹣1　．‎ 考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值。‎ 分析：根据题意得+|a﹣2|=0，再根据非负数的意义，列方程组求a、b的值，即可得出答案．‎ 解答：解：依题意，得+|a﹣2|=0，‎ 根据非负数的意义，得，‎ ‎2b+6=0，‎ 解得：b=﹣3，‎ a﹣2=0，‎ 解得：a=2，‎ ‎∴（a+b）2011=（﹣1）2011=﹣1．‎ 故答案为为：﹣1．‎ 点评：此题主要考查了绝对值以及互为相反数的定义和算术平方根的性质，初中阶段学习了三个非负数：a2≥0，|a|≥0，a≥0（a≥0）；必须熟练掌握非负数的性质．‎ ‎8. 若二次根式有意义，则x的取值范围是　x≤．‎ 考点：二次根式有意义的条件。‎ 分析：根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）列出关于x的不等式，然后解不等式即可．‎ 解答：解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣2x≥0，‎ 解得：x≤．‎ 故答案是：x≤．‎ 点评：本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数．‎ ‎9.（2011山东菏泽，9，3分）使有意义的x的取值范围是　 ．‎ 考点：二次根式有意义的条件．‎ 专题：计算题．‎ 分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．‎ 解答：解：根据题意得：4x﹣1≥0，解得x≥．故答案为x≥．‎ 点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．‎ ‎10. 已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且，则 .‎ 考点：二次根式的混合运算；估算无理数的大小．‎ 专题：计算题．‎ 分析：只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用 －a表示．再分别代入amn＋bn2＝1进行计算．‎ 解答：解：因为2＜＜3，所以2＜5－ ＜3，故m＝2，n＝5－ －2＝3－ ．‎ 把m＝2，n＝3－ 代入amn＋bn2＝1，化简得（‎6a＋16b）－（‎2a＋6b）＝1，所以‎6a＋16b＝1且‎2a＋6b＝0，解得a＝1.5，b＝－0.5．‎ 所以‎2a＋b＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5．‎ 点评：本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键． ‎ ‎11. 若m= ，则m5‎-2m4‎-2011m3‎的值是 0．‎ ‎【考点】二次根式的化简求值．‎ ‎【分析】首先化简二次根式得出m= +1，再根据因式分解法将原式分解即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵m= = +1， ∴m5‎-2m4‎-2011m3‎=m 3（m 2‎-2m-2011）=m 3[（m-1） 2-2012]=0，故答案为：0．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次根式的化简，得出m= +1，以及 m5‎-2m4‎-2011m3‎=m 3[（m-1） 2-2012]是解决问题的关键．‎ ‎12. 要使式子 有意义，则a的取值范围为 a≥-2且a≠0．‎ 考点：二次根式有意义的条件．‎ 专题：计算题．‎ 分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．‎ 解答：解：根据题意得：a+2≥0且a≠0， 解得：a≥-2且a≠0． 故答案为：a≥-2且a≠0．‎ 点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．‎ 三、解答题 ‎1. (每小题5分，共15分)‎ ‎（1）（2011四川省宜宾市，17，5分）计算：3(–π)0– + (–1)2011‎ ‎(2) （2011四川省宜宾市，17，5分）先化简，再求值： – ，其中x = –3‎ 考点：二次根式的混合运算；分式的化简求值；零指数幂；平行四边形的判定与性质．‎ 分析：（1）按照实数的混合运算顺序直接进行计算； （2）先通分把分式化简，再代入求值； （3）先运用平行四边形的对角线互相平分，结合已知证明平行四边形EGHF是平行四边形，再运用平行四边形的对边互相平行得GF∥HE．‎ 答案：（1）解：原式=3´1–（2–）+（–1） ‎ ‎ = ‎ ‎(2 )解： – = – ‎ ‎ = = ‎ ‎ 当x = 时，∴原式= = ‎ 点评：本题主要考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．‎ ‎2. （2011广东省茂名，16，7分）化简：‎ ‎（1）；‎ 考点：二次根式的混合运算；整式的混合运算。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）先化简二次根式，再进行计算即可；‎ 解答：解：（1）原式=，（1分）‎ ‎=4﹣2，（2分）‎ ‎=2（3分）‎ 点评：本题考查了二次根式的混合运算和整式的混合运算，是基础知识要熟练掌握．‎ 综合验收评估测试题 ‎（时间：1 20分钟 满分：120分）‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1.函数中自变量x的取值范围是（ ）‎ A. x≤2 B. x=‎3 C. x＜2且x≠3 D. x≤2且x≠3‎ ‎2.计算的结果是（ ）‎ A. 3 B. ‎‎-3 ‎‎ C. ±3 D. 9‎ ‎3.下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.若（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎ C. 3 D. 4‎ ‎5. （ ）‎ A. 相反数 B. 倒数 C. 绝对值 D. 算术平方根 ‎6.下列各式计算正确的是（ ）‎ ‎7.下列运算正确的是（ ）‎ ‎8. 如果 ‎9. 下列计算正确的是（ ）‎ ‎10. 在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）‎ 二、填空题（每小题3分，共30分）‎ ‎11.计算 .‎ ‎12.计算 .‎ ‎13. 把化简的结果是 .‎ ‎14. 下列各式：①；②；③；④其中正确的是 （填序号）.‎ ‎15. 在中，是最简二次根式的有 个.‎ ‎16. 若最简二次根式是同类二次根式，则x的值为 .‎ ‎17.已知等边三角形的边长为3+，则三角形的周长为 .‎ ‎18.已知实数a在数轴上的位置如图21-11所示，则化简 的结果为 .‎ ‎19.若，则的值为 .‎ ‎20.估计的运算结果应在 之间.（填整数） ‎ 三、解答题（第2125小题各8分，第2627小题各10分，共60分）‎ ‎21.（1）计算 ‎（2）计算 ‎（3）计算 ‎22.化简 ‎23. 计算.‎ ‎（1）‎ ‎ （2）9‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎24. 已知 ‎25. （实际应用题）小华家楼房前有一直角三角形空地，小华的爸爸想把它开垦出来，经测量，一直角边为m，斜边长为3m. 现要用篱笆把这块地围起来，小华的爸爸至少要买多少米篱笆？（）‎ ‎26.先化简，再求值 ‎27.阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们可以将其进一步化简.‎ ‎；（一）‎ ‎；（二）‎ ‎；（三）‎ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化.‎ 还可以用以下方法化简：‎ ‎；（四）‎ ‎（1）请用不同的方法化简 ‎①参照（三）式得.‎ ‎②参照（四）式得= ；‎ ‎（2）化简 参考答案 ‎1. A[提示：2-x≥0，∴≤2，3不在x≤2的范围内.] ‎ ‎2. A[提示：] ‎ ‎3. C[提示：根号内有分母.] ‎ ‎4. C ‎ ‎5. A ‎ ‎6. D[提示：A错，m2·m3=m5；B错，‎ ‎] ‎ ‎7. D ‎ ‎8. B[提示：由可知. ] ‎ ‎9. C[提示：A中，；B中，无意义；D中，] ‎ ‎10. A[提示：A中，C中，a+b；D中，.故选A ] ‎11. 2【提示：原式=】‎ ‎12. 2【提示：原式=（）2-12=2】‎ ‎13.[提示：] ‎ ‎14. ③④[提示：①，；②无意义. ] ‎ ‎15. 3[提示：是最简二次根式. ] ‎ ‎16.-1[提示：根据题意得x+3=3x+5，解得x=-1. ] ‎ ‎17. 9+3[提示：周长为（3+）×3=9+3. ] ‎ ‎18. 1[提示：由数轴知=1-a+a=1.] ‎ ‎19. 2[ 提示：由，知x=1，∴(x+y)2=0，∴y=-1，∴x-y=2.] ‎ ‎20. 3和4[提示：] ‎ ‎21. （1）解：原式=1+2+2-. ‎ ‎（2）原式=2 ‎ ‎（3）原式 ‎ ‎22. 解：原式 ‎ ‎ ‎23. 解：（1）‎ ‎=-24×=-180. ‎ ‎（2）9‎ ‎ ‎ ‎（3）原式= ‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎24. 解：‎ ‎25. 解：由勾股定理知另一直角边的长为 ‎，所以小华的爸爸至少要买‎41m篱笆.‎ ‎26. 解：当时，原式 ‎27. 解：（1）①‎ ‎②‎ ‎（2）‎