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  • 2021-05-10 发布

常州市中考数学试题分类解析专题函数的图像与性质

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‎2001-2012年江苏常州中考数学试题分类解析汇编(12专题)‎ 专题6:函数的图象与性质 锦元数学工作室 编辑 一、 选择题 ‎1. (2001江苏常州2分)下列图形中,表示一次函数y=mx+n与正比例y=mnx(m,n是常数,且mn≠0)图象的是【  】‎ A. B.   C.   D. ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】一次函数(正比例函数)和系数与的关系。‎ ‎【分析】根据“两数相乘,同号得正,异号得负”判断出m、n的符号,再根据一次函数的性质进行判断:‎ ‎①当mn>0,m,n同号,y=mnx的图象经过1,3象限;‎ 同正时y=mx+n的图象过1,3,2象限,同负时过2,4,3象限。‎ ‎②当mn<0时,m,n异号,y=mnx的图象经过2,4象限;‎ 则y=mx+n的图象过1,3,4象限或2,4,1象限。‎ 结合所给图象,只有选项A符合当mn<0时,m,n异号,y=mnx的图象经过2,4象限,y=mx+n的图象过2,4,1象限。故选A。‎ ‎2. (2001江苏常州2分)已知反比例函数y=(k<0)的图象上两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1 <x2,则 y1-y2的值是【  】‎ A.正数   B.负数    C.非正数    D.不能确定 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。‎ ‎【分析】∵自变量所在象限不定,∴在x1 <x2时,相应函数值的大小也不定。‎ ‎ 若x1、x2同号,则y1-y2<0;若x1、x2异号,则y1-y2>0。故选D。‎ ‎3. (江苏省常州市2002年2分)若抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上,则c的值是【 】‎ A. 9 B. ‎3 C.-9 D. 0‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】二次函数的性质。‎ ‎【分析】当抛物线顶点在x轴上时,顶点纵坐标为0,根据顶点纵坐标公式求解即可:‎ ‎∵抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上,a=1,b=-6,c=c,‎ ‎∴顶点纵坐标为0,即,解得c=9。故选A。‎ ‎4. (江苏省常州市2002年2分)已知一次函数y=k1+b,y随x的增大而减小,且b>0,反比例函数y=中的k2与k1值相等,则它们在同一坐标系中的图像只可能是【 】‎ ‎ ‎ A B C D ‎【答案】C。‎ ‎【考点】反比例函数和一次函数的性质。‎ ‎【分析】根据一次函数的性质,y随x的增大而减小,则k1<0,且b>0与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴一次函数图象过一、二、四象限,故A和B错误;又∵反比例函数y= 中的k2与k1值相等,k2<0,∴反比例函数图象位于二、四象限。故选C。‎ ‎5. (江苏省常州市2003年2分)已知圆柱的侧面积是,若圆柱底面半径为,高为,则关于的函数图象大致是【 】‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】反比例函数的应用。‎ ‎【分析】根据题意有:,化简可得,故与之间的函数图象为反比例函数,且根据实际意义与应大于0,其图象在第一象限。故选B。‎ ‎6. (江苏省常州市2004年2分)关于函数,下列结论正确的是【 】‎ ‎(A)图象必经过点(﹣2,1) (B)图象经过第一、二、三象限 ‎(C)当时, (D)随的增大而增大 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】一次函数的性质。‎ ‎【分析】将四个选项分别验证即可得出结论:‎ ‎ A、将(-2,1)代入中得左边=1,右边=-2×(-2)+1=5≠左边,选项错误;‎ B、根据正比例函数的性质,时,图象经过一、二、四象限,选项错误;‎ C、直线与轴的交点为( ,0),当> 时,<0,选项正确;‎ D、根据一次函数的性质,,随的增大而增减小,选项错误。‎ 故选C。‎ ‎7. (江苏省常州市2007年2分)若二次函数(为常数)的图象如下,则的值为【 】‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系。‎ ‎【分析】由图象可知:抛物线与y轴的交于原点,∴a2+2=0,解得a=±。‎ 由抛物线的开口向上,得a>0。‎ ‎∴a=。故选D。‎ ‎8. (江苏省常州市2008年2分)若反比例函数的图象在其每个象限内,y随x的增大而减小,‎ 则k的值可以是【 】‎ A.-1 B‎.3 ‎ C.0 D.-3‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】反比例函数的性质。‎ ‎【分析】根据题意列出不等式确定k的范围,再找出符合范围的选项:‎ ‎ 根据题意k-1>0,则k>1。故选B。‎ ‎9. (江苏省常州市2010年2分)函数的图象经过的点是【 】‎ A.(2,1) B.(2,-1) C.(2,4) D. ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】在曲线上的点的坐标一定会使方程(函数关系式)的左右两边相等,反之不在曲线上。因此,满足的只有(2,1)。故选A。‎ ‎10. (江苏省常州市2010年2分)如图,一次函数的图象上有两点A、B,A点的横坐标为 ‎2,B点的横坐标为a(0<a<4且a≠2),过点A、B分别作x轴的垂线,垂足为C、D,△AOC、△BOD 的面积分别为S1、S2,S1与S2的大小关系是【 】‎ A.S1>S2 B.S1=S‎2 C.S1<S2 D.无法确定 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】直线上点的坐标与方程的关系,直角三角形面积公式,代数式大小比较。‎ ‎【分析】代数式比较大小,可以采用求差法,求商法、求倒法等,本题采用求差法,求出S1和S2,求差即可:‎ ‎∵A点在一次函数的图象上,且它的横坐标为a,∴它的纵坐标为1。‎ ‎ ∴S1 =×2×1=1。‎ ‎ 又∵B点在一次函数的图象上,且它的横坐标为a(0<a<4且a≠2),‎ ‎∴它的纵坐标为。‎ ‎ ∴S2 =a(-a+2)=-a2+a。‎ ‎ ∴S1- S2= (a-2)2 。‎ ‎ ∵0<a<4且a≠2,∴S1- S2= (a-2)2 >0。∴S1>S2。。故选A。‎ ‎11. (2011江苏常州2分)已知二次函数,当自变量取时对应的值大于0,当自变量分别取、时对应的函数值为、,则、必须满足【 】‎ A.>0、>0 B.<0、<‎0 C.<0、>0 D.>0、<0‎ ‎【答案】B.‎ ‎【考点】二次函数,不等式。‎ ‎ 故选 B。‎ ‎12. (2012江苏常州2分)已知二次函数,当自变量x分别取,3,0时,对应的值分别为,则的大小关系正确的是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】 B。‎ ‎【考点】二次函数的图象和性质。‎ ‎【分析】由二次函数知,‎ 它的图象开口向上,对称轴为x=2,如图所示。‎ 根据二次函数的对称性,x=3和x=1时,y值相等。‎ 由于二次函数在对称轴x=2左侧,y随x的增大而减小,而0<1<,因此,。故选B。‎ 二、填空题 ‎1. (江苏省常州市2002年1分)写出一个反比例函数的解析式,使它的图像不经过第一、第三象限:‎ ‎ ▲ .‎ ‎【答案】(答案不唯一)。‎ ‎【考点】反比例函数的性质。‎ ‎【分析】根据反比例函数的性质:当时,图象分别位于第一、三象限;当时,图象分别位于第二、四象限:∵反比例函数的图像不经过第一、第三象限,∴反比例函数的系数即可,如。‎ ‎2. (江苏省常州市2006年2分)已知反比例函数的图像经过点(1,),则这个函数的 表达式是 ▲ 。当时,的值随自变量值的增大而 ▲ (填“增大”或“减小”)‎ ‎【答案】;增大。‎ ‎【考点】待定系数法求反比例函数解析式,反比例函数的性质。‎ ‎【分析】根据题意,利用待定系数法解出系数则可。再根据值的正负确定函数的增减性:‎ ‎∵反比例函数的图像经过点(1,-2),∴。‎ ‎∴这个函数的表达式是。‎ 又∵,当时,的值随自变量值的增大而增大。‎ ‎3. (江苏省常州市2007年2分)已知一次函数的图象经过点A(0,-2),B(1,0),则 ‎ ▲ , ▲ .‎ ‎【答案】-2;2。‎ ‎【考点】直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】将A(0,-2),B(1,0)代入,得 ‎ ,解得。‎ ‎4. (江苏省常州市2007年2分)二次函数的部分对应值如下表:‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 二次函数图象的对称轴为 ▲ ,对应的函数值 ▲ .‎ ‎【答案】1;-8。‎ ‎【考点】二次函数的图象和性质。‎ ‎【分析】由表格的数据可以看出,x=-3和x=5时y的值相同都是7,‎ ‎∴可以判断出,点(-3,7)和点(5,7)关于二次函数的对称轴对称,‎ ‎∴对称轴为 。‎ 又∵x=2的点关于对称轴x=1对称的点为x=0,而x=0时,y=-8,‎ ‎∴x=2时,y=-8。‎ ‎5. (江苏省常州市2008年2分)过反比例函数的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段,‎ 如果垂线段与x、y轴所围成的矩形面积是6,那么该函数的表达式是 ▲ ,若点A(-3,m)在这个反比例函数的图象上,则m= ▲ .‎ ‎【答案】;-2。‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义。‎ ‎【分析】利用矩形面积S=|k|和k>0可确定出k的值,从而求得函数的解析式。再将点A的坐标代入求得m的值即可:‎ 过图象上的点(x,y)的垂线段与x、y轴所所作构成的矩形面积是6可知:|k|=6。‎ 又∵k>0,图象在第一、三象限内,∴反比例函数的系数k=6。‎ ‎∴函数的表达式是。‎ 又∵点A(-3,m)在这个反比例函数的图象上,∴。‎ ‎6. (江苏省常州市2008年2分)已知函数的部分图象如图所示,则c= ▲ ,当 x ▲ 时,y随x的增大而减小. ‎ ‎【答案】3;>1。‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系。‎ ‎【分析】根据函数图象与x轴的交点,可求出c的值,根据图象可判断函数的增减性 ‎∵二次函数的图象过点(3,0),∴-9+6+c=0,解得c=3。‎ 由图象可知:x>1时,y随x的增大而减小。‎ ‎7. (江苏省2009年3分)反比例函数的图象在第 ▲ 象限.‎ ‎【答案】二、四。‎ ‎【考点】反比例函数的性质。‎ ‎【分析】根据反比例函数的性质:当时,图象分别位于第一、三象限;当时,图象分别位于第二、四象限:∵反比例函数的系数,∴‎ 图象两个分支分别位于第二、四象限。‎ ‎10. (2012江苏常州2分)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,0),⊙P是以点P为圆心,2为半径的圆。若一次函数的图象过点A(-1,0)且与⊙P相切,则的值为 ▲ 。‎ ‎【答案】或。‎ ‎【考点】一次函数综合题,直线与圆相切的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,一次函数的性质。‎ ‎【分析】如图,设一次函数与y轴交于点C,与⊙P相切于点P。‎ ‎ 则OA=1,OC=∣b∣,OP=3,BP=2,AP=4。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 由△AOC∽△ABP,得,即,‎ 解得。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 由图和一次函数的性质可知,k,b同号,‎ ‎∴或。‎ ‎11. (2012江苏常州2分)如图,已知反比例函数和。点A在y轴的正半轴上,过点A作直线BC∥x轴,且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C,连接OC、OB。若△BOC的面积为,AC:AB=2:3,则= ▲ ,= ▲ 。‎ ‎【答案】2,-3。‎ ‎【考点】反比例函数综合题,反比例函数的性质,曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】设点A(0,a)(∵点A在y轴的正半轴上,∴a>0),则点B(),点C()。‎ ‎ ∴OA= a,AB=(∵),AC=(∵),AB=。‎ ‎ ∵△BOC的面积为,∴,即①。‎ ‎ 又∵AC:AB=2:3,∴,即②。‎ ‎ 联立①②,解得=2,=-3。‎ 三、解答题 ‎1. (2001江苏常州6分)已知二次函数的图象如图所示:‎ (1) 这个二次函数的解析式是y=_____________________;‎ (1) 当x=____________时,y=3;‎ (2) 根据图象回答:当x_______________时,y>0。‎ ‎【答案】解:(1)。‎ ‎ (2)3或-1。‎ ‎(3)x<0或x>2。‎ ‎【考点】二次函数的图象,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】(1)由图知顶点为(1,-1),那么可设顶点式,再把(0,0)代入求a得 ‎0=a-1,即a=1。∴这个二次函数的解析式为。‎ ‎(2)把y=3代入抛物线解析式即可。当y=3时,=3,解得x=3或x=-1。‎ ‎(3)函数值大于0,指x轴上方的函数图象所对应的x的取值:‎ 由图可知,抛物线与x轴两交点为(0,0),(2,0),开口向上。所以当x<0或x>2时,y>0。‎ ‎2. (江苏省常州市2002年6分)已知抛物线的图象过原点,且开口向上, ‎ ‎(1)求m的值,并写出函数解析式; ‎ ‎(2)写出函数图象的顶点坐标及对称轴 ‎【答案】解:(1)∵抛物线的图象过原点,且开口向上,‎ ‎∴,且,解得m=±2。‎ 而m>1,∴m=2。‎ ‎∴函数解析式为。 (2)∵,‎ ‎∴顶点坐标为(-1,-1),对称轴为x=-1。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质。‎ ‎【分析】(1)直接根据抛物线的性质可知,0,解之即可得到m=2,即。(2)由直接可写出顶点坐标及对称轴。 ‎ ‎3. (江苏省常州市2002年6分)阅读函数图像,并根据你所获得的信息回答问题:‎ (1) 折线OAB表示某个实际总是的函数图象,请你编写一道符合该图象意义的应用题;‎ (2) 根据你给出的应用题分别指出x轴,y轴所表示的意义,并写出A,B两点的坐标;‎ (3) 求出图象AB的函数解析式,并注明自变量x的取值范围。‎ ‎【答案】解:(1)张老师从家出发,乘车去学校,汽车的速度是每小时25千米,经过2小时到达,到校后因家中有事,立即骑车返回,5小时到家。‎ ‎(2)x轴表示时间,单位为时,y轴表示离家的路程,单位是千米,则A(2,50),B(7,0)。‎ ‎(3)设过A,B的解析式为y=kx+b,则 ‎,解得。‎ ‎∴图象AB的函数解析式为y=-10x+70(2≤x≤7)。‎ ‎【考点】一次函数的应用,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】应选取常见的量,比如横轴表示时间,纵轴表示离家的路程,这段函数大致可理解为到一个地方去,到后立即返回到家(答案不唯一)。‎ ‎4. (江苏省常州市2002年8分)图1是棱长为a的小正方体,图2,图3‎ 由这样的小正方体摆放而成,按照这样的方法继续摆放,自上而下分别叫第一层,第二层,。。。。。。第n层,第n层的小正方体的个数记为s,‎ 解答下列问题:‎ ‎(1) 按照要求填表:‎ n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎……‎ s ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎…‎ ‎(2) 写出当n=10时,s=______________.‎ (1) 据上表中的数据,把s作为纵坐标,n作为横坐标,n作为横坐标,在平面直角坐标系中描出相应 的各点。‎ (2) 请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗?如果在某一函数的图象上,求出该函数的解析式。‎ ‎【答案】解:(1)由题意得,‎ n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎……‎ s ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎(2)55.‎ ‎(3)描点如下:‎ ‎(4)猜想各点在二次函数的图象上。‎ 设函数的解析式为,‎ 由题意得,解之得。‎ ‎∴函数的解析式为。‎ ‎【考点】二次函数的应用,分类归纳(图形变化)。待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】(1)找规律:s=1+2+3+…+n=n(n+1),∴当n=4时,s=10。‎ ‎(2)当n=10时,s=×10×(10+1)=55。‎ ‎(3)描点。‎ ‎(4)由(1)s =n(n+1)可得猜想,用待定系数法求之。‎ ‎5. (江苏省常州市2003年6分)已知二次函数的图象经过点(2,0)、(-1,6)。‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)画出它的图象;‎ ‎(3)不用列表,在下图中画出函数图象,观察图象写出y>0时,x的取值范围。‎ ‎【答案】解:(1)∵的图象经过点(2,0)、(-1,6),‎ ‎∴ ,解得 。‎ ‎∴二次函数的解析式为。 (2)作图如下:‎ ‎(3)由图可知:当y>0时,x>2或x<0。‎ ‎【考点】待定系数法求二次函数解析式,二次函数的图象和性质。‎ ‎【分析】(1)将已知的两点坐标代入抛物线的解析式中,即可求得待定系数的值,求出二次函数的解析式。‎ ‎(2)可根据(1)的抛物线解析式作图。‎ ‎(3)根据函数的图象得出y>0时,x的取值范围。‎ ‎6. (江苏省常州市2003年10分)设一次函数的图象为直线,与x轴、y轴分别交于点A、B。‎ ‎(1)求tan∠BAO的值;‎ ‎(2)直线过点(-3,0),若直线、与x轴围成的三角形和直线、与y轴围成的三角形相似,求直线的解析式。‎ ‎【答案】解:(1)在一次函数中,令x=0,解得y=2;令y=0,解得x=-4。‎ ‎∴A,B的坐标是(-4,0),(0,2)。‎ ‎∴OA=4,OB=2。‎ ‎∴。‎ ‎(2)设直线与相交于点M,与x轴相交于点P(-3,0),与y轴相交于点N,则直线、与x轴围成的三角形为△APM,直线、与y轴围成的三角形为△NBM。‎ ‎ 分三种情况讨论:‎ ‎ ①当点N在y轴负半轴上,如图1,‎ 当只有当∠AMP=∠NMB=900时,△APM∽△NBM。‎ 此时,△AOB∽△NOP,得,‎ ‎∵OP=3,OB=2,OA=4,∴ON=6。∴N(0,-6)。‎ 设直线的解析式为,则,‎ 解得。‎ ‎∴直线的解析式为。‎ ②当点N在y轴正半轴上,且在OB的延长线上,如图2,‎ 当只有当∠MAP=∠MNB时,△APM∽△NBM。‎ 此时,△AOB∽△NOP,得,‎ ‎∵OP=3,OB=2,OA=4,∴ON=6。∴N(0,6)。‎ 设直线的解析式为,则,‎ 解得。‎ ‎∴直线的解析式为。‎ ②当点N在y轴正半轴上,且在OB上,如图3,‎ ‎∵∠AMP=∠BMN,‎ 但∠BNM=∠PNO>∠NPO(∵ON<OP<OA)‎ ‎ <∠PAM,‎ ‎ ∠BNM=∠PNO<∠APM,‎ ‎∴此时,△APM∽△NBM不成立。‎ 综上所述,直线、与x轴围成的三角形和直线、与y轴围成的三角形相似时,直线的解析式为或。‎ ‎【考点】一次函数综合题,直线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义,相似三角形的判定和性质,三角形边角关系,三角形外角性质。‎ ‎【分析】(1)在一次函数中,求出函数与坐标轴的交点坐标,就可以求出OA,OB的长,就可以求出三角函数值。‎ ‎ (2)分点N在y轴负半轴上;点N在y轴正半轴上,且在OB上;点N在y轴正半轴上,且在OB上三种情况分别讨论即可。‎ ‎7. (江苏省常州市2004年6分)已知一个二次函数的图象经过点(0,0),(1,﹣3),(2,﹣8)。‎ ‎(1)求这个二次函数的解析式;‎ ‎(2)写出它的对称轴和顶点坐标。‎ ‎8. (江苏省常州市2004年5分)在某一电路中,电源电压U保持不变,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数图象如下图所示:‎ ‎(1)I与R的函数关系式为: ;‎ ‎(2)结合图象回答:当电路中的电流不得超过‎12 A时,电路中电阻R的取值范围是 。‎ ‎【答案】解:(1)。(2)R≥3。‎ ‎【考点】跨学科问题,反比例函数的应用。‎ ‎【分析】(1)根据图象可知I与R之间的关系,然后列出函数关系式,U保持不变,再把图象所经过的点A(6,6)代入函数式,求出U的值等于36,即得I与R的函数关系式为。‎ ‎ (2)当I=12时,R=3,所以求出R的取值范围是R≥3。‎ ‎9. (江苏省常州市2005年8分)有一个Rt△ABC,∠A=900,∠B=600,AB=1,将它放在直角坐标系中,使斜边BC在x轴上,直角顶点A在反比例函数的图象上,求点C的坐标.‎ ‎【答案】解:本题共有4种情况:‎ ‎(1)如图①,过点A做AD⊥BC于D,‎ 在Rt△ABC中,∠A=900,∠B=600,AB=1,‎ ‎∴。‎ 在Rt△ABC中,∠ADB=900,∠B=600,AB=1,‎ ‎∴AD=ABsin60°=,BD= ABcos60°=。‎ ‎∴点A的纵坐标为 。 ‎ 将其代入,得x=2,即OD=2 。‎ ‎∴OC=OB+BC=(OD-BD)+BC=(2-)+2=。‎ ‎∴点C1的坐标为()。 ‎ ‎(2)如图②,过点A作AE⊥BC于E,‎ 同上,可得AE=,OE=2,CE=,OC= 。‎ ‎∴点C2的坐标为(,0)。 ‎ 根据双曲线的对称性,得点C3的坐标为(), 点 C4的坐标为()。‎ 综上所述,点C的坐标分别为:()、(,0)、()、()。‎ ‎【考点】反比例函数综合题,反比例函数的性质,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】根据反比例函数的性质,分四种情况解直角三角形即可。‎ ‎10. (江苏省常州市2006年8分)在平面直角坐标系中,已知二次函数的图像与轴相交于点A、B,顶点为C,点D在这个二次函数图像的对称轴上,若四边形ABCD时一个边长为2且有一个内角为60°的菱形,求此二次函数的表达式。‎ ‎【答案】解:本题共有4种情况:‎ ‎ 设二次函数的图像得对称轴与轴相交于点E,‎ ‎ (1)如图①,当抛物线开口向上,∠CAD=600时,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,一边长为2,∴DE=1,BE=。‎ ‎ ∴点B的坐标为(,0),点C的坐标为(1,-1),‎ ‎ ∵点B、C在二次函数的图像上,‎ ‎ ∴, 解得。‎ ‎ ∴此二次函数的表达式。‎ ‎ (2)如图②,当抛物线开口向上,∠ACB=600时,‎ 由菱形性质知点A的坐标为(0,0),点C的坐标为(1,),‎ 解得 ‎ ∴此二次函数的表达式为。‎ ‎ 同理可得:抛物线开口向下时,此二次函数的表达式为 ‎。‎ ‎ 综上所述,符合条件的二次函数的表达式有:‎ ‎,,‎ ‎。‎ ‎【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,菱形的性质,解直角三角形。‎ ‎【分析】根据题意,画出图形,可得以下四种情况:‎ ‎(1)以菱形长对角线两顶点作为A、B,且抛物线开口向上;‎ ‎(2)以菱形长对角线两顶点作为A、B,且抛物线开口向下;‎ ‎(3)以菱形短对角线两顶点作为A、B,且抛物线开口向上;‎ ‎(4)以菱形短对角线两顶点作为A、B,且抛物线开口向下。‎ 利用四边形ACBD一个边长为2且有一个内角为60°的条件,根据解直角三角形的相关知识解答。‎ ‎11. (江苏省常州市2007年10分)已知A与B是反比例函数图象上的两个点.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若点C,则在反比例函数图象上是否存在点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)∵A与B是反比例函数图象上的两个点,‎ ‎ ∴,解得。‎ ‎ ∴。‎ ‎(2)如图1,作BE⊥x轴,E为垂足,‎ ‎ ∵B(2,),C(-1,0),‎ ‎∴CE=3,BE= ,BC=。‎ ‎∴∠BCE=30°,‎ 由于点C与点A的横坐标相同,因此CA⊥x轴,从而∠ACB=120°。‎ ①当AC为底时,由于过点B且平行于AC的直线与双曲线只有一个公共点B,故不符题意。‎ ②如图1,当BC为底时,过点A作BC的平行线,交双曲线于点D。设BC的解析式为:‎ ‎∵B(2,),C(-1,0),‎ ‎∴,解得。∴BC的解析式为。‎ ‎∵AD∥BC,∴设AD的解析式为。‎ ‎∵A,∴,解得。‎ ‎∴AD的解析式为。‎ 由,解得,。‎ ‎∴D(6,)。‎ 此时AD=,与BC=不等,故四边形ADBC是梯形。‎ ③如图2,当AB为底时,过点C作AB的平行线,与双曲线的交点为D。设AB的解析式为:。‎ ‎∵A,B(2,),‎ ‎∴,解得。‎ ‎∴AB的解析式为。‎ ‎∵CD∥AB,∴设CD的解析式为。‎ ‎∵C(-1,0),∴,解得。‎ ‎∴CD的解析式为。‎ 由,解得,。‎ ‎∴D(-2,)或(1,)。‎ 此时CD=2或CD=4,与AB=6不等,故四边形ABCD或ABDC是梯形。‎ 综上所述,符合条件的点D的坐标为(6,),(-2,),(1,)。‎ ‎【考点】反比例函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,平行的性质,梯形的判定。‎ ‎【分析】(1)由于A与B是反比例函数图象上的两个点,根据曲线上点的坐标与方程的关系,可列方程组求k的值。‎ ‎(2)判断是不是梯形,就要判定一组对边平行且不相等.求出坐标,既能求线段长度,又能判别平行。‎ ‎12. (江苏省2009年10分)如图,已知二次函数的图象的顶点为.二次函数的图象与轴交于原点及另一点,它的顶点在函数的图象的对称轴上.‎ ‎(1)求点与点的坐标;‎ ‎(2)当四边形为菱形时,求函数的关系式.‎ ‎【答案】解:(1)∵,∴顶点的坐标为,对称轴为。‎ 又∵二次函数的图象经过原点,且它的顶点在二次函数图象的对称轴上,‎ ‎∴点和点关于直线对称。∴点的坐标为。‎ ‎(2)∵四边形是菱形,‎ ‎∴点和点关于直线对称。∴点的坐标为。‎ ‎∵二次函数的图象经过点,,‎ ‎∴,解得 ‎∴二次函数的关系式为。‎ ‎【考点】‎ 二次函数的性质,点关于直线对称的性质,菱形的性质,曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】(1)把化为顶点式,即可求得点的坐标。根据的图象经过原点,且它的顶点在二次函数图象的对称轴上,可知点和点关于直线对称,从而根据点关于直线对称的性质求得点的坐标。‎ ‎ (2)由于四边形是菱形,根据菱形的性质,知点和点关于直线对称,从而求得点的坐标。由二次函数的图象经过点,,根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系,列方程组求解即可。‎ ‎13. (江苏省2009年12分)某加油站五月份营销一种油品的销售利润(万元)与销售量(万升)之间函数关系的图象如图中折线所示,该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元,截止至15日进油时的销售利润为5.5万元.(销售利润=(售价-成本价)×销售量)‎ 请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息,解答下列问题:‎ ‎(1)求销售量为多少时,销售利润为4万元;‎ ‎(2)分别求出线段与所对应的函数关系式;‎ ‎(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率,那么,在三段所表示的销售信息中,哪一段的利润率最大?(直接写出答案)‎ ‎【答案】解:(1)根据题意,当销售利润为4万元,销售量为(万升)。‎ 答:销售量为‎4万升时销售利润为4万元。‎ ‎(2)∵点的坐标为,从13日到15日利润为(万元),‎ ‎∴销售量为(万升)。∴点的坐标为。‎ 设线段所对应的函数关系式为,‎ 则,解得。‎ ‎∴线段所对应的函数关系式为。‎ ‎∵从15日到31日销售‎5万升,利润为(万元),‎ ‎∴本月销售该油品的利润为(万元)。∴点的坐标为。‎ 设线段所对应的函数关系式为,‎ 则,解得。‎ ‎∴线段所对应的函数关系式为。‎ ‎(3)线段。‎ ‎【考点】一次函数的应用,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】(1)根据公式:销售利润=(售价-成本价)×销售量,在已知售价和成本价时,可求销售利润为4万元时的销售量:销售量=销售利润÷(售价-成本价)。‎ ‎ (2)分别求出点、、的坐标,根据点在直线上,点的坐标满足方程的关系,用待定系数法即可求出和所对应的函数关系式。‎ ‎ (3)段的利润率=;‎ ‎ 段的利润率=;‎ 段的利润率=。‎ ‎∴段的利润率最大。‎ ‎14. (江苏省常州市2010年7分)向阳花卉基地出售两种花卉——百合和玫瑰,其单价为:玫瑰4元/株,百合5元/株,如果同一客户所购的玫瑰数量大于1200株,那么每株玫瑰还可降价1元。现某鲜花店向向阳花卉基地采购玫瑰1000株~1500株,百合若干株,此鲜花店本次用于采购玫瑰和百合恰好花去了9000元。然后再以玫瑰5元、百合6.5元的价格卖出。问:此鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得的毛利润最大?‎ ‎(注:1000株~1500株,表示大于或等于1000株,且小于或等于1500株。‎ 毛利润=鲜花店卖出百合和玫瑰所获的总金额—购进百合和玫瑰的所需的总金额。)‎ ‎【答案】解:设采购玫瑰x株,百合y株,毛利润为W元.‎ ‎①当1000≤x≤1200时, 得4x+5y=9000,y=,‎ ‎ W=(5-4)x+(6.5-5)y=x+1.5·=2700-。‎ ‎ ∵它是的一次函数,函数单调减小,∴当x=1000时,W有最大值2500。‎ ‎②当1200<x≤1500时,得3x+5y=9000,y=,‎ ‎ W=(5-3)x+(6.5-5)y=2x+1.5y=2x+1.5×=2700+‎ ‎∵它是的一次函数,函数单调增加,∴当x=15000时,W有最大值4350。‎ 综上所述,采购玫瑰1500株,采购百合900株,毛利润最大为4350元。‎ 答:采购百合900株,采购玫瑰1500株,毛利润最大为4350元。‎ ‎【考点】一次函数的应用,一次函数的性质。‎ ‎【分析】依题意,分1000≤x≤1200和1200<x≤1500列出函数关系式,根据一次函数的性质求解。‎ ‎15. (江苏省常州市2010年9分)如图,已知二次函数的图像与轴相交于点A、C,与轴相较于点B,A(),且△AOB∽△BOC。‎ ‎(1)求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数的关系式;‎ ‎(2)在线段AC上是否存在点M()。使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同),且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】.解:(1)∵当=0时,=3,∴B(0,3)。‎ ‎ ∵△AOB∽△BOC,∴∠OAB=∠OBC,。‎ ‎ ∵OA=,OB=3,∴,解得OC=4。∴C(4,0)。‎ ‎∵∠OAB+∠OBA=90°,∴∠OBC+∠OBA=90°。∴∠ABC=90°。‎ ‎ ∵图象经过点A(),C(4,0),‎ ‎ ∴,解得。‎ ‎ ∴二次函数的关系式为。‎ ‎ (2)存在。分三种情况:‎ ‎①如图1,当CP=CO时,点P在以BM为直径的圆上,‎ ‎∵BM为圆的直径, ∴∠BPM=90°。 ‎ 又∵∠ABC=90°,∴PM∥AB。‎ ‎ ∴△CPM∽△CBA。∴。‎ ‎ ∵OC=4,OB=3,∴CB=5。‎ ‎ 又CA=,CP=CO=4,∴,解得CM=5。‎ ‎ ∴=-1。‎ ‎ ②如图2,当PC=PO时,点P在OC垂直平分线上,‎ 则CP=。‎ ‎ 由△CPM∽△CBA,得,即,‎ 解得 CM=。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ③当OC=OP时,M点不在线段AC上。‎ ‎ 综上所述,的值为或-1。‎ ‎【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,勾股定理,圆周角定理,平行的判定,线段中垂线的性质。 ‎ ‎【分析】(1)由点B是二次函数的图像与轴的交点,令=0,即可得点B的坐标,从而由△AOB∽△BOC得对应边的比,求得C(4,0)。由三角形内角和定理求出∠ABC=90°。由二次函数图象经过点A(),C(4,0),用待定系数法求出函数关系式。‎ ‎ (2)分CP=CO,PC=PO和OC=OP三种情况分别讨论即可。‎ ‎16. (2011江苏常州10分)在平面直角坐标系XOY中,直线过点且与轴平行,直线过点且与轴平行,直线与直线相交于点P。点E为直线上一点,反比例函数(>0)的图像过点E与直线相交于点F。‎ ‎⑴若点E与点P重合,求的值;‎ ‎⑵连接OE、OF、EF。若>2,且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍,求E点的坐标;‎ ‎⑶是否存在点E及轴上的点M,使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等?若存在,求E点坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】解:(1)∵直线过点A(1,0)且与轴平行,直线过点B(0。2)且与轴平行,直线与直线相交于点P,∴点P(1,2)。‎ ‎ 若点E与点P重合,则k=1×2=2。‎ ‎ (2)当k>2时,如图1,点E、F分别在P点的右侧和上方,过E作x轴的垂线EC,垂足为C,过F作y轴的垂线FD,垂 足为D,EC和FD相交于点G,则四边形OCGD为矩形 ‎ ∵PE⊥PF, ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴S△PEF=‎ ‎ ∴四边形PFGE是矩形, ∴S△PEF=S△GFE,‎ ‎∴S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△GFE-S△OCE= ‎ ‎∵S△OEF=2S△PEF, ∴,解得k=6或k=2,‎ ‎∵k=2时,E、F重合,舍去。 ∴k=6, ∴E点坐标为:(3,2)。‎ ‎(3)存在点E及y轴上的点M,使得△MEF≌△PEF ‎①当k<2时,如图2,只可能是△MEF≌△PEF,作FH⊥y轴于H ‎∵△FHM∽△MBE, ∴ ‎ ‎∵FH=1,EM=PE=1- ,FM=PF=2-k, ‎ ‎∴。‎ 在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2, ‎ ‎∴(1- )2=( )2+()2‎ 解得k= ,此时E点坐标为( ,2)。‎ ‎②当k>2时,如图3,只可能是△MFE≌△PEF,作FQ⊥y轴于Q,△FQM∽△MBE得, 。‎ ‎∵FQ=1,EM=PF=k-2,FM=PE= -1,‎ ‎ ∴ = ,BM=2‎ 在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2‎ ‎∴(k-2)2=()2+22,解得k= 或0,但k=0不符合题意, ∴k= . ‎ 此时E点坐标为( ,2)‎ ‎∴符合条件的E点坐标为( ,2)( ,2).‎ ‎【考点】反比例函数,矩形,一元二次方程,全等级三角形,相似三角形,勾股定理。‎ ‎【分析】(1)易由直线,求交点P坐标。若点E与点P重合,则点P在图象上,坐标满足函数关系式,求出。‎ ‎ (2)要求E点的坐标,只要先利用相似三角形对应边的比,用表示相关各点的坐标并表示相关线段的长,再利用相似三角形OEF 面积是PEF面积2倍的关系求出。‎ ‎ (3)要求E点的坐标,只要先由全等得到相似三角形,利用相似三角形对应边的比,用表示相关各点的坐标并表示相关线段的长,再利用勾股定理求出。要注意应根据点P、E、F三点位置分k<2和k>2两种情况讨论。‎ ‎17. (2012江苏常州7分)某商场购进一批L型服装(数量足够多),进价为40元/件,以60元/件销售,每天销售20件。根据市场调研,若每件每降1元,则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L型服装开展降价促销活动,每件降价x元(x为正整数)。在促销期间,商场要想每天获得最大销售利润,每件降价多少元?每天最大销售毛利润为多少?(注:每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差)‎