中考专题复习——最短路径问题 4页

中考专题复习——路径最短问题 一、具体内容包括：‎ 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；‎ A B 线段（之和）最短问题；‎ 二、原理：‎ 两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化）‎ 三、例题：‎ 例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是 。‎ A B C D ‎②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。‎ 张村 李庄 A B L 例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。‎ ‎②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。‎ 张村 李庄 ‎③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为‎1Km和‎3Km，张村与李庄的水平距离为‎3Km，则所用水管最短长度为 。‎ 四、练习题（巩固提高）‎ ‎（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。‎ A B A B A B C D A 第3题 第2题 第1题 ‎2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为‎6cm，底面圆周长为‎16cm，则所缠金丝带长度的最小值为 。‎ ‎3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为‎5 cm，底面圆的周长为‎24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为 。‎ ‎4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为 。‎ ‎ ‎ 第4题 第5题 第6题 第7题 ‎5、在菱形ABCD中，AB=2， ∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为 。‎ ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎6、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为____ ___。‎ ‎7、AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上，AD = 2CD，点P是半径OC上的一个动点，则AP+PD的最小值为____ ___。‎ ‎（二）8、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝‎18cm，则△PMN的周长为________。‎ ‎9、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长为__________。‎ ‎10、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，则AB的长 。‎ ‎11、如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．‎ ‎12、在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n = 时，AC + BC的值最小．‎ ‎ ‎ 第11题 第14题 第15题 ‎13、△ABC中，∠C = 90°，AB = 10，AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于 F，E、F是垂足，则EF的最小值等于 ．‎ ‎14、如图，菱形ABCD中，AB=2, ∠BAD=60°，点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，则PE+PF的最小值为___________.‎ ‎15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？‎ ‎16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．‎ ‎（1）求该函数的解析式；‎ ‎（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．‎ ‎（三）16、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。‎ ‎17、如图，直线l是第一、三象限的角平分线．‎ 实验与探究：‎ ‎（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′ 、C′ ；‎ 归纳与发现：‎ ‎（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 ；‎ 运用与拓广：‎ ‎（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．‎ ‎18、几何模型：‎ 条件：如图，A、B是直线L同旁的两个定点．问题：在直线L上确定一点P，使PA+PB的值最小．‎ 方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．‎ 模型应用：‎ ‎（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________；‎ ‎（2）如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值；‎ O A B P R Q 图3‎ ‎（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．‎ O A B C 图2‎ P A B E C B D 图1‎ A B ‎′‎ P l ‎19、问题探究 ‎（1）如图①，四边形是正方形， ，为边的中点，为上的一个动点，求的最小值；‎ ‎（2）如图②，若四边形是菱形， ，，为边上的一个动点，为上的一个动点，求的最小值；‎ A D B C A D B C E P A C D B 问题解决（3）如图③，若四边形ABCD是矩形， ，，为边上的一个动点，为上的一个动点，求的最小值；‎ ‎20.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结‎0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB.‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）‎ 解：（1）过点B作BD⊥轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60。.在Rt△OBD中，∠ODB=90。，∠OBD=30。.‎ ‎∴OD=1，DB=‎ ‎∴点B的坐标是（1，）.‎ ‎（2）设所求抛物线的解析式为，由已知可得：‎ 解得：‎ ‎∴所求抛物线解析式为 ‎（3）存在.‎ 由配方后得：‎ ‎∴抛物线的对称轴为=－1.‎ ‎（也写用顶点坐标公式求出）‎ ‎∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小.‎ ‎∵点O与点A关于直线=－1对称，有CO=CA.‎ △ BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.‎ ‎∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小.‎ 设直线AB的解析式为 解得： ∴直线AB的解析式为 当=－1时， ∴所求点C的坐标为（－1，）.‎ ‎21、D O x y B E P A C 如图，抛物线的顶点P的坐标为，交x轴于A、B两点，交y轴于点．‎ ‎（1）求抛物线的表达式．‎ ‎（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．‎ 判断四边形ADBC的形状，并说明理由．‎ ‎（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，‎ 若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）由题意知 解得， -------------3分 ‎（列出方程组给1分，解出给2分）‎ ‎∴抛物线的解析式为 -----------4分 ‎（2）设点A（，0），B（，0），则，‎ 解得 -------------5分 ‎ ‎∴∣OA∣＝1，∣OB∣＝3．又∵tan∠OCB＝‎ ‎∴∠OCB＝60°，同理可求∠OCA＝30°．∴∠ACB＝90° ----------6分 由旋转性质可知AC＝BD，BC＝AD ‎ ‎∴四边形ADBC是平行四边形 ----------------------------7分 又∵∠ACB＝90°．∴四边形ADBC是矩形 --------------------------8分 ‎（3）延长BC至N，使．假设存在一点F，使△FBD的周长最小．‎ 即最小．‎ ‎∵DB固定长．∴只要FD+FB最小．又∵CA⊥BN ‎∴FD+FB＝FD+FN．‎ ‎∴当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小 ．---------------------10分 又∵C为BN的中点， ∴（即F为AC的中点）．‎ 又∵A（－1，0），C（0，－） ∴ 点F的坐标为F（，）‎ ‎∴ 存在这样的点F（，），使得△FBD的周长最小．---12分 ‎22. 已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形且以P为直角顶点时，求点P的坐标．‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．‎ y x O D E A B C 答案：‎ ‎（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得 ‎ 解得 ‎ ‎∴抛物线的解折式为． 3分 ‎（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为，‎ 则E（，）．‎ 又∵点E在直线上，E y A F C B ∴． ‎ 解得（舍去），．‎ ‎∴E的坐标为（4，3）． 4分 过E作轴于，设P(b,0)．‎ 由，得．‎ ‎．‎ 由得．‎ 解得，．‎ ‎∴此时的点P的坐标为（1，0）或（3，0）． 6分 ‎（3）抛物线的对称轴为． ∵B、C关于对称，∴．‎ 要使最大，即是使最大． 8分 由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大．‎ 易知直线AB的解折式为．‎ ‎∴由 得 ∴M（，－）． 10分