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- 2021-05-10 发布
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2016年天津市中考数学试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分
1.计算(﹣2)﹣5的结果等于( )
A.﹣7 B.﹣3 C.3 D.7
2.sin60°的值等于( )
A. B. C. D.
3.下列图形中,可以看作是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.2016年5月24日《天津日报》报道,2015年天津外环线内新栽植树木6120000株,将6120000用科学记数法表示应为( )
A.0.612×107 B.6.12×106 C.61.2×105 D.612×104
5.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
A. B. C. D.
6.估计的值在( )
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
7.计算﹣的结果为( )
A.1 B.x C. D.
8.方程x2+x﹣12=0的两个根为( )
A.x1=﹣2,x2=6 B.x1=﹣6,x2=2 C.x1=﹣3,x2=4 D.x1=﹣4,x2=3
9.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,把﹣a,﹣b,0按照从小到大的顺序排列,正确的是( )
A.﹣a<0<﹣b B.0<﹣a<﹣b C.﹣b<0<﹣a D.0<﹣b<﹣a
10.如图,把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B′,AB′与DC相交于点E,则下列结论一定正确的是( )
A.∠DAB′=∠CAB′ B.∠ACD=∠B′CD C.AD=AE D.AE=CE
11.若点A(﹣5,y1),B(﹣3,y2),C(2,y3)在反比例函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1<y3<y2 B.y1<y2<y3 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3
12.已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为( )
A.1或﹣5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或3
二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分
13.计算(2a)3的结果等于 .
14.计算(+)(﹣)的结果等于 .
15.不透明袋子中装有6个球,其中有1个红球、2个绿球和3个黑球,这些球除颜色外无其他差别,从袋子中随机取出1个球,则它是绿球的概率是 .
16.若一次函数y=﹣2x+b(b为常数)的图象经过第二、三、四象限,则b的值可以是 (写出一个即可).
17.如图,在正方形ABCD中,点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,F,Q都在对角线BD上,且四边形MNPQ和AEFG均为正方形,则的值等于 .
18.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,A,E为格点,B,F为小正方形边的中点,C为AE,BF的延长线的交点.
(Ⅰ)AE的长等于 ;
(Ⅱ)若点P在线段AC上,点Q在线段BC上,且满足AP=PQ=QB,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段PQ,并简要说明点P,Q的位置是如何找到的(不要求证明) .
三、综合题:本大题共7小题,共66分
19.解不等式,请结合题意填空,完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得 ;
(Ⅱ)解不等式②,得 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;
(Ⅳ)原不等式组的解集为 .
20.在一次中学生田径运动会上,根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩(单位:m),绘制出如下的统计图①和图②,请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)图1中a的值为 ;
(Ⅱ)求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数;
(Ⅲ)根据这组初赛成绩,由高到低确定9人进入复赛,请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛.
21.在⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点.
(Ⅰ)如图1.过点C作⊙O的切线,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=27°,求∠P的大小;
(Ⅱ)如图2,D为上一点,且OD经过AC的中点E,连接DC并延长,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=10°,求∠P的大小.
22.小明上学途中要经过A,B两地,由于A,B两地之间有一片草坪,所以需要走路线AC,CB,如图,在△ABC中,AB=63m,∠A=45°,∠B=37°,求AC,CB的长.(结果保留小数点后一位)
参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,取1.414.
23.公司有330台机器需要一次性运送到某地,计划租用甲、乙两种货车共8辆,已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台、租车费用为400元,每辆乙种货车一次最多运送机器30台、租车费用为280元
(Ⅰ)设租用甲种货车x辆(x为非负整数),试填写表格.
表一:
租用甲种货车的数量/辆
3
7
x
租用的甲种货车最多运送机器的数量/台
135
租用的乙种货车最多运送机器的数量/台
150
表二:
租用甲种货车的数量/辆
3
7
x
租用甲种货车的费用/元
2800
租用乙种货车的费用/元
280
(Ⅱ)给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案,并说明理由.
24.在平面直角坐标系中,O为原点,点A(4,0),点B(0,3),把△ABO绕点B逆时针旋转,得△A′BO′,点A,O旋转后的对应点为A′,O′,记旋转角为α.
(Ⅰ)如图①,若α=90°,求AA′的长;
(Ⅱ)如图②,若α=120°,求点O′的坐标;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,边OA上 的一点P旋转后的对应点为P′,当O′P+BP′取得最小值时,求点P′的坐标(直接写出结果即可)
25.已知抛物线C:y=x2﹣2x+1的顶点为P,与y轴的交点为Q,点F(1,).
(Ⅰ)求点P,Q的坐标;
(Ⅱ)将抛物线C向上平移得到抛物线C′,点Q平移后的对应点为Q′,且FQ′=OQ′.
①求抛物线C′的解析式;
②若点P关于直线Q′F的对称点为K,射线FK与抛物线C′相交于点A,求点A的坐标.
2016年天津市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分
1.计算(﹣2)﹣5的结果等于( )
A.﹣7 B.﹣3 C.3 D.7
【考点】有理数的减法.
【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解.
【解答】解:(﹣2)﹣5=(﹣2)+(﹣5)=﹣(2+5)=﹣7,
故选:A.
2.sin60°的值等于( )
A. B. C. D.
【考点】特殊角的三角函数值.
【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案.
【解答】解:sin60°=.
故选:C.
3.下列图形中,可以看作是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】中心对称图形.
【分析】根据中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、不是中心对称图形,因为找不到任何这样的一点,旋转180度后它的两部分能够重合;即不满足中心对称图形的定义,故此选项错误;
B、是中心对称图形,故此选项正确;
C、不是中心对称图形,因为找不到任何这样的一点,旋转180度后它的两部分能够重合;即不满足中心对称图形的定义,故此选项错误;
D、不是中心对称图形,因为找不到任何这样的一点,旋转180度后它的两部分能够重合;即不满足中心对称图形的定义,故此选项错误.
故选:B.
4.2016年5月24日《天津日报》报道,2015年天津外环线内新栽植树木6120000株,将6120000用科学记数法表示应为( )
A.0.612×107 B.6.12×106 C.61.2×105 D.612×104
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.
【解答】解:6120000=6.12×106,
故选:B.
5.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
【解答】解:从正面看易得第一层有2个正方形,第二层左边有一个正方形,第三层左边有一个正方形.
故选A.
6.估计的值在( )
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
【考点】估算无理数的大小.
【分析】直接利用二次根式的性质得出的取值范围.
【解答】解:∵<<,
∴的值在4和5之间.
故选:C.
7.计算﹣的结果为( )
A.1 B.x C. D.
【考点】分式的加减法.
【分析】根据同分母分式相加减,分母不变,分子相加减计算即可得解.
【解答】解:﹣
=
=1.
故选A.
8.方程x2+x﹣12=0的两个根为( )
A.x1=﹣2,x2=6 B.x1=﹣6,x2=2 C.x1=﹣3,x2=4 D.x1=﹣4,x2=3
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】将x2+x﹣12分解因式成(x+4)(x﹣3),解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论.
【解答】解:x2+x﹣12=(x+4)(x﹣3)=0,
则x+4=0,或x﹣3=0,
解得:x1=﹣4,x2=3.
故选D.
9.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,把﹣a,﹣b,0按照从小到大的顺序排列,正确的是( )
A.﹣a<0<﹣b B.0<﹣a<﹣b C.﹣b<0<﹣a D.0<﹣b<﹣a
【考点】实数大小比较;实数与数轴.
【分析】根据数轴得出a<0<b,求出﹣a>﹣b,﹣b<0,﹣a>0,即可得出答案.
【解答】解:∵从数轴可知:a<0<b,
∴﹣a>﹣b,﹣b<0,﹣a>0,
∴﹣b<0<﹣a,
故选C.
10.如图,把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B′,AB′与DC相交于点E,则下列结论一定正确的是( )
A.∠DAB′=∠CAB′ B.∠ACD=∠B′CD C.AD=AE D.AE=CE
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】根据翻折变换的性质可得∠BAC=∠CAB′,根据两直线平行,内错角相等可得∠BAC=∠ACD,从而得到∠ACD=∠CAB′,然后根据等角对等边可得AE=CE,从而得解.
【解答】解:∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B′,
∴∠BAC=∠CAB′,
∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠ACD,
∴∠ACD=∠CAB′,
∴AE=CE,
所以,结论正确的是D选项.
故选D.
11.若点A(﹣5,y1),B(﹣3,y2),C(2,y3)在反比例函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1<y3<y2 B.y1<y2<y3 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】直接利用反比例函数图象的分布,结合增减性得出答案.
【解答】解:∵点A(﹣5,y1),B(﹣3,y2),C(2,y3)在反比例函数y=的图象上,
∴A,B点在第三象限,C点在第一象限,每个图象上y随x的增大减小,
∴y3一定最大,y1>y2,
∴y2<y1<y3.
故选:D.
12.已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为( )
A.1或﹣5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或3
【考点】二次函数的最值.
【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x>h时,y随x的增大而增大、当x<h时,y随x的增大而减小,根据1≤x≤3时,函数的最小值为5可分如下两种情况:①若h<1≤x≤3,x=1时,y取得最小值5;②若1≤x≤3<h,当x=3时,y取得最小值5,分别列出关于h的方程求解即可.
【解答】解:∵当x>h时,y随x的增大而增大,当x<h时,y随x的增大而减小,
∴①若h<1≤x≤3,x=1时,y取得最小值5,
可得:(1﹣h)2+1=5,
解得:h=﹣1或h=3(舍);
②若1≤x≤3<h,当x=3时,y取得最小值5,
可得:(3﹣h)2+1=5,
解得:h=5或h=1(舍).
综上,h的值为﹣1或5,
故选:B.
二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分
13.计算(2a)3的结果等于 8a3 .
【考点】幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可.
【解答】解:(2a)3=8a3.
故答案为:8a3.
14.计算(+)(﹣)的结果等于 2 .
【考点】二次根式的混合运算.
【分析】先套用平方差公式,再根据二次根式的性质计算可得.
【解答】解:原式=()2﹣()2
=5﹣3
=2,
故答案为:2.
15.不透明袋子中装有6个球,其中有1个红球、2个绿球和3个黑球,这些球除颜色外无其他差别,从袋子中随机取出1个球,则它是绿球的概率是 .
【考点】概率公式.
【分析】由题意可得,共有6种等可能的结果,其中从口袋中任意摸出一个球是绿球的有2种情况,利用概率公式即可求得答案.
【解答】解:∵在一个不透明的口袋中有6个除颜色外其余都相同的小球,其中1个红球、2个绿球和3个黑球,
∴从口袋中任意摸出一个球是绿球的概率是=,
故答案为:.
16.若一次函数y=﹣2x+b(b为常数)的图象经过第二、三、四象限,则b的值可以是 ﹣1 (写出一个即可).
【考点】一次函数图象与系数的关系.
【分析】根据一次函数的图象经过第二、三、四象限,可以得出k<0,b<0,随便写出一个小于0的b值即可.
【解答】解:∵一次函数y=﹣2x+b(b为常数)的图象经过第二、三、四象限,
∴k<0,b<0.
故答案为:﹣1.
17.如图,在正方形ABCD中,点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,F,Q都在对角线BD上,且四边形MNPQ和AEFG均为正方形,则的值等于 .
【考点】正方形的性质.
【分析】根据辅助线的性质得到∠ABD=∠CBD=45°,四边形MNPQ和AEFG均为正方形,推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形,于是得到FE=BE=AE=AB,BM=MN=QM,同理DQ=MQ,即可得到结论.
【解答】解:在正方形ABCD中,
∵∠ABD=∠CBD=45°,
∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形,
∴∠BEF=∠AEF=90°,∠BMN=∠QMN=90°,
∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形,
∴FE=BE=AE=AB,BM=MN=QM,
同理DQ=MQ,
∴MN=BD=AB,
∴==,
故答案为:.
18.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,A,E为格点,B,F为小正方形边的中点,C为AE,BF的延长线的交点.
(Ⅰ)AE的长等于 ;
(Ⅱ)若点P在线段AC上,点Q在线段BC上,且满足AP=PQ=QB,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段PQ,并简要说明点P,Q的位置是如何找到的(不要求证明) AC与网格线相交,得到P,取格点M,连接AM,并延长与BC交予Q,连接PQ,则线段PQ即为所求 .
【考点】作图—应用与设计作图;勾股定理.
【分析】(Ⅰ)根据勾股定理即可得到结论;
(Ⅱ)取格点M,连接AM,并延长与BC交予Q,连接PQ,则线段PQ即为所求.
【解答】解:(Ⅰ)AE==;
故答案为:;
(Ⅱ)如图,AC与网格线相交,得到P,取格点M,连接AM,并延长与BC交予Q,连接PQ,则线段PQ即为所求.
故答案为:AC与网格线相交,得到P,取格点M,连接AM,并延长与BC交予Q,连接PQ,则线段PQ即为所求.
三、综合题:本大题共7小题,共66分
19.解不等式,请结合题意填空,完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得 x≤4 ;
(Ⅱ)解不等式②,得 x≥2 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;
(Ⅳ)原不等式组的解集为 2≤x≤4 .
【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.
【分析】分别求出各不等式的解集,再在数轴上表示出来即可.
【解答】解:(I)解不等式①,得x≤4.
故答案为:x≤4;
(II)解不等式②,得x≥2.
故答案为:x≥2.
(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示为:
;
(IV)原不等式组的解集为:.
故答案为:2≤x≤4.
20.在一次中学生田径运动会上,根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩(单位:m),绘制出如下的统计图①和图②,请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)图1中a的值为 25 ;
(Ⅱ)求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数;
(Ⅲ)根据这组初赛成绩,由高到低确定9人进入复赛,请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛.
【考点】众数;扇形统计图;条形统计图;加权平均数;中位数.
【分析】(Ⅰ)用整体1减去其它所占的百分比,即可求出a的值;
(Ⅱ)根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可;
(Ⅲ)根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛.
【解答】解:(Ⅰ)根据题意得:
1﹣20%﹣10%﹣15%﹣30%=25%;
则a的值是25;
故答案为:25;
(Ⅱ)观察条形统计图得:
==1.61;
∵在这组数据中,1.65出现了6次,出现的次数最多,
∴这组数据的众数是1.65;
将这组数据从小到大排列为,其中处于中间的两个数都是1.60,
则这组数据的中位数是1.60.
(Ⅲ)能;
∵共有20个人,中位数是第10、11个数的平均数,
∴根据中位数可以判断出能否进入前9名;
∵1.65m>1.60m,
∴能进入复赛.
21.在⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点.
(Ⅰ)如图1.过点C作⊙O的切线,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=27°,求∠P的大小;
(Ⅱ)如图2,D为上一点,且OD经过AC的中点E,连接DC并延长,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=10°,求∠P的大小.
【考点】切线的性质.
【分析】(Ⅰ)连接OC,首先根据切线的性质得到∠OCP=90°,利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°,然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案;
(Ⅱ)根据E为AC的中点得到OD⊥AC,从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°,然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°,最后利用三角形的外角的性质求解即可.
【解答】解:(Ⅰ)如图,连接OC,
∵⊙O与PC相切于点C,
∴OC⊥PC,即∠OCP=90°,
∵∠CAB=27°,
∴∠COB=2∠CAB=54°,
在Rt△AOE中,∠P+∠COP=90°,
∴∠P=90°﹣∠COP=36°;
(Ⅱ)∵E为AC的中点,
∴OD⊥AC,即∠AEO=90°,
在Rt△AOE中,由∠EAO=10°,
得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°,
∴∠ACD=∠AOD=40°,
∵∠ACD是△ACP的一个外角,
∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°.
22.小明上学途中要经过A,B两地,由于A,B两地之间有一片草坪,所以需要走路线AC,CB,如图,在△ABC中,AB=63m,∠A=45°,∠B=37°,求AC,CB的长.(结果保留小数点后一位)
参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,取1.414.
【考点】解直角三角形的应用.
【分析】根据锐角三角函数,可用CD表示AD,BD,AC,BC,根据线段的和差,可得关于CD的方程,根据解方程,可得CD的长,根据AC=CD,CB=,可得答案.
【解答】解:过点C作CD⊥AB垂足为D,
在Rt△ACD中,tanA=tan45°==1,CD=AD,
sinA=sin45°==,AC=CD.
在Rt△BCD中,tanB=tan37°=≈0.75,BD=;
sinB=sin37°=≈0.60,CB=.
∵AD+BD=AB=63,
∴CD+=63,
解得CD≈27,
AC=CD≈1.414×27=38.178≈38.2,
CB=≈=45.0,
答:AC的长约为38.2cm,CB的长约等于45.0m.
23.公司有330台机器需要一次性运送到某地,计划租用甲、乙两种货车共8辆,已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台、租车费用为400元,每辆乙种货车一次最多运送机器30台、租车费用为280元
(Ⅰ)设租用甲种货车x辆(x为非负整数),试填写表格.
表一:
租用甲种货车的数量/辆
3
7
x
租用的甲种货车最多运送机器的数量/台
135
315
45x
租用的乙种货车最多运送机器的数量/台
150
30
﹣30x+240
表二:
租用甲种货车的数量/辆
3
7
x
租用甲种货车的费用/元
1200
2800
400x
租用乙种货车的费用/元
1400
280
﹣280x+2240
(Ⅱ)给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案,并说明理由.
【考点】一次函数的应用.
【分析】(Ⅰ)根据计划租用甲、乙两种货车共8辆,已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台、租车费用为400元,每辆乙种货车一次最多运送机器30台、租车费用为280元
,可以分别把表一和表二补充完整;
(Ⅱ)由(Ⅰ)中的数据和公司有330台机器需要一次性运送到某地,可以解答本题.
【解答】解:(Ⅰ)由题意可得,
在表一中,当甲车7辆时,运送的机器数量为:45×7=315(台),则乙车8﹣7=1辆,运送的机器数量为:30×1=30(台),
当甲车x辆时,运送的机器数量为:45×x=45x(台),则乙车(8﹣x)辆,运送的机器数量为:30×(8﹣x)=﹣30x+240(台),
在表二中,当租用甲货车3辆时,租用甲种货车的费用为:400×3=1200(元),则租用乙种货车8﹣3=5辆,租用乙种货车的费用为:280×5=1400(元),
当租用甲货车x辆时,租用甲种货车的费用为:400×x=400x(元),则租用乙种货车(8﹣x)辆,租用乙种货车的费用为:280×(8﹣x)=﹣280x+2240(元),
故答案为:表一:315,45x,30,﹣30x+240;
表二:1200,400x,1400,﹣280x+2240;
(Ⅱ)能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲车6辆,乙车2辆,
理由:当租用甲种货车x辆时,设两种货车的总费用为y元,
则两种货车的总费用为:y=400x+(﹣280x+2240)=120x+2240,
又∵45x+(﹣30x+240)≥330,解得x≥6,
∵120>0,
∴在函数y=120x+2240中,y随x的增大而增大,
∴当x=6时,y取得最小值,
即能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车6辆,乙种货车2辆.
24.在平面直角坐标系中,O为原点,点A(4,0),点B(0,3),把△ABO绕点B逆时针旋转,得△A′BO′,点A,O旋转后的对应点为A′,O′,记旋转角为α.
(Ⅰ)如图①,若α=90°,求AA′的长;
(Ⅱ)如图②,若α=120°,求点O′的坐标;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,边OA上 的一点P旋转后的对应点为P′,当O′P+BP′取得最小值时,求点P′的坐标(直接写出结果即可)
【考点】几何变换综合题.
【分析】(1)如图①,先利用勾股定理计算出AB=5,再根据旋转的性质得BA=BA′,∠ABA′=90°,则可判定△ABA′为等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长;
(2)作O′H⊥y轴于H,如图②,利用旋转的性质得BO=BO′=3,∠OBO′=120°,则∠HBO′=60°,再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长,然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标;
(3)由旋转的性质得BP=BP′,则O′P+BP′=O′P+BP,作B点关于x轴的对称点C,连结O′C交x轴于P点,如图②,易得O′P+BP=O′C,利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小,接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y=x﹣3,从而得到P(,0),则O′P′=OP=,作P′D⊥O′H于D,然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D和DO′的长,从而可得到P′点的坐标.
【解答】解:(1)如图①,
∵点A(4,0),点B(0,3),
∴OA=4,OB=3,
∴AB==5,
∵△ABO绕点B逆时针旋转90°,得△A′BO′,
∴BA=BA′,∠ABA′=90°,
∴△ABA′为等腰直角三角形,
∴AA′=BA=5;
(2)作O′H⊥y轴于H,如图②,
∵△ABO绕点B逆时针旋转120°,得△A′BO′,
∴BO=BO′=3,∠OBO′=120°,
∴∠HBO′=60°,
在Rt△BHO′中,∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°,
∴BH=BO′=,O′H=BH=,
∴OH=OB+BH=3+=,
∴O′点的坐标为(,);
(3)∵△ABO绕点B逆时针旋转120°,得△A′BO′,点P的对应点为P′,
∴BP=BP′,
∴O′P+BP′=O′P+BP,
作B点关于x轴的对称点C,连结O′C交x轴于P点,如图②,
则O′P+BP=O′P+PC=O′C,此时O′P+BP的值最小,
∵点C与点B关于x轴对称,
∴C(0,﹣3),
设直线O′C的解析式为y=kx+b,
把O′(,),C(0,﹣3)代入得,解得,
∴直线O′C的解析式为y=x﹣3,
当y=0时, x﹣3=0,解得x=,则P(,0),
∴OP=,
∴O′P′=OP=,
作P′D⊥O′H于D,
∵∠BO′A=∠BOA=90°,∠BO′H=30°,
∴∠DP′O′=30°,
∴O′D=O′P′=,P′D=O′D=,
∴DH=O′H﹣O′D=﹣=,
∴P′点的坐标为(,).
25.已知抛物线C:y=x2﹣2x+1的顶点为P,与y轴的交点为Q,点F(1,).
(Ⅰ)求点P,Q的坐标;
(Ⅱ)将抛物线C向上平移得到抛物线C′,点Q平移后的对应点为Q′,且FQ′=OQ′.
①求抛物线C′的解析式;
②若点P关于直线Q′F的对称点为K,射线FK与抛物线C′相交于点A,求点A的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)令x=0,求出抛物线与y轴的交点,抛物线解析式化为顶点式,求出点P坐标;
(2)①设出Q′(0,m),表示出Q′F,根据FQ′=OQ′,用勾股定理建立方程求出m,即可.
②根据AF=AN,用勾股定理,(x﹣1)2+(y﹣)2=(x2﹣2x+)+y2﹣y=y2,求出AF=y,再求出直线Q′F的解析式,即可.
【解答】解:(Ⅰ)∵y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2
∴顶点P(1,0),
∵当x=0时,y=1,
∴Q(0,1),
(Ⅱ)①设抛物线C′的解析式为y=x2﹣2x+m,
∴Q′(0,m)其中m>1,
∴OQ′=m,
∵F(1,),
过F作FH⊥OQ′,如图:
∴FH=1,Q′H=m﹣,
在Rt△FQ′H中,FQ′2=(m﹣)2+1=m2﹣m+,
∵FQ′=OQ′,
∴m2﹣m+=m2,
∴m=,
∴抛物线C′的解析式为y=x2﹣2x+,
②设点A(x0,y0),则y0=x02﹣2x0+,
过点A作x轴的垂线,与直线Q′F相交于点N,则可设N(x0,n),
∴AN=y0﹣n,其中y0>n,
连接FP,
∵F(1,),P(1,0),
∴FP⊥x轴,
∴FP∥AN,
∴∠ANF=∠PFN,
连接PK,则直线Q′F是线段PK的垂直平分线,
∴FP=FK,有∠PFN=∠AFN,
∴∠ANF=∠AFN,则AF=AN,
根据勾股定理,得,AF2=(x0﹣1)2+(y0﹣)2,
∴(x0﹣1)2+(y0﹣)2=(x﹣2x0+)+y﹣y0=y,
∴AF=y0,
∴y0=y0﹣n,
∴n=0,
∴N(x0,0),
设直线Q′F的解析式为y=kx+b,
则,
解得,
∴y=﹣x+,
由点N在直线Q′F上,得,0=﹣x0+,
∴x0=,
将x0=代入y0=x﹣2x0+,
∴y0=,
∴A(,)
2016年8月10日