中考尺规作图 8页

中考数学专项复习--尺规作图 一、理解“尺规作图”的含义 ‎1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．‎ ‎2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.‎ 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 ‎1.用直尺作图的几何语言：‎ ‎①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；‎ ‎②连结两点××；或连结××；‎ ‎③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；‎ ‎2.用圆规作图的几何语言：‎ ‎①在××上截取××＝××；‎ ‎②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；‎ ‎③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；‎ ‎④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .‎ 三、了解尺规作图题的一般步骤 ‎1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.‎ 四、 基本作图 最基本，最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 ‎ 五种基本作图：‎ ‎1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、过一点作已知直线的垂线； 5、作已知角的角平分线；‎ ‎1.作一条线段等于已知线段。‎ 已知：如图，线段a .‎ 求作：线段AB，使AB = a .‎ 作法：‎ （1） 作射线AP；‎ （2） 在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。‎ 练习：（广东.2013）如图，已知□ABCD（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证：△AFD≌△EFC．‎ ‎2.求作一个角等于已知角∠MON．‎ （1） 作射线；（2）在图（1）上，以O为圆心，恰当的长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（3）以为圆心，OA的长为半径作弧，交于点C；（4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作射线．则∠就是所要求作的角．‎ 练习：如图，△ABC中，∠ACB>∠ABC.‎ (1) 用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM,使∠ACM=∠ABC ‎(不要求写作法,保留作图痕迹)；‎ ‎(2)若(1)中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长。‎ ‎3.作已知线段的垂直平分线。‎ 已知：如图，线段MN.‎ 求作：ＭＮ的垂直平分线.‎ 作法：‎ ‎（１）分别以M、N为圆心，大于 相 线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；‎ ‎（２）连接PQ交MN于O．‎ 则PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。‎ ‎（试问：PQ与ＭＮ有何关系？）‎ 练习：1.（2017年）.如是20图，在中，.‎ ‎（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB、BC分别相交于点D、E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）：‎ ‎（2）在（1）的条件下，连接AE，若,求的度数。‎ ‎2、（广东.2016）如图，已知△ABC中，D为AB的中点.‎ ‎（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE ‎（保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）条件下，若DE=4，求BC的长. ‎ ‎5.过一点作已知直线的垂线；‎ ‎ 如下图，已知△ABC，求作：BC边上的高 分析 作BC边上的高，就是过已知点A作BC边所在直线的垂线；‎ H E G 作法 如下图①以点A为圆心，适合的长度为半径画弧，交直线CB于G、H两点；‎ ‎②分别以G、H为圆心，以大于GH的长为半径画弧，两弧交于E点；‎ ‎③作射线AE，交直线CB于D点，则线段AD就是所要求作的△ABC中BC边上的高．‎ 练习：（广东.2015）如题图，已知锐角△ABC. (1) 过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎(2) 在(1)条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，求DC的长.‎ ‎5.作已知角的角平分线。‎ 已知：如图，∠AOB，‎ 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。‎ 作法：（1）以O为圆心，恰当的长度为半径画弧，‎ 分别交OA，OB于M，N；‎ ‎（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于 MN为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；‎ （1） 作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。‎ 练习：（广东.2014）点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A.‎ ‎ （1）作△BDC的平分线DE，交BC于点E ‎（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎ （2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）. ‎ ‎ ‎ 综合练习：1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角分线．‎ ‎（1）以AB上的一点O为圆心，AD为弦在图中作出⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎2.如图,已知在△ABC中,∠A=90∘‎ ‎(1)请用圆规和直尺作出P,使圆心P在AC边上,且与AB,BC两边都相切(保留作图痕迹,不写作法和证明).‎ ‎(2)若P与BC的切点为D,∠B=60∘,AB=3,求劣弧AD的长。‎ ‎3.如图，在Rt中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE．‎ （1） 求；（直接写出结果）‎ （2） 当AB=3，AC=5时，求的周长 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4、如图，已知△ABC.按如下步骤作图：‎ ‎①以A为圆心，AB长为半径画弧；‎ ‎②以C为圆心，CB长为半径画弧,两弧相交于点D；‎ ‎③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD.‎ ‎（1）求证：△ABC≌△ADC；‎ ‎（2）若∠BAC = 30°,∠BCA = 45°,AC = 4，求BE的长.‎