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- 2021-05-10 发布
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第3讲 因式分解
第一章 数与式
知识盘点
1
.因式分解的概念
2
.基本方法
3
.因式分解的一般步骤
1
.
公因式确定的步骤:
(1)
看系数:取各
项
整数系数的最大公
约
数.
(2)
看字母:取各
项
相同的字母.
(3)
看指数:取各相同字母的最低次
幂.
如:分解因式
6
xy
2
+
2
xy
,
第一步取系数
为
6
和
2
的最大公
约
数
2
,
第二步取相同字母
为
xy
,
第三步取
xy
的最低次
幂为
1
,
故公因式
为
2
xy
.
2
.
因式分解的思考步骤
(1)
提取公因式;
(2)
看有几
项
:如果
为
二
项时
,
考
虑
使用平方差公式;如果
为
三
项时
,
考
虑
使用完全平方公式;
(3)
检查
是否分解
彻
底.
在分解出的每个因式化
简
整理后
,
把它作
为
一个新的多
项
式
,
再重复以上
过
程
进
行思考
,
试
探分解的可能性
,
直至不可能分解
为
止.
以上步
骤
可以概括
为
“
一提二套三
查
”
.
3
.
变形技巧
当
n
为
奇数
时
,
(
a
-
b
)
n
=-
(
b
-
a
)
n
;
当
n
为
偶数
时
,
(
a
-
b
)
n
=
(
b
-
a
)
n
.
难点与易错点
1
.
(
2015
·
武汉
)
把
a
2
-
2a
分解因式
,
正确的是
( )
A
.
a
(
a
-
2)
B
.
a
(
a
+
2)
C
.
a
(
a
2
-
2)
D
.
a
(2
-
a
)
2
.
(
2015
·
宜宾
)
把代数式
3x
3
-
12x
2
+
12x
分解因式
,
结果正确的是
( )
A
.
3
x
(
x
2
-
4
x
+
4)
B
.
3
x
(
x
-
4)
2
C
.
3
x
(
x
+
2)(
x
-
2)
D
.
3
x
(
x
-
2)
2
A
D
夯实基础
3
.
(
2015
·
北海
)
下列因式分解正确的是
( )
A
.
x
2
-
4
=
(
x
+
4)(
x
-
4)
B
.
x
2
+
2
x
+
1
=
x
(
x
+
2)
+
1
C
.
3
mx
-
6
my
=
3
m
(
x
-
6
y
)
D
.
2
x
+
4
=
2(
x
+
2)
4
.
(
2015
·
广西
)
分解因式:
x
3
-
2x
2
y
=
.
5
.
(
2015
·
北京
)
分解因式:
5x
3
-
10x
2
+
5x
=
.
D
x
2
(
x
-
2y
)
5x
(
x
-
1
)
2
【
例
1
】
(
2014
·
海南
)
下列式子从左到右变形是因式分解的是
( )
A
.
a
2
+
4
a
-
21
=
a
(
a
+
4)
-
21
B
.
a
2
+
4
a
-
21
=
(
a
-
3)(
a
+
7)
C
.
(
a
-
3)(
a
+
7)
=
a
2
+
4
a
-
21
D
.
a
2
+
4
a
-
21
=
(
a
+
2)
2
-
25
【
点评
】
因式分解是将一个多
项
式化成几个整式
积
的形式的恒
等
变
形
,
若
结
果不是
积
的形式
,
则
不是因式分解
,
还
要注意分解要
彻
底.
[
对应训练
]
1
.下列等式从左到右的变形
,
属于因式分解的是
( )
A
.
a
(
x
-
y
)
=
ax
-
ay
B
.
x
2
+
2
x
+
1
=
x
(
x
+
2)
+
1
C
.
(
x
+
1)(
x
+
3)
=
x
2
+
4
x
+
3
D
.
x
3
-
x
=
x
(
x
+
1)(
x
-
1)
B
D
典例探究
【
例
2
】
阅读下列文字与例题:
将一个多项式分组后
,
可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.
例如:
(1)
am
+
an
+
bm
+
bn
=
(
am
+
bm
)
+
(
an
+
bn
)
=
m
(
a
+
b
)
+
n
(
a
+
b
)
=
(
a
+
b
)(
m
+
n
)
;
(2)
x
2
-
y
2
-
2
y
-
1
=
x
2
-
(
y
2
+
2
y
+
1)
=
x
2
-
(
y
+
1)
2
=
(
x
+
y
+
1)(
x
-
y
-
1)
.
试用上述方法分解因式:
a
2
+
2
ab
+
ac
+
bc
+
b
2
= .
【
点评
】
(1)
首
项
系数
为负
数
时
,
一般公因式的系数取
负
数
,
使括号内首
项
系数
为
正;
(
2)
当某
项
正好是公因式
时
,
提取公因式后
,
该项应为
1
,
不可漏掉;
(3)
公因式也可以是多
项
式.
(
a
+
b
)(
a
+
b
+
c
)
[
对应训练
]
2
.
(1)
(
2015
·
临沂
)
多项式
mx
2
-
m
与多项式
x
2
-
2x
+
1
的公因式是
( )
A
.
x
-
1
B
.
x
+
1
C
.
x
2
-
1
D
.
(
x
-
1)
2
(2)
把多项式
(
m
+
1)(
m
-
1)
+
(
m
-
1)
提取公因式
(
m
-
1)
后
,
余下的部分是
( )
A
.
m
+
1
B
.
2
m
C
.
2
D
.
m
+
2
(3)
分解因式:
(
x
+
y
)
2
-
3(
x
+
y
)
.
解:
(
x
+
y
)
2
-
3
(
x
+
y
)
=
(
x
+
y
)(
x
+
y
-
3
)
A
D
【
例
3
】
(1)
①
(
2015
·
哈尔滨
)
把多项式
9a
3
-
ab
2
因式分解的结果
是
;
②
(
2015
·
巴中
)
分解因式:
2a
2
-
4a
+
2
=
.
(2)
分解因式:
①
(
2015
·
株洲
)
因式分解:
x
2
(x
-
2)
-
16(x
-
2)
=
;
②
(
2015
·
酒泉
)
分解因式:
x
3
y
-
2x
2
y
+
xy
=
.
【
点评
】
(1)
用平方差公式分解因式
,
其关
键
是将多
项
式
转
化
为
a
2
-
b
2
的形式
,
需注意
对
所
给
多
项
式要善于
观
察
,
并作适当
变
形
,
使之符合平方差公式的特点
,
公式中的
“
a
”“
b
”
也可以是多
项
式
,
可将
这
个多
项
式看作一
个整体
,
分解后注意合并同
类项
;
(
2)
用完全平方公式分解因式
时
,
其关
键
是掌握公式的特征.
a
(
3a
+
b
)(
3a
-
b
)
2
(
a
-
1
)
2
(
x
-
2
)(
x
+
4
)(
x
-
4
)
xy
(
x
-
1
)
2
[
对应训练
]
3
.
分解因式:
(1)9
x
2
-
1
;
(2)25(
x
+
y
)
2
-
9(
x
-
y
)
2
;
(3)
(
2015
·
南京
)
分解因式
(a
-
b)(a
-
4b)
+
ab
;
(4)
(
2015
·
杭州
)
分解因式:
m
3
n
-
4mn.
解:
(
1
)
9x
2
-
1
=
(
3x
+
1
)(
3x
-
1
)
(
2
)
25
(
x
+
y
)
2
-
9
(
x
-
y
)
2
=
[
5
(
x
+
y
)
+
3
(
x
-
y
)][
5
(
x
+
y
)
-
3
(
x
-
y
)]
=
(
8x
+
2y
)(
2x
+
8y
)
=
4
(
4x
+
y
)(
x
+
4y
)
(
3
)(
a
-
b
)(
a
-
4b
)
+
ab
=
a
2
-
5ab
+
4b
2
+
ab
=
a
2
-
4ab
+
4b
2
=
(
a
-
2b
)
2
(
4
)
m
3
n
-
4mn
=
mn
(
m
2
-
4
)
=
mn
(
m
-
2
)(
m
+
2
)
【
点评
】
灵活运用多种方法分解因式
,
其一般
顺
序是:首先提取公因式
,
然后再考
虑
用公式
,
最后
结
果一定要分解到不能再分解
为
止.
by
(
3x
+
y
)(
3x
-
y
)
x
(
x
-
1
)
2
解:
(
x
+
2
)(
x
+
4
)
+
x
2
-
4
=
(
x
+
2
)(
x
+
4
)
+
(
x
+
2
)(
x
-
2
)
=
(
x
+
2
)(
x
+
4
+
x
-
2
)
=
(
x
+
2
)(
2x
+
2
)
=
2
(
x
+
2
)(
x
+
1
)
【
例
5
】
(1)(
2014
·
河北
)
计算:
85
2
-
15
2
等于
( )
A
.
70
B
.
700
C
.
4900
D
.
7000
(2)
已知
a
2
+
b
2
+
6
a
-
10
b
+
34
=
0
,
求
a
+
b
的值.
解:
∵
a
2
+
b
2
+
6a
-
10b
+
34
=
0
,
∴
a
2
+
6a
+
9
+
b
2
-
10b
+
25
=
0
,
即
(
a
+
3
)
2
+
(
b
-
5
)
2
=
0
,
∴
a
+
3
=
0
且
b
-
5
=
0
,
∴
a
=-
3
,
b
=
5
,
∴
a
+
b
=-
3
+
5
=
2
【
点评
】
(1)
利用因式分解
,
将多
项
式分解之后整体代入求
值
;
(
2)
一个
问题
有两个未知数
,
只有一个条件
,
根据已知式右
边
等于
0
,
若将左
边转
化成两个完全平方式的和
,
而它
们
都是非
负
数
,
要使和
为
0
,
则
每个完全平方式都等于
0
,
从而使
问题
得以求解.
D
4900
C
解析:
∵
a
3
+
ab
2
+
bc
2
=
b
3
+
a
2
b
+
ac
2
,
∴
a
3
-
b
3
-
a
2
b
+
ab
2
-
ac
2
+
bc
2
=
0
,
(
a
3
-
a
2
b
)
+
(
ab
2
-
b
3
)
-
(
ac
2
-
bc
2
)
=
0
,
a
2
(
a
-
b
)
+
b
2
(
a
-
b
)
-
c
2
(
a
-
b
)
=
0
,
(
a
-
b
)(
a
2
+
b
2
-
c
2
)
=
0
,
∴
a
-
b
=
0
或
a
2
+
b
2
-
c
2
=
0.
∴
a
=
b
或
a
2
+
b
2
=
c
2
,
故
△
ABC
的形状是等腰三角形或直角三角形
试题
分解因式:
(1)20m
3
n
-
15m
2
n
2
+
5m
2
n
;
(2)4x
2
-
16y
2
;
(3)m(a
-
b)
+
n(b
-
a)
;
(4)
-
3x
2
+
18x
-
27.
错解
(1)20m
3
n
-
15m
2
n
2
+
5m
2
n
=
5m
2
n(4m
-
3n)
;
(2)4x
2
-
16y
2
=
(2x
+
4y)(2x
-
4y)
;
(3)m(a
-
b)
+
n(b
-
a)
=
(a
-
b)(m
+
n)
;
(4)
-
3x
2
+
18x
-
27
=-
3(x
2
-
6x
+
9)
.
剖析
学
习
因式分解
,
若
对
分解因式的方法不熟
练
,
理解不透
彻
,
可能会出
现
各种各
样
的
错误.
因式分解提取公因式后
,
括号内的
项
一定要与原来的
项
数一
样
多
,
错
解主要是
对
分配律理解不深或粗心大意造成的
,
提取公因式
还
有符号方面的
错误
;分解因式
时
,
应
先
观
察是否有公因式可提
,
公因式包括系数
,
错
解忽
视
提取系数的最大公
约
数;分解因式
还
要使分解后的每个因式都不能再分解.
正解
(
1
)
20m
3
n
-
15m
2
n
2
+
5m
2
n
=
5m
2
n
(
4m
-
3n
+
1
)
(
2
)
4x
2
-
16y
2
=
4
(
x
+
2y
)(
x
-
2y
)
(
3
)
m
(
a
-
b
)
+
n
(
b
-
a
)
=
m
(
a
-
b
)
-
n
(
a
-
b
)
=
(
a
-
b
)(
m
-
n
)
(
4
)
-
3x
2
+
18x
-
27
=-
3
(
x
2
-
6x
+
9
)
=-
3
(
x
-
3
)
2