贵阳专用2019中考数学总复习专题三与直角三角形相关的探究及应用针对训练 4页

第二部分　专题三　‎ ‎1．求下列各式的值：‎ ‎(1)a，b，c是△ABC的三边，且满足a2＝(c＋b)(c－b)和4c－5b＝0，求cosA＋cosB的值；‎ ‎ (2)已知A为锐角，且tanA＝，求sin2A＋2sinAcosA＋cos2A的值．‎ 解：(1)由a2＝(c＋b)(c－b)，得c2＝a2＋b2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.‎ 由4c－5b＝0，得＝，‎ ‎∴cosA＝＝，cosB＝＝，‎ ‎∴cosA＋cosB＝.‎ ‎(2)∵tanA＝ ，∴∠A＝60°，‎ ‎∴原式＝()2＋2××＋()2＝＋1.‎ ‎2．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于24米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.‎ ‎(1)求AB的长；(结果保留根号)‎ ‎(2)已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．(参考数据： ≈1.41，≈1.73)‎ 解：(1)由题意得在Rt△ADC中，‎ tan30°＝＝，‎ 解得AD＝24.‎ 在Rt△BDC 中，tan60°＝＝，‎ 解得BD＝8.‎ ‎∴AB＝AD－BD＝24－8＝16(米)．‎ ‎(2)∵校车从A到B用时2秒，‎ ‎∴校车的速度为16÷2＝8≈13.8(米/秒)．‎ ‎∵13.8米/秒＝49.68千米/小时＞45千米/小时，‎ ‎∴这辆校车超速．‎ ‎3．在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE＝30°，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得塔顶C的仰角∠CGE＝60°.已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．(≈1.73，≈1.41)‎ 解：∵∠CFE＝30°，∠CGE＝60°，‎ ‎∴∠FCG＝30°，∴GC＝FG＝50米，‎ ‎∴sin60°＝＝，即＝，‎ ‎∴CE＝25米，‎ ‎∴CD＝CE＋DE＝25＋1.5≈44.75(米)．‎ 答：古塔的高度约为44.75米．‎ ‎4．某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝30°，∠CDE＝45°，DE＝80 cm，AC＝180 cm.‎ ‎(1)求支架CD的长；‎ ‎(2)求真空热水管AB的长．(结果保留根号)‎ 解：(1)在Rt△CDE中，∠CDE＝45°，DE＝80 cm，∴CD＝80×cos45°＝80×＝40 (cm)．‎ 答：支架CD的长为40 cm.‎ ‎(2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝180 cm，‎ ‎∴OC＝AC·tan30°＝180×＝60 (cm)，‎ ‎∴OD＝OC－CD＝(60－40 ) cm，‎ ‎∴AB＝AO－OB＝AO－OD＝60×2－(60－40)＝(60 ＋40) cm.‎ 答：真空热水管AB的长为(60＋40) cm.‎ ‎5．(2018·梧州)随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布，为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°，测得瀑布底端B点的俯角是10°，AB与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得CG＝27 m，GF＝17.6 m(注：C，G，F三点在同一直线上，CF⊥AB于点F)，斜坡CD＝20 m，坡角∠ECD＝40°，求瀑布AB的高度．(参考数据：≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18)‎ ‎　‎ 解：如答图，过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N.‎ 在Rt△CMD中，∵CD＝20 m，∠DCM＝40°，‎ ‎∠CMD＝90°，∴CM＝CD·cos40°≈15.4 (m)，‎ DM＝CD·sin40°≈12.8 (m)，‎ ‎∴DN＝MF＝CM＋CG＋GF＝60 (m)．‎ 在Rt△BDN中，∵∠BDN＝10°，∠BND＝90°，‎ DN＝60 m，∴BN＝DN·tan10°≈10.8 (m)．‎ 在Rt△ADN中，∵∠ADN＝30°，∠AND＝90°，‎ DN＝60 m，∴AN＝DN·tan30°≈34.6 (m)．‎ ‎∴AB＝AN＋BN＝45.4 (m)．‎ 答：瀑布AB的高度约为45.4 m.‎ ‎6．(2018·泸州)如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90 m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E，B在同一水平线上)点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C，D间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值)‎ 解：由题意知，BC＝6AD，AE＋BE＝AB＝90 m，‎ 在Rt△ADE中，tan30°＝，sin30°＝，∴AE＝＝ AD，DE＝2AD．‎ 在Rt△BCE中，tan60°＝，sin60°＝，‎ ‎∴BE＝＝2 AD，CE＝＝4 AD．‎ ‎∵AE＋BE＝AB＝90 m，∴ AD＋2 AD＝90，‎ ‎∴AD＝10 m，∴DE＝20 m，CE＝120 m.‎ ‎∵∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝180°，∠DEA＝30°，∠CEB＝60°，∴∠DEC＝90°，‎ ‎∴CD＝＝＝20 m.‎ 答：这两座建筑物顶端C，D间的距离为20 m.‎