中考初三数学一轮复习导学案及专题精练含答案 231页

2018 届中考一轮复习导学案及专题精练 目 录  第 1 讲实数概念与运算  第 2 讲整式与因式分解  第 3 讲分式  第 4 讲二次根式  第 5 讲一元一次方程及其应用  第 6 讲一次方程组及其应用  第 7 讲一元二次方程及其应用  第 8 讲分式方程及其应用  第 9 讲一元一次不等式组及其应用  第 10 讲平面直角坐标系与函数  第 11 讲一次函数的图象与性质  第 12 讲一次函数的应用  第 13 讲反比例函数  第 14 讲二次函数的图象及其性质  第 15 讲二次函数与一元二次方程  第 16 讲二次函数的应用  第 17 讲几何初步及平行线相交线  第 18 讲三角形与多边形  第 19 讲全等三角形  第 20 讲等腰三角形  第 21 讲直角三角形与勾股定理  第 22 讲相似三角形及其应用 第 1 讲 实数概念与运算 一、知识梳理 实数的概念 1、实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数的概念。 (1)_____________叫有理数，_____________________叫无理数；______________叫做 实数。 (2)相反数：①定义：只有_____的两个数互为相反数。实数 a 的相反数是______0 的相 反数是________ ②性质：若 a+b=0 则 a 与 b 互为______, 反之，若 a 与 b 互为相反数，则 a+b= _______ (3)倒数： ①定义：1 除以________________________叫做这个数的倒数。 ②a 的倒数是________(a  0) (4)绝对值：① 定义：一般地数轴上表示数 a 的点到原点的_______, 叫数 a 的绝对值。 ② 2、平方根、算术平方根、立方根 (1)平方根：一般地，如果_________________________,这个数叫 a 的平方根，a 的平 方根表示为_________.（a  0） (2)算术平方根：正数 a 的____的平方根叫做 a 的算术平方根，数 a 的算术平方根表示 为为_____（a  0） (3)立方根：一般地，如果_________,这个数叫 a 的立方根，数 a 的立方根表示为______。 注意：负数_________平方根 。 实数的运算 1、有效数字、科学记数法 （1）有效数字：从一个数的_____边第一个_____起到末位数字止，所有的数字都是这 个数的有效数字。 （2）科学记数法：一个数 M 可表示为 a10n 或 a10-n 形式，其中1 / / 10a  ，n 为正 整数，当/M/  10 时，可表示为__________形式，当/M/  1 时，可表示为____________形式。 2、实数的运算： （1）运算顺序：在进行混合运算时，先算______,再算_______，在最后算_________; 有括号时，先算括号里面的。 （2）零指数： 0a =__________（a≠0），负指数： pa  =________（a≠0，p 是正整数）。 特殊角的三角函数值：30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。 二、题型、技巧归纳 考点一：实数的概念 1、 5 的相反数是（ ） A． 5 B． 5 C． 5 5- D． 5 5 2、如果 2( ) 13    ，则“ ”内应填的实数是（ ） A． 3 2 B． 2 3 C． 2 3  D． 3 2  3、在实数π、 1 3 、 2 、sin30°,无理数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 技巧归纳： 1.只有符号不同的两个数互为相反数； 2.乘积为 1 的两个数互为倒数 3.无理数就是无限不循环小数．理解无 理数的概念，一定要同时理解有理数的概念， 有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无 理数． 考点二：平方根、算术平方根、立方根 4、已知一个正数的平方根是3 2x  和5 6x  ，则这个数是 ． 技巧归纳： 一个数的平方根互为相反数，相加等于 0 考点三：实数的运算 5、PM2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025 m 的颗粒物．将 0.0000025 用科学记 数法表示为( ) A．0.25×10－3 B．0.25×10－4 C．2.5×10－5 D．2.5×10－6 技巧归纳： 这类数用科学记数法表示的方法是写成 a×10－n(1≤|a|＜10，n＞0 )的 形式，关键是确定－n.确定了 n 的值，－n 的值就确定了，确定方法是：大于 1 的数，n 的 值等于整数部分的位数减 1；小于 1 的数，n 的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数 (含整数位数上的零)． 6、计算：   1 01 3- 3 cos30 12 1.2 2            技巧归纳：运算顺序：在进行混合运算时，先算乘方,再算乘除,最后算加减有括号时， 先算括号里面的。 三、随堂检测 1、下列各数中，比 0 小的数是（ ） A．－ 1 B．1 C． 2 D．π 2、下列各数中，最小的是（ ） A.0 B.1 C.－1 D.— 2 3、下列说法正确的是（ ） A．a 一定是正数 B．2011 3 是有理数 C．2 2是有理数 D．平方等于自身的数只有 1； 4、如图，数轴上 A、B 两点分别对应实数 a，b，则下列结论正确的是（ ） A、a＜b B、a=b C、a＞b D、ab＞0 5、定义新运算：对任意实数 a、b，都有 a b=a2-b,例如，3 2=32-2=7，那么 2 1=_________ 参考答案 随堂检测 1、 A 2、 D 3、 B 4、 C 5、 3 第 1 讲：实数概念与运算 一、夯实基础 1、绝对值是 6 的数是________ 2、 |2 1|  的倒数是________________。 3、2 的平方根是_________. 4、下列四个实数中，比－1 小的数是（ ） A．－2 B.0 C．1 D．2 5、在下列实数中,无理数是( ) A.2 B.0 C. 5 D. 1 3 二、能力提升 6、小明家冰箱冷冻室的温度为－5℃，调高 4℃后的温度为（ ） A．4℃ B．9℃ C．－1℃ D．－9℃ 7、定义一种运算☆，其规则为 a☆b= 1 a ＋ 1 b ，根据这个规则、计算 2☆3 的值是（ ） A． 6 5 B． 1 5 C．5 D．6 8、下列计算不正确的是（ ） （A） 3 1 22 2     （B） 21 1 3 9      （C） 3 3  （D） 12 2 3 三、课外拓展 9、实数 a、b 在数轴上位置如图所示，则|a|、|b|的大小关系是________。 四、中考链接 10、数轴上的点 A 到原点的距离是 6，则点 A 表示的数为（ ） A. 6 或 6 B. 6 C. 6 D. 3 或 3 11、如 果 a 与 1 互为相反数，则 a 等于（ ）． A． 2 B． 2 C．1 D． 1 12、下列哪一选项的值介于 0.2 与 0.3 之间？（ ） A、 4.84 B、 0.484 C、 0.0484 D、 0.00484 13、― 2× 6 3 ＝ 14、在﹣2，2， 2这三个实数中，最小的是 15、写出一个大于 3 且小于 4 的无理数 。 参考答案 一、夯实基础 1、6 和-6 2、2 3、 2 4、A 5、C 二、能力提升 6、C 7、A 8、A 三、课外拓展 9、 a b 四、中考链接 10、A 11、C 12、C 13、-2 14、﹣ 2 15、解：∵π≈3.14…， ∴3＜π＜4， 故答案为：π（答案不唯一）． 第 2 讲:整式与因式分解 一、知识梳理 整式的有关概念 单项式定义：数与字母的________的代数式叫做单项式，单独的一个________或一个 ________也是单项式 单项式次数：一个单项式中，所有字母的________ 叫做这个单项式的次 数 单项式系数：单项式中的 叫做单项式的系数 多项式定义：几个单项式的________叫做多项式 多项式次数：一个多项式中，_____________ _的次数，叫做这个多项式的次数 多项式系数：多项式中的每个________叫做多项式的项 整式：________________统称整式 同类项、合并同类项 同类项概念：所含字母________，并且相同字母的指数也分别________的项叫做同类项， 几个常数项也是同类项 合并同类项概念：把 中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并同类项后， 所得项的系数是合并前各同类项的系数的 ，且字母部分不变 整式的运算 整式的加减实质就是____________．一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号， 再合并同类项 幂的运算 ： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即：am·an＝________(m，n 都是整数) 幂的乘方 ，底数不变，指数相乘. 即：(am)n＝________(m，n 都是整数) 积的乘方 ，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即：(ab)n＝ ________(n 为整数) 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 即：am÷an＝________(a≠0，m、n 都为整数) 整式的乘法 ： 单项式与单项式相乘，把它们的 分别相乘，对于只在一个单项式里含 有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m(a ＋b＋c)＝ 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的 积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ 整式的除法： 单项式除以单项式 ， 与 分别相除，作为商的因式，对于只在被除 式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别 这个单项式，然后把所得 的商相加 乘法公式 ： 平方差公式 ：(a＋b)(a－b)＝________ 完全平方公式 ：(a±b)2＝________ 常用恒等变换 ：(1)a2＋b2＝____________＝____________ (2)(a－b)2＝(a＋b)2－ 因式分解的相关概念及分解基本方法 公因式定义：一个多项式各项都含有的 的因式，叫做这个多项式各项的公因式 提取公因式法定义：一般地，如果多项式的各项都有公因式，可以把这个公因式提到括 号外面，将多项式写成因式的乘积形式，即 ma＋mb＋mc＝________ 运用公式法： 平方差公式 a2－b2＝___________ 完全平方公式 a2＋2ab＋b2＝________ ，a2－2ab＋b2＝________ 二次三项式 x2+(p+q)x+pq=________ 二、题型、技巧归纳 考点一 整式的有关概念 1、如果□×3ab=3a2b，则□内应填的代数式是（ ） A.ab B.3ab C.a D.3a 技巧归纳：注意单项式次数、单项式系数 2、在下列代数式中，次数为 3 的单项式是( ) A．xy2 B．x3－y3 C．x3y D．3xy 技巧归纳：由单项式次数的概念可知次数 考点二 同类项、合并同类项 3、如果单项式 2 31 1 2 3 ba y yx x与 是同类项，那么 a，b 的值分别为( ) A．2，2 B．－3，2 C．2，3 D．3，2 技巧归纳：(1)同类项必须符合两个条件：第一所含字母相同，第二相同字母 的指数相 同，两者缺一不可．(2)根据同类项概念——相同字母的指数相同列方程(组)是解此类题的 一般方法． 考点三 整式的运算 4、下列运算中，正确的是( ) A．a2·a3＝a6 B．a3÷a2＝a C．(a3)2＝a9 D．a2＋a2＝ a5 技巧归纳：(1)进行整式的运算时，一要注意合理选择幂的运算法则，二要注意结果的 符号． (2)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆 (3)单项式的除法关键：注意区别 “系数相除”与“同底数幂相除”的含义， 一定不能把同底数幂的指数相除． 5、先化简，再求值： (2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中 x＝－ 3 技巧归纳：整式的运算顺序是：先计算乘除，再做整式的加减，整式加减的实质就是合 并同类项，其中能运用乘法公式计算的应采用乘法公式进行计算． 考点四 因式分解的相关概念及分解基本方法 6、分解因式(x－1)2 －2(x－1)＋1 的结果是( ) A．(x－1)(x－2) B. x2 C．(x＋1)2 D. (x－2)2 技巧归纳： (1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分 解． (2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次提取；注意符号的变换 (3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方式及其特点． (4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为止． 7、 ①是一个长为 2m，宽为 2n(m>n)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它 分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图 3－1②那样拼成一个正方形，则中间空 的部分的面积是( ) A．2mn B．(m＋n)2 C．(m－n)2 D．m2 －n2 技巧归纳： (1)通过拼图的方法可验证平方差公式和完全平方公式，关键要能准确计算 阴影部分的面积．(2)利用因式分解进行计算与化简，先把要求的代数式进行因式分解，再 代入已知条件计算． 三、随堂检测 1、把 分解因式，结果是（ ） A． B． C． D． 2、若(2x)n－81＝(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，则 n 的值是( ) A．2 B．4 C．6 D．8 3、多项式 x2＋y2、－x2＋y2、－x2－y2、x2＋（－y2）、8x2－y2、（y－x）3＋（x－y）、2x2 － y2 中，能在有理数范围内用平方差公式分解的有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 4、 能被下列数整除的是（ ） A．3 B．5 C．7 D．9 5、若 m、n 互为相反数，则 5m＋5n－5＝__________． 6、当 x=90.28 时，8.37x+5.63x－4x=____ _____. 7、 . 8、多项式 24ab2－32a2b 提出公因式是 . 9、已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3 求：(1)ab 的值；(2)a2＋b2 的值． 参考答案 1、C 2、A 3、D 4、B 5、-2 6、D 7、C 随堂检测 1、B 2、B 3、A 4、C 5、－5 6、902.8 7、3b 8、8ab 9、解：(1)由(a＋b)2＝7, (a－b)2＝3，得 ①－②，得 4ab＝4，所以 ab＝1. (2)把 ab＝1 代入①，得 a2＋2×1＋b2＝7，所以 a2＋b2＝5. 第 2 讲：整式与因式分解 一、夯实基础 1．计算（直接写出结果） ①a·a3= ③(b3)4= ④(2ab)3= ⑤3x2 y· )2 23 yx（ = 2．计算： 2332 )()( aa  ＝ ． 3．计算： )(3)2( 43222 yxyxxy  ＝ ． 4． 1821684  nnn ，求 n ＝ ． 5．若 ._____34,992213   mmyxyxyx nnmm 则 二、能力提升 6．若 )5)((  xkx 的积中不含有 x 的一次项，则 k 的值是（） A．0 B．5 C．－5 D．－5 或 5 7．若 ))(3(152 nxxmxx  ，则 m 的值为（） A．－5 B．5 C．－2 D．2 8．若 142  yx ， 1327  xy ，则 yx  等于（） A．－5 B．－3 C．－1 D．1 9．如果 552a ， 443b ， 334c ，那么（） A． a ＞b ＞ c B．b ＞ c ＞ a C． c ＞ a ＞b D． c ＞b ＞ a 三、课外拓展 10．①已知 ,2,2 1  mna 求 nmaa )(2  的值. ②若 的求 nnn xxx 22232 )(4)3(,2  值 11．若 0352  yx ，求 yx 324  的值． 四、中考链接 12．（龙口）先化简，再求值：（每小题 5 分，共 10 分） （1）x（x-1）+2x（x+1）－（3x-1）（2x-5），其中 x=2． （2） 342 )()( mmm  ，其中 m = 2 13、（延庆）已知 ，求下列各式的值： （1） ； （2） ． 14、（鞍山）已知： ， .求：（1） ； （2） . 15、计算： ； 参考答案 一、夯实基础 1．a4，b4，8a3b3，-6x5y3； 2．0； 3．-12x7y9； 4．2； 5．4 二、能力提升 6．B； 7．C； 8．B； 9．B； 三、课外拓展 10．① 16 1 ；②56； 11．8； 四、中考链接 12．(1)-3x2+18x-5，19； (2)m9，-512； 13.（1）45；（2）57 14.（1）9；（2）1 15. 第 3 讲 分式 一、知识梳理 分式的概念 分式的 概念 定义 形如________(A、B 是整式，且 B 中含有字母，且 B≠0)的式子叫做分式 有意义的条 件 值为 0 的条 件 分式的基本性质及相关概念 分式的基本 性质 A B ＝A× B×M ， A B ＝A÷ B÷M (M 是不为零的整式) 约分 把分式的 与 中的 约去，叫做分式的约分 应用注意：约分的最终目标是 将分式化为最简分式，即分子 和分母没有公因式的分式 通分 利用分式的基本性质，使 ______和______同时乘适当的 整式，不改变分式的值，把异 分母化成同分母的分式，这样 的分式变形叫做分式的通分 应用注意：通分的关键是确定 几个分式的公分母 最简公分母 异分母的分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积 作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母 分式的运算 分式的 加减 同分母分 式相加减 分母不变，把分子相加减，即 a b c  ＝________ 异分母分 式相加减 先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即 a c b d  ＝ _____ ±____ _＝_________ 分式的 乘除 乘法法则 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的 分母，即 ac bd ＝________ 除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被 除式相乘，即 a c b d  ＝______×________＝ ________(b≠0, c≠0, d≠0) 二、题型、技巧归纳 考点 1 分式的概念 例 1（1） 若分式 有意义，则 x 的取值范围是( ) A．x≠3 B．x＝3 C．x<3 D．x>3 (2) 若代数式 2 11x  的值为零，则 x＝________. 技巧归纳： (1)分式有意义 的条件是分母不为零；分母为零时分式无意义． (2)分式的值为零的条件是：分式的分子为零，且分母不为零． (3)分式的值为正的条件是：分子与分母同号；分式的值为负的条件是：分子与分母异 号．分式的值为正(负)经常与不等式组结合考查． 考点 2 分式的基本性质及相关概念 例 2 下列计算错误的是( ) A.0.2a＋b 0.7a－b ＝2a＋b 7a－b B.x3y2 x2y3＝x y C.a－b b－a ＝－1 D.1 c ＋2 c ＝3 c 技巧归纳：利用分式的加减运算法则与约分的性质 考点 3 分式的运算 例 3 先化简，再求值： 其中 X=6. 技巧归纳：先把括号里的异分母通分变成同分母，进行同分母分式的加减，再把除变乘， 进行分式的乘法 例 4 1－ x－ 1 1－x 2÷ x2－x＋1 x2－2x＋1 ，其中 x＝－1 3 . 技巧归纳：化简时应注意，有除法时先变为乘法，然后按运算顺序计算，能运用运算定 律的尽可能运用． 例 5 1＋1 x ÷x2－1 x 例 6 先化简，再求值： 2 a－1 ＋a2－4a＋4 a2－1 ×a＋1 a－2 ，其中 a＝ 2＋1. 技巧归纳： (1)解有条件的分式化简与求值时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换 条件，又要依据条件来调整目标，除了要利用整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下 的技巧：①取倒数或利用倒数关系；②整体代入；③拆项变形或拆分变形等． (2)化简求值时，近几年出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字要考虑分母有意 义的条件，不要盲目代入． 三、随堂检测 1．在式子 x y3 ，  a ， 1 3 x ， 3 1x ， a a 2 中，分式有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．分式 3 2 x x 无意义的条件是（ ） A．x≠—3 B． x=－3 C．x=0 D．x=3 3．当 x= 时，分式 2 2 x x   值为零. 4．计算． 2 3 2 3( )a b a b  = . 5．若方程 3 2 2 x m x x    无解,则 m  __________________. 6．先化简，再求值： 21 11 2 2 x x x       ，其中 2x  . 参考答案 例 1、 (1)由分式分母 3－x 不为 0 得不等式 3－x≠0，解这个不等式得 x≠3.故选择 A. (2) 2 311 1 x x x    的值为零，则 3-X=0，且分母 X-1 不能等于零， 所以 X=3 例 2、A 例 3、解： 1＋ 2x－4 （x＋1）（x－2） ÷x＋3 x2－1 ＝ x2－x－2＋2x－4 （x＋1）（x－2） ÷x＋3 x2－1 ＝ x2＋x－6 （x＋1）（x－2） ÷x＋3 x2－1 ＝（x＋3）（x－2） （x＋1）（x－2） ×（x＋1）（x－1） x＋3 ＝x－1. 当 x＝6 时，原式＝6－1＝5. 例 4、 解：原式＝1－ x－x2－1 1－x 2· x－1 2 x2－x＋1 ＝1－(x2－x＋1)＝－x2＋x. 当 x＝－1 3 时，原式＝－ －1 3 2－1 3 ＝－4 9 . 例 5、解：原式＝x＋1 x ÷（x＋1）（x－1） x ＝x＋1 x × x （x＋1）（x－1） ＝ 1 x－1 . 例 6、: 解： 2 a－1 ＋a2－4a＋4 a2－1 ×a＋1 a－2 ＝ 2 a－1 ＋ (a－2) 2 (a＋1)(a－1)×a＋1 a－2 ＝ 2 a－1 ＋a－2 a－1 ＝ a a－1 . 当 a＝ 2＋1 时，原式＝ 2＋1 2＋1－1 ＝2＋ 2 2 . 随堂检测 1. C 2. B 3．-2 4．a4b6 5．1 6.原式= 1 1 x .代入 x=2，得原式=1. 第 3 讲：分式检测 一、夯实基础 1．下列式子是分式的是( ) A．x 2 B． x x＋1 C．x 2 ＋y D．x 3 2．如果把分式 2xy x＋y 中的 x 和 y 都扩大 3 倍，那么分式的值( ) A．扩大 3 倍 B．缩小 3 倍 C．扩大 9 倍 D．不变 3．当分式x－1 x＋2 的值为 0 时，x 的值是( ) A．0 B．1 C．－1 D．－2 4．化简：(1)x2－9 x－3 ＝__________. (2) a a－1 ＋ 1 1－a ＝__________. 二、能力提升 5．若分式 2 a＋1 有意义，则 a 的取值范围是( ) A．a＝0 B．a＝1 C．a≠－1 D．a≠0 6．化简 2 x2－1 ÷ 1 x－1 的结果是( ) A．. 2 x－1 B． 2 x3－1 C． 2 x＋1 D．2(x＋1) 7．化简m2－16 3m－12 得__________；当 m＝－1 时，原式的值为__________． 三、课外拓展 8．化简 m2 m－2 ＋ 4 2－m ÷(m＋2)的结果是( ) A．0 B．1 C．－1 D．(m＋2)2 9．下列等式中，不成立的是( ) A．x2－y2 x－y ＝x－y B．x2－2xy＋y2 x－y ＝x－y C． xy x2－xy ＝ y x－y D．y x －x y ＝y2－x2 xy 10．已知1 a －1 b ＝1 2 ，则 ab a－b 的值是( ) A．1 2 B．－1 2 C．2 D．－2 11．当 x＝__________时，分式x－2 x＋2 的值为零． 12．计算（ 2a a — 2a a ）· a a 24  的结果是（ ） A． 4 B． －4 C．2a D．－2a 13．分式方程 2 1 1 4 3 3 9x x x     的解是（ ） A．x=－2 B．x=2 C． x=±2 D．无解 14．把分式 ( 0)xy x yx y   中的 x , y 都扩大 3 倍，那么分式的值（ ） A．扩大为原来的 3 倍 B．缩小为原来的 1 3 C．扩大为原来的 9 倍 D．不变 四、中考链接 15．(临沂)先化简，再求值： (1) 1－ 1 a－1 ÷a2－4a＋4 a2－a ，其中 a＝－1. (2) 3－x 2x－4 ÷ 5 x－2 －x－2 ，其中 x＝ 3－3. 参考答案 一、夯实基础 1．B B 项分母中含有字母． 2．A 因为 x 和 y 都扩大 3 倍，则 2xy 扩大 9 倍，x＋y 扩大 3 倍，所以 2xy x＋y 扩大 3 倍． 3．B 由题意得 x－1＝0 且 x＋2≠0，解得 x＝1. 4．(1)x＋3 (2)1 (1)原式＝(x＋3)(x－3) x－3 ＝x＋3；(2)原式＝ a a－1 － 1 a－1 ＝a－1 a－1 ＝1. 二、能力提升 5．C 因为分式有意义，则 a＋1≠0，所以 a≠－1. 6．C 原式＝ 2 (x＋1)(x－1) ·(x－1)＝ 2 x＋1 . 7．m＋4 3 1 原式＝(m＋4)(m－4) 3(m－4) ＝m＋4 3 .当 m＝－1 时，原式＝－1＋4 3 ＝1. 三、课外拓展 8．B 原式＝m2－4 m－2 · 1 m＋2 ＝(m＋2)(m－2) m－2 · 1 m＋2 ＝1. 9．A x2－y2 x－y ＝(x＋y)(x－y) x－y ＝x＋y. 10．D 因为1 a －1 b ＝1 2 ，所以b－a ab ＝1 2 ，所以 ab＝－2(a－b)，所以 ab a－b ＝－2(a－b) a－b ＝－ 2. 11．2 由题意得 x－2＝0 且 x＋2≠0，解得 x＝2. 12. B 13. B 14. A 四、中考链接 15．解：(1) 1－ 1 a－1 ÷a2－4a＋4 a2－a ＝a－2 a－1 ·a(a－1) (a－2)2 ＝ a a－2 .当 a＝－1 时，原式＝ a a－2 ＝ －1 －1－2 ＝1 3 . (2) 3－x 2x－4 ÷ 5 x－2 －x－2 ＝ 3－x 2(x－2) ÷ 5 x－2 －x2－4 x－2 ＝ 3－x 2(x－2) ÷9－x2 x－2 ＝ 3－x 2(x－2) · x－2 (3－x)(3＋x) ＝ 1 2x＋6 .∵x＝ 3－3，∴原式＝ 1 2x＋6 ＝ 3 6 . 第 4 讲二次根式 一、知识梳理 二次根式概念 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件 要使二次根式 a有意义，则 a 0. 3、最简二次根式、同类二次根式 概念 我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根 式，叫做最简二次根式． 同类二次根式的概念 几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就 叫做同类二次根式． 二次根式的性质 1．( a)2＝a(______)． 2． a2＝|a|＝ a≥0 ， a<0 . 3． ab＝______(a≥0，b≥0)． 4． a b ＝______(a≥0，b＞0)． 二次根式的运算 1．二次根式的 加减法 合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后， 若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． 2．二次根式的乘除法 (1)二次根式的乘法： a· b＝____(a≥0，b≥0)． (2)二次根式的除法： a b ＝____(a≥0，b＞0)． 3、把分母中的根号化去掉 (1) 1 a ＝ (2) 1 a＋b ＝ 二、题型、技巧归纳 考点 1 二次根式概念 例 1 使 1 x 有意义的 x 的取值范围是_____ 技巧归纳：此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零； ②分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集． 考点 2 二次根式的性质 例 2 已知实数 x，y 满|x－4|＋ y－8＝，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长 是( ) A. 20 或 16 B．20 C．16 D．以上答案均不对 技巧归纳：1. 二次根式 a 的非负性的意义；2. 利用二次根式 a 的非负性进行化简． 例 3、 12 的负的平方根介于( ) A．－5 与－4 之间 B．－4 与－3 之间 C．－3 与－2 之间 D．－2 与－1 之间 技巧归纳：比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正 因数要平方后才能从根号外移到根号内． 例 4 计算 48÷ 3－ 1 2 × 12＋ 24 技巧归纳：1、二次根式的性质，两个重要公式，积的算术平方根，商的算术平方根；2、 二次根式的加减乘除运算． 考点 3 二次根式的运算 例 5 先化简，再求值 1 x － 1 x＋1 · x x2＋2x＋1 (x＋1) 2 －(x－1) 2其中 x＝ 1 2 技巧归纳： 此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入求值；最后 的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式． 例 6 50－ 1 5 ＋2 20－ 45＋ 2 2 技巧归纳：按步骤进行，把分母中的根号化去掉，化简，再合并同类二次根式． 三、随堂检测 1、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ） A、 7 B、 3 C、 1 2 D、 2 2、计算 1 123  的结果是（ ） A、 7 33  B、 3 3 23  C、 3 D、 5 33  3、已知 a 为实数，那么 2a 等于（ ） A、 a B、 a C、－ 1 D、 0 4、使代数式 4 3   x x 有意义的 x 的取值范围是（ ） A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3 且 x≠4 5、估算 27 2 的值在下列哪两个数之间 ( ) A、1 和 2 B、2 和 3 C、3 和 4 D、4 和 5 6、若 x y， 为实数，且 2 2 0x y    ，则 2009 x y      的值为（ ） A、1 B、 1 C、2 D、 2 参考答案 例 1、 要使有意义，则 1－x≥0，所以 x≤1. 例 2、 B 例 3、 B 例 4、 48÷ 3－ 1 2 × 12＋ 24＝ 16－ 6＋ 24＝4－ 6＋2 6＝4＋ 6 例 5、 解：原式＝ 1 x(x＋1) ·x|x＋1| 4x ＝ |x＋1| 4x(x＋1). 1 %2 当 x＋1＞0 时，原式＝ 1 4x ②当 x＋1＜0 时，原式＝－ 1 4x . ∵当 x＝1 2 时，x＋1＞0，∴原式＝1 2 . 例 6、 解：原式＝5 2－ 5 5 ＋4 5－3 5＋ 2 2 ＝ 5 2＋ 2 2 ＋ 4 5－3 5－ 5 5 ＝11 2 2 ＋4 5 5 . 随堂检测 1、C 2、D 3、D 4、D 5、C 6、B 第 4 讲：二次根式 一、夯实基础 1． 使 3x－1有意义的 x 的取值范围是( ) A．x＞1 3 B．x＞－1 3 C．x≥1 3 D．x≥－1 3 2．已知 y＝ 2x－5＋ 5－2x－3，则 2xy 的值为( ) A．－15 B．15 C．－15 2 D．15 2 3．下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是( ) A． 18 B． 27 C． 2 3 D． 3 2 4．下列运算正确的是( ) A． 25＝±5 B．4 3－ 27＝1 C． 18÷ 2＝9 D． 24· 3 2 ＝6 5．估计 11的值( ) A．在 2 到 3 之间 B．在 3 到 4 之间 C．在 4 到 5 之间 D．在 5 到 6 之间 二、能力提升 6．若 x，y 为实数，且满足|x－3|＋ y＋3＝0，则 x y 2 012 的值是__________． 7．有下列计算：①(m2)3＝m6，② 4a2－4a＋1＝2a－1，③m6÷m2＝m3，④ 27× 50÷ 6 ＝15，⑤2 12－2 3＋3 48＝14 3，其中正确的运算有__________．(填序号) 三、课外拓展 8．若 x＋1＋(y－2 012)2＝0，则 xy ＝__________. 9．当－1＜x＜3 时，化简： x－3 2＋ x2＋2x＋1＝__________. 10．如果代数式 4 x－3 有意义，则 x 的取值范围是________． 11、比较大小：⑴3 5 2 6 ⑵ 11 － 10 14 － 13 12、若最简根式 m2－3 与 5m+3 是同类二次根式，则 m= . 13、若 5 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 a－1 b = 。 四、中考链接 14．（乳山）计算：( 3＋ 2)( 3－ 2)－|1－ 2|. 15．（福州）计算：(－3)0－ 27＋|1－ 2|＋ 1 3＋ 2 . 参考答案 一、夯实基础 1．C 由题意得 3x－1≥0，所以 x≥1 3 . 2．A 由题意得 2x－5≥0 且 5－2x≥0，解得 x＝5 2 ，此时 y＝－3，所以 2xy＝2×5 2 ×(－ 3)＝－15. 3．B 18＝3 2， 27＝3 3， 2 3 ＝ 6 3 ， 3 2 ＝ 6 2 . 4．D 25＝5,4 3－ 27＝4 3－3 3＝ 3， 18÷ 2＝ 9＝3， 24· 3 2 ＝ 24×3 2 ＝ 36＝6. 5．B 因为 3＝ 9，4＝ 16， 9＜ 11＜ 16，所以 11在 3 到 4 之间． 二、能力提升 6．1 由题意得 x－3＝0，y＋3＝0，则 x＝3，y＝－3，所以 x y 2 012＝(－1)2 012＝1. 7．①④⑤ ② 4a2－4a＋1＝ (2a－1)2＝|2a－1|，③m6÷m2＝m6－2＝m4，这两个运算是 错误的． 三、课外拓展 8．1 因为由题意得 x＋1＝0，y－2 012＝0，所以 x＝－1，y＝2 012，所以 xy＝(－1)2 012＝1. 9．4 原式＝ (x－3)2＋ (x＋1)2＝|x－3|＋|x＋1|＝3－x＋x＋1＝4. 10．x＞3 11.> > 12.6 13.－ 5 四、中考链接 14．解：原式＝( 3)2－( 2)2－( 2－1)＝3－2－ 2＋1＝2－ 2. 15．解：原式＝1－3 3＋ 2－1＋ 3－ 2＝－2 3. 第 5 讲一元一次方程及其应用 一、知识梳理 一元一次方程解的概念 1、什么是方程？方程和等式的区别是什么？ 2.什么是一元一次方程？它的标准形式和最简形式是什么？ 一元一次方程是只指含有 未知数，且未知数的最高次数是 的方程。 它的标准形式是： 它的最简形式是： 3.什么是方程的解，什么是解方程？ 解一元一次方程的一般步骤有哪些？它的根据是什么？ 1、 ：不要漏乘分母为 1 的项。 2、 ：注意符号 3、 ：①将含有未知数的项移到等式的 一边；将常数项 移到另一边；②注意 “变号” 4、 （乘法分配律的逆用） 5、 ：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 等式的性质 等式有哪些性质，并以字母形式表示出来 等式性质 1：如果 a=b，那么： a+c= 等式性质 2：如果 a=b，那么：ac= ，a/c= (c≠0) 二、题型、技巧归纳 考点一、考查一元一次方程解的概念 例 1 已知关于x 的方程 4x-3m=2 的解是 x=m，则 m 的值是 技巧归纳:主要是在考查方程的解的定义的基础上求方程中参数的值 例 2．已知关于 x 的方程 2x＋a－9＝0 的解是 x＝2，则 a 的值为 () A. 2 B. 3 C. 4 D.5 例 3、若 x＝2 是关于 x 的方程 2x＋3m－1＝0 的解，则 m 的值为______________． 技巧归纳:未知数的系数化为 1，就是在方程两边同时除以未知数的系数或同时乘未知 数的系数的倒数． 考点二 含字母系数的一元一次方程 例 4 解关于 x 的方程： 2a(a－4)x＋4(a＋1)x－2a＝a2＋4x 技巧归纳:含字母系数的一元一次方程总能转化为“ax＝b”的形式，对于方程中字母系 数 a、b 的值没有明确给出时，则要对 a、b 的取值的可能情况进行讨论，再讨论方程的解的 情况，其方法为：①当 a≠0 时，方程有唯一解，即 x＝ b a 当 a＝0，b＝0 时，方程的解为 无数个；当 a＝0，b≠0 时，方程无解． 考点三、求增长率问题 例 5 2009 年全国教育计划支出 1980 亿元，比 2008 年增加 380 亿元，则 2009 年全国教 育经费增长率为 。 技巧归纳:在解这一类题目时关键要找好“单位 1” 考点四、打折销售问题 例 6 某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价 20%价格才能出售，但为了获得更 多利润，他以高出进价 80%的价格标价．若你想买下标价为 360 元的这种商品，最多降价多 少时商店老板才能出售（ ） A．80 元 B．100 元 C．120 元 D．160 元 技巧归纳:列方程解应用题关键在于审题，抓住关键词，找出已知量、未知量以及它们 之间的相等关系，然后设未知数，列方程，解答． 考点五、利用一元一次方程 例 7、儿子今年 13 岁，父亲今年 40 岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子的 4 倍？ 技巧归纳:列方程解应用题关键在于审题，抓住关键词，找出已知量、未知量以及它们 之间的相等关系，然后设未知数，列方程，解答． 三、随堂检测 1．在① 2 1x  ；② 2 1 3x x  ；③ π 3 π 3   ；④ 1 3t   中，等式有_____________， 方程有_ ____________． 2．已知等式 035 2 mx 是关于 x 的一元一次方程，则 m=____________． 3．当 x= 时，代数式 2x 与代数式 2 8 x 的值相等． 4．已知三个连续奇数的和是 51，则中间的那个数是_______． 5．某工厂引进了一批设备，使今年单位成品的成本较去年降低了 20% ．已知今年单位 成品的成本为8 元，则去年单位成品的成本为_______元． 6．小李在解方程 135  xa （x 为未知数）时，误将 x 看作 x ，解得方程的解 2x ， 则原方程的解为___________________________． 参考答案 例 1 解析：由题意知道方程的解是 x=m,根据方程的解的定义，把 mx  代入方程 234  mx 得： 234  mm ，所以 2m . 例 2 D 例 3 -1 例 4 原方程整理得：a（2a－4）x＝a（a＋2） ①当 a≠0，a≠2 时方程有唯一解，x 2 2 4 a a   ②当 a＝0 时，方程有无数个解； ③当 a＝2 时，方程无解． 例 5 解析：由题目条件知道 2008 年我国教育支出为 1980-380=1600（亿元），所以可设 2009 年全国教育经费增长率为 x%，则有：1600（1+x%）=1980。解得：x=23.75% ，所以 2009 年全国教育经费增长率为 23.75%. 例 6 解析：在解本题时要先求出商品的标价，所以设商品的标价为 x 元，根据题意得： 360%)801( x ，解得：x=200，又因为要以不低于进价 20%价格才能出售所以最低 价为 200（1+20%）=240（元）。360-240=120(元) 想买下标价为 360 元的这种商品，最多降 价 120 元商店老板才能出售，答案选 C. 例 7 解：假设在 x 年后父亲年龄恰好是儿子的 4 倍，可列方程 40＋x＝4(13＋x)， 解得 x＝－4.则 40－4＝36,13－4＝9,36÷9＝4.即 4 年前父亲年龄恰好是儿子的 4 倍． 随堂检测 1．②③④，②④ 2． 1 3． 4 3 4．17 5．9.6 6． 2x  第 5 讲：一元一次方程及其应用 一、夯实基础 1.已知 4x2n-5+5=0 是关于 x 的一元一次方程，则 n=_______. 2.若 x=-1 是方程 2x-3a=7 的解，则 a=_______. 3.当 x=______时，代数式 x-1 和 的值互为相反数. 4.已知 x 的 与 x 的 3 倍的和比x 的 2 倍少 6，列出方程为________. 5.在方程 4x+3y=1 中，用 x 的代数式表示 y，则 y=________. 6.某商品的进价为 300 元，按标价的六折销售时，利润率为 5%，则商品的标价为____ 元. 7.已知三个连续的偶数的和为 60，则这三个数是________. 二、能力提升 8.方程 2m+x=1 和3x-1=2x+1 有相同的解，则 m 的值为( ). A.0 B.1 C.-2 D. 1 2  9.方程│3x│=18 的解的情况是( ). A.有一个解是 6 B.有两个解，是±6 C.无解 D.有无数个解 10.某商场在统计今年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加了 10%，三月份 比二月份减 少了 10%，则三月份的销售额比一月份的销售额( ). A.增加 10% B.减少 10% C.不增也不减 D.减少 1% 11．当 x= 时，代数式 3 54 x 的值是 1 ． 12．已知等式 035 2 mx 是关于 x 的一元一次方程，则 m=____________． 13．当 x= 时，代数式 2x 与代数式 2 8 x 的值相等． 三、课外拓展 14.解方程： (x-1)- (3x+2)= - (x-1). 四、中考链接 15.一个三位数，百位上的数字比十位上的数大 1，个位上的数字比十位上数字的 3 倍 少 2.若将三个数字顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的和是 1171，求这个三位数. 参考答案 一、夯实基础 1.3 2.-3 (点拨：将 x=-1 代入方程 2x-3a=7，得-2-3a=7，得 a=-3) 3. (点拨：解方程 x-1=- ，得 x= ) 4. x+3x=2x-6 5.y= - x 6.525 (点拨：设标价为 x 元，则 =5%，解得 x=525 元) 7.18，20，22 二、能力提升 8.D 9.B (点拨：用分类讨论法：当 x≥0 时，3x=18，∴x=6；当 x<0 时，-3=18，∴x=-6 故 本题应选 B) 10.D 11．2 、 12． 1 13． 4 3 三、课外拓展 14.解：去分母，得 15(x-1)-8(3x+2)=2-30(x-1)∴21x=63∴x=3 四、中考链接 15.解：设十位上的数字为 x，则个位上的数字为 3x-2，百位上的数字为 x+1，故 100(x+1)+10x+(3x-2)+100(3x-2)+10x+(x+1)=1171 解得 x=3 答：原三位数是 437. 第 6 讲一次方程组及其应用 一、知识梳理 方程及相关概念 一元一次方程的定义及解法 定义 只含有________个未知数，且未知数的最高次数是________次的整式 方程，叫做一元一次方程 一般形式 ________________ 二元一次方程（组）的有关概念 二元一次方程组的解法 代入法 定义 在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未 知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一 次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这 种方法叫做代入消元法 方程的概念 含有未知数的________叫做方程 方程的解 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做_______，也叫它 的________ 解方程 求方程解的过程叫做________ 二元一次 方程 含有 未知数，并且所含有未知数的项的次数都是 的整 式方程 二元一次方程的 解 定义 适合一个二元一次方程的每一组未知数的值，叫做二元一次方程 的一个解．任何一个二元一次方程都有 组解 二元一次方程组 的解 定义 二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程 组的解 防错提醒 二元一次方程组的解应写成 的形式 防错提醒 在用代入法求解时，能正确用其中一个未知数去表示另一个未知数 加减法 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加 或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的 解的方法叫做加减消元法，简称加减法 一次方程(组)的应用 列方程(组)解应用题的一般步骤 1.审 审清题意，分清题中的已知量、未知量 2.设 设未知数，设其中某个未知量为 x，并注意单位．对于含有两个未知数 的问题，需要设两个未知数 3.列 根据题意寻找等量关系列方程 4.解 解方程(组) 5.验 检验方程(组)的解是否符合题意 6.答 写出答案(包括单位) 常见的几种方程类型及等量关系 行程问题 基本量之间的关 系 路程＝速度×时间 相遇问题 全路程＝甲走的路程＋乙走的 路程 追及问题 若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程 流水问题 v 顺＝____________ ，v 逆＝____________ 工程问题 基本量之间的关 系 工作效率＝ 其他常用关系量 (1)甲、乙合做的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效 率；(2)通常把工作总量看作“ 二、题型、技巧归纳 考点 1 等式的概念及性质 例 1 如图①，在第一个天平上，砝码 A 的质量等于砝码 B 加上砝码 C 的质量；如图 ②，在第二个天平上，砝码 A 加上砝码 B 的质量等于 3 个砝码 C 的质量．请你判断：1 个 砝码 A 与________个砝码 C 的质量相等． 技巧归纳：运用 1. 等式及方程的概念；2. 等式的性质 考点 2 一元一次方程的解法 例 2、解方程0.3x＋0.5 0.2 ＝2x－1 3 技巧归纳：1．一元一次方程及其解的概念；2．解一元一次方程的一般步骤． 考点 3 二元一次方程(组)的有关概念 例 3、已知 x＝2， y＝1 是二元一次方程组 mx＋ny＝8， nx－my＝1 的解，则 2m－n 的算术平方根为 ( ) A．±2 B. 2 C．2 D．4 技巧归纳：运用二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法以及算术平方根的定义。 考点 4 二元一次方程组的解法 例 4 解方程组： x＋3y＝－1， 3x－2y＝8. 技巧归纳：(1)在二元一次方程组中，若一个未知数能很好地表示出另一个未知数时， 一般采用代入法． (2)当两个方程中的某个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不为 1 时，一 般采用加减消元法． 考点 5 利用一次方程(组)解决生活实际问题 例 5 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款： 投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁 5 年，5 年期满后 由开发商以比原商铺标价 高 20%的价格进行回购．投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择： 方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的 10%. 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2 年后，每年可获得的租金为商 铺标价的 10%，但要缴纳租金的 10%作为管理费用． (1)请问，投资者选择哪种购铺方案，5 年后所获得的投资收益率更高？为什么？ (2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么 5 年后两人 获得的收益将相差 5 万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元． 注：投资收益率＝ 投资收益 实际投资额 ×100% 技巧归纳：利用二元一次方程组解决生活实际问题． 三、随堂检测 1．二元一次方程组 3, 2 4 x y x     的解是( ) A． 3 0 x y    B． 1 2 x y    C． 5 2 x y     D． 2 1 x y    2． “五一”节期间，某电器按成本价提高 30%后标价，再打 8 折（标价的 80%）销售， 售价为 2080 元．设该电器的成本价为 x 元，根据题意，下面所列方程正确的是 ( ) A．x(1＋30%)×80%＝2080 B．x·30%×80%＝2080 C．2080×30%×80%＝x D．x·30%＝2080×80% 3．为了丰富同学们的业余生活，体育委员小强到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球 拍，若购买 1 副羽毛球拍和 1 副乒乓球拍共需 50 元，小强一共用了 320 元购买了 6 副同样 的羽毛球拍和 10 副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍 x 元，每副乒乓球拍 y 元，则可列 二元一次方程组为 ( ) A．   50 6 320 x y x y     B． 50 6 10 320 x y x y      C． 50 6 320 x y x y      D． 50 10 6 320 x y x y      4．有一根长 40mm 的金属棒，欲将其截成 x 根 7mm 长的小段和 y 根 9mm 长的小段，剩余 部分作废料处理，若使废料最少，则正整数 x，y 应分别为 ( ) A.x＝1，y＝3 B.x＝3，y＝2 C.x＝4，y＝1 D.x＝2，y＝3 5．湖南省 2011 年赴台旅游人数达 7.6 万人，我市某九年级一学生家长准备等孩子中考 后全家 3 人去台湾旅游，计划花费 20000 元．设每人向旅行社缴纳 x 元费用后，共剩 5000 元用于购物和品尝台湾美食，根据题意，列出方程为_______． 6．方程组 2 5 7 2 13 x y x y       的解是_______． 参考答案 例 1、2 例 2、x＝－17 5 例 3、C 例 4、 2 1 x y     例 5、[解析] (1)利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行 比较； (2)利用(1)的表示，根据二者的差是 5万元，便可列方程求解． 解：(1)设商铺标价为 x 万元，则 按方案一购买，则可获投资收益(120%－1)·x＋x·10%×5＝0.7x， 投资收益率为0.7x x ×100%＝70%. 按方案二购买，则可获投资收益(120%－0.85)·x＋x×10%×(1－10%)×3＝0.62x. ∴ 投资收益率为0.62x 0.85x ×100%≈72.9%. ∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高． (2)由题意得 0.7x－0.62x＝5， 解得 x＝62.5(万元)． ∴甲投资了 62.5 万元，乙投资了 53.125 万元． 随堂练习 1.D 2.A 3.B 4.B 5.3x＋5000＝20000 6.x＝1,y＝－3 第 6 讲：一次方程组及其应用单元检测 一、夯实基础 1．已知 x，y 的值：① 2, 2; x y    ② 3, 2; x y    ③ 3; 2; x y      ④ 6, 6. x y    其中是二元一次方 程 2x－y＝4 的解的是( )． A．① B．② C．③ D．④ 2．与方程组 2 3 0, 2 0 x y x y       有相同解的方程是( )． A．x＋y＝3 B．2x＋3y＋4＝0 C．3x＋ 2 y ＝－2 D．x－y＝1 3．用加减法解方程组 2 3 5, 3 2 7, x y x y      ① ② 下列解法不正确的是( )． A．①×3－②×2，消去 x B．①×2－②×3，消去 y C．①×(－3)＋②×2，消去 x D．①×2－②×(－3)，消去 y 4．与方程 3x＋4y＝1 6 联立组成方程组的解是 4, 1 x y    的方程是( )． A． 1 2 x ＋3y＝7 B．3x－5y＝7 C． 1 4 x －7y＝8 D．2(x－y)＝3y 5．给方程 2 4 71 3 6 x x    去分母，得( )． A．1－2(2x－4)＝－(x－7) B．6－2(2x－4)＝－x－7 C．6－2(2x－4)＝－(x－7) D．以上答案均不对 二、能力提升 6．一元一次方程 3x－6＝0 的解是__________． 7．如果 2xn－2－ym－2n＋3＝3 是关于 x，y 的二元一次方程，那么 m＝__________，n＝ __________. 8．已知关于 x 的方程 4x－3m＝2 的解是 x＝m，则 m 的值是__________． 9．代数式 2a－10 与 3a 互为相反数，则 a＝__________. 三、课外拓展 10．已知方程组 4, 6 ax by ax by      与方程组 3 5, 4 7 1 x y x y      的解相同，求 a，b 的值． 11．甲种电影票每张 20 元，乙种电影票每张 15 元．若购买甲、乙两种电影票共 40 张， 恰好用去 700 元，则甲种电影票买了_______张． 12．若关于 x 、 y 的二元一次方程组      22 132 yx kyx 的解满足 yx  ﹥1，则 k 的取值 范围是 . 13.已知关于 x 的方程 2x＋a－9＝0 的解是 x＝2，则 a 的值为 ( ) 14.关于 x、y 的方程组 3x y m x my n      的解是 1 1 x y    ，则 m n 的值是 ( ) A．5 B．3 C．2 D．1 四、中考链接 15．某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动．下面是年级组长李老师和小 芳、小明同学有关租车问题的对话： 李老师：“平安客运公司有 60 座和 45 座两种型号的客车可供租用，60 座客车每辆每 天的租金比 45 座的贵 200 元．” 小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了 4 辆 60 座和 2 辆 45 座的客车到 韶山参观，一天的租金共计 5 000 元．” 小明：“我们九年级师生租用 5 辆 60 座和 1 辆 45 座的客车正好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)平安客运公司 60 座和 45 座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？ 参考答案 一、夯实基础 1、B 2、C 点拨：方程组的解为 1, 2, x y     然后代入后面的二元一次方程逐一验证即可． 3、D 点拨：可采用代入法解方程组，也可将选项代入尝试． 4、B 点拨：根据方程组解的定义，是方程组的解必是方程的解，所以把 4, 1 x y    代入 选项中的方程． 5、C 二、能力提升 6、x＝2 7、4 3 点拨：由题意得 2 1, 2 3 1, n m n       解得 4, 3. m n    8、2 点拨：互为相反数的和是 0，即 2a－10＋3a＝0，解得 a＝2. 9、2 三、课外拓展 10、解：解方程组 3 5, 4 7 1 x y x y      得 2, 1. x y    把 2, 1 x y    代入方程组 4, 6 ax by ax by      得 2 4, 2 6, a b a b      解这个方程组得 5 ,2 1. a b     11.20 12.k＞2 13.D 14.D 四、中考链接 15、解：(1)设平安公司 60 座和 45 座客车每天每辆的租金分别为 x 元，y 元． 由题意，列方程组 200, 4 2 5000. x y x y      解得 900, 700. x y    答：平安客运公司 60 座和 45 座的客车每辆每天的租金分别是 900 元、700 元． (2)九年级师生共需租金：5×900＋1×700＝5 200(元)． 答：按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金 5 200 元． 第 7 讲一元二次方程及其应用 一、知识梳理 一元二次方程的概念及一般形式 1.－元二次方程的定义：只含有_______个未知数，并且未知数的最高次数是_______ 的_______式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式是________（a_______0），其中 ax2 叫做_______项，a 是 _______，bx 叫做_______，b 是_______，c 叫做_______项． 一元二次方程的四种解法 1．一元二次方程的解法： (1)直接开平方法：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的根为________． (2)配方法的步骤：移项 ，二次项的系数化为 1（该步有时可省略），配方，直接开平 方． (3)求根公式法：方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当 b2－4ac_______0 时，x＝________． (4)因式分解法：如果一元二次方程可化为 a(x－x1)(x－x2)＝0 的形式，那么方程的解 为________． 一元二次方程的根的判别式 1．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式△＝________． (1)当△>0 时， 方程有两个_______的实数根． (2)当△＝0 时，方程有两个_______的实数根． (3)当△<0 时， 方程没有实数根． 2．若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 x1、x2，则 x1＋x2＝________，x1•x2 ＝________． 一元二次方程的应用 应用类型 等量关系 增长率问题 (1)增长率＝增量÷基础量(2)设 a 为原来的量，m 为平均 增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则 a(1＋m)n＝b， 当 m 为平均下降率时，则 a(1－m)n＝b 利率问题 (1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金×利率×期数 销售利润问题 (1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价－进货 价－其他费用(3)利润率＝利润÷进货价 二、题型、技巧归纳 考点 1 一元二次方程的概念及一般形式 例 1 已知关于 x 的方程 x2＋bx＋a＝0 有一个根是－a(a≠0)，则 a－b 的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 技巧归纳：运用 1．一元二次方程的概念；2．一元二次方程的一般式；3．一元二次方 程的解的概念，解决此问题。 考点 2 一元二次方程的解法 例 2 解方程：x2－4x＋2＝0. 技巧归纳：可以利用一元二次方程的四种解法中的任意一种解决此题。利用因式分解法 解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例 2)时，不能随便先约去这个因式，因 为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现 漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解． 考点 3 一元二次方程的根的判别式 例 3 已知关于 x 的方程 x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0. (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三 角形的周长． 技巧归纳：(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac 的值，看它 是否大于 0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．(2)注意二次项系数不为零这个隐含条 件 考点 4 一元二次方程的应用 例 4 为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费做如下规定：一间宿舍一 个月用电量若不超过 a 千瓦时，则一个月的电费为 20 元；若超过 a 千瓦时，则除了交 20 元外，超过部分每千瓦时要 100 a 交元．某宿舍 3 月份用电 80 千瓦时，交电费 35 元；4 月份 用电 45 千瓦时，交电费 20 元． (1)求 a 的值； (2)若该宿舍 5 月份交电费为 45 元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？ 技巧归纳：1．用一元二次方程解决变化率问题：a(1±m)n＝b； 2．用一元二次方程解 决商品销售问题． 三、随堂检测 1.k 取什么值时，方程 x2－kx＋4＝0 有两个相等的实数根？求这时方程的根． 2.已知关于 x 的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0 有两个不相等的实数根，则 a 的取 值范围是( ) A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2 且 a≠1 D．a＜－2 3、已知关于 x 的方程 x2－2(k－1)x＋k2＝0 有两个实数根 x1，x2. (1)求 k 的取值范围； (2)若 1 2x x ＝x1x 2－1，求 k 的值． 参考答案 例 1、A 例 2、[解析]通过对方程的观察发现此题直接应用公式法 x＝－b± b2－4ac 2a 解比较方 便． 解：∵Δ＝42－4×1×2＝ 8，∴x＝4± 8 2 . x1＝2＋ 2 ，x2＝2－ 2. 例 3、解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1) ＝m2－4m＋8 ＝(m－2)2＋4>0， ∴方程恒有两个不相等的实数根． 例 4、解：（1）根据3 月份用电 80 千瓦时，交电费 35 元，得，  20 80 35100 a a   ， 即 2 80 1500 0a a   。 解得 a=30 或 a=50。 由 4 月份用电 45 千瓦时，交电费 20 元，得，a≥45。 ∴a=50。 （2）设月用电量为 x 千瓦时，交电费 y 元。 则 20(0 50) 20 0.5( 50)( 50) xy x x       ∵5 月份交电费 45 元， ∴5 月份用电量超过 50 千瓦时。 ∴45=20＋0.5（x－50）， 解得 x=100。 答：若该宿舍 5 月份交电费 45 元，那么该宿舍当月用电量为 100 千瓦时。 随堂检测 1、解：∵方程有两个相等的实数根， ∴(－k)2－4×1×4＝0，即 k2＝16. 解得 k1＝4，k2＝－4. 把 k1＝4 代入 x2－kx＋4＝0， 得 x2－4x＋4＝0，解得 x1＝x2＝2； 把 k2＝－4 代入 x2－kx＋4＝0， 得 x2＋4x＋4＝0，解得 x1＝x2＝－2. 2、Δ＝4－4(a－1)＝8－4a＞0，得 a＜2.又 a－1≠0，∴a＜2 且 a≠1.故选 C. 3、解：(1)依题意，得Δ≥0 即[－2(k－1)]2－4k2≥0，解得 k≤1 2 . (2)解法一：依题意，得 x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2. 以下分两种情况讨论： ①当 x1＋x2≥0 时，则有 x1＋x2＝x1x2－1，即 2(k－1)＝k2－1，解得 k1＝k2＝1. ∵k≤1 2 ， ∴k1＝k2＝1 不合题意，舍去． ②当 x1＋x2<0 时，则有 x1＋x2＝－(x1x2－1)，即 2(k－1)＝－(k2－1)， 解得 k1＝1，k2 ＝－3. ∵k≤1 2 ，∴k＝－3.综合①、②可知 k＝－3. 第 7 讲：一元二次方程及其应用单元检测 一、夯实基础 1、某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元．已知两次降价的百分率都 为 x，那么 x 满足的方程是（ ） A．100（1+x）2=81 B． 100（1﹣x）2=81 C． 100（1﹣x%）2=81 D． 100x2=81 2．若 x=﹣2 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣ ax+a2=0 的一个根，则 a 的值为（ ） A．1 或 4 B﹣1 或﹣4 C．﹣1 或 4 D． 1 或﹣4 3.若α、β是一元二次方程 x2+2x﹣6=0 的两根，则α2+β2（ ） A.-8 B.32 C.16 D.40 4. 已知α是一元二次方程 x2﹣x﹣1=0 较大的根，则下面对α的估计正确的是（ ） A．0＜α＜1 B． 1＜α＜1.5 C． 1.5＜α＜2 D． 2＜α＜3 二、能力提升 5. 方程 x2﹣2x=0 的解为 x1= ，x2= ． 6. 某小区 2015 年屋顶绿化面积为 2000 平方米，计划 2017 年屋顶绿化面积要达到 2880 平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 ． 7. 若 ,a b 是方程 2 2 3 0x x- - = 的两个实数根，则 2 2a b+ = _______。 8.若 x=﹣1 是关于 x 的一元二次方程 x2+3x+m+1=0 的一个解，则 m 的值为 ． 三、课外拓展 9.若关于 x 的方程 x2+（k﹣2）x+k2=0 的两根互为倒数，则 k= ． 10.如图，某小区规划在一个长 30m、宽 20m 的长方形 ABCD 上修建三条同样宽的通道， 使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为 78m2，那么通道的宽应设计成多少 m？设通道的宽为 xm，由题意列得方程 ． 11.某商品连续两次降价 10%后价格为 a 元，则该商品原价为__________． 12.要用一条长 24cm 的铁丝围成一个斜边是 10cm 的直角三角形，则两条直角边分别是 __________，__________． 13.某种产品预计两年内成本将下降 36%，则平均每年降低__________． 14.一个两位数，数字之和是 9，如将个位数字，十位数字对调，与原数相乘的结果是 1458，设十位数字为 x，则列方程为__________． 四、中考链接 15.在“文化宜昌•全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及 纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012 年全校有 1000 名学生，2013 年全校学生人 数比 2012 年增加 10%，2014 年全校学生人数比 2013 年增加 100 人． （1）求 2014 年全校学生人数； （2）2013 年全校学生人均阅读量比 2012 年多 1 本，阅读总量比 2012 年增加 1700 本 （注：阅读总量=人均阅读量×人数） ①求 2012 年全校学生人均阅读量； ②2012 年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的 2.5 倍，如果 2012 年、2014 年这 两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数 a，2014 年全校学生人均阅读量比 2012 年增加的百分数也是 a，那么 2014 年读书社全部 80 名成员的阅读总量将达 到全校学 生阅读总量的 25%，求 a 的值． 参考答案 一、夯实基础 1、B 2、B 3、C 4、C 二、能力提升 5、0 2 6、20% 7、x＞1 2 8、1 三、课外拓展 9、-1 10、（30﹣2x）（20﹣x）=6×78 11. 100 81 a 12.6cm,8cm 13.20% 14.   10 (9 ) 10(9 ) 1458x x x x     四、中考链接 15、解答： 解：（1）由题意，得 2013 年全校学生人数为：1000×（1+10%）=1100 人， ∴2014 年全校学生人数为：1100+100=1200 人； （2）①设 2012 人均阅读量为 x 本，则 2013 年的人均阅读量为（x+1）本，由题意，得 1100（x+1）=1000x+1700， 解得：x=6． ②由题意，得 2012 年读书社的人均读书量为：2.5×6=15 本， 2014 年读书社人均读书量为 15（1+a）2 本， 2014 年全校学生的读书量为 6（1+a）本， 80×15（1+a）2=1200×6（1+a）×25% 2（1+a）2=3（1+a）， ∴a1=﹣1（舍去），a2=0.5． 答：a 的值为 0.5． 第 8 讲分式方程及其应用 一、知识梳理 分式方程 分式方程的解法 分式方程的解法 基本思想 把分式方程转化为整式方程，即分式方程→整式方程 直接去分母法 方程两边同乘各分式的_______，约去分母，化为整式方 程，再求根验根 分式方程的应用 列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是：要检验两次，既要检验求出 来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意． 二、题型、技巧归纳 考点 1 分式方程的概念 例 1 若分式方程 2＋1－kx x－2 ＝ 1 2－x 有增根，则 k＝________. 技巧归纳:1．分式方程的概念；2．分式方程的增根． 考点 2 分式方程的解法 例 2 解方程： 3 x＋2 ＋1 x ＝ 4 x2＋2x 技巧归纳:1．去分母法；2．换元法 ．3．注意解分式方程必须检验． 分式方程 概念 分母里含有________的方程叫做分式方程 增根 在方程的变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为 ________，因此解分式方程要验根，其方法是代入最简公分母中看分母 是不是为________ 考点 3 分式方程的应用 例 3 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种 480 棵树，由于青年志愿 者的支援，每日比原计划多种 1 3 ，结果提前 4 天完成任务．原计划每天种多少棵树？ 例 4、某校甲、乙两组同学同时出发去距离学校 4 km 的植物园参观，甲组步行，乙组 骑自行车，结果乙组比甲组早到 20 min.已知骑自行车的速度是步行速度的 2 倍，求甲、乙 两组的速度． 技巧归纳:1．利用分式方程解决生活实际问题；2．注意分式方程要对方程和实际意义 双检验． 三、随堂检测 1. 甲、乙两地相距 S 千米，某人从甲地出发，以 v 千米/小时的速度步行，走了 a 小 时后改乘汽车，又过 b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A. S a b B. S av b  C. S av a b   D. 2S a b 2. 如果关于 x 的方程 2 3 1 3x m x m    有增根，则 的值等于（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 3 3. 求 x 为何值时，代数式 2 9 3 1 3 2x x x x      的值等于 2？ 4.徐州至上海的铁路里程为 650 km.从徐州乘“G”字头列车 A、“D” 字头列车 B 都 可直达上海，已知 A 车的平均速度为 B 车的 2 倍，且行驶的时间比B 车少 2.5 h. (1)设 B 车的平均速度为 x km/h，根据题意，可列分式方程： ________________； (2)求 A 车的平均速度及行驶时间. 参考答案 例 1、k＝1 例 2、x＝1 2 例 3、解：设原计划每天种 x 棵树，实际每天种树 1＋1 3 x 棵． 根据题意，得480 x － 480 1＋1 3 x ＝4. 解这个方程，得 x＝30. 经检验 x＝30 是原方程的解且符合题意． 答：原计划每天种树 30 棵． 例 4、解：设甲组的速度为 x km/h， 乙组的速度为 2x km/h，根据题意， 得4 x － 4 2x ＝20 60 ，解得 x＝6. 经检验，x＝6 是方程的解． ∴甲组的速度为 6 km/h，乙组的速度为 12 km/h. 随堂检测 1、 B 2、 B 3、解：由已知得 2 9 3 1 3 2 2x x x x       即 解得 经检验： 是原方程的根。 2 3 3 1 3 2 2 3 3 1 3 2 0 3 2 3 2               x x x x x x x x       当 时，代数式x x x x x 3 2 2 9 3 1 3 2 的值等于 2。 4、(1) 650 x －650 2x ＝2.5 (2)解(1)中的方程650 x －650 2x ＝2.5 去分母，得 1300－650＝5x.移项，得－5x＝650－1300. 合并同类项，得－5x＝－650. 系数化为 1，得 x＝130. 所以 2x＝260， 650 2×130 ＝5 2 . 答：A 车的平均速度为 260 km/h，行驶时间为5 2 h. 第 8 讲：分式方程及其应用单元检测 一、夯实基础 1．如果分式 2 3 1 3x x  与 的值相等，则 x 的值是（ ） A．9 B．7 C．5 D．3 2．若关于 x 的方程 1 1 1 m x x x    =0 有增根，则 m 的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．-1 3．有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦 9000kg和 15000kg．已知第一块试 验田每公顷的产量比第二块少 3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为 xkg，根据题意， 可得方程（ ） 9000 15000 9000 15000. .3000 3000 9000 15000 9000 15000. .3000 3000 A Bx x x x C Dx x x x       4．已知方程 323 3 x x x    有增根，则这个增根一定是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．方程 2 1 1 1 1x x   的解是（ ） A．1 B．-1 C．±1 D．0 6．张老师和李老师同时从学校出发，步行 15 千米去县城购买书籍，张老师比李老师每 小时多走 1 千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小 时走 x 千米，依题，得到的方程是（ ） 15 15 1 15 15 1. .1 2 1 2 15 15 1 15 15 1. .1 2 1 2 A Bx x x x C Dx x x x           二、能力提升 7．方程 1 1 2 2 2 x x x    的解是_______． 8．若关于 x 的方程 1 1 ax x   -1=0 无实根，则 a 的值为_______． 9．若 x+ 1 x =2，则 x+ 2 1 x =_______． 三、课外拓展 10．解方程： 2 1 3 3 x x x    =1； 11.解方程： 2 5 2 1 1 2 x x x   =3。 12. 解方程： 1 1 1 1 210 ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 9)( 10)x x x x x x x           … 13. 解方程： 2 4 2 4 01 1 1 1 x x x x x x x x        四、中考链接 14．在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲 工程队单独做需要 40 天完成；如果由乙工程队先单独做 10 天，那么剩下的工程还需要两 队合做 20天才能完成． （1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数； （2）求两队合做完成这项工程所需的天数． 15．怀化市某乡积极响应党中央提出的“建设社会主义新农村”的号召，在本乡建起了 农民文化活动室，现要将其装修．若甲、乙两个装修公司合做需 8 天完成，需工钱 8000 元；若甲公司单独做 6 天后，剩下的由乙公司来做，还需 12 天完成，共需工钱 7500 元．若 只选一个公司单独完成．从节约开始角度考虑，该乡是选甲公司还是选乙公司？请你说明理 由． 参考答案 一、夯实基础 1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B 二、能力提升 7．x=0 8．a=1 9．x2+ 2 1 x =2 三、课外拓展 10．x=2 11.x=- 1 2 12.分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都相 差 1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此，可利用 1 1 1 1 1n n n n( )    裂项，即 用“互为相反数的和为 0”将原方程化简 解：原方程可变为 1 10 1 1 1 2 1 2 1 3 1 9 1 10 2x x x x x x x             …          1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 x x x x 即 经检验：原方程的根是 13.分析：用因式分解（提公因式法）简化解法 解： x x x x x( )1 1 1 1 2 1 4 1 02 4        因为其中的 1 1 1 1 2 1 4 12 4      x x x x                         1 1 1 2 1 4 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 8 1 0 0 2 2 4 2 2 4 4 4 8 x x x x x x x x x x x x 经检验： x  0 是原方程的根。 四、中考链接 14．（1）解：设乙工程队单独完成这项工程需要 x 天， 根据题意得：10 1 1( )40x x   ×20=1， 解之得：x=60，经检验：x=60 是原方程的解． 答：乙工程队单独完成这项工程所需的天数为 60 天． （2）解：设两队合做完成这项工程需的天数为 y 天， 根据题意得：（ 1 1 40 60  ）y=1，解得：y=24． 答：两队合做完成这项工程所需的天数为 24 天 15．解：设甲独做 x 天完成，乙独做 y 天完成 1 1 1 128 6 12 241 xx y y x y         解得 ， 设甲每天工资 a 元，乙每天工资 b 元． 8( ) 8000 750 6 12 7500 250 a b a a b b          解得 ∴甲独做 12×750=9000，乙独做 24×250=6000， ∴节约开支应选乙公司． 第 9 讲一元一次不等式及其应用 一、知识梳理 不等式 不等式的概 念 不等式 一般地，用_________连接的式子叫做不等式 不等式的解 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的______ 不等式的解集 能使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的 集合，简称_________ 解不等式 求不等式解集的过程 不等式的基 本性质 性质 1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向 __________ 性质 2 不等式两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向________ 性质 3 不等式两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向__________ 一元一次不等式 一元一次不 等式及其解 法 定义 只含有一个未知数，且未知数的次数 是__________ 的不等 式，叫做一元一次不等式，其一般形式为 ax＋b>0 或 ax＋ b<0(a≠0) 解一元一次不等 式的一般步骤 (1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)系数化为 1 一元一次不等式组 一元一次不等式组的概念 含有相同未知数的若干个一元一次不等式所组成的不等式组叫 做一元一次不等式组 不等式组的解集的求法 解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表 示在数轴上，再求出它们的公共部分就得到不等式组的解集 不等式 组的解 集情况 (假设 aa， x>b x>b 同大取大 xa， xb 大大小小解不了 一元一次不等式(组)的应用 列不等式(组)解应用 题的步骤 (1)找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式(组) (2)解不等式(组) (3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案 利用不等式(组)解决日常生活中的实际问题 目的 通过不等式(组)对代数式进行比较，以确定最佳方案，获取最大收益，考查 对数学的应用能力 方法 这类问题，首先要认真分析题意，即读懂题目，然后建立数学模型，即用列 不等式(组)的方法求解，解决这类问题的关键是正确地设未知数，找出不等 关系，从不等式(组)的解集中寻求正确的符合题意的答案 二、题型、技巧归纳 考点 1 不等式的概念及性质 例 1 若 a>b，则( ) A．a>－b B．a<－b C．－2a>－2b D．－2a<－2b 技巧归纳：(1)运用不等式的性质时，应注意不等式的两边同时乘或者除以一个负数， 不等式的方向要改变； (2)生活中的跷跷板、天平等问题，常借助不等式(组)来求解，注意 数与形的有机结合． 考点 2 一元一次不等式 例 2、解不等式 3 2 x－1＞2x，并把解集在数轴上表示出来 技巧归纳：解不等式一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1. 考点 3 一元一次不等式组 例 3 解不等式组： 技巧归纳：先分别求出每个不等式的解集，再求出这两个不等式解集的公共部分，就是 这个不等式组的解集. 考点 4 与不等式(组)的解集有关的问题 例 4、关于 x 的不等式组 2x<3（x－3）＋1， 3x＋2 4 >x＋a 有四个整数解，则 a 的取值范围是( ) A．－11 4 1120. 所以当购买商品的价格超过 1120 元时，采用方案一更合算． 随堂检测 1. C 2. D 3. 1 2m  4. x<3 5.解：设共有 x 名学生．根据题意，得 4x<23， 5x>23. 解得 4.6ïïíï - ³ïî 的解集是（ ）. A. 3x >- B. 3x ³ C. 3 3x- < £ D. 3 3x- £ < 5.不等式组      62 ,31 x x 的解集为（） A．x＞3 B．x≤4 C．3＜x＜4 D．3＜x≤4 6．已知 2 4 2 2 1 x y k x y k       ，且-1 3 2 D．m≥ 3 2 8．若 1 5 2 3 3 m m     ，化简│m+2│-│1-m│+│m│得（） A．m-3 B．m+3 C．3m+1 D．m+1 8.函数 13 4y x x     中自变量 x 的取值范围是（ ） A．x≤3B．x＝4C．x＜3 且 x≠4D．x≤3 且 x≠4 9.若点 A（m－3，1－3m）在第三象限，则 m 的取值范围是( ). A． 3 1m B． 3m C． 3m D． 33 1  m 三、课外拓展 10.解不等式组      xx x 2123 6)5(2 11．不 等式组 3 1 0 1 1 x x        的解集是_______． 12．不等式组 5 2(1 ) 1 2 3 3 x x x     的整数解的和是______． 13．不等式 1≤3x-7<5 的整数解是______． 14．长度分别为 3cm，7cm，xcm的三根木棒围成一个三角形，则 x的取值范围是 _______． 四、中考链接 15.某校组织学生到外地进行综合实践活动，共有 680 名学生参加，并携带 300 件行 李．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共 20 辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载 40 人和 10 件行李，乙种汽车每辆最多能载 30 人和 20 件行李． ⑴如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走？有哪几种方案？ ⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为 2000 元、1800 元，请你选择最省钱的一 种租车方案 参考答案 一、夯实基础 1、A 2、A 3、C 4、B 5、D 6、D 二、能力提升 6．B 7．B 8．A 9. D 三、课外拓展 10.解：由①得：2ⅹ+10≥6，2ⅹ≥-4，ⅹ≥-2， 由②得：-4ⅹ＞-2，ⅹ＜ 2 1 ， 由①、②得这个不等式组的解集为：-2≤ⅹ＜ 2 1 。 11．-2x2 例 3、(3，4) 例 4、(16，1＋ 3) 例 5、x≥2 随堂检测 1．（－4，3） 2．有序实数对 3．（－3，4） （5， 2 1 ） 4．二或四 二或四 一或三 5．A 6．B 7.小明的爷爷晚饭后出去散步，5 分钟后到达离家 2 千米的公园，在公园里的健身器材 处锻炼了 6 分钟，由于即将下雨，小明爷爷花了 4 分钟就赶回了家里．请问小明爷爷回家的 速度比出去时的速度快多少？ 第 10 讲：平面直角坐标系与函数单元检测 一、夯实基础 1．在平面直角坐标系中，点(1,2)位于第______象限． 2．已知点 P(3,2)，则点 P 关于 y 轴的对称点 P1 的坐标是________，点 P 关于原点 O 的 对称点 P2 的坐标是________． 3．在平面直角坐标系中，将点 P(－2,1)向右平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个单位 长度得到点 P′的坐标是( ) A．(2,4) B．(1,5) C．(1，－3) D．(－5,5) 4．在平面直角坐标系中，线段 OP 的两个端点坐标分别是 O(0,0)，P(4,3)，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 90°到 OP′位置，则点 P′的坐标为( ) A．(3,4) B．(－4,3) C．(－3,4) D．(4，－3) 5．函数 y＝ 1 x＋1 中，自变量 x 的取值范围是( ) A．x＞－1 B．x＜－1 C．x≠－1 D．x≠0 二、能力提升 6．已知点 P(3，－1)关于 y 轴的对称点 Q 的坐标是(a＋b,1－b)，则 ab 的值为 ____________． 7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(2,3)，在坐标轴上找一点 P，使得△AOP 是等 腰三角形，则这样的点 P 共有____________个． 8．如图 3114，在△ABO 中，AB⊥OB，OB＝ 3，AB＝1，把△ABO 绕点 O 旋转 150°后 得到△A1B1O，则点 A1 的坐标为( ) A．(－1，－ 3) B．(－1，－ 3)或(－2,0) C．(－ 3，－1)或(0，－2) D．(－ 3，－1) 三、课外拓展 9．小芳的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步行走到离家较远的公园，打了一会儿太 极拳，然后沿原路跑步到家里，下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离 y(单位：米)与时间 x(单位：分钟)之间的关系的大致图象是( ) 10．如图 3112，动点 P 从(0,3)出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹， 反弹时反射角等于入射角，当点 P 第 2013 次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为( ) A．(1,4) B．(5,0) C．(6,4) D．(8,3) 11．坐标平面上有一点 A（a，b），若 ab=0，则点 A 的位置是（ ） A．原点 B．x 轴上 C．y 轴上 D．坐标轴上 12．点 P（x，y）在第四象限，｜x｜= 3 ，｜y｜= 2 ，则点 P 坐标为（ ） A．（ 3 ， 2 ） B．（－ 3 ，－ 2 ） C．（－ 3 ， 2 ） D．（ 3 ，－ 2 ） 13．过点（－ 3 ， 2 ）且平行于 y 轴的直线上的点（ ） A．横坐标都是－ 3 B．纵坐标都是 2 C．横坐标都是 2 D．纵坐标都是－ 3 14．点 A（－3，2）关于 y 轴的对称点的坐标是（ ） A．（－3，－2） B．（3，2） C．（3，－2） D．（2，－3） 四、中考链接 15．如图 3115，已知 A，B 是反比例函数 y＝k x (k>0，x>0)上的两点，BC∥x 轴，交 y 轴于 C，动点 P 从坐标原点 O 出发，沿 O→A→B→C 匀速运动，终点为 C，过运动路线上任意 一点 P 作 PM⊥x 轴于 M，PN⊥y 轴于 N，设四边形 OMPN 的面积为 S，P 点运动的时间为 t， 则 S 关于 t 的函数图象大致是( ) 16．在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向不 断地移动，每移动一个单位，得到点 A1(0,1)，A2(1,1)，A3(1,0)，A4(2,0)……那么点 A4n＋1(n 为自然数)的坐标为______________(用 n 表示)． 参考答案 一、夯实基础 1．一 2.(－3,2) (－3，－2) 3.B 4.C 5．C 二、能力提升 6.25 7．8 解析：如图使得△AOP 是等腰三角形的点 P 共有 8 个． 8．B 三、课外拓展 9.C 10.D 11．D 12．D 13．A 14．B 四、中考链接 15.A 16．(2n,1) 解析：由图可知，当 n＝0 时，4×0＋1＝1，点 A1(0,1)； 当 n＝1 时，4×1＋1＝5，点 A5(2,1)； 当 n＝2 时，4×2＋1＝9，点 A9(4,1)； 当 n＝3 时，4×3＋1＝13，点 A13(6,1)，所以点 A4n＋1(2n,1)． 第 11 讲: 一次函数的图象与性质 一、知识梳理 一次函数与正比例函数的概念 1．一次函数的定义：一般地，形如________（k、b 是常数， k≠0）的函数，叫做一 次函数．特别地，当 b＝0 时，一次函数为 y＝________（k≠0），这时，y 叫做 x 的_______ 函数． 2．一次函数例＝kx＋b(k≠0)的图象是一条_______．特别地，y＝kx(k≠0)的图象是一 条经过_______的直线． 一次函数的图象和性质 1．正比例函数 y＝kx 的性质： (1)当_______时，y 随 x 的增大而增大． (2)当_______时，y 随 x 的增大而减小． 2．一次函数 y＝kx＋b(k≠0)中的 k 值决定了函数的增减性，b 值决定图象与 y 轴的交 点．当 k>0，b>0 时，函数图象经过________，y 随 x 的增大而_______；当 k>0，b<0 时， 函数图象经过_______，y随 x 的增大而_______；当 k<0，b>0 时，函数图象经过________， y 随 x 的增大而_______；当 k<0，b<0 时，函数图象经过________，y 随 x 的增大而_______． 由待定系数法求一次函数的解析式 1．用待定系数法求一次函数关系式的一般步骤： (1)设出函数关系式为________． (2)找到两个已知点的坐标，并代入所设函数关系式得到关于 k、b 的方程组． (3)解方程组求出 k、b 的值． (4)把得到的 k、b 的值代入所设关系式． 一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式(组) 1．由于任何一元一次方程都可以化为 ax＋b＝0（a、b 为常数，a≠0）的形式，所以解 一元一次方程可以转化为：当一次函数 y＝ax＋b 的值为 0 时，求相应的自变量的值，从图 象上看，这相当于已知直线 y＝ax＋b，确定它与_______交点的横坐标的值． 2．由于任何一元一次不等式都可以化为 ax＋b>0 或 ax＋b<0(a、b 为常数，a≠0)的形 式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数 y＝ax＋b 的值大（小）于 0 时，求自变 量相应的_______． 3．一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数” 的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值_______以及这个函数值为何 值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的 二、题型、技巧归纳 考点 1 一次函数的图象与性质 例 1 如图一次函数 y＝(m－1)x－3 的图象分别与 x 轴、y 轴的负半轴相交于点 A、B，则 m 的取值范围是( ) A．m>1 B．m<1 C．m<0 D．m>0 技巧归纳：k 和 b 的符号作用：k 的符号决定函数的增减性，k>0 时，y 随 x 的增大而增 大，k<0 时，y 随 x 的增大而减小；b 的符号决定图象与 y 轴交点在原点上方还是下方(上正， 下负)． 考点 2 一次函数的图象的平移 例 2 如图一次函数 y＝kx＋b 的图象与正比例函数 y＝2x 的图象平行且经过点 A(1，－ 2)，则 kb＝________. 技巧归纳：直线 y＝kx＋b(k≠0)在平移过程中 k 值不变．平移的规律是若上下平移， 则直接在常数 b 后加上或减去平移的单位数；若向左(或向右)平移 m 个单位，则直线 y＝kx ＋b(k≠0)变为 y＝k(x＋m)＋b(或 k(x－m)＋b)，其口诀是上加下减，左加右减． 考点 3 求一次函数的解析式 例3 已知一次函数 y＝kx＋b(k≠0)图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积 为 2，求此一次函数的解析式． 技巧归纳：根据一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(0，2)可知 b＝2，再用 k 表示出 函数图象与 x 轴的交点，利用三角形的面积公式求解即可 考点 4 一次函数与一次方程(组)，一元一次不等式(组) 例 4 一次函数 y＝kx＋b(k、b 为常数，且 k≠0)的图象如图所示．根据图象信息可求得 关于 x 的方程 kx＋b＝0 的解为______________． 技巧归纳：(1)两直线的交点坐标是两直线所对应的二元一次方程组的解．(2)根据在两 条直线的交点的左右两侧，图象在上方或下方来确定不等式的解集． 三、随堂检测 1、根据所给函数图象，写出函数关系式 2、如图直线 AB 与 x 轴交于点 A(1，0)，与 y 轴交于点 B(0，－2)． (1)求直线 AB 的解析式； (2)若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 S△BOC＝2，求点 C 的坐标． 参考答案 例 1、B 例 2、－8 例 3、y＝x＋2 或 y＝－x＋2 例 4、x=-1 随堂检测 1、解：①设函数关系式为 y＝kx，将(3.5,2)代入得， 3．5k＝2，得 k＝4 7 .∴y＝4 7 x. ②设函数关系式为 y＝kx＋b，将(2,0)，(0,2) 代入得 2k＋b＝0， b＝2， 解得 k＝－1， b＝2. ∴y＝－x＋2. 2、解：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,直线 AB 过点 A(1，0)、点 B(1，-2) 0 2 k b b      解得 2 2 k b     直线 AB 的解析式为 y=2x-2 (2)设点 C 的坐标（x,y） 2BOCS  ,所以 1 2 22 x   解得 X=2,Y=2 所以点 C 的坐标为（2,2） 第 11 讲：一次函数的图象与性质单元检测 一、夯实基础 1.一次函数 3y x   ，如果 0y  ，则 x 的取值范围是（ ） A． 2x  B． 3x  C． 6x   D． 6x   2.已知直线 y=kx+b(k≠0)与 x 轴的交点在 x 轴的正半轴，下列结论：①k>0，b>0；② k>0，b<0；③k<0，b>0；④k<0，b<0．其中正确的结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3. 如图所示，函数 y=mx+m 的图像中可能是（ ） 4.当自变量 x 增大时，下列函数值反而减小的是（ ） A． y= 3 x B．y=2x C．y= 3 x D．y=-2+5x 5.正比例函数的图像如图，则这个函数的解析式为( ) A．y=x B．y=-2x C．y=-x D． 1 2y   6.一次函数 3y x   ，如果 0y  ，则 x 的取值范围是（ ） A． 2x  B． 3x  C． 6x   D． 6x   7.已知直线 y=kx+b(k≠0)与 x 轴的交点在 x 轴的正半轴，下列结论：①k>0，b>0；② k>0，b<0；③k<0，b>0；④k<0，b<0．其中正确的结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、能力提升 8.直线 y=(2-5k)x+3k-2 不过第一象限，则 k 需满足 ，写出一个满足上述条件 的一个函数的解析式 ． 9.直线 y=4x-2 与 x 轴的交点是 ，与 y 轴的交点是 ． 10.直线 y=(2-5k)x+3k-2 若经过原点，则 k= ；若直线与 x 轴交于点（-1，0）， 则 k= ， 11.一次函数 2 4y x   的图像经过的象限是____，它与 x 轴的交点坐标是____，与 y 轴的交点坐标是____，y 随 x 的增大而____． 三、课外拓展 12.（1）已知关于 x 的一次函数 y=(2k-3)x+k-1 的图像与 y 轴交点在 x 轴的上方，且 y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围； （2）已知函数 y=(4m-3)x 是正比例函数，且 y 随x 的增大而增大，求 m 的取值范围． 四、中考链接 13. 已知一次函数 3y x   ，当 0≤x≤3 时，函数 y 的最大值是( )． A．0 B．3 C．-3 D．无法确定 14. 下列图像中，不可能是关于 x 的一次函数 y=mx-(m-3)的图像的是（ ） 参考答案 一、夯实基础 1．B 2.B 3.D 4.C 5．C 6.B 7.B 二、能力提升 8. 2 2 5 3k  ， 1 1 2 2y x   9． 1( ,0),(0, 2)2  10． 2 1,3 2 11. 一、二、四象限，（2，0），（0，4），减小 三、课外拓展 12. （1）依题意，有 1 0 2 3 0 k k     ，解得 31 2k  ； （2）依题意，得 4 3 0m   ，即 3 4m  时，y 随 x 的增大而增大 四、中考链接 13.B 14．C 第 12 讲 一次函数的应用 一、知识梳理 一次函数的应用 建模思想 一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时， 应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量 的函数，确定出一次函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注 意自变量的取值范围 实际问题中一 次函数的最大 (小)值 在实际问题中，自变量的取值范围一般受到限制，一次函数的图象就由 直线变成线段或射线，根据函数图象的性质，函数就存在最大值或最小值 常见类型 (1)求一次函数的解析式(2)利用一次函数的图象与性质解决某些问题， 如最值等 二、题型、技巧归纳 考点 1 利用一次函数进行方案选择 例 1 我市某医药公司把一批药品运往外地，现有两种运输方式可供选择． 方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费 400 元，另外每公里再加收 4 元； 方式二：使用快递公司的火车运输，装卸收费 820 元，另外每公里再加收 2 元； (1)请分别写出邮车、火车运输的总费用 y1(元)、y2(元)与运输路程 x(公里)之间的函数 关系式； (2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？ 技巧归纳：一次函数的方案决策题，一般都是利用自变量的取值不同，得出不同方案， 并根据自变量的取值范围确定出最佳方案． 考点 2 利用一次函数解决资源收费问题 例 2 为促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，中折 线反映了每户居民每月用电电费 y(元)与用电量 x(度)间的函数关系． (1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，请填写下表： 档次 第一档 第二档 第三档 每月用电量 x 度 0＜x≤140 ________ ________ (2)小明家某月用电 120 度，需要交电费________元； (3)求第二档每月电费 y(元)与用电量 x(度)之间的函数关系式； (4)在每月用电量超过 230 度时，每多用 1 度电要比第二档多付电费 m 元，小刚家某月 用电 290 度交纳电费 153 元，求 m 的值． 技巧归纳： 此类问题多以分段函数的形式出现，正确理解分段函数是解决问题的关键， 一般应从如下几方面入手：(1)寻找分段函数的分段点；(2)针对每一段函数关系，求解相应 的函数解析式；(3)利用条件求未知问题． 考点 3 利用一次函数解决其他生活实际问题 例 3 周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发 0.5 小时后到达甲地，游 玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家 1 小时 20 分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地， 如图 12－2 是他们离家的路程 y(km)与小明离家时间 x(h)的函数图象．已知妈妈驾车的速度 是小明骑车速度的 3 倍． (1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间； (2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？ (3)若妈妈比小明早 10 分钟到达乙地，求从家到乙地的路程． 技巧归纳： 结合函数图象及性质，弄清图象上的一些特殊点的实际意义及作用，寻找 解决问题的突破口，这是解决一次函数应用题常见的思路．“图形信息”题是近几年的中考 热点考题，解此类问题应做到三个方面：(1)看图找点，(2)见形想式，(3)建模求解． 三、随堂检测 1、某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同．以每月用车路程 x km 计算，甲汽车租赁 公司的月租费是 y1 元，乙汽车租赁公司的月租费是 y2 元．如果 y1、y2 与 x 之间的关系如 图，那么： (1)每月用车路程多少时，租用两家汽车租赁公司的车所需费用相同？ (2)每月用车路程在什么范围内，租用甲汽车租赁公司的车所需费用较少？ (3)如果每月用车的路程约为 2300 km，那么租用哪家的车所需费用较少？ 2、某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种 无月租费，且两种收费方式的通讯时间 x(分钟)与收费 y(元)之间的函数关系如图所示． (1)有月租费的收费方式是________(填① 或②)，月租费是________元； (2)分别求出①、②两种收费方式 中 y 与自变量 x 之间的函数关系式； (3)请你根据用户通讯时间的多少， 给出经济实惠的选择建议． 参考答案 例 1 解：(1)由题意得，y1＝4x＋400, y2＝2x＋820. (2)令 4x＋400＝2x＋820，解之得 x＝210， 所以当运输路程小于 210 km 时，y1＜y2，选择邮车运输较好； 当运输路程等于 210 km 时，y1＝y2，选择两种方式一样； 当运输路程大于 210 km 时，y1＞y2，选择火车运输较好 例 2 解：(1)填表如下： 档次 第一档 第二档 第三档 每月用电量 x 度 0＜x≤140 140230 (2)54 (3)设 y 与 x 的关系式为 y＝kx＋b， ∵点(140，63)和(230，108)在 y＝kx＋b 的图象上， ∴ 63＝140k＋b， 108＝230k＋b， 解得 k＝0.5， b＝－7. ∴y 与 x 的关系式为 y＝0.5x－7. (4)方法一：第三档中 1 度电交电费(153－108)÷(290－230)＝0.75(元)； 第二档 1 度电交电费(108－63)÷(230－140)＝0.5(元)， 所以 m＝0.75－0.5＝0.25. 方法二：根据题意得， 108－63 230－140 ＋m ×(290－230)＋108＝153，解得 m＝0.25. 例 3 解：(1)小明骑车速度：10÷0.5＝20(km/h)； 在甲地游玩的时间是 1－0.5＝0.5(h)． (2)设各交点字母如图所标．妈妈驾车速度：20×3＝60(km/h)． 设直线 BC 解析式为 y＝20x＋b1， 把点 B(1，10)的坐标代入，得 b1＝－10， ∴y＝20x－10. 设直线 DE 解析式为 y＝60x＋b2，把点 D 4 3 ，0 的坐标代入，得 b2＝－80， ∴y＝60x－80. 两解析式联立得 y＝20x－10， y＝60x－80， 解得 x＝1.75， y＝25. ∴交点 F(1.75，25)． 答：小明出发 1.75 h 后被妈妈追上，此时离家 25 km. (3)方法一：设从家到乙地的路程为 m km， 则将点 E(x1，m)，点 C(x2，m)的坐标分别代入 y＝60x－80，y＝20x－10，得 x1＝m＋80 60 ， x2＝m＋10 20 . ∵x2－x1＝10 60 ＝1 6 ，∴m＋10 20 －m＋80 60 ＝1 6 ，∴m＝30. ∴从家到乙地的路程为 30 km. 方法二：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为 n km， 由题意得 n 20 － n 60 ＝10 60 ， ∴n＝5，∴从家到乙地的路程为 5＋25＝30(km)． 随堂检测 1、从函数图象看，当 x＝2000 时，两个函数的图象相交于一点，此时两个函数的自变 量相同，函数值相同；当x<2000 时，y12000 时，y1> y2. 解：(1)每月用车路程为 2000 km 时，租用两家汽车公司的车所需费用相同； (2)每月用车路程小于 2000 km 时，租用甲汽车租赁公司的车所需费用较少； (3)如果该公司每月用车的路程为 2300 km，那么租用乙汽车租赁公司的车所需费用较 少． 2、（1）①；30； （2）设 y 有＝k1x＋30,y 无＝k2x,由题意得(500,80), (500,100)分别符合解析式，带人 可得所求的解析式为 y 有＝0.1x＋30； y 无＝0.2x． （3）由 y 有＝y 无,得 0.2x＝0.1x＋30,解得 x＝300； 当 x＝300 时,y＝60． 故由图可知当通话时间在 300 分钟内,选择通话方式②实惠；当通话时间超过 300 分钟 时,选择通话方式①实惠；当通话时间在 300 分钟时,选择通话方式①、②一样实惠 第 12 讲：一次函数的应用 一、夯实基础 1、下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1 x (4)y=2-1-3x 中，是一次函数的有 （ ） （A）4 个 （B）3 个 （C）2 个 （D）1 个 2、下面哪个点不在函数 32  xy 的图像上（ ） （A）（-5，13） （B）（0.5，2） （C）（3，0） （D）（1，1） 3、直线 y=kx+b 在坐标系中的位置如图，则( ) （A） 1 , 12k b    （B） 1 , 12k b   （C） 1 , 12k b   （D） 1 , 12k b  4、下列一次函数中，随着增大而减小而的是 （ ） （A） xy 3 （B） 23  xy （C） xy 23  （D） 23  xy 5、已知一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，则 k，b 的符号是( ) (A) k>0，b>0 (B) k>0，b<0 (C) k<0，b>0 (D) k<0，b<0 二、能力提升 6、函数 y=(m+1) x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限，那么 m 的取值范围是( ) （A） 3 4m  （B） 31 4m   （C） 1m   （D） 1m   7、一支蜡烛长 20 厘米,点燃后每小时燃烧 5 厘米,燃烧时剩下的高度 h (厘米)与燃烧 时间 t (时)的函数关系的图象是( ) 8、下图中表示一次函数 y＝mx+n 与正比例函数 y＝m nx(m ，n 是常数，且 mn<0)图像 的是( )． 三、课外拓展 9．已知 2x-y=0，且 x-5>y，则 x 的取值范围是________． 10．关于 x 的方程 3x+3a=2 的解是正数，则 a________． 11.一次函数y=ax+1与y=bx-2的图象交于x轴上一点,那么a:b等于 A. 2 1 B. 2 1 C. 2 3 D.以上答案都不对 12.某公司市场营业员销部的营销人员的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系, 其图象如图所示.由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时的收入是 销售量 （单位：万件） 月收入（单位；元） 21 1300 800 A.310 B.300 C.290 D.280 四、中考链接 13、已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点(-1， -5)，且与正比例函数 y= 1 2 x 的图象相 交于点(2，a)，求 (1)a 的值 (2)k，b 的值 (3)这两个函数图象与 x 轴所围成的三角形的面积。 14、某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水 3000 吨，计划内用 水每吨收费 1.8 元，超计划部分每吨按 2.0 元收费。 （1）写出该单位水费 y（元）与每月用水量 x（吨）之间的函数关系式 ①当用水量小于等于 3000 吨函数关系式为： ；②当用水量大于 3000 吨函 数关系式为： 。 （2）某月该单位用水 3200 吨，水费是 元；若用水 2800 吨，水费 元。 （3）若某月该单位缴纳水费 9400 元，则该单位用水多少吨？ 15、如图是某市出租车单程收费 y (元)与行驶路程 x (千米)之间的函数关系图象，根 据图象回答下列问题： (1)当行使路程为 8 千米时，收费应为 元； (2)从图象上你能获得哪些信息?(请写出 2 条) ① ② (3)求出收费 y (元)与行使路程 x (千米) (x≥3)之间的函数关系式。 参考答案 一、夯实基础 1、B 2、C 3、B 4、D 5、D 二、能力提升 6、C 7、D 8、C 三、课外拓展 9、x<-5 10、 2 3a  11、A 12、B 四、中考链接 13、(1)a=1 (2)k=2,b=-3 (3)3/4 14、(1)①y=1.8x ②y=2x-600 (2)5800,5040(3) 5000 15、 (1) 11 (2) ①出租车的起步价是 5 元 ②出租车起步价的路程范围是 3 公里之内（包括 3 公里） （3）y=1.2x+1.4(x≥3) 第 13 讲 反比例函数 一、知识梳理 反比例函数的概念 定义 形如________(k≠0，k 为常数)的函数叫做反比例函数，其中 x 是 ________，y 是 x 的函数，k 是________ 关系式 y＝k x 或 y＝kx－1 或 xy＝k(k≠0) 防错提醒 (1)k≠0；(2)自变量 x≠0；(3)函数值 y≠0 反比例函数的图象与性质 (1) 反比例函数的图象 呈现形式 反比例函数 y＝ ______(k≠0)的图象是________ 对称性 它既是关于________对称的中心对称图形，也是轴对称图形，其对称 轴为第一、三象限或第二、四象限坐标轴夹角的平分线，即直线 y＝x 或直 线 y＝－x (2)反比例函数的性质 函数 图象 所在象限 性质 y＝ k x (k≠0) k>0 一、三象限 (x，y 同号) 在每个象限内 y 随 x 增大而减小 k<0 二、四象限 (x，y 异号) 在每个象限内，y 随 x 增大而增大 (3)反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几 何意义 反比例函数图象上的点(x，y)具有两数之积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上 任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k| 推导 如图，过双曲线上任一点 P 作 x 轴，y 轴的垂线段 PM、PN，所得的矩形 PMON 的面积 S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|. ∵y＝k x ，∴xy＝k，∴S＝|k| 拓展 过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角 形的面积为常数|k| 2 反比例函数的应用 求函数 关系式 方法步骤 利用待定系数法确定反比例函数：①根据两变量之间的反比例关系，设 y＝k x ； ②代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出 k 的值； ③写出关系式 反比例函数与一 次函数的图象的交点 的求法 求直线 y＝k1x＋b(k≠0)和双曲线 y＝k2 x 的交点坐标就是解这两个函数关 系式组成的方程组 二、题型、技巧归纳 考点 1 反比例函数的概念 例 1 某反比例函数的图象经过(－1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是 ( ) A．(－3,2) B．(3,2) C．(2,3) D．(6,1) 技巧归纳：判断点是否在反比例函数图象上的方法有两种：一是口算选项中点的横坐标 与纵坐标乘积是否都等于比例系数，二是将选项中点的坐标诸个代入反比例函数关系式，看 能否使等式成立． 考点 2 反比例函数的图象与性质 例 2 在反比例函数 y＝k x (k<0)的图象上有两点(－1，y1)， －1 4 ，y2 ，则 y1－y2 的值是 ( ) A．负数 B．非正数 C．正数 D．不能确定 技巧归纳： 比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较， 在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定． 例 3 如图点 A，B 在反比例函数 y＝ (k>0，x>0)的图象上，过点 A，B作 x 轴的垂线， 垂足分别为 M，N，延长线段 AB 交 x 轴于点 C，若 OM＝MN＝NC，△AOC 的面积为 6， 则 k 的 值为________． 技巧归纳：过反比例函数 y＝k x 的图象上的某点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围 成的矩形的面积就等于|k|，故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线，引出三角形 或矩形的面积来解决问题． 考点 3 反比例函数的应用 例 4 如图 13－2，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝2x＋n 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、 B，与双曲线 y＝ 4y x  在第一象限内交于点 C(1，m)． (1)求 m 和 n 的值； (2)过 x 轴上的点 D(3,0)作平行于 y 轴的直线 l，分别与直线 AB 和双曲线 y＝ 交于 点 P、Q，求△APQ 的面积． 技巧归纳：先根据双曲线上点 C 的坐标求出 m 的值，从而确定点 C 的坐标，再将点 C 的坐标代入一次函数关系式中确定 n 的值，在求出两个函数关系式后结合条件可求出三角 形的面积． 三、随堂检测 1、已知点 A(－2，y1)、B(1，y2)和 C(2，y3)都在反比例函数 ky x  (k<0)的图象上， 那么 y1、y2 和 y3 的大小关系如何？ 2、已知反比例函数 7y x   图象上三个点的坐标分别是 A(－2，y1)、B(－1，y2)、C(2， y3)，能正确反映 y1、y2、y3 的大小关系的是( ) A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y2>y1>y3 D．y2>y3>y1 3、已知反比例函数 y= （k 为常数，k≠0）的图象经过点 A（2，3）． （Ⅰ）求这个函数的解析式； （Ⅱ）判断点 B（﹣1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由； （Ⅲ）当﹣3＜x＜﹣1 时，求 y 的取值范围． 4、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正比例函数 y=kx 的图象与反比例函数 y= 的图象 有一个交点 A（m，2）． （1）求 m 的值； （2）求正比例函数 y=kx 的解析式； （3）试判断点 B（2，3）是否在正比例函数图象上， 并说明理由． 参考答案 例 1、A 例 2、A 例 3、k＝4 例 4、解：(1) ∵点 C(1，m)在双曲线 y＝4 x 上，∴m＝4，将点 C(1，4)代入 y＝2x＋n 中，得 n＝2； (2)在 y＝2x＋2 中，令 y＝0，得 x＝－1，即 A(－1，0)．将 x＝3 代入 y＝2x＋2 和 y ＝4 x ，得点 P(3，8)，Q 3，4 3 ，∴PQ＝8－4 3 ＝20 3 .又∵AD＝3－(－1)＝4，∴△APQ 的面积＝ 1 2 ×4×20 3 ＝40 3 . 随堂检测 1、∵反比例函数 y＝k x 中，k<0， ∴图象在第二、四象限． 又∵A(－2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)， ∴y1>y3>y2. 2、C 3、解：（ Ⅰ）∵反比例函数 y= （k 为常数，k≠0）的图象经过点 A（2，3）， ∴把点 A 的坐标代入解析式，得 3= ，解得，k=6， ∴这个函数的解析式为：y= （Ⅱ）∵反比例函数解析式 y= ，∴6=xy．分别把点 B、C 的坐标代入，得 （﹣1）×6=﹣6≠6，则点 B 不在该函数图象上．3×2=6，则点 C 中该函数图象上； （Ⅲ）∵当 x=﹣3 时，y=﹣2，当 x=﹣1 时，y=﹣6， 又∵k＞0， ∴当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴当﹣3＜x＜﹣1 时，﹣6＜y＜﹣2． 4、解：（1）∵反比例函数 y= 的图象过点 A（m，2），∴ 22 m  ，解得 m=1； （2）∵正比例函数 y=kx 的图象过点 A（1，2）， ∴2=k×1，解得 k=2，∴正比例函数解析式为 y=2x； （3）点 B（2，3）不在正比例函数图象上，理由如下：将 x=2 代入 y=2x，得 y=2×2=4≠3， 所以点 B（2，3）不在正比例函数 y=2x 的图象上． 第 13 讲：反比例函数 一、夯实基础 1.当 x>0 时，函数 y=－ 5 x 的图象在（ ） A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 2.设点 A（x1,y1）和 B（x2,y2）是反比例函数 y= （k≠0）图象上的两个点，当 x1＜x2 ＜0 时，y1＜y2，则一次函数 y=-2x+k 的图象不经过的象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在同一直角坐标系中，函数 x ky  和 3 kxy （k≠0）的图象大致是（ ） 4.如图所示，矩形 ABCD 中， 3, 4AB BC  ，动点 P 从 A 点出发，按 A B C  的 方向在 AB 和 BC 上移动.记 PA x ，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大 致是（ ） A B C D 5.反比例函数 y =1 2k x - 的图象经过点（-2，3），则 k 的值为（ ） A.6 B.-6 C. D.－ 6.若反比例函数 y= 1k x  的图象位于第二、四象限，则 k 的取值可能是( ) A.0 B.2 C.3 D.4 7.已知点 、 、 都在反比例函数 4y x  的图象上， 则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、能力提升 8.已知反比例函数 ky x  的图象经过点 A（–2，3），则当 3x   时，y=_____. 9．如图所示，已知一次函数 y=kx－4 的图象与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点，与反比例 函数 y= 8 x 在第一象限内的图象交于点 C，且 A 为 BC 的中点，则 k= . 10．已知反比例函数 x my 33  ，当 ______m 时，其图象的两个分支在第一、三象限 内；当 ______m 时，其图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大. 11.已知 ),( 111 yxP ， ),( 222 yxP 是同一个反比例函数图象上的两点.若 212  xx ，且 2 111 12  yy ，则这个反比例函数的表达式为 . 三、课外拓展 12.若一次函数 的图象与反比例函数 x 1 的图象没有公共点，则实数 k 的取 值范围是 . 13.若 M（2，2）和 N（b，-1-n2）是反比例函数 y= x k 图象上的两点，则一次函数 y=kx+b 的图象经过第 象限. 四、中考链接 14.（广州中考）已知一次函数 6y kx  的图象与反比例函数 2ky x   的图象交于 A，B 两点，点 A 的横坐标为 2. （1）求 k 的值和点 A 的坐标； （2）判断点 B 所在象限，并说明理由. 15. 如图所示，直线 y=mx 与双曲线 ky x  相交于 A，B 两点，A 点的坐标为（1，2） （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出当 mx＞ k x 时，x 的取值范围； （3）计算线段 AB 的长. 参考答案 一、夯实基础 1. A 解析：因为函数 y=－ 中 k=-5＜0,所以其图象位于第二、四象限，当 x＞0 时， 其图象位于第四象限. 2. A 解析：对于反比例函数，∵ x1＜x2＜0 时，y1＜y2，说明在同一个象限内，y 随 x 的增大而增大，∴ k＜0，∴ 一次函数 y=-2x+k 的图象与 y 轴交于负半轴，其图象经过第 二、三、四象限，不经过第一象限. 3.A 解析：由于不知道 k 的符号，此题可以分类讨论，当 时，反比例函数 x ky  的图象在第一、三象限，一次函数 3 kxy 的图象经过第一、二、三象限，可知 A 项符合; 同理可讨论当 时的情况. 4.B 解析：当点 P 在 AB 上移动时，点 D 到直线 PA 的距离为 DA 的长度，且保持不变， 其图像为经过点(0，4)且与 x 轴平行的一条线段，当点 P 在 BC 上移动时，△ PA D 的面积为 6S  ，不会发生变化，又因为 1 62S xy  ，所以 12xy  ，所以 12y x  ，所以其图像为 双曲线的一支，故选 B. 5. C 解析： 把点（-2，3）代入反比例函数 y=1 2k x - 中，得 3=1 2 2 k- - ，解得 k= 7 2 . 6.A 7.D 解析：因为反比例函数 4y x  的图象在第一、三象限，且在每个象限内 y 随 x 的 增大而减小，所以 .又因为当 时， ，当 时， ，所以 ， ，故选 D. 二、能力提升 8.2 解析：把点 A(–2，3)代入 ky x  中，得 k = – 6,即 6y x   .把 x= – 3 代入 6y x   中，得 y=2. 9.4 解析：因为一次函数 = －4y kx 的图象与 y 轴交于点 B， 所以 B 点坐标为（0，-4）. , 84 = 2,4 =2 =4 = = 过点 作 轴于点 ，因为 为 的中点，可得△ ≌△ 所以 .设 点坐标为（ ，4），代入 可得 点坐标为（ ）. 把 ， 代入 －4可得 4. C CD x D A BC OAB DAC CD OB C x y Cx x y y kx k    10.＞1 ＜1 11. xy 4 解析：设反比例函数的表达式为 ky x  ，因为 1 2 1 2 ,k ky yx x   ， 错误！ 未找到引用源。 ，所以 2 1 1 2x x k  .因为 212  xx ，所以 1 22 k  ，解得 k=4，所以反 比例函数的表达式为 错误！未找到引用源。 . 三、课外拓展 12. 4 1 解析：若一次函数 的图象与反比例函数 x 1 的图象没有 公共点，则方程 x 1 没有实数根，将方程整理得 Δ＜0，即 1+4k＜0，解得 4 1 . 13.一、三、四 解析：把 M（2， 2）代入 y= x k 得 2= 2 k ，解得 k=4. 把 N（b，-1-n2）代入 y= x 4 得-1-n2= b 4 ,即﹣（1+n2）= b 4 ，∴ b＜0， ∴ y=kx+b 中，k=4＞0，b＜0，∴ 图象经过第一、三、四象限. 四、中考链接 14.解：（1）将 6y kx  与 2ky x   联立，得 6 2 y kx ky x     ， ， 2 6 .kkx x     （1） ∵ 点 A 是两个函数图象的交点， 将 2x  代入（1）式，得 22 6 2 kk    ，解得 2k  . 故一次函数解析式为 2 6y x  ， 反比例函数解析式为 4y x   . 将 2x  代入 2 6y x  ，得 2 2 6 2y      . ∴ 点 A 的坐标为 2, 2 . （2）点 B 在第四象限，理由如下： 方法一：∵ 一次函数 2 6y x  的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数 4y x   的图象经过第二、四象限， ∴ 它们的交点都在第四象限， ∴ 点 B 在第四象限. 方法二：由 2 6 4 y x y x     ， 得 42 6x x    ， 2 3 2 0x x    ，解得 1 21, 2x x  . 代入方程组得 1 24, 2,y y    即点 B 的坐标为（1，－4）， ∴ 点 B 在第四象限 15.解：（1）把 A(1，2)代入 ky x  中，得 2k  ． ∴ 反比例函数的表达式为 2y x  ． （2） 1 0x   或 1x  ． （3）如图所示，过点 A 作 AC⊥x 轴，垂足为 C． ∵ A(1，2)，∴ AC=2，OC=1． ∴ OA= 2 22 1 5  ． ∴ AB=2OA=2 5 ． 第 14 讲二次函数的图象及其性质 一、知识梳理 二次函数的概念 定义 一般地，如果____________ (a，b，c 是常数，a≠0)，那 么y 叫做 x 的二次函数 二次函数 y＝ax 2 ＋bx＋c 的结构特征 ①等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式，x 的 最高次数是 2; ②二次项系数 a≠0 二次函数的图象及画法 图象 二次函数 y＝ax 2 ＋bx＋c(a≠0)的图象是以____________为顶 点，以直线______________为对称轴的抛物线 用描点法画 二次函数 y＝ax 2 ＋bx＋c 的图象的步骤 (1)用配方法化成________________的形式； (2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (3)在对称轴两侧利用对称性描点画图 考点 3 二次函数的性质 函数 二次函数 y＝ax 2 ＋bx＋c(a、b、c 为常数，a≠0) a>0 a<0 图象 ______________ ______________ 开口 方向 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向下，并向下无限延伸 对称轴 直线 x＝－ b 2a 直线 x＝－ b 2a 顶点坐标 － b 2a ，4ac－b2 4a － b 2a ，4ac－b2 4a 增减性 在对称轴的左侧，即当 x<－ b 2a 时，y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧， 即当 x>－ b 2a 时，y 随 x 的增大而增大， 简记左减右增 在对称轴的左侧，即当 x<－ b 2a 时，y 随 x 的增大而增大；在对 称轴的右侧，即当 x>－ b 2a 时，y 随 x 的增大而减小，简记左增右减 函数 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a、b、c 为常数，a≠0) a>0 a<0 最值 抛物线有最低点，当 x＝－ b 2a 时，y 有最小值，y 最小值＝4ac－b2 4a 抛物线有最高点，当 x＝－ b 2a 时，y 有最大值，y 最大值＝4ac－b2 4a 二次项系数 a 的特 性 |a|的大小决定抛物线的开口大小；|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越 小，抛物线的开口越大 常数项 c 的意义 c 是抛物线与 y 轴交点的纵坐标，即 x＝0 时，y＝c 用待定系数法求二次函数的解析式 方法 适用条件及求法 1.一般式 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为 y＝ax 2 ＋bx＋ c，将已知三个点的坐标代入，求出 a、b、c 的值 2.顶点式 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小 值)，设所求二次函数为 y＝a(x－h) 2 ＋k，将已知条件代入，求出待定系 数，最后将解析式化为一般形式 3.交点式 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)， 设所求二次函数为 y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中 m、 n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数 a，最后将解析式化为 一般形式 二、题型、技巧归纳 考点 1 二次函数的定义 例 1 若 是二次函数，则 m＝( ) A．7 B．－1 C．－1 或 7 D．以上都不对 技巧归纳：利用二次函数的定义，二次函数中自变量的最高次数是 2，且二次项的系数 不为 0. 考点 2 二次函数的图象与性质 例 2 (1)用配方法把二次函数 y＝x2－4x＋3 变成 y＝(x－h)2＋k 的形式； (2)在直角坐标系中画出 y＝x2－4x＋3 的图象； (3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数 y＝x2－4x＋3 图象上的两点，且 x 1y2. (4)如图，点 C，D 的横坐标 x3，x4 即为方程 x2－4x＋3＝2 的根 例 3、∵抛物线与 x 轴的两个交点为 A(－5，0)，B(1，0)，由对称性可知，它的对称轴 为直线 x＝－5＋1 2 ＝－2，∴抛物线的顶点为 P －2，9 2 ，已知抛物线上的三点 A(－5，0)， B(1，0)，P －2，9 2 ，设一般式，设 y＝ax2＋bx＋c，把 A(－5，0)，B(1，0)，P －2，9 2 的 坐标代入，得 ∴ a＋b＋c＝0， 25a－5b＋c＝0， 4a－2b＋c＝9 2 ， 解得 a＝－1 2 ， b＝－2， c＝5 2 ， ∴ 所求抛物线的关系式为 y＝－1 2 x2－2x＋5 2 . 随堂检测 1、A 2、A 3、B 提示：利用顶点公式求解 4、12.5 提示：设分成 x 和（20-x）两段，则边长分别是 4 x 和 20 4 x ，得函数 2 220( ) ( )4 4 x xy   求最大值 5、－4 提示：利用顶点公式求解 6、 5 2 提示：先化为一般形式，再用顶点公式求解 7、 9 2 提示：由 2 2 4 5x x y   得 24 2 5y x x    ， 21 ( 2 5)4y x x    ， 2 21 1 52 2 ( 2 5) 24 2 2x y x x x x x           ，再利用顶点公式求解 第 14 讲：二次函数的图像及其性质 一、夯实基础 1．二次函数 y=x2﹣x+1 的图象与 x 轴的交点个数是（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．不能确定 2．若二次函数 y=ax2﹣x+c 的图象上所有的点都在 x 轴下方，则 a，c 应满足的关系是 （ ） A． B． C． D． 3.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图 1 所示,则有( ) A. a>0,b>0 B. a>0,c>0 C. b>0,c>0 D. a、b、c 都小于 0 4.若抛物线 y=ax2-6x 经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A. 13 B. 10 C. 15 D. 14 5.如图 2 所示,二次函数 y=x2-4x+3 的图象交 x 轴于 A、B 两点, 交 y 轴于点 C, 则△ABC 的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.1 6．已知抛物线 y=ax2+bx+c 如图所示，则关于 x 的方程 ax2+bx+c﹣8=0 的根的情况是 （ ） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 7.二次函数 y=4x2-mx+5,当 x<-2 时,y 随 x 的增大而减少;当 x>-2 时,y 随 x 的增大而增 大,则当 x=1 时,y 的值为( ) A.-7 B.1 C.17 D.25 二、能力提升 8.在同一坐标系内,抛物线 y=ax2 与直线 y=2x+b 相交于 A、B 两点,若点 A 的坐标是(2,4), 则点 B 的坐标是_________. 9.将抛物线 y=ax2 向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,移动后的抛物线经过点 (3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为__________. 10.若二次函数 y=(m+5)x2+2(m+1)x+m 的图象全部在 x 轴的上方,则 m 的取值范围是 _____. 三、课外拓展 11.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为 P(-2,3),且过 A(-3,0), 则抛物线的关 系式为___________. 12.当 n=________,m=______时,函数 y=(m+n) nx +(m-n)x 的图象是抛物线,且其顶点在 原点,此抛物线的开口________. 13.若抛物线 y=ax2+bx+c 经过(0,1)和(2,-3)两点,且开口向下,对称轴在 y 轴左侧,则 a 的取值范围是_________. 四、中考链接 14．二次函数 y=x2 的图象如图所示，请将此图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个 单位． （1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式； （2）求经过两次平移后的图象与 x 轴的交点坐标，指出当 x 满足什么条件时，函数值 大于 0？ 15.有一条长 7.2 米的木料,做成如图所示的“日”字形的窗框, 问窗的高和宽各取多 少米时,这个窗的面积最大?(不考虑木料加工时损耗和中间木框所占的面积) 参考答案 一、夯实基础 1.A 2.A 3.C 4.B 5.C 6.C 7.D 二、能力提升 8.(0,0) 9.y=-4x2+16x-13 10.m> 1 3 三、课外拓展 11.y=-3x2-12x-9 12.2;2 13.-10 两个________实根 1 个 Δ＝0 两个________实根 没有 Δ<0 ________实根 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与 a、b、c 及判别式 b2－4ac 的符号之间的 关系 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b＝0 对称轴为 y 轴 ab>0(b 与 a 同号) 对称轴在 y 轴左侧 ab<0(b 与 a 异号) 对称轴在 y 轴右侧 c c＝0 经过原点 c>0 与 y 轴正半轴相交 c<0 与 y 轴负半轴相交 b2－4ac b2－4ac＝0 与 x 轴有惟一交点(顶点) b2－4ac>0 与 x 轴有两个不同交点 b2－4ac<0 与 x 轴没有交点 特殊关系 当 x＝ 1 时，y＝a＋b＋c 当 x＝－1 时，y＝a－b＋c 若 a＋b＋c>0，即 x＝1 时，y>0 若 a－b＋c>0，即 x＝－1 时，y>0 二次函数图象的平移 将抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛 物线 y＝a(x－h)2＋k 均可由抛物线 y＝ax2 平移得到，具体平移方法如图 二、题型、技巧归纳 考点 1 二次函数与一元二次方程 例 1 抛物线 y＝x2－4x＋m 与 x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则此抛物线与 x 轴的另 一个交点的坐标是________． 技巧归纳：一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的 交点坐标是(x1,0),(x2,0) 考点 2 二次函数的图象的平移 例 2 将抛物线 y＝x2＋1 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，那么 所得抛物 线的函数关系式是( ) A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2 技巧归纳： 1．采用由“点”带“形”的方法．图形在平移时，图形上的每一个点都按照相同的方 向移动相同的距离，抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决． 2．平移的变化规律可为： (1)上、下平移：当抛物线 y＝a(x－h)2＋k 向上平移 m(m>0)个单位后，所得的抛物线的 关系式为 y＝a(x－h)2＋k＋m；当抛物线 y＝a(x－h)2＋k 向下平移 m(m>0)个单位后，所得的 抛物线的关系式为 y＝a(x－h)2＋k－m. (2)左、右平移：当抛物线 y＝a(x－h)2＋k 向左平移 n(n>0)个单位后，所得的抛物线的 关系式为 y＝a(x－h＋n)2＋k；当抛物线 y＝a(x－h)2＋k 向右平移 n(n>0)个单位后，所得的 抛物线的关系式为 y＝a(x－h－n)2＋k. 例 3 如图把抛物线 y＝0.5x2 平移得到抛物线 m. 抛物线 m 经过点 A(－6,0)和原点 (0,0)，它的顶点为 P，它的对称轴与抛物线 y＝0.5x2 交于点 Q，则图中阴影部分的面积为 ________． 考点 3 二次函数的图象特征与 a，b，c 之间的关系 例 4 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图 15－4 所示， 对称轴 x＝ 1 2  . 下列结论中，正确的是( ) A．abc>0 B．a＋b＝0 C．2b＋c>0 D．4a＋c<2b 技巧归纳：二次函数的图象特征主要从开口方向、与 x 轴有无交点，与 y 轴的交点及 对称轴的位置，确定 a，b，c 及 b2－4ac 的符号，有时也可把 x 的值代入，根据图象确定 y 的符号． 考点 4 二次函数的图象与性质的综合运用 例 5 如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 为抛 物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形，且 OF＝2，EF＝3. (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)求△ABD 的面积； (3)将三角形 AOC 绕点 C 逆时针旋转 90°，点 A 对应点为点 G，问点 G 是否在该抛物线 上？请说明理由． 技巧归纳： (1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是研究利 用二次函数的性质解决问题的关键． (2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求二次函数 的解析式． (3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的 另一点的坐标． 三、随堂检测 1.不与 x 轴相交的抛物线是( ) A.y=2x2 – 3 B.y= - 2 x2 + 3 C.y= - x2 – 2x D.y=-2(x+1)2 - 3 2.如果关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m=0 有两个相等的实数根,则 m=＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m 与 x 轴有＿ 个交点. 3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c 的顶点在 x 轴上,则 c=＿＿. 4.抛物线 y=x2-3x+2 与 y 轴交于点＿＿＿＿,与 x 轴交于点＿＿＿ ＿. 5.抛物线 y=2x2-3x-5 与 y 轴交于点＿＿＿＿ ,与 x 轴交于 点 . 6.一元二次方程 3 x2+x-10=0 的两个根是 x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数 y= 3 x 2+x-10 与 x 轴的交点坐标是＿＿＿＿＿. 7.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解 是 . 8.若抛物线 y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0 时,图象与 x 轴交点情况是( ) A.无交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.不能确定 参考答案 例 1、(3，0) 例 2、B 例 3、27 2 例 4、D. 例 5、解：(1)∵四边形 OCEF 为矩形，OF＝2，EF＝3， ∴点 C 的坐标为(0，3)，点 E 的坐标为(2，3)． 把 x＝0，y＝3；x＝2，y＝3 分别代入 y＝－x2＋bx＋c 中， 得 3 4 2 3 b c c       ，解得 2 3 b c    ， ∴抛物线所对应的函数解析式为 y＝－x2＋2x＋3； (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为 D(1，4)， ∴△ABD 中 AB 边的高为 4， 令 y＝0，得－x2＋2x＋3＝0， 解得 x1＝－1，x2＝3， 所以 AB＝3－(－1)＝4， ∴△ABD 的面积＝ 1 2 ×4×4＝8； (3)△AOC 绕点 C 逆时针旋转 90°，CO 落在 CE 所在的直线上， 由(2)可知 OA＝1， ∴点 A 对应点 G 的坐标为(3，2)， 当 x＝3 时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2， 所以点 G 不在该抛物线上． 随堂检测 6、 D 7、 1，1 8、 16 9、 (0，2 ) (1，0)(2，0) 10、 (0，5) ( 5 2 , 0 ) (-1，0) 11、 (-2，0)( 5 3 , 0) 第 15 讲：二次函数与一元二次方程 一、夯实基础 1.抛物线 y=-3x2-x+4 与坐标轴的交点个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2.(苏州中考)已知二次函数 y=x2-3x+m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点为(1，0)， 则关于 x 的一元二次方程 x2-3x+m=0 的两实数根是( ) A.x1=1，x2=-1 B.x1=1，x2=2 C.x1=1，x2=0 D.x1=1，x2=3 3.(柳州中考)小兰画了一个函数 y=x2+ax+b 的图象如图，则关于 x 的方程 x2+ax+b=0 的 解是( ) A.无解 B.x=1 C.x=-4 D.x=-1 或 x=4 4.抛物线 y=2x2+8x+m 与 x 轴只有一个公共点，则 m 的值为___ 5.根据下列表格的对应值，判断方程 ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c 为常数)一个解的范围 是( ) A.3＜x＜3.23 B.3.23＜x＜3.24 C.3.24＜x＜3.25 D.3.25＜x＜3.26 6、下列哪一个函数，其图象与 x 轴有两个交点( ) A.y= 4 1 (x-23)2+155 B.y= 4 1 (x+23)2+155 C.y=- 4 1 (x-23)2-155 D.y=- 4 1 (x+23)2+155 二、能力提升 7.二次函数 y=x2-x-2 的图象如图所示，则函数值 y＜0 时 x 的取值范围是( ) A.x＜-1 B.x＞2 C.-1＜x＜2 D.x＜-1 或 x＞2 8.(黔东南中考)已知抛物线 y=x2-x-1 与 x 轴的一个交点为(m，0)，则代数式 m2-m+2 014 的值为( ) A.2 012 B.2 013 C.2 014 D.2 015 9.(牡丹江中考)抛物线 y=ax2+bx+c(a＜0)如图所示，则关于 x 的不等式 ax2+bx+c＞0 的解集是( ) A.x＜2 B.x＞-3 C.-3＜x＜1 D.x＜-3 或 x＞1 10.(锦州中考)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c 为常数)的图象如图所示，ax2+bx+c=m 有实数根的条件是( ) A.m≤-2 B.m≥-2 C.m≥0 D.m＞4 11.(济南中考)二次函数 y=x2+bx 的图象如图，对称轴为直线 x=1.若关于 x 的一元二次 方程 x2+bx-t=0(t 为实数)在-1＜x＜4 的范围内有解，则 t 的取值范围是( ) A.t≥-1 B.-1≤t＜3 C.-1≤t＜8 D.3＜t＜8 三、课外拓展 12.(济宁中考)“如果二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个公共点，那么一元二次 方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若 m、 n(m0， 即-12k+5>0，∴k< 12 5 . (2)∵k< 12 5 ，∴x1+x2=2k-3<0, x1·x2=k2+1>0. ∴x1<0，x2<0. (3)依题意，不妨设 A(x1,0)，B(x2,0)， ∵x1<0，x2<0， ∴OA+OB=(-x1)·(-x2)=x1x2=k2+1. ∵OA+OB=2OA·OB-3， ∴-(2k-3)=2(k2+1)-3. 解得 k1=1，k2=-2. ∵k< 12 5 ，∴k=-2. 二次函数的应用 一、知识梳理 二次函数的应用 二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利 用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案 等问题． 建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题 建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直 角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键． 二、题型、技巧归纳 考点 1 利用二次函数解决抛物线形问题 例 1 如图排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方 2 m 的A 处发出，把 球看成点，其运行的高度 y(m)与运行的水平距离 x(m)满足关系式 y＝a(x－6)2＋h.已知球网 与 O 点的水平距离为 9 m，高度为 2.43 m，球场的边界距 O 点的水平距离为18 m. (1)当 h＝2.6 时，求 y 与 x 的关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)； (2)当 h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围． 技巧归纳：利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐 标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式 求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案． 考点 2 二次函数在营销问题方面的应用 例 2 国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴 120 元．种 粮大户老王今年种了 150 亩地，计划明年再承租 50～150 亩土地种粮以增加收入．考虑各种 因素，预计明年每亩种粮成本 y(元)与种粮面积 x(亩)之间的函数关系如图 16－2 所示： (1)今年老王种粮可获得补贴多少元？ (2)根据图象，求 y 与 x 之间的函数关系式； (3)若明年每亩的售粮收入能达到 2140 元，求老王明年种粮总利润 W(元)与种粮面积 x(亩)之间的函数关系式．当种粮面积为多少亩时，总利润最高？并求出最高总利润． 技巧归纳：二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据 实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决 利润最大问题． 考点 3 数在几何图形中的应用 例 3 如图在边长为 24 cm 的正方形纸片 ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰 直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、D 四个顶点正 好重合于上底面上一点)．已知 E、F 在 AB 边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两 个端点，设 AE＝BF＝x cm. (1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积 V； (2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)积 S 最大，试问 x 应取何值？ 技巧归纳：二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想的运用，融代数与几 何为一体，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分运用三角函数解直角三角形，相似、 全等、圆等来解决问题，充分运用几何知识求解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几 何知识结合时，往往涉及最大面积，最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数关系，运 用函数的性质求解． 三、随堂检测 1、某商场购进一批单价为 16 元的日用品．若按每件 20 元的价格销售，每月能卖出 360 件；若按每件 25 元的价格销售．每月能卖出 210 件．假定每月销售件数 y(件)与价格 x(元/ 件)之间满足一次函数． (1)试求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛 利润 w 最大？每月的最大毛利润是多少？ 2、某网店以每件 60 元的价格购进一批商品，若以单价 80 元销售，每月可售出 300 件．调 查表明：单价每上涨 1 元，该商品每月的销售量就减少 10 件． (1)请写出每月销售该商品的利润 y(元)与单价 x(元)间的函数关系式； (2)单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？ 参考答案 例 1、（1）把 x=0 ，y=2 ，及 h=2.6 代入到 y=a（x-6）2+h 即 2=a（0－6）2+2.6， ∴ 1 60a   ∴y= （x-6）2+2.6； （2）当 h=2.6 时，y= （x-6）2+2.6 当 x=9 时，y= （9－6）2 +2.6=2.45＞2.43 ∴球能越过网 当 y=0 时，  21 6 2.6 060 x    ， 解得： 1 26 2 39 18, 6 2 39(x x     舍去） 故会出界； （3）当球正好过点（18 ，0 ）时，y=a （x-6 ）2+h 还过点（0 ，2）点，代入解析 式得： 2=36a+h 0=144 ha    ， 解得： ， 此时二次函数解析式为： 21 8( 6)54 3y x    ， 此时球若不出边界 ， 当球刚能过网，此时函数解析式过（9 ，2.43 ），y=a （x-6 ）2+h 还过点（0 ，2 ） 点，代入解析式得： 2 2 2.43 (9 6) 2 (0 6) a h a h        ， 解得： 43 2700 193 75 a h      ， 此时球要过网 h ≥ ， ∵ 8 193 3 75  ， ∴h ≥ ， 故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是： 。 例 2 解：(1)120×150＝18000(元)． 答：今年老王种粮可获得补贴 18000 元． (2)由图象知，y与x之间的函数是一次函数．设所求关系式为：y＝kx＋b(k≠0)．将(205， 1000)，(275，1280)两点坐标代入，这样所求的 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝4x＋180. (3)W＝(2140＋120－y)x＝(2140＋120－4x－180)x＝－4x2＋2080x. 因为－4＜0，所以当 x＝－ b 2a ＝－ 2080 2×（－4） ＝260(亩)时，W 最大＝4ac－b2 4a ＝ 0－20802 4×（－4） ＝270400(元)． 答：当种粮面积为 260 亩时，总利润最高，最高总利润为 270400 元． 例 3、1)根据题意，知这个正方体的底面边长 a＝ 2 x cm，EF＝ 2 a＝2x (cm)， ∴x＋2x＋x＝24 ，x＝6，a＝6 2 cm， V ＝a3＝(6 2)3＝432 2(cm3)． (2)设包装盒的底面边长为 y cm，高为 h cm， 则 y＝ 2x，h＝24－2x 2 ＝ 2(12－x)， ∴S＝4yh＋y2 ＝4 2x· 2(12－x)＋( 2x)2＝－6x2＋96x＝ －6(x－8)2＋384. ∵03) 拓展 n 边形的内角中最多有________个是锐角 定义 各个角________，各条边________的多边形叫正多边形 正多边形 对称性 正多边形都是_ _______对称图形，边数为偶数的正多边 形是中心对称图形 平面图形的镶嵌 定义 用______、______完全相同的一种或几种____________进行拼接， 彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的________ 平面镶嵌的条件 在同一顶点的几个角的和等于 360° 常见形式 (1)用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：________个正三角 形或________个正四边形或________个正六边形 (2)用两种正多边形镶嵌 ①用正三角形和正四边形镶嵌：三个正三角形和________个正四边 形； ②用正三角形和正六边形镶嵌：用________个正三角形和________ 个正六边形或者用________个正三角形和________个正六边形； ③用正四边形和正八边形镶嵌：用________个正四边形和____ ____ 个正八边形可以镶嵌 常见形式 (3)用三种不同的正多边形镶嵌 用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用 m 块正三角形、n 块正方形、k 块正六边形，则有 60m＋90n＋120k＝360，整理得 ______________，因为 m、n、k 为整数，所以 m＝______，n＝________， k＝________，即用________块正方形，________块正三角形和________ 块正六边形可以镶嵌 防错提醒 能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点的几个角的和等于 360° 二、题型、技巧归纳 考点一：三角形三边的关系 例 1 若三角形的两边长分别为 6 cm、9 cm，则其第三边的长可能为( ) A．2 cm B．3 cm C．7 cm D．16 cm 技巧归纳：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，只要两短边之和大于最长的边， 这三条线段就能组成三角形，通常只要两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组成三角 形． 考点 2 三角形的重要线段的应用 例 2 如图在△ABC 中， D，E 分别是边 AB、AC 的中点，BC＝8，则 DE＝__________。 技巧归纳：三角形的中位线常用来证明线段的倍分问题，题目中有中点，就要想到三角 形的中位线定理． 考点 3 三角形内角与外角的应用 例 3 如图∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点 A1，∠A1BC 的平分线与∠A1CD 的平分线交于点 A2，…，∠An－1BC 的平分线与∠An－1CD 的平分线交于点 An. 设∠A＝θ. 则(1)∠A1＝________； (2)∠An＝________. 技巧归纳：综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质，灵活地运用 这些基础知识，合理地推理，可以灵活的解决内外角的关系，得到结论． 考点 4 多边形的内角和与外角和 例 4 若一个多边形的内角和为 1080°，则这个多边形的边数为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 技巧归纳：如果已知 n 边形的内角和，那么可以求出它的边数 n；对于多边形的外角和 等于 360°，应明确两点：(1)多边形的外角和与边数 n 无关；(2)多边形内角问题转化为外 角问题常常有化难为易的效果． 三、随堂检测 1、现有 3 cm，4 cm，7 cm，9 cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么 可以组成的三角形的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2、如图△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP与内角∠ABC 的平分线 BP 交于点 P，若∠BPC ＝40°，则∠CAP＝________. 3、若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 参考答案 例 1、C 例 2、4 例 3、∵A1B 是∠ABC 的平分线，A2B 是∠A1BC 的平分线， ∴∠A1BC＝1 2 ∠ABC，∠A1CD＝1 2 ∠ACD. 又∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1, ∴1 2 (∠A＋∠ABC)＝∠A1BC＋∠A1， ∴∠A1＝1 2 ∠A. ∵∠A＝θ， ∴∠A1＝θ 2 ； (2)同理可得∠A2＝1 2 ∠A1＝1 2 ·1 2 θ＝θ 22 ， 所以∠An＝θ 2n . 例 4、C 随堂检测 1、 四条木棒的所有组合：3，4，7 和 3，4，9 和 3，7，9和 4，7，9；只有 3，7，9 和 4，7，9 能组成三角形．故选 B. 2、 过 P 作 PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为 D、E、F.因为 PB 是∠ABC 的平分线， 所以PE＝PD，同理：PD＝PF，所以 PE＝PF，所以 AP 是∠EAC 的平分线．利用三角形的外角 和内角和定理，得∠BPC＝1 2 ∠BAC，∴∠BAC＝2×40°＝80°. 所以∠CAP＝1 2 (180°－∠BAC)＝1 2 (180°－80°)＝50 3、 三角形的内角和为 180°，四边形的内角和是 360°，而且边数越多，内角和越大， 而多边形的外角和是 360°与边数无关，所以选择 A. 第 18 讲：三角形与多边形 一、夯实基础 1、如图，AC  BC，CD  AB，DE  BC，分别交 BC，AB，BC 于 C，D，E： 下列说法中不 正确的是（ ） A、AC 是  ABC 的高 B、DE 是  BCD 的高 C、DE 是  ABE 的高 D、AD 是  ACD 的高 2、三角形三条高的交点一定在（ ） A、三角形的内部 B、三角形的外部 C、三角形的内部或外部． D、三角形的内部、外部或顶 点 3、适合条件 CBA  2 1 的  ABC 是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 4、直角三角形两锐角的角平分线相交所成的角的度数是（ ） A、 045 B、 0135 C、 045 或 0135 D、不能确定 5、有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A、 cmcmcm 843 、、 B、 cmcmcm 844 、、 C、 cmcmcm 1065 、、 D、 cmcmcm 1052 、、 二、能力提升 6、三角形三个内角的比为 1：3：5，则最大的内角是_____度 7、如所示，写出 321  、、 的度数： .____3,_____2,_____1 000  8、如图，在  ABC 中， ,CABC  BD 平分 ABC ，如果 036A ，那么 0._____ADB 9、按图所示的条件，则 ._____,____ 00  CBDBAE 10、两根木棒的长分别为 cm3 和 cm5 ，要选择第三根木棒，将它钉成一个三角形，若 第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒的长是 ._____ cm 三、课外拓展 11、一个多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少 0180 ，这个多边形的边数是（ ） A、5 条 B、6 条 C、 7 条 D、8 条 12、如图，BE，CF 是  ABC 的角平分线， 065A 那么 BOC 等于（ ） A、 05.122 B、 05.187 C、 05.178 D、 0115 13、在  ABC 中， BA  ，055 比 C 大 025 ，则 B 等于（ ） A、 050 B、 075 C、 0100 D、 0125 四、中考链接 14、如图， 090 nFEDCBA ，求 n ； 15、已知  ABC 中， A 比 2 B 大 040 ， B 比 2 C 少 010 ，求各角的度数． 参考答案 一、夯实基础 1、C 2、D 3、B 4、C 5、C 二、能力提升 6、100 7、65 70 110 8、108 9、108 36 10、4 或 6 三、课外拓展 11、C 12、A 13、B 四、中考链接 14、n=4 15、 2104 7       147 7       第 19 讲 全等三角形 一、知识梳理 全等图形及全等三角形 全等图形 能够完全重合的两个图形就是______ 全等图形的形状和________完全相同 全等三角形 能够完全重合的两个三角形就是全等三角形 说明 完全重合有两层含义： (1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等 全等三角形的性质 性质 1 全等三角形的对应边________ 性质 2 全等三角形的对应角________ 性质 3 全等三角形的对应边上的高________ 性质 4 全等三角形的对应边上的中线________ 性质 5 全等三角形的对应角平分线________ 全等三角形的判定 基本判 定方法 1.三条边对应相等的两个三角形全等(简记为 SSS) 2.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为____ ) 3.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为 ____ ) 4.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为____ ) 5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为____ ) 拓展延伸 满足下列条件的三角形是全等三角形： (1)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； (2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； (3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等； (4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等； (5)有两边和其中一边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等； (6)有两边和第三边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等 总结 判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中 最少要有一组对应边相等 利用“尺规”作三角形的类型 1 已知三角形的三边，求作三角形 2 已知三角形的两边及其夹角，求作三角形 3 已知三角形的两角及其夹边，求作三角形 4 已知三角形的两角及其其中一角的对边，求作三角形 5 已知直角三角形一条直角边和斜边，求作三角形 角平分线的性质与判定 性质 角平分线上的点到角两边的______相等 判定 角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的______上 二、题型、技巧归纳 考点一：全等三角形性质与判定的综合应用 例 1 已知：AB＝AE，∠1＝∠2，∠B ＝∠E，求证：BC＝ED. 技巧归纳： 1．解决全等三角形问题的一般思路：①先用全等三角形的性质及其他知识，寻求判定 一对三角形全等的条件；②再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题．即由已知条件 (包含全等三角形)判定新三角形全等、相应的线段或角的关系； 2．轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等； 3．利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件，例如对顶角相等、互余、互补等． 考点 2 全等三角形开放性问题 例 2 如图在△ABC 中，点 D 是 BC 的中点，作射线 AD，在线段 AD 及其延长线上分别取点 E、F，连接 CE、BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是 ________．(不添加辅助线) 技巧归纳： 由于判定全等三角形的方法很多，所以题目中常给出(有些是推出)两个条件，让同学们 再添加一个条件，得出全等，再去解决其他问题．这种题型可充分考查学生对全等三角形 的掌握的牢固与灵活程度． 三、随堂检测 1、已知：如图 19－2，∠ABC＝∠DCB，BD、CA 分别是∠ABC、∠DCB 的平分线．求证： AB＝DC. 2、在△ABC 中，AB＝CD，∠ABC＝90°，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE＝ CF. (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； (2)若∠CAE＝30°，求∠ACF 的度数． 3、如图要测量河两岸相对的两点 A、B 的距离，可以在 AB 的垂线 BF 上取两点 C、D， 使 CD＝BC，再定出 BF 的垂线 DE，使点 A、C、E 在一条直线上，这时测得的 DE 的长就是 AB 的长，为什么？ 4、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端 M、N 的距离，如果△PQO≌△NMO， 则只需测出其长度的线段是( ) A．PO B．PQ C．MO D．MQ 参考答案 例 1 证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，即∠BAC＝∠EAD. ∴在△BAC 与△EAD 中， ∠B＝∠E， AB＝AE， ∠BAC＝∠EAD. ∴△BAC≌△EAD，∴BC＝ED. 例 2(1)添加的条件是：DE＝DF(或 CE∥BF 或∠ECD＝∠DBF 或∠DEC＝∠DFB 等)． (2)证明：在△BDF 和△CDE 中， ∵ BD＝CD， ∠EDC＝∠FDB， DE＝DF， ∴△BDF≌△CDE 随堂检测 1、 证明：∵AC 平分∠BDC,BD 平分∠ABC ∴∠ACB=∠DBC 在△ABC 与△DCB 中 ∠ABC=∠DCB BC=BC ∠ACB=∠DBC △ABC≌△DCB ∴AB=DC 2、解：(1)证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠CBF＝∠ABE＝90°. 在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中， ∵AE＝CF, AB＝BC，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)． (2)∵AB＝BC, ∠ABC＝90°， ∴∠CAB＝∠ACB＝45°. ∵∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°. 由(1)知 Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°， ∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝45°＋15°＝60°. 3、[解析] 根据题意，有 CD＝BC，∠ABC＝∠EDC ，∠ACB＝∠ECD，根据 ASA 可以证明 △ABC≌△EDC. 解：因为 AB⊥BF，DE⊥BF，B、D 分别为垂足， 所以∠ABC＝∠EDC＝90°. 又因为 BC＝CD，∠ACB＝∠ECD， 所以△ABC≌△EDC. 所以 AB＝ED. 第 19 讲：全等三角形 一、夯实基础 1．已知△ABC 中，∠B 是∠A 的 2 倍，∠C 比∠A 大 20°，则∠A 等于( ) A．40° B．60° C．80° D．90° 2．如图，已知点 A，D，C，F 在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF， 还需要添加一个条件是( ) A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF 3．在△ADB 和△ADC 中，下列条件：①BD＝DC，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD； ③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC.能得出△ADB≌△ADC 的序号是__________． 4．如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BE＝CD. 5．如图，在梯形 ABCD 中，已知 AD∥BC，AB＝CD，延长线段 CB 到 E，使 BE＝AD，连接 AE，AC. (1)求证：△ABE≌△CDA； (2)若∠DAC＝40°，求∠EAC 的度数． 二、能力提升 6．如图，为估计池塘两岸 A，B 间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点 P，测得 PA＝16 m，PB＝12 m，那么 AB 间的距离不可能是( ) A．5 m B．15 m C．20 m D．28 m 7．如图，已知△ABC 中，∠ABC＝45°，F 是高 AD 和 BE 的交点，CD＝4，则线段 DF 的 长度为( ) A．2 2 B．4 C．3 2 D．4 2 8．如图，在△ABC 中，∠A＝80°，点 D 是 BC 延长线上一点，∠ACD＝150°，则∠B＝ __________. 9．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD 的条件是( ) A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA 10．下面的命题中，真命题是( ) A．有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等 B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 C．有一条边对应相等的两个等腰三角形全等 D．有一条高对应相等的两个等边三角形全等 三、课外拓展 11．如图，在△ABC 中，BC 边不动，点 A 竖直向上运动，∠A 越来越小，∠B，∠C 越 来越大，若∠A 减少α度，∠B 增加β度，∠C 增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关 系是__________． 12．如图所示，三角形纸片 ABC 中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点 C 落在△ABC 内，若∠1＝20°，则∠2 的度数为__________． 13．如图，点 B，C，F，E 在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝FE，∠1__________(填“是” 或“不是”)∠2 的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是 __________(只需写出一个)． 四、中考链接 14．如图，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，点 E 在 AC 上，CE＝BC，过 点 E 作 AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F.求证：AB＝FC. 15．如图，点 A，B，D，E 在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求证：AC＝EF. 参考答案 一、夯实基础 1．A 设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝x＋20°，则 x＋2x＋x＋20°＝180°，解得 x＝40°， 即∠A＝40°. 2．B 由已知可得两个三角形已有两组边对应相等，还需要另一组边对应相等或夹角对 应相等，只有 B 能满足条件． 3．①②④ 由题意知 AD＝AD，条件①可组成三边对应相等，条件②可组成两角和其中 一角的对边对应相等，条件④可组成两边及其夹角对应相等，这三个条件都可得出△ADB≌ △ADC，条件③组成的是两边及其一边的对角对应相等，不能得出△ADB≌△ADC. 4．证明：∵在△ABE 和△ACD 中，∠B＝∠C，AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACD(ASA)．∴ BE＝CD. 5．(1)证明：在梯形 ABCD 中，∵AD∥BC，AB＝CD， ∴∠ABE＝∠BAD，∠BAD＝∠CDA. ∴∠ABE＝∠CDA. 在△ABE 和△CDA 中， AB＝CD， ∠ABE＝∠CDA， BE＝DA， ∴△ABE≌△CDA. (2)解：由(1)得∠AEB＝∠CAD，AE＝AC，∴∠AEB＝∠ACE. ∵∠DAC＝40°，∴∠AEB＝∠ACE＝40°. ∴∠EAC＝180°－40°－40°＝100°. 二、能力提升 6．D 由三角形三边关系知 16－12＜AB＜16＋12，故选 D. 7．B 因为由已知可证明△BDF≌△ADC，所以 DF＝CD. 8．70° 9. B 10.D 三、课外拓展 11．α＝β＋γ 12．60° ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠CDE＋∠CED＋∠C＝180°， ∴∠A＋∠B＝∠CDE＋∠CED. ∴∠A＋∠B＋∠CDE＋∠CED＝2(∠A＋∠B)＝280°. ∵∠1＋∠2＋∠CDE＋∠CED＋∠A＋∠B＝360°， ∴∠1＋∠2＝360°－280°＝80°. 又∵∠1＝20°，∴∠2＝60°. 13．不是 ∠B＝∠E(答案不唯一) 四、中考链接 14．证明：∵FE⊥AC 于点 E，∠ACB＝90°， ∴∠FEC＝∠ACB＝90°. ∴∠F＋∠ECF＝90°. 又∵CD⊥AB 于点 D， ∴∠A＋∠ECF＝90°. ∴∠A＝∠F. 在△ABC 和△FCE 中， ∠A＝∠F， ∠ACB＝∠FEC， BC＝CE， ∴△ABC≌△FCE.∴AB＝FC. 15．证明：∵AD＝EB， ∴AD－BD＝EB－BD，即 AB＝ED. 又∵BC∥DF，∴∠CBD＝∠FDB. ∴∠ABC＝∠EDF. 又∵∠C＝∠F， ∴△ABC≌△EDF. ∴AC＝EF. 第 20 讲 等腰三角形 一、知识梳理 等腰三角形的概念与性质 定义 有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底 性质 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴 定理 1 等腰三角形的两个底角相等(简称为： __________) 定理 2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和 底边上的高互相重合，简称“三线合一” 拓展 (1)等腰三角形两腰上的高相等 (2)等腰三角形两腰上的中线相等 (3)等腰三角形两底角的平分线相等 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 (5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行 (6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 (7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的 高 等腰三角形的判定 定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写 成：___________) 拓展 (1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形 (2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形 (3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角 形 等边三角形 定义 三边相等的三角形是等边三角形 性质 等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于______ 等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴 判定 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形 (2)有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 线段的垂直平分线 定义 经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________ 判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上 实质构成 线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点________的所有点的集合 二、题型、技巧归纳 考点 1 等腰三角形的性质的运用 例 1 如图在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 AB 的中点，连接 DE 并延长交 CB 的延长线于 点 F，点 G 在边 BC 上，且∠GDF＝∠ADF. (1)求证：△ADE≌△BFE； (2)连接 EG，判断 EG 与 DF 的位置关系， 并说明理由． 技巧归纳： (1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换．(2)在同一个三角形中， 等角对等边与等边对等角进行互相转换． 考点 2 等腰三角形判定 例 2、已知：如图锐角△ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O，且 OB＝OC. (1)求证：△ABC 是等腰三角形； (2)判断点 O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由． 技巧归纳：要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方 法主要有(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平 分线的性质得两边相等． 考点 3 等腰三角形的多解问题 例 3 已知等腰△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝0.5 BC，则△ABC 底角的度数为( ) A．45° B．75° C．45°或 75° D．60° 技巧归纳：因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高 线要考虑高在形内和形外两种情况．故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才 能避免漏解情况． 考点 4 等边三角形的判定与性质 例 4 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上， 点 D 在 CB 的延长线上，且 ED＝EC，如图试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明理由． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论 当点 E 为 AB 的中点时，如图 20－4①，确定线段 AE 与 DB 的大小关系，请你直接写出 结论： AE________DB(填“>”“<”或“＝”) （1） （2） (2)特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是：AE________DB(填“>”“<”或“＝”)．理由如 下：如图 20－4②，过点 E 作 EF∥BC，交 AC 于点 F. (请你完成以下解答过程) (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED＝EC.若△ABC 的边 长为 1，AE＝2，求 CD 的长(请你直接写出结果)． 技巧归纳：等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于 60°的结论，所以要充分利 用这些隐含条件，证明全等或者构造全等． 三、随堂检测 1.如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B，C，D，E 在同一直线上，且 CG=CD，DF=DE， 则∠E= 度. 2.如图，将等边△ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转，使边 AB 与 AC 重 合得△ACD，BC 的中点 E 的对应点为 F，则∠EAF 的度数是 . 3.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，则 MN 的长为 ( ) A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 4.如图，等腰△ABC 中，AB=AC，∠DBC=15°，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则∠A 的度数是 . 5.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°. (1)用尺规作图作 AB 边上的中垂线 DE，交 AC 于点 D，交 AB 于点 E.(保留作图痕迹，不 要求写作法和证明). (2)连接 BD，求证：BD 平分∠CBA. 参考答案 例 1、解： (1)证明：∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠FBE. ∵E 是 AB 的中点， ∴AE＝BE. ∴△ADE≌△BFE. (2)EG 与 DF 的位置关系是 EG⊥DF. ∵∠GDF＝∠ADF， 又∵∠ADE＝∠BFE， ∴∠GDF＝∠BFE， ∴GD＝GF. 由(1)得，DE＝EF， ∴EG⊥DF. 例 2、解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∵BD、CE 是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°. 又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (AAS)． ∴∠DBC＝∠ECB, ∴AB＝AC. ∴△ABC 是等腰三角形． (2)点 O 是在∠BAC 的平分线上． 连接 AO. ∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB. ∵OB＝OC，∴ OD＝OE. 又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO， ∴△ADO≌△AEO(HL)． ∴∠DAO＝∠EAO. ∴点 O 是在∠BAC 的平分线上． 例 3、 如图(1)：AB＝AC， ∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝1 2 BC，∠ADB＝90°. ∵AD＝1 2 BC，∴AD＝BD，∴∠B＝45°， 即此时△ABC 底角的度数为 45°； 如图(2)，AC＝BC， ∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. ∵AD＝1 2 BC，∴AD＝1 2 AC，∴∠C＝30°. ∴∠CAB＝∠B＝180°－∠A 2 ＝75°， 即此时△ABC 底角的度数为 75°. 综上，△ABC 底角的度数为 45°或 75°. 故选 C. 例 4、（1）= （2）= 方法一：等边三角形 ABC 中， ∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， AB＝BC＝AC. ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC， ∴△AEF 是等边三角形，∴AE＝AF＝EF， ∴AB－AE＝AC－AF，即 BE＝CF. 又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°， ∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°， 且 ED＝EC， ∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠FCE. 又∵∠DBE＝∠EFC＝120°， ∴△DBE≌△EFC， ∴DB＝EF， ∴AE＝BD. 方法二：在等边三角形 ABC 中， ∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABD＝120°. ∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED，∠ACB＝∠ECB＋∠ACE， ED＝EC， ∴∠EDB＝∠ECB， ∴∠BED＝∠ACE. ∵FE∥BC， ∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC， ∴△AEF 是正三角形，∠EFC＝180°－∠ACB＝120°＝∠ABD. ∴△EFC≌△DBE， ∴DB＝EF， 而由△AEF 是正三角形可得 EF＝AE. ∴AE＝DB. （3）3)1 或 3. 随堂检测 1、【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°， ∠ACD=120°.∵CG=CD，∴∠CDG=30°， ∠FDE=150°.∵DF=DE，∴∠E=15°. 答案：15 2、【解析】∵△ABC 是等边三角形，E 是 BC 的中点， ∴∠CAE=30°. 根据旋转的性质，知∠CAE=∠DAF=30°， ∴∠CAF=30°，∴∠EAF=60°. 答案：60° 3． 【解析】选 C.连接 MA，NA.∵AB 的垂直 平分线交 BC 于点 M，交 AB 于点 E，AC 的 垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F， ∴BM=AM，CN=AN， ∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C.∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠B=∠C=30°，∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°， ∴△AMN 是等边三角形， ∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∴MN= BC=2cm. 4、【解析】∵MN 是 AB 的垂直平分线， ∴AD=BD，∴∠A=∠ABD， ∵∠DBC=15°， ∴∠ABC=∠A+15°， ∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC=∠A+15°， ∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°， 解得∠A=50°. 答案：50° 5、【解析】(1)如图所示，DE 就是要求作的 AB 边上的垂直平分线. (2)∵DE 是 AB 边上的垂直平分线，∠A=30° ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=30°. ∵∠C=90°， ∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°. ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°. ∴∠ABD=∠CBD， 即 BD 平分∠CBA. 第 20 讲：等腰三角形 一、夯实基础 1．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 E，过点E 作 MN∥BC 交 AB 于 M， 交 AC 于 N，若 BM＋CN＝9，则线段 MN 的长为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 2．若等腰三角形的顶角为 80°，则它的底角是( ) A．20° B．50° C．60° D．80° 3．如图，AE∥BD，C 是 BD 上的点，且 AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝______度． 4、如图，△ABC 的周长为 30 cm，把△ABC 的边 AC 对折，使顶点 C 和点 A 重合，折痕 交 BC 边于点 D，交 AC 边于点 E，连接 AD，若 AE＝4 cm，则△ABD 的周长是( ) A．22 cm B．20 cm C．18 cm D．15 cm 二、能力提升 5．如图，坐标平面内有一点 A(2，－1)，O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以点 P，O，A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点 P 的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图所示，A，B，C 分别表示三个村庄，AB＝1 000 米，BC＝600 米，AC＝800 米， 在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到 活动中心的距离相等，则活动中心 P 的位置应在( ) A．AB 中点 B．BC 中点 C．AC 中点 D．∠C 的平分线与 AB 的交点 7．在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线交于点 F，过点 F 作 DF∥BC，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 BD＋CE＝9，则线段 DE 的长为( ) A．9 B．8 C．7 D．6 8．如图，P，Q 是△ABC 边 BC 上的两点，且 QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，则∠BAC＝( ) A．125° B．130° C．90° D．120° 三、课外拓展 9．如图，在△ABC 中，BC＝8，AB 的中垂线交 BC 于点 D，AC 的中垂线交 BC 于点 E，则 △ADE 的周长等于__________． 10．如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B，C，D，E 在同一直线上，且 CG＝CD，DF＝ DE，则∠E＝__________度． 11．已知等腰△ABC 的周长为 10，若设腰长为 x，则 x 的取值范围是__________． 四、中考链接 12.如图，已知 AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与 BD 交于 O，AC＝BD. 求证：(1)BC＝AD； (2)△OAB 是等腰三角形． 13. 已知，如图，延长△ABC 的各边，使得 BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接 D，E，F， 得到△DEF 为等边三角形． 求证 ：(1)△AEF≌△CDE； (2)△ABC 为等边三角形． 14. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠CAB 的平分线 AD 交 BC 于 D，若 DE 垂直平分 AB，求∠B 的度数． 15.如图所示，在△ABC 中，D，E 分别是边 AC，AB 上的点，BD 与 CE 交于点 O，给出下 列三个条件： ①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD. (1)上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形(用序号写出所有情况)； (2)选择第(1)小题中的一种情况，证明△ABC 是等腰三角形． 参考答案 一、夯实基础 1．D ∵∠ABC，∠ACB 的平分线相交于点 E， ∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB. ∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN. ∴MN＝ME＋EN，即 MN＝BM＋CN. ∵BM＋CN＝9，∴MN＝9，故选 D. 2．B 因为等腰三角形的顶角为 80°，所以底角＝(180°－80°)÷2＝50°. 3．40 ∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC. ∵∠ACD＝110°，∴∠ACB＝∠BAC＝70°，∴∠B＝∠40°. ∵AE∥BD，∴∠EAB＝∠B＝40°. 4、A 解析：由题意可知 DE 为 AC 的垂直平分线，所以 AD＝CD，AC＝2AE＝8 cm.因为△ABC 的周长为 30 cm，所以 AB＋BC＋AC＝30 cm，所以 AB＋BC＝22 cm.所以△ABD 的周长为 AB＋ BD＋AD＝AB＋BC＝22 cm. 二、能力提升 5．C 因为 x 轴负半轴有一个点，x 轴正半轴有三个点，所以符合条件的动点 P 的个数 为 4. 6．A 7．A ∵BF 平分∠ABC，如图， ∴∠ABF＝∠CBF. ∵CF 平分∠ACB， ∴∠ACF＝∠BCF. ∵DF∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF. ∴∠ABF＝∠DFB，∠ACF＝∠EFC. ∴BD＝DF，EF＝CE. ∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE＝9. 8．D 三、课外拓展 9．8 因为△ADE 的周长＝AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝8. 10．15 11．5 2 ＜x＜5 由三角形的三边关系得 10－2x<2x， 10－2x>0， 解得5 2 ＜x＜5. 四、中考链接 12．证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D＝∠C＝90°. 在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中，AB＝BA，AC＝BD， ∴△ACB≌△BDA(HL)． ∴BC＝AD. (2)由△ACB≌△BDA 得∠CAB＝∠DBA. ∴△OAB 是等腰三角形． 13．证明：(1)∵BF＝AC，AB＝AE，∴FA＝EC. ∵△DEF 是等边三角形，∴EF＝DE. 又∵AE＝CD，∴△AEF≌△CDE. (2)由△AEF≌△CDE，得∠FEA＝∠EDC. ∵∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF，△DEF 是等边三角形， ∴∠DEF＝60°，∴∠BCA＝60°. 同理可得∠BAC＝60°. ∴△ABC 中，AB＝BC. ∴△ABC 是等边三角形． 14．解：∵AD 平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD. ∵DE 垂直平分 AB，∴AD＝BD，∠B＝∠BAD. ∴∠CAD＝∠BAD＝∠B. ∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， ∴∠CAD＋∠DAE＋∠B＝90°. ∴∠B＝30°. 15．解：(1)①③；②③. (2)①③. 证明：∵∠EBO＝∠DCO，∠EOB＝∠DOC，BE＝CD， ∴△BEO≌△CDO.∴OB＝OC. ∴∠OBC＝∠OCB.∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC. ∴△ABC 为等腰三角形 第 21 讲直角三角形与勾股定理 一、知识梳理 直角三角形的概念、性质与判定 定义 有一个角是________的三角形叫做直角三角形 性质 (1)直角三角形的两个锐角互余 (2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于 ______________ (3)在直角三角形中，斜边上的中线等于________________ 判定 (1)两个内角互余的三角形是直角三角形 (2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 拓展 (1)SRt△ABC＝1 2 ch＝1 2 ab，其中 a、b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高； (2)Rt△ABC 内切圆半径 r＝a＋b－c 2 ，外接圆半径 R＝c 2 ，即等于斜边的一半 勾股定理及逆定理 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和，等于斜边 c 的平方．即：________ 勾股定理 的逆定理 逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系： ________ ，那 么这个三角形是直角三角形 用途 (1)判断某三角形是否为直角三角形； (2)证明两条线段垂直； (3)解决生活实际问题 互逆命题 互逆命题 如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互 逆命题，如果我们把其中一个叫做______，那么另一个叫做它的______ 互逆定理 若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这个定理的________，称 这两个定理为互逆定理 命题、定义、定理、公理 定义 在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明 确的规定，也就是给他们下定义 命题 定义 判断一件事情的句子叫做命题 分类 正确的命题称为________ 错误的命题称为________ 组成 每个命题都由______和______两个部分组成 公理 公认的真命题称为________ 定理 除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证实，推理的过程称为 ________．经过证明的真命题称为________ 二、题型、技巧归纳 考点 1 利用勾股定理求线段的长度 例 1 将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上，另一 个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角，如图 21－1，则三角板的最大边的长为( ) A、3CM B、6CM C、3 2 CM D、 6 2 CM 技巧归纳：勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形 的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题． 考点 2 实际问题中勾股定理的应用 例 2 一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜表面爬到柜角 C1 处． (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当 AB＝4，BC＝4，CC1＝5 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长； (3)求点 B1 到最短路径的距离． 技巧归纳：利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所在的面展开成为一个 平面，进而利用勾股定理求最短长度． 考点 3 勾股定理逆定理的应用 例 3 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为 三角形的三边长，构成直角三角形的有( ) A．② B．①② C．①③ D．②③ 技巧归纳：判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平 方和是否等于最大数的平方即可判断． 考点 4 定义、命题、定理、反证法 例 4 下列命题为假命题的是( ) A．三角形三个内角的和等于 180° B．三角形两边之和大于第三边 C．三角形两边的平方和等于第三边的平方 D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半 技巧归纳：只有对一件事情做出判定的语句才是命题，其中正确的命题是真命题，错误 的命题是假命题．对于命题的真假(正误)判断问题，一般只需根据熟记的定义、公式、性 质、判定定理等相关内容直接作出判断即可，有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步 确定真与假． 三、随堂检测 1、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点 C 到 AB 的距离是( ) A.36 5 B.12 25 C.9 4 D.3 3 4 2、下列命题中，其逆命题是真命题的是________．(只填写序号) ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个 实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 3、如图以 Rt△ABC 的三边为直径的 3 个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由． 4、已知等腰 Rt△ABC 的直角边长为 1，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 Rt△ADE，…，依此类推直到第 五个等腰 Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为________． 参考答案 例 1、 D 例 2、解： (1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形和． 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的 AC′1 和 AC1. (2)蚂蚁沿着木柜表面经线段 A1B1 到 C′1，爬过的路径的长是 l1＝ 42＋（4＋5）2＝ 97. 蚂蚁沿着木柜表面经线段 BB1 到 C1，爬过的路径的长是 l2＝ （4＋4）2＋52＝ 89. l1>l2，最短路径的长是 l2＝ 89. (3)作 B1E⊥AC1 于 E，则 B1E＝B1C1 AC1 ·AA1＝ 4 89 ·5＝20 89 89 例 3、②③[解析] 根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可 构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断． ①∵22＋32＝13≠42， ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意； ②∵32＋42＝52 ， ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意； ③∵12＋(√3)2＝22， ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意． 故构成直角三角形的有②③. 故选 D. 例 4、C [解析] 选项 A 和 B 中的命题分别为三角形的内角和定理与三 角形三边关系定 理，均为真命题；对于选项 C，只有直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，而其 他三角形的三边都不具有这一关系，因此是假命题；选项 D 中的命题是三角形的面积计算公 式，也是真命题，故应选. 随堂检测 1、 在 Rt△ABC 中，AC＝9，BC＝12， 根据勾股定理得：AB＝ AC2＋BC2＝15，过 C 作 CD⊥AB，交 AB 于点 D， 又 S△ABC＝1 2 AC·BC＝1 2 AB·CD， ∴CD＝AC·BC AB ＝9×12 15 ＝36 5 ， 则点 C 到 AB 的距离是36 5 . 故选 A. 2、①④ 3、解：记直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为 S1、S2、S3，则 S1、S2、S3 的 关系是 S1＋S2＝S3.理由如下： S1＝1 2 π BC 2 2 ＝1 8 πBC2；S2＝1 2 π AC 2 2 ＝1 8 πAC2； S3＝1 2 π AB 2 2 ＝1 8 πAB2. 而由勾股定理，得 BC2＋AC2＝AB2， 于是可得 S1＋S2＝S3. 4、[解析] 第 1 个三角形的面积为1 2 ，第 2 个三角形的面积为1 2 ×( 2)2＝1，第 3 个三角 形的面积为1 2 ×22＝2，第 4 个三角形的面积为1 2 ×( 8)2＝4，第 5 个三角形的面积为1 2 ×42＝8， 故这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为1 2 ＋1＋2＋4＋8＝31 2 . 第 21 讲：直角三角形与勾股定理 一、夯实基础 1.在△ABC 中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边 AC 的长约为(精确到 0.1)（ ） A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5 2.如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别 为 6m 和 8m.按照输油中心 O 到三条支路的距离相等来连接管道，则 O 到三条支路的管道总 长（计算时视管道为线，中心 O 为点）是（ ） A2m B.3m C.6m D.9m O （第 2 题图） 3. 已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走 160 公尺，再向东直走 80 公尺 后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为 340 公尺？ A． 100 B． 180 C． 220 D． 260 4. 将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上，另一个顶点 在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角，如图(3)，则 三角板的最大边的长为 A. 3cm B. 6cm C. 3 2 cm D. 6 2 cm 5.如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 长不可 能是 （A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）7 6. 如图 3，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6,D,E 分别在 AB,AC 上，将△ABC 沿 DE 折叠， 使点 A 落在点 A′处，若 A′为 CE 的中点，则折痕 DE 的长为（ ） A． 2 1 B．2 C．3 D．4 二、能力提升 7.下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长 a，b，c 满足 2 2 2a b c  ，那么这个三角形是直角三角形． 8. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽 弦图”（如图 1）．图 2 由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中 正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1,S2，S3． 若 S1，S2，S3＝10，则 S2 的值是 ． 9. 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形 DEFH 的边长为 2 米，坡 角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6 米. 当正方形 DEFH 运动到什么位置,即当 AE＝ 米时, 有 DC 2 ＝AE 2 ＋BC 2 . 10. 把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，那么 2 2 2a b c  ”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式： 。 三、课外拓展 11.在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9，则 AB＝ ． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD 折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是 ． 四、中考链接 13. 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为 6m、8m.现要将 其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8m 为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形 花圃的周长． 14、如图，在直角△ABC 中，∠C=90  ，∠CAB 的平分线 AD 交 BC 于 D，若 DE 垂直平分 AB，求∠B 的度数。 15.如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，请按 要求 完成下列各题： （1）画线段 AD∥BC 且使 AD =BC，连接 CD； （2）线段 AC 的长为 ，CD 的长为 ，AD 的长为 ； （3）△ACD 为 三角形，四边形 ABCD 的面积为 ； （4）若 E 为 BC 中点，则 tan∠CAE 的值是 ． A B C E 参考答案 一、夯实基础 1、C 2、C 3、C 4、D 5、D 6、B 二、能力提升 7、① ④ 8、 10 3 9、 3 14 10、如果三角形三边长 a，b，c，满足 2 2 2a b c  ，那么这个三角形是直角三角形 三、课外拓展 11、15 12、6cm2 四、中考链接 13、由题意可得，花圃的周长=8+8+8 2 =16+8 2 14、 解：∵AD 平分∠CAD ∴∠CAD=∠BAD ∵DE 垂直平分 AB ∴AD=BD,∠B=∠BAD ∴∠CAD=∠BAD=∠B ∵在 RtΔABC 中，∠C=90º ∴∠CAD+∠DAE+∠B=90º ∴∠B=30º 15、解：（1）如图； A B C E D （2） 2 5 ， 5 ，5； （3）直角，10； （4） 1 2 ． 第 22 讲相似三角形及其应用 一、知识梳理 相似图形的有关概念 相似图形 形状相同的图形称为相似图形 相似多边形 定义 如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相 等，那么这两个多边形相似 相似比 相似多边形对应边的比称为相似比 k 相似三角形 两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相 似．当相似比 k＝1 时，两个三角形全等 比例线段 定义 防错提醒 比例 线段 对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的 长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 ____________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简 称比例线段 求两条线段的比时， 对这两条线段要用同一 长度单位 黄金 分割 在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(AC＞BC)，如果________，那么称线段 AB 被点 C 黄 金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的 比叫做黄金比，黄金比为________ 一条线段的黄金分 割点有______个 平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比___________ 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应 线段的比________ 相似三角形的判定 判定定理 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角 形________ 判定定理 2 如果两个三角形的三组对应边的________相等，那么这两个三角形相似 判定定理 3 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且____________相等，那 么这两个三角形相似 判定定理 4 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的____________，那么这两 个三角形相似 拓展 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似 相似三角形及相似多边形的性质 三角形 (1)相似三角形周长的比等于相似比 (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方 (3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比 相似多 边形 (1)相似多边形周长的比等于相似比 (2)相似多边形面积的比等于相似比的平方 位似 位似图形 定义 两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行， 像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位形中心 位似与相 似关系 位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连 线相交于一点，对应边互相平行 位似图形 的性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于________； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于________点； (3)位似图形对应边______(或在一条直线上)； (4)位似图形对应角相等 以坐标原 点为中心 的位似变 换 在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为 k，那么 位似图形对应点的坐标的比等于________ 位似 作图 (1)确定位似中心 O； (2)连接图形各顶点与位似中心 O 的线段(或延长线)； (3)按照相似比取点； (4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形 相似三角形的应用 几何图形的证明 与计算 常见问题 证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积 大小等 相似三角形在实 际生活中的应用 建模思想 建立相似三角形模型 常见题目类 型 (1)利用投影，平行线，标杆等构造相似三角形求解； (2)测量底部可以达到的物体的高度； (3)测量底部不可以到达的物体的高度； (4)测量不可以达到的河的宽度 二、题型、技巧归纳 考点一：比例线段 例 1 已知直线 a∥b∥c，直线 m、n 与 a、b、c 分别交于点 A、C、E、B、D、F，AC＝4， CE＝6，BD＝3，则 BF＝( ) A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 技巧归纳：本题考查的是平行线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的 对应线段成比例是解答此题的关键 考点 2 相似三角形的性质及其应用 例 2 如图△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边 BC 上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长 H G 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH，使它的一边 EF 在 BC 上， 顶点 G、H 分别在 AC，AB 上，AD 与 HG 的交点为 M. (1)求证： AM HG AD BC  (2)求这个矩形 EFGH 的周长． 技巧归纳： 1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度； 2. 利用相似三角形性质探求比值关系． 考点 3 三角形相似的判定方法及其应用 例 3、如图在矩形 ABCD中，AB＝6，AD＝12，点 E 在 AD 边上，且 AE＝8，EF⊥BE 交 CD 于 F. (1)求证：△ABE∽△DEF； (2)求 EF 的长． 技巧归纳：判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一 对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三 边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”． 考点 4 位似 例 4 如图正方形 ABCD 的两边 BC，AB 分别在平面直角坐标系的 x 轴、y 轴的正半轴上， 正方形 A′B′C′D′与正方形 ABCD 是以 AC 的中点 O′为中心的位似图形，已知 AC＝3√2， 若点 A′的坐标为(1，2)，则正方形 A′B′C′D′与正方形 ABCD 的相似比是( ) A、 1 6 B、 1 3 C、 1 2 D、 2 3 技巧归纳：本题考查位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键根据已知条件求 得两个正方形的边长。 三、随堂检测 1、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿 AB＝2 m，它的影子 BC ＝1.6 m，木竿 PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿 PQ 的长度 为__ __m. 2、如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线 l1∥l2∥l3，l1 与 l2 之间距离 是 1，l2 与 l3 之间距离是 2，且 l1，l2，l3 分别经过点 A，B，C，则边 AC 的长为 ． 3、如图，将正方形纸片 ABCD 沿 MN 折叠，使点 D 落在边 AB 上，对应点为 D′，点 C 落 在 C′处．若 AB＝6，AD′＝2，则折痕 MN 的长为 ． 参考答案 例 1、因为 a∥b∥c，所以AC CE ＝BD DF ，∴4 6 ＝ 3 DF ，DF＝4.5，BF＝7.5. 例 2、解：(1)证明：∵四边形 EFGH 为矩形， ∴EF∥GH. ∴∠AHG＝∠ABC. 又∵∠HAG＝∠BAC， ∴△AHG∽△ABC，∴ AM AD ＝HG BC . (2)由(1)得AM AD ＝HG BC .设 HE＝x，则 HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x. 可得30－x 30 ＝2x 40 ，解得 x＝12，2x＝24. 所以矩形 EFGH 的周长为 2×(12＋24)＝72 (cm)． 例 3、解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90°. ∵EF⊥BE，∴∠AEB＋∠DEF＝90°， ∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF； (2)∵△ABE∽△DEF， ∴BE EF ＝AB DE .∵AB＝6，AD＝12，AE＝8， ∴BE＝ AB2＋AE2＝10，DE＝AD－AE＝12－8＝4， ∴10 EF ＝6 4 ， 解得 EF＝20 3 . 例 4、 延长 A′B′交 BC 于点 E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正 方形的边长后即可求两个正方形的相似比． ∵在正方形 ABCD 中，AC＝3 2， ∴BC＝AB＝3. 延长 A′B′交 BC 于点 E， ∵点 A′的坐标为(1，2)， ∴OE＝1，EC＝3－1＝2＝A′E， ∴正方形 A′B′C′D′的边长为 1， ∴正方形 A′B′C′D′与正方形 ABCD 的相似比是1 3 . 故选 B. 随堂检测 17、 2.3 18、 2 213 19、 2 10 第 22 讲：相似三角形及其应用 一、夯实基础 1．下列判断正确的是( ) A. 不全等的三角形一定不是相似三角形 B. 不相似的三角形一定不是全等三角形 C. 相似三角形一定不是全等三角形 D. 全等三角形不一定是相似三角形 2．△ABC 中，∠ABC 为直角，BD⊥AC，则下列结论正确的是( ) A. AB BD ＝BC AC B. AD BD ＝AB BC C. CD BC ＝AD AB D. AC BC ＝BD AD 3．一个三角形三边长之比为 4∶5∶6，三边中点连线组成的三角形的周长为 30 cm，则 原三角形最大边长为 （ ） A. 44 cm B. 40 cm C. 36 cm D. 24 cm 4．如图，在▱ ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE∶EC＝3∶1，连结 AE 交 BD 于点 F，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为( ) A. 3∶4 B. 9∶16 C. 9∶1 D. 3∶1 (第 4 题图) (第 5 题图) 5．下列 4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则 与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( ) 二、能力提升 6．如图，小明用长为 3 m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿， 使竹竿与旗杆的距离 DB＝12 m，则旗杆 AB 的高为__ __m. (第 6 题图) (第 7题图) 7．如图，已知△ABC 的面积是 3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°， AC 与 DE 相交于点 F，则△AEF 的面积等于 (结果保留根号)． 8．如图，在△ABC 中，D 是 AB 边上的一点，连结 CD，请添加一个适当的条件，使△ABC ∽△ACD： (只填一个即可)． 三、课外拓展 9．如图，在 Rt△ABC 中(∠C＝90°)，放置边长分别为 3，x，4 的三个正方形，则 x 的值为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 12 (第 9 题图) (第 10 题图) 10．已知：在△ABC 中，BC＝10，BC 边上的高 h＝5，点 E 在边 AB 上，过点 E 作 EF∥BC， 交 AC 边于点 F.点 D 为 BC 上一点，连结 DE，DF.设点 E 到 BC 的距离为 x，则△DEF 的面积 S 关于 x 的函数图象大致为( ) (第 11 题图) 11．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边 AB 上的一点 O 为圆心所 作的半圆分别与 AC，BC 相切于点 D，E，则 AD 为( ) A. 2.5 B. 1.6 C. 1.5 D. 1 12．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿 AB＝2 m，它的影子 BC＝1.6 m，木竿 PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿 PQ 的长 度为 _ m. (第 12 题图) 四、中考链接 13．如图，四边形 ABCD 中，AC⊥BD 交 BD 于点 E，点 F，M分别是 AB，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交 AM 于点 N，AB＝AC＝BD，连结 MF，NF. (1)判断△BMN 的形状，并证明你的结论． (2)判断△MFN 与△BDC 之间的关系，并说明理由． 14．课本中有一道作业题： 有一块三角形余料 ABC，它的边 BC＝120 mm，高 AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件， 使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上．问：加工成的正方形零件的边长 是多少毫米？ 小颖解得此题的答案为 48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题： (1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组 成，如图 1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图 2，这样，此矩形零件的两条边长 就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 15．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB 于点 D.点 P 从点 D 出发，沿线段 DC 向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两点同时出发，速 度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到 C 时，两点都停止．设运动时间为 t(s)． (1)求线段 CD 的长． (2)设△CPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在 某一时刻 t，使得 S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由． (3)当 t 为何值时，△CPQ 为等腰三角形？ 参考答案 一、夯实基础 1、B 2、B 3、D 4、B 5、B 二、能力提升 6、9 7、 3 3 4  8、∠ACD＝∠ABC(答案不唯一) 三、课外拓展 9、C 10、D 11、B 12、2.3 四、中考链接 13、解：(1)△BMN 是等腰直角三角形． 证明：∵AB＝AC，点 M 是 BC 的中点， ∴AM⊥BC，AM 平分∠BAC. ∵BN 平分∠ABE，AC⊥BD， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB＋∠EBA＝90°， ∴∠MNB＝∠NAB＋∠ABN＝1 2 (∠BAE＋∠ABE)＝45°. ∴△BMN 是等腰直角三角形． (2)△MFN∽△BDC. 证明：∵点 F，M 分别是 AB，BC 的中点， ∴FM∥AC，FM＝1 2 AC. ∵AC＝BD， ∴FM＝1 2 BD，即FM BD ＝1 2 . ∵△BMN 是等腰直角三角形， ∴NM＝BM＝1 2 BC，即NM BC ＝1 2 ， ∴FM BD ＝NM BC ＝1 2 . ∵AM⊥BC， ∴∠NMF＋∠FMB＝90°. ∵FM∥AC， ∴∠ACB＝∠FMB. ∵∠CEB＝90°， ∴∠ACB＋∠CBD＝90°. ∴∠CBD＋∠FMB＝90°. ∴∠NMF＝∠CBD. 在△MFN 与△BDC 中， ∵ NM CB ＝FM DB ， ∠NMF＝∠CBD， ∴△MFN∽△BDC. 14、解：(1)设矩形的边长 PN＝2y mm，则 PQ＝y mm，由 PN∥BC 可得△APN∽△ABC， ∴PN BC ＝AE AD ，即 2y 120 ＝80－y 80 ， 解得 y＝240 7 ，∴PN＝240 7 ×2＝480 7 (mm)， 答：这个矩形零件的两条边长分别为240 7 mm， 480 7 mm. (2)设 PN＝x mm，同(1)可得△APN∽△ABC， ∴PN BC ＝AE AD ，即 x 120 ＝80－PQ 80 ， 解得 PQ＝80－2 3 x. ∴矩形 PQMN 的面积 S＝PN·PQ＝x 80－2 3 x ＝－2 3 x2＋80x＝－2 3 (x－60)2＋2400， ∴S 的最大值为 2400 mm2，此时 PN＝60 mm，PQ＝80－2 3 ×60＝40(mm)． 15、解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝10. ∵CD⊥AB， ∴S△AB C＝1 2 BC·AC＝1 2 AB·CD， ∴CD＝BC·AC AB ＝4.8， ∴线段 CD 的长为 4.8. (2)①过点 P 作 PH⊥AC，垂足为 H，如解图①所示， 由题可知 DP＝t，CQ＝t，则 CP＝4.8－t， ∵∠ACB＝∠CDB＝90°， ∴∠HCP＝90°－∠DCB＝∠B. ∵PH⊥AC，∴∠CHP＝90°， ∴∠CHP＝∠ACB， ∴△CHP∽△BCA， ∴PH AC ＝PC AB ，即PH 8 ＝4.8－t 10 ，得 PH＝96 25 －4 5 t， ∴S△CPQ＝1 2 CQ·PH＝1 2 t(96 25 －4 5 t)＝－2 5 t2＋48 25 t. ②存在某一时刻 t，使得 S△CPQ∶S△ABC＝9∶100， ∵S△ABC＝1 2 ×6×8＝24， 且 S△CPQ∶S△ABC＝9∶100， ∴(－2 5 t2＋48 25 t)∶24＝9∶100， 整理，得 5t2－24t＋27＝0，即(5t－9)(t－3)＝0， 解得 t＝9 5 或 t＝3. ∵0≤t≤4.8， ∴当 t＝9 5 s 或 t＝3 s 时，S△CPQ∶S△ABC＝9∶100. (3)①若 CQ＝CP， 则 t＝4.8－t，解得 t＝2.4. ②若 PQ＝PC，如解图①所示， ∵PQ＝PC，PH⊥QC， ∴QH＝CH＝1 2 QC＝t 2 . ∵△CHP∽△BCA， ∴CH BC ＝CP AB ，∴ t 2 6 ＝4.8－t 10 ， 解得 t＝144 55 . ③若 QC＝QP， 过点 Q 作 QE⊥CP，垂足为 E，如解图②所示． ∵QC＝QP，QE⊥CP， ∴CE＝PE＝1 2 PC＝t 2 . ∵∠QEC＝∠ACB＝90°，∠QCE＝∠ABC， ∴△QCE∽△ABC， ∴CE BC ＝QC AB ， ∴ 4.8－t 2 6 ＝ t 10 ， 解得 t＝24 11 . 综上所述：当 t 为 2.4 s 或44 55 s 或24 11 s 时，△CPQ 为等腰三角形． 目前，我国中小学常用的教学方法从宏观上讲主要有：以语言形式获得间接经验的教学方法，以直观形式获得接经验的教学方法，以实际训 练形式形成技能、技巧的教学方法等。这些教学方法之所以经常被采用，主要是因为它们都有极其重要的使用价值，对提高教学质量具有特定的功 效。但任何教学方法都不是万能的，它需要教者必须切实把握各种常用教学方法的特点、作用，适用范围和条件，以及应注意的问题等，使其在教 学实践中有效的发挥作用。 （一）以语言形式获得间接经验的方法。 这类教学方法是指通过都师和学生口头语言活动及学生独立阅读书面语言为主的教学方法。它主要包括：讲授法、谈话法、讨论法和读书指导法。 1 讲授法 讲授法是教师运用口头语言向学生描绘情境、叙述事实、解释概念、论证原理和阐明规律的一中教学方法。 2 谈话法 谈话法，又称回答法。它是通过师生的交谈来传播和学习知识的一种方法。其特点是教师引导学生运用已有的经验和知识回答教师提出的问题，借 以获得新知识或巩固、检查已学的知识。 3 讨论法 讨论法是在教师指导下，由全班或小组围绕某一种中心问题通过发表各自意见和看法，共同研讨，相互启发，集思广益地进行学习的一种方法。 4 读书指导法 读书指导法是教师 目的、有计划地指导学生通过独立阅读教材和参考资料获得知识的一种教学方法。 （二）以直观形式获得直接经验的方法 这类教学方法是指教师组织学生直接接触实际事物并通过感知觉获得感性认识，领会所学的知识的方法。它主要包括演示法和参观法。 1 演示法 演示法是教师把实物或实物的模象展示给学生观察，或通过示范性的实验，通过现代教学手段，使学生获得知识更新的一种教学方法。它是辅助的 教学方法，经常与讲授、谈话、讨论等方法配合一起使用。 2 参观法 参观法是根据教学目的要求，组织学生到一定的校外场所——自然界、生产现场和其他社会生活场所，使学生通过对实际事物和现象的观察、研究 获得新知识的方法。 （三）以实际训练形式形成技能、技巧的教学方法 这类教学方法是以形成学生的技能、行为习惯、、培养学生解决问题能力为主要任务的一种教学方法。它主要包括练习、实验和实习作业等方法。 1 练习法 练习法是在教师指导下学生巩固知识和培养各种学习技能垢基本方法，也是学生学习过程中的一种主要的实践活动。 2 实验法 实验法是学生在教师 指导下，使用一定的设备和材料，通过控制条伯的操作，引起实验对象的某些变化，并从观察这些变化中获得新知识或验证 知识的一种教学方法，它也是自然科学学科常用的一种方法。 3 实习法（或称实习作业法）