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- 2021-05-10 发布
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北京市西城区 2014 年中考一模数学试题
考
生
须
知
1.本试卷共 6 页,共五道大题,25 道小题,满分 120 分,考试时间 120 分钟。
2.在试卷和答题纸上认真填写学校名称、姓名和准考证号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题纸上,在试卷上作答无效。
4. 在答题纸上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束,请将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回。
一、选择题(本小题共 32 分,每小题 4 分)
下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的。
1. 2 的绝对值是( )
A. 2 B. 2 C. 1
2
D. 1
2
2. 2014 年 3 月 5 日,李克强总理在政府工作报告中指出:2013 年全国城镇新增就业人数
约 13 100 000 人,创历史新高,将数字 13 100 000 用科学计数法表示为( )
A. 613.1 10 B. 71.31 10 C. 81.31 10 D. 80.131 10
3. 由 5 个相同的正方体组成的几何体如图所示,则它的主视图是( )
4. 从 1 到 9 这九个自然数中任取一个,是奇数的概率是( )
A. 2
9
B. 4
9
C. 5
9
D. 2
3
5. 右图表示一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果输水管的半径为5cm,
水面宽 AB 为8cm ,则水的最大深度 CD 为( )
A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1cm
6. 为了解某小区家庭使用垃圾袋的情况,小亮随 机调查了该小区 10 户家庭一周垃圾袋的
使用量,结果如
下:7,9,11,8,7,14,10,8,9,7(单位:个),关于这组数据下列结论正确的是( )
A.极差是 6 B.众数是 7 C.中位数是 8 D.平均数是 10
7. 已知关于 x 的一元二次方程 2 2 1 0mx x 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围
A. B. C. D.
主视方向
O
BA C
D
第 5 题图
是( )
A. 1m B. 1m C. 1m 且 0m D. 1m 且 0m
8. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以点 (2 3)A , 为顶点任作一直角 PAQ ,使其两边
分别与 x 轴、 y 轴
的正半轴交于点 P 、Q ,连接 PQ ,过点 A作 AH PQ 于点 H ,设点 P 的横坐标为 x ,AH
的长为 y ,
则下列图象中,能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是( )
二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分)
9. 分解因式: 22 4 2a a 。
10. 写出一个只含字母 x 的分式,满足 x 的取值范围是 2x ,所写的分式是: 。
11. 如图,菱形 ABCD 中, 60DAB , DF AB 于点 E ,且 DF DC ,连接 FC ,
则 ACF 的度
数为 度。
12. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 (1 0)A , , (2 0)B , ,
正六边形 ABCDEF 沿 x 轴正方向无滑动滚动,当点 D 第一次落
在 x 轴上时,点 D 的坐标为: ;在运动过程中,点 A
的纵坐标的最大值是 ;保持上述运动过程,经过 (2014 3),
的正六边形的顶点是 。
A.
O x
y
2
3
6.5
B.
O x
y
2
3
6.5
C.
O x
y
2
3
6.5
D.
O x
y
2
3
6.5
A
B
C
D
E
O
F
第 11 题图
第 8 题图
P
H
1
2
3
y
xO
A
Q
1 2
三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)
13. 计算: 0 11( 2 1) 27 2cos30 ( )2
14. 如图,点 C 、 F 在 BE 上, BF CE , AB DE , B E 。
求证: .ACE DFE
15. 解不等式组
3( 1) 7
2 1 13
x x
x x
.
16. 已知 2 3 1x x ,求代数式 2( 1)(3 1) ( 2) 4x x x 的值。
1
2
3
y
xO 1 2 3 4
A B
C
DE
F 1
2
3
y
xO 1 2 3 4
A
B C
D
EF
A
B C
D
EF
17. 列方程(组)解应用题:
某校甲、乙给贫困地区捐款购买图书,每班捐款总数均为 1200 元,已知甲班比乙班多
8 人,乙班人均
捐款是甲班人均捐款的1.2 倍,求:甲、乙两班各有多少名学生。
18. 平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y x n 和反比例函数 6y x
的图象都经过点
(3 )A m, 。
(1)求 m 的值和一次函数的表达式;
(2)点 B 在双曲线 6y x
上,且位于直线 y x n 的下方,若点 B 的横、纵坐标都是整
数,直接写出点 B
的坐标。
四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分)
19. 如图,在 ABC 中, AB AC , AD 平分 BAC , / /CE AD 且 CE AD .
(1)求证:四边形 ADCE 是矩形;
O
x
y
6y x
-1
-2
1
2
1 2
(2)若 ABC 是边长为 4 的等边三角形,AC ,DE 相交于点O ,在CE 上截取CF CO ,
连接 OF ,求
线段 FC 的长及四边形 AOFE 的面积。
20. 以下是根据北京市统计局公布的 2010—2013 年北京市城镇居民人均可支配收入和农
民人均现金收入的数据绘制的统计图的一部分:
根据以上信息,解答下列问题:
(1)2012 年农民人均现金收入比 2011 年城镇居民人均可支配收入的一半少 0.05 万元,则
2012 年农民人
均现金收入是 万元,请根据以上信息补全条形统计图,并标明相应的数据(结果
精确到 0.1);
A
B
C
D
EF
O
0
1
2
3
4
5
收入∕万元
年份
1.3
2.9
2010
1.5
3.3
2011 2012 2013
4
1.8
农民
城镇居民
北京市 2010—2013 年城镇
居民人均可支配收入和农
民人均现金收入统计图
0
5
10
15
2010 2011 2012 2013 年份
增长率(%)
8.7
13.8
9.1
11.1
北京市 2010—2013 年城镇居民人均
可支配收入的年增长率统计图
(2)在 2010—2013 年这四年中,北京市城镇居民人均可支配收入和农民人均现金收入相差
数额最大的年
份是 年;
(3)①2011—2013 年城镇居民人均可支配收入的年平均增长率最接近 ;
A.14% B.11% C.10% D.9%
②若 2014 年城镇居民人均可支配收入按①中的年平均增长率增长,请预测 2014 年的
城镇居民人均可
支配收入为 万元(结果精确到 0.1)。
21. 如图,在 ABC 中, AB AC ,以 AB 为直径作⊙ O ,交 BC 于点 D ,连接 OD ,
过点 D 作⊙O 的
切线,交 AB 延长线于点 E ,交 AC 于点 F 。
(1)求证: / /OD AC ;
(2)当 10AB , 5cos 5ABC 时,求 AF 及 BE 的长。
22. 阅读下列材料:
问题:在平面直角坐标系 xOy 中,一张矩形纸片OBCD 按图 1 所示放置。已知 10OB ,
6BC ,
将这张纸片折叠,使点 O 落在边 CD 上,记作点 A ,折痕与边 OD (含端点)交于点 E ,
与边OB (含端
点)或其延长线交于点 F ,求点 A的坐标。
小明在解决这个问题时发现:要求点 A的坐标,只要求出线段 AD 的长即可,连接OA,
设折痕 EF 所
O
A
B CD
E
F
在直线对应的函数表达式为: y kx n ( 0 0)k n , ,于是有 (0 )E n, , ( 0)nF k
, ,
所以在 Rt EOF
中,得到 tan OFE k ,在 Rt AOD 中,利用等角的三角函数值相等,就可以求出线段 DA
的长(如图
1)
请回答:
(1)如图 1,若点 E 的坐标为 (0 4), ,直接写出点 A的坐标;
(2)在图 2 中,已知点 O 落在边CD 上的点 A处,请画出折痕所在的直线 EF (要求:尺
规作图,保留作图痕迹,不写做法);
参考小明的做法,解决以下问题:
(3)将矩形沿直线 1
2y x n 折叠,求点 A的坐标;
(4)将矩形沿直线 y kx n 折叠,点 F 在边OB 上(含端点),直接写出 k 的取值范围。
五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分)
x
y
O
B
CD A
E
F
图 22-1
y
图 22-2
xO
CD
B
y
图 22-2
xO
CD
B
A
23. 抛物线 2 3y x kx 与 x 轴交于点 A , B ,与 y 轴交于点 C ,其中点 B 的坐标为
(1 0)k , .
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)将(1)中的抛物线沿对称轴向上平移,使其顶点 M 落在线段 BC 上,记该抛物线为G ,
求抛物线 G
所对应的函数表达式;
(3)将线段 BC 平移得到线段 B C ( B 的对应点为 B ,C 的对应点为C),使其经过(2)
中所得抛物线
G 的顶点 M ,且与抛物线 G 另有一个交点 N ,求点 B 到直线 OC 的距离 h 的取值范围。
O x
y
24. 四边形 ABCD 是正方形, BEF 是等腰直角三角形, 90BEF , BE EF ,连
接 DF , G 为
DF 的中点,连接 EG , CG , EC 。
(1)如图 24-1,若点 E 在CB 边的延长线上,直接写出 EG 与GC 的位置关系及 EC
GC
的值;
(2)将图 24-1 中的 BEF 绕点 B 顺时针旋转至图 24-2 所示位置,请问(1)中所得的结
论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;
(3)将图 2 4-1 中的 BEF 绕点 B 顺时针旋转 ( 0 90 ),若 1BE , 2AB ,
当 E , F , D 三
点共线时,求 DF 的长及 tan ABF 的值。
A
C
D
G
E
F
B
图 24-1 图 24-2
A
C
D
G
E
F
B
A
B C
D
备用图
25. 定义 1:在 ABC 中,若顶点 A, B ,C 按逆时针方向排列,则规定它的面积为“有
向面积”;若顶点
A, B ,C 按顺时针方向排列,则规定它的面积的相反数为 ABC 的“有向面积”。“有
向面积”用 S 表示,
例如图 1 中, ABC ABCS S ,图 2 中, ABC ABCS S 。
定义 2:在平面内任取一个 ABC 和点 P (点 P 不在 ABC 的三边所在直线上),称
有 序 数 组 ( PBCS , PCAS , PABS ) 为 点 P 关 于 ABC 的 “ 面 积 坐 标 ” , 记 作
( )PBC PCA PABP S S S , , , 例 如 图 3 中 , 菱 形 ABCD 的 边 长 为 2 , =60ABC , 则
3ABCS , 点 D 关 于 ABC 的 “ 面 积 坐 标 ” ( )DBC DCA DABD S S S , , 为
( 3 3 3)D , , 。
在图 3 中,我们知道 ABC DBC DAB DCAS S S S ,利用“有向面积”,我们也可以把上式
表示为:
ABC DBC DAB DCAS S S S 。
应用新知:
(1)如图 4,正方形 ABCD 的边长为 1,则 ABCS ,点 D 关于 ABC 的“面积
坐标”是 ;
A
B C
图 1
A
BC
图 2 图 3
A
B C
D
B C
DA
探究发现:
(2)在平面直角坐标系 xOy 中,点 (0 2)A , , ( 1 0)B , .
①若点 P 是第二象限内任意一点(不在直线 AB 上),设点 P 关于 ABO 的“面积坐标”为
( )P m n k, , ,
试探究 m n k 与 ABOS 之间有怎样的数量关系,并说明理由;
②若点 ( )P x y, 是第四象限内任意一点,请直接写出点 P 关于 ABO 的“面积坐标”(用
x y, 表示);
解决问题:
(3)在(2)的条件下,点 (1 0)C , , (0 1)D , ,点 Q 在抛物线 2 2 4y x x 上,求当
QAB QCDS S 的值最小时,点 Q 的横坐标。