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- 2021-05-10 发布
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一、选择题
1.(2010福建福州)已知二次函数y=Ax2+Bx+C的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.a>0 B.c<0 C.b2-4ac<0 D.a+b+c>0
(第10题)
【答案】D
2.(2010 河北)如图5,已知抛物线的对称轴为,点A,
B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为
(0,3),则点B的坐标为
O
x
y
A
图5
x = 2
B
A.(2,3) B.(3,2)
C.(3,3) D.(4,3)
【答案】D
3.(2010 山东莱芜)二次函数的图象如图所示,则一次函数的
图象不经过
x
(第9题图)
y
O
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
4.(2010年贵州毕节)函数在同一直角坐标系内的图象大致是( )
【答案】C.
5.(2010年贵州毕节)把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为y=x-3x+5,则( )
A.b=3,c=7 B.b=6,c=3 C.b=9,c=5 D.b=9,c=21
【答案】A.
6.(2010湖北荆门)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论错误的是
A.ab<0 B.ac<0 C.当x<2时,函数值随x的增大而增大;当x>2时,函数值随x的增大而减小 D.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根。
【答案】B
7.(2010 四川成都)把抛物线向右平移1个单位,所得抛物线的函数表达式为( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
8.(2010山东潍坊)已知函数y1=x2与函数y2=-x+3的图象大致如图,若y1<y2,则自变量x的取值范围是( ).
A.-<x<2 B.x>2或x<-
C.-2<x< D. x<-2或x>
【答案】C
9.(2010湖北荆州)若把函数y=x的图象用E(x,x)记,函数y=2x+1的图象用E(x,2x+1)记,……则E(x,)可以由E(x,)怎样平移得到?
A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位
C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位
【答案】D
10.(2010湖北鄂州)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论①a、b异号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0,④当y=4时,x的取值只能为0.结论正确的个数有( ) 个
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
11.(2010湖北省咸宁)已知抛物线(<0)过A(,0)、O(0,0)、
B(,)、C(3,)四点,则与的大小关系是
A.> B. C.< D.不能确定
【答案】A
12.(2010北京) 将二次函数y=x2-2x+3,化为y=(x-h)2+k的形式,结果为( )
A.y=(x+1)2+4 B.y=(x-1)2+4
C.y=(x+1)2+2 D. y=(x-1)2+2
【答案】D
13.(2010山东泰安)下列函数:①;②;③;④,其中的值随值增大而增大的函数有( )
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
【答案】B
14.(2010四川乐山).设a、b是常数,且b>0,抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下图中四个图象之一,则a的值为( )
y
x
O
y
x
O
y
x
O
1
-1
y
x
O
1
-1
A. 6或-1 B. -6或1 C. 6 D. -1
【答案】D
15.(2010黑龙江哈尔滨)在抛物线上的一个点是( )
(A)(4,4) (B)(1,-4) (C)(2,0) (D).(0,4)
【答案】C
16.(2010江苏徐州)平面直角坐标系中,若平移二次函数y=(x-2009)(x-2010)+4的图象,使其与x轴交于两点,且此两点的距离为1个单位,则平移方式为
A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位
C.向左平移4个单位 D.向右平移4个单位
【答案】B
17.(2010陕西西安)已知抛物线,将抛物线C平移得到抛物线若两条抛物线C、 关于直线对称,则下列平移方法中,正确的是
A.将抛物线C向右平移个单位 B.将抛物线C向右平移3个单位
C.将抛物线C向右平移5个单位 D.将抛物线C向右平移6个单位
【答案】C
18.(2010 福建三明)抛物线的图象和x轴有交点,则k的取值范围是 ( )
A. B.且C. D.且
【答案】B
19.(2010 山东东营) 二次函数的图象如图所示,则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为( )
1
O
x
y
(第12题图)
y
x
O
(B)
y
x
O
(A)
y
x
O
(C)
y
x
O
(D)
【答案】B
20.(2010安徽蚌埠)已知函数,并且是方程的两个根,则
实数的大小关系可能是
A. B. C. D.
【答案】D
21.(2010安徽省中中考) 若二次函数配方后为则、的值分别为
………………( )
A)0.5 B)0.1 C)—4.5 D)—4.1
【答案】C
22.(2010甘肃兰州) 二次函数的图像的顶点坐标是
A.(-1,8) B.(1,8) C.(-1,2) D.(1,-4)
【答案】A
23.(2010甘肃兰州) 抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为,则b、c的值为
A . b=2, c=2 B. b=2,c=0
C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2
【答案】B
24.(2010甘肃兰州) 抛物线图像如图所示,则一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的图像大致为
x
x
x
x
x
第15题图
【答案】D
25.(2010江苏盐城)给出下列四个函数:①;②;③;④.时,y随x的增大而减小的函数有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
26.(2010山东烟台)如图,AB为半圆的直径,点P为AB上一动点,动点P从点A出发,沿AB匀速运动到点B,运动时间为t,分别以AP于PB为直径做半圆,则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图像大致为
【答案】D
27.(2010台湾)坐标平面上有一函数y=24x2-48的图形,其顶点坐标为何?
(A) (0,-2) (B) (1,-24) (C) (0,-48) (D) (2,48) 。
【答案】C
28.(2010台湾) 坐标平面上,若移动二次函数y=2(x-175)(x-176)+6的图形,使其与x轴交于两点,且此两点的距离为1单位,则移动方式可为下列哪一种?
(A) 向上移动3单位 (B) 向下移动3单位 (C) 向上移勤6单位 (D) 向下移动6单位 。
【答案】D
29.(2010浙江杭州)定义[]为函数的特征数, 下面给出特征数为 [2m,1 – m , –1– m]
的函数的一些结论:
① 当m = – 3时,函数图象的顶点坐标是(,);
② 当m > 0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于;
③ 当m < 0时,函数在x >时,y随x的增大而减小;
④ 当m ¹ 0时,函数图象经过同一个点.
其中正确的结论有
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④
【答案】B
30.(2010 嵊州市)已知二次函数的图象如图所示,记,则与的大小关系为 ( )
A. B. C. D.、大小关系不能确定
【答案】C
31.(2010 浙江台州市)如图,点A,B的坐标分别为(1, 4)和(4, 4),抛物线的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为,则点D的横坐标最大值为(▲)
y
x
O
(第10题)
A.-3 B.1 C.5 D.8
【答案】D
32.(2010浙江金华) 已知抛物线的开口向下,顶点坐标为(2,-3) ,
那么该抛物线有( ▲ )
A. 最小值 -3 B. 最大值-3 C. 最小值2 D. 最大值2
【答案】B
33.(2010 山东济南)在平面直角坐标系中,抛物线与轴的交点的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】B
34.(2010 浙江衢州)下列四个函数图象中,当x>0时,y随x的增大而增大的是( )
O
y
x
1
1
A.
O
y
x
1
1
C.
O
y
x
1
1
D.
O
y
x
1
1
B.
【答案】C
35.(2010 浙江衢州) 如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,
设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的
函数关系式是( )
(第10题)
A
B
C
D
A. B.
C. D.
36.(2010 天津)已知二次函数()的图象如图所示,有下列结论:
①;
②;
③;
④.
其中,正确结论的个数是
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
第(10)题
y
x
O
【答案】D
37.(2010 内蒙古包头)已知二次函数的图象与轴交于点、,且,与轴的正半轴的交点在的下方.下列结论:①;②;③;④.其中正确结论的个数是 个.
【答案】4
38.(2010广西桂林)将抛物线绕它的顶点旋转180°,所得抛物线的解析式是( ).
A. B. EMBED Equation.DSMT4
C. D.
【答案】D
39.(2010 四川自贡)y=x2+(1-a)x+1是关于x的二次函数,当x的取值范围是1≤x≤3时,y在x=1时取得最大值,则实数a的取值范围是( )。
A.a=5 B.a≥5 C.a=3 D.a≥3
【答案】B
40.(2010宁夏回族自治区)把抛物线向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的表达式 ( )
A. B. C. EMBED Equation.DSMT4 D..
【答案】B
41.(2010 湖北咸宁)已知抛物线(<0)过A(,0)、O(0,0)、
B(, EMBED Equation.3 )、C(3,)四点,则与的大小关系是
A.> B. C.< D.不能确定
【答案】A
42.(2010 广西钦州市)已知二次函数(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:
① ac >0; ② a–b +c <0; ③当x <0时,y <0;
④方程(a≠0)有两个大于-1的实数根.
•
•
其中错误的结论有
(A)② ③ (B)② ④ (C)① ③ (D)① ④
第18题
x =1
【答案】C
43.(2010青海西宁)下列哪一个函数,其图象与轴有两个交点
A. B.
C. D.
【答案】D
44.(2010鄂尔多斯)已知二次函数中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示,点A(x1,y1) ,B(x2,y2)在函数的图象上,当00
C.b= -4a D.关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=5
图7
-1
y
x
5
x=2
2
O
【答案】B
46.(2010云南昭通)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3所示,则下列结论正确的是( )
A.a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0; B.a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0;
C.a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0; D.a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0;
图3
y
x
O
【答案】D
47.(2010贵州遵义)如图,两条抛物线y1=-χ2+1、y2=χ2-1 与分别经过点(-2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为
A.8 B.6 C.10 D.4
【答案】A
48.(2010广西柳州)抛物线y=-x2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知,下列说法正确的个数是
①抛物线与x轴的一个交点为(-2,0) ②抛物线与y轴的交点为(0,6)
③抛物线的对称轴是:x=1 ④在对称轴左侧y随x的增大而增大
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
49.(2010湖北宜昌)抛物线的顶点坐标是( )。
A. (0,-1) B. (-1,1) C. (-1,0) D.(1,0)
【答案】C
50.(2010广西百色)二次函数的图象如图所示,下列几个结论:
①对称轴为; ②当≤0时,<0或>4;③函数解析式为;
④当≤0时,随的增大而增大. 其中正确的结论有( )
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③
第13题
【答案】C
51.(2010四川攀枝花)如图3,二次函数y=ax-bx+2的大致图像如图所示,
则函数y=-ax+b的图像不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2
O
图3
X
Y
图13(备用图)
C
O
X
Y
【答案】A
52.(2010 福建莆田)某同学利用描点法画二次函数(的图象时,列出的部分数据如下表:
0
1
2
3
4
3
0
-2
0
3
经检查,发现表格中恰好有一组数据计算错误,请你根据上述信息写出该二次函数的解
析式:
【答案】
【答案】C
53.(2010江苏泰州)下列函数中,y随x增大而增大的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
二、填空题
1.(2010 湖南株洲)已知二次函数(为常数),当取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.下图分别是当,,,时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式是 .
【答案】
2.(2010湖南郴州)将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位,则此时抛物线的解析式是_____________.
【答案】 y=x2 -1
3.(2010江苏扬州)y=2x2-bx+3的对称轴是直线x=1,则b的值为__________.
【答案】4
4.(2010山东泰安)将y=2x2-12x-12变为y=a(x-m)2+n的形式,则m·n= .
【答案】-90
5.(2010湖北襄樊)将抛物线向上平移2个单位,再向右平移1个单位后,得到的抛物线的解析式为____________.
.【答案】或
6.(2010江苏 镇江)已知实数的最大值为 .
【答案】4
7.(2010 湖南株洲)二次函数的图象与轴的交点如图所示,根据图中信息可得到的值是 .
·
【答案】4
8.(2010安徽蚌埠)已知抛物线经过点A(4,0)。设点C(1,-3),请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得的值最大,则D点的坐标为_______。
【答案】﹝2,-6﹞
9.(2010江苏盐城)写出图象经过点(1,-1)的一个函数关系式 ▲ .
【答案】y=-x或y=-或y=x2-2x,答案不唯一
10.(2010山东日照)如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集是 .
【答案】-1<x<3
11.(2010浙江宁波) 如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线上运动,当⊙P与轴相切时,圆心P的坐标为 ▲ .
12.(2010 四川泸州)在平面直角坐标系中,将二次函数y=(x-2)2+2的图像向左平移2个单位,所得图像对应的解析式为 .
【答案】y=x2+2
13.(2010 云南玉溪)如图7是二次函数在平面直
角坐标系中的图象,根据图形判断 ① >0;
② ++<0; ③ 2-<0;
④ 2+8>4中正确的是(填写序号) .
图7
【答案】② 、④
14.(2010 天津)已知二次函数()中自变量和函数值的部分对应值如下表:
…
0
1
…
…
0
…
则该二次函数的解析式为 .
【答案】
15.(2010青海西宁)将抛物线先向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 .
【答案】
16.(2010吉林长春)如图,抛物线交x轴于点G、F,交y轴于点D,在x轴上方的抛物线上有两点B、E,它们关于y轴对称,点G、B在y轴左侧。BA⊥OG于点A,BC⊥OD于点C。四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10,则△ABG与△BCD的面积之和为 。
【答案】4
17.(2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团)抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,若y>0,则x的取值范围是_______。
【答案】.-3<x<1
18.(2010辽宁本溪)如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点和点(-2,0),则2a-3b 0.(>、<或=)
O
x
y
-2
【答案】>
19.(2010黑龙江绥化)抛物线与x轴的一个交点的坐标为(l,0), 则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 .
【答案】(3,0)
20.(2010湖南娄底)二次函数y=(x-1)2-2的图像的对称轴是直线_____________.
【答案】x=1
【答案】或(对一个得2分)
21.(2010 浙江义乌)(1)将抛物线y1=2x2向右平移2个单位,得到抛物线y2的图象,则y2= ▲ ;
(2)如图,P是抛物线y2对称轴上的一个动点,直线x=t平行于y轴,分别与直线y=x、抛物线y2交于点A、B.若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则t= ▲ .
P
y
x
·
【答案】(1)2(x-2)2 或 (2)3、1、、
22.(2010浙江金华)若二次函数的部分图象如图所示,则关于x
的一元二次方程的一个解,另一个解 ▲ ;
y
(第15题图)
O
x
1
3
【答案】-1
三、解答题
1.(2010江苏泰州)如图,二次函数的图象经过点D,与x轴交于A、B两点.
⑴求的值;
⑵如图①,设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点,直线AC将四边形ABCD的面积二等分,试证明线段BD被直线AC平分,并求此时直线AC的函数解析式;
⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点,试猜想:是否存在这样的点P、Q,使△AQP≌△ABP?如果存在,请举例验证你的猜想;如果不存在,请说明理由.(图②供选用)
【答案】⑴ ∵抛物线经过点D()
∴
∴c=6.
⑵过点D、B点分别作AC的垂线,垂足分别为E、F,设AC与BD交点为M,
∵AC 将四边形ABCD的面积二等分,即:S△ABC=S△ADC ∴DE=BF
又∵∠DME=∠BMF, ∠DEM=∠BFE
∴△DEM≌△BFM
∴DM=BM 即AC平分BD
∵c=6. ∵抛物线为
∴A()、B()
∵M是BD的中点 ∴M()
设AC的解析式为y=kx+b,经过A、M点
解得
直线AC的解析式为.
⑶存在.设抛物线顶点为N(0,6),在Rt△AQN中,易得AN=,于是以A点为圆心,AB=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q,连接AQ,再作∠QAB平分线AP交抛物线于P,连接BP、PQ,此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP.
2.(2010福建福州)如图,在△ABC中,∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F两点分别在AB、AC上,AD交EF于点H.
(1)求证:=;
(2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值;
(3)当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式.
(第21题)
【答案】解:(1)∵ 四边形EFPQ是矩形,∴ EF∥QP.
∴ △AEF∽△ABC.
又∵ AD⊥BC, ∴ AH⊥EF.
∴ =
(2)由(1)得=. AH=x.
∴ EQ=HD=AD-AH=8-x,
∴ S矩形EFPQ=EF·EQ=x (8-x) =-x2+8 x=-(x-5)2+20.
∵ -<0, ∴ 当x=5时,S矩形EFPQ有最大值,最大值为20.
(3)如图1,由(2)得EF=5,EQ=4.
第21题图1
∴ ∠C=45°, ∴ △FPC是等腰直角三角形.
∴ PC=FP=EQ=4,QC=QP+PC=9.
分三种情况讨论:
① 如图2.当0≤t<4时,
设EF、PF分别交AC于点M、N,则△MFN是等腰直角三角形.∴ FN=MF=t.
∴S=S矩形EFPQ-SRt△MFN=20-t2=-t2+20;
②如图3,当4≤t<5时,则ME=5-t,QC=9-t.
∴ S=S梯形EMCQ=[(5-t)+(9-t )]×4=-4t+28;
③如图4,当5≤t≤9时,设EQ交AC于点K,则KQ=QC=9-t.
∴ S=S△KQC= (9-t)2=( t-9)2.
第21题图2 第21题图3 第21题图4
综上所述:S与t的函数关系式为:
S=
3.(2010福建福州)如图1,在平面直角坐标系中,点B在直线y=2x上,过点B作x轴的垂线,垂足为A,OA=5.若抛物线y=x2+bx+c过O、A两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若A点关于直线y=2x的对称点为C,判断点C是否在该抛物线上,并说明理由;
(第22题图1) (第22题图2)
(3)如图2,在(2)的条件下,⊙O1是以BC为直径的圆.过原点O作⊙O1的切线OP,P为切点(点P与点C不重合).抛物线上是否存在点Q,使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在,求出点Q的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)把O(0,0)、A(5,0)分别代入y=x2+bx+c,
得解得
∴ 该抛物线的解析式为y=x2-x.
(2)点C在该抛物线上.
理由:过点C作CD⊥x轴于点D,连结OC,设AC交OB于点E.
∵ 点B在直线y=2x上, ∴ B(5,10)
∵ 点A、C关于直线y=2x对称,
∴ OB⊥AC,CE=AE,BC⊥OC,OC=OA=5,BC=BA=10.
又∵ AB⊥x轴,由勾股定理得OB=5.
∵ SRt△OAB=AE·OB=OA·AB,
∴ AE=2, ∴ AC=4.
∵ ∠OBA十∠CAB=90°,∠CAD+∠CAB=90°, ∴ ∠CAD=∠OBA.
又∵ ∠CDA=∠OAB=90°, ∴ △CDA∽△OAB.
∴ == ∴ CD=4,AD=8 ∴ C(-3,4)
当x=-3时,y=×9-×(-3)=4.
∴ 点C在抛物线y=x2-x上.
(3)抛物线上存在点Q,使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切.
过点P作PF⊥x轴于点F,连结O1P,过点O1作O1H⊥x轴于点H.
∴ CD∥O1H∥BA. ∵ C(-3,4),B(5,10),
∴ O1是BC的中点. ∴ 由平行线分线段成比例定理得AH=DH=AD=4,
∴ OH=OA-AH=1.同理可得O1H=7. ∴ 点O1的坐标为(1,7).
∵ BC⊥OC, ∴ OC为⊙O1的切线.
又∵OP为⊙O1的切线, ∴ OC=OP=O1C=O1P=5.
∴ 四边形OPO1C为正方形. ∴ ∠COP=900. ∴ ∠POF=∠OCD.
第22题图
又∵∠PFD=∠ODC=90°, ∴ △POF≌△OCD.
∴ OF=CD,PF=OD. ∴ P(4,3).
设直线O1P的解析式为y=kx+B(k≠0).
把O1(1,7)、P(4,3)分别代人y=kx+B,
得 解得
∴ 直线O1P的解析式为y=-x+.
若以PQ为直径的圆与⊙O1相切,则点Q为直线O1P与抛物线的交点,可设点Q的坐标为(m,n),则有n=-m+,n=m2-M
∴ -m+=m2-M.整理得m2+3m-50=0,
解得m=
∴ 点Q的横坐标为或.
4.(2010江苏无锡)如图,矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(-4,0)和(2,0),BC=.设直线AC与直线x=4交于点E.
(1)求以直线x=4为对称轴,且过C与原点O的抛物线的函数关系式,并说明此抛物线一定过点E;
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为N,M是该抛物线上位于C、N之间的一动点,求△CMN面积的最大值.
【答案】解:(1)点C的坐标.设抛物线的函数关系式为,
则,解得
∴所求抛物线的函数关系式为…………①
设直线AC的函数关系式为则,解得.
∴直线AC的函数关系式为,∴点E的坐标为
把x=4代入①式,得,∴此抛物线过E点.
(2)(1)中抛物线与x轴的另一个交点为N(8,0),设M(x,y),过M作MG⊥x轴于G,则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN=
=
=
∴当x=5时,S△CMN有最大值
5.(2010湖南邵阳)如图(十四),抛物线y=与x轴交于点A、B,与y轴相交于点C,顶点为点D,对称轴l与直线BC相交于点E,与x轴交于点F。
(1)求直线BC的解析式;
(2)设点P为该抛物线上的一个动点,以点P为圆心,r为半径作⊙P。
①当点P运动到点D时,若⊙P与直线BC相交 ,求r的取值范围;
②若r=,是否存在点P使⊙P与直线BC相切,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
提示:抛物线y=的顶点坐标,对称轴x=.
图(十四)
【答案】解(1)令y=0,求得A点坐标为(-2,0),B点坐标为(6,0);
令x=0,求得C点的坐标为(0,3)
设BC直线为y=kx+b,把B、C点的坐标代入得: 解得k=,b=3
故BC的解析式为:y=x+3
(2)①过点D(2,4)作DG⊥BC于点G,因为抛物线的对称轴是直线x=2,所以点E的坐标为(2,2),所以有EF=2,FB=4,EB=2,DE=2,从图中可知,,所以有: 解得DG= 故当r>,点P运动到点D时,⊙P与直线BC相交
②由①知,直线BC上方的点D符合要求。设过点D并与直线BC平行的直线为y=x+n,把点D的坐标代入,求得n=5,所以联立: 解得两点(2,4)为D点,(4,3)也符合条件。
设在直线BC下方到直线BC的距离为的直线m与x轴交于点M,过点M作MN⊥BC于点N,所以MN=,又tan∠NBM= 所以NB=,BM=4,所以点M与点F重合。设直线m为y=x+b 把点F的坐标,代入得:0=×2+b 得b=1,所以直线m的解析式为:y=x+1
联立方程组: 解得:x=
所以适合要求的点还有两点即(3-,)与(3+,)
故当r=,存在点P使⊙P与直线BC相切,符合条件的点P有四个,即是D
(2,4),(4,3)和(3-,),(3+,)的坐标.
6.(2010年上海)如图8,已知平面直角坐标系xOy,抛物线y=-x2+bx+c过点A(4,0)、B(1,3) .
(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)记该抛物线的对称轴为直线l,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P关于直线l的对称点为E,点E关于y轴的对称点为F,若四边形OAPF的面积为20,求m、n的值.
图8
【答案】解:(1) 抛物线y=-x2+bx+c过点 A(4,0)B(1,3).∴
∴,,对称轴为直线,顶点坐标为
(2)∵直线EP∥OA,E与P两点关于直线对称,∴OE=AP,∴梯形OEPA为等腰梯形,
∴∠OEP=∠APE,∵OE=OF, ∴∠OEP=∠AFE,∴∠OFP=∠APE,∴OF∥AP,
∴四边形OAPF为平行四边形,∵四边形OAPF的面积为20,∴,
∴,∴.
7.(2010重庆綦江县)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M使,△MPQ
为等腰三角形?若存在,请求出所有点M的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)方法一:∵抛物线过点C(0,-6)
∴c=-6,即y=ax2 +bx-6
由解得:,
∴该抛物线的解析式为
方法二:∵A、B关于x=2对称
∴A(-8,0) 设
C在抛物线上,∴-6=a×8×,即a=
∴该抛物线解析式为:
(2)存在,设直线CD垂直平分PQ,
在Rt△AOC中,AC==10=AD
∴点D在抛物线的对称轴上,连结DQ,如图:
显然∠PDC=∠QDC,
由已知∠PDC=∠ACD
∴∠QDC=∠ACD,∴DQ∥AC
DB=AB-AD=20-10=10
∴DQ为△ABC的中位线
∴DQ=AC=5
AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5
∴t=5÷1=5(秒)
∴存在t=5(秒)时,线段PQ被直线CD垂直平分
在Rt△BOC中,BC==
∴CQ=
∴点Q的运动速度为每秒单位长度.
(3)存在.如图,
过点Q作QH⊥x轴于H,则QH=3,PH=9
在Rt△PQH中,PQ==
①当MP=MQ,即M为顶点,
设直线CD的直线方程为y=kx+b(k≠0),则:
,解得:
∴y=3x-6
当x=1时,y=-3
∴M1(1,-3)
②当PQ为等腰△MPQ的腰时,且P为顶点,
设直线x=1上存在点M(1,y),由勾股定理得:
42+y2=90,即y=±
∴M2(1,);M3(1,-)
③当PQ为等腰△MPQ的腰时,且Q为顶点.
过点Q作QE⊥y轴于E,交直线x=1于F,则F(1,-3)
设直线x=1存在点M(1,y)由勾股定理得:
,即y=-3±
∴M4(1,-3+);M5(1,-3-)
综上所述,存在这样的五个点:M1(1,-3);M2(1,);M3(1,-);M4(1,-3+);M5(1,-3-)
8.(2010山东临沂)如图,二次函数的图象与轴交于,两点,且与轴交于点.
(1)求该抛物线的解析式,并判断的形状;
(2)在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形,请直接写出点的坐标;
(3)在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
第26题图
【答案】解:根据题意,将A(,0),B(2,0)代入y=-x2+ax+b中,
得
解这个方程,得 全品中考网
所以抛物线的解析式为y=-x2+x+1.
当x=0时,y=1.所以点C的坐标为(0,1)。
所以在△AOC中,AC==.
在△BOC中,BC==.
AB=OA+OB=.
因为AC2+BC2=.
所以△ABC是直角三角形。
图1
(2)点D的坐标是.
(3)存在。
由(1)知,AC⊥BC,
① 若以BC为底边,则BC∥AP,如图(1)所示,可求得直线BC的解析式为
.
直线AP可以看作是由直线AC平移得到的,所以设直线AP的解析式为,
将A(,0)代入直线AP的解析式求得b=,所以直线AP的解析式为.
因为点P既在抛物线上,又在直线AP上,所以点P的纵坐标相等,即-x2+x+1=.
解得(不合题意,舍去).
图2
当x=时,y=.
所以点P的坐标为(,).
②若以AC为底边,则BP∥AC,如图(2)所示,可求得直线AC的解析式为
.
直线BP可以看作是由直线AC平移得到的,所以设直线BP的解析式为,
将B(2,0)代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.
因为点P既在抛物线上,又在直线BP上,所以点P的纵坐标相等,即-x2+x+1=2x-4
解得(不合题意,舍去).
当x=-时,y=-9.
所以点P的坐标为(-,-9).
综上所述,满足题目的点P的坐标为(,)或(-,-9)
.9.(2010四川宜宾)将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点C、A分别在x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B(–3,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,当
△APE的面积最大时,求点P的坐标;
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使△AGC的面积与(2)中△APE的最
大面积相等?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)由题意知:A(0,6),C(6,0),
设经过点A、B、C的抛物线解析式为y=ax2+bx+c
24题图
则:
解得:
∴该抛物线的解析式为
(2)如图:设点P(x,0),
∵PE∥AB,∴△CPE∽△ABC,
∴
又∵S△ABC=BC×OA=27
∴
∴S△CPE==
S△ABP=BP×OA=3x+9
设△APE的面积为S
则S= S△ABC—S△ABP—S△CPE=
当x=时,S最大值为
∴点P的坐标为(,0)
(3)假设存在点G(x,y),使△AGC的面积与(2)中△APE的最大面积相等.
在(2)中,△APE的最大面积为,过点G做GF垂直y轴与点F.
①当y>6时,S△AGC=S梯形GFOC—S△GFA—S△AOC=(x+6)y—x(y-6)—×6×6
=3x+3y-18
即3x+3y-18=,
又∵点G在抛物线上,,
∴3x+3-18=
解得:,当x=时,y=,当x=时,y=.
又∵y>6,∴
点G的坐标为(,)
②当y<6时,如图:
S△AGC=S△GAF+S梯形GFOC—S△AOC=x(6—y)+-18=3x+3y-18
即3x+3y-18=,
又∵点G在抛物线上,,
∴3x+3-18=
解得:,当x=时,y=,当x=时,y=.
又因为y<6,所以点G的坐标为(,).
综和①②所述,点G的坐标为(,)和(,).
(3)解法2:可以向x轴作垂线,构成了如此下图的图形:
则阴影部分的面积等于S△AGC=S△GCF+S梯形AGFO—S△AOC
下面的求解过程略.这样作可以避免了分类讨论.
10.(2010 江苏连云港)(本题满分8分)已知反比例函数y=的图象与二次函数y=ax2+x-1的图象相交于点(2,2)
(1)求a和k的值;
(2)反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点,为什么?
【答案】
11.(2010 黄冈)(15分)已知抛物线顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线作垂线,垂足为M,连FM(如图).
(1)求字母a,b,c的值;
(2)在直线x=1上有一点,求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形;
(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由.
【答案】(1)a=-1,b=2,c=0
(2)过P作直线x=1的垂线,可求P的纵坐标为,横坐标为.此时,MP=MF=PF=1,故△MPF为正三角形.
(3)不存在.因为当t<,x<1时,PM与PN不可能相等,同理,当t>,x>1时,PM与PN不可能相等.
12.(2010 山东省德州) (已知二次函数的图象经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3).
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴;
x
y
O
A
B
C
P
Q
M
N
第23题图
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动,点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动,其中一个动点到达端点时,另一个也随之停止运动.设运动时间为t秒.
①当t为何值时,四边形ABPQ为等腰梯形;
②设PQ与对称轴的交点为M,过M点作
x轴的平行线交AB于点N,设四边形ANPQ
的面积为S,求面积S关于时间t的函数解析式,
并指出t的取值范围;当t为何值时,
S有最大值或最小值.
【答案】x
y
O
A
B
C
P
Q
D
E
G
M
N
F
解:(1)∵二次函数的图象经过点C(0,-3),
∴c =-3.
将点A(3,0),B(2,-3)代入得
解得:a=1,b=-2.
∴.
配方得:,所以对称轴为x=1.
(2) 由题意可知:BP= OQ=0.1t.
∵点B,点C的纵坐标相等,
∴BC∥OA.
过点B,点P作BD⊥OA,PE⊥OA,垂足分别为D,E.
要使四边形ABPQ为等腰梯形,只需PQ=AB.
即QE=AD=1.
又QE=OE-OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t,
∴2-0.2t=1.
解得t=5.
即t=5秒时,四边形ABPQ为等腰梯形.
②设对称轴与BC,x轴的交点分别为F,G.
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线,
∴BF=CF=OG=1.
又∵BP=OQ,
∴PF=QG.
又∵∠PMF=∠QMG,
∴△MFP≌△MGQ.
∴MF=MG.
∴点M为FG的中点
∴S=,
=.
由=.
.
∴S=.
又BC=2,OA=3,
∴点P运动到点C时停止运动,需要20秒.
∴0MN成立的x的取值范围。
【答案】解:(1)∠ABE=∠CBD=30°
在△ABE中,AB=6
BC=BE=
CD=BCtan30°=4
∴OD=OC-CD=2
∴B(,6) D(0,2)
设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b
∴
所以BD所在直线的函数解析式是
(2)∵EF=EA=ABtan30°= ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°
又∵FG⊥OA
∴FG=EFsin60°=3 GE=EFcos60°= OG=OA-AE-GE=
又H为FG中点
∴H(,) …………4分
∵B(,6) 、 D(0,2)、 H(,)在抛物线图象上
∴
∴抛物线的解析式是
(2)∵MP=
MN=6-
H=MP-MN=
由得
该函数简图如图所示:
当00,即HP>MN
15.(2010福建宁德)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,BC=6,AD=3,∠DCB=30°.点E、F同时从B点出发,沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍,以EF为一边在CB的上方作等边△EFG.设E点移动距离为x(x>0).
⑴△EFG的边长是____(用含有x的代数式表示),当x=2时,点G的位置在_______;
⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y,求
①当0<x≤2时,y与x之间的函数关系式;
②当2<x≤6时,y与x之间的函数关系式;
B E→ F→ C
A D
G
⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时,存在最大值,并求出最大值.
【答案】解:⑴ x,D点
⑵ ①当0<x≤2时,△EFG在梯形ABCD内部,所以y=x2;
②分两种情况:
Ⅰ.当2<x<3时,如图1,点E、点F在线段BC上,
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM,
∵∠FNC=∠FCN=30°,∴FN=FC=6-2x.∴GN=3x-6.
由于在Rt△NMG中,∠G=60°,
所以,此时 y=x2-(3x-6)2=.
Ⅱ.当3≤x≤6时,如图2,点E在线段BC上,点F在射线CH上,
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP,
∵EC=6-x,
∴y=(6-x)2=.
⑶当0<x≤2时,∵y=x2在x>0时,y随x增大而增大,
∴x=2时,y最大=;
当2<x<3时,∵y=在x=时,y最大=;
当3≤x≤6时,∵y=在x<6时,y随x增大而减小,
∴x=3时,y最大=.
B E C F
A D
G
P
H
图2
综上所述:当x=时,y最大=.
B E F C
A D
G
N
M
图1
16.(2010江西)如图,已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x与x轴的另一交点为A,现将它向右平移m(m>0)个单位,所得抛物线与x轴交与C、D两点,与原抛物线交与点P.
(1)求点A的坐标,并判断△PCA存在时它的形状(不要求说理)
(2)在x轴上是否存在两条相等的线段,若存在,请一一找出,并写出它们的长度(可用含m的式子表示);若不存在,请说明理由;
(3)△CDP的面积为S,求S关于m的关系式。
x
y
D
A
C
O
P
【答案】解:(1)令-2x2+4x=0得x1=0,x2=2
∴点A的坐标是(2,0),
△PCA是等腰三角形,
(2)存在。
OC=AD=m,OA=CD=2,
(3)当02时,如图2
作PH⊥x轴于H,设,
∵A(2,0),C(m,0),
∴AC=m-2,∴AH=
∴=OH= = ,
把把=代入y=-2x2+4x,得
得, =
∵CD=OA=2,
∴.
17.(2010 武汉 )如图1,抛物线经过点A(-1,0),C(0,)两点,且与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线解析式;
(2)若抛物线的顶点为点M,点P为线段AB上一动点(不与B重合),Q在线段MB上移动,且∠MPQ=45°,设OP=x,MQ=,求于x的函数关系式,并且直接写出自变量的取值范围;
(3)如图2,在同一平面直角坐标系中,若两条直线x=m,x=n分别与抛物线交于E、G两点,与(2)中的函数图像交于F、H两点,问四边形EFHG能否为平行四边形?若能,求出m、n之间的数量关系;若不能,请说明理由.
图 1
图 2
25.【答案】(1);
(2)由顶点M(1,2)知∠PBM=45°,易证△MBP∽△MPQ得
,得,即;
(3)存在,设点E、G是抛物线分别与直线x=m,x=n的交点,则、,同理、,.由四边形EFHG为平行四边形得EG=FH,即,由,因此,四边形EFHG可以为平行四边形,m、n之间的数量关系是m+n=2(0≤m≤2,且m≠1).
18.(2010四川 巴中)如图12已知△ABC中,∠ACB=90°以AB 所在直线为x 轴,过c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系.此时,A 点坐标为(一1 , 0), B 点坐标为(4,0 )
(1)试求点C 的坐标
(2)若抛物线过△ABC的三个顶点,求抛物线的解析式.
(3)点D( 1,m )在抛物线上,过点A 的直线y=-x-1 交(2)中的抛物线于点E,那么在x轴上点B 的左侧是否存在点P,使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE 相似?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由。
D
G
H
【答案】(1)∵∠ACB=90°,CO⊥AB,△ACO∽△CBO,∴,CO=2,
则C(0,2);
(2)抛物线过△ABC的三个顶点,则,∴,抛物线的解析式为;
(3)点D( 1,m )在抛物线上,,∴D(1,3),把直线y=-x-1与抛物线联立成方程组∴,
∴E(5,-6),过点D作DH垂直于x轴,过点E作EG垂直于x轴,DH=BH=3,∴∠DBH=45°,
BD=,AG=EG=6, ∴∠EAG=45°,AE=,
当P在B的右侧时,∠DBP=135°≠∠ABE,两个三角形不相似,所以P点不存在;
当P 在B的左侧时
ⅰ) △DPB∽△EBA时,,,∴P的坐标为(,0),
ⅱ) △DPB∽△BEA时, ,,∴P的坐标为(,0),
所以点P的坐标为(,0)或(,0)。
19.(2010浙江湖州)如图,已知在直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D,将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴于E和F.
(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;
(3)连接EF,设△BEF与△BFC的面积之差为S,问:当CF为何值时
S最小,并求出这个最小值.
.
【答案】由题意得:A(0,2)、B(2,2)、C(3,0),设经过A,B,C
三点的抛物线的解析式为,则,解得:,所以.
(2)由=,所以顶点坐标为G(1,),过G作GH⊥AB,垂足为H,则AH=BH=1,GH=-2=,∵EA⊥AB,GH⊥AB,∴EA∥GH,∴GH是△BEA的中位线,∴EA=3GH=,过B作BM⊥OC,垂足为M,则MB=OA=AB,∵∠EBF=∠ABM=90°,∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF,∴R t△EBA≌R t△FBM,∴FM=EA=,∵CM=OC-OM=3-2=1,∴CF=FM+CM=.
(3)设CF=a,则FM= a-1或1- a,∴BF2=FM2+BM2=(a-1)2+22=a2-2a+5,又∵△EBA≌△FBM,∴BM=BF,
则,又,
∴S= ,即S=,∴当a=2(在2<a<3)时,.
20.(2010江苏常州)如图,已知二次函数的图像与轴相交于点A、C,与轴相较于点B,A(),且△AOB∽△BOC。
(1)求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数的关系是;
(2)在线段AC上是否存在点M()。使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同),且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
【答案】
21.(2010江苏常州)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点,点P从点A向点B运动,点Q从点C向点D运动,且保持AP-CQ。设AP=
(1)当PQ∥AD时,求的值;
(2)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时,求的取值范围;
(3)当线段PQ的垂直平分线与BC相交时,设交点为E,连接EP、EQ,设△EPQ的面积为S,求S关于的函数关系式,并写出S的取值范围。
【答案】
22.(2010 山东滨州)如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是,以点C为顶点的抛物线 恰好经过轴上A、B两点.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2) 求经过A、B、C三点的的抛物线的解析式;
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少各单位?
【答案】解:(1)由抛物线的对称性可知AM=BM.
在Rt△AOD和Rt△BMC中,
∵OD=MC,AD=BC,
∴△AOD≌△BMC
∴OA=MB=MA分
设菱形的边长为2m,在Rt△AOD中,
,解得.
∴DC=2,OA=1,OB=3.
∴A、B、C三点的坐标分别为、、
(2)设抛物线的解析式为,带入A点的坐标,得
∴抛物线的解析式为
(3) 设抛物线的解析式为,代入D点的坐标,得
∴平移后的抛物线的解析式为
∴平移了个单位.
23.(2010湖北荆门)已知一次函数y=的图象与x轴交于点A.与轴交于点;二次函数图象与一次函数y=的图象交于、两点,与轴交于、两点且点的坐标为
(1)求二次函数的解析式;
(2)求四边形BDEF的面积S;
(3)在轴上是否存在点P,使得△是以为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点,若不存在,请说明理由。
【答案】解:(1)∵ 由题意知:当x=0时,y=1, ∴B(0,1),当y=0时,x=-2, ∴A(-2,0)
∴解得,所以
(2)当y=0时, ,解得x1=1,x2=2, ∴D(1,0) E(2,0) ∴AO=3,AE=4. S=S△CAE-S△ABD,S=,S=4.5,
(3)存在点P(a,0),当P为直角顶点时,如图,过C作CF⊥x轴于F, ∵Rt△BOP∽Rt△PFC,
由题意得,AD=6,OD=1,易知,AD∥BE,
∴.即,整理得:a2-4a-3=0,解得a=1或a=3,所以所求P点坐标为(1,0)或(3,0).综上所述,满足条件的点P有两个.
24.(2010 湖南株洲)(本题满分10分)在平面直角坐标系中,抛物线过原点O,且与轴交于另一点,其顶点为.孔明同学用一把宽为带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量:
① 量得;
② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合,使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合(如图1),测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为.
请完成下列问题:
(1)写出抛物线的对称轴;
(2)求抛物线的解析式;
(3)将图中的直尺(足够长)沿水平方向向右平移到点的右边(如图2),直尺的两边交
轴于点、,交抛物线于点、.求证:.
图1
图2
·
B
【答案】(1)
(2)设抛物线的解析式为:,当时,,即;当时,,即,依题意得:,解得:.
∴抛物线的解析式为:.
(3)方法一:过点作,垂足为,设, ,得: ①
②
又,得,分别代入①、②得:,
∴
得:
又
∴
方法二:过点作,垂足为,设,则,得:
∵
∴
25.(2010 四川成都)在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,点的坐标为,若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线.
(1)求直线及抛物线的函数表达式;
(2)如果P是线段上一点,设、的面积分别为、,且,求点P的坐标;
(3)设⊙Q的半径为l,圆心在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况?若存在,求出圆心的坐标;若不存在,请说明理由.并探究:若设⊙Q的半径为,圆心在抛物线上运动,则当取何值时,⊙Q与两坐轴同时相切?
【答案】(1)解:(1)∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点,
∴,。
将 代入,得。解得。
∴直线AC的函数表达式为。
∵抛物线的对称轴是直线
∴解得
∴抛物线的函数表达式为。
(2)如图,过点B作BD⊥AC于点D。
∵,
∴
∴。
过点P作PE⊥x轴于点E,
∵PE∥CO,∴△APE∽△ACO,
∴,
∴
∴,解得
∴点P的坐标为
(3)(Ⅰ)假设⊙Q在运动过程中,存在与坐标轴相切的情况。
设点Q的坐标为。
① 当⊙Q与y轴相切时,有,即。
当时,得,∴
当时,得,∴
② 当⊙Q与x轴相切时,有,即
当时,得,即,解得,∴
当时,得,即,解得,∴,。
综上所述,存在符合条件的⊙Q,其圆心Q的坐标分别为,,,,。
(Ⅱ)设点Q的坐标为。
当⊙Q与两坐标轴同时相切时,有。
由,得,即,
∵△=
∴此方程无解。
由,得,即,
解得
∴当⊙Q的半径时,⊙Q与两坐标轴同时相切。
26.(2010山东潍坊)如图所示,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于C(0,-3).以AB为直径做⊙M,过抛物线上的一点P作⊙M的切线PD,切点为D,并与⊙M的切线AE相交于点E.连接DM并延长交⊙M于点N,连接AN.
(1)求抛物线所对应的函数的解析式及抛物线的顶点坐标;
(2)若四边形EAMD的面积为4,求直线PD的函数关系式;
(3)抛物线上是否存在点P,使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)因为抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)两点,设抛物线的函数关系式为y=a(x+1)(x-3),∵抛物线与y轴交于C(0,-3),∴-3= a(0+1)(0-3),解得a=1,所以抛物线的解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,因此抛物线的顶点坐标为(1,-4);
(2)连接EM,∵EA、ED是⊙M的切线,∴EA=ED,EA⊥AM,ED⊥MD,∴△EAM≌△EDM,又四边形EAMD的面积为4,∴S△EAM=2,∴AM·AE=2,又AM=2,∴AE=2,因此E1(-1,2)或者E2(-1,-2),当点E在第二象限时,切点D在第一象限,在 Rt△EAM中,tan∠EMA=,故∠EMA=60°,∴∠DMB=60°,过切点D作DF⊥AB于F点,∴MF=1,DF=,则直线PD过E(-1,2)、D(2, )的坐标代入,则函数PD的解析式为y=-.当点E在第三象限时,切点D在第四象限,同理可求直线PD的解析式为y=,因此直线PD的函数关系式为y=-或y=;
(3)若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积,又S四边形EAMD=2S△EAM,S△DAN=2S△AMD,则S△EAM= S△AMD,∴E、D两点到x轴的距离相等,∵PD与⊙M相切,∴点D与点E在x轴同侧,∴切线PD与x轴平行,此时切线PD的函数关系式为y=2或y
=-2,当y=2时,由y= x2-2x-3得,x=1±,当y=-2时,由y= x2-2x-3得,x=1±,故满足条件点P的位置有4个,分别是P1(1+,2)、P2(1-,2)、P3(1+,-2)、P4(1-,-2).
27.(2010广东中山)已知二次函数的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,3).
(1)求出b,c的值,并写出此二次函数的解析式;
(2)根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围.
【答案】解:(1)把(-1,0),(0,3)分别代入,
得 ,解得
所以,
(2)令y=0,得
解得,
所以,由图象可知,函数值y为正数时,自变量x的取值范围是 -1<x<3.