中考二次函数复习题 75页

一、选择题 ‎1、向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？‎ ‎ (A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。‎ ‎【关键词】二次函数极值 ‎【答案】B ‎2、在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【关键词】二次函数图像的平移。‎ ‎【答案】B ‎3、 (2009年四川省内江市)抛物线的顶点坐标是（ ）‎ A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）‎ ‎【关键词】二次函数的顶点坐标.‎ ‎【答案】A ‎4、（2009年长春）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（ ）‎ O S t O S t O S t O S t A P B A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎（第8题）‎ ‎5、（2009年桂林市、百色市）二次函数的最小值是（ ）．‎ ‎ A．2 B．‎1 C．－3 D． ‎ ‎【关键词】二次函数的极值问题 ‎【答案】A ‎6、(2009年上海市)抛物线（是常数）的顶点坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【关键词】抛物线的顶点 ‎【答案】B ‎7、(2009年陕西省)根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴 【 】‎ x ‎…‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎－1‎ ‎－2‎ ‎…‎ A．只有一个交点 ‎ B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧 C．有两个交点，且它们均在y轴同侧 D．无交点 ‎【关键词】二次函数的图象 ‎【答案】B ‎8、（2009威海）二次函数的图象的顶点坐标是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【关键词】抛物线顶点 ‎【答案】A ‎9、（2009湖北省荆门市）函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）‎ A． 　B． C． 　　　　D．‎ 解析：本题考查函数图象与性质，当时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D是错的，函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象必过（0，1），所以C是正确的，故选C．‎ ‎【关键词】函数图象与性质 ‎【答案】C ‎10、（2009年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）‎ A、y=x2-x-2 B、y= ‎ C、y= D、y=‎ ‎【关键词】二次函数（a≠0）与a，b，c的关系 ‎【答案】D ‎11、（2009年齐齐哈尔市）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：；方程的两根之和大于0；随的增大而增大；④，其中正确的个数（）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【关键词】二次函数（a≠0）与a，b，c的关系、二次函数的图象 ‎【答案】C x y O ‎1‎ ‎12、（2009年深圳市）二次函数的图象如图2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．不能确定 ‎【关键词】二次函数（a≠0）与a，b，c的关系 ‎【答案】C ‎12、（2009桂林百色）二次函数的最小值是（ ）．‎ ‎ A．2 B．‎1 C．－3 D． ‎ ‎【关键词】二次函数、最值 ‎【答案】A ‎13、（2009丽水市）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：‎ O ‎①a＞0.‎ ‎②该函数的图象关于直线对称. ‎ ‎③当时，函数y的值都等于0.‎ 其中正确结论的个数是（ ）‎ ‎ A．3 B．‎2 C．1 D．0‎ ‎【关键词】二次函数的图像 ‎【答案】B ‎14、（2009烟台市）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）‎ y x O y x O B．‎ C．‎ y x O A．‎ y x O D．‎ ‎1‎ O x y ‎【关键词】二次函数的图像与系数之间的关系 ‎【答案】D ‎15、（2009年甘肃庆阳）图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面‎2m，水面宽‎4m．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 图6（1） 图6（2）‎ ‎【关键词】二次函数的应用 ‎【答案】C ‎16、（2009年甘肃庆阳）将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【关键词】二次函数和抛物线有关概念 ‎【答案】D ‎17、（2009年广西南宁）已知二次函数（）的图象如图4所示，有下列四个结论：④，其中正确的个数有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎1‎ 图4‎ O x y ‎3‎ ‎【关键词】二次函数（a≠0）与a，b，c的关系 ‎【答案】C ‎18、(2009年鄂州)已知=次函数y＝ax+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c，‎4a－2b+c，‎ ‎2a‎+b，‎2a－b中，其值大于0的个数为（ ）‎ ‎ A．2 B ‎3 ‎ C、4 D、5‎ ‎【关键词】二次函数（a≠0）与a，b，c的关系 ‎【答案】A ‎19、（2009年孝感）将函数的图象向右平移a个单位，得到函数的图象，则a的值为 A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4 ‎ ‎【关键词】二次函数图象的平移 ‎【答案】B ‎20、（2009泰安）抛物线的顶点坐标为 ‎（A）（-2，7） （B）（-2，-25） （C）（2，7） （D）（2，-9）‎ ‎【关键词】抛物线的顶点 ‎【答案】C。‎ ‎21、（2009年烟台市）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）‎ ‎1‎ O x y y x O y x O B．‎ C．‎ y x O A．‎ y x O D．‎ ‎【关键词】一次函数、反比例函数与二次函数之间的有关系 ‎【答案】D.‎ ‎22、（2009年嘉兴市）已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（　▲　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【关键词】一次函数、二次函数之间的关系 ‎【答案】C ‎23、（2009年新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【关键词】二次函数的对称轴 ‎【答案】B ‎24、（2009年天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）‎ A．　　B． C．　　D．‎ ‎【关键词】二次函数的解析式 ‎【答案】C ‎25、（2009年南宁市）已知二次函数（）的图象如图所示，有下列四个结论：④，其中正确的个数有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【关键词】二次函数（a≠0）与a，b，c的关系 【答案】C ‎26、（2009年衢州）二次函数的图象上最低点的坐标是 A．(-1，-2) 　B．(1，-2) 　　C．(-1，2) 　D．(1，2)‎ ‎【关键词】抛物线顶点和对称轴 ‎【答案】B ‎27、（2009年舟山）二次函数的图象上最低点的坐标是 A．(-1，-2) 　B．(1，-2) 　　C．(-1，2) 　D．(1，2)‎ ‎【关键词】抛物线顶点和对称轴 ‎【答案】B ‎28、（2009年广州市）二次函数的最小值是（ ）‎ A.2 （B）1 （C）-1 （D）-2‎ ‎【关键词】二次函数 ‎【答案】A ‎29、（2009年济宁市）小强从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）；（2） ；（3）；（4） ； （5）. 你认为其中正确信息的个数有 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎（第12题）‎ ‎【关键词】二次函数 ‎【答案】C ‎30、（2009年广西钦州）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）‎ ‎ A．y＝2x2＋3 B．y＝2x2－3‎ ‎ C．y＝2（x＋3）2 D．y＝2（x－3）2‎ ‎【关键词】二次函数的图像 ‎【答案】A ‎31、(2009宁夏)二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列四个结论错误的是（ ）D A． B．‎ C． D．‎ ‎【关键词】二次函数的图象 ‎【答案】D ‎1‎ ‎1‎ O x y ‎（8题图）‎ ‎32、(2009年南充)抛物线的对称轴是直线（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【关键词】抛物线的对称轴 ‎【答案】A ‎33、(2009年湖州)已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？（ ）‎ A．6 B．‎7 ‎ C．8 D．9‎ ‎【关键词】抛物线 ‎【答案】C ‎34、（2009年兰州）在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是 ‎【关键词】‎ 一次函数与二次函数的图像和性质 ‎【答案】D ‎35、（2009年兰州）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【关键词】二次函数的图像和性质、平移 ‎【答案】D ‎36、（2009年兰州）二次函数的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是 A．＜0 B.＞0 ‎ ‎ ‎ C.＞0 D.＞0‎ ‎ ‎ ‎【关键词】二次函数的图像和性质与系数a,b,c之间的关系 ‎ ‎【答案】C ‎37、（2009年遂宁）把二次函数用配方法化成的形式 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【关键词】二次函数的图像的解析式 ‎【答案】D ‎39、（2009年广州市）二次函数的最小值是（ ）‎ A.2 （B）1 （C）-1 （D）-2‎ ‎【关键词】二次函数 ‎【答案】A ‎40、（2009年济宁市）小强从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）；（2） ；（3）；（4） ； （5）. 你认为其中正确信息的个数有 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎（第12题）‎ ‎【关键词】二次函数 ‎【答案】C ‎41、（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？‎ ‎ (A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。‎ ‎【关键词】二次函数极值 ‎【答案】B ‎42、(2009年河北)某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数（x＞0），若该车某次的刹车距离为‎5 m，则开始刹车时的速度为（ ）‎ A．‎40 m/s B．‎20 m/s C．‎10 m/s D．‎5 m/s ‎【关键词】二次函数的运算 ‎【答案】C ‎43、（2009年湖北荆州）抛物线的对称轴是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【关键词】二次函数对称轴 ‎【答案】‎ ‎44、（2009年新疆乌鲁木齐市）要得到二次函数的图象，需将的图象（ ）．‎ A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 ‎【关键词】二次函数和抛物线有关概念 ‎【答案】D ‎45、（2009年黄石市）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤其中所有正确结论的序号是（ ）‎ A．①② B． ①③④ ‎ C．①②③⑤ D．①②③④⑤‎ ‎1‎ ‎1‎ O x y ‎【关键词】二次函数（a≠0）与a，b，c的关系 ‎【答案】C ‎46、（2009 黑龙江大兴安岭）二次函数的图象如图，下列判断错误的是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【关键词】二次函数（a≠0）与a，b，c的关系 ‎【答案】B ‎47、（2009年枣庄市）第11题图 ‎ y x O ‎1‎ ‎－1‎ 二次函数的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）‎ A．a＜0 ‎ B．c＞0‎ C．＞0‎ D．＞0‎ ‎【关键词】二次函数（a≠0）与a，b，c的关系 ‎【答案】D 二、填空题 ‎1、（2009年北京市）若把代数式化为的形式，其中为常数，则= .‎ ‎【关键词】配方法 ‎【答案】-3‎ ‎2、（2009年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原 点的距离为1，则该二次函数的解析式为 ‎ ‎【关键词】二次函数和抛物线有关概念，待定系数法 ‎【答案】，‎ ‎3、已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 ．‎ ‎【关键词】待定系数法 ‎【答案】，‎ ‎4、（2009年郴州市）抛物线的顶点坐标为__________．‎ ‎【关键词】二次函数的顶点坐标 ‎【答案】‎ ‎5、(2009年上海市)12．将抛物线向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ．‎ ‎【关键词】抛物线的平移 ‎【答案】‎ ‎6、（2009年内蒙古包头）已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是 个．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】本题考查二次函数图象的画法、识别理解，方程根与系数的关系筀等知识和数形结合能力。根据题意画大致图象如图所示，由与X轴的交点坐标为(-2,0)得，即 所以①正确；‎ 由图象开口向下知，由与X轴的另一个交点坐标为且，则该抛物线的对称轴为 由a<0得b>a,所以结论②正确，‎ 由一元二次方程根与系数的关系知，结合a<0得，所以③结论正确，‎ 由得，而00,所以结论 ‎④正确。‎ 点拨：　是否成立，也就是判断当时，的函数值是否为0；‎ 判断中a符号利用抛物线的开口方向来判断，开口向上a>0,开口向下a<0;判断a、b的小关系时，可利用对称轴的值的情况来判断；判断a、c的关系时，可利用由一元二次方程根与系数的关系的值的范围来判断；‎2a-b+1的值情况可用来判断。‎ ‎7、（2009襄樊市）抛物线的图象如图6所示，则此抛物线的解析式为 ．‎ y x O ‎3‎ x=1‎ 图6‎ 解析：本题考查二次函数的有关知识，由图象知该抛物线的对称轴是，且过点（3，0），所以，解得，所以抛物线的解析式为，‎ 故填。‎ ‎【关键词】函数解析式 ‎【答案】‎ ‎8、（2009湖北省荆门市）函数取得最大值时，______．‎ 解析：本题考查二次函数的最值问题，可以用配方法或二次函数顶点坐标公式求出当为何值时二次函数取得最大值，下面用配方法，‎ ‎，所以当时，函数取得最大值，故填 ‎【关键词】二次函数最值 ‎【答案】‎ ‎9、（2009年淄博市） 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ．‎ ‎①过点；‎ ‎②当时，y随x的增大而减小；‎ ‎③当自变量的值为2时，函数值小于2．‎ 答案：如 ‎ ‎10、（2009年贵州省黔东南州）二次函数的图象关于原点O（0, 0）对称的图象的解析式是_________________。‎ ‎【关键词】待定系数法 ‎【答案】‎ ‎11、（2009年齐齐哈尔市）当_____________时，二次函数有最小值．‎ ‎【关键词】二次函数的极值问题 ‎【答案】‎ ‎　‎ ‎12、（2009年娄底）如图7，⊙O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是 . ‎【关键词】对称性、圆的面积 ‎【答案】2π ‎13、（2009年甘肃庆阳）图12为二次函数的图象，给出下列说法：‎ ‎①；②方程的根为；③；④当时，y随x值的增大而增大；⑤当时，．‎ 其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）‎ ‎【关键词】二次函数（a≠0）与a，b，c的关系 ‎【答案】①②④‎ ‎14、(2009年鄂州)把抛物线y＝ax+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝x－3x+5，则a+b+c=__________‎ ‎【关键词】二次函数图象的平移 ‎【答案】11‎ ‎15、（2009白银市）抛物线的部分图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　．（对称轴方程，图象与x正半轴、y轴交点坐标例外）‎ ‎【关键词】二次函数（a≠0）与a，b，c的关系、二次函数与一元二次方程根之间的内在联系、二次函数与一元二次不等式的关系 ‎【答案】答案不唯一．如：①c=3；②b+c=1；③c-3b=9；④b=-2；⑤抛物线的顶点为（-1，4），或二次函数的最大值为4；⑥方程-x2+bx+c=0的两个根为-3，1；⑦y>0时，-31；⑧当x>-1时，y随x的增大而减小；或当x<-1时，y随x的增大而增大．等等 ‎16、(2009年甘肃定西)抛物线的部分图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　．（对称轴方程，图象与x正半轴、y轴交点坐标例外）‎ ‎【关键词】二次函数的图像 ‎【答案】答案不唯一.‎ ‎17、（2009年包头）将一条长为‎20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值 是 cm2．‎ ‎【关键词】面积、最小值 答案：或 ‎18、（2009年包头）已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是 个．‎ ‎【关键词】二次函数 答案：4‎ ‎19、（2009年莆田）出售某种文具盒，若每个获利元，一天可售出个，则当 元时，一天出售该种文具盒的总利润最大．‎ ‎【关键词】二次函数、最大值 答案：3‎ ‎20、(2009年本溪)如图所示，抛物线（）与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是 ． ‎ ‎【关键词】二次函数 ‎【答案】或 ‎21．(2009年湖州)已知抛物线（＞0）的对称轴为直线，且经过点试比较和的大小：‎ ‎ _（填“>”，“<”或“=”）‎ ‎【关键词】二次函数的性质 ‎【答案】＞‎ ‎22、（2009年兰州）二次函数的图象如图12所示，点位于坐标原点， 点，，，…， 在y轴的正半轴上，点，，‎ ‎，…， 在二次函数位于第一象限的图象上， ‎ 若△,△，△，…，△‎ 都为等边三角形，则△的边长＝ . ‎ ‎【关键词】二次函数的图像和性质与三角形面积 ‎ ‎【答案】2008‎ ‎23、（2009年北京市）若把代数式化为 的形式，其中为常数，则= .‎ ‎【关键词】配方法 ‎【答案】-3‎ ‎24．(2009年咸宁市)已知、是抛物线上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点、的坐标可能是_____________．（写出一对即可）‎ ‎【关键词】二次函数的对称轴 ‎【答案】(1,0),(3,0)‎ ‎25、（2009年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原 点的距离为1，则该二次函数的解析式为 ．‎ ‎【关键词】二次函数解析式 ‎【答案】，‎ ‎26、（2009年黄石市）若抛物线与的两交点关于原点对称，则分别为 ．‎ ‎【关键词】待定系数法；二元一次方程组的解法 ‎【答案】‎ ‎27、（2009 黑龙江大兴安岭）当 时，二次函数有最小值．‎ ‎ 【关键词】抛物线顶点和对称轴 ‎【答案】-1‎ 三、解答题 ‎1、（2009年株洲市）如图1，中，，，点在线段上运动，点、分别在线段、上，且使得四边形是矩形．设的长为，矩形的面积为，已知是的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）当为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值．‎ 为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论： ‎ O ‎ ‎ 张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？‎ 李明：因为抛物线上的点是表示图1中的长与矩形面积的对应关系，那么，（12，36）表示当时，的长与矩形面积的对应关系.‎ 赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！‎ 孔明：哦，这样就可以算出，这个问题就可以解决了.‎ ‎ 请根据上述对话，帮他们解答这个问题.‎ 图1 图2‎ ‎【关键词】二次函数最值 ‎【答案】（1）当时， ∴，‎ 又在中，，∴ ∴ ∴，‎ ‎（2）解法一：若 ，则，，∴，整理得 ，∴ 当时，. ‎ 解法二：由，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0）、（12，36），可设抛物线解析式为，将（12，36）代入求得，∴，整理得，∴ 当时，. ‎ 解法三：由，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0），知抛物线对称轴为，∴抛物线顶点的横坐标为8.∴当时，矩形的面积最大，此时，，∴，∴最大面积为48. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2、（2009年株洲市）已知为直角三角形，，,点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、．‎ ‎（1）求点的坐标（用表示）；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并 延长交于点，连结 并延长交于点，试证 明：为定值．‎ ‎【关键词】二次函数的综合题 ‎【答案】（1）由可知，，又△ABC为等腰直角三角形，∴，，所以点A的坐标是（）. ‎ ‎（2）∵ ∴，则点的坐标是（）.‎ 又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得： ‎ ‎ 解得 ∴抛物线的解析式为 ，‎ ‎（3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，.‎ ‎∵ ∴∽ ∴ 即，得 ‎∵ ∴∽ ∴ 即，得 又∵‎ ‎∴‎ 即为定值8. ‎ ‎3、（2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。‎ ‎ （1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；‎ ‎ （2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为， 1≤ x ≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？‎ ‎【关键词】二次函数极值 ‎【答案】【答案】（1）‎ ‎（2）设利润为 ‎ 当时，‎ ‎ 当时，‎ 综上知：在第11周进货并售出后，所获利润最大且为每件元.‎ ‎4、（2009年重庆市江津区）如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，‎ ‎ （1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎【关键词】与二次函数有关的面积问题 ‎【答案】解：（1）将A（1，0）B（-3，0）代入中得，∴‎ ‎∴抛物线解析式为：‎ ‎ （2）存在 理由如下：由题意知A、B两点关于抛物线的对称轴对称，∴直线BC与的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，∵，∴C的坐标为：（0，3），直线BC解析式为 Q点坐标即为的解，∴，∴Q（-1，2）‎ ‎5、（2009年滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：‎ ‎（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；‎ ‎（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎（3）请画出上述函数的大致图象．‎ ‎【关键词】二次函数的实际应用.‎ ‎【答案】（1）y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=-,0≤x≤20；‎ ‎（2）y=-20,∴当x==2.5元,每星期的利润最大，最大利润是6135元；（3）图像略.‎ ‎6、（2009年滨州） 如图①，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯形中，，．对于抛物线部分，其顶点为的中点，且过两点，开口终端的连线平行且等于．‎ ‎（1）如图①所示，在以点为原点，直线为轴的坐标系内，点的坐标为，‎ 试求两点的坐标；‎ ‎（2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离）；‎ N B C D A M y x ‎（第4题图①）‎ ‎）‎ O A B C D ‎（第4题图②）‎ ‎））‎ ‎）‎ ‎20cm ‎30cm ‎45°‎ ‎（3）现根据实际情况，需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为‎3cm的保护膜，如图②，请在图中补充完整镀膜部分的示意图，并求出镀膜的外围周长．‎ ‎【关键词】二次函数与等腰梯形.‎ ‎【答案】（1）A（-10，5），B（10，5）；(2)‎ ‎7、 (2009年四川省内江市)如图所示，已知点A（－1，0），B（3，0），C（0，t），且t＞0，tan∠BAC=3，抛物线经过A、B、C三点，点P（2，m）是抛物线与直线的一个交点。‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小值；‎ ‎（3）若动点M在直线上方的抛物线上运动，‎ 求△AMP的边AP上的高h的最大值。‎ ‎【关键词】二次函数，三角函数.‎ ‎【答案】解：（1）由A（-1，0）知AO=1，由tan∠BAC=3， 得CO=3AO=3， ∴t=3‎ 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3),将点C（0，3）坐标代入得 a=-1‎ ‎∴所求解析式为 y=-x2+2x+3‎ ‎（2）m=-22+2×2+3=3, P(2,3)‎ 动点Q（1，n)在直线x=1上运动，点B（3，0）关于直线x=1的对称点为A（-1，0）‎ ‎∴PQ+QB=PQ+QA∴PQ+QB的最小值为PA==‎ ‎（3）将点P（2，3）的坐标代入y=k(x+1)得k=1‎ ‎∴直线l的解析式为y=x+1‎ ‎∴AP在l上.‎ 设M（x,-x2+2x+3)，过M作y轴的平行线交AP于D，则D（x,x+1),‎ MD=(-x2+2x+3)-(x+1)=-x2+x+2‎ S△AMP=S△AMD+S△PMD=12(-x2+x+2)(x+1)+ (-x2+x+2)(2-x)= (-x2+x+2)‎ ‎∴h==(-x2+x+2) = (-x2+x+2)‎ ‎= [-(x-)2+]‎ ‎∴当x=时，h的最大值为 ‎8、（2009仙桃）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为(0，2)，AB＝4．‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)若S△APO＝，求矩形ABCD的面积．‎ ‎【关键词】二次函数，矩形.‎ ‎【答案】解：（1）∵A（0，2），AB=4，∴B（4，2）‎ ‎∵抛物线过A、B两点 ‎∴，解得 ‎∴抛物线的解析式为 ‎（2）过P点作PE⊥轴于点E，∵，‎ ‎∵OA=2，∴.∵点P在抛物线上，∴当时，.∴P点坐标为.‎ 设直线BD的解析式为 ‎∵直线BD过P、B两点， ‎ ‎∴ 解得 ‎∴直线BD的解析式为.‎ 当时，，∴D（0，－4），∴AD=2+4=6.∴‎ ‎（3）答：存在 理由如下：设P点，∵=‎ 若有最大值，则就最大，过P点作PE⊥轴于E，∴‎ ‎，当时，最大=‎ ‎∴最大=，当时，，∴点P坐标为.‎ y x D N M Q B C O P E A ‎9、（2009年长春）如图，直线分别与轴、轴交于两点，直线与交于点，与过点且平行于轴的直线交于点．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向左运动．过点作轴的垂线，分别交直线于两点，以为边向右作正方形，设正方形与重叠部分（阴影部分）的面积为（平方单位）．点的运动时间为（秒）．‎ ‎（1）求点的坐标．（1分）‎ ‎（2）当时，求与之间的函数关系式．（4分）‎ ‎（3）求（2）中的最大值．（2分）‎ ‎（4）当时，直接写出点在正方形内部时的取值范围．（3分）‎ ‎【参考公式：二次函数图象的顶点坐标为．】‎ ‎【关键词】平面内点的坐标的意义，二元一次方程组的应用，不等式（组）的简单应用二次函数与一元二次方程根之间的内在联系 ‎【答案】解：（1）由题意，得解得 ‎∴C（3,）. ‎ ‎（2）根据题意，得AE=t，OE=8-t.‎ ‎∴点Q的纵坐标为(8-t)，点P的纵坐标为t，‎ ‎∴PQ= (8-t)-t=10-2t.‎ 当MN在AD上时，10-2t=t，∴t=. ‎ 当0，∴S的最大值为. ‎ ‎（4）46. ‎ ‎10、（2009年郴州市） 如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，），且P（，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． ‎ ‎（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；‎ ‎（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； ‎ 图12‎ ‎（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．‎ 图11‎ ‎【关键词】二次函数的极值问题 ‎【答案】（1）设正比例函数解析式为，将点M（，）坐标代入得，所以正比例函数解析式为 2分 同样可得，反比例函数解析式为 ‎ ‎（2）当点Q在直线DO上运动时，‎ 设点Q的坐标为， ‎ 于是，‎ 而，‎ 所以有，，解得 ‎ 所以点Q的坐标为和 ‎ ‎（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，‎ 而点P（，）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值 因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为，‎ 由勾股定理可得，‎ 所以当即时，有最小值4，‎ 又因为OQ为正值，所以OQ与同时取得最小值，‎ 所以OQ有最小值2． ‎ 由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是 ‎．‎ ‎10、（2009年常德市）已知二次函数过点A （0，），B（，0），C（）．‎ ‎ （1）求此二次函数的解析式；‎ ‎ （2）判断点M（1，）是否在直线AC上？‎ 图8‎ ‎ （3）过点M（1，）作一条直线与二次函数的图象交于E、F两点（不同于A，B，C三点），请自已给出E点的坐标，并证明△BEF是直角三角形．‎ ‎【关键词】二次函数 ‎【答案】（1）设二次函数的解析式为（）， ‎ 把A （0，），B（，0），C（）代入得 解得 a=2 ， b=0 ， c=－2，‎ ‎∴‎ ‎（2）设直线AC的解析式为 ，‎ 把A （0，－2），C（）代入得 ‎， 解得 ，∴‎ 当x=1时， ∴M（1，）在直线AC上 ‎ 图8‎ ‎（3）设E点坐标为（），则直线EM的解析式为 由 化简得，即，‎ ‎ ∴F点的坐标为（）．‎ 过E点作EH⊥x轴于H，则H的坐标为（）．‎ ‎∴ ∴，‎ 类似地可得 ，‎ ‎，‎ ‎ ∴，∴△BEF是直角三角形．‎ ‎11、(2009年陕西省) 如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；‎ ‎（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．‎ ‎【关键词】用相似求线段 平面内点的坐标的意义 三点法确定抛物线 存在性探究题 ‎【答案】解：（1）过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，‎ 则AF＝2，OF＝1．‎ ‎∵OA⊥OB，‎ ‎∴∠AOF+∠BOE＝90°．‎ 又 ∵∠BOE+∠OBE＝90°，‎ ‎∴∠AOF＝∠OBE．‎ ‎∴Rt△AFO∽Rt△OEB．‎ ‎∴．‎ ‎∴BE＝2，OE＝4．‎ ‎∴B(4，2)．‎ ‎（2）设过点A(－1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线为y=ax2+bx+c．‎ ‎∴解之，得 ‎∴所求抛物线的表达式为．‎ ‎（3）由题意，知AB∥x轴．‎ 设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d，‎ 则S△ABP＝．‎ ‎∴d＝2．‎ ‎∴点P的纵坐标只能是0或4．‎ 令y＝0，得，解之，得x＝0，或x＝3．‎ ‎∴符合条件的点P1(0，0)，P2(3，0)．‎ 令y＝4，得，解之，得．‎ ‎∴符合条件的点P3(，4)，P4(，4)．‎ ‎∴综上，符合题意的点有四个：‎ P1(0，0)，P2(3，0)，P3(，4)，P4(，4)．‎ ‎（评卷时，无P1(0，0)不扣分）‎ ‎12、(2009年黄冈市)新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12‎ ‎（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；‎ ‎（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；‎ ‎（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？‎ ‎【关键词】待定系数法 函数的极值问题 ‎【答案】（1）当时，线段OA的函数关系式为;‎ 当时，‎ 由于曲线AB所在抛物线的顶点为A（4，－40），设其解析式为 在中，令x=10，得；∴B（10，320）‎ ‎∵B（10，320）在该抛物线上 ‎∴‎ 解得 ‎∴当时，=‎ ‎，‎ ‎，.‎ 综上可知，‎ ‎(2) 当时,‎ 当时,‎ 当时, ‎ ‎(3) 10月份该公司所获得的利润最多,最多利润是110万元.‎ ‎13、(2009武汉)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．‎ ‎（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；‎ ‎（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？‎ ‎（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？‎ ‎【关键词】二次函数的应用 二次函数的极值问题 ‎ ‎【答案】解：（1）（且为整数）；‎ ‎（2）．‎ ‎，当时，有最大值2402.5．‎ ‎，且为整数，‎ 当时，，（元），当时，，（元）‎ 当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．‎ ‎（3）当时，，解得：．‎ 当时，，当时，．‎ 当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．‎ 当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．‎ 当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．‎ ‎14、(2009武汉)如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．‎ y x O A B C ‎【关键词】待定系数法 求点的坐标 ‎【答案】解：（1）抛物线经过，两点，‎ 解得 抛物线的解析式为．‎ ‎（2）点在抛物线上，，‎ 即，或．‎ 点在第一象限，点的坐标为．‎ y x O A B C D E 由（1）知．‎ 设点关于直线的对称点为点．‎ ‎，，且，‎ ‎，‎ 点在轴上，且．‎ ‎，．‎ 即点关于直线对称的点的坐标为（0，1）．‎ ‎（3）方法一：作于，于．‎ y x O A B C D E P F 由（1）有：，‎ ‎．‎ ‎，且．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，，，‎ ‎．‎ 设，则，，‎ ‎．‎ 点在抛物线上，‎ ‎，‎ ‎（舍去）或，．‎ 方法二：过点作的垂线交直线于点，过点作轴于．过点作于．‎ y x O A B C D P Q G H ‎．‎ ‎，‎ 又，．‎ ‎，，．‎ 由（2）知，．‎ ‎，直线的解析式为．‎ 解方程组得 点的坐标为．‎ ‎15、(2009年安顺)如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。‎ （1） 求抛物线的解析式；‎ （2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；‎ （3） ‎△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。‎ ‎【关键词】待定系数法，相似三角形判定和性质 ‎【答案】（1）∵抛物线与轴交于点（0，3），‎ ‎∴设抛物线解析式为 根据题意，得，解得 ‎∴抛物线的解析式为 (5′)‎ ‎(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）‎ 设对称轴与x轴的交点为F ‎∴四边形ABDE的面积=‎ ‎=‎ ‎==9 ‎ ‎（3）似 如图，BD=；∴BE=‎ DE= ∴, ‎ 即： ,所以是直角三角形 ‎∴,且,‎ ‎∴∽ ‎ ‎16、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线．过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为．问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？‎ x y M C D P Q O A B ‎（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．‎ ‎【关键词】抛物线 ‎【答案】（1）抛物线经过点，‎ 二次函数的解析式为：‎ ‎（2）为抛物线的顶点过作于，则，‎ x y M C D P Q O A B N E H 当时，四边形是平行四边形 当时，四边形是直角梯形 过作于，则 ‎（如果没求出可由求）‎ 当时，四边形是等腰梯形 综上所述：当、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．‎ ‎（3）由（2）及已知，是等边三角形 则 过作于，则 ‎=‎ 当时，的面积最小值为 此时 ‎17、（2009威海）O A B C l y x 如图，在直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为（-1，0），（3，0）。（0，3），过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线，D为对称轴上一动点．‎ （1） 求抛物线的解析式；‎ （2） 求当AD+CD最小时点的坐标；‎ （3） 以点为圆心，以为半径作⊙A．‎ ‎①证明：当AD+CD最小时，直线BD与⊙A相切．‎ ‎②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：___________．‎ ‎【关键词】待定系数法，直线与圆的位置关系 ‎【答案】（1）设抛物线的解析式为．‎ 将代入上式，得．‎ 解，得．‎ 抛物线的解析式为．‎ 即．‎ ‎（2）连接，交直线于点．‎ 点与点关于直线 对称，‎ O A B C l y x D E ‎．‎ ‎．‎ 由“两点之间，线段最短”的原理可知：‎ 此时最小，点的位置即为所求．‎ 设直线的解析式为，‎ 由直线过点，，得 ‎ 解这个方程组，得 直线的解析式为．‎ 由（1）知：对称轴为，即．‎ 将代入，得．‎ 点的坐标为（1，2）．‎ 说明：用相似三角形或三角函数求点的坐标也可，答案正确给2分．‎ ‎（3）①连接．设直线与轴的交点记为点．‎ 由（1）知：当最小时，点的坐标为（1，2）．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ 与相切．‎ ‎②．‎ ‎18、（2009年内蒙古包头）已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；‎ ‎（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．‎ y x O ‎【解析】本题考查二次函数关系式求法、坐标系中有关线段的长度与点的坐标之间的关系，探究三角形相似的条件和判定四边形为平行四边形的条件，涉及到一元二次方程的解法等综合性较强，稍有疏忽就容易失分。‎ ‎【答案】(1)根据题意，得 ，解得 ∴。‎ ‎ (2)当ΔEDB∽ΔAOC时，得或。‎ ‎∵AO=1，CO=2，BD=m-2，当时，得，‎ ‎∴。‎ ‎∵点E在第四象限， ∴，当时，得，∴，∵点E在第四象限， ∴。‎ ‎(3)假设抛物线上存在一点这P，使得四边形ABEF为平行四边形，则EF=AB=1，点F的横坐标为m-1,当点的坐标为时，点的坐标为，‎ ‎∵点在抛物线的图象上， ∴，‎ ‎∴， ∴ ∴(舍去)‎ ‎∴， ∴。‎ 当点的坐标为时，点的坐标为，‎ ‎∵点F2在抛物线的图象 上， ∴‎ ‎∴ ∴ ∴(舍去)， ‎ ‎ ∴ ∴‎ ‎　　点拨：（2）中讨论ΔEDB与ΔAOC相似的条件时，题目中未用相似符号连接应按不同的对应关系分情况讨论，否则易漏解。在由线段的长度求E点坐标时要注意点的坐标的符号。‎ ‎（3）中在求是否存在点E问题，应先假设存在，列得关系式如果有解，并且符合题意就存在；如果无解或解得的结果不符合题意，就不存在。‎ ‎19、（2009山西省太原市）已知，二次函数的表达式为．写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标，并求图象与轴的交点的坐标．‎ ‎【关键词】二次函数最值、与坐标轴交点坐标 ‎【答案】‎ 解：在中，∴ ‎ ‎∴这个函数图象的对称轴是，顶点坐标是： ‎ 评分说明：直接写出正确结果也得2分．令＝０，则解得∴函数图象与轴的交点的坐标为 ‎20、（2009湖北省荆门市） 一开口向上的抛物线与x轴交于A（，0），B（m＋2，0）两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．‎ ‎（1）若m为常数，求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若m为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？‎ ‎（3）设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ O B A C D x y 第25题图 解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x－m＋2）（x－m－2）＝a（x－m）2－‎4a．∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB为等腰直角三角形，又AB＝4，∴C（m，）代入得a＝．∴解析式为：y＝（x－m）2．（亦可求C点，设顶点式）‎ ‎（2）∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y＝（x－m）2顶点在坐标原点．‎ ‎（3）由（1）得D（0，m2），设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．∴m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝（舍）．当m＋2＜0时，解得m＝0（舍）或m＝（舍）；当m＋2＝0时，即m＝时，B、O、D三点重合（不合题意，舍），综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．‎ ‎20、（2009年淄博市）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是2．O为坐标原点，点A在x的正半轴上，点C在y的正半轴上．一条抛物线经过A点，顶点D是OC的中点．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点，线段FG过点E与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于F，G点，试比较线段OE与EG的长度；‎ O A B C D E y x F G H I J K ‎（第24题）‎ ‎（3）点H是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段IJ过点H与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于I、J点，点K在y轴的正半轴上，且OK=OH，请证明△OHI≌△JKC．‎ 解：（1）由题意，设抛物线的解析式为：． ‎ 将点D的坐标（0，1），点A的坐标（2，0）代入，得 a = ，b=1．‎ 所求抛物线的解析式为． ‎ ‎（2）由于点E在正方形的对角线OB上，又在抛物线上，‎ 设点E的坐标为（m，m）（），则． 解得 （舍去）． 所以OE=．所以．所以OE=EG．‎ ‎（3）设点H的坐标为（p，q）（，），‎ 由于点H在抛物线上，所以，即．因为， 所以OH=2–q．所以OK=OH=2–q．所以CK=2－（2－q）=q=IH． 因为CJ=OI， ∠OIH=∠JCK=90º，所以△OHI≌△JKC．‎ ‎21、（2009年贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。‎ ‎（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式。‎ ‎（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由。‎ ‎【关键词】二次函数的应用 ‎【答案】解：（1），‎ ‎（2），即：y 因为提价前包房费总收入为100×100=10000。‎ 当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000。又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元。‎ ‎22、（2009年贵州省黔东南州）已知二次函数。‎ ‎（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。‎ ‎（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式。‎ ‎（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。‎ ‎【关键词】二次函数的综合应用 ‎【答案】解（1）因为△=‎ 所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。‎ ‎（2）设x1、x2是的两个根，则，，因两交点的距离是，所以。‎ 即：‎ 变形为：‎ 所以：‎ 整理得：‎ 解方程得：‎ 又因为：a<0‎ 所以：a=－1‎ 所以：此二次函数的解析式为 ‎（3）设点P的坐标为，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，所以：AB=‎ 所以：S△PAB=‎ 所以：‎ 即：，则 时，，即 解此方程得：=－2或3‎ 当时，，即 解此方程得：=0或1‎ 综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)。‎ ‎23、（2009年江苏省）如图，已知二次函数的图象的顶点为．二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．‎ ‎（1）求点与点的坐标；‎ ‎（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式．‎ ‎ ‎ ‎【关键词】待定系数法 ‎【答案】解：（1），所以顶点的坐标为． （3分）‎ 因为二次函数的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，所以点和点关于直线对称，所以点的坐标为．‎ ‎（2）因为四边形是菱形，所以点和点关于直线对称，因此，点的坐标为．‎ 因为二次函数的图象经过点，，所以 解得 所以二次函数的关系式为．‎ ‎24、（2009年浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点．设 的对称轴分别交于点，点是点关于直线的对称点．‎ ‎（1）如图1，若：，经过变换后，得到：，点的坐标为，则①的值等于______________；‎ ‎②四边形为（ ）‎ A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 ‎（2）如图2，若：，经过变换后，点的坐标为，求的面积；‎ ‎（3）如图3，若：，经过变换后，，点是直线上的动点，求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值．‎ ‎【关键词】二次函数应用 ‎【答案】‎ ‎25、（2009年吉林省）某数学研究所门前有一个边长为‎4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中．准备在形如Rt的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：‎ 品种 红色花草 黄色花草 紫色花草 价格（元/米2）‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎120‎ 设的长为米，正方形的面积为平方米，买花草所需的费用为元，解答下列问题：‎ ‎（1）与之间的函数关系式为；‎ ‎（2）求与之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；‎ ‎（3）当买花草所需的费用最低时，求的长．‎ A B F C G D H Q P N M 红 黄 紫 E ‎【关键词】二次函数的极值问题、与二次函数有关的面积问题 ‎【答案】解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎=60‎ ‎=80‎ 配方，得 当时，元．‎ ‎（3）设米，则.‎ 在Rt中，‎ 解得 的长为米．‎ ‎26、（2009年深圳市）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA0，n>0），连接DP交BC于点E。‎ 图11‎ ‎①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。‎ ‎②又连接CD、CP，△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。‎ ‎【关键词】‎ ‎【答案】（1）由Rt△AOC∽Rt△COB易知，CO2=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4‎ ‎∴A(-1,0)B(4,0)C(0,2)可设解析式为y=a(x+1)(x-4),将点C(0,2)代入，可求a=‎ ‎∴为所求 ‎（2）；提示：直线BC的解析式为设 ‎，利用勾股定理和点在直线BC上，可得两个方程组分别可求和 ‎（3）过D作X轴的垂线，交PC于M，易求PC的解析式为，且，故 故，当时，，‎ ‎27、（2009年台州市）如图，已知直线交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为．‎ ‎（1）请直接写出点的坐标； ‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止．设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；‎ O A B C D E y x ‎（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积．‎ 备用图 ‎【关键词】与二次函数有关的面积问题 ‎【答案】（1）； ‎ ‎ （2）设抛物线为，抛物线过，‎ ‎ 解得 ‎ ‎∴． ‎ ‎（3）①当点A运动到点F时，‎ 当时，如图1，‎ 图1‎ ‎ ∵， ‎ ‎∴∴‎ ‎∴； ‎ ‎ ②当点运动到轴上时，，‎ 图2‎ 当时，如图2， ‎ ‎∴∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎； ‎ ‎ ‎ ‎③当点运动到轴上时，，‎ 当时，如图3，‎ 图3‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∽‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ‎ ‎ =． ‎ ‎（解法不同的按踩分点给分）‎ ‎（4）∵,,‎ ‎∴　‎ ‎ =‎ ‎ =‎ 图4‎ ‎28、（2009年宁波市）如图，抛物线与轴相交于点A、B，且过点．‎ ‎（1）求的值和该抛物线顶点P的坐标；‎ A B P x y O ‎（第23题）‎ C（5,4）‎ ‎（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．‎ ‎【关键词】平移，二次函数 ‎【答案】解：（1）把点代入抛物线得，‎ ‎， ‎ 解得． ‎ 该二次函数的解析式为．‎ 顶点坐标为． ‎ ‎（2）（答案不唯一，合理即正确）‎ 如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，‎ 得到的二次函数解析式为 ‎，‎ 即．‎ ‎29、(2009年义乌)如图，抛物线与轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则 ‎(填“”或“”)；‎ 的取值范围是 ‎ ‎ ‎【关键词】抛物线系数的取值范围 ‎【答案】（1） （2）‎ ‎30、（2009河池） ‎ O D B C A E 图12‎ 如图12，已知抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，抛物线的对称轴交轴于点E，点B的坐标为（，0）．‎ ‎（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中是否存在点P，‎ 与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，‎ 请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在 点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？‎ 若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎【关键词】二次函数、坐标、存在、面积 ‎【答案】（1）① 对称轴 ‎ ‎② 当时，有 解之，得 ，‎ ‎∴ 点A的坐标为（，0）．‎ ‎（2）满足条件的点P有3个，分别为（，3），（2，3），（，）．‎ ‎（3）存在．‎ 当时， ∴ 点C的坐标为（0，3）‎ ‎∵ DE∥轴，AO3，EO2，AE1，CO3‎ ‎∴ ∽ ∴ 即 ∴ DE1。‎ ‎∴ 4‎ 在OE上找点F，使OF，此时2，直线CF把四边形DEOC 分成面积相等的两部分，交抛物线于点M．‎ 设直线CM的解析式为，它经过点．‎ 则 ，‎ 解之，得 ∴ 直线CM的解析式为 ，‎ ‎31、（2009柳州）‎ O x y A B C D 图11‎ 如图11，已知抛物线（）与轴的一个交点为，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．‎ ‎（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点A的坐标；‎ ‎（2）以AD为直径的圆经过点C．‎ ‎①求抛物线的解析式；‎ ‎②点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，‎ 且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． ‎ ‎【关键词】二次函数、对称轴、坐标、函数解析式、平行四边形 ‎【答案】解：（1）对称轴是直线：，‎ 点A的坐标是（3，0）．‎ ‎（说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分）‎ ‎（2）如图11，连接AC、AD，过D作于点M，‎ 解法一：利用 ‎∵点A、D、C的坐标分别是A （3，0），D（1，）、‎ C（0，），‎ ‎∴AO＝3，MD=1．‎ 由得 ‎∴ ，‎ 又∵，‎ ‎∴由 得，‎ ‎∴函数解析式为：，‎ ‎ 解法二：利用以AD为直径的圆经过点C ‎∵点A、D的坐标分别是A （3，0） 、D（1，）、C（0，），‎ ‎∴，，‎ ‎∵‎ ‎∴…① ，‎ 又∵…② ，‎ 由①、②得 ，‎ ‎∴函数解析式为： ，‎ ‎（3）如图所示，当BAFE为平行四边形时 y x O A B C D 图11‎ E F ‎ 则∥，并且＝．‎ ‎ ∵=4，∴=4 ‎ 由于对称为，‎ ‎∴点F的横坐标为5．‎ 将代入得，‎ ‎∴F（5，12）． ‎ 根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点F，使得四边形BAEF是平行四边形，此时点F坐标为（，12）． ‎ 当四边形BEAF是平行四边形时，点F即为点D，‎ 此时点F的坐标为（1，）． ‎ 综上所述，点F的坐标为（5，12）， （，12）或（1，）．‎ ‎32、(2009烟台市) 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是．‎ （1） 求抛物线对应的函数表达式；‎ （2） 经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；‎ （3） 设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由；‎ （4） 当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．‎ O B x y A M C ‎1‎ ‎【关键词】二次函数的综合应用 ‎【答案】‎ 解：（1）根据题意，得 解得 抛物线对应的函数表达式为 ‎（2）存在．‎ 在中，令，得．‎ 令，得，．‎ ‎，，．‎ 又，顶点． ‎ 容易求得直线的表达式是．‎ 在中，令，得．‎ ‎，． ‎ 在中，令，得．‎ ‎．‎ ‎，四边形为平行四边形，此时．‎ ‎（3）是等腰直角三角形．‎ 理由：在中，令，得，令，得．‎ 直线与坐标轴的交点是，．‎ ‎，．‎ 又点，．． ‎ 由图知，． ‎ ‎，且．是等腰直角三角形． ‎ ‎（4）当点是直线上任意一点时，（3）中的结论成立．‎ y x E D N O A C M P N ‎1‎ F ‎33、（2009恩施市）如图，在中，的面积为25，点为边上的任意一点（不与、重合），过点作，交于点．设，以为折线将翻折（使落在四边形所在的平面内），所得的与梯形重叠部分的面积记为．‎ ‎（1）用表示的面积；‎ ‎（2）求出时与的函数关系式；‎ ‎（3）求出时与的函数关系式；‎ ‎（4）当取何值时，的值最大？最大值是多少？‎ E D B C A B C A ‎【关键词】相似、二次函数 ‎【答案】解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ‎ ‎ ∴△ADE∽△ABC ∴‎ 即 ‎ ‎(2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5‎ ‎∴当0﹤ 时 ‎ ‎（3）﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形 ‎∵S△A'DE=S△ADE=‎ ‎∴DE边上的高AH=AH'=‎ 由已知求得AF=5‎ ‎∴A'F=AA'-AF=x-5‎ 由△A'MN∽△A'DE知 ‎∴ ‎ ‎（4）在函数中 ‎∵0﹤x≤5‎ ‎∴当x=5时y最大为： ‎ ‎ 在函数中 当时y最大为： ‎ ‎∵﹤‎ ‎∴当时，y最大为： ‎ ‎34、．（2009年甘肃白银）［12分+附加4分］如图14（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］‎ ‎（1）　　　　　，点A的坐标为　　　　　　，点B的坐标为　　　　　；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；‎ ‎（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．‎ 图14（1）　　　　　　图14（2）　　　　　　　　图14（3）‎ ‎【关键词】抛物线顶点和对称轴 ‎【答案】本小题满分16分(含附加4分) ‎ ‎ 图14（１）‎ 解：（1），‎ A（-1，0），‎ B（3，0）．‎ ‎（2）如图14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM．‎ 则 △AOC的面积=，△MOC的面积=，‎ ‎△MOB的面积=6，‎ ‎∴ 四边形 ABMC的面积 ‎=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．‎ ‎ 图14（2）‎ 说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面 积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．‎ ‎（3）如图14（2），设D（m，），连结OD．‎ 则 0＜m＜3， ＜0． ‎ 且 △AOC的面积=，△DOC的面积=， ‎ ‎△DOB的面积=-（），‎ ‎∴ 四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积 ‎=‎ ‎=．‎ ‎∴ 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为．‎ ‎（4）有两种情况：‎ 图14（3） 图14（4）‎ 如图14（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C．‎ ‎∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3． ‎ ‎∴ 点E的坐标为（0，3）． ‎ ‎∴ 直线BE的解析式为．‎ 由 解得 ‎ ‎∴ 点Q1的坐标为（-2，5）．如图14（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．‎ ‎∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3． ‎ ‎∴ 点F的坐标为（-3，0）．‎ ‎∴ 直线CF的解析式为．‎ 由 解得 ‎ ‎∴点Q2的坐标为（1，-4）．‎ 综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．‎ 说明：如图14（4），点Q2即抛物线顶点M，直接证明△BCM为直角三角形同样得2分． ‎ ‎35、（2009年甘肃庆阳）（10分）图19是二次函数的图象在x轴上方的一部分，若这段图象与x轴所围成的阴影部分面积为S，试求出S取值的一个范围．‎ 图19‎ ‎【关键词】二次函数和抛物线有关概念 ‎【答案】本小题满分10分 解：方法一：‎ 由题意，可知这段图象与x轴的交点为A（-2，0）、B（2，0），与y轴的交点为C（0，2）．‎ 显然，S在面积与过A、B、C三点的⊙O半圆面积之间．‎ ‎∵ =4，‎ ‎=，‎ ‎∴ 4AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．‎ 第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．‎ 因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，‎ 要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． ‎ 点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，‎ 直线A′′B′′的解析式为． ‎ 要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得．‎ 故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为．‎ ‎4‎ x ‎2‎ ‎2‎ A′‎ ‎8‎ ‎-2‎ O ‎-2‎ ‎-4‎ y ‎6‎ B′‎ C D ‎-4‎ ‎4‎ A′′‎ B′′‎ ‎51、（2009年舟山）如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上．‎ ‎(1)　求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；‎ ‎(2)　平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．‎ ‎①　当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；‎ ‎②　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎4‎ x ‎2‎ ‎2‎ A ‎8‎ ‎-2‎ O ‎-2‎ ‎-4‎ y ‎6‎ B C D ‎-4‎ ‎4‎ ‎【关键词】二次函数的应用 ‎【答案】解：(1) 将点A(-4，8)的坐标代入，解得． ‎ 将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)，‎ 则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)． ‎ 直线AP的解析式是． ‎ 令y=0，得．即所求点Q的坐标是(，0)． ‎ ‎4‎ x ‎2‎ ‎2‎ A ‎8‎ ‎-2‎ O ‎-2‎ ‎-4‎ y ‎6‎ B C D ‎-4‎ ‎4‎ Q P ‎(2)①　解法1：CQ=︱-2-︱=，‎ 故将抛物线向左平移个单位时，A′C+CB′最短，‎ 此时抛物线的函数解析式为． ‎ 解法2：设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m，-8)．‎ 直线A′′B′的解析式为． ‎ 要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，‎ 将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得． ‎ 故将抛物线向左平移个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为．‎ ‎4‎ x ‎2‎ ‎2‎ A′‎ ‎8‎ ‎-2‎ O ‎-2‎ ‎-4‎ y ‎6‎ B′‎ C D ‎-4‎ ‎4‎ A′′‎ ‎②　左右平移抛物线，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短；‎ 第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．‎ 第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．‎ 因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，‎ 要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． ‎ 点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，‎ 直线A′′B′′的解析式为． ‎ 要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得．‎ 故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为．‎ ‎4‎ x ‎2‎ ‎2‎ A′‎ ‎8‎ ‎-2‎ O ‎-2‎ ‎-4‎ y ‎6‎ B′‎ C D ‎-4‎ ‎4‎ A′′‎ B′′‎ ‎53、3.（2009年广州市）如图13，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为。‎ ‎（1）求该二次函数的关系式；‎ ‎（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴上午垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；‎ ‎（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎54、（2009年衡阳市）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．‎ ‎【关键词】二次函数解析式的求法 ‎【答案】解：设这个二次函数的关系式为得：‎ ‎ 解得：‎ ‎ ∴这个二次函数的关系式是，即 A2‎ ‎55、（2009年益阳市）阅读材料：‎ B C 铅垂高 水平宽 h ‎ a ‎ 图12-1‎ ‎ 如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.‎ ‎ 解答下列问题：‎ ‎ 如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.‎ ‎(1)求抛物线和直线AB的解析式；‎ ‎(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；‎ ‎ (3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 图12-2‎ x C O y A B D ‎1‎ ‎1‎ ‎ 【关键词】二次函数 ‎【答案】解：(1)设抛物线的解析式为：.‎ 把A（3,0）代入解析式求得 所以.‎ ‎ 设直线AB的解析式为：‎ 由求得B点的坐标为 .‎ 把，代入中 解得：‎ 所以.‎ ‎(2)因为C点坐标为(１,4)‎ 所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2‎ 所以CD＝4-2＝2.‎ ‎(平方单位).‎ ‎(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，‎ 则.‎ 由S△PAB=S△CAB 得：‎ 化简得：‎ 解得，‎ 将代入中，‎ 解得P点坐标为 ‎56、（2009年济宁市）某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件.‎ ‎（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？‎ ‎（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？‎ ‎【关键词】二次函数的实际应用 ‎【答案】解：(1) （130-100）×80=2400（元）；‎ ‎（2）设应将售价定为元，则销售利润 ‎.当时，有最大值2500.∴应将售价定为125元,最大销售利润是2500元.‎ ‎57、（2009年日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=‎2米，BC=‎1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆． ‎ ‎（1）当MN和AB之间的距离为‎0.5米时，求此时△EMN的面积； ‎ ‎（2）设MN与AB之间的距离为米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数； ‎ ‎（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由． ‎ E A B G N D M C ‎（第23题图）‎ ‎【关键词】二次函数的极值问题, 二次函数的应用, 相似三角形判定和性质 ‎【答案】 ‎ N EBB G D M A B C 图1‎ 解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为‎0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为‎0.5米.‎ 所以，S△EMN==0.5（平方米）.‎ 即△EMN的面积为‎0.5平方米.‎ ‎（2）①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，‎ 即0＜x≤1时， ‎ E ‎△EMN的面积S==；‎ ‎②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，‎ 即1＜x＜时，‎ 如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，‎ ‎∵ E为AB中点，‎ ‎∴ F为CD中点，GF⊥CD,且FG＝.‎ E A B G N D M C 图2‎ H F 又∵ MN∥CD，‎ ‎∴ △MNG∽△DCG．‎ ‎∴ ，即．‎ 故△EMN的面积S＝‎ ‎＝； ‎ 综合可得： ‎ ‎ ‎ ‎（3）①当MN在矩形区域滑动时，，所以有；‎ ‎②当MN在三角形区域滑动时，S=.‎ 因而，当（米）时,S得到最大值，‎ 最大值S===（平方米）. ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ S有最大值，最大值为平方米.‎ ‎58、（2009年福州）已知直线l：y=－x+m（m≠0）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在 线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将△ACM绕点M旋转180°，得到△FEM，则点E在y轴上, 点F在直线l上;取线段EO中点N,将ACM沿MN所在直线翻折，得到△PMG，其中P与A为对称点.记：过点F的双曲线为，过点M且以B为顶点的抛物线为，过点P且以M图10‎ 为顶点的抛物线为.‎ ‎(1) 如图10，当m=6时，①直接写出点M、F的坐标，②求、的函数解析式；‎ ‎（2）当m发生变化时， ①在的每一支上，y随x的增大如何变化？请说明理由。‎ ‎②若、中的y都随着x的增大而减小,写出x的取值范围。‎ ‎【关键词】相似三角形,用待定系数法求反比例函数和二次函数解析式,函数增减性.‎ ‎【答案】（１）①点Ｍ的坐标为（２，４），点Ｆ的坐标为（－２，８）．‎ ② 设的函数解析式为（．‎ ‎　∵过点Ｆ（－２，８）‎ ‎　∴的函数解析式为．‎ ‎∵的顶点Ｂ的坐标是（０，６）,‎ ‎∴设的函数解析式为．‎ ‎∵过点M（2，4）,‎ ‎∴.‎ ‎．‎ ‎∴的函数解析式为．‎ ‎（2）依题意得，A（m，０），B（０，m），‎ ‎∴点Ｍ坐标为（），点Ｆ坐标为（，）．‎ ‎①设的函数解析式为（．‎ ‎∵过点Ｆ（，）,‎ ‎∴．‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴在的每一支上，y随着x的增大而增大．‎ ‎②答：当＞０时，满足题意的x的取值范围为 0＜x＜；‎ 当＜０时，满足题意的x的取值范围为＜x＜０．‎ ‎59、（2009年宜宾）如图，在平面直角坐标系O中，等腰梯形OABC的下底边OA在的正半轴上，BC∥OA，OC=AB，tan∠BAO=,点B的坐标为（7，4）。‎ ‎（1）求A、C的坐标；‎ ‎（2）求经过点O、B、C的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在第一象限内（2）中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两个部分？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．‎ H G ‎【关键词】正切，坐标的意义，求二次函数解析式，求一次函数解析式，梯形和平行四边形的面积，一元二次方程，两直线平行时解析式的特征 ‎【答案】(1)过点B作BH⊥OA, 过点C作CG⊥OA,垂足分别为H、G.得△OCG≌△ABH.‎ ‎∵tan∠BAO=,∴=.‎ ‎∵点B的坐标为（7，4）,∴BH=4,AH=3.‎ ‎∴CG=BH=4,OG=AH=3.‎ ‎∴点A的坐标是(10,0),点C的坐标是(3,4).‎ ‎(2) 设经过点O、B、C的抛物线的解析式为,则 解得a=,b=,c=0.‎ ‎∴.‎ ‎(也可以利用抛物线的对称性求解析式)‎ ‎(3)直线AB的解析式是,直线OC的解析式是.‎ S梯形OABC=28，‎ 若经过点P且与等腰梯形OABC腰AB平行的直线解析式是，该直线交OA、BC于点M、N，‎ ‎∵S平行四边形MABN=S梯形OABC =14，∴BN==.∴点N的坐标是(,4).‎ 将(,4)代入,得m=.联立 消去y,得,x=.‎ 若经过点P且与等腰梯形OABC腰OC平行的直线解析式是，该直线交OA、BC于点K、L，‎ ‎∵S平行四边形OKLC= S梯形OABC =14，∴OK==.∴点K的坐标是(,0).‎ 将(,0)代入,得n=-.联立 消去y,得, x=.‎ H G H G ‎60、（2009年福州）如图9，等边边长为4，是边上动点，于H，过作∥，交线段于点，在线段上取点，使。设。‎ （1） 请直接写出图中与线段相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；‎ （2） 是线段上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时,求□EFPQ的面积（用含的代数式表示）；‎ ‎（3） 当（2）中 的□EFPQ面积最大值时，以E为圆心，为半径作圆，根据⊙E与此时□EFPQ四条边交点的总个数，求相应的的取值范围。‎ ‎【关键词】二次函数的极值,图形中的二次函数,菱形判定, 直线与圆的位置关系,分类讨论思想 ‎【答案】（１）ＢＥ、ＰＥ、BF三条线段中任选两条．‎ ‎（２）在Ｒt△ＣHＥ中，∠CHE＝9０°,∠Ｃ＝６０°，‎ ‎∴ＥH＝.‎ ‎∵PQ=EF=BE=4-x,‎ ‎∴．‎ ‎（３）‎ ‎∴当x＝２时，有最大值．‎ 此时E、F、P分别为△ABC三边BC、AB、AC的中点，且点C、 点Q重合 ‎∴平行四边形EFPQ是菱形．‎ 过Ｅ点作ＥD⊥ＦＰ于D，‎ ‎∴ＥD＝ＥH＝．‎ ‎∴当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是２个时，０＜r＜；‎ 当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是４个时，r＝； ‎ 当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是６个时，＜r＜２；‎ 当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是３个时，r＝２时；‎ 当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是０个时，r＞２时．‎ ‎61、（2009年重庆）某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：‎ 月份 ‎1月 ‎5月 销售量 ‎3.9万台 ‎4.3万台 ‎（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？‎ ‎（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了，且每月的销售量都比去年12月份下降了‎1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求的值（保留一位小数）．‎ ‎（参考 ‎（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【关键词】二次函数、一次函数、相似三角形.‎ ‎【答案】‎ 解：（1）（0，－3），b＝－，c＝－3．‎ ‎（2）由（1），得y＝x2－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．‎ ‎∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．‎ 由题意，得△BHP∽△BOC，‎ ‎∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，‎ ‎∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，‎ ‎∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．‎ ‎∴OH＝OB－HB＝4－4t．‎ 由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．‎ ‎∴OQ＝4t．‎ ‎①当H在Q、B之间时，‎ QH＝OH－OQ ‎＝（4－4t）－4t＝4－8t．‎ ‎②当H在O、Q之间时，‎ QH＝OQ－OH ‎＝4t－（4－4t）＝8t－4．‎ 综合①，②得QH＝｜4－8t｜；‎ ‎（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．‎ ‎①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，‎ 若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，‎ ‎∴t＝．‎ 若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，‎ 即t2＋2t－1＝0．‎ ‎∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）．‎ ‎②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．‎ 若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，‎ ‎∴t＝．‎ 若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，‎ 即t2－2t＋1＝0．‎ ‎∴t1＝t2＝1（舍去）．‎ 综上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝．‎ ‎4.（2009年广西梧州）如图（9）-1，抛物线经过A（，0），C（3，）两点，与轴交于点D，与轴交于另一点B．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若直线将四边形ABCD面积二等分，求的值；‎ D O B A x y C y=kx+1‎ ‎（3）如图（9）-2，过点E（1，1）作EF⊥轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，作MG⊥轴于点G，若线段MG︰AG＝1︰2，求点M，N的坐标．‎ E F M N G O B A x y Q ‎【关键词】二次函数、待定系数法、一元二次方程、四边形.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）解：把A（，0），C（3，）代入抛物线 得 ‎ ‎ ‎ 整理得 ‎ 解得 ‎ ∴抛物线的解析式为 ‎ ‎ （2）令 解得 ‎ ‎ ∴ B点坐标为（4，0） ‎ D O B A x y C B C y=kx+1‎ H T ‎ 又∵D点坐标为（0，）　　∴AB∥CD ∴四边形ABCD是梯形．‎ ‎ ∴S梯形ABCD ＝‎ 设直线与x轴的交点为H， ‎ 与CD的交点为T，‎ 则H（，0）， T（，）‎ ‎∵直线将四边形ABCD面积二等分 E F M N G O B A x y ‎∴S梯形AHTD ＝S梯形ABCD＝４‎ ‎∴　‎ ‎∴‎ ‎（3）∵MG⊥轴于点G，线段MG︰AG＝1︰2‎ ‎ ∴设M（m，）， ‎ ‎∵点M在抛物线上 ∴ ‎ 解得（舍去） ‎ ‎∴M点坐标为（3，）根据中心对称图形性质知，MQ∥AF，MQ＝AF，NQ＝EF，‎ ‎∴N点坐标为（1，） ‎ ‎5. (2009年甘肃定西)如图14（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］‎ ‎（1）　　　　　，点A的坐标为　　　　　　，点B的坐标为　　　　　；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；‎ ‎（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．‎ ‎【关键词】一次函数、二次函数、待定系数法、一元二次方程、四边形.‎ ‎【答案】‎ 解：（1），‎ A（-1，0），‎ B（3，0）．‎ ‎（2）如图14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM．‎ 则 △AOC的面积=，△MOC的面积=，‎ ‎△MOB的面积=6，‎ ‎∴ 四边形 ABMC的面积 ‎=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．‎ ‎ 图14（2）‎ 说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面 积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．‎ ‎（3）如图14（2），设D（m，），连结OD．‎ 则 0＜m＜3， ＜0． ‎ 且 △AOC的面积=，△DOC的面积=， ‎ ‎△DOB的面积=-（），‎ ‎∴ 四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积 ‎=‎ ‎=．‎ 图14（3） 图14（4）‎ ‎∴ 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为．‎ ‎（4）有两种情况：‎ 如图14（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C．‎ ‎∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3． ‎ ‎∴ 点E的坐标为（0，3）． ‎ ‎∴ 直线BE的解析式为．‎ 由 解得 ‎ ‎∴ 点Q1的坐标为（-2，5）．‎ 如图14（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．‎ ‎∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3． ‎ ‎∴ 点F的坐标为（-3，0）．‎ ‎∴ 直线CF的解析式为．‎ 由 解得 ‎ ‎∴点Q2的坐标为（1，-4）．‎ 综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．‎ 说明：如图14（4），点Q2即抛物线顶点M，直接证明△BCM为直角三角形同样得2分． ‎ ‎66、2009年包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．‎ ‎（1）求一次函数的表达式；‎ ‎（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？‎ ‎（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．‎ ‎【关键词】一次函数、二次函数、最大值 解：（1）根据题意得解得．‎ 所求一次函数的表达式为． （2分）‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ， （4分）‎ 抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，‎ 而，‎ 当时，．‎ 当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． （6分）‎ ‎（3）由，得，‎ 整理得，，解得，． （7分）‎ 由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而，所以，销售单价的范围是． （10分）‎ ‎（2009年包头）已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；‎ ‎（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．‎ y x O ‎【关键词】二次函数、相似三角形、运动变化、抛物线 解：（1）根据题意，得 解得．‎y x O B A D C ‎(x=m)‎ ‎(F2)F1‎ E1 (E2)‎ ‎． （2分）‎ ‎（2）当时，‎ 得或，‎ ‎∵，‎ 当时，得，‎ ‎∴，‎ ‎∵点在第四象限，∴． （4分）‎ 当时，得，∴，‎ ‎∵点在第四象限，∴． （6分）‎ ‎（3）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则 ‎，点的横坐标为，‎ 当点的坐标为时，点的坐标为，‎ ‎∵点在抛物线的图象上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴（舍去），‎ ‎∴，‎ ‎∴． （9分）‎ 当点的坐标为时，点的坐标为，‎ ‎∵点在抛物线的图象上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴（舍去），，‎ ‎∴，‎ ‎∴． （12分）‎ 注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．‎ ‎（2009年长沙）如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ y O x C N B P M A ‎【关键词】二次函数、运动变化、相似、存在性 ‎68、（2009年莆田）已知，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接．‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求证：；‎ E D C A F B x O y l E D C O F x y ‎（图1）‎ 备用图 ‎（3）点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【关键词】二次函数、抛物线、一次函数、相似三角形 ‎（1）解:方法一，如图1，当时,‎ 当时, ‎ E D C A F B x O y l ‎（图1）‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 设直线的解析式为，‎ 则　　　解得