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- 2021-05-10 发布
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42:解直角三角形和应用
一、选择题
1.(浙江宁波3分)如图,某游乐场一山顶滑梯的高为,滑梯的坡角为,那么滑梯长为
(A) (B) (C) (D)
【答案】A。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),三角函数定义。
【分析】由已知转化为解直角三角形问题,角的正弦等于对边比斜边求出滑梯长:∵,
∴。故选A。
2.(广西北海3分)如图所示,渔船在A处看到灯塔C在北偏东60º方向上,
渔船向正东方向航行了12海里到达B处,在B处看到灯塔C在正北方向上,
这时渔船与灯塔C的距离是
A.12海里 B.6海里 C.6海里 D.4海里
【答案】D。
【考点】解直角三角形,特殊角的三角函数值。
【分析】由已知,可知∠ABC=90º,∠BAC=30º, AB=12,所以BC=,故选D。
3.(湖南衡阳3分)如图所示,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:,堤高BC=5cm,则坡面AB的长是
A、10m B、10m C、15m D、5m
【答案】A。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),锐角三角函数,含30度角直角三角形的性质。
【分析】河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:,即,∴∠BAC=30°,∴AB=2BC=2×5=10。故选A。
4.(山东滨州3分)
在△ABC中,∠C=90°,∠A=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)
A、9.1 B、9.5 C、3.1 D、3.5
【答案】C。
【考点】解直角三角形。
【分析】在Rt△ABC中,根据三角函数的定义有cosA=,∴ AC=AB•cosA=10·cos72°≈3.1。故选C。
5.(山东东营3分)河堤横断面如图所示.堤高BC=5,迎水坡AB的坡比是 (坡比是坡面的铅直高度BC与水乎宽度AC之比).则AC的长是
A,米 8.10米 C. 15米 D.米
【答案】A。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),锐角三角函数定义。
【分析】由已知BC:AC=,即tanA=;由正切函数的定义,tanA=,而BC=5米,从而AC==米。故选A。
6.(山东潍坊3分)身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛,四人放出风筝的线长、线与地面夹角如表(假设风筝线是拉直的),则四名同学所放的风筝中最高的是.
同学
甲
乙
丙
丁
放出风筝线长
140m
100m
95m
90m
线与地面夹角
30°
45°
45°
60°
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】D。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),特殊角的三角函数,无理数的大小比较。
【分析】根据题意画出图形,分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可:如图,
甲中,AC=140,∠C=30°,AB=140×sin30°=70=
;乙中,DF=100,∠C=45°,DE=100×sin45°=50
=;丙中,GI=95,∠I=45°,GH=95×sin45°==;丁中,JL=90,∠C=60°,JK=90
×sin60°=45=。∵<<<,∴GH<AB<DE<JK。可见丁同学所放的风筝最高。故选D。
7.(湖北荆门3分)在△ABC中,∠A=120°,AB=4,AC=2,则sinB的值是
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】解直角三角形,锐角三角函数定义,勾股定理。
【分析】作CD⊥BD,交BA的延长线于D,
∵∠A=120°,AB=4,AC=2,∴∠DAC=60°,∠ACD=30°。
∴2AD=AC=2。∴AD=1,CD=。∴BD=5,∴BC=2。
∴sinB= 。故选D。
8.(内蒙古乌兰察布4分)某厂家新开发的一种电动车如图,它的大灯A射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为 8和 10,大灯A与地面离地面的距离为lm则该车大灯照亮地面的宽度BC是 ▲ m .(不考虑其它因素)
【答案】。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义。
【分析】过点A作AD⊥BC,垂足为点D。由锐角三角函数定义,得
BC=BD-CD=。
b
a
B
A
9.(四川绵阳3分)周末,身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园,准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图,小芳站在A处测得她看塔顶的仰角a 为45°,小丽站在B处(A、B与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角b 为30°.她们又测出A、B两点的距离为30米.假设她们的眼睛离头顶都为10 cm,则可计算出塔高约为(结果精确到0.01,参考数据:≈1.414,≈1.732)
A.36.21米 B.37.71米 C.40.98米 D.42.48米
【答案】D。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)
【分析】:已知小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°,小丽站在B处(A、B与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角β为30°,A、B两点的距离为30米.假设她们的眼睛离头顶都为10cm,所以设塔高为米,则得:解得:≈42.48。故选D。
10.(青海西宁3分)某水坝的坡度i=1:,坡长AB=20米,则坝的高度为
A.10米 B.20米 C.40米 D.20米
【答案】A。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),勾股定理。
【分析】如图:∵坡度i=1: 3,∴设AC=x,BC= 3x,
根据勾股定理得,AC2+BC2=AB2,则x2+( 3x)2=202,解得x=10。故选A。
11.(贵州毕节3分)如图,将一个Rt△ABC形状
的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩
底下,使木桩向上运动,已知楔子斜面的倾斜角为
200,若楔子沿水平方向前移8cm(如箭头所示),则
木桩上升了
A、 B、 C、 D、
【答案】A。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)。
【分析】根据已知,运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为:8tan20°。故选A。
二、填空题
1.(天津3分)如图,AD,AC分别是⊙O的直径和弦.且∠CAD=30°.OB⊥AD,交AC于点B.若OB=5,则BC的长等于 ▲ 。
【答案】5。
【考点】解直角三角形,直径所对圆周角的性质。
【分析】∵在Rt△ABO中,,
∴AD=2AO=。
连接CD,则∠ACD=90°。
∵在Rt△ADC中,,
∴BC=AC-AB=15-10=5。
2.(重庆潼南4分)如图,某小岛受到了污染,污染范围可以大致看成是以点O为圆心,AD长为直径的圆形区域,为了测量受污染的圆形区域的直径,在对应⊙O的切线BD(点D为切点)上选择相距300米的B、C两点,分别测得∠ABD=30°,∠ACD=60°,则直径AD= ▲ 米.(结果精确到1米)
(参考数据:)
【答案】260。
【考点】解直角三角形的应用,特殊角的三角函数值,锐角三角函数定义,解分式方程。
【分析】设CD=,则由∠ADC=90°,∠ACD=60°可得AC=2, AD=,
由BC=300,得BD=300+,
在Rt△ABD中, tinB=,∴,解并检验得:=150。
∴AD==(米)。
故答案为:260米.
3.(浙江义乌4分)右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图.其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线,∠ABC=135°,BC的长约是m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 ▲ m.
【答案】5。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)。
【分析】过点C作AB的延长线的垂线CE,即乘电梯从点B到点C上升的高度h,
∵已知∠ABC=135°,∴∠CBE=180°-∠ABC=45°。
∴CE=BC•sin∠CBE=·sin45°=。
∴h=5。
4.(湖南岳阳3分)如图,在顶角为30°的等腰三角形ABC中,AB=AC,若过点C作CD⊥AB于点D,则∠BCD=15°.根据图形计算tan15°= ▲ .
【答案】。
【考点】解直角三角形,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,锐角三角函数定义。
【分析】由已知设AB=AC=2,
∵∠A=30°,CD⊥AB,∴CD=AC=,则AD2=AC2﹣CD2=(2)2﹣2=32。
∴AD=。
∴BD=AB﹣AD=2﹣=(2﹣),
∴tan15°=。
5.(湖南株洲3分)如图,孔明同学背着一桶水,从山脚A出
发,沿与地面成角的山坡向上走,送水到山上因今年春季
受旱缺水的王奶奶家(B处),AB=80米,则孔明从A到B上
升的高度BC是 ▲ 米.
【答案】40。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),含30°的角的直角三角形的性质。
【分析】根据题意将实际问题转化为关于解直角三角形的问题,利用“直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半”即可求得BC=80× 12=40米。
6.(江苏南通3分)如图,为了测量河宽AB(假设河的两岸平行),
测得∠ACB=30°,∠ADB=60°,CD=60m,则河宽AB为 ▲
m(结果保留根号).
【答案】A。
【考点】解直角三角形,特殊角三角函数,二次根式计算。
【分析】在Rt∆ABD和Rt∆ABC中
7.(广东茂名3分)如图,在高出海平面100米的悬崖顶A处,观测海平面上一艘小船B,并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC= ▲ 米.
【答案】100。
【考点】解直角三角形的应用。
【分析】∵在高出海平面100米的悬崖顶A处,观测海平面上一艘小船B,并测得它的俯角为45°,
∴船与观测者之间的水平距离BC=AC=100米。
8. (湖北襄阳3分)在207国道襄阳段改造工程中,需沿AC方向开山修路(如图所示),为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=1000m,∠D=50°.为了使开挖点E在直线AC上,那么DE= ▲ m.
(供选用的三角函数值:sin50°=0.7660,cos50°=0.6428,tan50°=1.192)
【答案】642.8 。
【考点】解直角三角形的应用,平角定义,三角形内角和定理,锐角三角函数定义。
【分析】先判断出△BED的形状,再根据锐角三角函数的定义解答即可:
∵∠ABD=140°,∴∠DBE=180°﹣140°=40°。
∵∠D=50°,∴∠E=180°﹣∠DBE﹣∠D=180°﹣40°﹣50°=90°。
∴DE =BD·cos∠D=1000×cos50°=1000×0.6428=642.8 (m)。
9.(湖北黄冈、鄂州3分)如图,在△ABC中E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点,设△ABC,△ADF,△BEF的面积分别为S△ABC,S△ADF,S△BEF,且S△ABC=12,则S△ADF﹣S△BEF= ▲ .
【答案】2。
【考点】三角形的面积。
【分析】∵点D是AC的中点,S△ABC=12,∴S△ABD=×12=6。
∵EC=2BE,S△ABC=12,∴S△ABE=×12=4。
∴S△ADF﹣S△BEF=S△ABD﹣S△ABE=6﹣4=2。
10.(甘肃兰州4分)某水库大坝的横截面是梯形,坝内斜坡的坡度i=1:,坝外斜坡的坡度i=1:1,则两个坡角的和为 ▲ .
【答案】75°。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),坡度计算,特殊角的三角函数值。
【分析】坝内斜坡的坡度i=1:,说明tga=,则a=30° 外斜坡的坡度i=1:1,说明tgv=1,v=450,两角和为75°。
11.(福建三明4分)如图,小亮在太阳光线与地面成35°角时,测得树AB在地面上的影长BC=18m,则树高AB约为 ▲ m(结果精确到0.1m)
【答案】12.6。
【考点】解直角三角形的应用。
【分析】利用所给角的正切函数求解:∵tanC,∴AB= BC ·tanC=18×tan35°≈12.6(米)。一般角的三角函数值需要利用计算器计算。
12.(福建莆田4分)如图,线段AB、DC分别表示甲、乙两座楼房的高,AB⊥BC,DC⊥BC,两建筑物间距离BC=30米,若甲建筑物高AB=28米,在点A测得D点的仰角α=45°,则乙建筑物高DC= ▲ 米。
【答案】58。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题),矩形的判定和性质。。
【分析】过点A作AE⊥CD于点E.
根据题意,得∠DAE=45°,AE=DE=BC=30,
∴DC=DE+EC=DE+AB=30+28=58(米)。
13.(福建莆田4分)如图,一束光线从点A(3, 3)出发,经过y轴上的点C反射后经过点B(1, 0),则光线从A到B点经过的路线长是 ▲ 。
【答案】5。
【考点】解直角三角形的应用,轴对称的性质,勾股定理。
【分析】如图,延长AC交x轴于B′,
则根据光的反射原理点B、B′关于y轴对称,CB=CB′。
作AD⊥x轴于D点,则AD=3,DB′=3+1=4,
∴由勾股定理可得AB′= 。
即光线从点A到点B经过的路径长为5。
三、解答题
1.(北京5分)如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的长.
【答案】解:(1)证明:连接AE。∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°。
∴∠1+∠2=90°。
∵AB=AC,∴∠1=∠CAB。
∵∠CBF=∠CAB,∴∠1=∠CBF。∴∠CBF+∠2=90°。即∠ABF=90°。
∵AB是⊙O的直径,∴直线BF是⊙O的切线。
(2)过点C作CG⊥AB于点G。
∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF,∴sin∠1=。
∵∠AEB=90°,AB=5,∴BE=AB•sin∠1=。
∵AB=AC,∠AEB=90°,∴BC=2BE=2。
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE=2,∴sin∠2=,cos∠2=。
在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,∴AG=3。
∵GC∥BF,∴△AGC∽△BFA。∴。∴。
【考点】切线的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,解直角三角形。
【分析】(1)连接AE,利用直径所对的圆周角是直角,从而判定直角三角形,利用直角三角形两锐角相等得到直角,从而证明∠ABE=90°。
(2)利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA,利用对应边的比求得线段的长即可。
2.(天津8分)某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景.如图,游轮出发点A与望海楼B的距离为300 m.在一处测得望海校B位于A的北偏东30°方向.游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C.在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向.求此时游轮与望梅楼之间的距离BC (取l.73.结果保留整数).
【答案】解:根据题意,AB=10,如图,过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D。
在Rt△ADB中,∵ ∠BAD=300,∴。
在Rt△CDB中,。
答:此时游轮与望梅楼之间的距离约为173 m。
【考点】解直角三角形的应用。
【分析】要求BC的长,就要把它作为直角三角形的边,故辅助线过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D,形成两个直角三角形,利用三角函数解直角三角形先求BD再求出BC。
3.(重庆綦江6分)如图,小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD,点A是小刚的眼睛,测得屏幕下端D处的仰角为30°,然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处,又测得该屏幕上端C处的仰角为45°,延长AB与楼房垂直相交于点E,测得BE=21米
,请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD.(结果保留根号)
【答案】解:∵∠CBE=45°,CE⊥AE,∴CE=BE =21。∴AE=AB+BE=21+6=27。
在Rt△ADE中,∠DAE=30°,DE=AE·tan30°=27×=9,
∴CD=CE﹣DE=21﹣9。
∴广告屏幕上端与下端之间的距离约为21﹣9m。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)。
【分析】易得CE=BE,利用30°的正切值即可求得CE长,从而可求得DE长.CE减去DE长即为广告屏幕上端与下端之间的距离。
4.(浙江绍兴8分)为倡导“低碳生活”,常选择以自行车作为代步工具,如图1所示是一辆自行车的实物图.车架档AC与CD的长分别为45cm,60cm,且它们互相垂直,座杆CE的长为20cm,点A,C,E在同一条直线上,且∠CAB=75°,如图2.
(1)求车架档AD的长;
(2)求车座点E到车架档AB的距离.
(结果精确到 1cm.参考数据:sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75≈3.7321)
【答案】解:(1)AD= ,
∴车架当AD的长为75cm。
(2)过点E作EF⊥AB,垂足为点F,
距离EF=AEsin75°=(45+20)sin75°≈62.7835≈63cm。
∴车座点E到车架档AB的距离是63cm。
【考点】解直角三角形的应用,勾股定理,锐角三角函数。
【分析】(1)在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可。
(2)过点E作EF⊥AB,在Rt△EFA中,利用三角函数求EF=AEsin75°,即可得到答案。
5.(浙江金华、丽水6分)
生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当50°≤α≤70°时(α为梯子与地面所成的角),能够使人安全攀爬.现在有一长为6米的梯子AB,试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度AC.
(结果保留两个有效数字,sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)
【答案】解:当α=70°时,梯子顶端达到最大高度,
∵sinα=,∴AC=sin70°×6≈0.94×6=5.64≈5.6(米).
答:人安全攀爬梯子时,梯子的顶端达到的最大高度约5.6米。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),有效数字。
【分析】易知α越大,梯子顶端达到最大高度,利用70°正弦值可得最大高度AC。
6.(浙江台州10分)丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形,作为要制作的风筝的一个翅膀.请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE、CD的长度(精确到个位,≈1.7).
【答案】解:由∠ABC=120º可得∠EBC=60º。
在Rt△BCE中,CE=51,∠EBC=60º,
∴tan60º=, BE==≈30 。
在矩形AECF中,由∠BAD=45º,得∠ADF=∠DAF=45º 。
∴DF=AF=51。∴FC=AE=34+30=64。∴CD=FC-FD≈64-51=13。
因此BE的长度约为30cm,CD的长度约为13cm 。
【考点】解直角三角形的应用,矩形的性质,锐角三角函数。
【分析】在Rt△BCE中,CE=51,∠EBC=60°,求得BE,在矩形AECF中,由∠BAD-45°,从而求得DF=AF=51,从而求得BE,CD的长度。
7.(浙江省10分)图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图,图2为其示意图,吊臂AB与地面EH平行,测得A点到楼顶D的距离为5m,每层楼高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面.
(1)求16层楼房DE的高度;
(2)若EF=16m,求塔吊的高CH 的长(精确到0.1m).
【答案】解:(1)据题意得:DE=3.5×16=56。
(2)AB=EF=16。
∵∠ACB=∠CBG-∠CAB=15°,∴∠ACB =∠CAB。∴CB=AB=16。
∴CG=BC×sin30°= 8。∴CH=CG+HG=CG+DE+AD=8+56+5=69。
∴塔吊的高CH的长为69.0m。
【考点】解直角三角形的应用,矩形的性质,三角形外角定理,等腰三角形的判定,特殊角三角函数值。
【分析】(1) 每层楼高×层数即得。
(2)要求CH 的长,求出CG即可,解直角三角形CBG即可得。
8. (辽宁沈阳10分)小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程,绘制了如图所示的平面图形.已知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO′=2米.当吊臂顶端由A点抬升至A′点(吊臂长度不变)时,地面B处的重物(大小忽略不计)被吊至B′处,紧绷着的吊缆A′B′=AB.AB垂直地面O′B于点B,A′B′垂直地面O′B于点C,吊臂长度OA′=OA=10米,且cosA=,sinA′=.
⑴求此重物在水平方向移动的距离BC;
⑵求此重物在竖直方向移动的距离B′C.(结果保留根号)
【答案】解:⑴过点O作OD⊥AB于点D,交A′C于点E。
根据题意可知EC=DB=OO′=2,ED=BC,
∴∠A′ED=∠ADO=90°。
在Rt△AOD中,∵cosA=,OA=10,
∴AD=6。∴OD==8。
在Rt△A′OE中,∵sinA′=,OA′=10,
∴ OE=5。∴BC=ED=OD-OE=8-5=3。
⑵在Rt△A′OE中,A′E==。
∴B′C=A′C-A′B′=A′E+CE-AB=A′E+CE-(AD+BD)
=+2-(6+2)=-6。
答:此重物在水平方向移动的距离BC是3米,此重物在竖直方向移动的距离B′C是(-6)米。
【考点】解直角三角形的应用,勾股定理,锐角三角函数。
【分析】(1)先过点O作OD⊥AB于点D,交A′C于点E,则得出EC=DB=OO′=2,ED=BC,通过解直角三角形AOD和A′OE得出OD与OE,从而求出BC。
(2)先解直角三角形A′OE,得出A′E,然后求出B′C。
9.(辽宁大连12分)如图,某建筑物BC上有一旗杆AB,小明在与BC相距12m的F处,由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°,小明的观测点与地面的距离EF为1.6m.
求建筑物BC的高度;
⑵求旗杆AB的高度.
(结果精确到0.1m.参考数据:≈1.41,sin52°≈0.79,tan52°≈1.28)
【答案】解:(1)过点E作ED⊥BC于D,
∵底部B的仰角为45°,即∠BED=45°,
∴∠EBD=45°。∴BD=ED=FC=12。
∴BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=13.6。
答:建筑物BC的高度为13.6m。
(2)∵由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°,即∠AED=52°,
∴AD=ED•tan52°≈12×1.28≈15.4。
∴AB=AD--BD=15.4-12=3.4。
答:旗杆AB的度约为3.4m。
【考点】解直角三角形的应用,等腰直角三角形的性质,锐角三角函数。
【分析】(1)先过点E作ED⊥BC于D,由已知底部B的仰角为45°得BD=ED=FC=12,DC=EF=1.6,从而求出BC。
(2)由已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°可求出AD,则AB=AD-BD。
10.(辽宁本溪10分)
如图,港口B在港口A的西北方向,上午8时,一艘轮船从港口A出发,以15海里∕时的速度向正北方向航行,同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行,上午10时轮船到达D处,同时快艇到达C处,测得C处在D处得北偏西30°的方向上,且C、D两地相距100海里,求快艇每小时航行多少海里?(结果精确到0.1海里∕时,参考数据≈1.41,≈1.73)
【答案】解:过点C作AD的垂线,交AD的延长线于点F,过点A作CB的垂线,交CB的延长线于点E。
在Rt △CDF中,∵∠CDF=30°,∴CF=CD=50。
DF=CD•cos30°=。
∵CF⊥AF,EA⊥AF,BE⊥AE,∴∠CEA=∠EAF=∠AFC=90°。
∴四边形AECF是矩形。∴AE=CF=50,CE=AF。
在Rt △AEB中,∠EAB=90°-45°=45°,∴BE=AE=50。
∴CB=AD+DF-BE=。
∴(海里/时)。
答:快艇每小时航行33.3海里∕时。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数,矩形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】由已知先构建Rt △CFD和矩形AEFC,能求出CF和FD,已知测得C处在D处得北偏西30°的方向上,港口B在港口A的西北方向,所以BE=AE=CF,由已知求出AE,则能求出BC,从而求出答案。
11.(辽宁丹东10分)数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度,已知CD=2m.经测量,得到其它数据如图所示.其中∠CAH=30°,∠DBH=60°,AB=l0m.请你根据以上数据计算GH的长。
(≈1.73.要求结果精确到0.1m)
【答案】解:延长CD交AH于点E,易知∠AEC=90°,设GH=CE=,则DE=-2。
在Rt△BED中,,则AE=AB+BE=10+。
在Rt△AEC中,,
即,
解得。
∴GH的长为7.7 m。
12.(辽宁抚顺10分)如图,在斜坡AB上有一棵树BD,由于受台风影响而倾斜,恰好与坡面垂直,在地面上C点处测得树顶部D的仰角为60°,测得坡角∠BAE=30°,AB=6米,AC=4米.求树高BD的长是多少米?(结果保留根号)
【答案】解:延长DB交AE于F,由题可得BD⊥AB。
在Rt△ABF中∠BAF=30°,AB=6,
∴ BF=AB·tan∠BAF=6·tan30°=2,
AF=,
∠DFC=60°。
∵ ∠C=60°,∴ ∠C=∠CFD=∠D=60°。
∴ △CDF是等边三角形。∴ DF=CF=AC+AF=4+。
∴ DB=DF-BF=(4+)-2=2+4。
答:树高BD的长是(2+4)米。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数,等边三角形的判定和性质。
【分析】要求树高BD,即要将它放到三角形中,故作辅助线:延长DB交AE于F,这样DB=DF-BF。一方面在Rt△ABF中应用锐角三角函数可求得BF和AF,另一方面可证△CDF是等边三角形。从而得求。
13.(吉林省7分)如图所示,为求出河对岸两棵树A.B间的距离,小坤在河岸上选取一点C,然后沿垂直于AC的直线的前进了12米到达D,测得∠CDB=900。取CD的中点E,测∠AEC=560, ∠BED=670,求河对岸两树间的距离(提示:过点A作AF⊥BD于点F)
(参考数据sin560≈ ,tan560 ≈,sin670≈,tan670≈)
【答案】解:∵E为CD中点,CD=12,∴CE=DE=6。
在Rt△ACE中,∵tan56°=,∴AC=CE·tan56°≈6×=9。
在Rt△BDE中,∵tan67°= ,∴BD=DE. tan67°=6×=14 。
∵AF⊥BD ,∴AC=DF=9,AF=CD=12。∴BF=BD-DF=14-9=5。
在Rt△AFB中,AF=12,BF=5,
∴。
∴两树间距离为13米。
【考点】矩形的性质,解直角三角形,锐角三角函数,勾股定理。
【分析】利用锐角三角函数求出AC,BD,即可在Rt⊿AFB中应用勾股定理求出AB。
14.(吉林长春5分)平放在地面上的直角三角形铁板ABC的
一部分被沙堆掩埋,其示意图如图所示.量得角A为54°,斜
边AB的长为2.1m,BC边上露出部分BD长为0.9m.求铁板BC边被掩埋部分CD的长.(结果精确到0.1m)
【参考数据:sin54°=0.81,cos54°=0.59,tan54°=1.38】
【答案】解:CD=BC-BD=AB•sin54°-BD=2.1×0.81-0.9=0.801≈0.8(m)。
答:板BC边被掩埋部分CD的长为0.8 m。
【考点】解直角三角形的应用。
【分析】首先根据三角函数求得BC的长,然后根据CD=BC-BD即可求解。
15.(黑龙江大庆6分)如图,一艘轮船以30海里/小时的速度向正北方向航行,在A处测得灯塔C在北偏西30º方向,轮船航行2小时后到达B处,在B处测得灯塔C在北偏西45º方向.求当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时与灯塔C的距离(结果精确到0.1海里,参考数据:≈1.41,≈1.73).
【答案】解:设
在△中,得,
∵,∴。
在△ACD中,,∴,即。
解得。
∴(海里)。
∴当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时,轮船与灯塔C的距离为81.9海里。
【考点】解直角三角形的应用。
【分析】因为CD是△CDB和△ADC的共有直角边,那么可用CD来表示出AD和BD,再根据AB的长来求出CD。
16.(广西贺州7分)某校教学楼后面紧邻着一个山坡,坡上面是一块平地,
如图所示,BC∥AD,BE⊥AD,斜坡AB长为26米,坡角∠BAD=68°.为
了减缓坡面防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该斜坡进行改造,经
地质人员勘测,当坡角不超过50°时,可确保山体不滑坡.
(1)求改造前坡顶到地面的距离BE的长(精确到0.1米);
(2)如果改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC向左移11米到F点处,
问这样改造能确保安全吗?
(参考数据:sin 68°≈0.93,cos 68°≈0.37,tan 68°≈2.48,sin 58°12’≈0.85,tan 49°30’≈1.17)
【答案】(1)解:在Rt△ABE中,AB=26,∠BAD=68° ,∴sin∠BAD=。
∴BE=AB·sin∠BAD=26×sin 68°≈24.2米。
A
C
B
D
E
F
·
M
(2)解:过点F作FM⊥AD于点M,连结AF。
∵BE⊥AD,BC∥AD,BF=11,
∴FM=BE=24.2,EM=BF=11。
在Rt△ABE中,cos∠BAE=,
∴AE=AB·cos∠BAE=26×cos 68°≈9.62米。
∴AM=AE+EM=9.62+11=20.62 。
在Rt△AFM中,∴tan∠FAM==≈1.17。
∴∠FAM≈49°30’<50° ,
∴这样改造能确保安全。
【考点】解直角三角形的应用,矩形的性质。
【分析】(1)在Rt△ABE中,应用锐角三角函数直接可求BE的长。
(2)这样改造能否确保安全,只要∠FAM<50°即安全,否则不安全。因此解Rt△ABE即可。
17.(广西崇左12分)2011年3月11日
13时46分日本发生了9.0级大地震,伴随着就是海啸.山坡上有一颗与水平面垂直的大树,海啸过后,大树被刮倾斜后折断倒在山坡上,树的顶部恰好接触到坡面(如图所示).已知山坡的坡角∠AEF=23°,测得树干的倾斜角为∠BAC=38°,大树被折断部分和坡面的角∠ADC=60°,AD=4米.
(1)求∠DAC的度数;
(2)求这棵大树折断前高是多少米?(注:结果精确到个位)(参考数据:)
【答案】解:(1)∵∠GAE=90°-∠AEG=90°-23°=67°,
=∠DAC=180°-∠BAC-∠GAE
=180°-38°-67°=75°;
(2)过点A作CD的垂线,设垂足为H,
则在Rt△ADH中,∵∠ADC=60°,AD=4,
∴DH=2,AH=。
在Rt△ACH中,∵∠C=45°,∴CH=AH=,AC=。
∴这棵大树折断前高为AC+CH+DH=++2≈10米.。
【考点】解直角三角形的应用,三角形内角和定理,特殊角三角函数。
【分析】(1)通过延长BA交EF于一点G,则∠CAD=180°-∠BAC-∠EAG即可求得。
(2)作AH⊥CD于H点,作CG⊥AE于G点,先求得CD的长,然后再求得CG的长。
18.(广西柳州8分)在学习了解直角三角形的有关知识后,一学习小
组到操场测量学校旗杆的高度.如图,在测点D处安置测倾器,测得
旗杆顶的仰角∠ACE的大小为30º,量得仪器的高CD为1.5米,测点
D到旗杆的水平距离BD为18米,请你根据上述数据计算旗杆AB的
高度(结果精确到0.1米;参考数据≈1.73)
【答案】解:在Rt△ACE中,∠ACE=30°,CE=BD=15,
∴tan∠ACE=。
∴AE=CE·tan∠ACE=15·tan30°=5。
∴AB=AE+BE=5+1.5=8.6+1.5=10.1(米)
【考点】解直角三角形的应用。
【分析】在Rt△ACE中,已知角的邻边求对边,可以用正切求AE,再加上BE即可。
19.(广西钦州8分)某校教学楼后面紧邻着一个山坡,坡上面是一块平地,
如图所示,BC∥AD,BE⊥AD,斜坡AB长为26米,坡角∠BAD=68°.为
了减缓坡面防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该斜坡进行改造,经
地质人员勘测,当坡角不超过50°时,可确保山体不滑坡.
(1)求改造前坡顶到地面的距离BE的长(精确到0.1米);
(2)如果改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC向左移11米到F点处,
问这样改造能确保安全吗?
(参考数据:sin 68°≈0.93,cos 68°≈0.37,tan 68°≈2.48,sin 58°12’≈0.85,tan 49°30’≈1.17)
【答案】(1)解:在Rt△ABE中,AB=26,∠BAD=68° ,∴sin∠BAD=。
∴BE=AB·sin∠BAD=26×sin 68°≈24.2米。
A
C
B
D
E
F
·
M
(2)解:过点F作FM⊥AD于点M,连结AF。
∵BE⊥AD,BC∥AD,BF=11,
∴FM=BE=24.2,EM=BF=11。
在Rt△ABE中,cos∠BAE=,
∴AE=AB·cos∠BAE=26×cos 68°≈9.62米。
∴AM=AE+EM=9.62+11=20.62 。
在Rt△AFM中,∴tan∠FAM==≈1.17。
∴∠FAM≈49°30’<50° ,
∴这样改造能确保安全。
【考点】解直角三角形的应用,矩形的性质。
【分析】(1)在Rt△ABE中,应用锐角三角函数直接可求BE的长。
20.(广西梧州8分)如图,某小区楼房附近有一个斜坡,小张发现楼房在水平地面与斜坡处形成的投影中,在斜坡上的影子长CD=6m,坡角到楼房的距离CB=8m.在D点处观察点A的仰角为540,已知坡角为300,你能求出楼房AB的高度吗?
(tan54°≈1.38,结果精确到0.1 m)
【答案】解:过D点作DF⊥AB,交AB于点F。
在Rt△ECD中,CD=6,∠ECD=30°,∴DE=3=FB,EC=3。
∴DF=EC+CB=8+3。
在Rt△ADF中,tan∠ADF=,
∴AF=DF·tan54°=(8+3)×1.38≈18.20。
∴AB=AF+FB=18.20+3=21.20≈21.2。
∴楼房AB的高度约是21.2m。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数。
【分析】分别在Rt△ECD和Rt△ADF中应用锐角三角函数解直角三角形即可求得。
21.(广西玉林、防城港8分)假日,小强在广场放风筝.如图,小强为了计算风筝离地面的高度,他测得风筝的仰角为60°,已知风筝线BC的长为10米,小强的身高AB为1.55米,请你帮小强画出测量示意图,并计算出风筝离地面的高度.(结果精确到1米,参考数据 ≈1.41,≈1.73 )
【答案】解:根据题意画出图形,在Rt△CEB中,sin60°=,
∴CE=BC•sin60°=10×≈8.65m。
∴CD=CE+ED=8.65+1.55=10.2≈10m,
答:风筝离地面的高度为10m。
【考点】解直角三角形的应用。
【分析】根据题意画出图形,根据sin60°=可求出CE的长,再根据CD=CE+ED即可得出答案。
22.(湖南长沙9分)如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图,上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、 BE和一段水平平台DE构成。已知天桥高度BC≈4.8米,引桥水平跨度AC=8米。
(1)求水平平台DE的长度;
(2)若与地面垂直的平台立枉MN的高度为3米,求两段楼梯AD与BE的长度之比。
(参考数据:取sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75)
【答案】解:(1)延长BE交AC于F,过点E作EG⊥AC,垂足为G,
在Rt△BCF中,
CF=,
∴AF=AC-CF=8-6.4=1.6。
已知BE∥AD,∴四边形AFED为平行四边形,∴DE=AF=1.6。
答:水平平台DE的长度为1.6米。
(2)在Rt△EFG中,EG=MN=3,∴,即AD=5。
∴BE=BF-EF=8-5=3。
所以两段楼梯AD与BE的长度之比5:3。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数,平行四边形和矩形的判定和性质。
【分析】(1)首先由已知构造直角三角形如图,延长BE交AC于F,过点E作EG⊥AC,垂足为G,解Rt△BCF求得CF,又由已知BE∥AD,四边形AFED为平行四边形,所以DE=AF=AC-CF。
(2)由四边形EGNM是矩形可得,EG=MN=3,解Rt△EGF可求出EF,则BE=BF-EF,而AD=EF,从而求得两段楼梯AD与BE的长度之比。
23.(湖南常德8分)青青草原上,灰太狼每天都想着如何抓羊,而且是屡败屡试,永不言弃,(如图所示)一天,灰太狼在自家城堡顶部A处观察羊羊们时,发现懒羊羊在大树底下睡觉,此时,测得懒羊羊所在地B处得俯角为60°,然后下到城堡的C处,测得B处得俯角为30°。已知AC=40米,若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发,几秒钟后能抓到懒羊羊?(结果精确到个位)
【答案】解:在Rt△BCD中,
∵∠BCD=90°﹣30°=60°,∴,则 BD=CD,
在Rt△ABD中,
∵∠ABD=60°,∴,即,解得:CD=20,
∴t=。
∴约7秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)。
【分析】分别在直角三角形中表示出BD,利用锐角三角函数求得CD的长即可。
24.(湖南湘潭6分)
莲城中学九年级数学兴趣小组为测量校内旗杆高度,如图,在C点测得旗杆顶端A的仰角为30°,向前走了6米到达D点,在D点测得旗杆顶端A的仰角为60°(测角器的高度不计).
(1)AD= 米;
(2)求旗杆AB的高度().
【答案】解:(1)6。
(2)在Rt△ABD中,∵AD=6,∠ADB=60°,
∴AB=。
∴旗杆AB的高度为5.2米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题),三角形外角定理,锐角三角函数,特殊角三角函数值。
【分析】(1)∵∠DAC=∠ADB-∠C=60°-30°=30°,∴∠DAC=∠C。
∴AD=CD=6。
(2)在Rt△ABD中,应用正弦函数定义即可求。
25.(湖南张家界8分)如图,某船由西向东航行,在点A测得小岛O在北偏东60°,船航行了10海里后到达点B,这时测得小岛O在北偏东45°,船继续航行到点C时,测得小岛O恰好在船的正北方,求此时船到小岛的距离.
【答案】解:设OC=海里,依题意得
BC=OC=, AC =
∴AC-BC=10,即(),
解得, 。
答:船与小岛的距离是海里。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)。
【分析】设OC=x海里,依题意得,BC=OC=,AC= ,再根据AC-BC=10即可得到关于的一元一次方程,求出的值即可。
26.(湖南益阳8分)如图,AE是位于公路边的电线杆,为了使拉线CDE不影响
汽车的正常行驶,电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD,用于撑起拉
线.已知公路的宽AB为8米,电线杆AE的高为12米,水泥撑杆BD高为6米,
拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°.求拉线CDE的总长L(A、B、C三点在同
一直线上,电线杆、水泥杆的大小忽略不计).
(参考数据:sin67.4°≈ ,cos67.4°≈ ,tan67.4°≈)
【答案】解:⑴在RtDBC中,,
∴(m)。
作DF⊥AF于点F,则四边形ABDF为矩形。
∴DF=AB=8,AF=BD=6,∴EF=AE-AF=6。
在Rt△EFD中,。
∴L=10+6.5=16.5。
答:拉线CDE的总长L为16.5m。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数,勾股定理,矩形的性质。
【分析】根据,得出CD的长,再根据矩形的性质得出DF=AB=8,AF=BD=6,从而得出拉线CDE的总长L。
27.(湖南邵阳8分)崀山成功列入世界自然遗产名录后,景区管理部门决定在八角寨架设旅游索道.设计人员为了计算索道AB(索道起点为山脚B处,终点为山顶A处)的长度,采取了如图所示的测量方法.在B处测得山顶A的仰角为16°,查阅相关资料得山高AC=325米,求索道AB的长度.(结果精确到1米)
参考数据
sin16°≈0.28
cos16°≈0.96
tan16°≈0.29
【答案】解:在Rt△ABC中,AC=325, ∠B =160,sin16°≈0.28,
∴ 即 AB≈1161(米)。
答:索道AB的长度为1161米。
【考点】解直角三角形的应用。
【分析】在Rt△ABC中,直接应用正弦函数即可求解。
28.(湖南娄底7分)
喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动,如图,河对岸有一水文站A,小伟在河岸B处测得∠ABD=45°,沿河岸行走300米后到达C处,在C处测得∠ACD=30°,求河宽AD.(最后结果精确到1米.已知:≈1.414,≈1.732,≈2.449,供选用)
【答案】解:如图,由图可知AD⊥BC,于是∠ABD=∠BAD=45°,∠ACD=30°.
在Rt△ABD中,BD=AD.
在Rt△ACD中,CD=AD。
设AD=,则有BD=,CD=.依题意,得BD+CD=300,即+=300,
∴(1+)=300,∴(米)。
答:河宽AD约为110米。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)。
【分析】根据由图可知AD⊥BC,于是∠ABD=∠BAD=45°,以及∠ACD=30°,利用BD=,CD=,即可得出+=300,求出即可。
29.(江苏苏州5分)如图,小明在大楼30米高(即PH=30米)的窗口P处进行观测,测得山坡上A处的俯角为15°,山脚B处的俯角为60°,已知该山坡的坡度i(即tan∠ABC)为1:,点P、H、B、C、A在同一个平面上.点H、B、C在同一条直线上,且PH⊥HC.
(1)山坡坡角(即∠ABC)的度数等于 ▲ 度;
(2)求A、B两点间的距离(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.732).
【答案】解:(1)30。
(2) 设过点P的水平线为PQ,则由题意得:∠QPA=15°,∠QPB=60°,
∵PQ∥HC,∴∠PBH=∠QPB=60°,∠APB=∠QPB-∠QPA=45°。
又∵,∴∠ABC=30°。
∴∠ABP=180°-∠ABC -∠PBH=90°。
∴在Rt△PBC中,PB=。
∴在Rt△PBA中,AB=PB=。
答:A、B两点间的距离约34.6米。
【考点】解直角三角形,特殊角的三角函数, 三角形内角和定理,等腰直角三角形的判定。
【分析】(1) 由tan∠ABC,知∠ABC=300。
(2) 欲求A、B两点间的距离, 由已知可求得△PBA是等腰直角三角形, 从而知AB=PB。因此在Rt△PBC中应用三角函数求解即可。
30. (江苏无锡9分) 如图,一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行,在航线AB的正下方有两个山头C、D.飞机在A处时,测得山头C、D在飞机的前方,俯角分别为60°和30°.飞机飞行了6千米到B处时,往后测得山头C的俯角为30°,而山头D恰好在飞机的正下方.求山头C、D之间的距离.
【答案】解: 过C作CE⊥AD,垂足为点E。
在△ABD中,,
∴。
在△ABC中,,
∴。
在△ACE中,。
∴。
在△CDE中,。
根据勾股定理有, 。
∴山头C、D之间的距离是千米
【考点】解直角三角形,特殊角的三角函数,勾股定理,辅助线作法。
【分析】要求CD的值就要把它放到-个直角三角形中,考虑作CE⊥AD。只要求出CE,ED即可。而CE可由Rt△ACE求得,Rt△ACE中AC又可由Rt△ABC求得,而ED可由AD-AE求得;AE同样可由Rt△ACE求得,AD由Rt△ABD求得。
31.(江苏南京7分)如图,某数学课外活动小组测量电视塔AB的
高度,他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量,在点
C处塔顶B的仰角为45°,在点E处测得B的仰角为37°(B、
D、E三点在一条直线上).求电视塔的高度h.
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
【答案】解:在中,=.
∴EC=≈().
在中,∠BCA=45°,∴
在中,=.∴.∴().
答:电视塔高度约为120.
【考点】解直角三角形的应用。
【分析】要求AB,由只要求出CA即可。在中,=,故只要求出EC,而EC可由EC=求得。
32.(江苏泰州10分)一幢房屋的侧面外墙壁的形状如图所示,它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成,∠OCD=25°,外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹,其中一块的形状是四边形EFGH,测得FG∥EH,GH=2.6m,∠FGB=65°。
(1)求证:GF⊥OC;
(2)求EF的长(结果精确到0.1m)。
(参考数据:sin25°=cos65°≈0.42,cos25°=sin65°≈0.91)
【答案】解:(1)在四边形BCFG中,
∵∠GFC=360°-90°-65°-(90°+25°)=90°,∴GF⊥OC。
(2)如图,作FM∥GH交EH与M, 则有平行四边形FGHM,
∴FM=GH=2.6m,∠EFM=25°。
∵FG∥EH,GF⊥OC,∴EH⊥OC
在Rt△EFM中:EF=FM·cos25°≈2.6×0.91=2.4m
【考点】多边形内角和定理,平行四边形的判定和性质,解直角三角形。
【分析】(1)欲证GF⊥OC,只要证90°,在四边形BCFG中应用四边形内角和是360°,即可证得。
(2)欲求EF的长,就要把它放到一个三角形中,作FM∥GH交EH与M,
易证EH⊥OC,
解Rt△EFM可得。
33.(江苏扬州10分)如图是某品牌太阳能热火器的实物图和横断面示意图,已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面O的圆心O,支架CD与水平面AE垂直,AB=150厘米,∠BAC=300,另一根辅助支架DE=76厘米,∠CED=600.
(1)求垂直支架CD的长度;(结果保留根号)
(2)求水箱半径OD的长度.(结果保留三个有效数字,参考数据:)
O
D
B
A
CA
EA
【答案】解:(1)在中,DE=76厘米,∠CED=600,
∴CD=DE。
(2)设OD=OB=,
在中,∠BAC=300,
∴OA=2OC,即
解得。
∴水箱半径OD的长度为18.5cm。
【考点】解直角三角形,特殊角三角函数值,300直角三角形的性质,列方程解应用题(几何问题)。
【分析】(1)在中直接应用正弦函数解直角三角形。
(2)在中,∠BAC=300则OA=2OC,从而列式求解。
34.(江苏盐城10分)如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm,灯罩BC长为30cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现,光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm?(结果精确到0.1cm,参考数据:≈1.732)
【答案】解:过点B作BF⊥CD于F,作BG⊥AD于G.。
在Rt△BCF中,∠CBF=30°,∴CF=BC·sin30°=30× =15。
在Rt△ABG中,∠BAG=60°,∴BG=AB·sin60°=40×=20。
∴CE=CF+FD+DE=15+20+2=17+20≈51.64≈51.6(cm)。
答:此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是51.6cm。
【考点】解直角三角形,特殊角的三角函数值,矩形的性质。
【分析】要求CE就要考虑直角三角形,所以作辅助线:过点B作BF⊥CD于F,作BG⊥AD于G. 得到两个直角三角形和一个矩形。这样利用解直角三角形就易求出。
35.(江苏淮安10分)图1为平地上一幢建筑物与铁塔图,图2为其示意图.建筑物AB与铁塔CD都垂直于底面,BD=30m,在A点测得D点的俯角为45°,测得C点的仰角为60°.求铁塔CD的高度.
【答案】解:如图,设过点A的水平线AE与CD交于点E,
由题意得
∠AEC=∠AED=90°,∠CAE=60°,∠DAE=45°,AE=BD=30m,
∴CD=CE+DE=AE·tan60°+AE·tan45°=30+30(m)。
答:铁塔CD的高度为(30+30)m。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题),特殊角三角函数,矩形的判定和性质。
【分析】要求CD的长度,就要把它分解成两段,使它们成为两个直角三角形中的线段,所以作辅助线过点A的水平线AE,得到两个直角三角形ACE和ADE。这两个直角三角形的AE边与已知的BD是矩形的对边,是相等的。从而在这两个直角三角形分别应用特殊角的三角函数求解即可。
36.(江苏宿迁10分)如图,为了测量某建筑物CD的高度,先在地面
上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°,然后在水平地面上向
建筑物前进了100m,此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测
角仪的高度是1.5m,请你计算出该建筑物的高度.(取=1.732,结
果精确到1m)
【答案】解:设CE=m,则由题意可知BE=m,AE=(+100)m。
在Rt△AEC中,tan∠CAE=,即tan30°=
∴,3=(+100)
解得=50+50=136.6(检验合格)
∴CD=CE+ED=(136.6+1.5)=138.1≈138(m)
答:该建筑物的高度约为138m。
【考点】解直角三角形,解分式方程。
【分析】因为CE=BE则易在Rt△AEC中求解。
37.(江苏连云港10分)如图,自来水厂A和村庄B在小河l的两侧,现要在A,B间铺设一知输水管道.为了搞好工程预算,需测算出A,B间的距离.一小船在点P处测得A在正北方向,B位于南偏东24.5°方向,前行1200m,到达点Q处,测得A位于北偏东49°方向,B位于南偏西41°方向.
(1)线段BQ与PQ是否相等?请说明理由;
(2)求A,B间的距离.(参考数据cos41°=0.75)
【答案】解:(1)相等。
由图易知,∠QPB=65.5°,∠PQB=49°,∠AQP=41°,
∴∠PBQ=180°-65.5°-49°=65.5°。∴∠PBQ=∠BPQ。∴BQ=PQ。
(2)由(1)得,BQ=PQ=1200 m.
在Rt△APQ中,AQ===1600(m)。
又∵∠AQB=∠AQP+∠PQB=90°,
∴Rt△AQB中,AB===2000(m)。
答:A,B间的距离是2000 m。
【考点】等腰三角形的判定,用锐角三角函数,解直角三角形,勾股定理。
【分析】(1)由已知可求出∠PBQ=∠BPQ,从而根据等腰三角形等角对等边的判定,得到BQ=PQ。
(2)要求A,B间的距离,就要把AB放到一个直角三角形里,由已知可求∠AQB为直角。BQ易证等于PQ=1200 m(已知)。AQ可由解Rt△APQ求得。从而应用勾股定理求得AB。
38.(山东德州10分)某兴趣小组用高为1.2米
的仪器测量建筑物CD的高度.如示意图,由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β,在A和C之间选一点B,由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α.测得A,B之间的距离为4米,tanα=1.6,tanβ=1.2,试求建筑物CD的高度.
【答案】解:CD与EF的延长线交于点G,如图,设DG=米.
在Rt△DGF中,,即。
在Rt△DGE中,,即。
∴。
解之,得=19.2。∴CD=DG+GC=19.2+1.2=20.4。
答:建筑物CD的高度为20.4米。
【考点】解直角三角形。
【分析】CD与EF的延长线交于点G,设DG=米,在Rt△DGF和Rt△DGE中应用三角函数的定义得到和,根据EF=EG﹣FG,得到关于的方程,解出,再加上1.2即为建筑物CD的高度。
39.(山东烟台8分)综合实践课上,小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段,两岸AB∥CD,河岸AB上有一排大树,相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°,然后沿河岸走50米到达N点,测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR(结果保留两位有效数字).
(参考数据:sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan36°≈0.73,sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan72°≈3.08)
【答案】解:过点F作FG∥EM交CD于G。
则MG=EF=20米,∠FGN=∠α=36°,
∴∠GFN=∠β-∠FGN=72°-36°=36°。∴∠FGN=∠GFN。∴FN=GN=50-20=30(米)。
在Rt△FNR中,FR=FN·sinβ=30·sin72°=30×0.95≈29(米)。
∴河宽29米。
【考点】解直角三角形,锐角三角函数三角函数。
【分析】
添加辅助线,将EM平移至点F处,构造直角三角形,从而利用解直角三角形的知识即可解决。
40.(山东潍坊9分)今年“五一“假期.某数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点.再从B点沿斜坡BC到达山顶C点,路线如图所示.斜坡AB的长为1040米,斜坡BC的长为400米,在C点测得B点的俯角为30°.已知A点海拔121米.C点海拔721米.
(1)求B点的海拔;
(2)求斜坡AB的坡度.
【答案】解:(1)如图,过C作CF⊥AM,F为垂足,过B点作BE⊥AM,BD⊥CF,E、D为垂足。
在C点测得B点的俯角为30°,∴∠CBD=30°。
又BC=400米,
∴CD=400×sin30°=400×=200(米)。
∴B点的海拔为:C点的海拔-A点的海拔=721-200=521(米)。
(2)又∵BE=DF=CF-CD=521-121=400米,AB=1040米,
∴AE==960(米)。
∴AB的坡度iAB=,故斜坡AB的坡度为1:2.4。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题、仰角俯角问题),矩形的判定和性质,坡度的定义,勾股定理。
【分析】(1)过C作CF⊥AM,F为垂足,过B点作BE⊥AM,BD⊥CF,E、D为垂足,构造直角三角形ABE和直角三角形CBD,然后解直角三角形。
(2)求出BE的长,根据坡度的概念解答。
41.(山东济宁6分)日本福岛出现核电站事故后,我国国家海洋局高度关注事态发展,紧急调集海上巡逻的海检船,在相关海域进行现场监测与海水采样,针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估。如图,上午9时,海检船位于A处,观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向,海检船以21海里/时 的速度向正北方向行驶,下午2时海检船到达B处,这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向,求此时海检船所在B处与城市P的距离?
(参考数据:,,,)
【答案】解:过点P作PC⊥AB,垂足为C,设PC=海里。
在Rt△APC中,∵tan∠A= , ∴AC= 。
在Rt△PCB中,∵tan∠B= , ∴BC= 。
∵ AC+BC=AB=21×5 , ∴+=21×5 。解得 x=60。
∵sin∠B= , ∴PB= (海里)。
∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)。
【分析】过点P作PC⊥AB,构筑直角三角形,设PC=海里,用含有的式子表示AC,BC的值,从而求出x的值,再根据三角函数值求出BP的值即可解答。
42.(山东莱芜9分)莱芜某大型超市为了缓解停车难的问题,建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图。按规定,停车场坡道口上坡要张贴限高标志,以便告知车辆能否安全驶入。请根据下图求出汽车通过坡道口的限高DF的长。(结果精确到0.1m)(参考数据;sin280≈0.47,cos280≈0.88,tan280≈0.53)
【答案】解:在Rt △ ABC中,∠A=280 , AC=9 ,
∴BC=AC ·tan280≈9× 0.53 =4.77。
∴ BD=BC-CD =4.77-0.5= 4.27。
∵在Rt △ BDF中,∠BDF=∠A=280 ,BD =4.27,
∴DF=BD· cos 280 ≈4.27×0.88=3.7576≈3.8。
答:坡道口的限高DF的长是3.8 m。
【考点】解直角三角形的应用(坡道坡度问题),锐角三角函数。
【分析】分别在Rt △ ABC和Rt △ BDF中应用锐角三角函数即可。
43.(山东聊城8分)被誉为东昌三宝之首的铁塔,始建于北宋时期,是
我市现存的最古老的建筑.铁塔由塔身和塔座两部分组成.为了测得铁
塔的高度,小莹利用自制的测角仪,在C点测得塔顶E的仰角为45º,
在D点测得塔顶E的仰角为60º.已知测角仪AC的高为1.6m,CD的
长为6m,CD所在的水平线CG⊥EF于点G.求铁塔EF的高(精确到
0.1m).
【答案】解:设EG=米,在Rt△CEG中,∵∠ECG=45°,∴∠CEG=45°,
∴∠ECG=∠CEC,∴CG=EG=米。
在Rt△DEC中,∠EDG=60° , tan∠EDG=,∴。
∵.∴,
解得。
∴EF=EG+GF= (米).
所以铁塔的高约为l5.8米.
【考点】解直角三角形,等腰直角三角形的判定,锐角三角函数。
【分析】利用△CEG是等腰直角三角形的判定,在Rt△DEC中,应用锐角三角函数解直角三角形。
44.(山东青岛6分)某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾斜角由原来
的40º减至35º.已知原楼梯AB长为5m, 调整后的楼梯所占地面CD有多
长?
(结果精确到0.1m.参考数据:sin40º≈0.64,cos40º≈0.77,sin35º≈0.57,tan35º≈0.70)
【答案】解:在Rt△ABD中,∴。
在Rt△ACD中,∴。
答: 调整后的楼梯所占地面CD约为4.6米。
【考点】解直角三角形。
【分析】在Rt△ABD和Rt△ACD中,应用锐角三角函数即可解答。
45.(山东威海10分)一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长。
【答案】解:过B 点作BM⊥FD于点M。
在△ACB中,∠ACB=900,∠A =600,AC=10,
∴∠ABC=300,BC=AC·tan600=10。
∵AB∥CF, ∴∠BCM=300。
∴BM=BC·sin300=,CM=BC·cos300=。
在△EFD中,∠F=900,∠E =450,∴∠EDF =450。∴MD=BM=。
∴CD=CM-MD=15-。
【考点】直角三角形的性质,锐角三角函数。
【分析】作BM⊥FD即知CD=CM-MD,故只要分别解直角三角形ACB和EFD即可求得。
46.(广东省7分)如图,小明家在A处,门前有一口池塘,隔着池塘有一条公路l,AB是A到l的小路. 现新修一条路AC到公路l. 小明测量出∠ACD=30º,∠ABD=45º,BC=50m. 请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度(精确到0.1m;参考数据:,).
【答案】解:∵∠ABD=45º,∴AD=BD。∴DC=AD+50。
∴在Rt∆ACD中,,
解之,得AD=25(+1)≈68.3m
【考点】解直角三角形,450角直角三角形的性质,特殊角三角函数,根式化简。
【分析】根据450角直角三角形的性质得到AD=BD,从而在Rt∆ACD中应用特殊角三角函数即可求解。
47.(广东河源6分)某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量东江宽度的活动。如图,他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向,然后从A点出发沿河岸向正北方向行进200米到点C处,测得B在点C的南偏西60° 的方向上,他们测得东江的宽度是多少米?
(结果保留整数,参考数据:)
【答案】解:依题意,有AC=200,∠ACB=600,,
∴。
答:他们测得东江的宽度是346米。
【考点】解直角三角形,特殊角三角函数值。
【分析】根据锐角三角函数的定义,直接计算得出结果。
48.(广东清远6分)如图,小明以3米/秒的速度从山脚A点爬到山顶B点B
A
C
,已知点B到山脚的垂直距离BC为24米,且山坡坡角∠A的度数为28º,问小明从山脚爬上山顶需要多少时间?(结果精确到0.1).(参考数据:sin28º=0.46,cos28º=0.87,tan28º=0.53)
【答案】解:在Rt△ABC中,BC=24,∠A=28º,
∴ AB=BC÷sin∠A=24÷sin28º=24÷0.46≈52.18
∴小明从山脚爬上山顶需要时间=52.183÷3≈17.4 (秒)
答:小明从山脚爬上山顶需要17.4秒。
【考点】解直角三角形。
【分析】直接在Rt△ABC中应用正弦函数求解。
49.(广东湛江10分)五一期间,小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动,在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向;然后沿北偏东60°方向走100米到达景点A,此时测得景点B正好位于景点A的正南方向,求景点A与B之间的距离.(结果精确到0.1米)
【答案】解:由题意可知:作PC⊥AB于C,则
∠ACP=∠BCP=90°,∠APC=30°,∠BPC=45°.
在Rt△ACP中,∵∠ACP=90°,∠APC=30°,
∴AC=AP=50,PC=AC=50。
在Rt△BPC中,∵∠BCP=90°,∠BPC=45°,
∴BC=PC=50。
∴AB=AC+BC=50+50≈50+50×1.732≈136.6(米).
答:景点A与B之间的距离大约为136.6米。
【考点】解直角三角形的应用。
【分析】对于解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线。故由已知作PC⊥AB于C,可得△ABP中∠A=60°∠B=45°且PA=100m,要求AB的长,可以先求出AC和BC的长。
50.(广东珠海7分)如图,在鱼塘两侧有两棵树A、B,小华要测量此C
B
A
两
树之间的距离.他在距A树30 m的C处测得∠ACB=30°,又在B处测得
∠ABC=120°.求A、B两树之间的距离
(结果精确到0.1m)(参考数据:≈1.414,≈1.732)
【答案】解:作BD⊥AC,垂足为点D 。
C
B
A
∵∠C=30°,∠ABC=120°,∴∠A=30°。
∴AB=BC 。∴AD=CD=AC=×30=15 。
D
在Rt△ABD中,∵cosA=,
∴ AB==。
答:A、B两树之间的距离约为17.3m。
【考点】等腰三角形的判定和性质,解直角三角形。
【分析】根据已知条件可得△ABC是等腰三角形,则作BD⊥AC,垂足为点D, 在Rt△ABD中。解直角三角形即可求得A、B两树之间的距离。
51. (河南省9分)如图所示,中原福塔(河南广播电视塔)是世界第﹣高钢塔.小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D处,测得地面上点B的俯角α为45°,点D到AO的距离DG为10米;从地面上的点B沿BO方向走50米到达点C处,测得塔尖A的仰角β为60°.请你根据以上数据计算塔高AO,并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差.(≈1.732,≈1.414.结果精确到0.1米)
【答案】解:∵DE∥BO,α=45°,∴∠DBF=α=45°。
∴Rt△DBF中,BF=DF=268。
∵BC=50,∴CF=BF﹣BC=268﹣50=218。
由题意知四边形DFOG是矩形,∴FO=DG=10。∴CO=CF+FO=218+10=228。
在Rt△ACO中,β=60°,
∴AO=CO•tan60°≈228×1.732=394.896。
∴误差为394.896﹣388=6.896≈6.9。
即计算结果与实际高度的误差约为6.9米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题),等腰直角三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,锐角三角函数的定义,特殊角的三角函数值。
【分析】根据DE∥BO,α=45°可判断出△DBF是等腰直角三角形,从而可得出BF的值;根据四边形DFOG是矩形可求出FO与CO的值。在Rt△ACO中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AO的长,从而可得出其误差。
52.(江西省A卷9分)图甲是一个水桶模型示意图,水桶提手结构的平面图是轴对称图形,当点O到BC(或DE)的距离大于或等于⊙O的半径时(⊙O是桶口所在圆,半径为OA),提手才能从图甲的位置转到图乙的位置,这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手(如图丙A-B-C-D-E-F,C-D是,其余是线段),O是AF的中点,桶口直径AF =34cm,AB=FE=5cm,∠ABC =∠FED =149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格.
(参考数据:≈17.72,tan73.6°≈3.40,sin75.4°≈0.97.)
【答案】解:连接OB,过点O作OG⊥BC于点G。
在Rt△ABO中,AB=5,AO=17,
∴ tan∠ABO=, ∴∠ABO=73.6°。
∴∠GBO=∠ABC-∠ABO=149°-73.6°=75.4°。
又 ∵,
∴在Rt△OBG中,。
∴水桶提手合格。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义,勾股定理。
【分析】根据AB=5,AO=17,得出∠ABO=73.6°,再利用∠GBO的度数得出GO=BO×sin∠GBO的长度即可得出答案。
53.(湖北黄石8分)东方山是鄂东南地区的佛教圣地,月亮山是黄荆
山脉第二高峰,山顶上有黄石电视塔。据黄石地理资料记载:东方山
海拔453.20米,月亮山海拔442.00米,一飞机从东方山到月亮山方向
水平飞行,在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山顶C的俯角
为,在月亮山山顶C的正上方B处测得东方山山顶D处的俯角为
,如图。已知,若飞机的飞行速度
为180米/秒,则该飞机从A到B处需多少时间?(精确到0.1秒)
【答案】解:在Rt△ABC中,,
在Rt△ABD中,
∴。
∴。
故A到B所需的时间为(秒)。
答:飞机从A到B处需44.4秒。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)。
【分析】分别在Rt△ABC和Rt△ABD中表示出BC,AD,求出AB≈8000米,从而求出该飞机从A到B 处需要时间。
54.(湖北十堰8分)如图,一架飞机从A地飞往B地,两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨去层,从机场起飞以后,就沿与原来的飞行方向成300角的方向飞行,飞行到中途,再沿与原来的飞行方向成450角的方向继续飞行直到终点。这样飞机的飞行路程比原来的路程控交换机600km远了多少?
(参考数据:≈1.73,≈1.41,要求在结果化简后再代入参考数据运算,结果保留整数)
【答案】解:过点C作CD⊥AB于点D,则AD= ,BD= ,
∵AD+BD=AB,∴(+1)CD=600, ∴CD=300(-1)。
∴在Rt△ACD中,AC=600(-1),
在Rt△BCD中,BC=300(-1)。
∴AC+BC=600(-1)+ 300(-1)≈747(km)。
747-600=147(km)。
答:飞机的飞行路程比原来的路程600km远了147km。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题),锐角三角函数,勾股定理。
【分析】过点C作CD⊥AB于点D,由锐角三角函数的定义可得出AD= CDtan30°,BD= CDtan45°,由AD+BD=AB可求出CD的值,再分别在Rt△ACD、Rt△BCD中利用勾股定理即可求出AC、BC的长,从而可得出结论。
55.(湖北荆州8分)某河道上有一个半圆形的拱桥,河两岸筑有拦水堤坝,其半圆形桥洞的横截面如
图所示.已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切,上、下桥斜面的坡度=1∶3.7,桥下水深OP=5
米,水面宽度CD=24米.设半圆的圆心为O,直径AB在坡角顶点M、N的连线上,求从M点上坡、
过桥、下坡到N点的最短路径长.(参考数据:π≈3,≈1.7,tan15°=)
【答案】解:连接OD、OE、OF,
由垂径定理知:PD=CD=12(m)。
在Rt△OPD中,
OD=(m),
∴OE=OD=13m。
∵tan∠EMO== 1∶3.7 ,tan15°=,∴∠EMO=15°。
由切线性质知∠OEM=90°,∴∠EOM=75°。
同理得∠NOF=75°。
∴∠EOF=180°-75°×2=30°。
在Rt△OEM中,tan∠EMO=,∴tan15°=。
∴EM=(m)。
又∵的弧长==6.5(m)。
∴48.1×2+6.5=102.7(m)。
即从M点上坡、过桥、再下坡到N点的最短路径长为102.7米。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),垂径定理,锐角三角函数定义,勾股定理。
【分析】首先明确从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长应为如图ME++FN,连接如图,把实际问题转化为直角三角形问题,由已知求出OD即半径,再由坡度=1∶3.7和tan15°=≈1∶3.7,得出∠M=∠N=15°,因此能求出ME和FN,所以求出∠EOM=∠FON=90°-15°=75°,则得出所对的圆心角∠EOF,相继求出的长,从而求出从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长。
56.(湖北黄冈、鄂州8分随州10分)如图,防洪大堤的横断面是梯形,背水坡AB的坡比(指坡面的铅直高度与水平宽度的比),且AB=20m.身高为1.7m的小明站在大堤A点,测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°.已知地面CB宽30m,求髙压电线杆CD的髙度(结果保留三个有效数字,≈1.732).
【答案】解:设大堤的高度,以及点A到点B的水平距离,
∵,∴坡AB与水平的角度为30°。
∴,即得(m);
,即得(m)。
∴MN=BC+=(30+10)(m)。
∵测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°,
∴,解得:DN=10+10≈27.32(m),
∴CD=DN+AM+≈27.32+1.7+10=39.02≈39.0(m)。
答:髙压电线杆CD的髙度约为39.0米。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角和仰角俯角问题),锐角三角函数定义,特殊角三角函数值。
【分析】由的值求得大堤的高度,以及点A到点B的水平距离,从而求得MN的长度,由仰角求得DN的高度,从而由DN,AM,求得高度CD。
57.(湖北恩施8分)
正在修建的恩黔高速公路某处需要打通一条隧道,工作人员为初步估算隧道的长度.现利用勘测飞机在与A的相对高度为1500米的高空C处测得隧道进口A处和隧道出口B处的俯角分别为53°和45°(隧道进口A和隧道出口B在同一海拔高度),计算隧道AB的长.(参考数据:sin53°=,tan53°=)
【答案】解:作CD⊥AB,垂足为点D,
∵勘测飞机在与A的相对高度为1500米的高空C处测得隧道进口A处和隧道出口B处的俯角分别为53°和45°,
∴CD=1500m,∠CAD=53°,∠CBD=45°,
∴tan53°=。∴AD=1125m,CD=BD=1500m。
∴AB=1125+1500=2625m。
答:隧道AB的长为2625m。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题),等腰直角三角形的性质,三角函数的定义。
【分析】根据题意得出CD=1500m,∠CAD=53°,∠CBD=45°,即可得出CD=BD,以及利用解直角三角形求出即可。
58.(湖北潜江仙桃天门江汉油田7分)五月石榴红,枝头鸟儿歌.一只小鸟从石
树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处.从A处看房屋顶部C处的仰角
,看房屋底部D处的俯角为,石榴树与该房屋之间的水平距离为米,求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD.
【答案】解:作AE⊥CD于点E.
由题意可知:∠CAE =30°,∠EAD =45°,AE=米,
在Rt△ACE中,tan∠CAE=,即tan30°=.。
∴CE==(米)。∴AC=2CE=2×3 =6(米)。
在Rt△AED中,∠ADE=90°-∠EAD =90°-45°= 45°,
∴DE=AE=(米)。∴DC=CE+DE=(3+)米。
答:小鸟飞行的距离AC为6米,房屋的高度DC为(3+)米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)。
【分析】分析图形,根据题意构造直角三角形,在两个直角三角形△BEC、△APC中,应用其等边BE=CP构造方程关系式,从而可解。
59.(山西省7分)
如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度.他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为2米,台阶AC的坡度为 (即AB:BC=),且B、C、E三点在同一条盲线上。请根据以上杀件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).
【答案】解:如图,过点A作AF⊥DE于F,则四边形ABEF为矩形。∴AF=BE,EF=AB=2。
设DE=x,
在Rt△CDE中,CE=,
在Rt△ABC中,∵ AB:BC=,AB=2,∴BC=。
在Rt△AFD中,DF=DE-EF=x-2,∴AF= 。
∵AF=BE=BC+CE,∴,解得x=6。
答:树DE的高度为6米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角、坡度坡角问题),锐角三角函数,特殊角的三角函数值。。
【分析】通过构造直角三角形分别表示出BC和AF,得到有关的方程求解即可。
60.(内蒙古呼和浩特6分)在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距离.现测得AC=30m,BC=70m,∠CAB=120°,请计算A,B两个凉亭之间的距离.
【答案】解:如图,作CD⊥AB于点D.
在Rt△CDA中,∵AC=30,
∠CAD=180°-∠CAB=180°-120°=60°,
∴CD=AC•sin∠CAD=30•sin60°=15,
AD=AC•cos∠CAD=30•cos60°=15。
在Rt△CDB中,∵BC=70,BD2=BC2﹣CD2,
∴BD=。
∴AB=BD﹣AD=65﹣15=50。
答:A,B两个凉亭之间的距离为50m。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题),锐角三角函数,特殊角的三角函数值,勾股定理。
【分析】构造直角三角形,过C点作CD⊥AB于点D,先在Rt△CDA中应用锐角三角函数求得AD、CD的长,再利用勾股定理求得BD的长,从而由AB=BD﹣AD即得A,B两个凉亭之间的距离。
61.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰10分)如图,一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空,在A处测到空投地点C的俯角α=60°,测到地面指挥台β的俯角=30°,已知BC的距离是2000米,求此时飞机的高度(结果保留根号).
【答案】解:作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,
∵EA∥BC,∴∠ABC=β=30°。
又∵∠BAC=α-β=30°,∴∠ABC=∠BAC。
∴AC=BC=2000。
∴在Rt△ACD中,
AD= AC·cos∠CAD=AC·cos300=1000。
答:此时飞机的高度为1000米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题),平行的性质,等腰三角形的判定,锐角三角函数,特殊角的三角函数值。
【分析】作AD⊥BC,交BC的延长线于点D, 由平行线内错角相等的性质和等腰三角形的判定,易得AC=BC=2000,从而在Rt△ACD中应用锐角三角函数即可求得此时飞机的高度。
62.(内蒙古包头8分)一条船上午8点在A处望见西南方向有一座灯塔B,此时测得船和灯塔相距36海里,船以每小时20海里的速度向南偏西24°的方向航行到C处,此时望见灯塔在船的正北方向.(参考数据sin24°≈0.4,cos24°≈0.9)
(1)求几点钟船到达C处;
(2)当船到达C处时,求船和灯塔的距离.
【答案】解:(1)延长CB与AD交于点E.∴∠AEB=90°,
∵∠BAE=45°,AB=36,∴BE=AE=36。
根据题意得:∠C=24°,sin24°=,
∴AC=。
∴90÷20=4.5。
∴8+4.5=12.5。
∴12点30分船到达C处。
(2)在直角三角形ACE中,cos24°=,即cos24°=,
∴BC=45。
∴船到C处时,船和灯塔的距离是45海里。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题),等腰直角三角形的判定和性质,锐角三角函数。
【分析】(1)要求几点到达C处,需要先求出AC的距离,根据时间=距离除以速度,从而求出解.
(2)船和灯塔的距离就是BC的长,作出CB的延长线交AD于E,根据直角三角形的角,用三角函数可求出CE的长,减去BE就是BC的长.
63.(内蒙古呼伦贝尔6分)如图,从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°,如果这时气球的高度CD为90米,且点A、D、B在同一直线上,求建筑物A、B间的距离(结果保留根号)。
【答案】解:∵
,
∴ 。
在中,,
∴。
在中, ,∴。
∴。
答:建筑物A、B间距离为米。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】分别在和中应用锐角三角函数求出AD,BD即可。
64. (四川成都6分)如图,在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶.在航行到B处时,发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处;当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时,发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向.求该军舰行驶的路程.(计算过程和结果均不取近似值)
【答案】解:由题意得∠A=60°,
∴BC=AB×tan60°=500×=500m。
答:该军舰行驶的路程为500m。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)。
【分析】易得∠A的度数为60°,利用60°正切值可得BC的值。
65.(四川内江9分)放风筝是大家喜爱的一种运动.星期天的上午小明在大洲广场上放风筝.如图他在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上,风筝固定在了D处.此时风筝线AD与水平线的夹角为30°. 为了便于观察.小明迅速向前边移动边收线到达了离A处7米的B处,此时风筝线BD与水平线的夹角为45°.已知点A、B、C在冋一条直线上,∠ACD=90°.请你求出小明此吋所收回的风筝线的长度是多少米?(本题中风筝线均视为线段,≈1.414,≈1.732.最后结果精确到1米)
【答案】解:设CD为x米。
∵∠ACD=90°,
∴在直角△ADC中,∠DAC=30°,AC=CD•cos30°= x,AD=2x,
在直角△BCD中,∠DBC=45°,BC=CD=x,BD= 。
∵AC-BC=AB=7,∴x -x=7,
又∵≈1.4,≈1.7,∴x=10,AD-BD=2x-x=6。
∴小明此时所收回的风筝的长度为6米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)。
【分析】设CD为x米,根据三角函数即可表示出AC于BC的长,根据AC-BC=AB即可得到一个关于x的方程,解方程即可求得x的值。
66.(四川达州6分)
我市某建筑工地,欲拆除该工地的一危房AB(如图),准备对该危房实施定向爆破.已知距危房AB水平距离60米(BD=60米)处有一居民住宅楼,该居民住宅楼CD高15米,在该该住宅楼顶C处测得此危房屋顶A的仰角为30°,请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB时,该居民住宅楼有无危险?(在地面上以点B为圆心,以AB长为半径的圆形区域为危险区域,参考数据:,)
【答案】解:没有危险,理由如下:
在△AEC中,∵∠AEC=90°,∴。
∵∠ACE=30°,CE=BD=60,
∴AE=(米)。
又∵AB=AE+BE,BE=CD=15,∴AB(米)。
∵,即BDAB,
∴在实施定向爆破危房AB时,该居民住宅楼没有危险。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)。
【分析】由已知得,CE=BD=60,∠ACE=30°,所以能求出AE,BE=CD=15,则求出AB,通过比较AB与BD,得出结论。
67.(四川宜宾7分)如图,飞机沿水平方向(A、B两点所在直线)飞行,前方有一座高山,为了避免飞机飞行过低,就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行的距离(因安全因素,飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离),请设计一个距离MN的方案,要求:
(1)指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);
(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤.
【答案】解:(1)如图,测出飞机在A处对山顶的俯角为α,测出飞机在B处对山顶的俯角为β,测出AB的距离为d,连结AM,BM.。
(2)第一步骤:在Rt△AMN中,
∵tanα = ∴AN = ①。
第二步骤:在Rt△BMN中,
∵tanβ = ∴BN = ②。
第三步骤:将①②代入AN = d+BN,
解得:MN = 。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)。
【分析】(1)根据题意得出符合题意的图形如图所示。
(2)分别在Rt△AMN和Rt△BMN中,求出AN,BN,代入AN = d+BN即可。
68.(四川眉山8分)在一次数学课外活动中,一位同学在教学楼的点A处观察旗杆BC,测得旗杆顶部B的仰角为30°,测得旗杆底部C的俯角为60°,已知点A距地面的高AD为15cm.求旗杆的高度.
【答案】解:过A作AE⊥BC,垂足为E,由题意可知,四边形ADCE为矩形,
∴EC=AD=15,
在Rt△AEC中,tan∠EAC=,
∴AE=(米)。
在Rt△AEB中,tan∠BAE=,
∴BE=AE•tan∠EAB=•tan30°=5(米)。
∴BC=CE+BE=20(米)。
故旗杆高度为20米。
【考点】解直角三角形的应用。
【分析】过A作AE⊥BC,构造两个直角三角形,然后利用解直角三角形的知识解答。
69.(四川巴中10分) 某校初三年级“数学兴趣小组”实地测量操场旗杆的高度.旗杆的影子落在操场和操场边的土坡上,如图所示,测得在操场上的影长BC=20 m,斜坡上的影长CD=8㎝,已知斜坡CD与操场平面的夹角为30°,同时测得身高l.65m的学生在操场 上的影长为3.3 m.求旗杆AB的高度.(结果精确到1m)
(提示:同一时刻物高与影长成正比.参考数据:≈1.414.≈1.732.≈2.236)
【答案】解:过D点作CE的垂线,垂足为点F,连接AD并延长交CE于点G,设学生的身高为MN。
则MN=1.65,NG=3.3。∴。
在Rt△CDF中,CD=8,∠DCF=30°,
∴CF=CDcos30°=,
DF=CDsin 30°=。
由△DFG∽△MNG,得,
∴FG=8。∴BG=BC+CF+FG≈20+6.9+8=34.9。
由△ABG∽△MNG,得,∴AB≈17.45≈17。
∴旗杆AB的高度为17 m。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,相似三角形的判定和性质。
【分析】如图,作出旗杆AB的在地面的影长BG,再根据同时测得的身高l.65m学生在操场上的影长为3.3 m和∠DCF=30°即可求解。
70.(四川广安9分)某校初三课外活动小组,在测量树高的一次活动中.如图所示,测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m,在阳光下某一时刻测得l米的标杆影长为0.8m,树影落在斜坡上的部分CD=3.2m,已知斜坡CD的坡比,求树高AB.(结果保留整数,参考数据:≈1.7).
【答案】解:如图,过点作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,
∵斜坡CD的坡比,即tan∠DCF=,
∴∠DCF=30°。
而CD=3.2m,∴DF=CD=1.6m,CF=DF=m。
∵AC=8.8m,∴DE=AC+CF=8.8+。
∵△BDE∽△DCF,
∴,∴BE=。
∴AB=BE+AE=1≈16m。
答:树高AB为16m。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),含30度的直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】过点作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,根据坡比的定义得到tan∠DCF= ,则∠DCF=30°,根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=CD=1.6m,CF=DF=m,所以DE=AC+CF=8.8+,再根据三角形相似的性质得到8,求出BE,即可得到AB。
71.(四川遂宁9分)在“我爱家乡”的主题活动中,某数学兴趣小组决定测量灵泉寺观音塔DC的高度(如图)。在广场A处用测角仪测得塔顶D的仰角是45°,沿AC方向前进15米在B处测得塔顶D的仰角是60°,测角仪高1.5米。
求塔高DC(保留3个有效数字)( )
【答案】解:设DG=米,由题意EG=米,
则FG=(-15)米。
在RtDFG中 tan60 , ,,
35.49 。
∴塔高DC=35.49+1.5=36.9937.0(米)。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题),等腰直角三角形的判定,矩形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】分析图形:根据题意构造直角三角形,本题涉及到两个直角三角形△DEG、△DFG,利用等腰直角三角形的判定和锐角三角函数,列方程求解。
72.(四川泸州7分)如图,一艘船以每小时60海里的速度自A向正北方向航行,船在A处时,灯塔S在船的北偏东30°,航行1小时后到B处,此时灯塔S在船的北偏东75°,(运算结果保留根号)
(1)求船在B处时与灯塔S的距离;
(2)若船从B处继续向正北方向航行,问经过多长时间船与灯塔S的距离最近.
【答案】解:(1)过点B 作BC⊥AS 于点C。
在Rt△ABC中,∠A=30 0,AB=60, ∴BC = 30 。
∵航行1小时后到B处,此时灯塔S在船的北偏东75°,
∴∠BSC =750-300=450。
在Rt△BCS中,∠BSC =450,∴BS= 。
答:船在B 处与灯塔S 的距离为海里。
( 2 )过点S 作SD⊥AD交AB 延长线于点D,
则船与灯塔S 的最近距离是线段SD 的长度。
在Rt△ABC中,∠A = 300 , AB =60,
∴AC =AB ·cos300 = 30。
在Rt△BCS 中,∠BSC =450, BC = 30 , ∴CS=30。∴AS=AC+CS=30+30。
在Rt△ASD中,∠A = 300 ,∴AD=AS ·cos300=45+15。
∴BD=AD-AB=15(-1)。∴时间(小时)。
答:经过小时,船与灯塔S的最近距离最近。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题),含30度角的三角形的性质,三角形外角定理,锐角三角函数,特殊角的三角函数值。
【分析】(1)过点B 作BC⊥AS 于点C,构造两个直角三角形,由Rt△ABC求出BC,再由Rt△BCS求出BS即可。
(2)过点S 作SD⊥AD交AB 延长线于点D,则船与灯塔S 的最近距离是线段SD 的长度。求出AD即可得到BD的长。再根据船的航速,利用时间=路程÷速度即可求出船从B处继续向正北方向航行与灯塔S的距离最近的时间。
73.(四川凉山8分)在一次课题设计活动中,小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案;大坝的横截面为等腰梯形,如图,AD∥BC,坝高10m,迎水坡面AB的坡度,老师看后,从力学的角度对此方案提出了建议,小明决定在原方案的基础上,将迎水坡面的坡度进行修改,修改后的迎水坡面AE的坡度。
(1) 求原方案中此大坝迎水坡AB的长(结果保留根号)
(2) 如果方案修改前后,修建大坝所需土石方总体积不变,在方
案修改后,若坝顶沿EC方向拓宽2.7m,求坝顶将会沿AD方向加宽多少米?
【答案】解:(1)过点B作BF⊥AD于F。
在Rt△ABF中,∵,且BF=10 m。
∴AF=6 m,AB= m。
(2)过点E作EG⊥AD于G。
在Rt△AEG中,∵,且。BF=10 m,
∴AG=12 m,BE=CF=AG-AF=6 m。
如图,延长EC至点M,使CM=2.7m ,延长AD至点N,连接MN。
∵方案修改前后,修建大坝所需土石方总体积不变。
∴ ,,即 。
∴ND=BE-MC=6-2.7=3.3(m)。
答:坝底将会沿AD方向加宽。
【考点】解直角三角形的应用(坡度问题),锐角三角函数,勾股定理,矩形的性质。
【分析】(1)构造直角三角形,过点B作BF⊥AD,由即可求出AF,由勾股定理即可求出AB。
(2)构造直角三角形,过点E作EG⊥AD,由即可求出AG,,从而求出BE;作出梯形CMND,用方案修改前后,修建大坝所需土石方总体积不变,即求出ND。
74. (青海省7分)某学校九年级的学生去旅游,在风景区看到一棵古松,不知这棵古松有多高,下面是他们的一段对话:
甲:我站在此处看树顶仰角为45°。
乙:我站在此处看树顶仰角为30°。
甲:我们的身高都是1.5m。
乙:我们相距20m。
请你根据两位同学的对话,参考图计算这棵古松的高度。(参考数据≈1.414,≈1.732,结果保留两位小数)。
【答案】解:如图所示延长AB交DE于C,设CD的长为x米。
在Rt△DBC中,∠DBC=45°,∠DCB=90°,
则∠BDC=45°,∴BC=CD=x。
在Rt△ACD中,∠A=30°,DC=x。
∴,即,∴。
∵AC-BC=AB,AB=20,∴,解得,。
∴DE=DC+CE。
答:这棵古松的高是28.82米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题),矩形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值。
【分析】延长AB交DE于C.设CD的长为x米,在Rt△DBC中,求得BC=CD,然后在Rt△ACD中求得AC,利用AC-BC=AB,解得DC,则DE=DC+CE。
75.(新疆乌鲁木齐11分)某校课外活动小组,在距离湖面7米高的观测台A处,看湖面上空一热气球P的仰角为37°,看P在湖中的倒影P’的俯角为53°,(P’为P关于湖面的对称点),请你计算出这个热气球P距湖面的高度PC约为多少米?
注:sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈;
Sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈
【答案】解:过点A作AD⊥PP′,垂足为D,则有CD=AB=7米,
设PC为x米,则P′C=x米,PD=(x-7)米,P′D=(x+7)米,
在Rt△PDA中,AD= PDtan37°≈(x-7),
在Rt△P′DA中,AD= P′Dtan53°≈(x+7),
∴(x-7)= (x+7),
解得:x=25.
答:热气球P距湖面的的高度PC约为25米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)
【分析】过点A作AD⊥PP′,垂足为D,构造矩形ABCD和直角三角形,根据三角函数的定义求出AD的长,根据AD=AD,列出方程解答即可。
76.(安徽省10分)如图,某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m高度C处的
飞机上,测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°.求隧道AB的长(≈1.73).
A
B
O
C
D
1500m
45°
60°
【答案】解:在△ACO中,∠ACO=900-∠DCA=900-600=300,
∴。
又∵∠BCO=900-∠DCB=900-450=450, ∴OB=OC=1500。
∴AB=1500-500≈1500-865=635(m)。
答:隧道AB的长约为635m.
【考点】解直角三角形。
【分析】在△ACO和△BCO两个直角三角形中求解即可。
77.(安徽芜湖8分)如图,某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度,他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°,再沿着BA的方向后退20m至C处,测得古塔顶端点D的仰角为30°。求该古塔BD的高度(,结果保留一位小数)。
【答案】解:根据题意可知:∠BAD=45°,∠BCD=30°,AC=20m
在Rt△ABD中,由∠BAD=∠BDA=45°,得AB=BD
在Rt△BDC中,由tan∠BCD=,得
又∵BC-AB=AC,∴,∴
答:古塔BD的高度为27.3m。
【考点】解直角三角形。
【分析】根据解直角三角形的方法,直接求解。
78.(辽宁鞍山10分)某段限速公路m上规定小汽车的行驶速度不得超过70千米/时,如图所示,已知测速站C到公路m的距离CD为30米,一辆在该公路上由北向南匀速行驶的小汽车,在A处测得测速站在汽车的南偏东30°方向,在B处测得测速站在汽车的南偏东60°方向,此车从A行驶到B所用的时间为3秒.
(1)求从A到B行驶的路程;
(2)通过计算判断此车是否超速.
【答案】解:(1)在Rt△ACD中,
∵∠CDA=90°,CD=30,∠CBD=60°,
∴BC==30×=60。
∵∠BAC=30°,∠CBD=60°,∴∠BCA=∠BAC=60°-30°=30°。
∴AB=BC=60。
答:从A到B行驶的路程为60米。
(2)∵从A到B的时间为3秒,∴小汽车行驶的速度为v==20(米/秒)=72(千米/时)。
∵72千米/时>70千米/时,∴小汽车超速。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题),锐角三角函数,特殊角的三角函数值,三角形外角定理,等腰三角形的判定。
【分析】(1) 在Rt△ACD中,应用锐角三角函数求出BC的长;应用三角形外角定理证出△ABC是等腰三角形即可。
(2)由(1)和时间为3秒求出小汽车的速度与规定限速比较即可。
79.(辽宁锦州10分)
如图,小明站在窗口向外望去,发现楼下有一棵倾斜的大树,在窗口C处测得大树顶部A的俯角为45°,若已知∠ABD=60°,CD=20m,BD=16m,请你帮小明计算一下,如果大树倒在地面上,其顶端A与楼底端D的距离是多少米?(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732).
【答案】解:作AF⊥CD于F,AH⊥DB于H,∴四边形AFDH为矩形。
∴AF=DH,AH=DF。
由题意可知∠ECA=45°,∴AF=CF。
设大树高为x米,即AB=x。
在Rt△AHB中,AH=ABsin60°=x,BH=AB·cos60°=x,
∴AF=DH=DB-BH=16-x。
在Rt△ACF中,AF=CF=16-x。
又CD=CF+FD,∴20=16-x+x,解得x≈11。∴16-11=5。
∴ 大树倒下后其顶端A与楼底端D的距离是5米。
【考点】解直角三角形的应用,矩形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值。
【分析】构造直角三角形,作AF⊥CD于F,AH⊥DB于H,解Rt△AHB和Rt△ACF即可。
80.(辽宁辽阳10分)如图,在城市改造中,市政府欲在一条人工河上架一座桥,河的两岸PQ与MN平行,河岸MN上有A、B两个相距50米的凉亭,小亮在河对岸D处测得∠ADP=60°,然后沿河岸走了110米到达C处,测得∠BCP=30°,求这条河的宽.(结果保留根号)
【答案】解:作AE⊥PQ于E,CF⊥MN于F。
∵PQ∥MN,∴四边形AECF为矩形。
∴EC=AF,AE=CF。
设这条河宽为x米,∴AE=CF=x。
在Rt△AED中,
∵∠ADP=60°,∴ED===x。
∵PQ∥MN,∴∠CBF=∠BCP=30°。
∴在Rt△BCF中,BF===x。
∵EC=ED+CD,AF=AB+BF,
∴x+110=50+x。解得x=30。
∴这条河的宽为30米。
【考点】解直角三角形的应用,矩形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】根据已知条件,构造直角三角形,故作辅助线:作AE⊥PQ于E,CF⊥MN于F。解Rt△AED和Rt△BCF即可求出这条河的宽。
81.(辽宁盘锦10分)要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°(如图). 已知一梯子AB的长为6 m,梯子的底端A距离墙面的距离AC为2 m,请你通过计算说明这时人是否能够安全地攀上梯子的顶端?
(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,sin75°≈0.97,cos75°≈0.26)
【答案】解:在Rt△ABC中,
∵AC=ABcosα,AB=6,
∴当α=50°时,AC=6cos50°≈6×0.64=3.84(m),
当α=75°时,AC≈6cos75°≈6×0.26=1.56(m) 。
∵ 1.56<2<3.84,∴ 人能够安全地攀上梯子的顶端 。
【考点】解直角三角形的应用。
【分析】根据锐角三角函数求出α=50°和α=75°时AC的值,看2是否在其间即可作出判断。
82.(辽宁营口8分)如图所示,点P表示广场上的一盏照明灯.
(1)请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子(用线段表示);
(2)若小丽到灯柱MO的距离为4.5米,照明灯P到灯柱的距离为1.5米,小丽目测照明灯P的仰角为55°,她的目高QB为1.6米,试求照明灯P到地面的距离(结果精确到0.1米). (参考数据:tan55°≈1.428,sin55°≈0.819,cos55°≈0.574)
【答案】解:(1)如图线段AC是小敏的影子。
(2)过点Q作QE⊥MO于点E,过点P作PF⊥AB于点F,交EQ于点D,则PF⊥EQ。
在Rt△PDQ中,∠PQD=55°,
DQ=EQ-ED=4.5-1.5=3(米)。
∵tan55°=,
∴PD=DQ·tan55°≈4.3(米)。
∵DF=QB=1.6米,∴PF=PD+DF=4.3+1.6=5.9(米)。
答:照明灯到地面的距离约为5.9米。
【考点】投影,解直角三角形的应用,矩形的判定和性质,锐角三角函数定义。
【分析】(1)根据投影的定义,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影,由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影。据此画出小敏在照明灯P照射下的影子AC。
(2)如图,构造直角三角形PDQ即可求解。
83.(云南昆明7分)如图,在昆明市轨道交通的修建中,规划在A、B两地修建一段地铁,点B在点A的正东方向,由于A、B之间建筑物较多,无法直接测量,现测得古树C在点A的北偏东45°方向上,在点B的北偏西60°方向上,BC=400m,请你求出这段地铁AB的长度.(结果精确到1m,参考数据:)
【答案】解:过点C作CD⊥AB于D,由题意知:
∠CAB=45°,∠CBA=30°,
∴CD=BC=200,
BD=CB•cos(90°﹣60°)=400×=200,
AD=CD=200,
∴AB=AD+BD=200+200≈546(m)。
答:这段地铁AB的长度为546m。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)。
【分析】过点C作CD⊥AB于D,则由已知求出CD和BD,也能求出AD,从而求出这段地铁AB的长度。
84.(云南大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧8分)如图,甲、乙两船同时从港口出
发,甲船以60海里/时的速度沿北偏东600方向航行,乙船沿北偏
北
60°
C
B
A
30°
西300方向航行,半小时后甲船到达点,乙船正好到达甲船正西方
向的点,求乙船的速度.
【答案】解:∵甲船航行半小时后到达点,
∴(海里)
又∵,B点是C点的正西方向,。
∴(海里)
因此乙船的速度是海里/时。
【考点】三角形内角和定理,解直角三角形。
【分析】根据已知和三角形内角和定理,求出,,即可解直角三角形ABC求出AB,从而求出乙船的速度。
85.(云南昭通9分)如图所示,若河岸的两边平行,河宽为900米,一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处,AB与河岸的夹角是600,船从A到B处需时间分钟,求该船的速度。
【答案】解:如图,过点B作BC垂直河岸,垂足为C。
则在Rt△ACB中,有
,
因而速度。
答:该船的速度为300米/分钟。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)。
【分析】过点B作BC垂直河岸,垂足为C,构造直角三角形,在Rt△ACB中由锐角三角函数可求AB的长,从而根据速度=距离÷时间可求该船的速度。
86.(云南玉溪10分)张明同学想测量聂耳山上聂耳铜像的高度,于是他爸爸查阅资料后告诉他,聂耳
山的高度是12米,铜像(图中)高度比底座(图中)高度多1米,且聂耳山的高度+铜像高度
+底座高度等于聂耳遇难时的年龄.张明随后用高度
为1米的测角仪(图中)测得铜像顶端点的仰
角β=51°24′,底座顶端点的仰角=26°36′.请你
帮助张明算出聂耳铜像AB的高度及聂耳遇难时的
年龄(把聂耳铜像和底座近似看在一条直线上,它的
抽象几何图形如左图).【参考数据:tan26°36′≈0.5,tan51°24′≈1.25】
【答案】解:设聂耳铜像的高度AB为米,则BC=(-2)米。
在Rt△BCF中,,∴FC=.
在Rt△ACF中,∵, ∴FC=。
∴2x-4=。∴=6。
∴聂耳遇难时的年龄=12+6+5=23(岁)。
答:聂耳铜像的高度是6米, 聂耳遇难时的年龄是23岁。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)。
【分析】首先设聂耳铜像的高度AB为米,则BC=(-2)米。然后分别在在Rt△BCF中和Rt△ACF中,利用正切函数的性质求得FC的值,即可得方程,解此方程即可求得答案。
87.(贵州贵阳10分)某过街天桥的设计图是梯形ABCD(如图所示),桥面DC与地面AB平行,DC=62米,AB=88米.左斜面AD与地面AB的夹角为23°,右斜面BC与地面AB的夹角为30°,立柱DE⊥AB于E,立柱CF⊥AB于F,求桥面DC与地面AB之间的距离(精确到0.1米)
【答案】解:设桥面DC与地面AB之间的距离为x米,即DE=CF=x,
则AE= x cot23°,BF= x cot30°,AE+BF=AB﹣DC,
∴x cot23°+ x cot30°=88﹣62,解得:x≈7.5。
答:桥面DC与地面AB之间的距离约为7.5米。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)。
【分析】设桥面DC与地面AB之间的距离为x米,分别用x表示出AE和BF,AE+BF=AB﹣DC,则得到关于x的一元一次方程,从而求出x。
88.(贵州安顺8分)一次数学活动课上,老师带领学生去测一条南北流向的河宽,如图所示,某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C,测得C在A北偏西31°的方向上,沿河岸向北前行40米到达B处,测得C在B北偏西45°的方向上,请你根据以上数据,求这条河的宽度.(参考数值:tan31°≈)
【答案】解:过点C作CD⊥AB于D,
由题意∠DAC=31°,∠DBC=45°,设CD=BD=x米,
则AD=AB+BD=(40+x)米,
在Rt△ACD中,tan∠DAC=,即,
解得x=60(米)。
∴这条河的宽度为60米。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)。
【分析】如图,过点C作CD⊥AB于D,由题意知道∠DAC=31°,∠DBC=45°,设CD=BD=x米,则AD=AB+BD=(40+x)米,在Rt△ACD中,tan∠DAC=,由此可以列出关于x的方程,解方程即可求解。
89.(贵州六盘水12分)
某一特殊路段规定:汽车行驶速度不超过36千米/时。一辆汽车在该路段上由东向西行驶,如图所示,在距离路边10米O处有一“车速检测仪”,测得该车从北偏东600的A点行驶到北偏东300的B点,所用时间为1秒。
(1)试求该车从A点到B点的平均速度。
(2)试说明该车是否超速。(、)
【答案】解:(1)据题意,得∠AOC=600,∠BOC=300,
在Rt△AOC中,∠AOC=600,∴∠OAC=300。
∵∠AOB=∠AOC-∠BOC=600-300=300,∴∠AOB=∠OAC。∴AB=OB。。
在Rt△BOC中,OB=OCcos∠BOC=10=(米), ∴AB=。
∴(米/秒)。
(2)∵36千米/时=10米/秒, 又∵,
∴。 ∴小汽车超速了。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题),等腰三角形的判定。
【分析】(1)据题意得∠AOC=60°,∠BOC=30°,然后在Rt△AOC中求出∠OAC=30°,接着求出∠AOB,由此得到∠AOB=∠OAC,再利用等腰三角形的判定得到AB=OB,又在Rt△BOC中OB=OC÷cos∠BOC,由此求出OB,最后可以求出AB。
(2)首先统一单位,然后利用时间、速度、路程之间的关系即可求出时间,然后比较大小即可解决问题。
90.(贵州遵义8分)某市为缓解城市交通压力,决定修建人行天
桥,原设计天桥的楼梯长AB=6,∠ABC=45o,后考虑到安全因素,将楼梯脚B移到CB延长线上点D处,使(如图所示).
(1)求调整后楼梯AD的长;
(2)求BD的长.
(结果保留根号)
【答案】解:(1)在Rt△ABC中,∠ABC=45o,
∵sin∠ABC=,AB=6, ∴AC=AB·sin45o=。
又∵∠ACD=90O,∠ADC=30O, ∴ AD=2AC=。
答:调整后楼梯AD的长为。
(2)由(1)知:AC=BC=,AD=,
∵∠ACD=90O,∠ADC=30O, ∴DC=AD·cos30o=。
∴BD=DC-BC=。
答:BD的长为。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),锐角三角函数,特殊角的三角函数值。
【分析】(1)首先由已知AB=6m,∠ABC=45°求出AC和BC,再由∠ADC=30°求出AD=2AC。
(2)先由锐角三角函数求出DC,从而求出BD。
91.(贵州铜仁10分)如图,在A岛周围25海里水域有暗礁,一轮船由西向东航行到O处时,发现A岛在北偏东60°方向,轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向,该船若不改变航向继续前进,有无触礁的危险? (参考数据:)
【答案】解:根据题意,有∠AOC=30°,∠ABC=45°, ∠ACB=90°,∴BC=AC。
∴在Rt△AOC中,由tan30°=, 得。
解得AC=(海里)。
∵27.32海里>25海里,∴轮船不会触礁。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)。
【分析】要得出有无触礁的危险需求出轮船在航行过程中离点P的最近距离,然后与暗礁区的半径进行比较,若大于则无触礁的危险,若小于则有触礁的危险。
92.(贵州黔东南12分)如图所示,某公司办公楼的对面小山上矗立着一座铁塔
FD,小敏站在10米高的楼顶上A处测得塔顶F的仰角为45°,他从楼底B处水
平走到坡脚C,从C处测得塔底部D的仰角为60°,铁塔FD与水平地面BC垂直
于点E,若BC=100米,斜坡长CD=220米,试求铁塔FD的高(测量仪的高度忽
略不计,结果保留根号)。
【答案】解:过点A 作AG⊥EF,垂足为点G。
∵在Rt△DCE中,CD=220,∠DCE=600,
∴CE=CD ·cos∠DCE=110,DE=CD·sin∠DCE=110。
∴在矩形ABEG中,AG=BE=BC+CE=210,GE=AB=10。
又∵在Rt△AGF中,AG=210,∠FAG=450,∴FG=210。
∴FD=FG-DG=FG-(DE-GE)=210-(110-10)=220-110(米)。
∴铁塔FD的高为220-110米。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,矩形的性质,等腰直角三角形的性质。
【分析】过点A 作AG⊥EF,构造直角三角形,分别在Rt△DCE和Rt△AGF中应用锐角三角函数和等腰直角三角形的性质求得有关长度即可。
93.(福建漳州8分)某校“我爱学数学”课题学习小组的活动主题是“测量学校旗杆的高度”.以下是该
课题小组研究报告的部分记录内容:
课题
测量学校旗杆的高度
图示
A
B
G
D
F
C
E
小红
1.6 m
小亮
12 m
30°
60°
发言记录
小红:我站在远处看旗杆顶端,测得仰角为30°
小亮:我从小红的位置向旗杆方向前进12 m看旗杆顶端,测得仰角为60°
小红:我和小亮的目高都是1.6 m
请你根据表格中记录的信息,计算旗杆AG的高度.(取1.7,结果保留两个有效数字)
【答案】解:设BD=x m,AB= x m,
在Rt△ABC中,cos30°=,即= ,解得x=6,
∴AB=6 。
∴AG=6+1.6≈6×1.7+1.6≈12。
答:旗杆AG的高度为12 m。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)。
【分析】先分析图形,根据题意解直角三角形.本题涉及两个直角三角形,应利用其公共边构造三角关系,从而可求出答案。
94.(福建宁德10分)图1是安装在斜屋面上的热水器,图2是安装该热水器的侧面示意图.已知,斜屋面的倾斜角为25°,长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40°,安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米,求
A D
B C
E
)
25°
图1
图2
⑴真空管上端B到AD的距离(结果精确到0.01米);
⑵铁架垂直管CE的长(结果精确到0.01米).
【答案】解:⑴过B作BF⊥AD于F.
A F D
B C
E
)
25°
在Rt△ABF中,∵sin∠BAF=,
∴BF=ABsin∠BAF=2.1sin40°≈1.350。
∴真空管上端B到AD的距离约为1.35米。
⑵在Rt△ABF中,∵cos∠BAF=,
∴AF=ABcos∠DAF=2.1cos40°≈1.609。
∵BF⊥AD,CD⊥AD,又BC∥FD,∴四边形BFDC是矩形。∴BF=CD,BC=FD。
在Rt△EAD中,∵tan∠EAD=,
∴ED=ADtan∠EAD=1.809tan25°≈0.844。
∴CE=CD-ED=1.350-0.844=0.506≈0.51。
∴安装铁架上垂直管CE的长约为0.51米。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义,矩形的判定和性质。
【分析】(1)构造直角三角形ABF,应用锐角三角函数求解。
(2)求出CD=BF和DE的长即可。
95.(湖南郴州6分)如图,李军在A处测得风筝(C处)的仰角为30°,同时在A正对着风筝方向距A处30米的B处,李明测得风筝的仰角为60°.求风筝此时的高度.(结果保留根号)
【答案】解:∵∠A=30°,∠CBD=60°,∴∠ACB=30°。
∴BC=AB=30,
在Rt△BCD中,∠CBD=60°,BC=30,
∴sin∠CBD=,sin60°=,
∴。
答:风筝此时的高度米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)。
【分析】先求出AB=BC,在Rt△CBD中,由CD=sin60°×BC即可得出答案。