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- 2021-05-10 发布
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希望教育 2019年中考数学一轮复习讲义
学生:全慧 第一讲 相似三角形
1、比例
对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如(即ab=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.
1.若, 则;
2.以下列长度(同一单位)为长的四条线段中,不成比例的是( )
A.2,5,10,25 B.4,7,4,7 C.2,0.5,0.5,4 D.,,,
3. 若∶3 =∶4 =∶5 , 且, 则;
4. :若, 则
5、 已知,求代数式的值.
2、 平行线分线段成比例
定理:平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线(不少于3条)所截,截得的对应线段的长度成比例。
推论:平行于三角形一边的直线,截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。
练习1,如下图,EF∥BC,若AE∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM∶AN=____,BN∶NC=_____
2、已知:如图,ABCD,E为BC的中点,BF︰FA=1︰2,EF与对角线BD相交于G,求BG︰BD。
3、如图,在ΔABC中,EF//DC,DE//BC,求证:
(1)AF︰FD=AD︰DB;
(2)AD2=AF·AB。
3 、相似三角形的判定方法
判定0.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交,所截得的三角形与
判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________.
判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似.
判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________.
判定4.斜边和 对应成比例的两个直角三角形相似
常见的相似形式:
1. 若DE∥BC(A型和X型)则______________.
2.子母三角形(1) 射影定理:若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)
(2)∠ABD=∠c
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________,CD2=_______,BC2=__ ____.
(1)
练习
1、如图,已知∠ADE=∠B,则△AED ∽__________
2、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于D,则△ADE∽_________
3、如图;在∠C=∠B,则_________ ∽_________,__________ ∽_________
4.如图,具备下列哪个条件可以使⊿ACD∽⊿BCA ( )
A B C D
5.下列四个三角形,与右图中的三角形相似的是( )
A.
B.
C.
D.
6、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x,那么x的值( )
A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个
4 、相似三角形的性质与应用
1. 相似三角形的对应边_________,对应角________.
2. 相似三角形的对应边的比叫做________,一般用k表示.
3. 相似三角形的对应边上的_______线的比等于_______比,周长之比也等于________比,面积比等于_________.
练习1、如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)
20米的A处,则小明的影子AM长为 米.
2、 如图,在△ABC中,M、N分别是边AB、AC的中点,则△AMN的面积与
四边形MBCN的面积比为( ).
(A) (B) (C) (D)
4、如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的两点,且,若△AEF的面积为2,则四边形EBCF的面积为 .
5、如图,在边长为9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,
则AE的长为 .
6.如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直
线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)
的面积分别是4,9和49.则△ABC的面积是 .
7.如图,在□ABCD中,E为CD上一点,连接AE、BD,且AE、BD交于点F,S△DEF:S△ABF=4:25,则DE:EC=( )
A.
2:5
B.
2:3
C.
3:5
D.
3:2
8、如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为( )
A.
2
B.
2.5或3.5
C.
3.5或4.5
D.
2或3.5或4.5
5、相似多边形
(1)对应边成比例,对应角相等的两个多边形叫做相似多边形.
(2)相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
(3)相似多边形对应边的比称为相似比. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.
练习
1.如图,在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则留下矩形的面积是( )
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2
2.(2011.潍坊)已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E ,沿AE将△ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=( )
A. B. C. D.2
2、 将一个长为a,宽为b的矩形,(1)分为相同的两个矩形,且与原矩形相似,求a:b
(2) 分为相同的三个矩形,且与原矩形相似,求a:b
(3) 割掉一个正方形,剩余的矩形与原矩形相似,求a:b
5、如图,AB∥EF∥CD,
(1)AB=10,CD=15,AE∶ED=2∶3,求EF的长。
(2)AB=a,CD=b,AE∶ED=k,求EF的长。
(3)若上下两个梯形相似AB=4,CD=8,求EF的长
6、位似
位似图形:如果两个多边形不仅 ,而且对应顶点的连线 ,对应边 或 ,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做 ,这时的相似比又称为 .
①位似是一种具有位置关系的相似,所以两个图形是位似图形,必定是 图形,而相似图形不一定是 图形;
②两个位似图形的位似中心只有一个;
③两个位似图形可能位于位似中心的两侧,也可能位于位似中心的一侧;
(4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于 .
(5)两个位似图形的主要特征是:每对位似对应点与位似中心共线;不经过位似中心的对应线段平行.
(6)关于原点位似的特征
作位似图形的几种可能:
放大 缩小
O
B
N
A
M
同侧 正像
异侧 倒像
1、如图,路灯距地面8米,身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处,沿OA所在的直线行走14米到点B时,人影长度( )
A.变短3.5米 B.变长1.5米 C.变长3.5米 D.变短1.5米
2、小芳同学想利用影长测量学校旗杆的高度,如图,他在某一时刻立1m长的标杆测得其影长为1.2m,同时旗杆
的投影一部分在地面上,另一部分在某一建筑的墙上,分别测得其长度为9.6m和2m,你能帮助小芳同学算出
学校旗杆的高度?
2m
9.6m
综合练习
1.如图,□ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,。
若△DEF的面积为2,则□ABCD的面积是 。
2、如图,已知AB∥CD,AD与BC相交于点P,AB=4,CD=7,AD=10,则AP=( )
A. B. C. D.
3、已知平行四边形ABCD中,AE∶EB=1∶2,求△AEF与△CDF的周长比,如果S△AEF=6cm2,求S△CDF.
4、
E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点,AE∶EC=1∶3,BE的延长线交CD的延长线于G,交AD于F,求证:BF∶FG=1∶2.
5、已知如图,在平行四边形ABCD中,DE=BF,求证:=.
6、如果四边形ABCD的对角线交于O,过O作直线OG∥AB交BC于E,交AD于F,交CD的延长线于G,求证:OG2=GE·GF.
7、ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB延长线上一点,OE交BC于点F,AB=a,BC=b,BE=c,求BF的长.
基本方法
1、(做平行线构造成比例线段)如图,已知⊿ABC 中,D 为 AC 上的一点,AD∶DC= 3∶2, E为 CB 延长线上的一点,ED 和 AB 相交于点 F,EF=FD。 求:EB∶BC 的值。
A
B
F
E
C
D
2、已知,延长BC到D,使.取的中点,连结交于点.
(1)求的值;(2)若,求的长.
3、在△ABC中,D、E分别为BC的三等分点,CM为AB上的中线,CM分别交AE、AD于F、G,求证CF∶FG∶GM=5∶3∶2
1.【等线段代换法】 在△ABC中,AB=AC,直线DEF与AB交于D,与BC交于E,与AC的延长线交于F。求证:。
2、已知在△ABC中,AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线,交BC延长线于E.求证:DE2=BE·CE.
【中间比例过渡法】已知△ABC中,DE∥BC,BE与CD交于点O,AO与DE、BC分别交于点N、M,
求证:。
中考题荟萃
1、如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC中点,MN⊥AC于点N,则MN等于( )
A. B. C. D.
2、如图,中,是中线,,则线段的长为( )
A.4 B. C.6 D.
3、如图27-65所示,在△ABC中,D是BC边上的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.
(1)求证△ABC∽△FCD;
(2)若S△FCD=5,BC=10,求DE的长
4、如图1,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,BC=n,∠ABD+∠ADB=∠ACB.
(1)填空:∠BAD与∠ACB的数量关系为 ;(2)求的值;
(3)将△ACD沿CD翻折,得到△A′CD(如图2),连接BA′,与CD相交于点P.若CD=,求PC的长.
25、 已知ΔABC,AB=AC,D在AB上,E在AC上,且∠AED=∠B=600,若CE:DE:BC=1:2:3,设AD=m,DB=n,
A
D
E
C
B
(1)填空: 的值是 。
(2)求的值
(3)将ΔADE沿DE翻折,得到ΔA1DE,A1D交BC于M
A1E交BC于N,若MN=,求BM的长。
M
A
D
E
C
B
A1
N
6、如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D,E分别在AC,BC上(点D与点A,C不重合),且∠DEC=∠A,将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′.当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P,Q(点P与点Q不重合)时,设CD=x,PQ=y.
(1)求证:∠ADP=∠DEC;
(2)求y关于x的函数解析式,并直接写出自变量x的取值范围.
2015-2018安徽中考压轴题 均与相似有关