中考二次函数复习题9M 112页

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  • 2021-05-10 发布

中考二次函数复习题9M

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一、选择题 1、(2009 年台湾)向上发射一枚炮弹,经 x 秒后的高度为 y 公尺,且时间与高度关系为 y=ax2bx。若此炮 弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等,则再下列哪一个时间的高度是最高的? (A) 第 8 秒 (B) 第 10 秒 (C) 第 12 秒 (D) 第 15 秒 。 【关键词】二次函数极值 【答案】B 2、(2009 年泸州)在平面直角坐标系中,将二次函数 22xy  的图象向上平移 2 个单位,所得图象的解析 式为 A. 22 2  xy B. 22 2  xy C. 2)2(2  xy D. 2)2(2  xy 【关键词】二次函数图像的平移。 【答案】B 3、 (2009 年四川省内江市)抛物线 3)2( 2  xy 的顶点坐标是( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3) 【关键词】二次函数的顶点坐标. 【答案】A 4、(2009 年长春)如图,动点 P 从点 A 出发,沿线段 AB 运动至点 B 后,立即按原路返回,点 P 在运动 过程中速度大小不变,则以点 A 为圆心,线段 AP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时间 t 之间的函数 图象大致为( ) 5、(2009 年桂林市、百色市)二次函数 2( 1) 2y x   的最小值是( ). A.2 B.1 C.-3 D. 2 3 【关键词】二次函数的极值问题 【答案】A 6、(2009 年上海市)抛物线 22( )y x m n   ( m n, 是常数)的顶点坐标是( ) A. ( )m n, B. ( )m n , C. ( )m n, D. ( )m n , 【关键词】抛物线的顶点 【答案】B 7、(2009 年陕西省)根据下表中的二次函数 cbxaxy  2 的自变量 x 与函数 y 的对应值,可判断二次函数 的图像与 x 轴 【 】 x … -1 0 1 2 … y … -1 4 7 -2 4 7 … A.只有一个交点 B.有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧 C.有两个交点,且它们均在 y 轴同侧 D.无交点 【关键词】二次函数的图象 【答案】B 8、(2009 威海)二次函数 23 6 5y x x    的图象的顶点坐标是( ) O S t O S t O S t O S t A P B A. B. C. D. (第 8 题) A. ( 18) , B. (18), C. ( 1 2) , D. (1 4), 【关键词】抛物线顶点 【答案】A 9、(2009 湖北省荆门市)函数 y=ax+1 与 y=ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是( ) A. B. C. D. 解析:本题考查函数图象与性质,当 0a  时,直线从左向右是上升的,抛物线开口向上,D 是错的,函数 y=ax+1 与 y=ax2+bx+1(a≠0)的图象必过(0,1),所以 C 是正确的,故选 C. 【关键词】函数图象与性质 【答案】C 10、(2009 年贵州黔东南州)抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能..是( ) A、y=x2-x-2 B、y= 12 1 2 1 2  x C、y= 12 1 2 1 2  xx D、y= 22  xx 【关键词】二次函数 2y ax bx c   (a≠0)与 a,b,c 的关系 【答案】D 11、(2009 年齐齐哈尔市)已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象如图所示,则下列结论: 0ac ① ; ② 方程 2 0ax bx c   的两根之和大于 0; y③ 随 x 的增大而增大;④ 0a b c   ,其中正确的个数() A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【关键词】二次函数 2y ax bx c   (a≠0)与 a,b,c 的关系、二次函数的图象 【答案】C x y O 1 12、(2009 年深圳市)二次函数 cbxaxy  2 的图象如图 2 所示,若点 A(1,y1)、B(2,y2)是它图象 上的两点,则 y1 与 y2 的大小关系是( ) A. 21 yy  B. 21 yy  C. 21 yy  D.不能确定 【关键词】二次函数 2y ax bx c   (a≠0)与 a,b,c 的关系 【答案】C 12、(2009 桂林百色)二次函数 2( 1) 2y x   的最小值是( ). A.2 B.1 C.-3 D. 2 3 【关键词】二次函数、最值 【答案】A 13、(2009 丽水市)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论: ①a>0. ②该函数的图象关于直线 1x  对称. ③当 1 3x x  或 时,函数 y 的值都等于 0. 其中正确结论的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【关键词】二次函数的图像 【答案】B 14、(2009 烟台市)二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示,则一次函数 2 4y bx b ac   与反比例函 数 a b cy x   在同一坐标系内的图象大致为( ) 1 1O x y 【关键词】二次函数的图像与系数之间的关系 【答案】D 15、(2009 年甘肃庆阳)图 6(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在 l 时,拱顶(拱桥洞的最 高点)离水面 2m,水面宽 4m.如图 6(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( ) A. 22y x  B. 22y x C. 21 2y x  D. 21 2y x 图 6(1) 图 6(2) 【关键词】二次函数的应用 【答案】C 16、(2009 年甘肃庆阳)将抛物线 22y x 向下平移 1 个单位,得到的抛物线是( ) y xO y xO B. C. y xO A. y xO D. O A. 22( 1)y x  B. 22( 1)y x  C. 22 1y x  D. 22 1y x  【关键词】二次函数和抛物线有关概念 【答案】D 17、(2009 年广西南宁)已知二次函数 2y ax bx c   ( 0a  )的图象如图 4 所示,有下列四个结论: 20 0 4 0b c b ac   ① ② ③ ④ 0a b c   ,其中正确的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 1 图 4 O x y 3 【关键词】二次函数 2y ax bx c   (a≠0)与 a,b,c 的关系 【答案】C 18、(2009 年鄂州)已知=次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象如图.则下列 5 个代数式:ac,a+b+c,4a-2b+c, 2a+b,2a-b 中,其值大于 0 的个数为( ) A.2 B 3 C、4 D、5 【关键词】二次函数 2y ax bx c   (a≠0)与 a,b,c 的关系 【答案】A 19、(2009 年孝感)将函数 2y x x  的图象向右平移 a ( 0)a  个单位,得到函数 2 3 2y x x   的图象, 则 a 的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 【关键词】二次函数图象的平移 【答案】B 20、(2009 泰安)抛物线 182 2  xxy 的顶点坐标为 (A)(-2,7) (B)(-2,-25) (C)(2,7) (D)(2,-9) 【关键词】抛物线的顶点 【答案】C。 21、(2009 年烟台市)二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示,则一次函数 2 4y bx b ac   与反比例 函数 a b cy x   在同一坐标系内的图象大致为( ) 【关键词】一次函数、反比例函数与二次函数之间的有关系 【答案】D. 1 1O x y y xO y xO B. C. y xO A. y xO D. 22、(2009 年嘉兴市)已知 0a ,在同一直角坐标系中,函数 axy  与 2axy  的图象有可能是( ▲ ) 【关键词】一次函数、二次函数之间的关系 【答案】C 23、(2009 年新疆)如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确...的是( ) A. h m B. k n C. k n D. 0 0h k , 【关键词】二次函数的对称轴 【答案】B 24、(2009 年天津市)在平面直角坐标系中,先将抛物线 2 2y x x   关于 x 轴作轴对称变换,再将所得 的抛物线关于 y 轴作轴对称变换,那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( ) A. 2 2y x x    B. 2 2y x x    C. 2 2y x x    D. 2 2y x x   【关键词】二次函数的解析式 【答案】C 25、(2009 年南宁市)已知二次函数 2y ax bx c   ( 0a  )的图象如图所示,有下列四个结论: 20 0 4 0b c b ac   ① ② ③ ④ 0a b c   ,其中正确的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【关键词】二次函数 2y ax bx c   (a≠0)与 a,b,c 的关系 【答案】C 26、(2009 年衢州)二次函数 2( 1) 2y x   的图象上最低点的坐标是 A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 【关键词】抛物线顶点和对称轴 【答案】B 27、(2009 年舟山)二次函数 2( 1) 2y x   的图象上最低点的坐标是 A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 【关键词】抛物线顶点和对称轴 【答案】B O y x1 1 A. x y O1 1 B. x y O1 1 C. x y O1 1 D. 28、(2009 年广州市)二次函数 2)1( 2  xy 的最小值是( ) A.2 (B)1 (C)-1 (D)-2 【关键词】二次函数 【答案】A 29、(2009 年济宁市)小强从如图所示的二次函数 2y ax bx c   的图象中,观察得出了下面五条信息: (1) 0a  ;(2) 1c  ;(3) 0b  ;(4) 0a b c   ; (5) 0a b c   . 你认为其中正确信息 的个数有 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 1 21 1 O 1 x y (第 12 题) 【关键词】二次函数 【答案】C 30、(2009 年广西钦州)将抛物线 y=2x2 向上平移 3 个单位得到的抛物线的解析式是( ) A.y=2x2+3 B.y=2x2-3 C.y=2(x+3)2 D.y=2(x-3)2 【关键词】二次函数的图像 【答案】A 31、(2009 宁夏)二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象如图所示,对称轴是直线 1x  ,则下列四个结论 错误..的是( )D A. 0c  B. 2 0a b  C. 2 4 0b ac  D. 0a b c   【关键词】二次函数的图象 【答案】D 1 1 1 O x y (8 题图) 32、(2009 年南充)抛物线 ( 1)( 3)( 0)y a x x a    的对称轴是直线( ) A. 1x  B. 1x   C. 3x   D. 3x  【关键词】抛物线的对称轴 【答案】A 33、(2009 年湖州)已知图中的每个小方格都是边长为 1 的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点,请你 在图中任意画一条抛物线,问所画的抛物线最多能经过 81 个格点中的多少个?( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【关键词】抛物线 【答案】C 34、(2009 年兰州)在同一直角坐标系中,函数 y mx m  和函数 2 2 2y mx x    ( m 是常数,且 0m  ) 的图象可能..是 【关键词】一次函数与 二次函数的图像和性 质 【答案】D 35、(2009 年兰州)把抛物线 2y x  向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位,则平移后抛物线的解析 式为 A. 2( 1) 3y x    B. 2( 1) 3y x    C. 2( 1) 3y x    D. 2( 1) 3y x    【关键词】二次函数的图像和性质、平移 【答案】D 36、(2009 年兰州)二次函数 cbxaxy  2 的图象如图 6 所示, 则 下 列 关 系式不正确的是 A. a <0 B. abc >0 C. cba  >0 D. acb 42  >0 【关键词】二次函数的图像和性质与系数 a,b,c 之间的关系 【答案】C 37、(2009 年遂宁)把二次函数 34 1 2  xxy 用配方法化成   khxay  2 的形式 A.   224 1 2  xy B.   424 1 2  xy C.   424 1 2  xy D. 32 1 2 1 2       xy 【关键词】二次函数的图像的解析式 【答案】D 39、(2009 年广州市)二次函数 2)1( 2  xy 的最小值是( ) A.2 (B)1 (C)-1 (D)-2 【关键词】二次函数 【答案】A 40、(2009 年济宁市)小强从如图所示的二次函数 2y ax bx c   的图象中,观察得出了下面五条信息: (1) 0a  ;(2) 1c  ;(3) 0b  ;(4) 0a b c   ; (5) 0a b c   . 你认为其中正确信息 的个数有 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 1 21 1 O 1 x y (第 12 题) 【关键词】二次函数 【答案】C 41、(2009 年台湾)向上发射一枚炮弹,经 x 秒后的高度为 y 公尺,且时间与高度关系为 y=ax2bx。若此 炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等,则再下列哪一个时间的高度是最高的? (A) 第 8 秒 (B) 第 10 秒 (C) 第 12 秒 (D) 第 15 秒 。 【关键词】二次函数极值 【答案】B 42、(2009 年河北)某车的刹车距离 y(m)与开始刹车时的速度 x(m/s)之间满足二次函数 21 20y x (x >0),若该车某次的刹车距离为 5 m,则开始刹车时的速度为( ) A.40 m/s B.20 m/s C.10 m/s D.5 m/s 【关键词】二次函数的运算 【答案】C 43、(2009 年湖北荆州)抛物线 23( 1) 2y x   的对称轴是( ) A. 1x  B. 1x   C. 2x  D. 2x   【关键词】二次函数对称轴 【答案】 44、(2009 年新疆乌鲁木齐市)要得到二次函数 2 2 2y x x    的图象,需将 2y x  的图象( ). A.向左平移 2 个单位,再向下平移 2 个单位 B.向右平移 2 个单位,再向上平移 2 个单位 C.向左平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位 D.向右平移 1 个单位,再向下平移 1 个单位 【关键词】二次函数和抛物线有关概念 【答案】D 45、(2009 年黄石市)已知二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示,有以下结论:① 0a b c   ;② 1a b c   ;③ 0abc  ;④ 4 2 0a b c   ;⑤ 1c a  其中所有正确结论的序号是( ) A.①② B. ①③④ C.①②③⑤ D.①②③④⑤ 1 1 1 O x y 【关键词】二次函数 2y ax bx c   (a≠0)与 a,b,c 的关系 【答案】C 46、(2009 黑龙江大兴安岭)二次函数 )0(2  acbxaxy 的图象如图,下列判断错误的是 ( ) A. 0a B. 0b C. 0c D. 042  acb 【关键词】二次函数 2y ax bx c   (a≠0)与 a,b,c 的关系 【答案】B 47、( 2009 年 枣 庄 市 ) 二次函数 cbxaxy  2 的图象如图所示,则下列关系式中错误..的是( ) A.a<0 B.c>0 C. acb 42  >0 D. cba  >0 【关键词】二次函数 2y ax bx c   (a≠0)与 a,b,c 的关系 【答案】D 二、填空题 1、(2009 年北京市)若把代数式 2 2 3x x  化为 2x m k  的形式,其中 ,m k 为常数,则 m k = . 【关键词】配方法 【答案】-3 2、(2009 年安徽)已知二次函数的图象经过原点及点( 1 2  , 1 4  ),且图象与 x 轴的另一交点到原 点的距离为 1,则该二次函数的解析式为 【关键词】二次函数和抛物线有关概念,待定系数法 【答案】 2y x x  , 21 1 3 3y x   3、已知二次函数的图象经过原点及点( 1 2  , 1 4  ),且图象与 x 轴的另一交点到原点的距离为 1,则该二 次函数的解析式为 . 【关键词】待定系数法 【答案】 2y x x  , 21 1 3 3y x   4、(2009 年郴州市)抛物线 23( 1) 5y x=- - + 的顶点坐标为__________. 【关键词】二次函数的顶点坐标 【答案】 (15), 5、(2009 年上海市)12.将抛物线 2 2y x  向上平移一个单位后,得以新的抛物线,那么新的抛物线的 表达式是 . 【关键词】抛物线的平移 【答案】 12  xy 6、(2009 年内蒙古包头)已知二次函数 2y ax bx c   的图象与 x 轴交于点 ( 2 0) , 、 1( 0)x, ,且 11 2x  , 第 11 题图 y xO 1-1 与 y 轴的正半轴的交点在 (0 2), 的下方.下列结论:① 4 2 0a b c   ;② 0a b  ;③ 2 0a c  ;④ 2 1 0a b   .其中正确结论的个数是 个. 【答案】4 【解析】本题考查二次函数图象的画法、识别理解,方程根与系数的关系筀等知识和数形结合能力。根据 题意画大致图象如图所示,由 2y ax bx c   与 X 轴的交点坐标为(-2,0)得    22 2 0a b c       , 即 4 2 0a b c   所以①正确; 由图象开口向下知 0a  ,由 2y ax bx c   与 X 轴的另一个交点坐标为  1,0x 且 11 2x  ,则该抛物 线的对称轴为   12 1 2 2 2 xbx a       由 a<0 得 b>a,所以结论②正确, 由一元二次方程根与系数的关系知 1 2. 2cx x a    ,结合 a<0 得 2 0a c  ,所以③结论正确, 由 4 2 0a b c   得 2 2 ca b   ,而 00,所以结论 ④正确。 点拨: 4 2 0a b c   是否成立,也就是判断当 2x   时, 2y ax bx c   的函数值是否为 0; 判断 2y ax bx c   中 a 符号利用抛物线的开口方向来判断,开口向上 a>0,开口向下 a<0;判断 a、b 的小 关系时,可利用对称轴 2 bx a   的值的情况来判断;判断 a、c 的关系时,可利用由一元二次方程根与系 数的关系 1 2. cx x a  的值的范围来判断;2a-b+1 的值情况可用 4 2 0a b c   来判断。 7、(2009 襄樊市)抛物线 2y x bx c    的图象如图 6 所示,则此抛物线的解析式为 . y xO 3 x=1 图 6 解析:本题考查二次函数的有关知识,由图象知该抛物线的对称轴是 1x  ,且过点(3,0),所以 12 9 3 0 b b c        ,解得 2 3 b c    ,所以抛物线的解析式为 2 2 3y x x    , 故填 2 2 3y x x    。 【关键词】函数解析式 【答案】 2 2 3y x x    8、(2009 湖北省荆门市)函数 ( 2)(3 )y x x   取得最大值时, x  ______. 解析:本题考查二次函数的最值问题,可以用配方法或二次函数顶点坐标公式求出当 x 为何值时二次函数 取得最大值,下面用配方法, 2 2 5 49( 2)(3 ) 5 6 2 4y x x x x x              ,所以当 5 2x  时,函数 ( 2)(3 )y x x   取得最大值,故 填 5 2 【关键词】二次函数最值 【答案】 5 2 9、(2009 年淄博市) 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 . ①过点 (31),; ②当 0x  时,y 随 x 的增大而减小; ③当自变量的值为 2 时,函数值小于 2. 答案:如 21 3 1 523 6 2y x y y xx       , , 10、(2009 年贵州省黔东南州)二次函数 322  xxy 的图象关于原点 O(0, 0)对称的图象的解析式 是_________________。 【关键词】待定系数法 【答案】 322  xxy 11、(2009 年齐齐哈尔市)当 x  _____________时,二次函数 2 2 2y x x   有最小值. 【关键词】二次函数的极值问题 【答案】 1 12、(2009 年娄底)如图 7,⊙O 的半径为 2,C1 是函数 y= 1 2 x2 的图象,C2 是函数 y=- 1 2 x2 的图象,则阴影 部分的面积是 . 【关键词】对称性、圆的面积 【答案】2π 13、(2009 年甘肃庆阳)图 12 为二次函数 2y ax bx c   的图象,给出下列说法: ① 0ab  ;②方程 2 0ax bx c   的根为 1 21 3x x  , ;③ 0a b c   ;④当 1x  时,y 随 x 值的 增大而增大;⑤当 0y  时, 1 3x   . 其中,正确的说法有 .(请写出所有正确说法的序号) 【关键词】二次函数 2y ax bx c   (a≠0)与 a,b,c 的关系 【答案】①②④ 14、(2009 年鄂州)把抛物线 y=ax 2 +bx+c 的图象先向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位,所得的图 象的解析式是 y=x 2 -3x+5,则 a+b+c=__________ 【关键词】二次函数图象的平移 【答案】11 15、(2009 白银市)抛物线 2y x bx c    的部分图象如图 8 所示,请写出与其关系式、图象相关的 2 个 正确结论: , .(对称轴方程,图象与 x 正半轴、y 轴交点坐标 例外) 【关键词】二次函数 2y ax bx c   (a≠0)与 a,b,c 的关系、二次函数与一元二次方程根之间的内在 联系、二次函数与一元二次不等式的关系 【答案】答案不唯一.如:①c=3;②b+c=1;③c-3b=9;④b=-2;⑤抛物线的顶点为(-1,4),或二次函 数的最大值为 4;⑥方程-x2+bx+c=0 的两个根为-3,1;⑦y>0 时,-31; ⑧当 x>-1 时,y 随 x 的增大而减小;或当 x<-1 时,y 随 x 的增大而增大.等等 16、(2009 年甘肃定西)抛物线 2y x bx c    的部分图象如图 8 所示,请写出与其关系式、图象相关的 2 个正确结论: , .(对称轴方程,图象与 x 正半轴、y 轴交点坐 标例外) 【关键词】二次函数的图像 【答案】答案不唯一. 17、(2009 年包头)将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形, 则这两个正方形面积之和的最小值 是 cm2. 【关键词】面积、最小值 答案: 25 2 或12.5 18、(2009 年包头)已知二次函数 2y ax bx c   的图象与 x 轴交于点 ( 2 0) , 、 1( 0)x, ,且 11 2x  ,与 y 轴的正半轴的交点在 (0 2), 的下方.下列结论:① 4 2 0a b c   ;② 0a b  ;③ 2 0a c  ;④ 2 1 0a b   .其中正确结论的个数是 个. 【关键词】二次函数 答案:4 19、(2009 年莆田)出售某种文具盒,若每个获利 x 元,一天可售出 6 x 个,则当 x  元时, 一天出售该种文具盒的总利润 y 最大. 【关键词】二次函数、最大值 答案:3 20、(2009 年本溪)如图所示,抛物线 2y ax bx c   ( 0a  )与 x 轴的两个交点分别为 ( 1 0)A  , 和 (2 0)B , , 当 0y  时, x 的取值范围是 . 【关键词】二次函数 【答案】 1x   或 2x  21.(2009 年湖州)已知抛物线 2y ax bx c   ( a >0)的对称轴为直线 1x  ,且经过点   21 2y y 1, , , 试比较 1y 和 2y 的大小: 1y _ 2y (填“>”,“<”或“=”) 【关键词】二次函数的性质 【答案】> 22、(2009 年兰州)二次函数 22 3y x 的图象如图 12 所示,点 0A 位 于 坐 标 原 点, 点 1A , 2A , 3A ,…, 2008A 在 y 轴的正半轴上,点 1B , 2B , 3B ,…, 2008B 在二次函数 22 3y x 位于第一象限的图象上, 若△ 0 1 1A B A ,△ 1 2 2A B A ,△ 2 3 3A B A ,…,△ 2007 2008 2008A B A 都为等边三角形,则△ 2007 2008 2008A B A 的边长= . 【关键词】二次函数的图像和性质与三角形面积 【答案】2008 23、(2009 年北京市)若把代数式 2 2 3x x  化为 2x m k  的 形式,其中 ,m k 为常数,则 m k = . 【关键词】配方法 【答案】-3 24.(2009 年咸宁市)已知 A 、B 是抛物线 2 4 3y x x   上位置不同的两点,且关于抛物线的对称轴对称, 则点 A 、 B 的坐标可能是_____________.(写出一对即可) 【关键词】二次函数的对称轴 【答案】(1,0),(3,0) 25、(2009 年安徽)已知二次函数的图象经过原点及点( 1 2  , 1 4  ),且图象与 x 轴的另一交点到原 点的距离为 1,则该二次函数的解析式为 . 【关键词】二次函数解析式 【答案】 2y x x  , 21 1 3 3y x   26、(2009 年黄石市)若抛物线 2 3y ax bx   与 2 3 2y x x    的两交点关于原点对称,则 a b、 分别 为 . 【关键词】待定系数法;二元一次方程组的解法 【答案】 3,2 3 27、(2009 黑龙江大兴安岭)当 x 时,二次函数 222  xxy 有最小值. 【关键词】抛物线顶点和对称轴 【答案】-1 三、解答题 1、(2009 年株洲市)如图 1, Rt ABC 中, 90A   , 3tan 4B  ,点 P 在线段 AB 上运动,点 Q 、 R 分别在线段 BC 、 AC 上,且使得四边形 APQR 是矩形.设 AP 的长为 x ,矩形 APQR 的面积为 y ,已 O 知 y 是 x 的函数,其图象是过点(12,36)的抛物线的一部分(如图 2 所示). (1)求 AB 的长; (2)当 AP 为何值时,矩形 APQR 的面积最大,并求出最大值. 为了解决这个问题,孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论: 张明:图 2 中的抛物线过点(12,36)在图 1 中表示什么呢? 李明:因为抛物线上的点 ( , )x y 是表示图 1 中 AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系,那么,(12,36) 表示当 12AP  时, AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系. 赵明:对,我知道纵坐标 36 是什么意思了! 孔明:哦,这样就可以算出 AB ,这个问题就可以解决了. 请根据上述对话,帮他们解答这个问题. 图 1 【关键词】二次函数最值 【答案】(1)当 12AP  时, 36AP PQ  ∴ 3PQ  , 又在 Rt BPQ 中, 3tan 4B  ,∴ 3 4 PQ PB  ∴ 4PB  ∴ 16AB  , ( 2 ) 解 法 一 : 若 AP x , 则 16PB x  , 3 (16 )4PQ x  , ∴ 3 (16 )4y x x  , 整 理 得 23 ( 8) 484y x    ,∴ 当 8x  时, 48y最大值= . 解法二:由 16AB  ,结合图象可知抛物线经过点(0,0)、(16,0)、(12,36),可设抛物线解析式为 ( 16)y ax x  ,将(12,36)代入求得 3 4a   ,∴ 3 ( 16)4y x x   ,整理得 23 ( 8) 484y x    , ∴ 当 8x  时, 48y最大值= . 解法三:由 16AB  ,结合图象可知抛物线经过点(0,0)、(16,0),知抛物线对称轴为 8x  ,∴抛物 线顶点的横坐标为 8.∴当 8AP  时,矩形 APQR 的面积最大,此时, 8PB  ,∴ 38 64PQ    ,∴最 大面积为 48. 2、(2009 年株洲市)已知 ABC 为直角三角形, 90ACB   , AC BC ,点 A 、C 在 x 轴上,点 B 坐 标为(3 , m )( 0m  ),线段 AB 与 y 轴相交于点 D ,以 P (1,0)为顶点的抛物线过点 B 、 D . (1)求点 A 的坐标(用 m 表示); (2)求抛物线的解析式; (3)设点Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点,连结 PQ 并延长交 BC 于点 E ,连结 BQ 并延长交 AC R Q P C B A 于点 F ,试证明: ( )FC AC EC 为定值. 【关键词】二次函数的综合题 【答案】(1)由 (3, )B m 可知 3OC  , BC m ,又△ABC 为等腰直角三角形,∴ AC BC m  , 3OA m  ,所以点 A 的坐标是( 3 ,0m ). (2)∵ 45ODA OAD     ∴ 3OD OA m   ,则点 D 的坐标是( 0, 3m  ). 又抛物线顶点为 (1,0)P ,且过点 B 、 D ,所以可设抛物线的解析式为: 2( 1)y a x  ,得: 2 2 (3 1) (0 1) 3 a m a m       解得 1 4 a m    ∴抛物线的解析式为 2 2 1y x x   , (3)过点Q 作 QM AC 于点 M ,过点 Q 作 QN BC 于点 N ,设点 Q 的坐标是 2( , 2 1)x x x  ,则 2( 1)QM CN x   , 3MC QN x   . ∵ //QM CE ∴ PQM ∽ PEC ∴ QM PM EC PC  即 2( 1) 1 2 x x EC   ,得 2( 1)EC x  ∵ //QN FC ∴ BQN ∽ BFC ∴ QN BN FC BC  即 23 4 ( 1) 4 x x FC    ,得 4 1FC x   又∵ 4AC  ∴ 4 4 4( ) [4 2( 1)] (2 2) 2( 1) 81 1 1FC AC EC x x xx x x             即 ( )FC AC EC 为定值 8. 3、(2009 年重庆市江津区)某商场在销售旺季临近时 ,某品牌的童装销售价格呈上升趋势,假如这种童 装开始时的售价为每件 20 元,并且每周(7 天)涨价 2 元,从第 6 周开始,保持每件 30 元的稳定价格销 售,直到 11 周结束,该童装不再销售。 (1)请建立销售价格 y(元)与周次 x 之间的函数关系; ( 2 ) 若 该 品 牌 童 装 于 进 货 当 周 售 完 , 且 这 种 童 装 每 件 进 价 z ( 元 ) 与 周 次 x 之 间 的 关 系 为 12)8(8 1 2  xz , 1≤ x ≤11,且 x 为整数,那么该品牌童装在第几周售出后,每件获得利润最大? 并求最大利润为多少? 【关键词】二次函数极值 【答案】【答案】(1) 20 2( 1) 2 18 30 x xy       (1 6)( 11)( ) x x x x     为整数) (6 为整数 (2)设利润为 w 2 2 2 2 1 120 2( 1) ( 8) 12 14(1 6)8 8 1 130 ( 8) 12 ( 8) 18(6 11)8 8 ( y z x x x x xw y z x x x x                            为整数 为整数) 21 148w x  当 5x  时, 117 (8w 最大 元) 21 ( 8) 188w x   当 11x  时, 1 19 18 1 188 8w     最大 119 ( )8  元 综上知:在第 11 周进货并售出后,所获利润最大且为每件 119 8 元. 4、(2009 年重庆市江津区)如图,抛物线 cbxxy  2 与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3,0)两点, (1)求该抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线交 y 轴与 C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使得△QAC 的周长最小? 若存在,求出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由. (3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P,使△PBC 的面积最大?,若存在,求出点 P 的 坐标及△PBC 的面积最大值.若没有,请说明理由. 【关键词】与二次函数有关的面积问题 【答案】解:(1)将 A(1,0)B(-3,0)代入 2y x bx c    中得 1 0 9 3 0 b c b c         ,∴ 2 3 b c     ∴抛物线解析式为: 2 2 3y x x    (2)存在 理由如下:由题意知 A、B 两点关于抛物线的对称轴 1x   对称,∴直线 BC 与 1x   的交点即为 Q 点, 此时△AQC 周长最小,∵ 2 2 3y x x    ,∴C 的坐标为:(0,3),直线 BC 解析式为 3y x  Q 点坐标即为 1 3 x y x      的解,∴ 1 2 x y     ,∴Q(-1,2) 第 26 题图 AB C 5、(2009 年滨州)某商品的进价为每件 40 元.当售价为每件 60 元时,每星期可卖出 300 件,现需降价处 理,且经市场调查:每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件.在确保盈利的前提下,解答下列问题: (1)若设每件降价 x 元、每星期售出商品的利润为 y 元,请写出 y 与 x 的函数关系式,并求出自变量 x 的 取值范围; (2)当降价多少元时,每星期的利润最大?最大利润是多少? (3)请画出上述函数的大致图象. 【关键词】二次函数的实际应用. 【答案】(1)y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=- 600010020 2  xx ,0≤x≤20; (2)y=-20 6135)5.2( 2 x ,∴当 x==2.5 元,每星期的利润最大,最大利润是 6135 元;(3)图像略. 6、(2009 年滨州) 如图①,某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成,在等腰梯形 ABCD 中, AB DC∥ , 20cm 30cm 45AB DC ADC   , , °.对于抛物线部分,其顶点为CD 的 中点 O ,且过 A B、 两点,开口终端的连线 MN 平行且等于 DC . (1)如图①所示,在以点 O 为原点,直线 OC 为 x 轴的坐标系内,点C 的坐标为 (15 0), , 试求 A B、 两点的坐标; (2)求标志的高度(即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离); (3)现根据实际情况,需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为 3cm 的保护膜,如图②, 请在图中补充完整镀膜部分的示意图,并求出镀膜的外围周长. 【关键词】二次函数与等腰梯形. 【答案】(1)A(-10,5),B(10,5);(2) 7、 (2009 年四川省内江市)如图所示,已知点 A(-1,0),B(3,0),C(0,t),且 t>0,tan∠BAC=3, 抛物线经过 A、B、C 三点,点 P(2,m)是抛物线与直线 )1(:  xkyl 的一个交点。 (1)求抛物线的解析式; (2)对于动点 Q(1,n),求 PQ+QB 的最小值; (3)若动点 M 在直线l 上方的抛物线上运动, 求△AMP 的边 AP 上的高 h 的最大值。 【关键词】二次函数,三角函数. 【答案】解:(1)由 A(-1,0)知 AO=1,由 tan∠BAC=3, 得 CO=3AO=3, ∴t=3 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3),将点 C(0,3)坐标代入得 a=-1 ∴所求解析式为 y=-x2+2x+3 (2)m=-22+2×2+3=3, P(2,3) 动点 Q(1,n)在直线 x=1 上运动,点 B(3,0)关于直线 x=1 的对称点为 A(-1,0) ∴PQ+QB=PQ+QA∴PQ+QB 的最小值为 PA= 22 3)]1(2[  = 23 (3)将点 P(2,3)的坐标代入 y=k(x+1)得 k=1 ∴直线 l 的解析式为 y=x+1 ∴AP 在 l 上. 设 M(x,-x2+2x+3),过 M 作 y 轴的平行线交 AP 于 D,则 D(x,x+1), MD=(-x2+2x+3)-(x+1)=-x2+x+2 S△AMP=S△AMD+S△PMD=12(-x2+x+2)(x+1)+ 2 1 (-x2+x+2)(2-x)= 2 3 (-x2+x+2) ∴h= AP S AMP2 = 23 3 (-x2+x+2) = 2 2 (-x2+x+2) = 2 2 [-(x- 2 1 )2+ 4 9 ] N B CD A M y x (第 4 题图①) ) O A B CD (第 4 题图②) )) 20cm 30cm45° ∴当 x= 2 1 时,h 的最大值为 8 29 8、(2009 仙桃)如图,已知抛物线 y=x2+bx+c 经过矩形 ABCD 的两个顶点 A、B,AB 平行于 x 轴,对角 线 BD 与抛物线交于点 P,点 A 的坐标为(0,2),AB=4. (1)求抛物线的解析式; (2)若 S△APO= 2 3 ,求矩形 ABCD 的面积. 【关键词】二次函数,矩形. 【答案】解:(1)∵A(0,2),AB=4,∴B(4,2) ∵抛物线 2y x bx c   过 A、B 两点 ∴ 2, 16 4 2 c b c      ,解得 4, 2 b c     ∴抛物线的解析式为 2 4 2.y x x   (2)过 P 点作 PE⊥ y 轴于点 E,∵ 3 2APOS  , 1 3 2 2OA PE  ∵OA=2,∴ 3 2PE  .∵点 P 在抛物线 2 4 2y x x   上,∴当 3 2x  时, 7 4y   .∴P 点坐标为. 3 7( , )2 4  设直线 BD 的解析式为 y kx b  ∵直线 BD 过 P、B 两点, ∴ 4 2, 3 7 2 4 k b k b      解得 3 ,2 4 k b      ∴直线 BD 的解析式为 3 42y x  . 当 0x  时, 4y   ,∴D(0,-4),∴AD=2+4=6.∴ 4 6 24.ABCDS   矩形 (3)答:存在 理由如下:设 P 点 2( , 2 3)x x x   ( 3 0)x   ,∵ BPC BOCBPCOS S S  四边形 = 9 2BPCOS 四边形 若 BPCOS四边形 有最大值,则 BPCS 就最大,过 P 点作 PE⊥ x 轴于 E,∴ Rt BPEBPCO PEOCS S S 四边形 直角梯形 1 1 ( )2 2BE PE OE PE OC    2 21 1( 3)( 2 3) ( )( 2 3 3)2 2x x x x x x           23 3 9 27( )2 2 2 8x     ,当 3 2x   时, BPCOS四边形 最大= 9 27 2 8  ∴ BPCS 最大= 9 27 9 27 2 8 2 8    ,当 3 2x   时, 2 152 3 4x x    ,∴点 P 坐标为 3 15( , )2 4  . 9、(2009 年长春)如图,直线 3 64y x   分别与 x 轴、y 轴交于 A B、 两点, 直线 5 4y x 与 AB 交于点C ,与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D .点 E 从点 A 出发,以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左运动.过点 E 作 x 轴的垂线, 分别交直线 AB OD、 于 P Q、 两点,以 PQ 为边向右作正方形 PQMN ,设 正方形 PQMN 与 ACD△ 重叠部分(阴影部分)的面积为 S (平方单位).点 E 的运动时间为 t (秒). (1)求点C 的坐标.(1 分) (2)当 0 5t  时,求 S 与t 之间的函数关系式.(4 分) (3)求(2)中 S 的最大值.(2 分) (4)当 0t  时,直接写出点 94 2      , 在正方形 PQMN 内部时t 的取值范围.(3 分) 【参考公式:二次函数 2y ax bx c   图象的顶点坐标为 24 2 4 b ac b a a     , .】 【关键词】平面内点的坐标的意义,二元一次方程组的应用,不等式(组)的简单应用二次函数与一元二 次方程根之间的内在联系 【答案】 解:(1)由题意,得         . 4 5 ,6 4 3 xy xy 解得      .4 15 ,3 y x ∴C(3, 4 15 ). (2)根据题意,得 AE=t,OE=8-t. ∴点 Q 的纵坐标为 4 5 (8-t),点 P 的纵坐标为 4 3 t, ∴PQ= 4 5 (8-t)- 4 3 t=10-2t. 当 MN 在 AD 上时,10-2t=t,∴t= 3 10 . 当 0 9 100 ,∴S 的最大值为 2 25 . (4)46. 10、(2009 年郴州市) 如图 11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点 M(-2, 1- ),且 P( 1- , -2)为双曲线上的一点,Q 为坐标平面上一动点,PA 垂直于 x 轴,QB 垂直于 y 轴,垂足分别是 A、B. (1)写出正比例函数和反比例函数的关系式; (2)当点 Q 在直线 MO 上运动时,直线 MO 上是否存在这样的点 Q,使得△OBQ 与△OAP 面积相 等?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由; (3)如图 12,当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时,作以 OP、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ, 求平行四边形 OPCQ 周长的最小值. 【关键词】二次函数的极值问题 【答案】(1)设正比例函数解析式为 y kx ,将点 M( 2 , 1 )坐标代入得 1 2k = ,所以正比例函数解 析式为 1 2y x= 2 分 同样可得,反比例函数解析式为 2y x= (2)当点 Q 在直线 DO 上运动时, 设点 Q 的坐标为 1( )2Q m m, , 于是 21 1 1 1 2 2 2 4OBQS OB BQ m m m△ = = , 而 1 ( 1) ( 2) 12OAPS△ = - ´ - = , 所以有, 21 14 m = ,解得 2m   所以点 Q 的坐标为 1(2 1)Q , 和 2 ( 2 1)Q ,- - (3)因为四边形 OPCQ 是平行四边形,所以 OP=CQ,OQ=PC, 而点 P( 1 , 2 )是定点,所以 OP 的长也是定长,所以要求平行四边形 OPCQ 周长的最小值就只需 图 11 图 12 求 OQ 的最小值 因为点 Q 在第一象限中双曲线上,所以可设点 Q 的坐标为 2( )Q n n , , 由勾股定理可得 2 2 2 2 4 2( ) 4OQ n nn n= + = - + , 所以当 22( ) 0n n- = 即 2 0n n- = 时, 2OQ 有最小值 4, 又因为 OQ 为正值,所以 OQ 与 2OQ 同时取得最小值, 所以 OQ 有最小值 2. 由勾股定理得 OP= 5 ,所以平行四边形 OPCQ 周长的最小值是 2( ) 2( 5 2) 2 5 4OP OQ+ = + = + . 10、(2009 年 常 德 市 )已知二次函数过点 A (0, 2 ),B( 1 ,0),C( 5 9 4 8 , ). (1)求此二次函数的解析式; (2)判断点 M(1, 1 2 )是否在直线 AC 上? (3)过点 M(1, 1 2 )作一条直线 l 与二次函数的图象交于 E、F 两点(不同于 A,B,C 三点),请自 已给出 E 点的坐标,并证明△BEF 是直角三角形. 【关键词】二次函数 【答案】(1)设二次函数的解析式为 cbxaxy  2 ( 0a  ), 把 A (0, 2 ),B( 1 ,0),C( 5 9 4 8 , )代入得 2 0 9 25 5 8 16 4 c a b c a b c              解得 a=2 , b=0 , c=-2, ∴ 22 2y x  (2)设直线 AC 的解析式为 ( 0)y kx b k   , 把 A (0,-2),C( 5 9 4 8 , )代入得 2 9 5 8 4 b k b     , 解得 5 22k b  , ,∴ 5 22y x  图 8 当 x=1 时, 5 11 22 2y     ∴M(1, 1 2 )在直线 AC 上 (3)设 E 点坐标为( 1 3 2 2  , ),则直线 EM 的解析式为 4 5 3 6y x  由 2 4 5 3 6 2 2 y x y x       化简得 2 4 72 03 6x x   ,即 1 7( )(2 ) 02 3x x   , ∴F 点的坐标为( 7 13 6 18 , ). 过 E 点作 EH⊥x 轴于 H,则 H 的坐标为( 1 02  ,). ∴ 3 1 2 2EH BH , ∴ 2 2 23 1 10( ) ( )2 2 4BE    , 类似地可得 2 2 213 13 1690 845( ) ( )18 6 324 162BF     , 2 2 240 10 2500 1250( ) ( )18 6 324 162EF     , ∴ 2 2 210 845 1250 4 162 162BE BF EF     ,∴△BEF 是直角三角形. 11、(2009 年陕西省) 如图,在平面直角坐标系中,OB⊥OA,且 OB=2OA,点 A 的坐标是(-1,2). (1)求点 B 的坐标; (2)求过点 A、O、B 的抛物线的表达式; (3)连接 AB,在(2)中的抛物线上求出点 P,使得 S△ABP=S△ABO. 【关键词】用相似求线段 平面内点的坐标的意义 三点法确定抛物线 存在性探究题 【答案】解:(1)过点 A 作 AF⊥x 轴,垂足为点 F,过点 B 作 BE⊥x 轴,垂足为点 E, 则 AF=2,OF=1. ∵OA⊥OB, ∴∠AOF+∠BOE=90°. 又 ∵∠BOE+∠OBE=90°, ∴∠AOF=∠OBE. ∴Rt△AFO∽Rt△OEB. ∴ 2 OA OB AF OE OF BE . ∴BE=2,OE=4. ∴B(4,2). (2)设过点 A(-1,2),B(4,2),O(0,0)的抛物线为 y=ax2+bx+c. 图 8 ∴       .0 ,2416 ,2 c cba cba 解之,得            .0 ,2 3 ,2 1 c b a ∴所求抛物线的表达式为 xxy 2 3 2 1 2  . (3)由题意,知 AB∥x 轴. 设抛物线上符合条件的点 P 到 AB 的距离为 d, 则 S△ABP= AFABdAB  2 1 2 1 . ∴d=2. ∴点 P 的纵坐标只能是 0 或 4. 令 y=0,得 02 3 2 1 2  xx ,解之,得 x=0,或 x=3. ∴符合条件的点 P1(0,0),P2(3,0). 令 y=4,得 42 3 2 1 2  xx ,解之,得 2 413 x . ∴符合条件的点 P3( 2 413  ,4),P4( 2 413  ,4). ∴综上,符合题意的点有四个: P1(0,0),P2(3,0),P3( 2 413  ,4),P4( 2 413  ,4). (评卷时,无 P1(0,0)不扣分) 12、(2009 年黄冈市)新星电子科技公司积极应对 2008 年世界金融危机,及时调整投资方向,瞄准光伏产 业,建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高,且市场占有率不高等因素的影响,产品 投产上市一年来,公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程(公司对经营的盈亏情况每月最后一天 结算 1 次).公司累积获得的利润 y(万元)与销售时间第 x(月)之间的函数关系式(即前 x 个月的利润 总和 y 与 x 之间的关系)对应的点都在如图所示的图象上.该图象从左至右,依次是线段 OA、曲线 AB 和 曲 线 BC , 其 中 曲 线 AB 为 抛 物 线 的 一 部 分 , 点 A 为 该 抛 物 线 的 顶 点 , 曲 线 BC 为 另 一 抛 物 线 25 205 1230y x x    的一部分,且点 A,B,C 的横坐标分别为 4,10,12 (1)求该公司累积获得的利润 y(万元)与时间第 x(月)之间的函数关系式; (2)直接写出第 x 个月所获得 S(万元)与时间 x(月)之间的函数关系式(不需要写出计算过程); (3)前 12 个月中,第几个月该公司所获得的利润最多?最多利润是多少万元? 【关键词】待定系数法 函数的极值问题 【答案】(1)当 40  x 时,线段 OA 的函数关系式为 xy 10 ; 当 104  x 时, 由于曲线 AB 所在抛物线的顶点为 A(4,-40),设其解析式为   404 2  xay 在 25 205 1230y x x    中,令 x=10,得 320y ;∴B(10,320) ∵B(10,320)在该抛物线上 ∴   40410320 2  a 解得 10a ∴当 104  x 时,   40410 2  xy = 1208010 2  xx 综上可知,        12302055 1208010 10 2 2 xx xx x y (2) 当 40  x 时, 10S  当 105  x 时, 9020  xS 当 1211  x 时, 21010  xS (3) 10 月份该公司所获得的利润最多,最多利润是 110 万元. 13、(2009 武汉)某商品的进价为每件 40 元,售价为每件 50 元,每个月可卖出 210 件;如果每件商品的售 价每上涨 1 元,则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 65 元).设每件商品的售价上涨 x 元( x 为正整 数),每个月的销售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围; (2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? (3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为 2200 元?根据以上结论,请你直接写出售价 在什么范围时,每个月的利润不低于 2200 元? 【关键词】二次函数的应用 二次函数的极值问题 【答案】解:(1) 2(210 10 )(50 40) 10 110 2100y x x x x        ( 0 15x ≤ 且 x 为整数); (2) 210( 5.5) 2402.5y x    . 10 0a    ,当 5.5x  时, y 有最大值 2402.5. 0 15x ≤ ,且 x 为整数, 当 5x  时,50 55x  , 2400y  (元),当 6x  时, 50 56x  , 2400y  (元) 当售价定为每件 55 或 56 元,每个月的利润最大,最大的月利润是 2400 元. (3)当 2200y  时, 210 110 2100 2200x x    ,解得: 1 21 10x x , . 当 1x  时,50 51x  ,当 10x  时, 50 60x  . 当售价定为每件 51 或 60 元,每个月的利润为 2200 元. 当售价不低于 51 或 60 元,每个月的利润为 2200 元. 当售价不低于 51 元且不高于 60 元且为整数时,每个月的利润不低于 2200 元(或当售价分别为 51, 52,53,54,55,56,57,58,59,60 元时,每个月的利润不低于 2200 元). 14、(2009 武汉)如图,抛物线 2 4y ax bx a   经过 ( 1 0)A  , 、 (0 4)C , 两点,与 x 轴交于另一点 B . (1)求抛物线的解析式; (2)已知点 ( 1)D m m , 在第一象限的抛物线上,求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标; (3)在(2)的条件下,连接 BD ,点 P 为抛物线上一点,且 45DBP  °,求点 P 的坐标. )4,3,2,1( x , )109,8,7,6,5( ,x  , )12,1110( ,x  . y xO A B C 【关键词】待定系数法 求点的坐标 【答案】解:(1)抛物线 2 4y ax bx a   经过 ( 1 0)A  , , (0 4)C , 两点, 4 0 4 4. a b a a     , 解得 1 3. a b     , 抛物线的解析式为 2 3 4y x x    . (2)点 ( 1)D m m , 在抛物线上, 21 3 4m m m      , 即 2 2 3 0m m   , 1m   或 3m  . 点 D 在第一象限,点 D 的坐标为 (3 4), . y xO A B C D E 由(1)知 45OA OB CBA  , °. 设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E . (0 4)C , , CD AB ∥ ,且 3CD  , 45ECB DCB    °, E 点在 y 轴上,且 3CE CD  . 1OE  , (01)E , . 即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为(0,1). (3)方法一:作 PF AB⊥ 于 F , DE BC⊥ 于 E . y xO A B C D EP F 由(1)有: 4 45OB OC OBC   , °, 45DBP CBD PBA     °, . (0 4) (3 4)C D ,, , , CD OB ∥ 且 3CD  . 45DCE CBO    °, 3 2 2DE CE   . 4OB OC  , 4 2BC  , 5 2 2BE BC CE    , 3tan tan 5 DEPBF CBD BE       . 设 3PF t ,则 5BF t , 5 4OF t   , ( 5 4 3 )P t t   , . P 点在抛物线上,  23 ( 5 4) 3( 5 4) 4t t t        , 0t  (舍去)或 22 25t  , 2 66 5 25P     , . 方法二:过点 D 作 BD 的垂线交直线 PB 于点Q ,过点 D 作 DH x⊥ 轴于 H .过Q 点作QG DH⊥ 于G . y xO A B C D P Q G H 45PBD QD DB    °, . QDG BDH   90 °, 又 90DQG QDG    °, DQG BDH   . QDG DBH△ ≌△ , 4QG DH   , 1DG BH  . 由(2)知 (3 4)D , , ( 13)Q  , . (4 0)B , ,直线 BP 的解析式为 3 12 5 5y x   . 解方程组 2 3 4 3 12 5 5 y x x y x         , , 得 1 1 4 0 x y    , ; 2 2 2 5 66 .25 x y      , 点 P 的坐标为 2 66 5 25     , . 15、(2009 年安顺)如图,已知抛物线与 x 交于 A(-1,0)、E(3,0)两点,与 y 轴交于点 B(0,3)。 (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线顶点为 D,求四边形 AEDB 的面积; (3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。 【关键词】待定系数法,相似三角形判定和性质 【答案】(1)∵抛物线与 y 轴交于点(0,3), ∴设抛物线解析式为 )0(32  abxaxy 根据题意,得      0339 03 ba ba ,解得      2 1 b a ∴抛物线的解析式为 322  xxy (5′) (2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4) 设对称轴与 x 轴的交点为 F ∴四边形 ABDE 的面积= ABO DFEBOFDS S S  梯形 = 1 1 1( )2 2 2AO BO BO DF OF EF DF      = 1 1 11 3 (3 4) 1 2 42 2 2         =9 (3)似 如图,BD= 2 2 2 21 1 2BG DG    ;∴BE= 2 2 2 23 3 3 2BO OE    DE= 2 2 2 22 4 2 5DF EF    ∴ 2 2 20BD BE  , 2 20DE  即: 2 2 2BD BE DE  ,所以 BDE 是直角三角形 ∴ 90AOB DBE     ,且 2 2 AO BO BD BE   , ∴ AOB ∽ DBE 16、(2009 重庆綦江)如图,已知抛物线 ( 1)2 3 3( 0)y a x a    经过点 ( 2 )A  ,0 ,抛物线的顶点为 D , 过O 作射线OM AD∥ .过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线OM 于点C ,B 在 x 轴正半轴上,连结 BC . (1)求该抛物线的解析式; (2)若动点 P 从点O 出发,以每秒 1 个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点 P 运动的时间为 ( )t s .问 当t 为何值时,四边形 DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形? (3)若OC OB ,动点 P 和动点Q 分别从点O 和点 B 同时出发,分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度 单位的速度沿OC 和 BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间 为t ( )s ,连接 PQ ,当t 为何值时,四边形 BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时 PQ 的长. 【关键词】抛物线 【答案】(1)抛物线 2( 1) 3 3( 0)y a x a    经过点 ( 2 0)A  , , 30 9 3 3 3a a      二次函数的解析式为: 23 2 3 8 3 3 3 3y x x    (2) D 为抛物线的顶点 (13 3)D , 过 D 作 DN OB 于 N ,则 3 3DN  , x y M CD P QO A B 2 23 3 (3 3) 6 60AN AD DAO      , ° OM AD ∥ ① 当 AD OP 时,四边形 DAOP 是平行四边形 6 6(s)OP t    ② 当 DP OM 时,四边形 DAOP 是直角梯形 过O 作OH AD 于 H , 2AO  ,则 1AH  (如果没求出 60DAO  °可由 Rt RtOHA DNA△ ∽ △ 求 1AH  ) 5 5(s)OP DH t    ③ 当 PD OA 时,四边形 DAOP 是等腰梯形 2 6 2 4 4(s)OP AD AH t        综上所述:当 6t  、5、4 时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形. (3)由(2)及已知, 60COB OC OB OCB  °, ,△ 是等边三角形 则 6 2 6 2 (0 3)OB OC AD OP t BQ t OQ t t         , , , 过 P 作 PE OQ 于 E ,则 3 2PE t 1 1 36 3 3 (6 2 )2 2 2BCPQS t t        = 23 3 63 32 2 8t     当 3 2t  时, BCPQS 的面积最小值为 63 38 此时 3 3 3 9 3 33 32 4 4 4 4OQ OP OE QE PE      , = , 2 2 2 2 3 3 9 3 3 4 4 2PQ PE QE                 17、(2009 威海)如图,在直角坐标系中,点 A,B,C 的坐标分别为(-1,0),(3,0)。(0,3),过 A,B,C 三点的抛物线的对称轴为直线l ,D 为对称轴l 上一动点. (1) 求抛物线的解析式; (2) 求当 AD+CD 最小时点 D 的坐标; (3) 以点 A 为圆心,以 AD 为半径作⊙A. ①证明:当 AD+CD 最小时,直线 BD 与⊙A 相切. ②写出直线 BD 与⊙A 相切时,D 点的另一个坐标:___________. 【关键词】待定系数法,直线与圆的位置关系 【答案】(1)设抛物线的解析式为 ( 1)( 3)y a x x   . 将 (0 3), 代入上式,得3 (0 1)(0 3)a   . 解,得 1a   . 抛物线的解析式为 ( 1)( 3)y x x    . 即 2 2 3y x x    . (2)连接 BC ,交直线l 于点 D . 点 B 与点 A 关于直线 l 对称, AD BD  . AD CD BD CD BC     . 由“两点之间,线段最短”的原理可知: 此时 AD CD 最小,点 D 的位置即为所求. 设直线 BC 的解析式为 y kx b  , x y M C D P QO A BNE H OA B C ly x OA B C ly x D E 由直线 BC 过点 (3 0), , (0 3), ,得 0 3 3 . k b b     , 解这个方程组,得 1 3. k b     , 直线 BC 的解析式为 3y x   . 由(1)知:对称轴l 为 2 12 ( 1)x     ,即 1x  . 将 1x  代入 3y x   ,得 1 3 2y     . 点 D 的坐标为(1,2). 说明:用相似三角形或三角函数求点 D 的坐标也可,答案正确给 2 分. (3)①连接 AD .设直线l 与 x 轴的交点记为点 E . 由(1)知:当 AD CD 最小时,点 D 的坐标为(1,2). 2DE AE BE    . 45DAB DBA    °. 90ADB  °. AD BD ⊥ . BD 与 A⊙ 相切. ② (1 2), . 18、(2009 年内蒙古包头)已知二次函数 2y ax bx c   ( 0a  )的图象经过点 (1 0)A , , (2 0)B , , (0 2)C , ,直线 x m ( 2m  )与 x 轴交于点 D . (1)求二次函数的解析式; (2)在直线 x m ( 2m  )上有一点 E (点 E 在第四象限),使得 E D B、 、 为顶点的三角形与以 A O C、 、 为顶点的三角形相似,求 E 点坐标(用含 m 的代数式表示); (3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点 F ,使得四边形 ABEF 为平行四边形?若存在,请 求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积;若不存在,请说明理由. y xO 【解析】本题考查二次函数关系式求法、坐标系中有关线段的长度与点的坐标之间的关系,探究三角形相 似的条件和判定四边形为平行四边形的条件,涉及到一元二次方程的解法等综合性较强,稍有疏忽就容 易失分。 【答案】(1)根据题意,得 0 4 2 0 2 a b c a b c c           ,解得 1 3 2 a b c        ∴ 2 3 2y x x    。 (2)当ΔEDB∽ΔAOC 时,得 AO CO ED BD  或 AO CO BD ED  。 ∵AO=1,CO=2,BD=m-2,当 AO CO ED BD  时,得 1 2 2ED m   , ∴ 2 2 mED  。 ∵点 E 在第四象限, ∴ 1 2, 2 mE m      ,当 AO CO BD ED  时,得 1 2 2m ED  ,∴ 2 4ED m  ,∵点 E 在 第四象限, ∴  1 ,4 2E m m 。 (3)假设抛物线上存在一点这 P,使得四边形 ABEF 为平行四边形,则 EF=AB=1,点 F 的横坐标为 m-1,当 点 1E 的坐标为 2, 2 mm      时,点 1F 的坐标为 21, 2 mm     , ∵点 1F 在抛物线的图象上, ∴    22 1 3 1 22 m m m       , ∴ 22 11 14 0m m   , ∴  2 7 2 0m m   ∴ 7 , 22m m  (舍去) ∴ 1 5 3,2 4F     , ∴ 3 31 4 4ABEFS    。 当点 2E 的坐标为  ,4 2m m 时,点 2F 的坐标为 1,4 2m m  , ∵点 F2 在抛物线的图象 上, ∴    24 2 1 3 1 2,m m m       ∴ 2 7 10 0,m m   ∴  2 5 0m m   ∴ 2m  (舍去), 5m  ∴  1 4, 6 ,F  ∴ 1 6 6ABEFS   平行四边形 点拨:(2)中讨论ΔEDB 与ΔAOC 相似的条件时,题目中未用相似符号连接应按不同的对应关系分 情况讨论,否则易漏解。在由线段的长度求 E 点坐标时要注意点的坐标的符号。 (3)中在求是否存在点 E 问题,应先假设存在,列得关系式如果有解,并且符合题意就存在;如果无解 或解得的结果不符合题意,就不存在。 19、(2009 山西省太原市)已知,二次函数的表达式为 24 8y x x  .写出这个函数图象的对称轴和顶点 坐标,并求图象与 x 轴的交点的坐标. 【关键词】二次函数最值、与坐标轴交点坐标 【答案】 解:在 24 8y x x  中, 4 8 0a b c  , , .∴ 2 28 4 4 4 0 81 42 2 4 4 4 b ac b a a             , .4 ∴这个函数图象的对称轴是 1x   ,顶点坐标是: 1 4 , . 评分说明:直接写出正确结果也得 2 分.令 y =0,则 24 8 0x x  .解得 1 20 2x x  , .∴函数图象与 x 轴的交点的坐标为    0 0 2 0, , , . 20、(2009 湖北省荆门市) 一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A( 2m  ,0),B(m+2,0)两点,记抛物 线顶点为 C,且 AC⊥BC. (1)若 m 为常数,求抛物线的解析式; (2)若 m 为小于 0 的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点? (3)设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点,问是否存在实数 m,使得△BCD 为等腰三角形?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. O BA C D x y 第 25 题图 解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-m+2)(x-m-2)=a(x-m)2-4a.∵AC⊥BC,由抛物线的 对称性可知:△ACB 为等腰直角三角形,又 AB=4,∴C(m, 2 )代入得 a= 1 2 .∴解析式为:y= 1 2 (x -m)2 2 .(亦可求 C 点,设顶点式) (2)∵m 为小于零的常数,∴只需将抛物线向右平移-m 个单位,再向上平移 2 个单位,可以使抛物 线 y= 1 2 (x-m)2 2 顶点在坐标原点. (3)由(1)得 D(0, 1 2 m2 2 ),设存在实数 m,使得△BOD 为等腰三角形.∵△BOD 为直角三角形, ∴只能 OD=OB.∴ 1 2 m2-2=|m+2|,当 m+2>0 时,解得 m=4 或 m= 2 (舍).当 m+2<0 时,解 得 m=0(舍)或 m= 2 (舍);当 m+2=0 时,即 m= 2 时,B、O、D 三点重合(不合题意,舍),综 上所述:存在实数 m=4,使得△BOD 为等腰三角形. 20、(2009 年淄博市)如图,在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的边长是 2.O 为坐标原点,点 A 在 x 的正半轴上,点 C 在 y 的正半轴上.一条抛物线经过 A 点,顶点 D 是 OC 的中点. (1)求抛物线的表达式; (2)正方形 OABC 的对角线 OB 与抛物线交于 E 点,线段 FG 过点 E 与 x 轴垂直,分别交 x 轴和线段 BC 于 F,G 点,试比较线段 OE 与 EG 的长度; (3)点 H 是抛物线上在正方形内部的任意一点,线段 IJ 过点 H 与 x 轴垂直,分别交 x 轴和线段 BC 于 I、J 点,点 K 在 y 轴的正半轴上,且 OK=OH,请证明△OHI≌△JKC. 解:(1)由题意,设抛物线的解析式为: 2y ax b  . 将点 D 的坐标(0,1),点 A 的坐标(2,0)代入,得 a = 1 4  ,b=1. 所求抛物线的解析式为 21 14y x   . (2)由于点 E 在正方形的对角线 OB 上,又在抛物线上, 设点 E 的坐标为(m,m)( 0 2m  ),则 21 14m m   . 解得 1 22 2 2 , 2 2 2m m     (舍去). 所以 OE= 2 4 2 2m   .所以 2 2 (2 2 2) 4 2 2EG GF EF m         .所以 OE=EG. (3)设点 H 的坐标为(p,q)( 0 2p  , 0 2q  ), 由 于 点 H 在 抛 物 线 21 14y x   上 , 所 以 21 14q p   , 即 2 4 4p q  . 因 为 2 2 2 2 2 2 24 4 (2 )OH OI HI p q q q q         , 所以 OH=2–q.所以 OK=OH=2–q.所以 CK=2-(2-q)=q=IH. 因为 CJ=OI, ∠OIH=∠JCK=90º,所以△OHI≌△JKC. 21、(2009 年贵州省黔东南州)凯里市某大型酒店有包房 100 间,在每天晚餐营业时间,每间包房收包房 费 100 元时,包房便可全部租出;若每间包房收费提高 20 元,则减少 10 间包房租出,若每间包房收费再 提高 20 元,则再减少 10 间包房租出,以每次提高 20 元的这种方法变化下去。 O A BC D E y xF G H I J K (第 24 题) (1)设每间包房收费提高 x(元),则每间包房的收入为 y1(元),但会减少 y2 间包房租出,请分别 写出 y1、y2 与 x 之间的函数关系式。 (2)为了投资少而利润大,每间包房提高 x(元)后,设酒店老板每天晚餐包房总收入为 y(元), 请写出 y 与 x 之间的函数关系式,求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入,并说明理 由。 【关键词】二次函数的应用 【答案】解:(1) xy  1001 , xy 2 1 2  (2) )2 1100()100( xxy  ,即:y 11250)50(2 1 2  x 因为提价前包房费总收入为 100×100=10000。 当 x=50 时,可获最大包房收入 11250 元,因为 11250>10000。又因为每次提价为 20 元,所以每间包 房晚餐应提高 40 元或 60 元。 22、(2009 年贵州省黔东南州)已知二次函数 22  aaxxy 。 (1)求证:不论 a 为何实数,此函数图象与 x 轴总有两个交点。 (2)设 a<0,当此函数图象与 x 轴的两个交点的距离为 13 时,求出此二次函数的解析式。 (3)若此二次函数图象与 x 轴交于 A、B 两点,在函数图象上是否存在点 P,使得△PAB 的面积为 2 133 , 若存在求出 P 点坐标,若不存在请说明理由。 【关键词】二次函数的综合应用 【答案】解(1)因为△= 04)2()2(4 22  aaa 所以不论 a 为何实数,此函数图象与 x 轴总有两个交点。 (2)设 x1、x2 是 022  aaxxy 的两个根,则 axx  21 , 221  axx ,因两交点的 距离是 13 ,所以 13)(|| 2 2121  xxxx 。 即: 13)( 2 21  xx 变形为: 134)( 21 2 21  xxxx 所以: 13)2(4)( 2  aa 整理得: 0)1)(5(  aa 解方程得: 15  或a 又因为:a<0 所以:a=-1 所以:此二次函数的解析式为 32  xxy (3)设点 P 的坐标为 ),( 0yxo ,因为函数图象与 x 轴的两个交点间的距离等于 13 ,所以:AB= 13 所以:S△PAB= 2 13||2 1 0  yAB 所以: 2 13 2 ||13 0 y 即: 3|| 0 y ,则 30 y 30 y 时, 332 0  oxx ,即 0)2)(3( 0  oxx 解此方程得: 0x =-2 或 3 当 30 y 时, 332 0  oxx ,即 0)1(0 oxx 解此方程得: 0x =0 或 1 综上所述,所以存在这样的 P 点,P 点坐标是(-2,3), (3,3), (0, -3)或(1, -3)。 23、(2009 年江苏省)如图,已知二次函数 2 2 1y x x   的图象的顶点为 A .二次函数 2y ax bx  的 图象与 x 轴交于原点O 及另一点C ,它的顶点 B 在函数 2 2 1y x x   的图象的对称轴上. (1)求点 A 与点C 的坐标; (2)当四边形 AOBC 为菱形时,求函数 2y ax bx  的关系式. 【关键词】待定系数法 【答案】解:(1) 2 22 1 ( 1) 2y x x x      ,所以顶点 A 的坐标为 (1 2), . (3 分) 因为二次函数 2y ax bx  的图象经过原点,且它的顶点在二次函数 2 2 1y x x   图象的对称轴l 上,所 以点 C 和点 O 关于直线 l 对称,所以点C 的坐标为 (2 0), . (2)因为四边形 AOBC 是菱形,所以点 B 和点 A 关于直线OC 对称,因此,点 B 的坐标为 (1 2), . 因为二次函数 2y ax bx  的图象经过点 B (1 2), , (2 0)C , ,所以 2 4 2 0. a b a b       , 解得 2 4 a b     , . 所以二次函数 2y ax bx  的关系式为 22 4y x x   . 24、(2009 年浙江省绍兴市)定义一种变换:平移抛物线 1F 得到抛物线 2F ,使 2F 经过 1F 的顶点 A .设 2F 的对称轴分别交 1 2F F, 于点 D B, ,点C 是点 A 关于直线 BD 的对称点. (1)如图 1,若 1F : 2y x ,经过变换后,得到 2F : 2y x bx  ,点C 的坐标为 (2 0), ,则①b 的值等 于______________; ②四边形 ABCD 为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 (2)如图 2,若 1F : 2y ax c  ,经过变换后,点 B 的坐标为 (2 1)c , ,求 ABD△ 的面积; (3)如图 3,若 1F : 21 2 7 3 3 3y x x   ,经过变换后, 2 3AC  ,点 P 是直线 AC 上的动点,求点 P 到点 D 的距离和到直线 AD 的距离之和的最小值. 【关键词】二次函数应用 【答案】 25、(2009 年吉林省)某数学研究所门前有一个边长为 4 米的正方形花坛,花坛内部要用红、黄、紫三种 颜色的花草种植成如图所示的图案,图案中 AE MN .准备在形如 Rt AEH△ 的四个全等三角形内种植 红色花草,在形如 Rt AEH△ 的四个全等三角形内种植黄色花草,在正方形 MNPQ 内种植紫色花草,每 种花草的价格如下表: 品种 红色花草 黄色花草 紫色花草 价格(元/米 ) 60 80 120 设 AE 的长为 x 米,正方形 EFGH 的面积为 S 平方米,买花草所需的费用为W 元,解答下列问题: (1) S 与 x 之间的函数关系式为 S  ; (2)求W 与 x 之间的函数关系式,并求所需的最低费用是多少元; (3)当买花草所需的费用最低时,求 EM 的长. A B F C G D H Q P N M 红 黄 紫 E 【关键词】二次函数的极值问题、与二次函数有关的面积问题 【答案】解:(1) 2 2 2(4 ) 2 8 16.x x x x   或 (2) 60 4 AEB EFGN MNPQ MNPQW S S S  △ 正方形 正方形 正方形80( - S )+120 =60 2 2 2 214 (4 ) 80[ (4 ) ] 120 .2 x x x x x x        =80 2 160 1280.x x  配方,得 280( 1) 1200.W x   当 1x  时, 1200W 最小值 元. (3)设 EM a 米,则 ( 1)MH a  米 . 在 Rt EMH△ 中, 2 2 2 2( 1) 1 3 ,a a    解得 1 19 .2a   0, 19 1.2 a a     EM 的长为 19 1 2  米. 26、(2009 年深圳市)已知:Rt△ABC 的斜边长为 5,斜边上的高为 2,将这个直角三角形放置在平面直 角坐标系中,使其斜边 AB 与 x 轴重合(其中 OA0,n>0),连接 DP 交 BC 于点 E。 ①当△BDE 是等腰三角形时,直接写出....此时点 E 的坐标。 ②又连接 CD、CP,△CDP 是否有最大面积?若有,求出△CDP 的最大面的最大面积和此时点 P 的坐标; 若没有,请说明理由。 【关键词】 【答案】(1)由 Rt△AOC∽Rt△COB 易知,CO2=OA.OB=OA(AB-OA),可求 OA=1,OB=4 ∴A(-1,0)B(4,0)C(0,2)可设解析式为 y=a(x+1)(x-4),将点 C(0,2)代入,可求 a= 1 2  ∴ 21 3 22 2y x x    为所求 (2) 1 1(3, )2E ; 2 4 8( , )5 5E 3 4 2(4 5, 5)5 5E  提示:直线 BC 的解析式为 1 22y x   设 ( , )E x y , 利用勾股定理和点 ( , )E x y 在直线 BC 上,可得两个方程组 2 2 2 1 22 (2 ) 2 y x x y         2 2 2 1 22 (4 ) 2 y x x y         分别可求 2E 和 3E (3)过 D 作 X 轴的垂线,交 PC 于 M,易求 PC 的解析式为 2 2ny xm   ,且 2 4(2, 2)nM m   , 故 图 11 2 2 1 ( )( )2 1 1 2 4( 2) 22 2 1 3( 2) 22 2 1 5 2 2 CDP CDM DMP P C M D P M S S S x x y y nx y m m nm m m m m m                         故,当 5 2m  时, 25 8CDPS  最大值 , 5 21( , )2 8P 27、(2009 年台州市)如图,已知直线 1 12y x   交坐标轴于 BA, 两点,以线段 AB 为边向上作正方形 ABCD ,过点 CD,A, 的抛物线与直线另一个交点为 E . (1)请直接写出点 DC, 的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)若正方形以每秒 5 个单位长度的速度沿射线 AB 下滑,直至顶点 D 落在 x 轴上时停止.设正方形落 在 x 轴下方部分的面积为 S ,求 S 关于滑行时间t 的函数关系式,并写出相应自变量t 的取值范围; (4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时停止,求抛物线上 EC , 两点间的抛物线弧所扫 过的面积. 【关键词】与二次函数有关的面积问题 【答案】(1) )3,1(),2,3( DC ; (2)设抛物线为 cbxaxy  2 ,抛物线过 ),1,0( )3,1(),2,3( ,       .239 ,3 ,1 cba cba c 解得 5 ,6 17 ,6 1. a b c         ∴ 16 17 6 5 2  xxy . (3)①当点 A 运动到点 F 时, ,1t 当 10  t 时,如图 1, ∵ 'OFA GFB   , ,2 1tan  OF OAOFA ∴ ,2 1 5 ' ' ''tan  t GB FB GBGFB ∴ ,2 5' tGB  ∴ 2 ' 4 5 2 552 1''2 1 tttGBFBS GFB  ; ②当点C 运动到 x 轴上时, 2t , 当 21  t 时,如图 2, O A B C D E y x 1 12y x   图 1 2 2' ' 2 1 5,A B AB    ∴ ,55'  tFA ∴ 2 55'  tGA , ∵ 2 5' tHB  , ∴ ' ' 1 ' ' ) ' '2A B HGS A G B H A B  梯形 ( 5)2 5 2 55(2 1  tt 4 5 2 5  t ; ③当点 D 运动到 x 轴上时, 3t , 当 32  t 时,如图 3, ∵ 2 55'  tGA , ∴ 2 553 2 555' ttGD  , ∵ 1,1212 1  OAS AOF , AOF ∽ 'GD H ∴ 2' )'( OA GD S S AOF HGD    , ∴ 2 ' )2 553( tS HGD  , ∴ 2 2 ' ' ' 3 5 55 )2GA B C H tS  五边形 ( ) ( = 4 25 2 15 4 5 2  tt . (解法不同的按踩分点给分) (4)∵ 3t , 53''  AABB , ∴ ' ' ' 'BB C C AA D DS S S 阴影 矩形 矩形 = 'AAAD  = 15535  28、(2009 年宁波市)如图,抛物线 2 5 4y ax ax a   与 x 轴相交于点 A、B,且过点 (5 4)C , . (1)求 a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标; (2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的解析式. 【关键词】平移,二次函数 【答案】解:(1)把点 (5 4)C , 代入抛物线 2 5 4y ax ax a   得, 图 4 图 3 A B P x y O C(5,4) 25 25 4 4a a a   , 解得 1a  . 该二次函数的解析式为 2 5 4y x x   . 2 2 5 95 4 2 4y x x x         顶点坐标为 5 9 2 4P    , . (2)(答案不唯一,合理即正确) 如先向左平移 3 个单位,再向上平移 4 个单位, 得到的二次函数解析式为 2 25 9 1 73 42 4 2 4y x x                 , 即 2 2y x x   . 29、(2009 年义乌)如图,抛物线 2y ax bx c   与 x 轴的一个交点 A 在点(-2,0)和(-1,0)之间(包 括这两点),顶点 C 是矩形 DEFG 上(包括边界和内部)的一个 动点,则 (1)abc # 0 (填“  ”或“  ”); (1)a 的取值范围是 # 【关键词】抛物线 2y ax bx c   系数的取值范围 【答案】(1)  (2) 3 2 4 25a ≤ ≤ 30、(2009 河池) 如图 12,已知抛物线 2 4 3y x x   交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于点 C,抛物线的对称轴交 x 轴于点 E, 点 B 的坐标为( 1 ,0). (1)求抛物线的对称轴及点 A 的坐标; (2)在平面直角坐标系 xoy 中是否存在点 P, 与 A、B、C 三点构成一个平行四边形?若存在, 请写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)连结 CA 与抛物线的对称轴交于点 D,在抛物线上是否存在 点 M,使得直线 CM 把四边形 DEOC 分成面积相等的两部分? 若存在,请求出直线 CM 的解析式;若不存在,请说明理由. 【关键词】二次函数、坐标、存在、面积 【答案】(1)① 对称轴 4 22x     ② 当 0y  时,有 2 4 3 0x x   解之,得 1 1x   , 2 3x   ∴ 点 A 的坐标为( 3 ,0). (2)满足条件的点 P 有 3 个,分别为( 2 ,3),(2,3),( 4 , 3 ). (3)存在. O D B C A x y E 图 12 当 0x  时, 2 4 3 3y x x    ∴ 点 C 的坐标为(0,3) ∵ DE∥ y 轴,AO  3,EO  2,AE  1,CO  3 ∴ AED△ ∽ AOC△ ∴ AE DE AO CO  即 1 3 3 DE ∴ DE  1。 ∴ DEOCS 梯形 1 (1 3) 22     4 在 OE 上找点 F,使 OF  4 3 ,此时 COFS △ 1 4 32 3    2,直线 CF 把四边形 DEOC 分成面积相等的两部分,交抛物线于点 M. 设直线 CM 的解析式为 3y kx  ,它经过点 4 03F     , . 则 4 3 03 k   , 解之,得 9 4k  ∴ 直线 CM 的解析式为 9 34y x  , 31、(2009 柳州) 如图 11,已知抛物线 baxaxy  22 ( 0a )与 x 轴的一个交点为 ( 1 0)B  , ,与 y 轴的负半轴交于点 C,顶点为 D. (1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与 x 轴的另一个交点 A 的坐标; (2)以 AD 为直径的圆经过点 C. ①求抛物线的解析式; ②点 E 在抛物线的对称轴上,点 F 在抛物线上, 且以 EFAB ,,, 四点为顶点的四边形为平行四边形,求点 F 的坐标. 【关键词】二次函数、对称轴、坐标、函数解析式、平行四边形 【答案】解:(1)对称轴是直线: 1x , 点 A 的坐标是(3,0). (说明:每写对 1 个给 1 分,“直线”两字没写不扣分) (2)如图 11,连接 AC、AD,过 D 作 轴 yDM  于点 M, 解法一:利用 AOC CMD△ ∽△ ∵点 A、D、C 的坐标分别是 A (3,0),D(1, ba  )、 C(0, b ), ∴AO=3,MD=1. 由 MD OC CM AO  得 1 3 b a  ∴ 03  ab , 又∵ baa  )1(2)1(0 2 , ∴由      03 03 ba ab 得      3 1 b a , ∴函数解析式为: 322  xxy , 解法二:利用以 AD 为直径的圆经过点 C ∵点 A、D 的坐标分别是 A (3,0) 、D(1, ba  )、C(0, b ), O x y AB C D 图 11 ∴ 29 bAC  , 21 aCD  , 2)(4 baAD  ∵ 222 ADCDAC  ∴ 03  ab …① , 又∵ baa  )1(2)1(0 2 …② , 由①、②得 1 3a b , , ∴函数解析式为: 322  xxy , (3)如图所示,当 BAFE 为平行四边形时 则 BA ∥ EF ,并且 BA = EF . ∵ BA =4,∴ EF =4 由于对称为 1x , ∴点 F 的横坐标为 5. 将 5x 代入 322  xxy 得 12y , ∴F(5,12). 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上也存在点 F,使得四边形 BAEF 是平行四边形,此时点 F 坐标为( 3 ,12). 当四边形 BEAF 是平行四边形时,点 F 即为点 D, 此时点 F 的坐标为(1, 4 ). 综上所述,点 F 的坐标为(5,12), ( 3 ,12)或(1, 4 ). 32、(2009 烟台市) 如图,抛物线 2 3y ax bx   与 x 轴交于 A B, 两点,与 y 轴交于 C 点,且经过点 (2 3 )a, ,对称轴是直线 1x  ,顶点是 M . (1) 求抛物线对应的函数表达式; (2) 经过 C,M 两点 作直线与 x 轴交 于点 N ,在 抛物线上 是否存在 这样的点 P ,使 以点 P A C N, , , 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说 明理由; (3) 设直线 3y x   与 y 轴的交点是 D ,在线段 BD 上任取一点 E (不与 B D, 重合),经过 A B E, , 三点的圆交直线 BC 于点 F ,试判断 AEF△ 的形状,并说明理由; (4) 当 E 是直线 3y x   上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论). O B x y A M C 1 3 【关键词】二次函数的综合应用 【答案】 解:(1)根据题意,得 3 4 2 3 1.2 a a b b a      , 解得 1 2. a b     , 抛物线对应的函数表达式为 2 2 3y x x   y xO AB C D 图 11 E F (2)存在. 在 2 2 3y x x   中,令 0x  ,得 3y   . 令 0y  ,得 2 2 3 0x x   , 1 21 3x x   , . ( 1 0)A  , , (3 0)B , , (0 3)C , . 又 2( 1) 4y x   ,顶点 (1 4)M , . 容易求得直线 CM 的表达式是 3y x   . 在 3y x   中,令 0y  ,得 3x   . ( 3 0)N  , , 2AN  . 在 2 2 3y x x   中,令 3y   ,得 1 20 2x x , . 2CP AN CP   , . AN CP ∥ ,四边形 ANCP 为平行四边形,此时 (2 3)P , . (3) AEF△ 是等腰直角三角形. 理由:在 3y x   中,令 0x  ,得 3y  ,令 0y  ,得 3x  . 直线 3y x   与坐标轴的交点是 (0 3)D , , (3 0)B , . OD OB  , 45OBD  °. 又点 (0 3)C , , OB OC  . 45OBC  °. 由图知 45AEF ABF    °, 45AFE ABE    °. 90EAF  °,且 AE AF . AEF△ 是等腰直角三角形. (4)当点 E 是直线 3y x   上任意一点时,(3)中的结论成立. y x E D N OA C M P N1 F 33、(2009 恩施市)如图,在 ABC△ 中, 90 10A BC ABC  °, ,△ 的面积为 25,点 D 为 AB 边上的 任意一点( D 不与 A 、B 重合),过点 D 作 DE BC∥ ,交 AC 于点 E .设 DE x ,以 DE 为折线将 ADE△ 翻折(使 ADE△ 落在四边形 DBCE 所在的平面内),所得的 A DE△ 与梯形 DBCE 重叠部分的面积记为 y . (1)用 x 表示 ADE△ 的面积; (2)求出 0 5x ≤ 时 y 与 x 的函数关系式; (3)求出5 10x  时 y 与 x 的函数关系式; (4)当 x 取何值时, y 的值最大?最大值是多少? E A D B C A B C A 【关键词】相似、二次函数 【答案】解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC ∴ 2)( BC DE S S ABC ADE    即 2 4 1 xS ADE  (2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为 5 ∴当 0﹤ 5x 时 2 4 1 xSy ADE   (3) x5 ﹤10 时,点 A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形 ∵S△A'DE=S△ADE= 2 4 1 x ∴DE 边上的高 AH=AH'= x2 1 由已知求得 AF=5 ∴A'F=AA'-AF=x-5 由△A'MN∽△A'DE 知 2 DEA' MNA' )HA' FA'(   S S 2 MNA' )5(  xS ∴ 25104 3)5(4 1 222  xxxxy (4)在函数 2 4 1 xy  中 ∵0﹤x≤5 ∴当 x=5 时 y 最大为: 4 25 在函数 25104 3 2  xxy 中 当 3 20 2  a bx 时 y 最大为: 3 25 ∵ 4 25 ﹤ 3 25 ∴当 3 20x 时,y 最大为: 3 25 N M F H E D C B A 34、1.(2009 年甘肃白银)[12 分+附加 4 分]如图 14(1),抛物线 2 2y x x k   与 x 轴交于 A、B 两点, 与 y 轴交于点 C(0, 3 ).[图 14(2)、图 14(3)为解答备用图] (1) k  ,点 A 的坐标为 ,点 B 的坐标为 ; (2)设抛物线 2 2y x x k   的顶点为 M,求四边形 ABMC 的面积; (3)在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D,使四边形 ABDC 的面积最大?若存在,请求出点 D 的坐标; 若不存在,请说明理由; (4)在抛物线 2 2y x x k   上求点 Q,使△BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形. 图 14(1) 图 14(2) 图 14(3) 【关键词】抛物线顶点和对称轴 【答案】本小题满分 16 分(含附加 4 分) 图 14(1) 解:(1) 3k   , A(-1,0), B(3,0). (2)如图 14(1),抛物线的顶点为 M(1,-4),连结 OM. 则 △AOC 的面积= 2 3 ,△MOC 的面积= 2 3 , △MOB 的面积=6, ∴ 四边形 ABMC 的面积 =△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9. 图 14(2) 说明:也可过点 M 作抛物线的对称轴,将四边形 ABMC 的面 积转化为求 1 个梯形与 2 个直角三角形面积的和. (3)如图 14(2),设 D(m, 322  mm ),连结 OD. 则 0<m<3, 322  mm <0. 且 △AOC 的面积= 2 3 ,△DOC 的面积= m2 3 , △DOB 的面积=- 2 3 ( 322  mm ), ∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积 = 62 9 2 3 2  mm = 8 75)2 3(2 3 2  m . ∴ 存在点 D 3 15( )2 4 , ,使四边形 ABDC 的面积最大为 8 75 . (4)有两种情况: 图 14(3) 图 14(4) 如图 14(3),过点 B 作 BQ1⊥BC,交抛物线于点 Q1、交 y 轴于点 E,连接 Q1C. ∵ ∠CBO=45°,∴∠EBO=45°,BO=OE=3. ∴ 点 E 的坐标为(0,3). ∴ 直线 BE 的解析式为 3y x   . 由 2 3 2 3 y x y x x        , 解得 1 1 2 5 x y , ; ì =-ïïíï =ïî 2 2 3 0. x y ,ì =ïïíï =ïî ∴ 点 Q1 的坐标为(-2,5).如图 14(4),过点 C 作 CF⊥CB,交抛物线于点 Q2、交 x 轴于点 F,连 接 BQ2. ∵ ∠CBO=45°,∴∠CFB=45°,OF=OC=3. ∴ 点 F 的坐标为(-3,0). ∴ 直线 CF 的解析式为 3y x   . 由 2 3 2 3 y x y x x        , 解得 1 1 0 3 x y , ; ì =ïïíï =-ïî 2 2 1 4 x y , . ì =ïïíï =-ïî ∴点 Q2 的坐标为(1,-4). 综上,在抛物线上存在点 Q1(-2,5)、Q2(1,-4),使△BCQ1、△BCQ2 是以 BC 为直角边的直角三 角形. 说明:如图 14(4),点 Q2 即抛物线顶点 M,直接证明△BCM 为直角三角形同样得 2 分. 35、(2009 年甘肃庆阳)(10 分)图 19 是二次函数 21 22y x   的图象在 x 轴上方的一部分,若这段图 象与 x 轴所围成的阴影部分面积为 S,试求出 S 取值的一个范围. 图 19 【关键词】二次函数和抛物线有关概念 【答案】本小题满分 10 分 解:方法一: 由题意,可知这段图象与x轴的交点为A(-2,0)、B(2,0),与y轴的交点为C(0,2). 显然,S在 ABC 面积与过A、B、C三点的⊙O半圆面积之间. ∵ ABCS△ =4, 1 2 OS = 2π, ∴ 4AD+CB,因此不存在某个位置,使四边形 A′B′CD 的周长最短. 第二种情况:设抛物线向左平移了 b 个单位,则点 A′和点 B′的坐标分别为 A′(-4-b,8)和 B′(2-b,2). 因为 CD=2,因此将点 B′向左平移 2 个单位得 B′′(-b,2), 要使 A′D+CB′最短,只要使 A′D+DB′′最短. 点 A′关于 x 轴对称点的坐标为 A′′(-4-b,-8), 直线 A′′B′′的解析式为 5 5 22 2y x b   . 要使 A′D+DB′′最短,点 D 应在直线 A′′B′′上,将点 D(-4,0)代入直线 A′′B′′的解析式,解得 16 5b  . 故将抛物线向左平移时,存在某个位置,使四边形 A′B′CD 的周长最短,此时抛物线的函数解析式为 21 16( )2 5y x  . 4 x2 2 A′ 8 -2O -2 -4 y 6 B′ CD -4 4 A′′ B′′ 51、(2009 年舟山)如图,已知点 A(-4,8)和点 B(2,n)在抛物线 2y ax 上. (1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标,并在 x 轴上找一点 Q,使得 AQ+QB 最短,求出点 Q 的坐 标; (2) 平移抛物线 2y ax ,记平移后点 A 的对应点为 A′,点 B 的对应点为 B′,点 C(-2,0)和点 D(-4,0)是 x 轴上的两个定点. ① 当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′ 最短,求此时抛物线的函数解析式; ② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形 A′B′CD 的周长最短?若存在,求出此时 抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由. 4 x2 2 A 8 -2O -2 -4 y 6 B CD -4 4 【关键词】二次函数的应用 【答案】解:(1) 将点 A(-4,8)的坐标代入 2y ax ,解得 1 2a  . 将点 B(2,n)的坐标代入 21 2y x ,求得点 B 的坐标为(2,2), 则点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标为(2,-2). 直线 AP 的解析式是 5 4 3 3y x   . 令 y=0,得 4 5x  .即所求点 Q 的坐标是( 4 5 ,0). 4 x2 2 A 8 -2O -2 -4 y 6 B CD -4 4 Q P (2)① 解法 1:CQ=︱-2- 4 5 ︱=14 5 , 故将抛物线 21 2y x 向左平移 14 5 个单位时,A′C+CB′最短, 此时抛物线的函数解析式为 21 14( )2 5y x  . 解法 2:设将抛物线 21 2y x 向左平移 m 个单位,则平移后 A′,B′的坐标分别为 A′(-4-m,8)和 B′(2-m,2), 点 A′关于 x 轴对称点的坐标为 A′′(-4-m,-8). 直线 A′′B′的解析式为 5 5 4 3 3 3y x m   . 要使 A′C+CB′最短,点 C 应在直线 A′′B′上, 将点 C(-2,0)代入直线 A′′B′的解析式,解得 14 5m  . 故将抛物线 21 2y x 向左平移 14 5 个单位时 A′C+CB′最短,此时抛物线的函数解析式为 21 14( )2 5y x  . 4 x2 2 A′ 8 -2O -2 -4 y 6 B′ CD -4 4 A′′ ② 左右平移抛物线 21 2y x ,因为线段 A′B′和 CD 的长是定值,所以要使四边形 A′B′CD 的周长最短,只 要使 A′D+CB′最短; 第一种情况:如果将抛物线向右平移,显然有 A′D+CB′>AD+CB,因此不存在某个位置,使四边形 A′B′CD 的周长最短. 第二种情况:设抛物线向左平移了 b 个单位,则点 A′和点 B′的坐标分别为 A′(-4-b,8)和 B′(2-b,2). 因为 CD=2,因此将点 B′向左平移 2 个单位得 B′′(-b,2), 要使 A′D+CB′最短,只要使 A′D+DB′′最短. 点 A′关于 x 轴对称点的坐标为 A′′(-4-b,-8), 直线 A′′B′′的解析式为 5 5 22 2y x b   . 要使 A′D+DB′′最短,点 D 应在直线 A′′B′′上,将点 D(-4,0)代入直线 A′′B′′的解析式,解得 16 5b  . 故将抛物线向左平移时,存在某个位置,使四边形 A′B′CD 的周长最短,此时抛物线的函数解析式为 21 16( )2 5y x  . 4 x2 2 A′ 8 -2O -2 -4 y 6 B′ CD -4 4 A′′ B′′ 53、3.(2009 年广州市)如图 13,二次函数 )0(2  pqpxxy 的图象与 x 轴交于 A、B 两点, 与 y 轴交于点 C(0,-1),ΔABC 的面积为 4 5 。 (1)求该二次函数的关系式; (2)过 y 轴上的一点 M(0,m)作 y 轴上午垂线,若该垂线与ΔABC 的 外接圆有公共点,求 m 的取值范围; (3)在该二次函数的图象上是否存在点 D,使四边形 ABCD 为直角梯形? 若存在,求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由。 54、(2009 年衡阳市)已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1, -2),求这个二次函数的关系式. 【关键词】二次函数解析式的求法 【答案】解:设这个二次函数的关系式为 2)1( 2  xay 得: 2)10(0 2  a 解得: 2a ∴这个二次函数的关系式是 2)1(2 2  xy ,即 xxy 42 2  55、(2009 年益阳市)阅读材料: 如图 12-1,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直 线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a),中间的这条 直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出 一种计算三角形面积的新方法: ahS ABC 2 1 ,即三角形面积等于水 平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题: 如图 12-2,抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0),交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的解析式; (2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结 PA,PB,当 P 点运动到顶点 C 时,求△CAB 的铅垂高 CD 及 CABS ; (3)是否存在一点 P,使 S△PAB= 8 9 S△CAB,若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由. B C 铅垂高 水平宽 h a 图 12-1 A 2 图 12-2 x C O y A B D 1 1 【关键词】二次函数 【答案】解:(1)设抛物线的解析式为: 4)1( 2 1  xay . 把 A(3,0)代入解析式求得 1a 所以 324)1( 22 1  xxxy . 设直线 AB 的解析式为: bkxy 2 由 322 1  xxy 求得 B 点的坐标为 )3,0( . 把 )0,3(A , )3,0(B 代入 bkxy 2 中 解得: 3,1  bk 所以 32  xy . (2)因为 C 点坐标为(1,4) 所以当 x=1时,y1=4,y2=2 所以 CD=4-2=2. 3232 1 CABS (平方单位). (3)假设存在符合条件的点 P,设 P 点的横坐标为 x,△PAB 的铅垂高为 h, 则 xxxxxyyh 3)3()32( 22 21  . 由 S△PAB= 8 9 S△CAB 得: 38 9)3(32 1 2  xx 化简得: 09124 2  xx 解得, 2 3x 将 2 3x 代入 322 1  xxy 中, 解得 P 点坐标为 )4 15,2 3( 56、(2009 年济宁市)某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为 100 元,售价为 130 元,每星期可卖出 80 件.商家决定降价促销,根据市场调查,每降价 5 元,每星期可多卖出 20 件. (1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元? (2)降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元?最大销售利润是多少? 【关键词】二次函数的实际应用 【答案】解:(1) (130-100)×80=2400(元); (2)设应将售价定为 x 元,则销售利润 130( 100)(80 20)5 xy x     24 1000 60000x x    24( 125) 2500x    .当 125x  时, y 有最 大值 2500.∴应将售价定为 125 元,最大销售利润是 2500 元. 57、(2009 年日照)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设 施的下部 ABCD 是矩形,其中 AB=2 米,BC=1 米;上部 CDG 是等边三角形,固定点 E 为 AB 的中点.△ EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN 是可以沿设施边框上下滑动且始 终保持和 AB 平行的伸缩横杆. (1)当 MN 和 AB 之间的距离为 0.5 米时,求此时△EMN 的面积; (2)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S(平方米)表示成关于 x 的函数; (3)请你探究△EMN 的面积 S(平方米)有无最大值,若有,请求出这个最大值;若没有,请说明理由. EA B G N D M C (第 23 题图) 【关键词】二次函数的极值问题, 二次函数的应用, 相似三角形判定和性质 【答案】 解:(1)由题意,当 MN 和 AB 之间的距离为 0.5 米时,MN 应位于 DC 下方,且此时△EMN 中 MN 边上 的高为 0.5 米. 所以,S△EMN= 5.022 1  =0.5(平方米). 即△EMN 的面积为 0.5 平方米. (2)①如图 1 所示,当 MN 在矩形区域滑动, 即 0<x≤1 时, △EMN 的面积 S= x 22 1 = x ; ②如图 2 所示,当 MN 在三角形区域滑动, 即 1<x< 31 时, 如图,连接 EG,交 CD 于点 F,交 MN 于点 H, ∵ E 为 AB 中点, ∴ F 为 CD 中点,GF⊥CD,且 FG= 3 . 又∵ MN∥CD, ∴ △MNG∽△DCG. ∴ GF GH DC MN  ,即 2[ 3 1 ] 3 xMN   . 故△EMN 的面积 S= 1 2[ 3 1 ] 2 3 x x   = xx )3 31(3 3 2  ; 综合可得: E N EB B G D M A B C 图 1 EA B G N D M C 图 2 H F                  3113 313 3 10 2 <<. <, xxx xx S (3)①当 MN 在矩形区域滑动时, xS  ,所以有 10  S ; ②当 MN 在三角形区域滑动时,S= xx )3 31(3 3 2  . 因而,当 2 31 2  a bx (米)时,S 得到最大值, 最大值 S= a bac 4 4 2 = )( )( 3 34 3 31 2   = 3 3 2 1  (平方米). ∵ 13 3 2 1  , ∴ S 有最大值,最大值为 3 3 2 1  平方米. 58、(2009 年福州)已知直线 l:y=-x+m(m≠0)交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,点 C、M 分别在 线段 OA、AB 上,且 OC=2CA,AM=2MB,连接 MC,将△ACM 绕点 M 旋转 180°,得到△FEM,则点 E 在 y 轴上, 点 F 在直线 l 上;取线段 EO 中点 N,将 ACM 沿 MN 所在直 线翻折,得到△PMG,其中 P 与 A 为对称点.记:过点 F 的双曲线为 1C , 过点 M 且以 B 为顶点的抛物线为 2C ,过点 P 且以 M 为顶点的抛物线 为 3C . (1) 如图 10,当 m=6 时,①直接写出点 M、F 的坐标,②求 1C 、 2C 的 函数解析式; (2)当 m 发生变化时, ①在 1C 的每一支上,y 随 x 的增大如何变化? 请说明理由。 ②若 2C 、 3C 中的 y 都随着 x 的增大而减小,写出 x 的取值范围。 【关键词】相似三角形,用待定系数法求反比例函数和二次函数解析式, 函数增减性. 【答案】(1)①点M的坐标为(2,4),点F的坐标为(-2,8). 2 设 1C 的函数解析式为 x ky  ( )0k . ∵ 1C 过点F(-2,8) ∴ 1C 的函数解析式为 xy 16 . ∵ 2C 的顶点B的坐标是(0,6), ∴设 2C 的函数解析式为 2 6( 0)y ax a   . ∵ 2C 过点 M(2,4), ∴ 464 a . 2 1a . ∴ 2C 的函数解析式为 62 1 2  xy . (2)依题意得,A(m,0),B(0,m), 图 10 ∴点M坐标为( mm 3 2,3 1 ),点F坐标为( m3 1 , m3 4 ). ①设 1C 的函数解析式为 ky x  ( )0k . ∵ 1C 过点F( m3 1 , m3 4 ), ∴ 2 9 4 mk  . ∵ 0m ,∴ 0k  . ∴在 1C 的每一支上,y 随着 x 的增大而增大. ②答:当 m >0时,满足题意的 x 的取值范围为 0<x< m3 1 ; 当 m <0时,满足题意的 x 的取值范围为 m3 1 <x<0. 59、(2009 年宜宾)如图,在平面直角坐标系 x O y 中,等腰梯形 OABC 的下底边 OA 在 x 的正半轴上,BC ∥OA,OC=AB,tan∠BAO= 3 4 ,点 B 的坐标为(7,4)。 (1)求 A、C 的坐标; (2)求经过点 O、B、C 的抛物线的解析式; (3)在第一象限内(2)中的抛物线上是否存在一点 P,使得经过点 P 且与等腰梯形一腰平行的直线将该 梯形分成面积相等的两个部分?若存在,请求出点 P 的横坐标;若不存在,请说明理由. HG 【关键词】正切,坐标的意义,求二次函数解析式,求一次函数解析式,梯形和平行四边形的面积,一元 二次方程,两直线平行时解析式的特征 【答案】(1)过点 B 作 BH⊥OA, 过点 C 作 CG⊥OA,垂足分别为 H、G.得△OCG≌△ABH. ∵tan∠BAO= 3 4 ,∴ AH BH = 3 4 . ∵点 B 的坐标为(7,4),∴BH=4,AH=3. ∴CG=BH=4,OG=AH=3. ∴点 A 的坐标是(10,0),点 C 的坐标是(3,4). (2) 设经过点 O、B、C 的抛物线的解析式为 cbxaxy  2 ,则       .439 4749 0 cba cba c , , 解得 a= 21 4 ,b= 21 40 ,c=0. ∴ xxy 21 40 21 4 2  . (也可以利用抛物线的对称性求解析式) (3)直线 AB 的解析式是 3 40 3 4  xy ,直线 OC 的解析式是 xy 3 4 . S 梯形 OABC=28, 若经过点 P 且与等腰梯形 OABC 腰 AB 平行的直线解析式是 mxy  3 4 ,该直线交 OA、BC 于点 M、N, ∵S 平行四边形 MABN= 3 4 S 梯形 OABC =14,∴BN= 4 14 = 2 7 .∴点 N 的坐标是( 2 7 ,4). 将( 2 7 ,4)代入 mxy  3 4 ,得 m= 3 26 .联立        .21 40 21 4 3 26 3 4 2 xxy xy , 消去 y,得 091342 2  xx ,x= 2 10717  . 若经过点 P 且与等腰梯形 OABC 腰 OC 平行的直线解析式是 nxy  3 4 ,该直线交 OA、BC 于点 K、L, ∵S 平行四边形 OKLC= 3 4 S 梯形 OABC =14,∴OK= 4 14 = 2 7 .∴点 K 的坐标是( 2 7 ,0). 将( 2 7 ,0)代入 nxy  3 4 ,得 n=- 3 14 .联立        .21 40 21 4 3 14 3 4 2 xxy xy , 消去 y,得 04962 2  xx , x= 2 1073  . HG HG 60、(2009 年福州)如图 9,等边 ABC 边长为 4,E 是边 BC 上动点, ACEH  于 H,过 E 作 EF ∥ AC , 交线段 AB 于点 F ,在线段 AC 上取点 P ,使 EBPE  。设 )20(  xxEC 。 (1) 请直接写出图中与线段 EF 相等的两条线段(不再另外添加辅助线); (2) Q 是线段 AC 上的动点,当四边形 EFPQ 是平行四边形时,求□EFPQ 的面积(用含 x 的代数式表 示); (3) 当(2)中 的□EFPQ 面积最大值时,以 E 为圆心, r 为半径作圆,根据⊙E 与此时□EFPQ 四条 边交点的总个数,求相应的 r 的取值范围。 【关键词】二次函数的极值,图形中的二次函数,菱形判定, 直线与圆 的位置关系,分类讨论思想 【答案】(1)BE、PE、BF 三条线段中任选两条. (2)在Rt△CHE中,∠CHE=90°,∠C=60°, ∴EH= 3 2 x . ∵PQ=EF=BE=4-x, ∴ 23 2 32EFPQS x x   . (3) 2 2 3 2 32 3 ( 2) 2 32 EFPQS x x x         ∴当 x=2时, EFPQS 有最大值. 此时 E、F、P 分别为△ABC 三边 BC、AB、AC 的中点,且点 C、 点 Q 重合 ∴平行四边形 EFPQ 是菱形. 过E点作ED⊥FP于 D, ∴ED=EH= 3 . ∴当⊙E 与□EFPQ 四条边交点的总个数是2个时,0<r< 3 ; 当⊙E 与□EFPQ 四条边交点的总个数是4个时,r= 3 ; 当⊙E 与□EFPQ 四条边交点的总个数是6个时, 3 <r<2; 当⊙E 与□EFPQ 四条边交点的总个数是3个时,r=2时; 当⊙E 与□EFPQ 四条边交点的总个数是0个时,r>2时. 61、(2009 年重庆)某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价 y(元)与月份 x 之间满足 函数关系 50 2600y x   ,去年的月销售量 p(万台)与月份 x 之间成一次函数关系,其中两个月的销 售情况如下表: 月份 1 月 5 月 销售量 3.9 万台 4.3 万台 (1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大?最大是多少? (2)由于受国际金融危机的影响,今年 1、2 月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年 12 月份下降了 %m ,且每月的销售量都比去年 12 月份下降了 1.5m%.国家实施“家电下乡”政策,即对农村家庭购买 新的家电产品,国家按该产品售价的 13%给予财政补贴.受此政策的影响,今年 3 至 5 月份,该厂家销往 农村的这种电视机在保持今年 2 月份的售价不变的情况下,平均每月的销售量比今年 2 月份增加了 1.5 万 台.若今年 3 至 5 月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴 936 万元,求 m 的值(保留一位小数). (参考数据: 34 5.831≈ , 35 5.916≈ , 37 6.083≈ , 38 6.164≈ ) 【关键词】确定一次函数解析式, 二次函数的极值问题, 一元二次方程的应用 【答案】(1)设去年的月销售量 p(万台)与月份 x 之间的一次函数关系是 bkxp  ,根据题意,得      .53.4 ,9.3 bk bk 解得      .8.3 ,1.0 b k ∴ 8.31.0  xp . 设该品牌电视机在农村的销售金额为 w 万元,则 )260050)(8.31.0(  xxpyw = 9880705 2  xx = 10125)7(5 2  x ∴该品牌电视机在去年 7 月销往农村的销售金额最大,最大是 10125 万元. (2)当 12x 时, 2000y , 5p . 根据题意,列方程,得   9363%135.1%)5.11(5%)1(2000  mm 整理,得 053%)(14%)(75 2  mm . 解得 115 3714% m (舍去)或 528.015 3714% m .所以 m 的值是 52.8. 62、(2009 年重庆)已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上,OC 在 x 轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D,连接 DC,过点 D 作 DE ⊥DC,交 OA 于点 E. (1)求过点 E、D、C 的抛物线的解析式; (2)将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后,角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F,另一边与线段 OC 交于 点 G.如果 DF 与(1)中的抛物线交于另一点 M,点 M 的横坐标为 6 5 ,那么 EF=2GO 是否成立?若成立, 请给予证明;若不成立,请说明理由; (3)对于(2)中的点 G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q,使得直线 CQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的△PCG 是等腰三角形?若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 【关键词】全等三角形,矩形,待定系数法求二次函数解析式, 分类讨论思想 【答案】解:(1)由已知,得 (3 0)C , , (2 2)D , , 90ADE CDB BCD      ° , 1tan 2 tan 2 12AE AD ADE BCD         .  (01)E , . 设过点 E D C、 、 的抛物线的解析式为 2 ( 0)y ax bx c a    . 将点 E 的坐标代入,得 1c  . 将 1c  和点 D C、 的坐标分别代入,得 4 2 1 2 9 3 1 0. a b a b        , 解这个方程组,得 5 6 13 6 a b      故抛物线的解析式为 25 13 16 6y x x    . (2) 2EF GO 成立. 点 M 在该抛物线上,且它的横坐标为 6 5 , 点 M 的纵坐标为12 5 . 设 DM 的解析式为 1( 0)y kx b k   , 将点 D M、 的坐标分别代入,得 1 1 2 2 6 12 .5 5 k b k b     , 解得 1 1 2 3 k b      , .  DM 的解析式为 1 32y x   .  (0 3)F , , 2EF  . 过点 D 作 DK OC⊥ 于点 K , 则 DA DK . 90ADK FDG    °, FDA GDK   . 又 90FAD GKD    °, DAF DKG△ ≌△ . 1KG AF   . 1GO  . 2EF GO  . (3)点 P 在 AB 上, (1 0)G , , (3 0)C , ,则设 (1 2)P , .  2 2 2( 1) 2PG t   , 2 2 2(3 ) 2PC t   , 2GC  . ①若 PG PC ,则 2 2 2 2( 1) 2 (3 ) 2t t     , 解得 2t  . (2 2)P , ,此时点Q 与点 P 重合.  (2 2)Q , . ②若 PG GC ,则 2 2( 1) 2 2t    , 解得 1t  , (1 2)P , ,此时GP x⊥ 轴. GP 与该抛物线在第一象限内的交点 Q 的横坐标为 1, 点Q 的纵坐标为 7 3 .  71 3Q     , . ③若 PC GC ,则 2 2 2(3 ) 2 2t   , 解得 3t  , (3 2)P , ,此时 2PC GC  , PCG△ 是等腰直角三角形. 过点 Q 作QH x⊥ 轴于点 H , 则QH GH ,设QH h , ( 1 )Q h h  , . 25 13( 1) ( 1) 16 6h h h      . 解得 1 2 7 25h h  , (舍去). 12 7 5 5Q     , . 综上所述,存在三个满足条件的点Q , y x D B C A EE O MF KGG y x D B C A EE O Q P HGG (P) (Q) Q (P) 即 (2 2)Q , 或 71 3Q     , 或 12 7 5 5Q     , . 63、3(2009 年广西钦州)如图,已知抛物线 y= 3 4 x2+bx+c 与坐标轴交于 A、B、C 三点, A 点的坐标为(-1,0),过点 C 的直线 y= 3 4t x-3 与 x 轴交于点 Q,点 P 是线段 BC 上的一个动点,过 P 作 PH⊥OB 于点 H.若 PB=5t,且 0<t<1. (1)填空:点 C 的坐标是_▲_,b=_▲_,c=_▲_; (2)求线段 QH 的长(用含 t 的式子表示); (3)依点 P 的变化,是否存在 t 的值,使以 P、H、Q 为顶点的三角形与 △COQ 相似?若存在,求出所有 t 的值;若不存在,说明理由. 【关键词】二次函数、一次函数、相似三角形. 【答案】 解:(1)(0,-3),b=- 9 4 ,c=-3. (2)由(1),得 y= 3 4 x2- 9 4 x-3,它与 x 轴交于 A,B 两点,得 B(4, 0). ∴OB=4,又∵OC=3,∴BC=5. 由题意,得△BHP∽△BOC, ∵OC∶OB∶BC=3∶4∶5, ∴HP∶HB∶BP=3∶4∶5, ∵PB=5t,∴HB=4t,HP=3t. ∴OH=OB-HB=4-4t. 由 y= 3 4t x-3 与 x 轴交于点 Q,得 Q(4t,0). ∴OQ=4t. ①当 H 在 Q、B 之间时, QH=OH-OQ =(4-4t)-4t=4-8t. ②当 H 在 O、Q 之间时, QH=OQ-OH =4t-(4-4t)=8t-4. 综合①,②得 QH=|4-8t|; (3)存在 t 的值,使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似. ①当 H 在 Q、B 之间时,QH=4-8t, 若△QHP∽△COQ,则 QH∶CO=HP∶OQ,得 4 8 3 t = 3 4 t t , ∴t= 7 32 . 若△PHQ∽△COQ,则 PH∶CO=HQ∶OQ,得 3 3 t = 4 8 4 t t  , 即 t2+2t-1=0. ∴t1= 2 -1,t2=- 2 -1(舍去). ②当 H 在 O、Q 之间时,QH=8t-4. 若△QHP∽△COQ,则 QH∶CO=HP∶OQ,得 8 4 3 t  = 3 4 t t , ∴t= 25 32 . 若△PHQ∽△COQ,则 PH∶CO=HQ∶OQ,得 3 3 t = 8 4 4 t t  , 即 t2-2t+1=0. ∴t1=t2=1(舍去). 综上所述,存在t 的值,t1= 2 -1,t2= 7 32 ,t3= 25 32 . 4.(2009 年广西梧州)如图(9)-1,抛物线 2 3y ax ax b   经过 A( 1 ,0),C(3, 2 )两点, 与 y 轴交于点 D,与 x 轴交于另一点 B. (1)求此抛物线的解析式; (2)若直线 )0(1  kkxy 将四边形 ABCD 面积二等分,求 k 的值; D O BA x y C y=kx+1 (3)如图(9)-2,过点 E(1,1)作 EF⊥ x 轴于点 F,将△AEF 绕平面内某点 旋转 180°得△MNQ(点 M、N、Q 分别与点 A、E、F 对应),使点 M、N 在抛物线上,作 MG⊥ x 轴于点 G, 若线段 MG︰AG=1︰2,求点 M,N 的坐标. E F M N G O BA x y Q 【关键词】二次函数、待定系数法、一元二次方程、四边形. 【答案】 (1)解:把 A( 1 ,0),C(3, 2 )代入抛物线 2 3y ax ax b   得      299 0)1(3)1( 2 baa baa 整理得      2 04 b ba 解得      2 2 1 b a ∴抛物线的解析式为 22 3 2 1 2  xxy (2)令 022 3 2 1 2  xx 解得 1 21 4x x  , ∴ B 点坐标为(4,0) D O BA x y C B y=kx+1 H T 又∵D 点坐标为(0, 2 ) ∴AB∥CD ∴四边形 ABCD 是梯形. ∴S 梯形 ABCD = 82)35(2 1  设直线 )0(1  kkxy 与 x 轴的交点为 H, 与 CD 的交点为 T, 则 H( k 1 ,0), T( k 3 , 2 ) ∵直线 )0(1  kkxy 将四边形 ABCD 面积二等分 E F M N G O BA x y Q ∴S 梯形 AHTD = 2 1 S 梯形 ABCD=4 ∴ 42)311(2 1  kk ∴ 3 4k (3)∵MG⊥ x 轴于点 G,线段 MG︰AG=1︰2 ∴设 M(m, 2 1 m ), ∵点 M 在抛物线上 ∴ 22 3 2 1 2 1 2  mmm 解得 1 23 1m m  , (舍去) ∴M 点坐标为(3, 2 )根据中心对称图形性质知,MQ∥AF,MQ=AF,NQ=EF, ∴N 点坐标为(1, 3 ) 5. (2009 年甘肃定西)如图 14(1),抛物线 2 2y x x k   与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C(0, 3 ).[图 14(2)、图 14(3)为解答备用图] (1) k  ,点 A 的坐标为 ,点 B 的坐标为 ; (2)设抛物线 2 2y x x k   的顶点为 M,求四边形 ABMC 的面积; (3)在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D,使四边形 ABDC 的面积最大?若存在,请求出点 D 的坐标; 若不存在,请说明理由; (4)在抛物线 2 2y x x k   上求点 Q,使△BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形. 【关键词】一次函数、二次函数、待定系数法、一元二次方程、四边形. 【答案】 解:(1) 3k   , A(-1,0), B(3,0). (2)如图 14(1),抛物线的顶点为 M(1,-4),连结 OM. 则 △AOC 的面积= 2 3 ,△MOC 的面积= 2 3 , △MOB 的面积=6, ∴ 四边形 ABMC 的面积 =△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9. 说明:也可过点 M 作抛物线的对称轴,将四边形 ABMC 的面 积转化为求 1 个梯形与 2 个直角三角形面积的和. (3)如图 14(2),设 D(m, 322  mm ),连结 OD. 则 0<m<3, 322  mm <0. 且 △AOC 的面积= 2 3 ,△DOC 的面积= m2 3 , △DOB 的面积=- 2 3 ( 322  mm ), ∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积 = 62 9 2 3 2  mm = 8 75)2 3(2 3 2  m . ∴ 存在点 D 3 15( )2 4 , ,使四边形 ABDC 的面积最大为 8 75 . (4)有两种情况: 图 14(2) 如图 14(3),过点 B 作 BQ1⊥BC,交抛物线于点 Q1、交 y 轴于点 E,连接 Q1C. ∵ ∠CBO=45°,∴∠EBO=45°,BO=OE=3. ∴ 点 E 的坐标为(0,3). ∴ 直线 BE 的解析式为 3y x   . 由 2 3 2 3 y x y x x        , 解得 1 1 2 5 x y , ; ì =-ïïíï =ïî 2 2 3 0. x y ,ì =ïïíï =ïî ∴ 点 Q1 的坐标为(-2,5). 如图 14(4),过点 C 作 CF⊥CB,交抛物线于点 Q2、交 x 轴于点 F,连接 BQ2. ∵ ∠CBO=45°,∴∠CFB=45°,OF=OC=3. ∴ 点 F 的坐标为(-3,0). ∴ 直线 CF 的解析式为 3y x   . 由 2 3 2 3 y x y x x        , 解得 1 1 0 3 x y , ; ì =ïïíï =-ïî 2 2 1 4 x y , . ì =ïïíï =-ïî ∴点 Q2 的坐标为(1,-4). 综上,在抛物线上存在点 Q1(-2,5)、Q2(1,-4),使△BCQ1、△BCQ2 是以 BC 为直角边的直角三 角形. 说明:如图 14(4),点 Q2 即抛物线顶点 M,直接证明△BCM 为直角三角形同样得 2 分. 66、2009 年包头)某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且 获利不得高于 45%,经试销发现,销售量 y(件)与销售单价 x(元)符合一次函数 y kx b  ,且 65x  时, 55y  ; 75x  时, 45y  . (1)求一次函数 y kx b  的表达式; (2)若该商场获得利润为W 元,试写出利润W 与销售单价 x 之间的关系式;销售单价定为多少元时,商 场可获得最大利润,最大利润是多少元? (3)若该商场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价 x 的范围. 【关键词】一次函数、二次函数、最大值 解:(1)根据题意得 65 55 75 45. k b k b      , 解得 1 120k b  , . 所求一次函数的表达式为 120y x   .······················································· (2 分) (2) ( 60) ( 120)W x x    2 180 7200x x    2( 90) 900x    ,······································································ (4 分) 抛物线的开口向下,当 90x  时,W 随 x 的增大而增大, 而 60 87x≤ ≤ , 当 87x  时, 2(87 90) 900 891W      . 当销售单价定为 87 元时,商场可获得最大利润,最大利润是 891 元.··············(6 分) (3)由 500W  ,得 2500 180 7200x x    , 整理得, 2 180 7700 0x x   ,解得, 1 270 110x x , .···························· (7 分) 由图象可知,要使该商场获得利润不低于 500 元,销售单价应在 70 元到 110 元之间,而 60 87x≤ ≤ , 所以,销售单价 x 的范围是 70 87x≤ ≤ .·················································· (10 分) (2009 年包头)已知二次函数 2y ax bx c   ( 0a  )的图象经过点 (1 0)A , , (2 0)B , , (0 2)C , ,直 线 x m ( 2m  )与 x 轴交于点 D . (1)求二次函数的解析式; (2)在直线 x m ( 2m  )上有一点 E (点 E 在第四象限),使得 E D B、 、 为顶点的三角形与以 A O C、 、 为顶点的三角形相似,求 E 点坐标(用含 m 的代数式表示); (3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点 F ,使得四边形 ABEF 为平行四边形?若存在,请 求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积;若不存在,请说明理由. y xO 【关键词】二次函数、相似三角形、运动变化、抛物线 解:(1)根据题意,得 0 4 2 0 2. a b c a b c c           , , 解得 1 3 2a b c    , , . y xO BA D C (x=m) (F2)F1 E1 (E2) 2 3 2y x x     .··························· (2 分) (2)当 EDB AOC△ ∽△ 时, 得 AO CO ED BD  或 AO CO BD ED  , ∵ 1 2 2AO CO BD m   , , , 当 AO CO ED BD  时,得 1 2 2ED m   , ∴ 2 2 mED  , ∵点 E 在第四象限,∴ 1 2 2 mE m      , .························································ (4 分) 当 AO CO BD ED  时,得 1 2 2m ED  ,∴ 2 4ED m  , ∵点 E 在第四象限,∴ 2 ( 4 2 )E m m, .························································ (6 分) (3)假设抛物线上存在一点 F ,使得四边形 ABEF 为平行四边形,则 1EF AB  ,点 F 的横坐标为 1m  , 当点 1E 的坐标为 2 2 mm      , 时,点 1F 的坐标为 21 2 mm     , , ∵点 1F 在抛物线的图象上, ∴ 22 ( 1) 3( 1) 22 m m m       , ∴ 22 11 14 0m m   , ∴ (2 7)( 2) 0m m   , ∴ 7 22m m , (舍去), ∴ 1 5 3 2 4F     , , ∴ 3 31 4 4ABEFS    .··············································································(9 分) 当点 2E 的坐标为 ( 4 2 )m m, 时,点 2F 的坐标为 ( 1 4 2 )m m , , ∵点 2F 在抛物线的图象上, ∴ 24 2 ( 1) 3( 1) 2m m m       , ∴ 2 7 10 0m m   , ∴ ( 2)( 5) 0m m   ,∴ 2m  (舍去), 5m  , ∴ 2 (4 6)F , , ∴ 1 6 6ABEFS    .··············································································(12 分) 注:各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分. (2009 年长沙)如图,二次函数 2y ax bx c   ( 0a  )的图象与 x 轴交于 A B、 两点,与 y 轴相交于 点C .连结 AC BC A C、 , 、 两点的坐标分别为 ( 3 0)A  , 、 (0 3)C , ,且当 4x   和 2x  时二次函数的 函数值 y 相等. (1)求实数 a b c, , 的值; (2)若点 M N、 同时从 B 点出发,均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA BC、 边运动,其中一个点到 达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为 t 秒时,连结 MN ,将 BMN△ 沿 MN 翻折,B 点恰好 落在 AC 边上的 P 处,求t 的值及点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点 Q ,使得以 B N Q, , 为项点的三角形与 ABC△ 相似?如果存在,请求出点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由. y O x C N B P MA 【关键词】二次函数、运动变化、相似、存在性 68、(2009 年莆田)已知,如图 1,过点  0 1E , 作平行于 x 轴的直线l ,抛物线 21 4y x 上的两点 A B、 的横坐标分别为  1 和 4,直线 AB 交 y 轴于点 F ,过点 A B、 分别作直线l 的垂线,垂足分别为点C 、 D ,连接CF DF、 . (1)求点 A B F、 、 的坐标; (2)求证: CF DF ; E DC AF B xO y l E DC O F x y (图 1) 备用图 ( 3 ) 点 P 是 抛 物 线 21 4y x 对称轴右侧图象上的一动点,过点 P 作 PQ PO⊥ 交 x 轴于点 Q ,是否存在点 P 使得 OPQ△ 与 CDF△ 相似?若存在,请求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 【关键词】二次函数、抛物线、一次函数、相似三角形 (1)解:方法一,如图 1,当 1x   时, 1 4y  当 4x  时, 4y  E DC AF B xO y l (图 1) ∴ 1A    1,4 ,  4 4B , , 设直线 AB 的解析式为 y kx b  , 则 1 4 4 4 k b k b       解得 3 4 1 k b     ∴直线 AB 的解析式为 3 14y x  , 当 0x  时, 1y   01F , , 方法二:求 A B、 两点坐标同方法一,如图 2,作 FG BD , AH BD ,垂足分别为G 、H ,交 y 轴于点 N , 则四边形 FOMG 和四边形 NOMH 均为矩形,设 FO x ··········3 分 E DC AF B xO y l (图 2) G H M BGF BHA△ ∽△ BG FG BH AH   4 4 1 54 4 x   , 解得 1x   0F ,1 , (2)证明:方法一:在 Rt CEF△ 中, 1, 2CE EF  2 2 2 2 21 2 5CF CE EF      5CF  , 在 Rt DEF△ 中, 4 2DE EF , 2 2 2 2 24 2 20DF DE EF      2 5DF  由(1)得    1 1 4 1C D  , , , 5CD  2 25 25CD   2 2 2CF DF CD   , 90CFD  °  CF DF⊥ , 方法二:由 (1)知 23 5 51 4 4 4AF AC       , AF AC  , 同理: BF BD ACF AFC   AC EF ∥ ACF CFO   AFC CFO   , 同理: BFD OFD   90CFD OFC OFD      ° 即CF DF⊥ , (3)存在. 解:如图 3,作 PM x⊥ 轴,垂足为点 M ··········9 分 E DC O F x y 图 3 M P l Q 又 PQ OP ⊥ Rt RtOPM OQP △ ∽ △ PM OM PQ OP   PQ PM OP OM   , 设  21 04P x x x     , ,则 21 4PM x OM x , ①当 Rt RtQPO CFD△ ∽ △ 时, 5 1 22 5 PQ CF OP DF    , 21 14 2 xPM OM x    解得 2x   1 21P , , ②当 Rt RtOPQ CFD△ ∽ △ 时, 2 5 2 5 PQ DF OP CF    , 21 4 2 xPM OM x    解得 8x   2 816P , 综上,存在点  1 21P , 、  2 816P , 使得 OPQ△ 与 CDF△ 相似. 70、(2009 宁夏)如图,抛物线 21 2 22 2y x x    与 x 轴交于 A B、 两点,与 y 轴交于C 点. (1)求 A B C、 、 三点的坐标; (2)证明 ABC△ 为直角三角形; (3)在抛物线上除C 点外,是否还存在另外一个点 P ,使 ABP△ 是直角三角形,若存在,请求出点 P 的 坐标,若不存在,请说明理由. 【关键词】二次函数的图象 【答案】解:(1)抛物线 21 2 22 2y x x    与 x 轴交于 A B、 两点, 21 2 2 02 2x x    . 即 2 2 4 0x x   . 解之得: 1 22 2 2x x  , . 点 A B、 的坐标为 ( 2 0) 2 2 0A B ,、( ,). 将 0x  代入 21 2 22 2y x x    ,得C 点的坐标为(0,2) (2) 6 2 3 3 2AC BC AB   , , , 2 2 2AB AC BC   , 则 90ACB  °, ABC△ 是直角三角形. (3)将 2y  代入 21 2 22 2y x x    得 21 2 2 22 2x x    , 1 20 2x x  , . P 点坐标为 ( 2 2), . 71、(2009 肇庆)已知一元二次方程 2 1 0x px q    的一根为 2. y xBOA C (1)求 q 关于 p 的关系式; (2)求证:抛物线 2 y x px q   与 x 轴有两个交点; (3)设抛物线 2y x px q   的顶点为 M,且与 x 轴相交于 A( 1x ,0)、B( 2x ,0)两点,求使△AMB 面积最小时的抛物线的解析式. 【关键词】二次函数 【答案】(1)解:由题意,得 22 2 1 0p q    ,即 (2 5)q p   . (2)证明:∵一元二次方程 2 0x px q   的判别式 2 4p q   , 由(1)得 2 2 24(2 5) 8 20 ( 4) 4 0p p p p p           ,∴一元二次方程 2 0x px q   有两个 不相等的实根. ∴抛物线 2y x px q   与 x 轴有两个交点.(3)解:抛物线顶点的坐标为 24 2 4 p q pM     , ,∵ 1 2x x, 是方程 2 0x px q   的两个根,∴ 1 2 1 2 . x x p x x q      , ∴ 2 2 1 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 4AB x x x x x x p q       ∴ 2 2 21 4 1| | ( 4 ) 42 4 8AMB q pS AB p q p q   △ ,要使 AMBS△ 最小,只须使 2 4p q 最小.而由(2) 得 2 24 ( 4) 4p q p    , 所以当 4p   时,有最小值 4,此时 AMBS△ 1 3q , . 故抛物线的解析式为 2 4 3y x x   . 72、1.(2009 年中山)正方形 ABCD 边长为 4, M 、 N 分别 是 BC 、 CD 上的两个动点,当 M 点在 BC 上运动时,保持 AM 和 MN 垂直, (1)证明: Rt RtABM MCN△ ∽ △ ; (2)设 BM x ,梯形 ABCN 的面积为 y ,求 y 与 x 之间的 函 数 关 系 式;当 M 点运动到什么位置时,四边形 ABCN 面积最大,并 求 出 最 大 面积; (3)当 M 点运动到什么位置时 Rt RtABM AMN△ ∽ △ ,求 x 的值. 【关键词】与二次函数有关的面积问题,二次函数的极值问题 【 答 案 】 ( 1 ) 在 正 方 形 ABCD 中 , 4 90AB BC CD B C      , °, AM MN , 90AMN  °, 90CMN AMB    °. 在 Rt ABM△ 中, 90MAB AMB    °, CMN MAB   , Rt RtABM MCN △ ∽ △ . (2) Rt RtABM MCN △ ∽ △ , 4 4 AB BM x MC CN x CN     , , 2 4 4 x xCN    , 2 2 21 4 1 14 4 2 8 ( 2) 102 4 2 2ABCN x xy S x x x                梯形 , 当 2x  时, y 取最大值,最大值为 10. (3) 90B AMN    °, 要使 ABM AMN△ ∽△ ,必须有 AM AB MN BM  , 由(1)知 AM AB MN MC  , BM MC  , 当点 M 运动到 BC 的中点时, ABM AMN△ ∽△ ,此时 2x  . 2.(2009 年漳州)阅读材料,解答问题. 例:用图象法解一元二次不等式: 2 2 3 0x x   . 解:设 2 2 3y x x   ,则 y 是 x 的二次函数. 1 0a   , ∴抛物线开口向上. 又当 0y  时, 2 2 3 0x x   , 解得 1 21 3x x  , . 由此得抛物线 2 2 3y x x   的大致图象如图所示. 观察函数图象可知:当 1x   或 3x  时, 0y  .  2 2 3 0x x   的解集是: 1x   或 3x  . (1)观察图象,直接写出一元二次不等式: 2 2 3 0x x   的解集是____________; (2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式: 2 1 0x   .(大致图象画在答题卡...上) 【关键词】二次函数与一元二次不等式的解集 【答案】(1) 1 3x   . (2)解:设 2 1y x  ,则 y 是 x 的二次函数. 1 0a    , 抛物线开口向上. 又当 0y  时, 2 1 0x   ,解得 1 21 1x x  , . 由此得抛物线 2 1y x  的大致图象如图所示. 观察函数图象可知:当 1x   或 1x  时, 0y  . 2 1 0x   的解集是: 1x   或 1x  . 75、(2009 年漳州)如图 1,已知:抛物线 21 2y x bx c   与 x 轴交于 A B、 两点,与 y 轴交于点C ,经 过 B C、 两点的直线是 1 22y x  ,连结 AC . (1)B C、 两点坐标分别为 B(_____,_____)、C(_____,_____),抛物线的函数关系式为______________; (2)判断 ABC△ 的形状,并说明理由; (3)若 ABC△ 内部能否截出面积最大的矩形 DEFC (顶点 D E F、 、 、G 在 ABC△ 各边上)?若能, 求出在 AB 边上的矩形顶点的坐标;若不能,请说明理由. [抛物线 2y ax bx c   的顶点坐标是 24,2 4 b ac b a a     ] 1 1 1 1 2 1y x  x y C A O B x y C A O B x y 图 1 图 2(备用) 【关键词】二次函数与一元二次方程根之间的内在联系,待定系数法,与二次函数有关的面积问题,二次 函数的极值问题 【答案】(1) B (4,0), (0 2)C , . 21 3 22 2y x x   . (2) ABC△ 是直角三角形. 证明:令 0y  ,则 21 3 2 02 2x x   . 1 21 4x x   , . ( 1 0)A  , . 解法一: 5 5 2 5AB AC BC   , , . 2 2 25 20 25AC BC AB      . ABC△ 是直角三角形. 解法二: 11 2 4 2 CO AOAO CO BO BO OC       , , , 90AOC COB    °, AOC COB△ ∽△ . ACO CBO   . 90CBO BCO    °, 90ACO BCO    °.即 90ACB  °. ABC△ 是直角三角形. (3)能. ① 当矩形两个顶点在 AB 上时,如图 1,CO 交GF 于 H . GF AB ∥ , CGF CAB△ ∽△ . GF CH AB CO   . 解法一:设GF x ,则 DE x , 2 5CH x , 22 5DG OH OC CH x     . 22 22 25 5DEFGS x x x x        矩形 · = 22 5 5 5 2 2x      . 当 5 2x  时, S 最大. 5 12DE DG  , . ADG AOC△ ∽△ , 1 1 22 2 AD DG AD OD OEAO OC       , , , . G A O B x y 图 1 D E FHC 1 02D     , , (2 0)E , . 解法二:设 DG x ,则 10 5 2 xDE GF   . 2 210 5 5 5 55 ( 1)2 2 2 2DEFG xS x x x x        矩形 · . 当 1x  时, S 最大. 51 2DG DE  , . ADG AOC△ ∽△ , 1 1 22 2 AD DG AD OD OEAO OC       , , , . 1 02D     , , (2 0)E , . ② 当矩形一个顶点在 AB 上时, F 与C 重合,如图 2, DG BC ∥ , AGD ACB△ ∽△ . GD AG BC AF   . 解法一:设GD x , 5, 2 5AC BC   , 5 2 xGF AC AG     .  215 52 2DEFG xS x x x       矩形 · =  21 552 2x   . 当 5x  时, S 最大. 55 2GD AG  , , 2 2 5 2AD AG GD    . 3 2OD  3 02D     , 解法二:设 DE x , 5AC  , 2 5BC  , GC x  , 5AG x  . 2 5 2GD x   .   22 5 2 2 2 5DEFGS x x x x     矩形 · = 2 5 52 2 2x        当 5 2x  时, S 最大, 55 2GD AG  , . 2 2 5 2AD AG GD    . 3.2OD  C A O B x y 图 2 D G G 0 x y A B C  3 02D     , 综上所述:当矩形两个顶点在 AB 上时,坐标分别为 1 02     , ,(2,0);当矩形一个顶点在 AB 上时, 坐标为 3 02      , 76、(2009 年哈尔滨)张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一 边利用足够 长的墙另三边用总长为 32 米的篱笆恰好围成.围成的花圃是 如图所示的 矩形 ABCD.设 AB 边的长为 x 米.矩形 ABCD 的面积为 S 平方米. (1)求 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的 取值范围). (2)当 x 为何值时,S 有最大值?并求出最大值. (参考公式:二次函数 2y ax bx c   ( 0a  ),当 2 bx a   时 , 24 4 ac by a 最大(小)值 ) 【关键词】与二次函数有关的面积问题,二次函数的极值问题 【答案】(1)中,根据矩形的面积=长×宽,然后后用 x 表示出宽,再利用此公式即可.(2)此题给我们公 式了,所以降低了此题的难度,直接利用公式代入即可. 由题意得 (32 2 )S AB BC x x   22 32S x x    2 0a    , S 有最大值. 32 82 2 ( 2) bx a        . 2 24 32 1284 4 ( 2) ac bS a     最大值 8x  时, S 有最大值是 128. 77 、( 2009 年 牡 丹 江 ) 如 图 二 次 函 数 2y x bx c   的 图 象 经 过  1A  ,0 和  3 0B , 两点,且交 y 轴于点C . (1)试确定b 、 c 的值; (2)过点C 作 CD x∥ 轴交抛物线于点 D,点 M 为此抛物线的顶 点 , 试 确 定 MCD△ 的形状. 参考公式:顶点坐标 24 2 4 b ac b a a     , 【关键词】抛物线的顶点,待定系数法 【答案】(1)将 A 、 B 两点坐标代入解析式,有: 0 1 0 9 3 b c b c        解得: 2 3b c   , (2)求出抛物线的顶点  1 4M ,    0 3 2 3 2C D CD  , , , , CDM△ 是等腰直角三角形 78、5、(2009 年兰州)如图 17,某公路隧道横截面为抛 物线,其 最大高度为 6 米,底部宽度 OM 为 12 米. 现以 O 点为原点, OM 所 在 直线为 x 轴建立直角坐标系. (1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标; (2)求这条抛物线的解析式; (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB, 使 C、D 点在抛物线上,A、B 点在地面 OM 上, 则这个“支撑架”总长的最大值是多少? 【关键词】二次函数的图像和性质以及应用 【答案】解:(1) M(12,0),P(6,6). (2) 设抛物线解析式为: 6)6( 2  xay . ∵抛物线 6)6( 2  xay 经过点(0,0), ∴ 6)60(0 2  a ,即 6 1a ∴抛物线解析式为: xxyxy 26 1,6)6(6 1 22  即 . (3) 设 A(m, 0), 则 B(12-m , 0) , )26 1,12( 2 mmmC  , )26 1,( 2 mmmD  . ∴“支撑架”总长 AD+DC+CB = )26 1()212()26 1( 22 mmmmm  = 15)3(3 11223 1 22  mmm . ∵ 此二次函数的图象开口向下.∴ 当 m = 3 米时,AD+DC+CB 有最大值为 15 米. 7、(2009 年遂宁)25.如图,二次函数的图象经过点 D(0, 39 7 ),且顶点 C 的横坐标为 4,该图象在 x 轴 上截得的线段 AB 的长为 6. ⑴求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P,使 PA+PD 最小,求出点 P 的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点 Q,使△QAB 与△ABC 相似?如果存在,求出点 Q 的坐标;如果不存在,请说 明理由. 【关键词】二次函数的图像的解析式、图像与性质、相似 【答案】⑴设二次函数的解析式为:y=a(x-h)2+k,∵顶点 C 的横坐标为 4,且过点(0, 39 7 ) ∴y=a(x-4)2+k ka 1639 7 ………………①,又∵对称轴为直线 x=4,图象在 x 轴上截得的线 段长为 6,∴A(1,0),B(7,0),∴0=9a+k ………………②,由①②解得 a= 9 3 ,k= 3- ,∴二次函数 的解析式为:y= 9 3 (x-4)2- 3 ⑵∵点 A、B 关于直线 x=4 对称,∴PA=PB,∴PA+PD=PB+PD≥DB,∴当点 P 在线段 DB 上时 PA+PD 取得最小 值,∴DB 与对称轴的交点即为所求点 P,设直线 x=4 与 x 轴交于点 M,∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∠PBM= ∠DBO,∴△BPM∽△BDO,∴ BO BM DO PM  ∴ 3 3 7 339 7   PM ,∴点 P 的坐标为(4, 3 3 ) ⑶由⑴知点 C(4, 3 ),又∵AM=3,∴在 Rt△AMC 中,cot∠ACM= 3 3 ,∴∠ACM=60o,∵AC=BC,∴∠ACB=120o ①当点 Q 在 x 轴上方时,过 Q 作 QN⊥x 轴于 N,如果 AB=BQ,由△ABC∽△ABQ 有 BQ=6,∠ABQ=120o,则∠ QBN=60o,∴QN=3 3 ,BN=3,ON=10,此时点 Q(10, 33 ),如果 AB=AQ,由对称性知 Q(-2, 33 ) ②当点 Q 在 x 轴下方时,△QAB 就是△ACB,此时点 Q 的坐标是(4, 3 ),经检验,点(10, 33 )与(-2, 33 )都在抛物线上,综上所述,存在这样的点 Q,使△QAB∽△ABC,点 Q 的坐标为(10, 33 )或(-2, 33 ) 或(4, 3 ). 8、(2009 年济南)已知:抛物线的对称轴为与 x 轴交于 A B, 两点,与 y 轴交于点 C,其中  3 0A  , 、  0 2C , . (1)求这条抛物线的函数表达式. (2)已知在对称轴上存在一点 P,使得 PBC△ 的周长最小.请求出点 P 的坐标. (3)若点 D 是线段OC 上的一个动点(不与点 O、点 C 重合).过点 D 作 DE PC∥ 交 x 轴于点 E.连接 PD 、 PE .设CD 的长为 m , PDE△ 的面积为 S .求 S 与 m 之间的函数关系式.试说明 S 是否存在最大值, 若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由. 【关键词】二次函数的图像和性质 A C x y BO  2 0y ax bx c a    1x   , 【答案】解:(1)由题意得 12 9 3 0 2 b a a b c c           ,解得 2 3 4 3 2 a b c         ∴此抛物线的解析式为 22 4 23 3y x x   , (2)连结 AC 、 BC .因为 BC 的长度一定,所以 PBC△ 周长最小,就是使 PC PB 最小. B 点关于对 称轴的对称点是 A 点, AC 与对称轴 1x   的交点即为所求的点 P . 设直线 AC 的表达式为 y kx b  ,则 3 0 2 k b b       , ,解得 2 3 2 k b       ∴此直线的表达式为 2 23y x   .把 1x   代入得 4 3y   ∴ P 点的坐标为 41 3      , , ( 3 ) S 存 在 最 大 值 , 理 由 : ∵ DE PC∥ ,即 DE AC∥ .∴ OED OAC△ ∽△ .∴ OD OE OC OA  ,即 2 2 3 m OE  .∴ 3 33 32 2OE m AE OE m   , , 方法一:连结 OP OED POE POD OEDPDOES S S S S S    △ △ △ △四边形 =    1 3 4 1 1 33 2 1 3 22 2 3 2 2 2m m m m                     = 23 3 4 2m m  ,∵ 3 04   ∴当 1m  时, 3 3 3 4 2 4S    最大 , 方法二: OAC OED AEP PCDS S S S S   △ △ △ △ =  1 1 3 1 3 4 13 2 3 2 12 2 2 2 2 3 2m m m m                =  223 3 3 314 2 4 4m m m      , ∵ 3 04   ,∴当 1m  时, 3 4S 最大 。 9、(2009 年凉山州)如图,已知抛物线 2y x bx c   经过 (1 0)A , , (0 2)B , 两点,顶点为 D . (1)求抛物线的解析式; (2)将 OAB△ 绕点 A 顺时针旋转 90°后,点 B 落到点C 的位置,将抛物线沿 y 轴平移后经过点C ,求 平移后所得图象的函数关系式; (3)设(2)中平移后,所得抛物线与 y 轴的交点为 1B ,顶点为 1D ,若点 N 在平移后的抛物线上,且满 足 1NBB△ 的面积是 1NDD△ 面积的 2 倍,求点 N 的坐标. OA C x y B E P D y x B AO D (第 26 题) 【关键词】二次函数的图像的解析式、图像与性质 【答案】(1)已知抛物线 2y x bx c   经过 (1 0) (0 2)A B,, , , 0 1 2 0 0 b c c       解得 3 2 b c     ,所求抛物线的解析式为 2 3 2y x x   . (2) (1 0)A , , (0 2)B , , 1 2OA OB  , ,可得旋转后 C 点的坐标为 (31), ,当 3x  时,由 2 3 2y x x   得 2y  ,可知抛物线 2 3 2y x x   过点 (3 2), ,将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点C . 平移后的抛物线解析式为: 2 3 1y x x   . (3)点 N 在 2 3 1y x x   上,可设 N 点坐标为 2 0 0 0( 3 1)x x x , 将 2 3 1y x x   配方得 23 5 2 4y x      ,其对称轴为 3 2x  . ①当 0 30 2x  时,如图①, 1 1 2NBB NDDS S △ △ 0 0 1 1 31 2 12 2 2x x           0 1x  此时 2 0 03 1 1x x    N 点的坐标为 (1 1), . ②当 0 3 2x  时,如图② 同理可得 0 0 1 1 31 22 2 2x x         0 3x  此时 2 0 03 1 1x x   点 N 的坐标为 (31), . 综上,点 N 的坐标为 (1 1), 或 (31), . 83、3.(2009 年广州市)如图 13,二次函数 )0(2  pqpxxy 的图象与 x 轴交于 A、B 两点, 与 y 轴交于点 C(0,-1),ΔABC 的面积为 4 5 。 (1)求该二次函数的关系式; (2)过 y 轴上的一点 M(0,m)作 y 轴上午垂线,若该垂线与ΔABC 的 外接圆有公共点,求 m 的取值范围; (3)在该二次函数的图象上是否存在点 D,使四边形 ABCD 为直角梯形? 若存在,求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由。 4.(2009 年衡阳市)已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1, -2),求这个二次函数的关系式. 【关键词】二次函数解析式的求法 【答案】解:设这个二次函数的关系式为 2)1( 2  xay 得: 2)10(0 2  a 解得: 2a y x C B A O N D B1 D1 图① y x C B A O D B1 D1 图② N ∴这个二次函数的关系式是 2)1(2 2  xy ,即 xxy 42 2  5.(2009 年益阳市)阅读材料: 如图 12-1,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直 线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a),中间的这条 直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出 一种计算三角形面积的新方法: ahS ABC 2 1 ,即三角形面积等于水 平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题: 如图 12-2,抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0),交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的解析式; (2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结 PA,PB,当 P 点运动到顶点 C 时,求△CAB 的铅垂高 CD 及 CABS ; (3)是否存在一点 P,使 S△PAB= 8 9 S△CAB,若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 图 12-2 x C O y A B D 1 1 【关键词】二次函数 【答案】解:(1)设抛物线的解析式为: 4)1( 2 1  xay . 把 A(3,0)代入解析式求得 1a 所以 324)1( 22 1  xxxy . 设直线 AB 的解析式为: bkxy 2 由 322 1  xxy 求得 B 点的坐标为 )3,0( . 把 )0,3(A , )3,0(B 代入 bkxy 2 中 解得: 3,1  bk 所以 32  xy . (2)因为 C 点坐标为(1,4) 所以当 x=1时,y1=4,y2=2 所以 CD=4-2=2. 3232 1 CABS (平方单位). (3)假设存在符合条件的点 P,设 P 点的横坐标为 x,△PAB 的铅垂高为 h, 则 xxxxxyyh 3)3()32( 22 21  . 由 S△PAB= 8 9 S△CAB 得: 38 9)3(32 1 2  xx 化简得: 09124 2  xx B C 铅垂高 水平宽 h a 图 12-1 A 2 O 解得, 2 3x 将 2 3x 代入 322 1  xxy 中, 解得 P 点坐标为 )4 15,2 3( 89、(2009 年济宁市)某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为 100 元,售价为 130 元,每星期可 卖出 80 件.商家决定降价促销,根据市场调查,每降价 5 元,每星期可多卖出 20 件. (1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元? (2)降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元?最大销售利润是多少? 【关键词】二次函数的实际应用 【答案】解:(1) (130-100)×80=2400(元); (2)设应将售价定为 x 元,则销售利润 130( 100)(80 20)5 xy x     24 1000 60000x x    24( 125) 2500x    . 当 125x  时, y 有最大值 2500. ∴应将售价定为 125 元,最大销售利润是 2500 元. 90、2. (2009 年株洲市)(本题满分 10 分)如图 1, Rt ABC 中, 90A   , 3tan 4B  ,点 P 在线段 AB 上运动,点Q 、R 分别在线段 BC 、AC 上,且使得四边形 APQR 是矩形.设 AP 的长为 x ,矩形 APQR 的面积为 y ,已知 y 是 x 的函数,其图象是过点(12,36)的抛物线的一部分(如图 2 所示). (1)求 AB 的长; (2)当 AP 为何值时,矩形 APQR 的面积最大,并求出最大值. 为了解决这个问题,孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论: 张明:图 2 中的抛物线过点(12,36)在图 1 中表示什么呢? 李明:因为抛物线上的点 ( , )x y 是表示图 1 中 AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系,那么,(12,36) 表示当 12AP  时, AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系. 赵明:对,我知道纵坐标 36 是什么意思了! 孔明:哦,这样就可以算出 AB ,这个问题就可以解决了. 请根据上述对话,帮他们解答这个问题. R Q P C B A 图 1 图 2 【关键词】二次函数最值 【答案】(1)当 12AP  时, 36AP PQ  ∴ 3PQ  , 又在 Rt BPQ 中, 3tan 4B  ,∴ 3 4 PQ PB  ∴ 4PB  ∴ 16AB  ……………4 分 ( 2 ) 解 法 一 : 若 AP x , 则 16PB x  , 3 (16 )4PQ x  , ∴ 3 (16 )4y x x  , 整 理 得 23 ( 8) 484y x    ∴ 当 8x  时, 48y最大值= . 解法二:由 16AB  ,结合图象可知抛物线经过点(0,0)、(16,0)、(12,36),可设抛物线解析式为 ( 16)y ax x  ,将(12,36)代入求得 3 4a   ,∴ 3 ( 16)4y x x   ,整理得 23 ( 8) 484y x    , ∴ 当 8x  时, 48y最大值= . 解法三:由 16AB  ,结合图象可知抛物线经过点(0,0)、(16,0),知抛物线对称轴为 8x  ,∴抛物 线顶点的横坐标为 8.∴当 8AP  时,矩形 APQR 的面积最大,此时, 8PB  ,∴ 38 64PQ    ,∴最 大面积为 48. 3.(2009 年株洲市)已知 ABC 为直角三角形, 90ACB   , AC BC ,点 A 、C 在 x 轴上,点 B 坐 标为(3 , m )( 0m  ),线段 AB 与 y 轴相交于点 D ,以 P (1,0)为顶点的抛物线过点 B 、 D . (1)求点 A 的坐标(用 m 表示); (2)求抛物线的解析式; (3)设点Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点,连结 PQ 并延长交 BC 于点 E ,连结 BQ 并延长交 AC 于点 F ,试证明: ( )FC AC EC 为定值. 【关键词】二次函数的综合题 【答案】(1)由 (3, )B m 可知 3OC  , BC m ,又△ABC 为等腰直角三角形,∴ AC BC m  , 3OA m  ,所以点 A 的坐标是( 3 ,0m ). ………………… 3 分 (2)∵ 45ODA OAD     ∴ 3OD OA m   ,则点 D 的坐标是( 0, 3m  ). 又抛物线顶点为 (1,0)P ,且过点 B 、 D ,所以可设抛物线的解析式为: 2( 1)y a x  ,得: 2 2 (3 1) (0 1) 3 a m a m       解得 1 4 a m    ∴抛物线的解析式为 2 2 1y x x   ………7 分 (3)过点Q 作 QM AC 于点 M ,过点 Q 作 QN BC 于点 N ,设点 Q 的坐标是 2( , 2 1)x x x  ,则 2( 1)QM CN x   , 3MC QN x   . ∵ //QM CE ∴ PQM ∽ PEC ∴ QM PM EC PC  即 2( 1) 1 2 x x EC   ,得 2( 1)EC x  ∵ //QN FC ∴ BQN ∽ BFC ∴ QN BN FC BC  即 23 4 ( 1) 4 x x FC    ,得 4 1FC x   又∵ 4AC  ∴ 4 4 4( ) [4 2( 1)] (2 2) 2( 1) 81 1 1FC AC EC x x xx x x             即 ( )FC AC EC 为定值 8. 93. (2009 年重庆市江津区)某商场在销售旺季临近时 ,某品牌的童装销售价格呈上升趋势,假如这种 童装开始时的售价为每件 20 元,并且每周(7 天)涨价 2 元,从第 6 周开始,保持每件 30 元的稳定价格 销售,直到 11 周结束,该童装不再销售。 (1)请建立销售价格 y(元)与周次 x 之间的函数关系; ( 2 ) 若 该 品 牌 童 装 于 进 货 当 周 售 完 , 且 这 种 童 装 每 件 进 价 z ( 元 ) 与 周 次 x 之 间 的 关 系 为 12)8(8 1 2  xz , 1≤ x ≤11,且 x 为整数,那么该品牌童装在第几周售出后,每件获得利润最大? 并求最大利润为多少? 【关键词】二次函数极值 【答案】【答案】(1) 20 2( 1) 2 18 30 x xy       (1 6)( 11)( ) x x x x     为整数) (6 为整数 (2)设利润为 w 2 2 2 2 1 120 2( 1) ( 8) 12 14(1 6)8 8 1 130 ( 8) 12 ( 8) 18(6 11)8 8 ( y z x x x x xw y z x x x x                            为整数 为整数) 21 148w x  当 5x  时, 117 (8w 最大 元) 21 ( 8) 188w x   当 11x  时, 1 19 18 1 188 8w     最大 119 ( )8  元 综上知:在第 11 周进货并售出后,所获利润最大且为每件 119 8 元. 94、 (2009 年重庆市江津区)如图,抛物线 cbxxy  2 与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3,0)两点, (1)求该抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线交 y 轴与 C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使得△QAC 的周长最小? 若存在,求出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由. (3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P,使△PBC 的面积最大?,若存在,求出点 P 的 坐标及△PBC 的面积最大值.若没有,请说明理由. 【关键词】与二次函数有关的面积问题 【答案】解:(1)将 A(1,0)B(-3,0)代入 2y x bx c    中得 1 0 9 3 0 b c b c         ∴ 2 3 b c     ∴抛物线解析式为: 2 2 3y x x    (2)存在 理由如下:由题意知 A、B 两点关于抛物线的对称轴 1x   对称 ∴直线 BC 与 1x   的交点即为 Q 点,此时△AQC 周长最小 ∵ 2 2 3y x x    ∴C 的坐标为:(0,3) 直线 BC 解析式为 3y x  Q 点坐标即为 1 3 x y x      的解 ∴ 1 2 x y     ∴Q(-1,2) 第 26 题图 AB C (3)答:存在 理由如下: 设 P 点 2( , 2 3)x x x   ( 3 0)x   ∵ BPC BOCBPCOS S S  四边形 = 9 2BPCOS 四边形 若 BPCOS四边形 有最大值,则 BPCS 就最大, 过 P 点作 PE⊥ x 轴于 E ∴ Rt BPEBPCO PEOCS S S 四边形 直角梯形 1 1 ( )2 2BE PE OE PE OC    2 21 1( 3)( 2 3) ( )( 2 3 3)2 2x x x x x x           23 3 9 27( )2 2 2 8x     当 3 2x   时, BPCOS四边形 最大= 9 27 2 8  ∴ BPCS 最大= 9 27 9 27 2 8 2 8    当 3 2x   时, 2 152 3 4x x    ∴点 P 坐标为 3 15( , )2 4  . 95、3.(2009 年宁德市)(本题满分 13 分)如图,已知抛物线 C1:   52 2  xay 的顶点为 P,与 x 轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左边),点 B 的横坐标是 1. (1)求P点坐标及a的值;(4分) (2)如图(1),抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称,将抛物线 C2 向右平移,平移后的抛物线记为 C3,C3 的顶点为 M,当点 P、M 关于点 B 成中心对称时,求 C3 的解析式;(4 分) (3)如图(2),点 Q 是 x 轴正半轴上一点,将抛物线 C1 绕点 Q 旋转 180°后得到抛物线 C4.抛物 线 C4 的顶点为 N,与 x 轴相交于 E、F 两点(点 E 在点 F 的左边),当以点 P、N、F 为顶点的三角形是直 角三角形时,求点 Q 的坐标.(5 分) 【关键词】二次函数,勾股定理的运用 解:(1)由抛物线 C1:   52 2  xay 得 顶点 P 的为(-2,-5) ∵点 B(1,0)在抛物线 C1 上 ∴   5210 2  a 解得,a=5 9 (2)连接 PM,作 PH⊥x 轴于 H,作 MG⊥x 轴于 G ∵点 P、M 关于点 B 成中心对称 ∴PM 过点 B,且 PB=MB ∴△PBH≌△MBG ∴MG=PH=5,BG=BH=3 ∴顶点 M 的坐标为(4,5) 抛物线 C2 由 C1 关于 x 轴对称得到,抛物线 C3 由 C2 平移得到 ∴抛物线 C3 的表达式为   549 5 2  xy (3)∵抛物线 C4 由 C1 绕点 x 轴上的点 Q 旋转 180°得到 ∴顶点 N、P 关于点 Q 成中心对称 由(2)得点 N 的纵坐标为 5 设点 N 坐标为(m,5) 作 PH⊥x 轴于 H,作 NG⊥x 轴于 G 作 PK⊥NG 于 K ∵旋转中心 Q 在 x 轴上 ∴EF=AB=2BH=6 ∴FG=3,点 F 坐标为(m+3,0) H 坐标为(2,0),K 坐标为(m,-5), 根据勾股定理得 PN2=NK2+PK2=m2+4m+104 PF2=PH2+HF2=m2+10m+50 NF2=52+32=34 ①当∠PNF=90º时,PN2+ NF2=PF2,解得 m=44 3 ,∴Q 点坐标为(19 3 ,0) ②当∠PFN=90º时,PF2+ NF2=PN2,解得 m=10 3 ,∴Q 点坐标为(2 3 ,0) ③∵PN>NK=10>NF,∴∠NPF≠90º 综上所得,当 Q 点坐标为(19 3 ,0)或(2 3 ,0)时,以点 P、N、F 为顶点 的三角形是直角三角形. 4.(2009 年河北)已知抛物线 2y ax bx  经过点 ( 3 3)A  , 和点 P (t,0),且 t ≠ 0. y x A O B P M 图 1 C1 C2 C3 图(1) y x A O B P N 图 2 C1 C4 Q E F 图(2) y x A O B P M 图(1) C1 C2 C3 H G y x A O B P N 图(2) C1 C4 Q E F H G K (1)若该抛物线的对称轴经过点 A,如图 12, 请通过观察图象,指出此时 y 的最小值, 并写出 t 的值; (2)若 4t   ,求 a、b 的值,并指出此时抛 物线的开口方向; (3)直.接.写出使该抛物线开口向下的 t 的一个值. 【关键词】二次函数 解:(1)-3. t =-6. (2)分别将(-4,0)和(-3,-3)代入 2y ax bx  ,得 0 16 4 , 3 9 3 . a b a b      解得 1, 4. a b    向上. (3)-1(答案不唯一). 【注:写出 t>-3 且 t≠0 或其中任意一个数均给分】 98、(2009 年潍坊)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 1 的圆的圆心 O 在坐标原点,且与两坐标轴分 别交于 A B C D、 、 、 四点.抛物线 2y ax bx c   与 y 轴交于点 D ,与直线 y x 交于点 M N、 ,且 MA NC、 分别与圆O 相切于点 A 和点C . (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ,连结 DE ,并延长 DE 交圆O 于 F ,求 EF 的长. (3)过点 B 作圆O 的切线交 DC 的延长线于点 P ,判断点 P 是否在抛物线上,说明理由. 解:(1)圆心O 在坐标原点,圆O 的半径为 1, 点 A B C D、 、 、 的坐标分别为 ( 1 0) (0 1) (1 0) (01)A B C D ,、 , 、 ,、 , 抛物线与直线 y x 交于点 M N、 ,且 MA NC、 分别与圆O 相切于点 A 和点C ,  ( 1 1) (11)M N , 、 , . 点 D M N、 、 在抛物线上,将 (01) ( 1 1) (11)D M N ,、 , 、 , 的坐标代入 2y ax bx c   ,得: 1 1 1 c a b c a b c          解之,得: 1 1 1 a b c       抛物线的解析式为: 2 1y x x    . (2) 2 2 1 51 2 4y x x x           A OP x y 图 12 - 3 - 3 O x y N C D E F BM A 抛物线的对称轴为 1 2x  , 1 1 512 4 2OE DE    , . 连结 90BF BFD , °, BFD EOD△ ∽△ , DE OD DB FD   , 又 5 1 22DE OD DB  , , , 4 5 5FD  , 4 5 5 3 5 5 2 10EF FD DE      . (3)点 P 在抛物线上. 设过 D C、 点的直线为: y kx b  , 将点 (1 0) (01)C D,、 , 的坐标代入 y kx b  ,得: 1 1k b  , , 直线 DC 为: 1y x   . 过点 B 作圆 O 的切线 BP 与 x 轴平行, P 点的纵坐标为 1y   , 将 1y   代入 1y x   ,得: 2x  .  P 点的坐标为 (2 1), , 当 2x  时, 2 21 2 2 1 1y x x          , 所以, P 点在抛物线 2 1y x x    上. 说明:解答题各小题中只给出了 1 种解法,其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数. 99、(09 湖北宜昌)已知:直角梯形 OABC 的四个顶点是 O(0,0),A( 3 2 ,1), B(s,t),C( 7 2 ,0),抛物 线 y=x2+mx-m 的顶点 P 是直角梯形 OABC 内部或边上的一个动点,m 为常数. (1)求 s 与 t 的值,并在直角坐标系中画出..直角梯形 OABC; (2)当抛物线 y=x2+mx-m 与直角梯形 OABC 的边 AB 相交时,求 m 的取值范围. (第 24 题) 【关键词】二次函数 2y ax bx c   (a≠0)与 a,b,c 的关系、解一元一次不等式(组)、不等式(组) 的简单应用 【答案】解:(1)如图,在坐标系中标出 O,A,C 三点,连接 OA,OC. ∵∠AOC≠90°, ∴∠ABC=90°, 故 BC⊥OC, BC⊥AB,∴B( 7 2 ,1). 即 s= 7 2 ,t=1.直角梯形如图所画. (大致说清理由即可) O x y N C D E F BM A P A B C (2)由题意,y=x2+mx-m 与 y=1(线段 AB)相交, 得, 1 2y = x mx m, y = .     ∴1=x2+mx-m, 由 (x-1)(x+1+m)=0,得 1 21, 1x x m    . ∵ 1x =1< 3 2 ,不合题意,舍去. ∴抛物线 y=x2+mx-m 与 AB 边只能相交于( 2x ,1), ∴ 3 2 ≤-m-1≤ 7 2 ,∴ 9 2 5 2 m   . ① 又∵顶点 P( 2 4 2 4 ,m m m  )是直角梯形 OABC 的内部和其边上的一个动点, ∴ 70 2 2 m   ,即 7 0m   . ② ∵ 2 2 24 ( 2) 4 ( 1) 4 4 2 1 1m m m m          , (或者抛物线 y=x2+mx-m 顶点的纵坐标最大值是 1) ∴点 P 一定在线段 AB 的下方. 又∵点 P 在 x 轴的上方, ∴ 2 4 4 0m m  , ( 4) 0,m m   ∴ 0, 0, 4 0 4 0 m m m m           或者 . 4 (9 ) 0. m  分 ③(9 分) 又∵点 P 在直线 y= 2 3 x 的下方,∴ 2 4 2 ( ) 4 3 2 m m m    ,(10 分)即 (3 8) 0.m m   0, 0, 3 8 0 3 8 0. m m m m           或者 8 0. 3 m m   (11分),或 ④ 由①②③④ ,得 4  8 3 m   . 100、(09 湖南怀化)如图 11,已知二次函数 22)( mkmxy  的图象与 x 轴相交于两个不同的点 1( 0)A x, 、 2( 0)B x , ,与 y 轴的交点为C .设 ABC△ 的外接圆的圆心为点 P . (1)求 P⊙ 与 y 轴的另一个交点 D 的坐标; (2)如果 AB 恰好为 P⊙ 的直径,且 ABC△ 的面积等于 5 , 求 m 和 k 的 值. 【关键词】二次函数的应用、与二次函数有关的面积问题 【答案】解 (1)易求得点C 的坐标为 (0 )k, 由 题 设 可 知 1 2x x, 是 方 程 0)( 22  mkmx 即 022  kmxx 的两根,所以 2 1 2 2 ( 2 ) 4 2 m m kx    , , 所 1 2 1 22x x m x x k    , 如图 3,∵⊙P 与 y 轴的另一个交点为 D,由于 AB、CD 是⊙P 的两条相交弦, 设 它 们 的 交 点 为 点 O , 连 结 DB , ∴△AOC∽△DOC , 则 .121  k k k xx OC OBOAOD 由题意知点C 在 y 轴的负半轴上,从而点 D 在 y 轴的正半轴上, 所以点 D 的坐标为(0,1) (2)因为 AB⊥CD, AB 又恰好为⊙P 的直径,则 C、D 关于点 O 对 称,所以点 C 的坐标为 (0 1), ,即 1k )又 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2( ) 4 ( 2 ) 4 2 2 1AB x x x x x x m k m k m            , 所以 21 1 2 1 1 52 2ABCS AB OC m      △ 解得 .2m 101、(09 湖南邵阳)如图(十二),直线l 的解析式为 4y x   ,它与 x 轴、y 轴分别相交于 A B、 两点.平 行于直线l 的直线 m 从原点 O 出发,沿 x 轴的正方形以每秒 1 个单位长度的速度运动,它与 x 轴、 y 轴分 别相交于 M N、 两点,设运动时间为t 秒( 0 4t ≤ ). (1)求 A B、 两点的坐标; (2)用含t 的代数式表示 MON△ 的面积 1S ; ( 3 ) 以 MN 为 对 角 线 作 矩 形 OMPN ,记 MPN△ 和 OAB△ 重合 部 分 的面积为 2S , ①当 2 t ≤ 4 时,试探究 2S 与t 之间 的 函 数关系式; ②在直线 m 的运动过程中,当 t 为何 值时, 2S 为 OAB△ 面积的 5 16 ? 【关键词】直角坐标系、一元二次方程解法及应用、一次函数的实际应用、二次函数的应用、与二次函数 有关的面积问题 【答案】解 (1)当 0x  时, 4y  ;当 0y  时, 4x  . (4 0) 0 4A B ,,( ,); (2) 1OM OAMN AB ON OB    ∥ , , 2 1 1 1 2 2OM ON t S OM ON t     , · ; (3)①当 2 4t ≤ 时,易知点 P 在 OAB△ 的外面,则点 P 的坐标为 ( )t t, , F 点的坐标满足 4 x t y t      , ,即 ( 4 )F t t, , 同理 (4 )E t t , ,则 2 4PF PE t t t    (4- ) , 所以 2 MPN PEF OMN PEFS S S S S   △ △ △ △ 2 2 21 1 1 1 32 4 2 4 8 82 2 2 2 2t PE PF t t t t t         · ( )( ) ; ②当 0 2t ≤ 时, 2 2 2 1 1 5 1 54 42 2 16 2 2S t t     , , 解得 1 25 0 5 2t t    , ,两个都不合题意,舍去; 当 2 4t ≤ 时, 2 2 3 58 82 2S t t     ,解得 3 4 73 3t t , , 综上得,当 7 3t  或 3t  时, 2S 为 OAB△ 的面积的 5 16 . 102、(2009 安徽年)23.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图(1)所示. (1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义. O M A PN yl m x B O M A PN yl m x B E P F 图十二 【解】 (2)写出批发该种水果的资金金额 w(元)与批发量 m(kg)之间的 函数关系式;在下图的坐标系中画出该函数图象;指出金额在什 么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果. 【解】 (3)经调查,某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 数关系如图(2)所示,该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果, 且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货和销售的方案, 使得当日获得的利润最大. 【解】 【关键词】二次函数综合 【答案】(1)解:图①表示批发量不少于 20kg 且不多于 60kg 的该种水果, 可按 5 元/kg 批发;……3 分 图②表示批发量高于 60kg 的该种水果,可按 4 元/kg 批发 (2)解:由题意得: 20 60 60 5 4 m m w m m    ≤ ≤( ) )>( ,函数图象如图所示. 由图可知资金金额满足 240<w≤300 时,以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果. (3)解法一: 设当日零售价为 x 元,由图可得日最高销量 320 40w m  当 m>60 时,x<6.5 由题意,销售利润为 2( 4)(320 40 ) 40[ ( 6) 4]y x m x       当 x=6 时, 160y 最大值 ,此时 m=80 即经销商应批发 80kg 该种水果,日零售价定为 6 元/kg, 当日可获得最大利润 160 元. 解法二: 设日最高销售量为 xkg(x>60) 则由图②日零售价 p 满足: 320 40x p  ,于是 320 40 xp  销售利润 2320 1( 4) ( 80) 16040 40 xy x x      当 x=80 时, 160y 最大值 ,此时 p=6 即经销商应批发 80kg 该种水果,日零售价定为 6 元/kg, 当日可获得最大利润 160 元. (2009 年湖北荆州)23.(7 分)已知:点 P( 1a  , 1a  )关于 x 轴的对称点在反比例函数 8 ( 0)y xx    的图像上, y 关于 x 的函数 2 2 (2 1) 1y k x k x    的图像与坐标轴只有两个不同的交点 A﹑B,求 P 点坐标和△PAB 的面积. 【关键词】二次函数和反比例函数相关 【答案】 (2009 年湖北荆州)24.(10 分)由于国家重点扶持节能环保产业,某种节能产品的销售市场逐渐回暖.某 经销商销售这种产品,年初与生产厂家签订了一份进货合同,约定一年内进价为 0.1 万元/台,并预付了 5 万元押金。他计划一年内要达到一定的销售量,且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低 于 34 万元,但不高于 40 万元.若一年内该产品的售价 y (万元/台)与月次 x (1 12x  且为整数) 满足关系是式: 0.05 0.25 (1 4) 0.1 (4 6) 0.015 0.01 (6 12) x x y x x x             ,一年后发现实际..每月的销售量 p (台)与月次 x 之间 存在如图所示的变化趋势. ⑴ 直接写出实际......每月的销售量 p (台)与月次 x 之间 的函数关系式; ⑵ 求前三个月中每月的实际销售利润 w (万元)与月 次 x 之间的函数关系式; ⑶ 试判断全年哪一个月的的售价最高,并指出最高售价; ⑷ 请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量. 36 4 月 20 40 O x p (台) 12 月 【关键词】二次函数综合题 【答案】 (2009 年茂名市)10.如图,把抛物线 2y x 与直线 1y  围成的图形OABC 绕原点 O 顺时针旋转90°后, 再沿 x 轴向右平移 1 个单位得到图形 1 1 1 1O A B C ,则下列结论错误..的是( ) A.点 1O 的坐标是 (1 0), B.点 1C 的坐标是 (2 1), C.四边形 1 1 1O BA B 是矩形 D.若连接OC,则梯形 1 1OCA B 的面积是 3 O y x1O B 1B 1C 1A11A ( ,) 11C(,) 【关键词】二次函数与圆 【答案】 103、(2009 年茂名市)茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表,请你解答下列问题: 出厂价 成本价 排污处理费 甲种塑料 2100(元/吨) 800(元/吨) 200(元/吨) 乙种塑料 2400(元/吨) 1100(元/吨) 100(元/吨) 每月还需支付设备管理、 维护费 20000 元 (1)设该车间每月生产甲、乙两种塑料各 x 吨,利润分别为 1y 元和 2y 元,分别求 1y 和 2y 与 x 的函 数关系式(注:利润=总收入-总支出);(6 分) (2)已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过 400 吨,若某月要生产甲、乙两种塑料共 700 吨, 求该月生产甲、乙塑料各多少吨,获得的总利润最大?最大利润是多少?(4 分) 【关键词】二次函数综合运用 【答案】 104、(2009 年茂名市)如图,在 Rt ABC△ 中, 90 60 24BAC C BC    °, °, ,点 P 是 BC 边上的 动点(点 P 与点 B C、 不重合),过动点 P 作 PD BA∥ 交 AC 于点 D. (1)若 ABC△ 与 DAP△ 相似,则 APD 是多少度? (2 分) (2)试问:当 PC 等于多少时, APD△ 的面积最大?最大面积是多少? (4 分) (3)若以线段 AC 为直径的圆和以线段 BP 为直径的圆相外切,求线段 BP 的长.(4 分) 60° A D CB P 【关键词】二次函数、圆、相似综合题 【答案】 105、1.(2009 年湖北十堰市)如图①, 已知抛物线 32  bxaxy (a≠0)与 x 轴交于点 A(1,0)和点 B (-3,0),与 y 轴交于点 C. 价 目品 种 (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ,问在对称轴上是否存在点 P,使△CMP 为等腰三角形?若存在, 请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,若点 E 为第二象限抛物线上一动点,连接 BE、CE,求四边形 BOCE 面积的最大值,并求此 时 E 点的坐标. 【关键词】二次函数和抛物线有关概念、二次函数的极值问题 【答案】解: (1)由题知:      0339 03 ba ba , 解得:      2 1 b a , ∴ 所求抛物线解析式为: 322  xxy 。 (2) 存在符合条件的点 P, 其坐标为 P (-1, 10 )或 P(-1,- 10 ) 或 P (-1, 6) 或 P (-1, 3 5 )。 (3)解法①: 过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F , 设 E ( a ,- 2a -2a+3 )( -3< a < 0 ) ∴EF=- 2a -2a+3,BF=a+3,OF=-a, ∴S 四边形 BOCE = 2 1 BF·EF + 2 1 (OC +EF)·OF = 2 1 ( a+3 )·(- 2a -2a+3) + 2 1 (- 2a -2a+6)·(-a) = 2 9 2 9 2 3 2  aa =- 2 3 2)2 3( a + 8 63 ∴ 当 a =- 2 3 时,S 四边形 BOCE 最大, 且最大值为 8 63 ., 此时,点 E 坐标为 (- 2 3 , 4 15 ), 解法②: 过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F, 设 E ( x , y ) ( -3< x < 0 ) , 则 S 四边形 BOCE = 2 1 (3 + y )·(-x) + 2 1 ( 3 + x )·y = 2 3 ( y-x)= 2 3 ( 332 x--x ) = - 2 3 2)2 3( x + 8 63 ∴ 当 x =- 2 3 时,S 四边形 BOCE 最大,且最大值为 8 63 . , 此时,点 E 坐标为 (- 2 3 , 4 15 ) , 说明:(1)抛物线解析式用其它形式表示,只要正确不扣分. (2)直接应用公式法求抛物线顶点坐标或最大值不扣分. (3)其它解法请参照评分说明给分. 107、(2009 年山东青岛市)某水产品养殖企业为指导该企 业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖 情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价 1y (元)与销售月份 x (月)满足关系式 3 368y x   ,而 其每千克成本 2y (元)与销售月份 x (月)满足的函数关 系如图所示. (1)试确定 b c、 的值; (2)求出这种水产品每千克的利润 y (元)与销售月份 x (月)之间的函数关系式; (3)“五·一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少? 【关键词】二次函数和抛物线有关概念、二次函数的极值问题 【答案】解:(1)由题意: 2 2 125 3 38 124 4 48 b c b c           解得 718 129 2 b c      (2) 1 2y y y  23 1 15 136 298 8 8 2x x x         21 3 168 2 2x x    ; (3) 21 3 168 2 2y x x    21 1 1( 12 36) 4 68 2 2x x      21 ( 6) 118 x    ∵ 1 08a    , ∴抛物线开口向下. 在对称轴 6x  左侧 y 随 x 的增大而增大. 25 24 y2(元) x(月)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第 2 题图 2 2 1 8y x bx c   O 由题意 5x  ,所以在 4 月份出售这种水产品每千克的利润最大. 最大利润 21 1(4 6) 11 108 2      (元). 108、(2009 年新疆乌鲁木齐市)如图 9,在矩形OABC 中,已知 A 、C 两点的坐标分别为 (4 0) (0 2)A C,、 , , D 为OA 的中点.设点 P 是 AOC 平分线上的一个动点(不与点O 重合). (1)试证明:无论点 P 运动到何处, PC 总与 PD 相等; (2)当点 P 运动到与点 B 的距离最小时,试确定过O P D、 、 三点的 抛物线的解析式; (3)设点 E 是(2)中所确定抛物线的顶点,当点 P 运动到何处时, PDE△ 的周长最小?求出此时点 P 的坐标和 PDE△ 的周长; ( 4 ) 设 点 N 是 矩 形 OABC 的 对 称 中 心 , 是 否 存 在 点 P , 使 90CPN  °?若存在,请直接写出点 P 的坐标. 【关键词】确定一次函数解析式、次函数 2y ax bx c   (a≠0)与 a,b,c 的关系 【答案】解:(1)∵点 D 是OA 的中点,∴ 2OD  ,∴OD OC . 又∵OP 是 COD 的角平分线,∴ 45POC POD    °, ∴ POC POD△ ≌△ ,∴ PC PD . (2)过点 B 作 AOC 的平分线的垂线,垂足为 P ,点 P 即为所求. 易知点 F 的坐标为(2,2),故 2BF  ,作 PM BF⊥ , ∵ PBF△ 是等腰直角三角形,∴ 1 12PM BF  , ∴点 P 的坐标为(3,3). ∵抛物线经过原点, ∴设抛物线的解析式为 2y ax bx  . 又∵抛物线经过点 (3 3)P , 和点 (2 0)D , , ∴有 9 3 3 4 2 0 a b a b      解得 1 2 a b     ∴抛物线的解析式为 2 2y x x  . (3)由等腰直角三角形的对称性知 D 点关于 AOC 的平分线的对称点即为C 点. 连接 EC ,它与 AOC 的平分线的交点即为所求的 P 点(因为 PE PD EC  ,而两点之间线段最短), 此时 PED△ 的周长最小. ∵抛物线 2 2y x x  的顶点 E 的坐标 (1 1), ,C 点的坐标 (0 2), , 设CE 所在直线的解析式为 y kx b  ,则有 1 2 k b b      ,解得 3 2 k b     . ∴CE 所在直线的解析式为 3 2y x   . 点 P 满足 3 2y x y x      ,解得 1 2 1 2 x y     ,故点 P 的坐标为 1 1 2 2      , . PED△ 的周长即是 10 2CE DE   . (4)存在点 P ,使 90CPN  °.其坐标是 1 1 2 2      , 或 (2 2), . 109、19.(2009 年佛山市)(1)请在坐标系中画出二次函数 2 2y x x   的大致图象; (2)在同一个坐标系中画出 2 2y x x   的图象向上平移两个单位后的图象; (3)直接写出平移后的图象的解析式. y O x P D B (4 0)A , (0 2)C , 图 9 y O xD B (4 0)A , C P E (0 2), F M 注:图中小正方形网格的边长为1. 【关键词】二次函数综合应用 【答案】(1)画图(略) 注:基本反映图形的特征(如顶点、对称性、变化趋势、平滑)给2分,满足其中的两至三项给1分,满足 一项以下给0分; (2)画图、写解析式(略) 注:画图满分2分,同(1)的标准;写解析式2分(无过程不扣分). 110、(2009 年广东省)正方形 ABCD 边长为 4, M 、 N 分别是 BC 、CD 上的两个动点, 当 M 点 在 BC 上运动时,保持 AM 和 MN 垂直, (1)证明: Rt RtABM MCN△ ∽ △ ; (2)设 BM x ,梯形 ABCN 的面积为 y ,求 y 与 x 之间的函数关系式;当 M 点运动到什么位置时, 四边形 ABCN 面积最大,并求出最大面积; (3)当 M 点运动到什么位置时 Rt RtABM AMN△ ∽ △ ,求此时 x 的值. D M A B C N 【关键词】正方形的性质;相似三角形判定和性质;直角梯形;与二次函数有关的面积问题;二次函数的 极值问题;相似三角形有关的计算和证明 【答案】 解:(1)在正方形 ABCD 中, 4 90AB BC CD B C      , °, AM MN ⊥ , 90AMN  °, 90CMN AMB    °, 在 Rt ABM△ 中, 90MAB AMB    °, CMN MAB   , Rt RtABM MCN △ ∽ △ , (2) Rt RtABM MCN △ ∽ △ , 4 4 AB BM x MC CN x CN     , , 2 4 4 x xCN    ,   2 221 4 1 14 4 2 8 2 102 4 2 2ABCN x xy S x x x               梯形 · , 当 2x  时, y 取最大值,最大值为 10. (3) 90B AMN    °, 要使 ABM AMN△ ∽△ ,必须有 AM AB MN BM  , 由(1)知 AM AB MN MC  , x y O 第 19 题图 BM MC  , 当点 M 运动到 BC 的中点时, ABM AMN△ ∽△ ,此时 2x  . (其它正确的解法,参照评分建议按步给分) 2.(2009 年山西省)某批发市场批发甲、乙两种水果,根据以往经验和市场行情,预计夏季某一段时间内, 甲种水果的销售利润 y甲 (万元)与进货量 x (吨)近似满足函数关系 0.3y x甲 ;乙种水果的销售利 润 y乙 (万元)与进货量 x (吨)近似满足函数关系 2y ax bx 乙 (其中 0a a b , , 为常数),且进 货量 x 为 1 吨时,销售利润 y乙 为 1.4 万元;进货量 x 为 2 吨时,销售利润 y乙 为 2.6 万元. (1)求 y乙 (万元)与 x (吨)之间的函数关系式. (2)如果市场准备进甲、乙两种水果共 10 吨,设乙种水果的进货量为t 吨,请你写出这两种水果所获 得的销售利润之和W (万元)与 t (吨)之间的函数关系式.并求出这两种水果各进多少吨时获得 的销售利润之和最大,最大利润是多少? 【关键词】待定系数法;二次函数的极值问题;二次函数的应用 【答案】解:(1)由题意,得: 1.4 4 2 2.6 a b a b      , .解得 0.1 1.5 a b     , . ∴ 20.1 1.5y x x  乙 . (2)    20.3 10 0.1 1.5W y y t t t      乙甲 . ∴ 20.1 1.2 3W t t    .  20.1 6 6.6W t    .∴ 6t  时,W 有最大值为 6.6. ∴10 6 4  (吨). 答:甲、乙两种水果的进货量分别为 4 吨和 6 吨时,获得的销售利润之和最大,最大利润是 6.6 万元. 5.(2009 年黄石市)已知关于 x 的函数 2 1y ax x   ( a 为常数) (1)若函数的图象与 x 轴恰有一个交点,求 a 的值; (2)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在 x 轴上方,求 a 的取值范围. 【关键词】抛物线顶点;二次函数 2y ax bx c   (a≠0)与 a,b,c 的关系;二次函数与一元二次方程 根之间的内在联系 【答案】解:(1)当 0a  时,函数为 1y x  ,它的图象显然与 x 轴 只有一个交点 ( 1 0) , . 当 0a  时,依题意得方程 2 1 0ax x   有两等实数根. 1 4 0a    , 1 4a  . 当 0a  或 1 4a  时函数图象与 x 轴恰有一个交点. (2)依题意有 4 1 04 a a   分类讨论解得 1 4a  或 0a  . 当 1 4a  或 0a  时,抛物线顶点始终在 x 轴上方. 6.(2009 年黄石市)为了扩大内需,让惠于农民,丰富农民的业余生活,鼓励送彩电下乡,国家决定对购 买彩电的农户实行政府补贴.规定每购买一台彩电,政府补贴若干元,经调查某商场销售彩电台数 y(台) 与补贴款额 x (元)之间大致满足如图①所示的一次函数关系.随着补贴款额 x 的不断增大,销售量也不 断增加,但每台彩电的收益 Z (元)会相应降低且 Z 与 x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系. 1200 800 0 400 y(台) x(元) z(元) x(元) 200 160 2000 图① 图② (1)在政府未出台补贴措施前,该商场销售彩电的总收益额为多少元? (2)在政府补贴政策实施后,分别求出该商场销售彩电台数 y 和每台家电的收益 Z 与政府补贴款额 x 之 间的函数关系式; (3)要使该商场销售彩电的总收益 w(元)最大,政府应将每台补贴款额 x 定为多少?并求出总收益 w 的 最大值. 【关键词】确定一次函数解析式;一次函数的实际问题;二次函数的应用;二次函数的极值问题 【答案】解:(1)该商场销售家电的总收益为800 200 160000  (元) (2)依题意可设 1 800y k x  , 2 200Z k x  有 1400 800 1200k   , 2200 200 160k   , 解得 1 2 11 5k k  , . 所以 800y x  , 1 2005Z x   . (3) 1( 800) 2005W yZ x x        21 ( 100) 1620005 x    政府应将每台补贴款额 x 定为 100 元,总收益有最大值. 其最大值为162000元. 113、(2009 年黄石市)正方形 ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中, A 在 x 轴正半轴上, D 在 y 轴的 负半轴上, AB 交 y 轴正半轴于 E BC, 交 x 轴负半轴于 F , 1OE  ,抛物线 2 4y ax bx   过 A D F、 、 三点. (1)求抛物线的解析式;(3 分) (2)Q 是抛物线上 D F、 间的一点,过Q 点作平行于 x 轴的直线交边 AD 于 M ,交 BC 所在直线于 N , 若 3 2 FQNAFQMS S △四边形 ,则判断四边形 AFQM 的形状;(3 分) (3)在射线 DB 上是否存在动点 P ,在射线CB 上是否存在动点 H ,使得 AP PH⊥ 且 AP PH ,若存 在,请给予严格证明,若不存在,请说明理由.(4 分) O y x B E A D C F 【关键词】正方形的性质;待定系数法;相似三角形判定和性质;特殊平行四边形相关的面积问题;等腰 梯形的判定;全等三角形的性质与判定 【答案】解:(1)依条件有 (0 4)D , , (01)E , . 由 OEA ADO△ ∽△ 知 2 4OA OE OD  . ∴ (2 0)A , 由 Rt RtADE ABF△ ≌ △ 得 DE AF . ∴ ( 3 0)F  , . 将 A F、 的坐标代入抛物线方程, 得 4 2 4 0 9 3 4 0 a b a b        2 3a b   . ∴抛物线的解析式为 22 2 43 3y x x   . (2) O y x B E A D C F N M Q 设QM m , 1 ( 5) | |2 QAFQMS m y  四边形 , 1 (5 ) | |2FQN QS m y  △ . ∴ 3( 5) | | (5 ) | | 12Q Qm y m y m      设 ( )Q a b, ,则 ( 1 )M a b , ∴ 22 2 43 2( 1) 4 b a aa b a         2 2 3 0a a    , 1a   (舍去 3a  ) 此时点 M 与点 D 重合,QF AM , AF QM , AF QM∥ , 则 AFQM 为等腰梯形. (3)在射线 DB 上存在一点 P ,在射线CB 上存在一点 H . 使得 AP PH⊥ ,且 AP PH 成立,证明如下: 当点 P 如图①所示位置时,不妨设 PA PH ,过点 P 作 PQ BC⊥ , PM CD⊥ , PN AD⊥ ,垂足分 别为 Q M N、 、 . 若 PA PH .由 PM PN 得: B A N DMC Q H P ① B A D M C Q H P ② N H N A DC BMP ③ AN PQ , Rt RtPQH APN △ ≌ △ HPQ PAN   . 114、22.(2009 年云南省)(本小题 11 分)如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点 A、B 的坐标 分别为 (0 4)A , 和 ( 2 0)B  , ,连结 AB . (1)现将 AOB△ 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°得到 1 1AO B△ ,请画出 1 1AO B△ ,并直接写出点 1B 、 1O 的坐标(注:不要求证明); (2)求经过 B 、 A 、 1O 三点的抛物线对应的函数关系式,并画出抛物线的略图. O x A B y 【关键词】抛物线 二次函数 旋转作图 【答案】解:(1)如图,画出△AO1B1; B1(4,2),O1(4,4); (2)设所求抛物线对应的函数关系式为 y=a(x-m)2+n, 由 AO1∥x 轴,得 m=2. ∴y=a(x-2)2+n. ∵抛物线经过点 A、B, ∴ 4 4 16 0 . a n a n      , 解得 1 3 16 .3 a n      , ∴所求抛物线对应的函数关系式为 21 16( 2)3 3y x    , 即 21 4 43 3y x x    . 所画抛物线图象如图所示. 115、( 2009 年 枣 庄 市 )24. 如图,抛物线的顶点为 A(2,1),且经过原点 O,与 x 轴的另一个交点为 B. (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上求点 M,使△MOB 的面积是△AOB 面积的 3 倍; (3)连结 OA,AB,在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 N,使△OBN 与△OAB 相似?若存在,求出 N 点的坐标;若不存在,说明理由. 【关键词】二次函数综合题 【答案】(1)由题意,可设抛物线的解析式为 2( 2) 1y a x   , ∵抛物线过原点, ∴ 2(0 2) 1 0a    , 1 4a   . ∴抛物线的解析式为 21 ( 2) 14y x    21 4 x x   . (2) AOB△ 和所求 MOB△ 同底不等高, 3MOB AOBS S△ △且 , ∴ MOB△ 的高是 AOB△ 高的 3 倍,即 M 点的纵坐标是 3 . ∴ 213 4 x x    ,即 2 4 12 0x x   . 解之,得 1 6x  , 2 2x   . ∴满足条件的点有两个: 1(6 3)M , , 2 ( 2 3)M  , . (3)不存在. 由抛物线的对称性,知 AO AB , AOB ABO   . 若 OBN△ 与 OAB△ 相似,必有 BON BOA BNO     . 设 ON 交抛物线的对称轴于 A点,显然 (2 1)A , . y O x A B O1 B1 y x O A B 第 24 题图 y xO A B E N AA′ ∴直线ON 的解析式为 1 2y x  . 由 21 1 2 4x x x    ,得 1 0x  , 2 6x  . ∴ (6 3)N , . 过 N 作 NE x 轴,垂足为 E .在 Rt BEN△ 中, 2BE  , 3NE  , ∴ 2 22 3 13NB    . 又 OB=4, ∴ NB OB , BON BNO   , OBN△ 与 OAB△ 不相似. 同理,在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 N 点. 所以在该抛物线上不存在点 N,使 OBN△ 与 OAB△ 相似. 116、

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