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- 2021-05-10 发布
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2017年湖北省随州市中考数学试卷
满分:120分 版本:人教版
一、选择题(每小题3分,共10小题,共30分)
1.(2017湖北随州,1,3分)-2的绝对值是( )
A.2 B.-2 C. D.-
答案:A,解析:根据“负数的绝对值等于它的相反数”,而-2的相反数是2,得到-2的绝对值是2.
2.(2017湖北随州,2,3分)下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
答案:C,解析:因为a3+a3=2a3,(a-b)2=a2-2ab+b2,(-a3)2=(-1)2×(a3)2=a6,a12÷a6=a12-6=a6,所以选项A、B、D错误,选项C正确.
3.(2017湖北随州,3,3分)如图是某几何体的三视图,这个几何体是( )
A.圆锥 B.长方体 C.圆柱 D.三棱柱
答案:C,解析:解析:A.圆锥的视图应该有三角形; B.长方体的三个视图都是矩形;C.圆柱的主视图和左视图都是矩形,俯视图是圆;D.三棱柱的视图应该有三角形.
4.(2017湖北随州,4,3分)一组数据2,3,5,4,4的中位数和平均数分别是( )
A.4和3.5 B.4和3.6 C.5和3.5 D.5和3.6
答案:B,解析:将这组数据按大小排列是2,3,4,4,5,中位数是处于中间位置的数据5,平均数是(2+3+5+4+4)=3.6.
5.(2017湖北随州,5,3分)某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分(如图),发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小,能正确解释这一现象的数学知识是( )
A.两点之间线段最短
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
答案:A,解析:剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小,实质上就是剪掉的叶片两端的直线段小,依据是“在连接两点的所有线中,直线段最短”.
6.(2017湖北随州,6,3分)如图,用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心,以任意长为半径画弧①,分别交OA、OB于点E、F,那么第二步的作图痕迹②的作法是( )
A.以点F为圆心,OE长为半径画弧 B.以点F为圆心,EF长为半径画弧
C.以点E为圆心,OE长为半径画弧 D.以点E为圆心,EF长为半径画弧
答案:D,解析:作一个角等于已知角,依据是用“SSS”说明三角形全等,显然图中已满足“OE=OE,OF=OG”,只要添加“EF=EG”,故作图痕迹②的圆心是点E,半径是EF长.
G
7.(2017湖北随州,7,3分)小明到商店购买“五四青年节”活动奖品,购买20支铅笔和10本笔记本共需110元,但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元.设每支铅笔x元,每本笔记本y元,则可列方程组( )
A. B. C. D.
答案:B,解析:题中有两个相等关系:①购买20支铅笔的费用+购买10本笔记本的费用=110
元;②购买30支铅笔的费用+购买5本笔记本的费用=85元.
8.(2017湖北随州,8,3分)在公园内,牡丹按正方形种植,在它的周围种植芍药,如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律,那么当n=11时,芍药的数量为( )
A.84株 B.88株 C.92株 D.121株
答案:B,解析:观察图形,发现芍药围成的图形是正方形,每条边上的芍药数量与牡丹的列数(n)的关系是2n+1,芍药的总数量可表示为4(2n+1)-4=8n,因此,当n=11时,芍药的数量为88.
9.(2017湖北随州,9,3分)对于二次函数,下列结论错误的是( )
A.它的图象与x轴有两个交点 B.方程的两根之积为-3
C.它的图象的对称轴在y轴的右侧 D.x<m时,y随x的增大而减小
答案:C,解析:A.因为D=(-2m)2-4×1×(-3)=4m2+12>0,所以图象与x轴有两个交点;B.方程化为x2-2mx-3=0,设两根为x1、x2,则x1×x2==-3;C.因为图象的对称轴为x=m,无法确定m与0的大小关系,从而无法判断对称轴与y轴的位置关系;D.因为抛物线开口向上,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小.
10.(2017湖北随州,10,3分)如图,在矩形ABCD中,AB<BC,E为CD边的中点.将△ADE绕点E顺时针旋转180°,点D的对应点为C,点A的对应点为F,过点E作ME⊥AF交BC于点M,连接AM、BD交于点N.现有下列结论:①AM=AD+MC;②AM=DE+BM;③DE2=AD×CM;④点N为△ABM的外心.其中正确结论的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案:B,解析:在矩形ABCD中,∠BCD=∠ADC=90°,由旋转得,△ADE≌△FCE,∴∠FCE=∠ADE=90°,∠BCD+∠FCE=180°,∴B、C、F在一直线上;又∵ME⊥AF,AE=EF,∴AM=MF=MC+CF=AD+MC;而AM=MF=CF+MC=BC+MC=BM+2MC,显然DE=EC≠2MC;由Rt△MCE∽Rt△ECF得=,∴CE2=CF×CM,即DE2=AD×CM;由AD∥BC得,△
ADN∽△MBN,而AD≠BM,∴点N不是AM的中点,点N不为△ABM的外心.综上所述,结论①③正确.
二、填空题:(每小题3分,共6小题,共18分)
11.(2017湖北随州,11,3分)根据中央“精准扶贫”规划,每年要减贫约11700000人,将数据11700000用科学记数法表示为__________.
答案:1.17×107,解析:用科学记数法表示一个数,就是把一个数写成a×10的形式(其中1≤<10,n为整数),首先把11700000的小数点向左移动7位变成1.17,也就是11700000=1.17×10000000,最后写成1.17×107.
12.(2017湖北随州,12,3分)“抛掷一枚质地均匀的硬币,正面向上”是__________事件(从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个).
答案:随机,解析:事件“抛掷一枚质地均匀的硬币,正面向上”可能发生,也可能不发生,因此这是随机事件.
13.(2017湖北随州,13,3分)如图,已知AB是⊙O的弦,半径OC垂直AB,点D是⊙O上一点,且点D与点C位于弦AB两侧,连接AD、CD、OB,若∠BOC=70°,则∠ADC=________度.
答案:35,解析:∵半径OC垂直AB,∴=,∴∠ADC=∠BOC=×70°=35°.
14.(2017湖北随州,14,3分)在△ABC中,AB=6,AC=5,点D在边AB上,且AD=2,点E在边AC上,当AE=__________时,以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似.
答案:或,解析:∵∠A=∠A,分两种情况:①当=时,△ADE∽△ABC,即=,∴AE=;②当=时,△ADE∽△ACB,即=,∴AE=;综上所述,当AE=或,以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似.
15.(2017湖北随州,15,3分)如图,∠AOB的边OB与x轴正半轴重合,点P是OA上的一动点,点N(3,0)是OB上的一定点,点M是ON的中点,∠AOB=30°,要使PM+PN最小,则点P
的坐标为________.
答案:(,),解析:作点N关于OA的对称点N′,连接MN′交OA于点P,则点P为所求.显然ON=ON′,∠NON′=2∠AOB=2×30°=60°,∴△ONN′为等边三角形,MN′⊥ON,∵OM=,则PM=OM×tan30°=×=,∴点P的坐标为(,).
16.(2017湖北随州,16,3分)在一条笔直的公路上有A、B、C三地,C地位于A、B两地之间.甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地,乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地.在甲车出发至甲车到达C地的过程中,甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示.下列结论:①甲车出发2h时,两车相遇;②乙车出发1.5h时,两车相距170km;③乙车出发2h时,两车相遇;④甲车到达C地时,两车相距40km.其中正确的是____________(填写所有正确结论的序号).
答案:②③④,解析:由图象知,AC=240km,BC=200km,V甲=60km/h,V乙=80km/h,乙车比甲车晚出发1h;①甲车出发2h时,两车在两侧距C地均为120km,未相遇;②乙车出发1.5h时,行了120km,甲车行了2.5h,行了150km,相距440-120-150=170km;③乙车出发2h时,甲乙两车的行程为3×60+2×80=440(km),两车相遇;④甲车到达C地时,t=4,乙车行了240km,距离C
地40km,即两车相距40km.故正确的序号是②③④.
三、解答题:(本大题共9个小题,共72分)
17.(2017湖北随州,17,5分)(本小题满分5分)
计算:.
思路分析:先根据负整数指数幂、零指数幂、算术平方根和绝对值的概念分别计算,再进行有理数的加减运算.
解:原式=9-1+3-2=9.
18.(2017湖北随州,18,6分)(本小题满分6分)
解分式方程:.
思路分析:先去分母,将分式方程转化为整式方程,再解整式方程,最后注意要检验.
解:原方程可化为:3+x2-x=x2,
解得x=3.
检验:当x=3时,x(x-1)≠0,
所以,原分式方程的解为x=3.
19.(2017湖北随州,19,6分)(本小题满分6分)
如图,在平面直角坐标系中,将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A,过点A作y轴的平行线交反比例函数y=的图象于点B,AB=.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若P(x1,y1)、Q(x2,y2)是该反比例函数图象上的两点,且x1<x2时,y1<y2,指出点P、Q各位于哪个象限?并简要说明理由.
思路分析:(1)由平移得A(-2,0),从而得到点B(-2,),再利用待定系数法求反比例函数的解析式;(2)由反比例函数的图象和性质知,在每一象限内,y随x的增大而增大,确定P、Q不在同一象限,进而判断它们的相应位置.
解:(1)由题意得,A(-2,0),AB=,AB∥y轴,∴B(-2,).
∵反比例函数y=的图象过点B,∴k=-3.
∴反比例函数解析式为y=-.
(2)点P在第二象限,点Q在第四象限.
∵k<0,∴在每一象限内y随x的增大而增大.
又x1<x2时,y1>y2,∴x1<0<x2.
∴点P在第二象限,点Q在第四象限.
20.(2017湖北随州,20,7分)(本小题满分7分)
风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源.风电机组主要由塔杆和叶片组成(如图1),图2是从图1引出的平面图.假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°,沿HA方向水平前进43米到达山底G处,在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置,此时测得叶片的顶端D(D、C、H在同一直线上)的仰角是45°.已知叶片的长度为35米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计),山高BG为10米,BG⊥HG,CH⊥AH,求塔杆CH的高.(参考数据:tan55°≈1.4,tan35°≈0.7,sin55°≈0.8,sin35°≈0.6)
(图1)
(图2)
思路分析:过点B作BE⊥DH于E,设CH=x米,分别解Rt△ACH和Rt△BDE,分别用x表示AH和BE的长,再构造方程求x的值.
解:设塔杆CH的高为x米,由题意可知:
在Rt△ACH中,∠ACH=55°,∴∠ACH=35°,
∴AH=CH×tan35°≈0.7x,
过点B作BE⊥DH于E,∴BE=GH=GA+AH=43+0.7x,
DE=35+x-10=25+x,
在Rt△DBE中,∠DBE=45°,∴DE=BE,43+0.7x=25+x,
∴x=60.
即塔杆CH高60米.
说明:因锐角三角函数值取近似值,存在一定的误差,若在Rt△CAH中,使用tan∠CAH=tan55°≈1.4,求出塔杆CH高63米也行.
21.(2017湖北随州,21,8分)(本小题满分8分)
某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛,初赛后对选手成绩进行了整理,分成5个小组(表示成绩,单位:分).A组:75≤x<80;B组:80≤x<85;C组:85≤x<90;D组:90≤x<95;E组:95≤x<100,并绘制如图两幅不完整的统计图.
0
成绩(分)
频数(人数)
75
80
85
90
95
100
2
4
6
8
10
12
20%
A
B 25%
C
D10%
E
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)参加初赛的选手共有 名,请补全频率分布直方图;
(2)扇形统计图中,C组对应的圆心角是多少度?E组人数占参赛选手的百分比是多少?
(3)学校准备组成8人的代表队参加市级决赛,E组6名选手直接进入代表队,现要从D组中的两名男生和两名女生中,随机选取两名选手进入代表队,请用列表或画树状图的方法,求恰好选中一名男生和一名女生的概率.
思路分析:(1)根据“扇形统计图中各扇形的百分比=×100%”,由A组或D组对应频数和百分比可求选手总数为40,进而求出B组频数;(2)C组对应的圆心角=×360°,E组人数占参赛选手的百分比是×100%;(3)用列表或画树形图表示出所有可能的结果,注意选取不放回.
解:(1)40,补全频率分布直方图如图;
0
成绩(分)
频数(人数)
75
80
85
90
95
100
2
4
6
8
10
12
(2)108°,15%;
(3)两名男生分别用A1、A2表示,两名女生分别用B1、B2表示.根据题意可画出如下树状图:
开始
A1
A2
B2
B1
A2
A1
B2
B1
B1
A1
B2
A2
B2
A1
B1
A2
或列表法:
第2人
第1人
A1
A2
B1
B2
A1
A2A1
B1A1
B2A1
A2
A1A2
B1A2
B2A2
B1
A1B1
A2B1
B2B1
B2
A1B2
A2B2
B1B2
由上图可以看出,所有可能出现的结果有12种,这些结果出现的可能性相等,选中一名男生一名女生的结果有8种.
∴选中一名男生一名女生的概率是P(一男一女)==.
22.(2017湖北随州,22,8分)(本小题满分8分)
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,经过点A的⊙O与BC相切于点D,交AB于点E.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若CD=1,求图中阴影部分的面积(结果保留p).
思路分析:(1)连接OD,根据切线的性质,得到OD⊥BC,进而利用“平行线+等腰三角形→角平分线”可证;(2)先求出⊙O的半径,再利用S阴影=S△OBD-S扇形EOD可求.
解:(1)证明:连接OD,∵BC是⊙O的切线,
∴∠ODA+∠ADC=90°,
∵∠C=90°,∴∠ADC+∠DAC=90°,∴∠ODA=∠DAC,
又OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,∴∠OAD=∠DAC,
∴AD平分∠BAC.
(2)设⊙O的半径为r,在Rt△ODB中,∠B=∠BOD=45°,
∴BD=OD=r,OB=r.
又∠ODB=∠C=90°,∴OD∥AC,∴=,即=,∴r=.
∴S阴影=S△OBD-S扇形EOD=××-=1-.
23.(2017湖北随州,23,10分)(本小题满分10分)
某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种水果每次降价的百分率;
(2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1≤x<15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大?
时间(天)
1≤x<9
9≤x<15
x≥15
售价(元/斤)
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量(斤)
80-3x
120-x
储存和损耗费用(元)
40+3x
3x2-64x+400
(3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元?
思路分析:(1)设该种水果每次降价的百分率为x,则第一次降价后的价格为10(1-x),第二次降价后的价格为10(1-x)2,进而可得方程;(2)分两种情况考虑,先利用“利润=(售价-进价)×销量-储存和损耗费用”,再分别求利润的最大值,比较大小确定结论;(3)设第15天在第14天的价格基础上降a元,利用不等关系“(2)中最大利润-[(8.1-a-4.1)×销量-储存和损耗费用]≤127.5”求解.
解:(1)设该种水果每次降价的百分率为x,依题意得:
10(1-x)2=8.1.
解方程得:x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去)
答:该种水果每次降价的百分率为10%.
(2)第一次降价后的销售价格为:10×(1-10%)=9(元/斤),
当1≤x<9时,y=(9-4.1)(80-3x)-(40+3x)=-17.7x+352;
当9≤x<15时,y=(8.1-4.1)(120-x)-(3x2-64x+400)=-3x2+60x+80,
综上,y与x的函数关系式为:y=
当1≤x<9时,y=-17.7x+352,∴当x=1时,y最大=334.3(元);
当9≤x<15时,y=-3x2+60x+80=-3(x-10)2+380,∴当x=10时,y最大=380(元);
∵334.3<380,∴在第10天时销售利润最大.
(3)设第15天在第14天的价格上最多可降a元,依题意得:
380-[(8.1-a-4.1)(120-15)-(3×152-64×15+400)]≤127.5,
解得:a≤0.5,
则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元.
24.(2017湖北随州,24,10分)(本小题满分10分)
如图,分别是可活动的菱形和平行四边形学具,已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等.
(1)在一次数学活动中,某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合,摆拼成如图1所示的图形,AF经过点C,连接DE交AF于点M,观察发现:点M是DE的中点.
下面是两位学生有代表性的证明思路:
思路1:不需作辅助线,直接证三角形全等;
思路2:不证三角形全等,连接BD交AF于点H.
……
请参考上面的思路,证明点M是DE的中点(只需用一种方法证明);
(2)如图2,在(1)的条件下,当∠ABE=135°时,延长AD、EF交于点N,求的值;
(3)在(2)的条件下,若=k(k为大于的常数),直接用含k的代数式表示的值.
图1 图2
思路分析:(1)思路1:先证DC与EF平行和相等,进而再利用AAS证△DMC≌△EMF;思路2:连接BD交AF于点H,再利用平行线分线段成比例可证;(2)过点M作MG∥NE交AN于点G,证NE=2MG和AM=MG,再代入计算;(3)设AB=a,在(2)的条件下,四边形ABCD
是正方形,AC=AB=a,CM=MF=a,∴AM=a,从而可求的值.
解:(1)思路1:证明:∵四边形ABEF和四边形ABCD分别为平行四边形和菱形,
∴EFÚAB,DCÚAB,∴EFÚDC,∴∠CDM=∠FEM,
又∠DMC=∠EMF,∴△DMC≌△EMF(AAS),
∴DM=EM,∴点M是DE的中点.
思路2:证明:∵四边形ABCD是菱形,∴DH=HB.
∵四边形ABEF是平行四边形,∴HM∥BC,
∴=,∴DM=EM,∴点M是DE的中点.
(2)过点M作MG∥NE交AN于点G,∵点M是DE的中点,
∴在△DNE中,NE=2MG,又∠ABE=135°,
∴∠NAF=∠NFA=45°,∴EN⊥AN,∴MG⊥AN,
在Rt△AMG中,AM=MG,
∴==.
(3)=.
25.(2017湖北随州,25,12分)(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.
已知抛物线与其“梦想直线”交于A、B两点(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C.
(1)填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ,点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)如图,点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标;
(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
思路分析:(1)∵a=,∴“梦想直线”的解析式为;由解得从而得到A(-2,2),B(1,0);(2)∵△AMN为梦想三角形,而点A(-2,2),分两种情况:①点M在y轴上,②点N在y轴上;(3)分两种情况:①AC为边,②AC为对角线.
解:(1),(-2,2),(1,0).
(2)∵抛物线与x轴负半轴交于点C,∴C(-3,0).过点A作AG⊥y轴,垂足为点G.
当点N在y轴上时,△AMN为梦想三角形.
设N(0,n),∵A(-2,2),C(-3,0),∴AC=,∴AN=AC=,
在Rt△AGN中,AG2+GN2=AN2,又AG=2,GN=|n-2|,
∴4+(n-2)2=13,解得n=2-3或n=2+3,
设M(m,0),
当n=2-3时,在Rt△MNO中,(2-3)2+m2=(m+3)2,解得:m=2-2;
当n=2+3时,在Rt△MNO中,(2+3)2+m2=(m+3)2,解得:m=2+2;
又-3<m≤1,∴m=2+2不合题意,舍去.∴m=2-2,此时n=2-3,
∴N(0,2-3).
当点M在y轴上时,△AMN为梦想三角形,
此时M与O重合,在Rt△AGM中,AG=2,GM=2,
∴tan∠AMG= =,∴∠AMG=30°,
∴∠AMC=∠AMN=∠NMB=60°,
过点N作NP⊥x轴于P,在Rt△NMP中,MN=CM=3,
∴NP=,OP=,∴N(,).
综上所述,点N的坐标为(0,2-3)或(,).
(3)E1(-1,-),F1(0,);E2(-1,-),F2(-4,).