2017年度中考数学（弧长与扇形面积）押轴题专练2 11页

弧长与扇形面积的押轴题解析汇编二 ‎ 弧长与扇形面积 一、选择题 ‎3．（2011年内蒙古呼和浩特，3，3）已知圆柱的底面半径为,母线长为,则圆柱的侧面积为( ) ‎ A. B. C. D.‎ 解题思路】根据圆柱的侧面积的计算公式:圆柱的侧面积底面周长高.‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题考查圆柱的侧面积的求法,应明确圆柱的侧面展开图是矩形,矩形的长是圆柱的底面圆的周长,矩形的宽是圆柱的母线长.难度较小.‎ ‎4. （2011广东珠海，3，3分）圆心角为600且半径为3的扇形的弧长为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、3‎ ‎【解题思路】根据弧长公式L===。可知选项B正确．难度适中．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【点评】本题考查了扇形的弧长计算方法和计算公式。‎ ‎1. （2011安徽，7，4分）如图，⊙半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解题思路】由弧长公式L=可知，只要求出弧BC所对的圆心角度数即可.连接OB、OC，得∠BOC=2∠A=2×36°= 72°，所以L=，应选B.‎ ‎【答案】B.‎ ‎【点评】本题主要考查圆中弧长公式和圆周角定理的应用.难度较小.‎ ‎2. （2011贵州毕节,15,3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，CB＝16，分别以 AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是( )‎ A、 B、‎ C、 D、‎ B C A ‎【解题思路】设半圆与BC的交点为D,连结AD,可得阴影部分面积等于两个半圆面积之和减去三角形ABC 的面积。故答案B正确。A、C、D均不正确。‎ ‎【答案】B ‎【点评】本题考查了圆中阴影部分面积的求法，在解题是要善于把阴影部分进行分割，把它转化为弓形、三角形、扇形等图形。进一步求出阴影部分面积。难度较大。‎ ‎3. (2011广东广州，10，3分)如图，AB切⊙O于点B，OA=2，AB=3，弦BC//OA，则劣弧BC的弧长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ C B A O ‎【解题思路】连结AB,根据圆的切线垂直于过切点的半径，可以得到 OB⊥AB。在Rt△ABO中，‎ sin=,所以=60度。‎ 因为弦BC//OA，所以==60度。‎ 在△CBO中，OC=OB, =60度,所以△CBO是正三角形，所以=60度 所以劣弧BC的弧长==，本题选择A.‎ ‎【答案】A ‎【点评】本题综合考查了圆的切线的性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长的计算，综合性较强，难度中等。‎ ‎4. （2011贵州安顺，8，3分）在Rt△ABC中，斜边AB =4，∠B= 60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°，顶点C运动的路线长是（ ）‎ A． B． C．π D．‎ ‎【解题思路】Rt△ABC中，斜边AB =4，∠B= 60°，BC=2，顶点C运动的路线是以B为圆心60°的弧，所以路线长为，所以答案选B。‎ ‎【答案】B ‎【点评】本题主要考查图形的旋转以及弧长计算公式，做此题时要画出图形然后结合图形进行计算。难度较小。‎ ‎5.‎ ‎1.（2011湖北孝感，10，3分）如图，某航天飞船在地球表面P点的正上方A处，从A处观测到地球上最远点Q.若∠QAP=α，地球半径为R，则航天飞船距离地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解题思路】依题意,AQ为切线,连接OQ,有sinα=,则AP可求.故A,D不对. P、Q两点间的地面距离实际上是一段弧,只要根据弧长公式即可得到.C不对.‎ ‎【答案】B.‎ ‎【点评】本题以实际生活为背景,巧妙地将切线,弧长以及三角函数联系在一起,形成了一个知识点的小综合.难度中等． ‎ ‎（2011江苏无锡，4,3分）已知圆柱的底面半径为‎2cm，高为‎5cm，则圆柱的侧面积是 ( ▲ )‎ ‎ A．‎20 cm2 B．20兀cm‎2 C．10兀cm2 D．5兀cm2‎ ‎【解题思路】根据圆柱的侧面积公式S侧＝2πrh可得，S侧＝20π㎝2，所以选择B.‎ ‎【答案】B ‎【点评】本题主要考查圆柱的侧面积公式的运用.难度较小.‎ ‎1. （2011台北27）图(十一)为与圆O的重迭情形，其中为圆O之直径。若 ‎，＝2，则图中灰色区域的面积为何？‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【分析】：∵ ∴∠B+∠C=，将两个扇形拼在一起，得新的扇形的圆心角之和 是，半径为1，计算出面积.‎ ‎【答案】：D ‎【点评】：利用三角形内角和定理求出∠B+∠C=，进而求出阴影部分的圆心角之和是 ‎，代人扇形面积公式即可。难度较小.‎ 二、填空题 ‎（2011常州市第13题,2分）已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长，则此扇形的半径是，面积是。‎ ‎【解题思路】由弧长公式建立方程,R=24，根据扇形面积公式得 ‎。‎ ‎【答案】24,240π。‎ ‎【点评】本题考查了弧长和扇形的面积公式，掌握这两个公式是解题的关键。‎ ‎（2011江苏省淮安市，15， 3分）在半径为‎6cm的圆中，60°的圆心角所对的弧长= ．‎ ‎【解题思路】直接代入弧长计算公式l=，其中n=60，r=6得l=2πcm。‎ ‎【答案】2πcm。‎ ‎【点评】本例考查弧长的计算，解题的关键是熟记弧长计算公式及对公式中相关量的理解。难度较小。‎ ‎1．（2011湖南省益阳，11，4）如图5，AB是⊙O的切线，半径OA=2，OB交⊙O于C， B＝30°，则劣弧的长是 ．（结果保留）‎ B A O C 图5‎ ‎【解题思路】由切线推出A＝90°，借助B＝30°，得出O＝60°，进而借助弧长公式求解弧长。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考查有关切线的性质及与圆有关计算中的弧长公式的运用，在弧长公式的运用中要求出半径和弧所对的圆心角。‎ ‎1. （2011甘肃兰州，18，4分）已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移‎50m，半圆的直径为‎4m，则圆心O所经过的路线长是 m.（结果用π表示）‎ O O O O l ‎【解题思路】根据弧长的公式先求出半圆形的弧长，即半圆作无滑动翻转所经过的路线长，把它与沿地面平移所经过的路线长相加即为所求．由图形可知，圆心先向前走的长度即圆的周长，然后沿着弧旋转圆的周长，最后向右平移‎50米，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50，由已知得圆的半径为2，则半圆形的弧长L= =2π，∴圆心O所经过的路线长=（2π+50）米．‎ ‎【答案】（2π+50） ．‎ ‎【点评】本题主要考查了弧长公式，同时考查了平移的知识．解题关键是得出半圆形的弧长=半圆作无滑动翻转所经过的路线长．难度中等.‎ ‎2. （2011贵州安顺，13，4分）已知圆锥的母线长力30，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则该圆锥的底面半径为 ．‎ ‎【解题思路】侧面展开后所得扇形的弧长与圆锥的底面周长是相等的，设底面半径为x，，解得x=10‎ ‎【答案】10‎ ‎【点评】本题主要考查圆锥侧面展开图的有关知识，不同的关键在于掌握圆锥侧面展图的弧长与圆锥的底面周长是相等的。难度较小。‎ ‎3. （2011贵州安顺，18，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C 为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是 ．‎ ‎ ‎ ‎【解题思路】根据题意结合图形A、B两个扇形半径相等圆心角之和为90°，S阴影`=S△ABC`－S扇形C`－（S扇形A－S扇形B` ）=‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考查察面积的计算。涉及到三角形、扇形的面积计算，此题的关键在于要灵活应用转化和割补的方法求阴影部分的面积。难度较小。‎ ‎4. （2011福建泉州，17，4分）如图，如果边长为1的正六边形ABCDEF绕着顶点A顺时针旋转60°后与正六边形AGHMNP重合，那么点B的对应点是点 ，点E在整个旋转过程中，所经过的路径长为 （结果保留）.‎ ‎【解题思路】由旋转的性质可知，当一个几何体旋转时，它的对应点与旋转中心的连线所成的角叫旋转角。所以很容易可以知道B点的对应点是G点。而点E在整个旋转过程中所经过的路径长也就是以A为圆心，以AE为半径，旋转60°所得的扇形的弧长。先求AE的长，由弧长公式求得点E在整个旋转过程中，所经过的路径长为 ‎【答案】G，‎ ‎【点评】本题是旋转类的综合题，结合勾股定理的知识求正六边形的对角线的长度，难度为中等。‎ ‎5. (2011江苏镇江，13，2分)已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm，则此扇形的半径是__▲__cm，面积是__▲__cm2(结果保留π)．‎ ‎【解题思路】弧长公式为l＝，扇形的面积公式为S＝．‎ ‎【答案】24，240π ‎【点评】此题考查弧长公式和扇形的面积公式等知识，难度中等．‎ ‎15．（2011内蒙古乌兰察布，15，4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90, AB = ‎8cm , BC = ‎6cm , 分别以A,C为圆心，以 的长为半径作圆, 将 Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为 cm（结果保留π）‎ ‎【解题思路】求不规则图形的面积则转换为规则图形面积的和差，图中阴影部分面积等于△ABC与两扇形面积的差，则为：（π）π ‎【答案】π．‎ ‎【点评】本题主要考查了勾股定理、扇形面积公式及转化和整体思想，学生在求解两扇形的面积和时不宜想到两者和即个圆面积.难度较大.‎ ‎16．（2011四川眉山，16，3分）已知一个圆锥形的零件的母线长为‎3cm，底面半径为‎2cm，‎ 则这个圆锥形的零件的侧面积为 cm2．（用π表示）．‎ ‎【解题思路】先计算出底面圆的周长，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，利用扇形的面积公式进行计算即可．‎ ‎【答案】6π ‎【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长．也考查了扇形的面积公式. 难度较小．‎ ．（2011四川内江市,14,5分）如果圆锥的底面周长是20π ‎，侧面展开图的扇形的圆心角是120°，则圆锥的母线长　　　　. ‎ ‎【思路分析】圆锥的底面周长是20π即侧面展开图的扇形的弧长，侧面展开图的扇形的半径即圆锥母线长.20π=，所以R=30．‎ ‎【答案】30．‎ ‎【点评】抓住等量关系“圆锥底面的圆周长＝圆锥侧面展开图的弧长”是解决圆锥底面半径、母线长、侧面展开图圆心角之间关系的关键．‎ ‎3. （2011广东清远，14，3分）已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为____________.（结果保留）‎ ‎【解题思路】弧长的计算公式（其中，n为圆心角度数，r为半径）‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】此题考查了弧长的计算方法，属于基础题，难度较小。‎ 三、解答题 ‎2. （2011湖北襄阳，23，7分）如图7，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．‎ ‎（1）求∠AOC的度数；‎ ‎（2）若弦BC＝‎6cm，求图中阴影部分的面积．‎ ‎【解题思路】（1）运用垂径定理和圆周角定理易解；（2）欲求图中阴影部分面积，需连接OB，先求扇形OBC和△OBC的面积，再计算它们的差．‎ ‎【答案】（1）∵弦BC垂直于半径OA，∴BE＝CE，＝．‎ 又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝60°．‎ ‎(2) ∵BC＝6，∴CE＝BC＝3．在Rt△OCE中，OC＝＝．‎ ‎∴OE＝＝＝．‎ 连接OB，∵＝，∴∠BOC＝2∠AOC＝120°．‎ ‎∴S阴影＝S扇形ABC－S△OBC＝××()2－×6×＝4－3．‎ ‎【点评】本题主要考查圆的基本性质及扇形面积的求法，并糅进解直角三角形知识，体现了在知识的交汇点处命题的思想，始终关注核心知识、技能的考查．求阴影面积类问题也是各地中考热点题型，往往采用整体减部分得部分的思想转化为规则图形求解．难度中等．‎ ‎1. （2011年怀化23，10分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF.‎ (1) 求证：OF∥BC；‎ (2) 求证：△AFO≌△CEB；‎ (3) 若EB=‎5cm，CD=cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积.‎ ‎【解题思路】(1)利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°=∠AFO，从而可证明OF∥BC；‎ ‎（2）证明三角形全等找边与角的条件，由（1）和已知可以发现∠CBE=∠CAB ，∠AFO=∠BEC，BE=OF，从而可证明结论.‎ ‎（3）利用垂径定理和勾股定理可得ＯＣ２＝ＯＥ２＋ＥＣ２，先求出ｘ＝５，圆的半径等于10，在利用扇形面积减去直角三角形的求面积求阴影部分面积.‎ ‎【答案】‎ 解：（1）∵AB为⊙O的直径 ‎∴∠ACB=90°‎ 又∵OF⊥AC于F，∴∠AFO=90°，‎ ‎∴∠ACB=∠AFO ‎∴OF∥BC ‎（2）由（1）知，∠CAB+∠ABC=90°‎ 由已知AB⊥CD于E可得 ∠BEC=90°，∠CBE+∠ABC=90°‎ ‎∴∠CBE=∠CAB ‎ 又∠AFO=∠BEC，BE=OF ‎∴△AFO≌△CEB ‎ （3）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E ‎ ∴∠OEC=90°，ＣＥ＝ＣＤ＝‎ 在Ｒｔ△ＯＣＥ中，设OE=x，ＯＢ＝５＋ｘ＝ＯＣ 由勾股定理得：ＯＣ２＝ＯＥ２＋ＥＣ２‎ ‎∴（５＋ｘ）２＝　　解得ｘ＝５．‎ 在Ｒｔ△ＯＣＥ中 ｔａｎ∠ＣＯＥ＝‎ ‎∵∠ＣＯＥ为锐角 ‎∴∠OEC=６0°‎ 由圆的轴对称性可知阴影部分的面积为：‎ ‎【点评】本题是有关圆的综合性题目，其中涉及圆的圆周角定理的推论、垂径定理、勾股定理、扇形面积的求法等多种知识，是个不错的几何证明题，难度适中.‎