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- 2021-05-10 发布
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江苏省无锡市 2015 年中考数学试卷
一、选择题
1.(2分)(2015•无锡)﹣3的倒数是( )
A.3 B.±3 C. D.﹣
考点:倒数..
分析:根据倒数的定义:若两个数的乘积是 1,我们就称这两个数互为倒数.
解答:解:﹣3的倒数是 ,
故选 D
点评:本题主要考查了倒数的定义:若两个数的乘积是 1,我们就称这两个数互为倒数.
2.(2分)(2015•无锡)函数 y= 中自变量 x的取值范围是( )
A.x>4 B.x≥4 C.x≤4 D.x≠4
考点:函数自变量的取值范围..
分析:因为当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数,所以 x﹣4≥0,可求 x的范围.
解答:解:x﹣4≥0
解得 x≥4,
故选:B.
点评:此题主要考查函数自变量的取值范围,解决本题的关键是当函数表达式是二次根式
时,被开方数为非负数.
3.(2分)(2015•无锡)今年江苏省参加高考的人数约为 393000人,这个数据用科学记数
法可表示为( )
A.393×103 B.3.93×103 C.3.93×105 D.3.93×106
考点:科学记数法—表示较大的数..
分析:科学记数法的表示形式为 a×10n的形式,其中 1≤|a|<10,n为整数.确定 n的值时,
要看把原数变成 a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当
原数绝对值大于 10时,n是正数;当原数的绝对值小于 1时,n是负数.
解答:解:393000=3.93×105,
故选 C.
点评:把一个数 M记成 a×10n(1≤|a|<10,n为整数)的形式,这种记数的方法叫做科学记
数法.规律:
(1)当|a|≥1时,n的值为 a的整数位数减 1;
(2)当|a|<1时,n的值是第一个不是 0的数字前 0的个数,包括整数位上的 0.
4.(2分)(2015•无锡)方程 2x﹣1=3x+2的解为( )
A.x=1 B.x=﹣1 C.x=3 D.x=﹣3
考点:解一元一次方程..
分析:方程移项合并,把 x系数化为 1,即可求出解.
解答:解:方程 2x﹣1=3x+2,
移项得:2x﹣3x=2+1,
合并得:﹣x=3.
解得:x=﹣3,
故选 D.
点评:此题考查了解一元一次方程,其步骤为:去分母,去括号,移项合并,把未知数系数
化为 1,求出解.
5.(2分)(2015•无锡)若点 A(3,﹣4)、B(﹣2,m)在同一个反比例函数的图象上,则
m的值为( )
A.6 B.﹣6 C.12 D.﹣12
考点:反比例函数图象上点的坐标特征..
分析:反比例函数的解析式为 y= ,把 A(3,﹣4)代入求出 k=﹣12,得出解析式,把 B的
坐标代入解析式即可.
解答:解:设反比例函数的解析式为 y= ,
把 A(3,﹣4)代入得:k=﹣12,
即 y=﹣ ,
把 B(﹣2,m)代入得:m=﹣ =6,
故选 A.
点评:本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征的应用,解此题的关键是求出反比例函数
的解析式,难度适中.
6.(2分)(2015•无锡)下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A.等边三角形 B.平行四边形 C.矩形 D.圆
考点:中心对称图形;轴对称图形..
分析:根据轴对称图形和中心对称图形的概念以及等边三角形、平行四边形、矩形、圆的性
质解答.
解答:解:A、只是轴对称图形,不是中心对称图形,符合题意;
B、只是中心对称图形,不合题意;
C、D既是轴对称图形又是中心对称图形,不合题意.
故选 A.
点评:掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念:
轴对称图形的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对
称中心,旋转 180度后重合.
7.(2分)(2015•无锡)tan45°的值为( )
A. B.1 C. D.
考点:特殊角的三角函数值..
分析:根据 45°角这个特殊角的三角函数值,可得 tan45°=1,据此解答即可.
解答:解:tan45°=1,
即 tan45°的值为 1.
故选:B.
点评:此题主要考查了特殊角的三角函数值,要熟练掌握,解答此类问题的关键是牢记 30°、
45°、60°角的各种三角函数值.
8.(2分)(2015•无锡)八边形的内角和为( )
A.180° B.360° C.1080° D.1440°
考点:多边形内角与外角..
分析:根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°进行计算即可得解.
解答:解:(8﹣2)•180°=6×180°=1080°.
故选:C.
点评:本题考查了多边形的内角和,熟记内角和公式是解题的关键.
9.(2分)(2015•无锡)如图的正方体盒子的外表面上画有 3条粗黑线,将这个正方体盒子
的表面展开(外表面朝上),展开图可能是( )
A. B. C. D.
考点:几何体的展开图..
分析:根据正方体的表面展开图进行分析解答即可.
解答:解:根据正方体的表面展开图,两条黑线在一列,故 A错误,且两条相邻成直角,故
B错误,中间相隔一个正方形,故 C错误,只有 D选项符合条件,
故选 D
点评:本题主要考查了几何体的展开图,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解
答问题.
10.(2分)(2015•无锡)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将边 AC沿 CE
翻折,使点 A落在 AB上的点 D处;再将边 BC沿 CF翻折,使点 B落在 CD的延长线上的
点 B′处,两条折痕与斜边 AB分别交于点 E、F,则线段 B′F的长为( )
A. B. C. D.
考点:翻折变换(折叠问题)..
分析:首先根据折叠可得 CD=AC=3,B′C=BC=4,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B′CF,CE⊥AB,
然后求得△ECF是等腰直角三角形,进而求得∠B′FD=90°,CE=EF= ,ED=AE ,
从而求得 B′D=1,DF= ,在 Rt△B′DF中,由勾股定理即可求得 B′F的长.
解答:解:根据折叠的性质可知 CD=AC=3,B′C=BC=4,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B′CF,
CE⊥AB,
∴B′D=4﹣3=1,∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF,
∵∠ACB=90°,
∴∠ECF=45°,
∴△ECF是等腰直角三角形,
∴EF=CE,∠EFC=45°,
∴∠BFC=∠B′FC=135°,
∴∠B′FD=90°,
∵S△ABC= AC•BC= AB•CE,
∴AC•BC=AB•CE,
∵根据勾股定理求得 AB=5,
∴CE= ,
∴EF= ,ED=AE= = ,
∴DF=EF﹣ED= ,
∴B′F= = .
故选 B.
点评:此题主要考查了翻折变换,等腰三角形的判定和性质,勾股定理的应用等,根据折叠
的性质求得相等的相等相等的角是本题的关键.
二、填空题
11.(2分)(2015•无锡)分解因式:8﹣2x2= 2(2+x)(2﹣x) .
考点:提公因式法与公式法的综合运用..
分析:先提取公因式,再根据平方差公式进行分解即可.
解答:解:原式=2(4﹣x2)=2(2+x) (2﹣x).
故答案为:2(2+x) (2﹣x).
点评:本题考查的是提取公因式法与公式法的综合运用,熟记平方差公式是解答此题的关
键.
12.(2分)(2015•无锡)化简 得 .
考点:约分..
分析:首先分别把分式的分母、分子因式分解,然后约去分式的分子与分母的公因式即可.
解答:
解:
=
=
故答案为: .
点评:此题主要考查了约分问题,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①分式约分的结
果可能是最简分式,也可能是整式.②当分子与分母含有负号时,一般把负号提到分
式本身的前面.③约分时,分子与分母都必须是乘积式,如果是多项式的,必须先分
解因式.
13.(2分)(2015•无锡)一次函数 y=2x﹣6的图象与 x轴的交点坐标为 (3,0) .
考点:一次函数图象上点的坐标特征..
分析:一次函数 y=2x﹣6的图象与 x轴的交点的纵坐标等于零,所以把 y=0代入已知函数解
析式即可求得相应的 x的值.
解答:解:令 y=0得:2x﹣6=0,解得:x=3.
则函数与 x轴的交点坐标是(3,0).
故答案是:(3,0).
点评:本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,经过函数的某点一定在函数的图象上.
14.(2分)(2015•无锡)如图,已知矩形 ABCD的对角线长为 8cm,E、F、G、H分别是
AB、BC、CD、DA的中点,则四边形 EFGH的周长等于 16 cm.
考点:中点四边形..
分析:连接 AC、BD,根据三角形的中位线求出 HG、GF、EF、EH的长,再求出四边形 EFGH
的周长即可.
解答:解:如图,连接 C、BD,
∵四边形 ABCD是矩形,
∴AC=BD=8cm,
∵E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点,
∴HG=EF= AC=4cm,EH=FG= BD=4cm,
∴四边形 EFGH的周长等于 4cm+4cm+4cm+4cm=16cm,
故答案为:16.
点评:本题考查了矩形的性质,三角形的中位线的应用,能求出四边形的各个边的长是解此
题的关键,注意:矩形的对角线相等,三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三
边的一半.
15.(2分)(2015•无锡)命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 假 命题.(填入“真”
或“假”)
考点:命题与定理..
分析:把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.
分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,如果能就是真命题.
解答:解:“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”,根据全
等三角形的定义,不符合要求,因此是假命题.
点评:本题考查了互逆命题的知识,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结
论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其
中一个命题称为另一个命题的逆命题.
16.(2分)(2015•无锡)某种蔬菜按品质分成三个等级销售,销售情况如表:
等级 单价(元/千克) 销售量(千克)
一等 5.0 20
二等 4.5 40
三等 4.0 40
则售出蔬菜的平均单价为 4.4 元/千克.
考点:加权平均数..
分析:利用售出蔬菜的总价÷售出蔬菜的总数量=售出蔬菜的平均单价,列式解答即可.
解答:解:(5×20+4.5×40+4×40)÷(20+40+40)
=(100+180+160)÷100
=440÷100
=4.4(元/千克)
答:售出蔬菜的平均单价为 4.4元/千克.
故答案为:4.4.
点评:此题考查加权平均数的求法,利用总数÷总份数=平均数列式解决问题.
17.(2分)(2015•无锡)已知:如图,AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线,AD⊥BE,
AD=BE=6,则 AC的长等于 .
考点:三角形中位线定理;勾股定理..
专题:计算题.
分析:延长AD至F,使DF=AD,过点 F作平行BE与AC延长线交于点G,过点C作CH∥BE,
交 AF于点 H,连接 BF,如图所示,在直角三角形 AGF中,利用勾股定理求出 AG
的长,利用 SAS证得△BDF≌△CDA,利用全等三角形对应角相等得到
∠ACD=∠BFD,证得 AG∥BF,从而证得四边形 EBFG是平行四边形,得到 FG=BE=6,
利用 AAS得到三角形 BOD与三角形 CHD全等,利用全等三角形对应边相等得到
OD=DH=3,得出 AH=9,然后根据△AHC∽△AFG,对应边成比例即可求得 AC.
解答:解:延长 AD至 F,使 DF=AD,过点 F作 FG∥BE与 AC延长线交于点 G,过点 C
作 CH∥BE,交 AF于点 H,连接 BF,如图所示,
在 Rt△AFG中,AF=2AD=12,FG=BE=6,
根据勾股定理得:AG= =6 ,
在△BDF和△CDA中,
∴△BDF≌△CDA(SAS),
∴∠ACD=∠BFD,
∴AG∥BF,
∴四边形 EBFG是平行四边形,
∴FG=BE=6,
在△BOD和△CHD中,
,
∴△BOD≌△CHD(AAS),
∴OD=DH=3,
∵CH∥FG,
∴△AHC∽△AFG,
∴ = ,即 = ,
解得:AC= ,
故答案为:
点评:本题考查了三角形全等的判定和性质,三角形相似的判定和性质,平行四边形的判定
和性质以及勾股定理的应用,作出辅助线构建直角三角形和平行四边形是解题的关
键.
18.(2分)(2015•无锡)某商场在“五一”期间举行促销活动,根据顾客按商品标价一次性购
物总额,规定相应的优惠方法:①如果不超过 500元,则不予优惠;②如果超过 500元,但
不超过 800元,则按购物总额给予 8折优惠;③如果超过 800元,则其中 800元给予 8折优
惠,超过 800元的部分给予 6折优惠.促销期间,小红和她母亲分别看中一件商品,若各自
单独付款,则应分别付款 480元和 520元;若合并付款,则她们总共只需付款 838或 910
元.
考点:分段函数..
分析:根据题意知付款 480元时,其实际标价为为 480或 600元,付款 520元,实际标价为
650元,求出一次购买标价 1130元或 1250元的商品应付款即可.
解答:解:由题意知付款 480元,实际标价为 480或 480× =600元,
付款 520元,实际标价为 520× =650元,
如果一次购买标价 480+650=1130元的商品应付款
800×0.8+(1130﹣800)×0.6=838元.
如果一次购买标价 600+650=1250元的商品应付款
800×0.8+(1250﹣800)×0.6=910元.
故答案为:838或 910.
点评:本小题主要考查函数模型的选择与应用,考查函数的思想.属于基础题.
三、解答题
19.(8分)(2015•无锡)计算:
(1)(﹣5)0﹣( )2+|﹣3|;
(2)(x+1)2﹣2(x﹣2).
考点:整式的混合运算;实数的运算;零指数幂..
分析:(1)先算 0指数幂、平方和绝对值,再算加减;
(2)利用完全平方公式计算,再合并得出答案即可.
解答:解:(1)原式=1﹣3+3=1.
(2)原式=x2+2x+1﹣2x+4=x2+5.
点评:此题考查整式的混合运算,掌握运算的顺序与计算的方法是解决问题的关键.
20.(8分)(2015•无锡)(1)解不等式:2(x﹣3)﹣2≤0
(2)解方程组: .
考点:解一元一次不等式;解二元一次方程组..
分析:(1)先去括号,再移项、合并同类项,不等式两边同乘以 ,即可得出不等式的解集;
(2)先把②整理,再由减法消去 x求出 y,然后代入①求出 x即可,
解答:解:(1)去括号,得:2x﹣6﹣2≤0,
移项,得:2x≤6+2,
合并同类项,得:2x≤8,
两边同乘以 ,得:x≤4;
∴原不等式的解集为:x≤4.
(2)由②得:2x﹣2y=1③,
①﹣②得:y=4,
把 y=4代入①得:x= ,
∴原方程组的解为:
点评:本题考查了不等式的解法、二元一次方程组的解法;熟练掌握不等式的解法和用加减
法解方程组是解决问题的关键,
21.(8分)(2015•无锡)已知:如图,AB∥CD,E是 AB的中点,CE=DE.求证:
(1)∠AEC=∠BED;
(2)AC=BD.
考点:全等三角形的判定与性质..
专题:证明题.
分析:(1)根据 CE=DE得出∠ECD=∠EDC,再利用平行线的性质进行证明即可;
(2)根据 SAS证明△AEC与△BED全等,再利用全等三角形的性质证明即可.
解答:证明:(1)∵AB∥CD,
∴∠AEC=∠ECD,∠BED=∠EDC,
∵CE=DE,
∴∠ECD=∠EDC,
∴∠AEC=∠BED;
(2)∵E是 AB的中点,
∴AE=BE,
在△AEC和△BED中,
,
∴△AEC≌△BED(SAS),
∴AC=BD.
点评:本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质,关键是根据 SAS证明全
等.
22.(8分)(2015•无锡)已知:如图,AB为⊙O的直径,点 C、D在⊙O上,且 BC=6cm,
AC=8cm,∠ABD=45°.(1)求 BD的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
考点:圆周角定理;勾股定理;扇形面积的计算..
分析:(1)由 AB为⊙O的直径,得到∠ACB=90°,由勾股定理求得 AB,OB=5cm.连 OD,
得到等腰直角三角形,根据勾股定理即可得到结论;
(2)根据 S 阴影=S 扇形﹣S△OBD即可得到结论.
解答:解:(1)∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵BC=6cm,AC=8cm,
∴AB=10cm.
∴OB=5cm.
连 OD,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠ABD=45°.
∴∠BOD=90°.
∴BD= =5 cm.
(2)S 阴影=S 扇形﹣S△OBD= π•52﹣ ×5×5= cm2.
点评:本题考查了圆周角定理,勾股定理,等腰直角三角形的性质,扇形的面积,三角形的
面积,连接 OD构造直角三角形是解题的关键.
23.(6分)(2015•无锡)某区教研部门对本区初二年级的学生进行了一次随机抽样问卷调
查,其中有这样一个问题:
老师在课堂上放手让学生提问和表达 E
A.从不 B.很少 C.有时 D.常常 E.总是
答题的学生在这五个选项中只能选择一项.如图是根据学生对该问题的答卷情况绘制的两幅
不完整的统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)该区共有 3200 名初二年级的学生参加了本次问卷调查;
(2)请把这幅条形统计图补充完整;
(3)在扇形统计图中,“总是”所占的百分比为 42% .
考点:条形统计图;扇形统计图..
分析:(1)结合两个统计图中的“从不”的人数与所占百分比即可求出初二年级的学生参加
数量;
(2)用总人数分别减去“从不”、“很少”、“常常”、“总是”的人数,计算出“有时”的人
数即可将条形统计图补充完整;
(3)利用公式“总是”所占的百分比= %计算即可.
解答:解:(1)96÷3%=3200,
故答案为:3200;
(2)“有时”的人数=3200﹣96﹣320﹣736﹣1344=704;
如图所示:
(3)“总是”所占的百分比= %= 100%=42%,
故答案为:42%.
点评:本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
24.(8分)(2015•无锡)(1)甲、乙、丙、丁四人做传球游戏:第一次由甲将球随机传给
乙、丙、丁中的某一人,从第二次起,每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一
人.求第二次传球后球回到甲手里的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程)
(2)如果甲跟另外 n(n≥2)个人做(1)中同样的游戏,那么,第三次传球后球回到甲手
里的概率是 (请直接写出结果).
考点:列表法与树状图法..
分析:(1)根据画树状图,可得总结果与传到甲手里的情况,根据传到甲手里的情况比上
总结过,可得答案;
(2)根据第一步传的结果是 n,第二步传的结果是 n2,第三步传的结果是总结过是
n3,传给甲的结果是 n(n﹣1),根据概率的意义,可得答案.
解答:解:(1)画树状图:
共有 9种等可能的结果,其中符合要求的结果有 3种,
∴P(第 2次传球后球回到甲手里)= = .
(2)第三步传的结果是总结过是 n3,传给甲的结果是 n(n﹣1),
第三次传球后球回到甲手里的概率是 = ,
故答案为: .
点评:本题考查了树状图法计算概率,计算概率的方法有树状图法与列表法,画树状图是解
题关键.
25.(8分)(2015•无锡)某工厂以 80元/箱的价格购进 60箱原材料,准备由甲、乙两车间
全部用于生产 A产品.甲车间用每箱原材料可生产出 A产品 12千克,需耗水 4吨;乙车间
通过节能改造,用每箱原材料可生产出的 A产品比甲车间少 2千克,但耗水量是甲车间的
一半.已知 A产品售价为 30元/千克,水价为 5元/吨.如果要求这两车间生产这批产品的
总耗水量不得超过 200吨,那么该厂如何分配两车间的生产任务,才能使这次生产所能获取
的利润 w最大?最大利润是多少?(注:利润=产品总售价﹣购买原材料成本﹣水费)
考点:一次函数的应用;一元一次不等式的应用..
分析:设甲车间用 x箱原材料生产 A产品,则乙车间用(60﹣x)箱原材料生产 A产品,根
据题意列出不等式,确定 x的取值范围,列出 w=30[12x+10(60﹣x)]﹣80×60﹣5[4x+2
(60﹣x)]=50x+12 600,利用一次函数的性质,即可解答.
解答:解:设甲车间用 x箱原材料生产 A产品,则乙车间用(60﹣x)箱原材料生产 A产品.
由题意得 4x+2(60﹣x)≤200,解得 x≤40.
w=30[12x+10(60﹣x)]﹣80×60﹣5[4x+2(60﹣x)]=50x+12 600,
∵50>0,
∴w随 x的增大而增大.
∴当 x=40时,w取得最大值,为 14 600元.
答:甲车间用 40箱原材料生产 A产品,乙车间用 20箱原材料生产 A产品,可使工厂
所获利润最大,最大利润为 14 600元.
点评:本题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是根据题意列出关系式,利用一次函数
的性质解决问题.
26.(10分)(2015•无锡)已知:平面直角坐标系中,四边形 OABC的顶点分别为 O(0,0)、
A(5,0)、B(m,2)、C(m﹣5,2).
(1)问:是否存在这样的 m,使得在边 BC上总存在点 P,使∠OPA=90°?若存在,求出 m
的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)当∠AOC与∠OAB的平分线的交点 Q在边 BC上时,求 m的值.
考点:圆的综合题..
专题:综合题.
分析:(1)由四边形四个点的坐标易得 OA=BC=5,BC∥OA,以 OA为直径作⊙D,与直线
BC分别交于点 E、F,根据圆周角定理得∠OEA=∠OFA=90°,如图 1,作 DG⊥EF于
G,连 DE,则 DE=OD=2.5,DG=2,根据垂径定理得 EG=GF,接着利用勾股定理可
计算出 EG=1.5,于是得到 E(1,2),F(4,2),即点 P在 E点和 F点时,满足条件,
此时 ,即 1≤m≤9时,边 BC上总存在这样的点 P,使∠OPA=90°;
(2)如图 2,先判断四边形 OABC是平行四边形,再利用平行线的性质和角平分线
定义可得到∠AQO=90°,以 OA为直径作⊙D,与直线 BC分别交于点 E、F,则
∠OEA=∠OFA=90°,于是得到点 Q只能是点 E或点 F,当 Q在 F点时,证明 F是
BC的中点.而 F点为 (4,2),得到 m的值为 6.5;当 Q在 E点时,同理可求得 m
的值为 3.5.
解答:解:(1)存在.
∵O(0,0)、A(5,0)、B(m,2)、C(m﹣5,2).
∴OA=BC=5,BC∥OA,
以 OA为直径作⊙D,与直线 BC分别交于点 E、F,则∠OEA=∠OFA=90°,如图 1,
作 DG⊥EF于 G,连 DE,则 DE=OD=2.5,DG=2,EG=GF,
∴EG= =1.5,
∴E(1,2),F(4,2),
∴当 ,即 1≤m≤9时,边 BC上总存在这样的点 P,使∠OPA=90°;
(2)如图 2,
∵BC=OA=5,BC∥OA,
∴四边形 OABC是平行四边形,
∴OC∥AB,
∴∠AOC+∠OAB=180°,
∵OQ平分∠AOC,AQ平分∠OAB,
∴∠AOQ= ∠AOC,∠OAQ= ∠OAB,
∴∠AOQ+∠OAQ=90°,
∴∠AQO=90°,
以 OA为直径作⊙D,与直线 BC分别交于点 E、F,则∠OEA=∠OFA=90°,
∴点 Q只能是点 E或点 F,
当 Q在 F点时,∵OF、AF分别是∠AOC与∠OAB的平分线,BC∥OA,
∴∠CFO=∠FOA=∠FOC,∠BFA=∠FAO=∠FAB,
∴CF=OC,BF=AB,
而 OC=AB,
∴CF=BF,即 F是 BC的中点.
而 F点为 (4,2),
∴此时 m的值为 6.5,
当 Q在 E点时,同理可求得此时 m的值为 3.5,
综上所述,m的值为 3.5或 6.5.
点评:本题考查了圆的综合题:熟练掌握垂径定理、圆周角定理和平行四边形的判定与性质;
理解坐标与图形性质;会利用勾股定理计算线段的长.
27.(10分)(2015•无锡)一次函数 y= x的图象如图所示,它与二次函数 y=ax2﹣4ax+c的
图象交于 A、B两点(其中点 A在点 B的左侧),与这个二次函数图象的对称轴交于点 C.
(1)求点 C的坐标;
(2)设二次函数图象的顶点为 D.
①若点 D与点 C关于 x轴对称,且△ACD的面积等于 3,求此二次函数的关系式;
②若 CD=AC,且△ACD的面积等于 10,求此二次函数的关系式.
考点:二次函数综合题..
分析:(1)先求出对称轴为 x=2,然后求出与一次函数 y= x的交点,即点 C的坐标;
(2)①先求出点 D的坐标,设 A坐标为(m, m),然后根据面积为 3,求出 m的
值,得出点 A的坐标,最后根据待定系数法求出 a、c的值,即可求出解析式;
②过点 A作 AE⊥CD于 E,设 A坐标为(m, m),由 S△ACD=10,求出 m的值,然后
求出点 A坐标以及 CD的长度,然后分两种情况:当 a>0,当 a<0时,分别求出点
D的坐标,代入求出二次函数的解析式.
解答:解:(1)∵y=ax2﹣4ax+c=a(x﹣2)2﹣4a+c,
∴二次函数图象的对称轴为直线 x=2,
当 x=2时,y= x= ,
故点 C(2, );
(2)①∵点 D与点 C关于 x轴对称,
∴D(2,﹣ ,),
∴CD=3,
设 A(m, m)(m<2),
由 S△ACD=3得: ×3×(2﹣m)=3,
解得 m=0,
∴A(0,0).
由 A(0,0)、D(2,﹣ )得:
,
解得:a= ,c=0.
∴y= x2﹣ x;
②设 A(m, m)(m<2),
过点 A作 AE⊥CD于 E,则 AE=2﹣m,CE= ﹣ m,
AC= = = (2﹣m),
∵CD=AC,
∴CD= (2﹣m),
由 S△ACD=10得 × (2﹣m)2=10,
解得:m=﹣2或 m=6(舍去),
∴m=﹣2,
∴A(﹣2,﹣ ),CD=5,
当 a>0时,则点 D在点 C下方,
∴D(2,﹣ ),
由 A(﹣2,﹣ )、D(2,﹣ )得:
,
解得: ,
∴y= x2﹣ x﹣3;
当 a<0时,则点 D在点 C上方,
∴D(2, ),
由 A(﹣2,﹣ )、D(2, )得: ,
解得 ,
∴y=﹣ x2+2x+ .
点评:本题考查了二次根式的综合题,涉及了二次函数与一次函数的交点问题,三角形的面
积公式,以及待定系数法求函数解析式等知识点,综合性较强,难度较大.
28.(10分)(2015•无锡)如图,C为∠AOB的边 OA上一点,OC=6,N为边 OB上异于点
O的一动点,P是线段 CN上一点,过点 P分别作 PQ∥OA交 OB于点 Q,PM∥OB交 OA
于点 M.
(1)若∠AOB=60°,OM=4,OQ=1,求证:CN⊥OB.
(2)当点 N在边 OB上运动时,四边形 OMPQ始终保持为菱形.
①问: ﹣ 的值是否发生变化?如果变化,求出其取值范围;如果不变,请说明理由.
②设菱形 OMPQ的面积为 S1,△NOC的面积为 S2,求 的取值范围.
考点:相似形综合题..
专题:综合题.
分析:(1)过 P作 PE⊥OA于 E,利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到 OMPQ为
平行四边形,利用平行四边形的对边相等,对角相等得到 PM=OQ=1,
∠PME=∠AOB=60°,进而求出 PE与 ME的长,得到 CE的长,求出 tan∠PCE的值,
利用特殊角的三角函数值求出∠PCE的度数,得到 PM于 NC垂直,而 PM与 ON平
行,即可得到 CN与 OB垂直;
(2) ﹣ 的值不发生变化,理由如下:设 OM=x,ON=y,根据 OMPQ为菱形,
得到 PM=PQ=OQ=x,QN=y﹣x,根据平行得到三角形 NQP与三角形 NOC相似,由
相似得比例即可确定出所求式子的值;
②过 P作 PE⊥OA于 E,过 N作 NF⊥OA于 F,表示出菱形 OMPQ的面积为 S1,△NOC
的面积为 S2,得到 ,由 PM与 OB平行,得到三角形 CPM与三角形 CNO相似,
由相似得比例求出所求式子 的范围即可.
解答:解:(1)过 P作 PE⊥OA于 E,
∵PQ∥OA,PM∥OB,
∴四边形 OMPQ为平行四边形,
∴PM=OQ=1,∠PME=∠AOB=60°,
∴PE=PM•sin60°= ,ME= ,
∴CE=OC﹣OM﹣ME= ,
∴tan∠PCE= = ,
∴∠PCE=30°,
∴∠CPM=90°,
又∵PM∥OB,
∴∠CNO=∠CPM=90°,
则 CN⊥OB;
(2)① ﹣ 的值不发生变化,理由如下:
设 OM=x,ON=y,
∵四边形 OMPQ为菱形,
∴OQ=QP=OM=x,NQ=y﹣x,
∵PQ∥OA,
∴∠NQP=∠O,
又∵∠QNP=∠ONC,
∴△NQP∽△NOC,
∴ = ,即 = ,
∴6y﹣6x=xy.两边都除以 6xy,得 ﹣ = ,即 ﹣ = .
②过 P作 PE⊥OA于 E,过 N作 NF⊥OA于 F,
则 S1=OM•PE,S2= OC•NF,
∴ = .
∵PM∥OB,
∴∠MCP=∠O,
又∵∠PCM=∠NCO,
∴△CPM∽△CNO,
∴ = = ,
∴ = =﹣ (x﹣3)2+ ,
∵0<x<6,
则根据二次函数的图象可知,0< ≤ .
点评:此题属于相似形综合题,涉及的知识有:相似三角形的判定与性质,二次函数的性质,
平行四边形的判定与性质,以及菱形的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解
本题的关键.