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- 2021-05-10 发布
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猜想、规律与探索
1.一个纸环链,纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列,截去其中的一部分,剩下部分如图所
示,则被截去部分纸环的个数可能是( ▲ )
(A)2010 (B)2011 (C)2012 (D)2013
【解题思路】根据纸环的颜色顺序可知每 5 个一循环,截去的部分连同前两个正好 是 5
的整数倍减去截去部分的前两个,据此可以估计截去不掉的纸环个数。
【答案】D
【点评】本题考查了规律性问题,解题的关键 是从纸环的颜色顺序中找到规律,并利用
此规律估计截去的部分的纸环的个数。难度中等。
2.如图,下面是按照一定规律画出的一行“树形图”,经观察可以发现:图 A 比图 A 多出 2
个”树枝”, 图 A 比图 A2 多出 4 个”树枝”, 图 A4 比图 A 多出 8 个”树枝”……
照 此 规 律 , 则 图 A6 比 图 A2 多 出 ” 树 枝 ” ( )
A.28 个 B.56 个 C.60 个 D.124 个
【 解 题 思 路 】 依 次 求 出 每 个 图 形 中 的 “ 树 枝 ” 数 ,
1,1+2,1+2+4,1+2+4+8,1+2+4+8+16,1+2+4+8+16+32,然后再求出差。
答案 C
【点评】本题使用归纳法来解题的,归纳法是初中数学常见的方法。本题难度较大。
3.如图,△ABC 是边长为 1 的等边三角形,取 BC 边中点 E,作 ED//AB,EF//AC,得四
边形 EDAF,它的面积记作 ,取 BE 中点 E1,,作 E1D1//FB, 得到四边形
,它的面积记作 ,照此规律下去,则 = .
【解题思路】边长为 1 的正三角形面为 ,则 = S△ABC= · = , = S△
2 1
3 3
1S 1 1 //E F EF
1 1 1E D FF 2S 2011S
A B
D
C
E
F 1F
1E
3
4 1S 1
2
1
2
3
4
3
8 2S 1
2
(第 9 题)
… …
红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫
EFB= · S△ABC= · ,…, = · .
【答案】 · 或 ·
【点评】本题为规律探索题,主要考查观察、类比、归纳的能力。解题思路:从特殊情形入
手——探索发现规律——猜想结论——验证.难度较大.
4、如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案,图案(1)需要 4 根小棒,图案(2)
需要 10 根小棒……,按此规律摆下去,第 n 个图案需要小棒
根(用含有 n 的代数式表示)。
【解 题思路】由图形可知每个后面的图形都比前一个图形多 6 各小棒,图案(1)有 4 个,
图案(2)有 4+6,图案(3)有 4+6×2……,图案(3)有 4+6(n﹣1)=6n﹣2
【答案】6n﹣2
【点评】本题主要考察观察图形探索规律,此题的关键在于认真观察图形从中寻找规律,然
后用代数式表示出来。难度较小。
5.如图 9,给正五边形的顶点依次编号为 1,2,3,4,5.若从某一顶点开始,沿正
五边形的边顺时针行走,顶点编号的数字是几,就走几个边长,则称这种走法为一
次“移位”.
如:小宇在编号为 3 的顶点时,那么他应走 3 个边长,即从 3→4→5→1 为第一次
“移位”,这时他到达编号为 1 的顶点;然后从 1→2 为第二次“移位”.
若小宇从编号为 2 的顶点开始,第 10 次“移位”后,则他所处顶点的编号是
____________.
【分析与解】根据示例,从 2 开始移位,不难发现 4 次移位之后,又回到出发点,即
确定第 10 次移位后的位置即确定第二次移位后的位置即可,第一次移位到达 4,第二次移
位到达 3,故 10 次“移位”后,则他所处顶点的编号是 3.
【点评】本题属于中等题,为循环规律题,弄清题意,确定几次循环即可解题.
6.)若 , , ,… ;则 的值为 .(用含
的代数式表示)
【 解 题 思 路 】 把 化 简 后 可 得 规 律
【答案】
【点评】本题考查分式的化简计算及规律的寻找,难度中等.
7.如图,用围棋子按下面的规律摆图形,则摆第 n 个图形需要围棋子的枚数为( ).
1
2
1
4
3
8
1
4 2011S 3
8
20101( )4
3
8
20101( )4
40231( )2 3
1
11a m
= − 2
1
11a a
= − 3
2
11a a
= − 2011a m
2 3 4 5a a a a、 、 、
1 2 3 4 5 6
1 1 1 11 11 1a a a m a a a mm m m m
= − = − = = − = − =− − 、 、 、 、 、
11 m
−
1
2
34
5
图 9
A. B. C. D.
【解题思路】由图形可知,第一个用围棋子的枚数为 ;第二个用围棋子的枚数为
;第三个用围棋子的枚数为 ,所以根据规律,可知第 n 个图形
需要围棋子的枚数为 。
【答案】C
【点评】本题属于规律探索题,解决的关键是根据图形变化的痕迹找到规律,从而用含有
的代数式表示出来。
8 如图,观察每一个图中黑色正六边形的排列规律,则第 10 个图中黑色正六边形有
个。
【解题思路】数一下每个图的黑色正六边形的个数:第一个图 1 个;第二个图 4 个;第三
个图 9 个,1=12、4=22、9=32 猜想:第 10 个图中黑色正六边形有 102=100 个
【答案】100
【点评】此题属于探索规律型题目,解题关键是
抓住图形序数与黑色正六边形的个数之间的规
律,如此题的是序数的平方。难度中等。
9.观察上面的图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第_____个图形共有 120 个
★.
【解题思路】第 1 个图形有 1 个★,第 2 个图形有 3 个★,且 3=1+2= ,第 3
个 图 形 有 6 个 ★ , 且 6 = 1+2+3= , 第 4 个 图 形 有 10 个 ★ , 且 10 =
1+2+3+4= .则第 n 个图形有 120 个★,则第 n 个图形中★的个数是 1+2+3+…+n=
,即 =120,整理,得 n2+n-240=0.解方程,得 n1=15,n2=-16(不合
舍去).所以,第 15 个图形有 120 个★.
【答案】15
【点评】根据简单图形★的个数,找出图形★的个数与图形序号之间的关系,然后用代
n5 15 −n 16 −n 12 2 +n
5
16511 ×+= 26517 ×+=
16165 −=−+ nn )(
n
2(2+1)
2
3(3+1)
2
4(4+1)
2
( +1)
2
n n ( +1)
2
n n
数式表示.
10.如图 4 所示,直线 OP 经过点 P(4, ),过 x 轴上的点 l、3、5、7、9、11……分别
作 x 轴的垂线,与直线 OP 相交得到一组梯形,其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为
S1、S2、S3……Sn 则 Sn 关于 n 的函数关系式是____
【解题思路】先求出直线 op 解析式为:y= 经观察可知每个小梯形的高一定为 2,
面积为 Sn 的梯形上底所在直线为 x=4n-3,上底长为 ,下底所在直线为
x=4n-1,上底长为 ,故梯形的面积 Sn= (8n-4)
【答案】 (8n-4)
【点评】本题为探究规律试题,具有一定的难度。
11、如图(9),已知∠AOB= ,在射线 OA、OB 上分别取点 OA =OB ,连结 A B ,
在 B A 、B B 上分别取点 A 、B ,使 B B = B A ,连结 A B …按此规律上
去,记∠A B B = ,∠ ,…,∠
则(1) = ; = 。
【解题思路】:根据题意:OA1=OB1,△A1OB1,△A2B1B2,△A3B2B3……是等腰三角形,
已知∠AOB= ,∴ =1800- = ;以此类推可得:=1800-(900- )…… =
4 3
0 1 3 5 7 9 11
S1
S2
S3
图 4
x
y
p
3x
3(4n 3)−
3(4n 1)− 3
3
α 1 1 1 1
1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2
2 1 2 1
θ 3 2 3 2A B B θ= n+1 1A n n nB B θ+ =
1
θ n
θ
α 1
θ 2
1800 ∂−
2
1800 ∂+
4
1800 ∂−
n
θ
。
【答案】 ; 。
【点评】本题是规律探究性问题,是中考的热点问题之一,在已知等腰三角形的顶角的情况
下,通过计算三角形的外角来探索规律。本题难度中等。
12. 在直角坐标中,正方形 A1B1C1O1、A2B2C2C1、A3B3C3C2、、、、、、AnBnCnCn-1 按如图所
示的方式放置,其中点 A1、A2、A3、、、、、An 均在一次函数 y=kx+b 上,点 C 1、C2、C 3、、、、、
Cn 均在 x 轴上.若点,B 1 的坐标为(1,1),点 B 2 的坐标为(3,2),则点 An 的坐标
为 .
【思路分析】解:由 B1 的坐标为(1,1),点 B2 的坐标为(3,2),知 A1(0,1), A2
(1,2),设直线解析式 y=kx+b,把 A1(0,1), A2(1,2)代入上式得, ,∴
k=1,b=2,∴y=x+1.
∵点 B2 的坐标为(3,2),∴C2 的坐标为(3,0),把 x=3 代入 y=x+1 得 y=4,∴A3 的
坐标为(3,4),同理得 A4 的坐标为(7,8),A5 的坐标为(15,16)………An 的坐标为(2n-1
-1, 2n-1) .
n
n
2
180)12( 0 ∂+×−
2
1800 ∂+
n
n
2
180)12( 0 ∂+×−
y=kx+b
O
A1
A2
A3 B3
B2
B1
C1 C2 C3 x
y
+=
=
bk
b
2
1
【答案】(2n-1-1, 2n-1) .
【点评】解答这类问题首先根据点在图像上求出前几个点的坐标,然后根据所出现的
规律找到相应的公式,然后对公式进行验证.
13.如图(1),将一个正六边形各边延长,构成一个正六角星形 AFBDCE,它的面积为 1;取
△ABC 和△DEF 各边中点,连接成正六角星形 A1F1B1D1C1E1,如图(2)中阴影部分;取△A1B1C1
和△D1E1F1 各边中点,连接成正六角星形 A2F2B2D2C2E2,如图(3)中阴影部分;如此下去…,
则正六角星形 A4F4B4D4C4E4 的面积为_________________.
【解题思路】由三角形中位线性质得:A1B1:AB= 1:2,即 A1B1= AB,同理可得 A2B2= A1B1=
AB;A3B3= A2B2= AB;A4B4= A3B3= AB,即第四个正六角星形与第一个正六
角星形的边长之比为 1:16,根据“相似多边形面积比等于相似比的平方”知它们的面积比
为 1:256 ,所以正六角星形 A4F4B4D4C4E4 的面积= ×正六角星形 AFBDCE 的面积= .
【答案】
【点评】本题考查从图形中探索数的规律问题.只要想到从相似多边形性质去考虑,问题将
容易得解. 难度中等
14.一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”,封闭图
形的周长与直径之比称为图形的“周率”,下面四个平面图形(依次为正三角形、正方形、
正六边形、圆)的周率从左到右依次记为 , , , ,则下列关系中正确的是
(A) > > (B) > > (C) > > (D) > >
【解题思路】根据新规定,设第一个图形的边长为 1,其周长为 3,直径为 1,所以 =3,
1
2
1
2
21( )2
1
2
31( )2
1
2
41( )2
1
256
1
256
1
256
1a 2a 3a 4a
4a 2a 1a 4a 3a 2a 1a 2a 3a 2a 3a 4a
1a
题 10 图(1)
A1
B C
D
A
F E
B C
D
A
F E
B C
D
A
F E
B1 C1
F1
D1
E1
A1
B1 C1
F1
D1
E1A2
B2 C2
F2
D2
E2
题 10 图(2) 题 10 图(3)
设第二个图形的边长为 1,其周长为 4,直径为 ,所以 =2 ,
设第三个图形的边长为 1,其周长为 6,直径为 2,所以 =3,第三个图形的周长与直径之
比为 ,所以 > > ,故选 B.
【答案】B
【点评】本题是图形的规律探究题,实质就是图形边长的规律探究.本题可先计算,再比较
大小,本题还带有自主学习的成分,培养学生的自主学习能力应成为今后教学的重点,属于
中档题.
15. 观察图中正方形四个顶点所标的数字规律,可知数 2011 应标在
(A)第 502 个正方形的左下角 (B)第 502 个正方形的右下角
(C)第 503 个正方形的左上角 (D)第 503 个正方形的右下角
【解题思路】有图形可以确定数字每四个一个循环,所以 2011÷4=502……3,所以第 503
个的左上角,答案选 C
【答案】C
【点评】规律性探究问题通常指根据给出的材料,观察其中的规律,再运用这种规律解决问
题的一类题型. 观察的三种主要途径:(1)、式与数的特征观察;(2)、图形的结构观察;
(3)、通过对简单、特殊 情况的观察,再推广到一般情况。规律探究的基本原则:(1)、
遵循类推原则,项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,积找积的规律。(2)、遵循
有序原则,从特殊开始,从简单开始,先找 3 个,发现规律,再验证运用规律.
16.图 1 是一个边长为 1 的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱形边长为等边三角形边长
的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图 2),依此规律
继续拼下去(如图 3),……,则第 n 个图形的周长是
(A) (B) (C) (D)
【解题思路】先由已知条件分别算出图形 1 的周长为 4=21+1,图形,2 的周长为 8=22+1,以此
类推,图形 n 的周长为 2n+1,故选 C.
2 2a 2
3a
π 4a 3a 2a
2n 4n 12n+ 22n+
16
图 1 图 2 图 3
……
【答案】C
【点评】本题属于找规律的问题,属于中等题目,在解答本题时,需要先进行归纳推理,由
特殊到一般的推理,然后得出一般性的结论即可.
17.(山东临沂 第 19 题3 分)如图,上面各图都是用全等三角形拼成的一组图形,则在第
10 个这样的图形中,共有 个等腰梯形。
……
(1) (2) (3)
解题思路:第(1)个图形由三个全等三角形组成,有 1=12 个等腰梯形;第(2)个图形由
五个全等三角形组成,有 4=22 个等腰梯形;第(3)个图形由七个全等三角形组成,有 9=32
个等腰梯形;……,第 10 个这样的图形中,共有 102=100 个等腰梯形.
解答:填 100.
点评:这是一道规律性探索题,解答本题的关键是找到第 n 个图形中,等腰梯形的个数与 n
之间的平方关系,这也是本题的难点所在.本题难度较大.
18.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,m 的值是 .
【解题思路】由规律可知,最后一个图形左下那个数为 12,右上那个数为 14;另外一个规
律是这两个数的乘积正好等于 10 与 m 的和。
【答案】158
【点评】规律探求型问题一直中考中的热门试题,在处理此类问题时,关键要找出问题中所
蕴含的规律,然后加以运用。难度较大。
20 如下数表是由从 1 开始的连续自然数 组成,观察规律并完成各题的解答.
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
…………………………
(1)表中第 8 行的最后一个数是______________,它是自然数_____________的平方,第 8
行共有____________个数;
(2)用含 n 的代数式表示:第 n 行的第一个数是___________________,最后一个数是
(第 14 题图)
________________,第 n 行共有_______________个数;
(3)求第 n 行各数之和.
【解题思路】认真阅读,发现上述规律,每行的最后的一个数式行数的平方,便可解答了。
【答案】(1)64,8,15;
(2)n2-2n+2,n2,(2n-1);
(3)第 n 行各数之和:
【点评】规律探究题是近几年中考的热点,本题还带有自主学习的成分,培养学生的自主学
习能力应成为今后教学的重点,属于中档题.
21. (本题满分 10 分) (2011 山东德州,22,10 分)●观察计算
当 , 时, 与 的大小关系是_________________.
当 , 时, 与 的大小关系是_________________.
●探究证明
如 图 所 示 , 为 圆 O 的 内 接 三 角 形 , 为 直 径 , 过 C 作 于 D , 设
,BD=b.
(1)分别用 表示线段 OC,CD;
(2)探求 OC 与 CD 表达式之间存在的关系
(用含 a,b 的式子表示).
●归纳结论
根 据 上 面 的 观 察 计 算 、 探 究 证 明 , 你 能 得 出 与 的 大 小 关 系 是 :
_________________________.
●实践应用
要制作面积为 1 平方米的长方形镜框,直接利用探究得出的结论,求出镜框周长的最小
值.
【解题思路】题属于推理应用题,要把握住最基本问题的思路,由此为切入点,结合图形性
质找到问题的突破口.
【答案】(1) ,∴ , AB 为⊙O 直径,
∴ . , , ∴∠A=∠BCD.∴△
∽△ . ∴ .即 ,∴ .
(2)当 时, , = ; 时, , > .
)12)(1()12(2
22 2
22
−+−=−×++−
nnnnnnn
5a = 3b =
2
a b+
ab
4a = 4b =
2
a b+
ab
ABC∆ AB CD AB⊥
AD a=
,a b
2
a b+
ab
2AB AD BD OC= + = 2
a bOC
+=
90ACB∠ = ° 90A ACD∠ + ∠ = ° 90ACD BCD∠ + ∠ = °
ACD CBD AD CD
CD BD
= 2CD AD BD ab= ⋅ = CD ab=
a b= OC CD=
2
a b+
ab a b≠ OC CD>
2
a b+
ab
A B
C
O D
●结论归纳: .
●实践应用:设长方形一边长为 米,则另一边长为 米,设镜框周长为 l 米,则
≥ . 当 ,即 (米)时,镜框周长最小.此时四边形为
正方形时,周长最小为 4 米.
【点评】此类探究题是中考中的热门考点,综合性很强,考察同学们自主探究和应用创新的
能力,本题设计数学实践活动情景,问题由特殊到一般,在考查基础知识综合应用的同时,
兼顾考查学生知识转化能力,作图能力以及实践操作能力,符合新课改精神,是一道不可多
得的好题.
22.(2011 四川乐山,25,12 分)如图(14.1),在直角△ABC 中, ∠ACB=90 ,CD⊥AB,垂
足为 D,点 E 在 AC 上,BE 交 CD 于点 G,EF⊥BE 交 AB 于点 F,若 AC=mBC,CE=nEA(m,n 为
实数).
试探究线段 EF 与 EG 的数量关系.
(1) 如图(14.2),当 m=1,n=1 时,EF 与 EG 的数量关系是
证明:
(2) 如图(14.3),当 m=1,n 为任意实数时,EF 与 EG 的数量关系是
证明
(3) 如图(14.1),当 m,n 均为任意实数时,EF 与 EG 的数量关系是
(写出关系式,不必证明)
【解题思路】:添加辅助线,构建新的直角三角形,推理证明三角形相似,利用相似关系,
列比例式推出 EF 与 EG 的数量关系。
【答案】(1)相等。如,14.2,当 m=1,n=1 时,△ACB 是等腰直角三角形,E 为 AC 中点,作 EM
⊥AB,EN⊥CD,垂足分别为 M、N,EM、EN 为中位线,∴△EFM≌△ENG,∴EF=EG.
(2)EF:EG=1:n。作 EM⊥AB,EN⊥CD,垂足分别为 M、N,m=1, △ACB 是等腰直角
三角形,△EFM∽△ENG,∴EF:EG=EM:EN=AE:EC,∴EF:EG=AE:nAE=1:n.
【点评】本题是属于图形演变、规律探索性题目,找准基础图形,作出辅助线,确定三角形
全等或相似关系,列出关系式,是解题的关键。本题难度较大。
2
a b+ ≥ ab
x 1
x
12( )l x x
= + 14 4x x
⋅ = 1x x
= 1x =
23.(本小题满分 10 分)
如图 14-①至图 14④中,两平行线 AB、CD 音的距离均为 6,点 M 为 AB 上一定点.
思考:
如图 14-①中,圆心为 O 的半圆形纸片在 AB、CD 之间(包括 AB、CD),
其直径 MN 在 AB 上,MN=8,点 P 为半圆上一点,设∠MOP=α,当 α=
________度时,点 P 到 CD 的距离最小,最小值为________ ____.
探究一
在图 14-①的基础上,以点 M 为旋转中心,在 AB、CD 之间顺时针旋转该
半圆形纸片,直到不能再转动为止.如图 14-②,得到最大旋转角∠BMO=
_______度,此时点 N 到 CD 的距离是______________.
探究二
将图 14-①中的扇形纸片 NOP 按下面对 α 的要求剪掉,使扇形纸片 MOP 绕
点 M 在 AB、CD 之间顺时针旋转.
(1)如图 14-③,当 α=60°时,求在旋转过程中,点 P 到 CD 的最小距离,
并请指出旋转角∠BMO 的最大值;
(2)如图 14-④,在扇形纸片 MOP 旋转过程中,要保证点 P 能落在直线
CD 上,请确定 α 的取值范围.
(参考数据:sin49°=
3
4,cos41°=
3
4,tan37°=
3
4)
【分析与解】思考:点 P 的位置越低,P 点到直线 CD 的距离越短,故当
α=90°时,点 P 到 CD 的距离最小;探究一:当半圆形纸片不能再转动时,
半圆形纸片与 CD 相切,过切点,连半径后易得∠BMO=30°;探究二:
(1)须画出 α=60°时的图形,利用圆、三角函数等相关知识可轻松解
题;(2)是本题的难点,须画出点 P 能落在直线 CD 上时的临界图形即
可确定 α 的取值范围.
解:思考 90,2.
探究一 30,2.
探究二
(1)由已知得 M 与 P 的距离为 4,∴当 MP⊥AB 时,点 P 到 AB 的最大距离是 4,从而点 P
到 CD 的最小距离为 6-4=2.
当扇形 MOP 在 AB,CD 之间旋转到不能再转时,M P⌒
与 AB 相切,此时旋转角最大,∠BMO
的最大值为 90°.
(2)如图 4,由探究一可知,点 P 是M P⌒
与 CD 的切点时,α 达到最大,即 OP⊥CD.此时,
延长 PO 交 AB 于点 H,α 最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°.
如图 5,当点 P 在 CD 上且与 AB 距离最小时,MP⊥CD,α 达到最小,连接 MP,作 OH⊥MP
于点 H,由垂径定理,得 MH=3,在 Rt△MOH 中,MO=4,
∴sin∠MOH=
M H
OM =
3
4,∴∠MOH=49°,∵α=2∠MOH,∴α 最小为 98°.
∴α 的取值范围是 98°≤α≤120°.
BA
DC
6
图 14-①
α
P
OM N
BA
DC
6
图 14-②
O
P
M
N
BA
DC
6
图 14-③
O
P
M
α
BA
DC
6
图 14-④
O
P
M
α
BA
DC
6O
P
M
αH
BA
DC
6O
P
M
α
H
【点评】本题属于较难题,为圆的探究题,以生活中的扇面为背景,通过扇面的展开与旋转
让同学们探究其中蕴含的数学知识,层层深入,环环相扣,最后一问最难,理解题意确定临
界位置是解题的关键,值得注意的是河北省今年将其放入倒数第二个压轴题目,可见圆在河
北省中考中的位置越来越重要.
24.(本小题满分 12 分)
如图 15,在平面直角坐标系中,点 P 从原点 O 出发,沿 x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度
运动 t(t>0)秒,抛物线 y=x 2+bx+c 经过点 O 和点 P.已知矩形 ABCD 的三个顶点为 A
(1,0)、B(1,-5)、D(4,0).
(1)求 c、b(用含 t 的代数式表示);
(2)当 4<t<5 时,设抛物线分别与线段 AB、CD 交于点 M、N.
①在点 P 的运动过程中,你认为∠AMP 的大小是否会变化?若变化,
说明理由;若不变,求出∠AMP 的值;
②求△MPN 的面积 S 与 t 的函数关系式,并求 t 为何值时,S=21
8 ;
(3)在矩形 ABCD 的内部(不含边界),把横、纵坐标都是整数的点称
为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分,请直接
写出 t 的取值范围.
【分析与解】(1)观察图像,可发现抛物线 y=x2+bx+c 经过点 O 和点
P.故分别将 O 和点 P 代入解析式可用用含 t 的代数式表示 c、b;(2)△
AMP 为 Rt△,若∠AMP 不变,说明AP
AM的值不变,故可求其比值即可确
定∠AMP 的值;(3)为数形结合,合理推理,借助网格直观性及抛物线的对称性可定 t 的取
值范围.
解:(1)把 x=0,y=0 代入 y=x2+bx+c,得 c=0.
再把 x=t,y=0 代入 y=x2+bx,得 t2+bt=0,∵t>0,∴b=-t.
(2)①不变.
如图,当 x=1 时,y=1-t,故 M(1,1-t).
∵tan∠AMP=1.∴∠AMP=45°.
②S=S 四边形 AMNP-S△PAM
=S△DPN +S 梯形 NDAM-S△PAM
=
1
2(t-4)(4t-16)+
1
2[(4t-16)+(t-1)]×3-
1
2(t-1)(t-1)
=
3
2t2-
15
2 t+6
令 S=
21
8 ,得
3
2t2-
15
2 t+6=
21
8 ,得 t1=
1
2,t2=
9
2.
∵4<t<5,∴t1=
1
2舍去,∴t=
9
2.
(3)7
2<t<11
3
理由:当 y=x2-tx,经过点(2,-3)时,“好点” (2,-2)和(2,-
1)在抛物线上方,此时-3=22-2t,∴t=7
2,当 x=3 时,y=-3
2,在-1
和-2 之间,说明“好点”(3,-1)也在抛物线上方.因此抛物线要将这些
“好点”分成数量相等的两部分时,必须 t>7
2,如图,当 y=x2-tx,经过
点(3,-2)时,“好点”(3,-1)在抛物线上方,此时-2=32-3t,t=
A D P
O
-1
M
N
CB
x
y
1
图 15
A D P
O
-1
M
N
CB
x
y
1
A D
O
-1
B
x
y
C
11
3 ,当 x=2 时,y=-10
3 ,在-3 和-4 之间,说明“好点”(2,-3),(2,-2)(2,-1)也在
抛物线上方.因此抛物线要将这些“好点”分成数量相等的两部分时,必须 t<11
3 .
【点评】河北省的压轴题目多年一直为几何动态综合题,今年突破为二次 函数与几何图形
动态综合题,是本卷的亮点所在,值得关注.问题设置由浅入深,上手容易,深入难,由其
是最后一问题更是新颖别致、独具匠心.
25、如图(1),RT△ABC 中,∠ABC=90°,CD⊥AB,垂足为 D,AF 平分∠CAB,交 CD
于点 E,交 CB 于点 F。
(1)求证:CE=CF
(2)将图(2)中的△ADE 沿 AB 向右平移到△A`D`E`的位置,使点 E`落在 BC 边上,其
他条件不变,如图(2)所示请猜想:BE`与 CF 有怎样的数量
关系?请证明你的结论。
【解题思路】(1)要证 CE=CF 只需∠CFA=∠CEF 即可,由题
意可知∠CAF+∠CFA=90°,∠EAD+∠AED=90°,∠AED=∠
CEF 故可得∠CFA=∠CEF。(2)通过观察我们可知 BE`= CF,由(1)可知 CE=CF,要证
BE`= CF 只需 CE=BE`即可,过点 E 作 EG⊥AC 于 G,易证 RT△CEG≌RT△B E` D`,所以
CE=BE`。
【答案】(1)证明:∵AF 平分∠CAB,∴∠CAF=∠EAD
∵∠ABC=90°,∴∠CAF+∠CFA=90°
又∵CD⊥AB 于 D,∠EAD+∠AED=90°所以∠CFA=∠AED。
又∵∠AED=∠CEF,∴∠CFA=∠CEF
∴CE=CF。
(2)解:BE`= CF,证明如下
证明:如图过点 E 作 EG⊥AC 于 G,
又∵AF 平分∠CAB,ED⊥AB
所以 ED=EG
由平移性质可知:D`E`=DE,∴D`E`= EG
又∵∠ABC=90°,∴∠ACD+∠DCB=90°
∵CD⊥AB 于 D,∠B+∠DCB=90°
∴∠ACD=∠B
在 RT△CEG 和 RT△B E` D`中
∴RT△CEG≌RT△B E` D`
∴CE=BE`
由(1)可知 CE=CF,∴BE`= CF
【点评】本题主要考察几何证明,涉及到直角三角形的性质、角平分线的定义、等角的余角
相等、三角形全等、等腰三角形的判定等内容。做此题的关键在于对图形的认真分析,可能
=
∠=∠
∠=∠
D`E`GE
BD`E`CGE
BGCE
会出现不知如何作辅助线导致做题失败。难度中等。
26.
△ABC 是一张等腰直角三角形纸板,∠C=Rt∠,AC=BC=2,
(1)要在这个正方形纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图 1),比
较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积更大?请说明理由.
(2)图 1 中甲中剪称为第 1 次剪取,记所得正方形面积为 S1;按照甲种剪法,在余下的△
ADE 和△BDF 中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第 2 次剪取,并记这两
个正方形面积和为 S2(如图 2),则 S2=______;再在余下的四个三角形中,用同样的方法分
别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第 3 次剪取,并记这四个正方形的面积和为 S3
(如图 3);继续操作下去…,则第 10 次剪取时,S10=___________.
【解题思路】(1)要想比较两个正方形的面积大小,可以通过等腰直角三角形的性质,计算
两个正方形的边长,因为正方形的面积等于边长的平方,所以只需要比较边长的即可.(2)
可以发现第二次剪取后所剩余的面积等于 ,第三次减取后所剩余的面积为 ,依
次发现规律即可.
【答案】(1)解法 1.如图甲,由题意,得 AE=DE=EC,即 EC=1,S 正方形 CFDE=12=1.
如图乙,设 MN=x,则由题意得 AM=MQ=PN=NB=MN=x
∴3x= ,解得,x= ,∴S 正方形 PNMQ= ,
又∵1>
∴甲种剪法所得的正方形的面积更大.
说明:图甲可另解为:由题意得点 D、E、F 分别为 AB、AC、BC 的中点,∴S 正方形 CFDE=
S△ABC=1.
解法 2.
如图甲,由题意得,AE=DE=EC,即 EC=1
如图乙,设 MN=x,则由题意得 AM=MQ=PN=NB=MN=x
2
1
4
1
2
1
13
=−
22 3
22
9
8)3
22( 2 =
9
8
2
1
∴3x= ,解得,x=
又∵1> ,即 EC>MN
所以甲种剪法所得的正方形面积更大.
(1) S2=
S10=
(3)解法 1:探索规律可知:Sn= ,
剩余三角形的面积为:
2-(S1+S2+……S10)= =
解法 2:由题意可知:
第一次剪取后剩余三角形面积和为 2-S1=S1
第二次剪取后剩余三角形面积和为 S1-S2=1- = =S2
第三次剪取后剩余三角形的面积和为 S2-S3= - = =S3
……
第十次剪取后剩余三角形的面积和为 S9-S10=S10=
【点评】本题考查了正方形的面积计算,以及等腰直角三角形的性质,在探索规律的时候应
该多列几个式子,从一般的推导中慢慢发现规律所在.难度中等.
22 3
22
3
22
2
1
n2
1
12
1
−n
)2
1........4
1
2
11(2 9
++++−
92
1
2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
92
1