2011中考数学一轮复习几何篇16相似三角形二 5页

‎16.相似三角形（二）‎ 知识考点：‎ 本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用 精典例题：‎ ‎【例1】如图，在△ABC中，AB＝‎14cm，，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝‎12cm，求△ADE的面积和周长。‎ 分析：由AB＝‎14cm，CD＝‎12cm得＝84，再由DE∥BC可得△ABC∽△ADE，有可求得，利用勾股定理求出BC、AC，再用相似三角形的性质可得△ADE的周长。‎ 答案：△ADE的面积为cm2，周长为‎15 cm。‎ ‎ ‎ ‎【例2】如图，正方形DEMF内接于△ABC，若，，求 分析：首先利用正方形的面积求出其边长，过A点作AQ⊥BC于Q，交DE于P，利用可得AP及AQ的长，再由△ADE∽△ABC求出BC，从而求得。‎ 解：∵正方形的面积为4，∴DE＝MF＝2。过A点作AQ⊥BC于Q，交DE于P ‎ ∵，∴AP＝1‎ ‎ ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即 ‎ ∴BC＝6，故＝9‎ 变式1：如图，已知菱形AMNP内接于△ABC，M、N、P分别在AB、BC、AC上，如果AB＝‎21 cm，CA＝‎15 cm，求菱形AMNP的周长。‎ 答案：‎‎35 cm 变式2：如图，在△ABC中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG∶DE＝1∶2，BC＝‎12 cm，AH＝‎8 cm，求矩形的各边长。‎ ‎ ‎ 答案： cm， cm ‎【例3】如图，已知P为△ABC内一点，过P点分别作直线平行于△ABC的各边，形成小三角形的面积、、，分别为4、9、49，求△ABC的面积。‎ 解：设MP＝，RT＝，PN＝，由于、、都相似于△ABC，设△ABC的面积为，AB＝，则有，，，三式相加得：‎ ‎∴，故 探索与创新：‎ ‎【问题一】如上图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝，BC＝，过BD上一点P作MN∥BC交AB、DC于M、N，若AM∶MB＝∶。‎ ‎（1）计算PM、PN的长；‎ ‎（2）当∶＝∶时，PM与PN有怎样的关系？‎ ‎（3）在什么条件下才能得到MN＝。‎ 略解：（1）∵MN∥BC，AD∥BC，∴△BPM∽△BDA，△DPN∽△DBC ‎ ∴，‎ ‎ 又∵AM∶MB＝∶，∴BM∶AB＝∶‎ ‎ ∴AM∶AB＝∶‎ ‎ ∴，‎ ‎（2）∵，‎ ‎ ∴当，即∶＝∶时，才有PM＝PN；‎ ‎（3）∵MN＝PM＋PN＝，由可得：‎ 从而或 故当，且四边形ABCD为平行四边形时，MN＝或且MN为梯形（或平行四边形）的中位线时，MN＝。‎ ‎【问题二】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD、BC的长度分别为、，梯形ABCD的高未给出，在这样的图形中，是否总可以作一条平行于两底的截线EF（点E、F分别在AB、CD上），使EF把梯形ABCD分割成面积相等的两个梯形？如果可以分割，EF的长度如何求？试求出EF的长度。‎ 解：延长BA、CD相交于点O，设EF＝，△OAD的面积为，梯形ABCD的面积为，‎ ‎∵AD∥EF，∴△OEF∽△OAD ‎∴，即 整理得………①‎ 同理△OBC∽△OAD，，‎ 整理得………②，由①②消去得：‎ 即，∵，∴，即EF＝‎ 跟踪训练：‎ 一、填空题：‎ ‎1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，AD∶BC＝3∶5，则AO∶OC＝ ，∶＝ ，∶＝ 。‎ ‎2、把一张矩形的纸片对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为 。‎ ‎3、两个相似三角形面积之差为‎9cm2，对应角平分线的比是∶，这两个三角形的面积分别是 。‎ ‎ ‎ ‎4、如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，如果AD∶DF∶FB＝1∶2∶3，则∶＝ 。‎ 二、选择题：‎ ‎1、如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（ ）‎ ‎ A、1∶2 B、1∶‎4 C、4∶9 D、2∶3‎ ‎ ‎ ‎2、如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，∶＝4∶9，则AE∶EC为（ ）‎ ‎ A、2∶1 B、2∶‎3 C、4∶9 D、5∶4‎ ‎3、在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则CD的长为（ ）‎ ‎ A、1 B、 C、2 D、‎ 三、解答题：‎ ‎1、如图已知，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，且△ADE的周长与四边形BCED的周长相等，求DE的长。‎ ‎2、如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝900，D、E分别为AB、AC上一点，且BD＝AB，AE＝AC，。求证：∠ADE＝∠EBC。‎ ‎ ‎ ‎3、已知如图，正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，DF⊥AE，F为垂足，求△DFA的面积和四边形CDFE的面积。‎ ‎4、在△ABC中，AB＝‎8cm，BC＝‎16 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以‎2 cm／秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以‎4 cm／秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒之后，△PBQ与△ABC相似？这样的三角形有几个。‎ 跟踪训练参考答案 一、填空题：‎ ‎ 1、3∶5，9∶25，3∶5；2、1∶；3、‎18 cm2，‎27 cm2；4、8∶27；‎ 二、选择题：CAC 三、解答题：‎ ‎1、；‎ ‎2、提示：过E点作EF⊥BC于H，证△DAE∽△BHE较容易；‎ ‎3、，；‎ ‎4、2秒或0.8秒，这样的三角形有两个。‎