湖北市州套中考数学试题分类解析汇编专题函数的图象与性质 43页

湖北 13 市州（14 套）2012 年中考数学试题分类解析汇编 专题 6：函数的图象与性质 一、选择题 1. （2012 湖北黄石 3 分）已知反比例函数 （ 为常数），当 时， 随 的增大 而增大，则一次函数 的图像不经过第几象限【 】 A.一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B。 【考点】一次函数图象与系数的关系，反比例函数的性质。 【分析】∵反比例函数 （b 为常数），当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，∴b＜0。 ∵一次函数 y=x+b 中 k=1＞0，b＜0，∴此函数的图象经过一、三、四限。 ∴此函数的图象不经过第二象限。故选 B。 2. （2012 湖北荆门 3 分）如图，点 A 是反比例函数 （x＞0）的图象上任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 的图象于点 B，以 AB 为边作▱ABCD，其中 C、D 在 x 轴上，则 S□ABCD 为【 】 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【答案】D。 【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。 【分析】设 A 的纵坐标是 a，则 B 的纵坐标也是 a． 把 y=a 代入 得， ，则 ，即 A 的横坐标是 ；同理可得：B 的横坐 标是： 。 ∴AB= 。∴S□ABCD= ×a=5。故选 D。 by x = b x 0> y x y x b= + by x = 2y= x 3y= x − 2y= x 2a= x 2x= a 2 a 3 a − 2 3 5=a a a  − −   5 a 3. （2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所 示，它与 x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜ 0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有【 】 A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】A。 【考点】二次函数图象与系数的关系。 【分析】根据图象可得：a＞0，c＞0，对称轴： 。 ①∵它与 x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴是 x=1， ∴ 。∴b+2a=0。故命题①错误。 ②∵a＞0， ，∴b＜0。 又 c＞0，∴abc＜0。故命题②正确。 ③∵b+2a=0，∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c。 ∵a﹣b+c=0，∴4a﹣4b+4c=0。∴﹣4b+4c=﹣4a。 ∵a＞0，∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0。故命题③正确。 ④根据图示知，当 x=4 时，y＞0，∴16a+4b+c＞0。 由①知，b=﹣2a，∴8a+c＞0。故命题④正确。 ∴正确的命题为：①②③三个。故选 A。 4. （2012 湖北宜昌 3 分）已知抛物线 y=ax2﹣2x+1 与 x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点 所在的象限是【 】 A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】D。 【考点】抛物线与 x 轴的交点与对应的一元二次方程的解之间的关系，二次函数的性质。1419956 【分析】∵抛物线 y=ax2﹣2x+1 与 x 轴没有交点，∴△=4﹣4a＜0，解得：a＞1。 bx 02a >= − b =12a − b 02a >− ∴抛物线的开口向上。 又∵b=﹣2，∴抛物线的对称轴在 y 轴的右侧。 ∴抛物线的顶点在第一象限。故选 D。 5. （2012 湖北恩施 3 分）已知直线 y=kx（k＞0）与双曲线 交于点 A（x1，y1），B （x2，y2）两点，则 x1y2+x2y1 的值为【 】 A．﹣6 B．﹣9 C．0 D．9 【答案】A。 【考点】反比例函数图象的对称性，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】∵点 A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线 上的点，∴x1•y1=x2•y2=3。 ∵直线 y=kx（k＞0）与双曲线 交于点 A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴x1=﹣x2，y1=﹣y2 ∴x1y2+x2y1=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6。故选 A。 6. （2012 湖北荆州 3 分）如图，点 A 是反比例函数 （x＞0）的图象上任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 的图象于点 B，以 AB 为边作▱ABCD，其中 C、D 在 x 轴上，则 S□ABCD 为【 】 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【答案】D。 【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。 【分析】设 A 的纵坐标是 a，则 B 的纵坐标也是 a． 把 y=a 代入 得， ，则 ，，即 A 的横坐标是 ；同理可得：B 的横坐 标是： 。 ∴AB= 。∴S□ABCD= ×a=5。故选 D。 3y= x 3y= x 3y= x 2y= x 3y= x − 2y= x 2a= x 2x= a 2 a 3 a − 2 3 5=a a a  − −   5 a 7. （2012 湖北随州 4 分）如图，直线 l 与反比例函数 的图象在第一象限内交于 A、B 两点，交 x 轴的正半轴于 C 点,若 AB：BC=(m 一 l)：1(m>l)则△OAB 的面积(用 m 表示)为 【 】 A. B. C. D. 【答案】B。 【考点】反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程式关系，相似三角形的判定和性质，代 数式化简。 【分析】如图，过点 A 作 AD⊥OC 于点 D，过点 B 作 BE⊥OC 于点 E, 设 A(ｘA，ｙA)，B (ｘB，ｙB)，C（c¸0）。 ∵AB：BC=(m 一 l)：1(m>l)，∴AC：BC=m：1。 又∵△ADC∽△BEC，∴AD：BE=DC：EC= AC：BC=m：1。 又∵AD=ｙA，BE=ｙB，DC= c－ｘA，EC= c－ｘB， ∴ｙA：ｙB= m：1，即ｙA= mｙB。 ∵直线 l 与反比例函数 的图象在第一象限内交于 A、B 两 点， ∴ ， 。 ∴ ， 。 将 又由 AC：BC=m：1 得（c－ｘA）：（c－ｘB）=m：1，即 2y= x 2m 1 2m − 2m 1 m − ( )23 m 1 m − ( )23 m 1 2m − 2y= x A A 2y = x B B 2y = x A B 2 2m=x x A B 1x = xm ，解得 。 ∴ 。 故选 B。 8. （2012 湖北孝感 3 分）若正比例函数 y＝－2x 与反比例函数 的图象的一个交点坐标 为(－1，2)， 则另一个交点的坐标为【 】 A．(2，－1) B．(1，－2) C．(－2，－1) D． (－2，1) 【答案】B。 【考点】反比例函数图象的对称性。 【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可： ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称。 ∵一个交点的坐标是（－1，2），∴另一个交点的坐标是（1，－2）。故选 B。 9. （2012 湖北鄂州 3 分）直线 与反比例函数 的图象（x<0）交于点 A， 与 x 轴相交于点 B，过点 B 作 x 轴垂线交双曲线于点 C，若 AB=AC，则 k 的值为【 】 A.－2 B.－4 C.－6 D.－8 【答案】B。 【考点】反比例函数与一次函数交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性 质，解方程和方程组。 【分析】在 中，令 y=0，得 x=－2。在 中，令 x=－2，得 。 ( ) BB 1c x : c x m:1m  − − =   ( )Bx m+1c= m ( ) ( ) ( )B OAB OCB OBC A B A B B B x m+11 1 1 1S =S S = c y c y c y y my y2 2 2 2 m∆ ∆ ∆− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − ( )( ) ( ) ( )2 2 2 B BB B x y m 1 2 m 1x y m+1 m 11 m 1 2 m 2m 2m m − −− −= ⋅ = = = ky= x 1y x 12 = − − ky x = 1y x 12 = − − ky x = ky 2 = − ∴B（－2，0），C（－2， ）。∴BC 的中点坐标为（－2， ）。 联立 和 ，得 ，即 ，解得 ∵x<0，∴ 。∴ 。 ∴A（ ， ）。 ∵AB=AC，∴A 点纵坐标等于 BC 中点的纵坐标，即 ，整理得 。 ∴k=0（舍去）或 k=－4。故选 B。 二、填空题 1. （2012 湖北武汉 3 分）如图，点 A 在双曲线 y＝k x的第一象限的那一支上，AB 垂直于 x 轴与点 B， 点 C 在 x 轴正半轴上，且 OC＝2AB，点 E 在线段 AC 上，且 AE＝3EC，点 D 为 OB 的中 点，若△ADE 的面积为 3，则 k 的值为 ▲ ． 【答案】 。 【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，同 底三角形面积的计算，梯形中位线的性质。 【分析】如图，连接 DC， ∵AE=3EC，△ADE 的面积为 3，∴△CDE 的面积为 1。 ∴△ADC 的面积为 4。 ∵点 A 在双曲线 y＝k x的第一象限的那一支上， ∴设 A 点坐标为（ ）。 k 2 − k 4 − 1y x 12 = − − ky x = 1 kx 12 x − − = 2x +2x+k 0= x= 1 1 2k− ± − x= 1 1 2k− − − ( )1 1 1y 1 1 2k 1= 1 2k2 2 2 = − − − − − − − 1 1 2k− − − 1 11 2k2 2 − − 1 1 k1 2k =2 2 4 − − − 2k +4k=0 16 3 kx x ， ∵OC＝2AB，∴OC=2 。 ∵点 D 为 OB 的中点，∴△ADC 的面积为梯形 BOCA 面积的一半，∴梯形 BOCA 的面积为 8。 ∴梯形 BIEA 的面积= ，解得 。 2. （2012 湖北咸宁 3 分）对于二次函数 ，有下列说法： ①它的图象与 轴有两个公共点； ②如果当 ≤1 时 随 的增大而减小，则 ； ③如果将它的图象向左平移 3 个单位后过原点，则 ； ④如果当 时的函数值与 时的函数值相等，则当 时的函数值为 ． 其中正确的说法是 ▲ ．（把你认为正确说法的序号都填上） 【答案】①④。 【考点】二次函数的性质，一元二次方程的判别式，平移的性质。 【分析】由 得 ， ∴方程 有两不相等的实数根，即二次函数 的图象 与 轴有两个公共点。故说法①正确。 ∵ 的对称轴为 ，而当 ≤1 时 随 的增大而减小， ∴ 。故说法②错误。 ∵ ， ∴将它的图象向左平移 3 个单位后得 。 ∵ 经过原点，∴ ，解得 。故 说法③错误。 ∵ 由 时 的 函 数 值 与 时 的 函 数 值 相 等 ， 得 ， 解得 ， ∴当 时的函数值为 。故说法④正确。 综上所述，正确的说法是①④。 x ( )1 1 kx+2x y 3x =82 2 x ⋅ = ⋅ ⋅ 16k= 3 2y x 2mx 3= − − x x y x m 1= m 1= − x 4= x 2008= x 2012= 3− 2x 2mx 3 0− − = ( ) ( )2 2= 2m 4 1 3 =4m +12 0>∆ − − × × − 2x 2mx 3 0− − = 2y x 2mx 3= − − x 2y x 2mx 3= − − x=m x y x m 1≥ ( )22 2y x 2mx 3= x m m 3= − − − − − ( )2 2y x m+3 m 3= − − − ( )2 2y x m+3 m 3= − − − ( )2 20 0 m+3 m 3= − − − m 2= x 4= x 2008= 2 24 2 4m 3 2008 2 2008m 3− ⋅ − = − ⋅ − m 1006= x 2012= 22012 2 2012 1006 3= 3− ⋅ ⋅ − − 3. （2012 湖北荆州 3 分）新定义：[a，b]为一次函数 y=ax+b（a≠0，a，b 为实数）的“关联 数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于 x 的方程 的解为　 ▲ 　． 【答案】x=3。 【考点】新定义，一次函数和正比例函数的定义，解分式方程。 【分析】根据新定义得：y=x＋m－2， ∵“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣2=0，解得：m=2。 则关于 x 的方程 即为 ，解得：x=3。 检验：把 x=3 代入最简公分母 2（x﹣1）=4≠0，故 x=3 是原分式方程的解。 4. （2012湖北黄冈3分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向 乙地行驶， 快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至 与货车相遇．已知货车的速度为60千米／时，两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时) 之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论： ①快递车从甲地到乙地的速度为100千米／时； ②甲、乙两地之间的距离为120千米； ③图中点B的坐标为( ，75)； ④快递车从乙地返回时的速度为90千米／时． 以上4个结论中正确的是 ▲ (填序号) 1 1+ =1x 1 m− 1 1+ =1x 1 m− 1 1+ =1x 1 2− 33 4 5. （2012 湖北十堰 3 分）如图，直线 y=6x，y= x 分别与双曲线 在第一象限内交于 点 A，B，若 S△OAB=8，则 k= 　 ▲ 　． 【答案】6。 2 3 ky x = 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数系数 k 的几何意义，曲线上点的坐 标与方程的关系。 【分析】如图，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D， 设点 A（x1， ），B（x2， ）， 由 解得 ，∴A（ ， ）。 由 解得 ，∴B（ ， ）。 ∵ ∴k=6。 6. （2012 湖北孝感 3 分）二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线 x＝1，其图 象的一部分如 图所示．下列说法正确的是 ▲ (填正确结论的序号)． ①abc＜0；②a－b＋c＜0；③3a＋c＜0；④当－1＜x＜3 时，y＞0． 【答案】①②③。 【考点】二次函数图象与系数的关系。 【分析】由二次函数的图象可得：a＞0，b＜0，c＞0，对称轴 x=1，则再结合图象判断正确 的选项即可： 由 a＞0，b＜0，c＞0 得 abc＜0，故结论①正确。 1 k x 2 k x 1 1 k =6xx 1 6kx = 6 6k 6 6k 2 2 k 2= xx 3 2 6kx = 2 6k 2 6k 3 OAB OAC ACDB OBD 1 6k 1 6k 6k 6k 1 6k 6kS S +S S 6k+ 6k+2 6 2 3 2 6 2 2 3∆ ∆ ∆    = − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅          梯形 k 1 4 6k 6k k 4k+ =82 2 3 3 2 3 = ⋅ ⋅ − = ∵由二次函数的图象可得 x=2.5 时，y=0，对称轴 x=1，∴x=－0.5 时，y=0。 ∴x=－1 时，y＜0，即 a－b＋c＜0。故结论②正确。 ∵二次函数的图象的对称轴为 x=1，即 ，∴ 。 代入②a－b＋c＜0 得 3a＋c＜0。故结论③正确。 ∵由二次函数的图象和②可得，当－0.5＜x＜2.5 时，y＞0；当 x＜－0.5 或 x＞2.5 时，y＜0。 ∴当－1＜x＜3 时，y＞0 不正确。故结论④错误。 综上所述，说法正确的是①②③。 7. （2012 湖北襄阳 3 分）某一型号飞机着陆后滑行的距离 y（单位：m）与滑行时间 x（单 位：s）之间的函数关系式是 y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行　 ▲ 　m 才能停下 来． 【答案】600。 【考点】二次函数的应用。1028458 【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值。 ∵﹣1.5＜0，∴函数有最大值。 ∴ ，即飞机着陆后滑行 600 米才能停止。 三、解答题 1. （2012 湖北武汉 10 分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一 部分 ACB 和 矩形的三边 AE，ED，DB 组成，已知河底 ED 是水平的，ED＝16m，AE＝8m，抛物线的 顶点 C 到 ED 的 距离是 11m，以 ED 所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)已知从某时刻开始的 40h 内，水面与河底 ED 的距离 h(单位：m)随时间 t(单位：h)的 变化满足函数 关系 且当水面到顶点 C 的距离不大于 5m 时，需禁止船只通 行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？ b =12a − b= 2a− ( ) 20 60s 6004 1.5 −= =× −最大值 21h= (t 19) +8(0 t 40)128 − − ≤ ≤ 【答案】解：（1）设抛物线的为 y=ax 2+11，由题意得 B（8，8），∴64a+11=8，解得 。 ∴抛物线的解析式 y= x2+11。 （2）画出 的图象： 水面到顶点 C 的距离不大于 5 米时，即水面与河底 ED 的距离 h≥6， 当 h=6 时， ，解得 t1=35，t2=3。 ∴35－3=32（小时）。 答：需 32 小时禁止船只通行。 【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把 B 坐标代入即可求解。 （2）水面到顶点 C 的距离不大于 5 米时，即水面与河底 ED 的距离 h 至多为 6， 把 6 代入所给二次函数关系式，求得 t 的值，相减即可得到禁止船只通行的时间。 2. （2012 湖北武汉 12 分）如图 1，点 A 为抛物线 C1： 的顶点，点 B 的坐标为 (1，0)，直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C． (1)求点 C 的坐标； (2)如图 1，平行于 y 轴的直线 x＝3 交直线 AB 于点 D，交抛物线 C1 于点 E，平行于 y 轴的直线 x＝a 3a 64 = − 3 64 − 21h= (t 19) +8(0 t 40)128 − − ≤ ≤ 216= (t 19) +8128 − − 21y= x 22 − 交直线 AB 于 F，交抛物线 C1 于 G，若 FG：DE＝4∶3，求 a 的值； (3)如图 2，将抛物线 C1 向下平移 m(m＞0)个单位得到抛物线 C2，且抛物线 C2 的顶点为 点 P，交 x 轴 于点 M，交射线 BC 于点 N，NQ⊥x 轴于点 Q，当 NP 平分∠MNQ 时，求 m 的值． 图 1 图 2 【答案】解：（1）∵当 x=0 时，y＝－2。∴A（0，－2）。 设直线 AB 的解析式为 ，则 ，解得 。 ∴直线 AB 的解析式为 。 ∵点 C 是直线 AB 与抛物线 C1 的交点， ∴ ，解得 （舍去）。 ∴C（4，6）。 （2）∵直线 x＝3 交直线 AB 于点 D，交抛物线 C1 于点 E， ∴ ，∴DE= 。 ∵FG：DE＝4∶3，∴FG=2。 ∵直线 x＝a 交直线 AB 于点 F，交抛物线 C1 于点 G， ∴ 。 ∴FG= 。 y=kx+b b= 2 k+b=0 −   k=2 b= 2   − y=2x 2− 2 y=2x 2 1y= x 22 − − 1 2 1 2 x =4 x =0 y =6 y = 2     −  ， D E 5y =4 y = 2 ， D E 5 3y y =4 2 2 − − = 2 F 1y =2a 2 y = a 22G− −， 2 F 1y y = 2a a =22G− − 解得 。 （3）设直线 MN 交 y 轴于点 T，过点 N 作 NH⊥y 轴于点 H。 设点 M 的坐标为（t,0），抛物线 C2 的解析式为 。 ∴ 。∴ 。 ∴ 。∴P（0， ）。 ∵点 N 是直线 AB 与抛物线 C2 的交点， ∴ ，解得 （舍去）。 ∴N（ ）。 ∴NQ= ，MQ= 。∴NQ=MQ。∴∠NMQ=450。 ∴△MOT，△NHT 都是等腰直角三角形。∴MO=TO，HT=HN。 ∴OT=－t， 。 ∵PN 平分∠MNQ，∴PT=NT。 ∴ ，解得 （舍去）。 ∴ 。∴ 。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元二次方程组， 平移的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，平行的性质。 【分析】（1）由点 A 在抛物线 C1 上求得点 A 的坐标，用待定系数法求得直线 AB 的解析式； 联立直线 AB 和抛物线 C1 即可求得点 C 的坐标。 （2）由 FG：DE＝4∶3 求得 FG=2。把点 F 和点 G 的纵坐标用含 a 的代数式表示， 即可得等式 FG= ，解之即可得 a 的值。 （3）设点 M 的坐标为（t,0）和抛物线 C2 的解析式 ，求得 t 和 m 的关系。求出点 P 和点 N 的坐标（用 t 的代数式表示），得出△MOT，△NHT 都是等腰直 角三角形的结论。从而由角平分线和平行的性质得到 PT=NT，列式求解即可求得 t，从而根 1 2 3a =2 a =2+2 2 a =2 2 2−， ， 21y= x 2 m2 − − 210= t 2 m2 − − 212 m= t2 − − − 2 21 1y= x t2 2 − 21 t2 − 2 2 y=2x 2 1 1y= x t2 2 − − 1 2 1 2 x =2 t x =2+t y =2 2t y =2+2t −   −  ， 2 t 2 2t− −， 2 2t− 2 2t− ( ) 21NT 2NH= 2 2 t PT= t+ t2 = − −， ( )21t+ t 2 2 t2 − = − 1 2t = 2 2 t =2− ， ( )221 12 m= t = 2 2 = 42 2 − − − − − − m=2 2 F 1y y = 2a a =22G− − 21y= x 2 m2 − − 据 t 和 m 的关系式求出 m 的值。 3. （2012 湖北黄石 8 分）某楼盘一楼是车库（暂不销售），二楼至二十三楼均为商品房（对 外销售）. 商品房售价方案如下：第八层售价为 3000 元/米 2，从第八层起每上升一层，每平方米的售 价增加 40 元； 反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少 20 元.已知商品房每套面积均为 120 平方米.开 发商为购买者 制定了两种购房方案： 方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的 30％），再办理分期付款（即贷款）. 方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受 8％的优惠，并免收五年物业管理费（已 知每月物业管 理费为 a 元） （1）请写出每平方米售价 y（元/米 2）与楼层 x（2≤x≤23，x 是正整数）之间的函数解析式； （2）小张已筹到 120000 元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？ （3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而 直接享受 9％的优惠划算.你认为老王的说法一定正确吗？请用具体的数据阐明你的看法。 【答案】解：（1）当 2≤x≤8 时，每平方米的售价应为：3000－（8－x）×20=20x＋2840 ； 当 9≤x≤23 时，每平方米的售价应为：3000+（x－8）·40=40x＋2680。 ∴ 。 （2）由（1）知： ∵当 2≤x≤8 时，小张首付款为 （20x＋2840）·120·30%=36（20x＋2840）≤36（20·8＋2840）=108000 元 ＜120000 元 ∴2～8 层可任选。 ∵当 9≤x≤23 时，小张首付款为（40x＋2680）·120·30%=36（40x＋ 2680）元 由 36（40x＋2680）≤120000，解得：x≤ 。 ∵x 为正整数，∴9≤x≤16。 20x 2840(2 x 8,x )y 40x 2680(8 x 23,x ) + ≤ ≤=  + < ≤ 为正整数 为正整数 116 3 综上所述，小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层。 （3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为： y1=(40·16＋2680) ·120·92%－60a（元） 若按老王的想法则要交房款为：y2=(40·16＋2680) ·120·91%（元） ∵y1－y2=3984－60a ， 当 y1＞y2 即 y1－y2＞0 时，解得 0＜a＜66.4。此时老王想法正确； 当 y1≤y2 即 y1－y2≤0 时，解得 a≥66.4。此时老王想法不正确。　　 【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。 【分析】（1）根据题意分别求出当 2≤x≤8 时，每平方米的售价应为 3000－（8－x）×20 元， 当 9≤x≤23 时，每平方米的售价应为 3000＋（x－8）•40 元。 （2）由（1）知：当 2≤x≤8 时，小张首付款为 108000 元＜120000 元，即可得出 2～8 层可任选， 当 9≤x≤23 时，小张首付款为 36（40x+2680）≤120000，9≤x≤16，即可得出小张用方案一可 以购买二至十六层的任何一层。 （3）分别求出若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为 y1 按老王的想法则 要交房款为 y2，然后根据即 y1－y2＞0 时，解得 0＜a＜66.4，y1－y2≤0 时，解得 a≥66.4，即 可得出答案。 4. （2012 湖北荆门 10 分） 荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖 场批发购进草鱼和乌鱼（俗称黑鱼）共 75 千克，且乌鱼的进货量大于 40 千克．已知草鱼的 批发单价为 8 元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示． （1）请直接写出批发购进乌鱼所需总金额 y（元）与进货量 x（千克）之间的函数关系式； （2）若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出 89%、95%，要使总零售 量不低于进货量的 93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是 多少？ 【答案】解：（1）批发购进乌鱼所需总金额 y（元）与进货量 x（千克）之间的函数关系式 为 。 （2）设该经销商购进乌鱼 x 千克，则购进草鱼（75﹣x）千克，所需进货费用 为 w 元． 由题意得： ，解得 x≥50。 由题意得 w=8（75﹣x）+24x=16x+600． ∵16＞0，∴w 的值随 x 的增大而增大。∴当 x=50 时，75﹣x=25，W 最小 =1400（元）。 答：该经销商应购进草鱼 25 千克，乌鱼 50 千克，才能使进货费用最低， 最低费用为 1400 元。 【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。 【分析】（1）根据所需总金额 y（元）是进货量 x 与进价的乘积，即可写出函数解析式。 （2）根据总零售量不低于进货量的 93%这个不等关系即可得到关于进价 x 的不等 式，解不等式即可求得 x 的范围．费用可以表示成 x 的函数，根据函数的增减性，即可确定 费用的最小值。 5. （2012 湖北荆门 10 分）已知：y 关于 x 的函数 y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2 的图象与 x 轴有 交点． （1）求 k 的取值范围； （2）若 x1，x2 是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1） x12+2kx2+k+2=4x1x2． ①求 k 的值；②当 k≤x≤k+2 时，请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值． 【答案】解：（1）当 k=1 时，函数为一次函数 y=﹣2x+3，其图象与 x 轴有一个交点。 当 k≠1 时，函数为二次函数，其图象与 x 轴有一个或两个交点， 令 y=0 得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0． △=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得 k≤2．即 k≤2 且 k≠1。 综上所述，k 的取值范围是 k≤2。 （2）①∵x1≠x2，由（1）知 k＜2 且 k≠1。 由题意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*）， 26x(20 x 40)y= 24x(x 40)> ≤ ≤   ( ) x 0 89% 75 x +95%x 93% 75 > ⋅ − ≥ ⋅ 将（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2 中得：2k（x1+x2）=4x1x2。 又∵x1+x2= ，x1x2= ，∴2k• =4• ， 解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）。∴所求 k 值为﹣1。 ②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣ ）2+ ，且﹣1≤x≤1， 由图象知：当 x=﹣1 时，y 最小=﹣3；当 x= 时，y 最大= 。 ∴y 的最大值为 ，最小值为﹣3。 【考点】抛物线与 x 轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和 根与系数物关系，二次函数的最值。 【分析】（1）分两种情况讨论，当 k=1 时，可求出函数为一次函数，必与 x 轴有一交点；当 k≠1 时，函数为二次函数，若与 x 轴有交点，则△≥0。 （2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2 及根与系数的关系，建立关于 k 的方程， 求出 k 的值。②充分利用图象，直接得出 y 的最大值和最小值。 6. （2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 8 分）如图，一次函数 y1=﹣x﹣1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与反比例函数 图象的一个交点为 M（﹣2，m）． （1）求反比例函数的解析式；（2）求点 B 到直线 OM 的距离． 【答案】解：（1）∵一次函数 y1=﹣x﹣1 过 M（﹣2，m），∴m=1。∴M（﹣2，1）。 把 M（﹣2，1）代入 得：k=﹣2。 ∴反比列函数为 。 （2）设点 B 到直线 OM 的距离为 h，过 M 点作 MC⊥y 轴， 垂足为 C。 ∵一次函数 y1=﹣x﹣1 与 y 轴交于点 B， 2k k 1− k+2 k 1− 2k k 1− k+2 k 1− 1 2 3 2 1 2 3 2 3 2 2 ky x = 2 ky x = 2 2y x = − ∴点 B 的坐标是（0，﹣1）。 ∴ 。 在 Rt△OMC 中， ， ∵ ，∴ 。 ∴点 B 到直线 OM 的距离为 ． 【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，点到直线的距离，勾股定理。 【分析】（1）根据一次函数解析式求出 M 点的坐标，再把 M 点的坐标代入反比例函数解析 式即可。 （2）设点 B 到直线 OM 的距离为 h，过 M 点作 MC⊥y 轴，垂足为 C，根据一次函 数解析式表示出 B 点坐标，利用△OMB 的面积= ×BO×MC 算出面积，利用勾股定理算出 MO 的长，再次利用三角形的面积公式可得 OM•h，根据前面算的三角形面积可算出 h 的 值。 7. （2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 10 分）张勤同学的父母在外打工，家中只有年 迈多病的奶奶．星期天早上，李老师从家中出发步行前往张勤家家访．6 分钟后，张勤从家 出发骑车到相距 1200 米的药店给奶奶买药，停留 14 分钟后以相同的速度按原路返回，结果 与李老师同时到家．张勤家、李老师家、药店都在东西方向笔直大路上，且药店在张勤家与 李老师家之间．在此过程中设李老师出发 t（0≤t≤32）分钟后师生二人离张勤家的距离分别 为 S1、S2．S 与 t 之间的函数关系如图所示，请你解答下列问题： （1）李老师步行的速度为　 　； （2）求 S2 与 t 之间的函数关系式，并在如图所示的直角坐标系中画出其函数图象； （3）张勤出发多长时间后在途中与李老师相遇？ OMB 1S 1 2 12∆ = × × = 2 2 2 2OM= OC +CM 1 +2 5= = OMB 1 5S OM h h=12 2∆ = ⋅ ⋅ = 2 2h= 555 = 2 55 1 2 1 2 【答案】解：（1）50 米/分。 （2）根据题意得： 当 0≤t≤6 时，S2=0， 当 6＜t≤12 时，S2=200t﹣1200， 当 12＜t≤26 时，S2=1200， 当 26＜t≤32 时，S2=﹣200t+6400， ∴S2 与 t 之间的函数关系式为 。 图象如图： （3）∵图中可见，李老师从家中出发步行前往张勤家家访经过（0，1600）， （32，0）， ∴设 S1=kx＋b，则 ，解得 。 ∴S1=﹣50t+1600。 ∵图中可见，张勤与李老师相遇的时间在 6＜t≤12， ∴由 S1=S2 得，200t﹣1200=﹣50t+1600，解得 t=11.2。 ∴张勤出发 11.2 秒在途中与李老师相遇。 【考点】一次函数的应用，建立函数关系式，直线上点的坐标与方程的关系，待定系数法。 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 t 6 200t 1200 6 t 12 S = 1200 12 t 26 200t+6400 26 t 32 < < <  ≤ ≤  − ≤  ≤ − ≤  32k+b=0 b=1600    k= 50 b=1600 −   【分析】（1）根据速度=路程÷时间，再结合图形，即可求出李老师步行的速度：1600÷32=50 米/分。 （2）根据题意分 0≤t≤6，6＜t≤12，12＜t≤26，26＜t≤32 四种情况进行讨论，即可得 出 S2 与 t 之间的函数关系式。 （3）由 S1=S2 得，200t﹣1200=﹣50t+1600，然后求出 t 的值即可。 8. （2012 湖北宜昌 7 分）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 I（A）是电阻 R（Ω） 的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）当 R=10Ω 时，电流能是 4A 吗？为什么？ 【答案】解：（1）∵电流 I（A）是电阻 R（Ω）的反比例函数，∴设 I= （k≠0）。 把（4，9）代入得：k=4×9=36。 ∴这个反比例函数的表达式 I= 。 （2）∵当 R=10Ω 时，I=3.6≠4，∴电流不可能是 4A。 【考点】跨学科问题，反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据）电流 I（A）是电阻 R（Ω）的反比例函数，设出 I= （k≠0）后把（4， 9）代入求得 k 值即可。 （2）将 R=10Ω 代入上题求得的函数关系式后求得电流的值与 4 比较即可。 9. （2012 湖北恩施 8 分）小丁每天从某报社以每份 0.5 元买进报纸 200 分，然后以每份 1 元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份 0.2 元退给小丁，如果小丁平 均每天卖出报纸 x 份，纯收入为 y 元． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式（要求写出自变量 x 的取值范围）； （2）如果每月以 30 天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证每月收入不低于 2000 元？ k R 36 R k R 【答案】解：（1）y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）=0.8x﹣60（0≤x≤200）。 （2）根据题意得：30（0.8x﹣60）≥2000，解得 x≥ 。 ∴小丁每天至少要买 159 份报纸才能保证每月收入不低于 2000 元。 【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。 【分析】（1）因为小丁每天从某市报社以每份 0.5 元买出报纸 200 份，然后以每份 1 元卖给 读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份 0.2 元退给小丁，所以如果小丁平均 每天卖出报纸 x 份，纯收入为 y 元，则 y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）即 y=0.8x﹣60， 其中 0≤x≤200 且 x 为整数。 （2）因为每月以 30 天计，根据题意可得 30（0.8x﹣60）≥2000，解之求解即可。 10. （2012 湖北恩施 8 分）如图，已知抛物线 y=﹣x2+bx+c 与一直线相交于 A（﹣1，0），C （2，3）两点，与 y 轴交于点 N．其顶点为 D． （1）抛物线及直线 AC 的函数关系式； （2）设点 M（3，m），求使 MN+MD 的值最小时 m 的值； （3）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EF∥BD 交抛物线于点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标； 若不能，请说明理由； （4）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值． 【答案】解：（1）由抛物线 y=﹣x2+bx+c 过点 A（﹣1，0）及 C（2，3）得， ，解得 。∴抛物线的函数关系式为 。 11383 1 b+c=0 4+2b+c=3 − − − b=2 c=3    2y x 2x 3= − + + 设直线 AC 的函数关系式为 y=kx+n，由直线 AC 过点 A（﹣1，0）及 C （2，3）得 ，解得 。∴直线 AC 的函数关系式为 y=x+1。 （2）作 N 点关于直线 x=3 的对称点 N′， 令 x=0，得 y=3，即 N（0，3）。 ∴N′（6， 3） 由 得 D（1，4）。 设直线 DN′的函数关系式为 y=sx+t，则 ，解得 。 ∴故直线 DN′的函数关系式为 。 根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当 M（3，m）在直线 DN′上时， MN+MD 的值最小， ∴ 。 ∴使 MN+MD 的值最小时 m 的值为 。 （3）由（1）、（2）得 D（1，4），B（1，2）， ①当 BD 为平行四边形对角线时，由 B、C、D、N 的坐标知，四边形 BCDN 是平行四边形，此时，点 E 与点 C 重合，即 E（2，3）。 ②当 BD 为平行四边形边时， ∵点 E 在直线 AC 上，∴设 E（x，x+1），则 F（x， ）。 又∵BD=2 ∴若四边形 BDEF 或 BDFE 是平行四边形时，BD=EF。 ∴ ，即 。 若 ，解得，x=0 或 x=1（舍去），∴E（0，1）。 k+n=0 2k+n=3 −   k=1 n=1    ( )22y x 2x 3= x 1 +4= − + + − − 6s+t=3 s+t=4    1s= 5 21t= 5  −   1 21y x5 5 = − + 1 21 18m 3 =5 5 5 = − × + 18 5 2x 2x 3− + + ( )2x 2x 3 x 1 =2− + + − + 2x x 2 =2− + + 2x x 2=2− + + 若 ，解得， ，∴E 或 E 。 综上，满足条件的点 E 为（2，3）、（0，1）、 、 。 （4）如图，过点 P 作 PQ⊥x 轴交 AC 于点 Q；过点 C 作 CG⊥x 轴于点 G， 设 Q（x，x+1），则 P（x，﹣x2+2x+3）。 ∴ 。 ∴ 。 ∵ ， ∴当 时，△APC 的面积取得最大值，最大值为 。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，三 角形三边关系，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值。 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。 （2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作 N 点关于直线 x=3 的对称点 N′，当 M （3，m）在直线 DN′上时，MN+MD 的值最小。 （3）分 BD 为平行四边形对角线和 BD 为平行四边形边两种情况讨论。 （4）如图，过点 P 作 PQ⊥x 轴交 AC 于点 Q；过点 C 作 CG⊥x 轴于点 G，设 Q （x，x+1），则 P（x，﹣x2+2x+3），求得线段 PQ=﹣x2+x+2。由图示以及三角形的面积公式 知 ，由二次函数的最值的求法可知△APC 的面积的最大值。 11. （2012 湖北咸宁 8 分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 A（1，6），B（ ，2）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； 2x x 2= 2− + + − 1 17x= 2 ± 1+ 17 3+ 17 2 2       ， 1 17 3 17 2 2  − −    ， 1+ 17 3+ 17 2 2       ， 1 17 3 17 2 2  − −    ， 2 2PQ x 2x 3 x 1 x x 2= − + + − − = − + +（ ）（ ） APC APQ CPQ 1S S +S PQ AG2∆ ∆ ∆= = ⋅ 2 21 3 1 27x x 2 3 x2 2 2 8 = − + + × = − − +（ ） （ ） 3 02 <− 1x= 2 27 8 APC APQ CPQS S +S∆ ∆ ∆= 1y kx b= + 2 my (x 0)x = > a （2）直接写出 ≥ 时 的取值范围． 【答案】解：（1）∵点 A（1，6），B（a，2）在 的图象上， ∴ ，得 。∴反比例函数的解析式为 。 ∴ ， 。∴B（3，2）。 ∵点 A（1，6），B（3，2）在函数 的图象上， ∴ ，解得 。∴一次函数的解析式为 。 （2）1≤ ≤3。 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）先把 A（1，6）代入反比例函数的解析式求出 m 的值，从而可得出反比例函 数的解析式，再把 B（a，2）代入反比例函数的解析式即可求出 a 的值，把点 A（1，6），B （3，2）代入函数 y1=kx+b 即可求出 k、b 的值，进而得出一次函数的解析式。 （2）根据函数图象可知，当 x 在 A、B 点的横坐标之间时，一次函数的图象在反 比例函数图象的上方，再由 A、B 两点的横坐标即可求出 x 的取值范围。 12. （2012 湖北咸宁 10 分）某景区的旅游线路如图 1 所示，其中 A 为入口，B，C，D 为风 景点，E 为三岔路的交汇点，图 1 中所给数据为相应两点间的路程（单位：km）．甲游客以 一定的速度沿线路“A→D→C→E→A”步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到 A 处时，共用去 3h．甲步行的路程 s（km）与游览时间 t（h）之间的部分函数图象如图 2 所 示． （1）求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象； （2）求 C，E 两点间的路程； （3）乙游客与甲同时从 A 处出发，打算游完三个景点后回到 A 处，两人相约先到者在 A 处等候， 等 候时间不超过 10 分钟．如果乙的步行速度为 3km/h，在每个景点逗留的时间与甲相同，他 们的约定能否实现？请说明理由． 1y 2y x 2 my (x 0)x = > m 61 = m 6= 2 6y x = m 2a = ma 32 = = 1y kx b= + k b 6 3k b 2 + =  + = k 2 b 8 = −  = 1y 2x 8= − + x 【答案】解：（1）由图 2 可知甲步行的速度为 （km/h）， ∴甲在每个景点逗留的时间为 （h）。 补全图象如下： （2）设甲沿 C→E→A 步行时，s 与 t 的函数关系式为 , 则 ．∴ 。∴ 。 当 时， 。 ∴C，E 两点间的路程为 （km）。 （3）他们的约定能实现。理由如下： 乙 游 览 的 最 短 线 路 为 ： A→D→C→E→B→E→A （ 或 A→E→B→E→C→D→A）， 总行程为 （km）。 ∴乙游完三个景点后回到 A 处的总时间为 （h）。 ∵3.1－3=0.1（h）=6（分钟），∴乙比甲晚 6 分钟到 A 处。 ∵先到者在 A 处等候时间不超过 10 分钟，6＜10， ∴他们的约定能实现。 【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据图 2 中的图象得到甲从 A 步行到 D，用了 0.8h，步行了 1.6km，可计算出 甲步行的速度=1.60÷8=2（km/h），从图象中可得甲步行到 C 共用了 1.8h，步行了 2.6km，于 1.6 20.8 = 2.6 1.61.8 0.8 0.52 −− − = s 2t m= + 2 2.3 m 2.6× + = m 2= − s 2t 2= − t 3= s 2 3 2 4= × − = 4 1.6 1 0.8 0.6− − − = 1.6 1 0.6 0.4 2 0.8 4.8+ + + × + = 4.8 0.5 3 3.13 + × = 是甲在 D 景点逗留的时间=1.8－0.8－（2.6－1.6）÷2 =1－0.5=0.5（h），即得到甲在每个景 点逗留的时间。同时可得甲在 C 景点逗留 0.5h，从 2.3h 开始步行到 3h，步行了（3－2.3） ×2=1.4km，即回到 A 处时共步行了 4km，然后依此补全图象。 （2）设沿 C→E→A 步行时，s 与 t 的函数关系式，由（2.3，2.6）求出此关系式， 得到当 时， 。从而求 C，E 两点间的路程。 （3）求出乙游览的最短线路的总行程，从而得到乙游览的总时间，与甲游览的总 时间比较，不超过 10 分钟即能实现，超过 10 分钟则不能实现。 13. （2012 湖北荆州 10 分）荆州市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆州市长湖养殖 场批发购进草鱼和乌鱼（俗称黑鱼）共 75 千克，且乌鱼的进货量大于 40 千克．已知草鱼的 批发单价为 8 元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示． （1）请直接写出批发购进乌鱼所需总金额 y（元）与进货量 x（千克）之间的函数关系式； （2）若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出 89%、95%，要使总零售 量不低于进货量的 93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是 多少？ 【答案】解：（1）批发购进乌鱼所需总金额 y（元）与进货量 x（千克）之间的函数关系式 为 。 （2）设该经销商购进乌鱼 x 千克，则购进草鱼（75﹣x）千克，所需进货费用 为 w 元． 由题意得： ，解得 x≥50。 由题意得 w=8（75﹣x）+24x=16x+600． ∵16＞0，∴w 的值随 x 的增大而增大。∴当 x=50 时，75﹣x=25，W 最小 =1400（元）。 答：该经销商应购进草鱼 25 千克，乌鱼 50 千克，才能使进货费用最低， 最低费用为 1400 元。 t 3= s 2 3 2 4= × − = 26x(20 x 40)y= 24x(x 40)> ≤ ≤   ( ) x 0 89% 75 x +95%x 93% 75 > ⋅ − ≥ ⋅ 【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。 【分析】（1）根据所需总金额 y（元）是进货量 x 与进价的乘积，即可写出函数解析式。 （2）根据总零售量不低于进货量的 93%这个不等关系即可得到关于进价 x 的不等 式，解不等式即可求得 x 的范围．费用可以表示成 x 的函数，根据函数的增减性，即可确定 费用的最小值。 14. （2012 湖北荆州 12 分）已知：y 关于 x 的函数 y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2 的图象与 x 轴有交点． （1）求 k 的取值范围； （2）若 x1，x2 是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1） x12+2kx2+k+2=4x1x2． ①求 k 的值；②当 k≤x≤k+2 时，请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值． 【答案】解：（1）当 k=1 时，函数为一次函数 y=﹣2x+3，其图象与 x 轴有一个交点。 当 k≠1 时，函数为二次函数，其图象与 x 轴有一个或两个交点， 令 y=0 得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0． △=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得 k≤2．即 k≤2 且 k≠1。 综上所述，k 的取值范围是 k≤2。 （2）①∵x1≠x2，由（1）知 k＜2 且 k≠1。 由题意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*）， 将（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2 中得：2k（x1+x2）=4x1x2。 又∵x1+x2= ，x1x2= ，∴2k• =4• ， 解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）。∴所求 k 值为﹣1。 ②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣ ）2+ ，且﹣1≤x≤1， 由图象知：当 x=﹣1 时，y 最小=﹣3；当 x= 时，y 最大= 。 ∴y 的最大值为 ，最小值为﹣3。 【考点】抛物线与 x 轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关 系，二次函数的最值。 【分析】（1）分两种情况讨论，当 k=1 时，可求出函数为一次函数，必与 x 轴有一交点； 当 k≠1 时，函数为二次函数，若与 x 轴有交点，则△≥0。 2k k 1− k+2 k 1− 2k k 1− k+2 k 1− 1 2 3 2 1 2 3 2 3 2 （2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2 及根与系数的关系，建立关于 k 的方程， 求出 k 的值。②充分利用图象，直接得出 y 的最大值和最小值。 15. （2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价 定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家 一次购买这种 新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购 买一件，所购 买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元． (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元? (2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函 数关系式，并 写出自变量x 的取值范围． (3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一 次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多， 公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变) 【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。 （2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x； 当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x； 当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。 ∴ 。 （3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当 时，利润 y有最大值， 此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元， 答：公司应将最低销售单价调整为 2750 元。 【考点】二次函数的应用。 【分析】（1）设件数为 x，则销售单价为 3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为 2600 元， 列方程求解。 （2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜ 2 600x(0 x 10 x ) y 10x 700x(10 x 50 x ) 200x(x 50 x ) < > ≤ ≤ = − + ≤   ，且 整 ，且 整 ，且 整 为 数 为 数 为 数 ( ) 700x 352 10 = − =× − x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式。 （3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值 时x的值，确定销售单价。 16. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1: 与x 轴相交于点B、 C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE的面积． (3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）∵抛物线 C1 过点 M(2，2)，∴ ，解得 m=4。 （2）由（1）得 。 令 x=0，得 。∴E（0，2），OE=2。 令 y=0，得 ，解得 x1=－2，x=4。 ∴B（－2，，0），C（4，0），BC=6。 ∴△BCE 的面积= 。 （3）由（2）可得 的对称轴为 x=1。 连接 CE，交对称轴于点 H，由轴对称的性质和两点之间 线段最短的性质，知此时 BH+EH 最小。 设直线 CE 的解析式为 ，则 ，解得 。∴直线 CE 的解析式为 。 ( ) ( )1y x 2 (x m) m 0m = − + − > ( )12 2 2 (2 m)m = − + − ( )1y x 2 (x 4)4 = − + − y 2= ( )10 x 2 (x 4)4 = − + − 1 6 2 62 × × = ( )1y x 2 (x 4)4 = − + − y kx+b= 4k+b=0 b=2    1k= 2 b=2  −  1y x+22 = − 当 x=1 时， 。∴H（1， ）。 （4）存在。分两种情形讨论： ①当△BEC∽△BCF 时，如图所示。 则 ，∴BC2=BE•BF。 由（2）知 B（－2，0），E（0，2），即 OB=OE， ∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。 作 FT⊥x 轴于点 F，则 BT=TF。 ∴令 F（x，－x－2）（x＞0）， 又点 F 在抛物线上，∴－x－2= ， ∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=2m，F（2m，－2m－2）。 此 时 ， 又 BC2=BE•BF，∴（m+2）2= • ，解得 m=2± 。 ∵m＞0，∴m= +2。 ②当△BEC∽△FCB 时，如图所示。 则 ，∴BC2=EC•BF。 同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE， ∴ 。 ∴令 F（x，－ （x+2））（x＞0）， 又点 F 在抛物线上，∴－ （x+2）= 。 ∵x+2＞0（∵x＞0）， ∴x=m+2。∴F（m+2，－ （m+4））， ，BC=m+2。 又 BC2=EC•BF，∴（m+2）2= . 整理得：0=16，显然不成立。 综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点 F，使得以点 B、C、F 为 3y 2 = 3 2 BE BC BC BF = ( )1 x 2 (x m)m − + − 2 2BF (2m 2) ( 2m 2) 2 2 m 1 BE 2 2 BC m 2= + + − − = + = = +（ ）， ， 2 2 2 2 m 1+（ ） 2 2 2 2 BC EC BF BC = TF OE 2 BT OC m = = 2 m 2 m ( )1 x 2 (x m)m − + − 2 m 2EC m 4= + ( ) ( )2 22 2 4 m+4m 4 m+2+2 + m + ⋅ 顶点的三角形与△BCE 相似，m= +2。 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质， 两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得 m 的值。 （2）求出 B、C、E 点的坐标，从而求得△BCE 的面积。 （3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点 B、C 关于对称轴 x=1 对 称，连接 EC 与对称轴的交点即为所求的 H 点。 （4）分两种情况进行讨论： ①当△BEC∽△BCF 时，如图所示，此时可求得 +2。 ②当△BEC∽△FCB 时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存 在。 17. （2012 湖北随州 12 分）一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地, 两车同 时出发,匀速运动.快车离乙地的路程 y1(km)与行驶的时间 x(h)之间的函数关系,如图中线段 AB 所示；慢车离乙地的路程 y2(km)与行驶的时间 x(h)之间的函数关系,如图中线段 OC 所示。 根据图象进行以下研究。 解读信息： (1)甲、乙两地之间的距离为 km； (2)线段 AB 的解析式为 ; 线段 OC 的解析式为 ； 问题解决： (3)设快、慢车之间的距离为 y(km)，求 y 与慢车行驶时间 x(h)的函数关系式，并画出函数的 图象。 【答案】解：（1）450。 （2）y1=450－150x（0≤x≤3）；y2=75x（0≤x≤6）。 （3）根据（2）得出： 2 2 2 2 。 由函数解析式 y=450－225x（0≤x＜2），当 x=0，y=450； 由函数解析式 y=225x－450（2≤x＜3），当 x=2，y=0； 由函数解析式 y=75x（3≤x≤6），当 x=3，y=225，x=6，y=450。 根据各端点，画出图象，其图象为折线图 AE－EF－FC： 【考点】一次函数的图象和应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）利用 A 点坐标为（0，450），可以得出甲，乙两地之间的距离。 （2）利用 A 点坐标（0，450），B 点坐标（3，0），用待定系数法求出线段 AB 的 解析式；利用 C 点坐标（6，450），用待定系数法求出线段 AB 的解析式： 设线段 AB 的解析式为：y1=kx+b，根据 A 点坐标（0，450），B 点坐标（3， 0）， 得出： ，解得： 。∴线段 AB 的解析式为：y1=450－150x （0≤x≤3）。 设线段 OC 的解析式为：y2=ax，将（6，450）代入得 a=75。 ∴线段 OC 的解析式为 y2=75x （0≤x≤6）。 （3）利用（2）中所求得出， ，从而求出函数解析式，得 出图象即可。 18. （2012 湖北随州 13 分）在一次数学活动课上，老师出了一道题： (1)解方程 x2－2x－3=0. 巡视后老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法(分解因式法)。 1 2 2 450 225x(0 x 2)y y (2 x 3) 450 150x 75x (2 x 3)y 225x 450(2 x 3) y (3 x 6) 75x(3 x 6) 75x(3 x 6) << < < − ≤ − ≤  − − ≤  = = = − ≤  ≤ ≤ ≤ ≤   ≤ ≤ b 450 3k b 0 =  + = k 150 b 450 = −  = 1 2 2 y y (2 x 3)y y (3 x 6) < − ≤=  ≤ ≤ 接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题： (2)解关于 x 的方程 mx2+(m－3)x－3=0(m 为常数，且 m≠0). 老师继续巡视，及时观察、点拨大家.再接着，老师将第二道题变式为第三道题： (3)已知关于 x 的函数 y=mx2+(m－3)x－3(m 为常数). ①求证：不论 m 为何值，此函数的图象恒过 x 轴、y 轴上的两个定点(设 x 轴上的定点为 A，y 轴上的定点为 C)； ②若 m≠0 时，设此函数的图象与 x 轴的另一个交点为点 B，当△ABC 为锐角三角形时， 求 m 的取值范围；当△ABC 为钝角三角形时，观察图象，直接写出 m 的取值范围. 请你也用自己熟悉的方法解上述三道题. 【答案】解：（1）由 x2－2x－3＝0，得（x+1）(x－3)=0，∴x1=1，x2=3 。 （2）由 mx2+(m－3)x－3=0 得（x+1）·(mx－3)=0 ∵m≠0, ∴x1=－1，x2= 。 （3）①1°当 m=0 时，函数 y= mx2+(m－3)x－3 为 y=－3x－3， 令 y=0，得 x=－1；令 x=0，则 y=－3。 ∴直线 y=－3x－3 过定点 A（－1，0）,C（0，－3）。 2°当 m≠0 时，函数 y= mx2+(m－3)x－3 为 y=（x+1）·(mx－3)， ∴抛物线 y=（x+1）·(mx－3)恒过两定点 A（－1，0）,C（0，－3）。 综上所述，不论 m 为何值，此函数的图象恒过 x 轴、y 轴上的两个定点 A （－1，0）,C（0，－3）。 ②当 m>0 时，由①可知抛物线开口向上，且过点 A（－1，0）,C（0，－ 3）和 3 m B（ ，0）， 观察图象，可知，当△ABC 为 Rt△时， △AOC∽△COB ∴ ，即 。∴OB=9。 ∴B(9，0) 。 ∴当 ，即：m＞ 时，△ABC 为锐角三角形。 当△ABC 为钝角三角形时，090º, 当 m<0 且 m≠－3 时，点 B 在 x 轴的负半轴上，B 与 A 不重合，∠ABC>90º。 综上所述，当△ABC 为钝角三角形时，0