2013北京中考数学压轴题训练四2013320 17页

‎ 北京2013年中考数学压轴题训练四 2013.3.20‎ ‎86、（12）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有　　　个．‎ ‎87、（20）已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．‎ ‎（1）求证：DE为⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直径．‎ ‎88、（24）（本小题满分7分）‎ 直线CD经过的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且．‎ ‎（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：‎ ‎①如图1，若，则 （填“”，“”或“”号）；‎ ‎②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ；‎ ‎（2）如图3，若直线CD经过的外部，，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．‎ A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图1‎ 图2‎ 图3‎ 17‎ ‎89、（25）（本小题满分8分）‎ 已知抛物线．‎ ‎　（1）求抛物线顶点M的坐标；‎ ‎　（2）若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； ‎ ‎　（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎90、已知为圆锥的顶点，为圆锥底面上一点，点在上．一只蜗牛从点出发，绕圆锥侧面爬行，回到点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）‎ O P M O M P A．‎ O M P B．‎ O M P C．‎ O M P D．‎ 17‎ ‎91、（8） 右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的 展开图，那么这个展开图是 （ ）‎ ‎92、（24） 在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点.‎ ‎ （1）求此抛物线的解析式；‎ ‎ （2）设抛物线的顶点为，将直线沿轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于点，求直线的解析式；‎ ‎ （3）在（2）的条件下，求到直线、、距离相等的点的坐标.‎ ‎ ‎ 17‎ ‎93、（25） 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.‎ ‎ （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；‎ ‎ （2）如图，在中，点、分别在、上，设、相交于，若，，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；‎ ‎ （3）在中，如果是不等于60º的锐角，点、分别在、上，且，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.‎ 17‎ ‎94、（8）将如右图所示的圆心角为的扇形纸片围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径与重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是（　　）‎ ‎ A B C D ‎95、（12）如图，在中，，，分别是，的中点，，为上的点，连结，．若，，，则图中阴影部分的面积为 ．‎ ‎96、（11） 如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝5，BC＝3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动。设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化。在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（ ）‎ ‎97、（16） 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且，则∠BCA的度数为________________________ .‎ 17‎ ‎98、（25） 已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，抛物线经过两点.‎ ‎ （1）试用含的代数式表示；‎ ‎ （2）设抛物线的顶点为，以为圆心，为半径的圆被轴分为劣弧和优弧两部分.若将劣弧沿轴翻折，翻折后的劣弧落在内，它所在的圆恰与相切，求半径的长及抛物线的解析式；‎ ‎ （3）设点是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在轴上方的部分上是否存在这样的点，使得 ？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 17‎ ‎99、图3是饮水机的图片.饮水桶中的水由图4的位置下降到图5的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水位下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象可能是（ ）‎ 图3 图4 图5‎ ‎100、（18） 某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图6所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为_______________cm . 图6‎ ‎101、（14）三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，。假设水库水位匀速上升。那么下列图像中，能正确反映这10天水位（米）随时间（天）变化的是（ ）‎ 17‎ ‎102、（26）已知：抛物线与轴的一个交点为A（－1，0）。‎ ‎（1）求抛物线与轴的另一个交点B的坐标；‎ ‎（2）D是抛物线与轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；‎ ‎（3）E是第二象限内到轴、轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎103、（28） 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（0，2），以OA为直径作圆B.若点D是x轴上的一动点，连结AD交圆B于点C.‎ ‎（2）过点D作DP//y轴与过B、C两点的直线交于点P，请任意求出三个符合条件的点P的坐标，并确定图象经过这三个点的二次函数的解析式；‎ ‎（3）若点P满足（2）中的条件，点M的坐标为（-3，3），求线段PM与PB的和的最小值，并求出此时点P的坐标.‎ 17‎ 北京中考数学模拟精选答案2013.3.20‎ ‎86、80 87、（1）证明：联结OD． ∵ D为AC中点, O为AB中点,‎ ‎∴ OD为△ABC的中位线． ∴OD∥BC． -- 1分∵ DE⊥BC， ∴∠DEC=90°.‎ ‎∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D.∴ DE为⊙O的切线． ------- 2分 ‎（2）解：联结DB． ∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADB=90°． ∴DB⊥AC． ∴∠CDB=90°. ∵ D为AC中点, ∴AB=AC．‎ 在Rt△DEC中，∵DE=2 ,tanC=, ∴EC=.---------- 3分 由勾股定理得：DC=.‎ 在Rt△DCB 中， BD=．由勾股定理得： BC=5.‎ ‎ ∴AB= BC=5. ------ 4分 ∴⊙O的直径为5. ----- 5分 ‎88、解：（1）= ； - 1分 ‎(2) ∠α+∠BCA=180°； -- 3分 ‎1‎ ‎21‎ ‎31‎ ‎(3) 探究结论： EF=BE+AF. ----- 4分 证明：∵∠1+∠2+∠BCA=180°, ∠2+∠3+∠CFA=180°.‎ 又∵∠BCA=∠α=∠CFA，∴∠1=∠3. ------ 5分 ‎∵∠BEC=∠CFA=∠α,CB=CA, ∴△BEC≌△CFA. --- 6分 ‎∴BE=CF , EC=AF. ∴EF=EC+CF=BE+AF. ---- 7分 ‎ A N M C Q B P2‎ P1‎ x y ‎89、解：（1）∵抛物线∴顶点M的坐标为． --- 1分[来源:‎ ‎（2）抛物线与与x轴的两交点为A(-1,0) ，B（2，0）．‎ 设线段BM所在直线的解析式为．‎ ‎∴解得 ∴线段BM所在直线的解析式为． ..- 2分 设点N的坐标为．∵点N在线段BM上，∴. ∴．‎ ‎∴S四边形NQAC＝S△AOC＋S梯形OQNC． ---- 3分 17‎ ‎∴S与t之间函数关系式为，自变量t的取值范围为． 4分 ‎（3）假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则且．‎ ‎，，．‎ 分以下几种情况讨论：‎ ‎①若∠PAC＝90°，则．∴‎ 解得， ．∵ ．∴．∴． --- 6分 ‎②若∠PCA＝90°，则．∴‎ 解得，．∵，∴．∴． ‎ 当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．‎ ‎∴存在符合条件的点P，且坐标为，． ------- 8分 ‎90、D 91、D ‎ ‎92、解：（1）由题意可得 ‎ 故抛物线的解析式为：.‎ ‎ （2）由可知抛物线的顶点坐标为B（），故C（），且直线过原点. 设直线的解析式为，则有. 故直线的解析式为.‎ ‎ （3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个.‎ ‎ 由勾股定理可知OB=OC=BC=2，故△OBC为等边三角形，四边形ABCO是菱形，且∠BCO=60°，连接AC交x轴于一点M，易证点M到OB、OC、BC的距离相等. 由点A在∠BCO的平分线上，故它到BC、CO的距离相等均为，‎ ‎ 同时不难计算出点A到OB的距离为，故点A也算其中一个. 同理，不难想到向左、向下可以分别作与ABCO全等的菱形（如图所示，其中△OBC为新菱形的一半），此时必然存在两个点，使得它到直线OB、OC、BC的距离相等.‎ 17‎ ‎ 此四个点的坐标分别为：M（）、A（0，2）、（0，-2）、（）.‎ ‎93、解：（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可.‎ ‎ （2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）四边形DBCE是等对边四边形.‎ ‎ （3）此时存在等对边四边形DBCE.‎ ‎ 证明1：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD的延长线于F点. ‎ ‎ ∵∠DCB=∠EBC=∠A，BC为公共边∴△BGC≌△CFB∴BF=CG ‎ ‎∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A∠GEC=∠ABE+∠A ‎∴△BDF≌△CEG∴BD=CE故四边形DBCE是等对边四边形.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 证明2：如图，在BE上取一点F，使得BF=CD，连接CF.‎ 易证△BCD≌△CBF，故BD=CF，∠FCB=∠DBC. ‎ ‎∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A∠CEF=∠ABE+∠A ‎∴CF=CE ∴BF=CE 故四边形DBCE是等对边四边形.‎ ‎94、B 95、30 96、A 97、 65°或115°‎ ‎98、（1）∵一次函数的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0）‎ ‎ ∵抛物线经过O、A两点 ……1分 ‎ 解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0）‎ ‎ ∵抛物线经过O、A两点∴抛物线的对称轴为直线 ‎ ………………1分 ‎ （2）解：由抛物线的对称性可知，DO＝DA∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO ‎ 又由（1）知抛物线的解析式为∴点D的坐标为（）‎ ‎ ①当时，‎ 17‎ ‎ 如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'∴点D'与点D也关于x轴对称 ‎ ∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切∴点O为切点………………2分∴D'O⊥OD∴∠DOA＝∠D'OA＝45°‎ ‎ ∴△ADO为等腰直角三角形………………3分∴点D的纵坐标为 ‎ ∴抛物线的解析式为……4分 ‎ ②当时， 同理可得：抛物线的解析式为………………5分 ‎ 综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或 ‎ （3）抛在x轴上方的部分上存在点P，使得 设点P的坐标为（x，y），且y＞0‎ ‎ ①当点P在抛物线上时（如图2）‎ ‎ ∵点B是⊙D的优弧上的一点 ‎ 过点P作PE⊥x轴于点E ‎ ‎ 17‎ ‎ 由解得：（舍去）‎ ‎ ∴点P的坐标为………………7分 ‎ ②当点P在抛物线上时（如图3）‎ ‎ 同理可得，‎ ‎ 由解得：（舍去）‎ ‎ ∴点P的坐标为………………9分 ‎ 综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为 ‎ 或 ‎99、C 100、13 101、B ‎ ‎102、解法一：（1）依题意抛物线的对称轴为＝－2‎ ‎∵抛物线与轴的一个交点为A（－1，0）‎ ‎∴由抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）‎ ‎（2）∵抛物线与轴的一个交点为A（－1，0）‎ ‎∴∴∴∴D（0，）‎ 在梯形ABCD中，∵AB∥CD，且点C在抛物线上 ‎∴C（－4，）∴AB＝2，CD＝4‎ ‎∵梯形ABCD的面积为9∴∴∴＝±1‎ ‎∴所求抛物线的解析式为或 ‎ ‎ 17‎ ‎（3）设点E的坐标为（，），依题意得＜0，＞0，且∴＝‎ ‎①设点E在抛物线上 ∴‎ 解方程组得，‎ ‎∵点E与点A在对称轴＝－2的同侧 ∴点E的坐标为（，）‎ 设在抛物线的对称轴＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小 ‎∵AE长为定值∴要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小 ‎∵点A关于对称轴＝－2的对称点是B（－3，0）‎ ‎∴由几何知识可知P是直线BE与对称轴＝－2的交点 设过点E、B的直线解析式为∴ 解得 ‎∴BE的解析式为把＝－2代入上式得 ∴点P的坐标为（－2，）‎ ‎②设点E在抛物线上 ∴‎ 解方程组消去得 ∵△＜0∴此方程无实数根 综上所述：在抛物线的对称轴上存在点P（－2，），使△APE的周长最小。‎ 解二（1）∵抛物线与轴的一个交点为A（－1，0）∴∴‎ ‎∴令＝0，即解得＝－1，＝－3‎ ‎∴抛物线与轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）‎ ‎（2）由得D（0，）‎ ‎∵梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线上 ∴C（－4，）‎ ‎∴AB＝2，CD＝4∵梯形ABCD的面积为9‎ 17‎ ‎∴，解得OD＝3‎ ‎∴∴＝±1∴所求抛物线的解析式为或 ‎（3）由解法（1）得：P是直线BE与对称轴＝－2的交点 如图：过点E作EQ⊥轴于点Q 设对称轴与轴的交点为F 由PF∥EQ可得∴∴PF＝‎ ‎∴点P的坐标为（－2，）以下同解法一。‎ ‎103解：（1）如图7所示，当点D在x轴的正半轴上时，连结OC，过C点作CK⊥y轴于点K。‎ 设OK的长为x，则KC=2x，可得AK=4x ‎ 17‎ ‎（2）∵DP//y轴，当点D位于如图7的位置时，有D（1，0）。‎ ‎ 如图8所示，当点D的坐标为（2，0）时，△AOD为等腰三角形 连结OC，‎ 如图9所示，类似地，可得点P2的坐标为（-2，1） ‎ ‎（3）如图10所示，∵AB//PD， ‎ 由几何知识可知，当直线DP经过点M（-3，3）时，PM+PD的值最小。‎ ‎∴当直线DP过点M时，PM+PB的值最小。∴PM+PB的最小值是MD+BC=3+1=47分 17‎ ‎∵OD=3，OA=2 又可证DO是圆B的切线。‎ 17‎