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- 2021-05-10 发布
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方程与不等式专题。
一.选择题(共 12 小题)
1.使得关于 x 的不等式组 有解,且使分式方程 有非负
整数解的所有的 m 的和是( )
A.﹣1 B.2 C.﹣7 D.0
2.若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣6x+9=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范
围( )
A.k<1 且 k≠0 B.k≠0 C.k<1D.k>1
3.不论 x,y 取何实数,代数式 x2﹣4x+y2﹣6y+13 总是( )
A.非实数 B.正数 C.负数 D.非正数
4.关于 x 的分式方程 ﹣ =1 有增根,则 m 的值为( )
A.1 B.4 C.2 D.0
5.有一个底面半径为 10cm,高为 30cm 的圆柱形大杯中存满了水,把水倒入一
个底面直径为 10cm 的圆柱形小杯中,刚好倒满 12 杯,则小杯的高为( )
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
6.某商店出售两件衣服,每件卖了 200 元,其中一件赚了 25%,而另一件赔了
20%,那么商店在这次交易中( )
A.赚了 10 元 B.亏了 10 元 C.赚了 20 元 D.亏了 20 元
7.已知关于 x 的方程 x﹣ = ﹣1 的解是正整数,则符合条件的所有整数
a 的积是( )
A.12 B.36 C.﹣4 D.﹣12
8.方程|2x﹣1|﹣a=0 恰有两个正数解,则 a 的取值范围是( )
A.﹣1<a<0 B.﹣1<a<1 C.0<a<1 D. <a<1
9.按国家 2011 年 9 月 1 日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资(薪金)
中,扣除国家规定的免税部分 3500 元后的剩余部分为应纳税所得额,全月应纳
税所得额不超过 1500 元的税率为 3%,超过 1500 元至 4500 元部分的税率为 10%,
若小明妈妈某月缴了 145 元的个人所得税,则她的月工资是( )
A.6000 元 B.5500 元 C.2500 元 D.2000 元
10.分式方程 = 无解,则 m 的值为( )
A.2 B.1 C.1 或 2 D.0 或 2
11.若关于 x 的分式方程 有增根,则 k 的值是( )
A.﹣1 B.﹣2 C.2 D.1
12.已知关于 x 的不等式组 有五个整数解,m 的取值范围是( )
A.﹣4≤m<﹣3 B.﹣8≤m<﹣6 C.4<m≤6 D.4≤m<6
二.填空题(共 10 小题)
13.已知点 P(x,y)位于第二象限,并且 y≤2x+6,x、y 为整数,则点 P 的个
数是 .
14.若不等式组 无解,则 m 的取值范围是 .
15.敌我两军相距 14 千米,敌军于 1 小时前以 4 千米/小时的速度逃跑,现我军
以 7 千米/小时的速度追击 小时后可追上敌军.
16.已知 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+a=0 的两个解,若(m﹣1)(n
﹣1)=﹣6,则 a 的值为 .
17.已知 x,y 均为实数,且满足关系式 x2 ﹣2x﹣6=0,y2 ﹣2y﹣6=0,则
= .
18.若不等式组 无解,则 m 的取值范围是 .
19.一座桥长 1200 米,一列火车以每秒 20 米的速度通过这座桥,火车车身长
300 米,则火车从上桥到离开需要 秒.
20.若实数 a,b 满足(a2+b2)(a2+b2﹣8)+16=0,则 a2+b2= .
21.方程 =x﹣1 的根为 .
22.要使关于 x 的方程 有唯一的解,那么 m≠ .
三.解答题(共 6 小题)
23.已知方程组 的解 x、y 满足 x+y<1,且 m 为正数,求 m 的取值
范围.
24.一件夹克衫先按成本提高 50%标价,再以 8 折(标价的 80%)出售,结果获
利 28 元,求这件夹克衫的成本是多少元?
25.如图,在 Rt△ACB 中,∠C=90°,BC=6m,AC=8m,点 P、Q 同时由 A、B 两
点出发分别沿 AC,BC 方向向点 C 匀速运动,已知点 P 移动的速度是 20cm/s,点
Q 移动的速度是 10cm/s,几秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的 ?
26.在解方程组 时,由于粗心,甲看错了方程组中的 a,而得解为
,乙看错了方程组中的 b,而得解为 ,根据上面的信息解答:
(1)甲把 a 看成了什么,乙把 b 看成了什么?
(2)求出原方程组的正确解.
27.阅读理解题:定义:如果一个数的平方等于﹣1,记为 i2=﹣1①,这个数 i
叫做虚数单位.那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数,表示为 a+bi(a,b
为实数),a 叫这个复数的实部,b 叫做这个复数的虚部.
如果只把 i 当成代数,则 i 将符合一切实数运算规则,但要根据①式变通来简便
运算.(不要把复数当成高等数学,它只是一个小学就学过的代数而已!它的加,
减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似.)
例题 1:i3=i2•i=﹣1•i=﹣i;i4=i3•i=﹣i•i=﹣i2=﹣(﹣1)=1
例题 2:(2+i)+(3﹣4i)=(2+3)+(1﹣4)i=5﹣3i(5+i)×(3﹣4i)=15﹣20i+3i
﹣4i2=15﹣17i+4=19﹣17i
同样我们也可以化简 = = =2i
也可以解方程 x2=﹣1,解为 x1=i,x2=﹣i.
读完这段文字,请你解答以下问题:
(1)填空:i5= ,i6= ;
(2)计算:(2+i)2;
(3)在复数范围内解方程:x2﹣x+1=0.
28.为了更好的保护美丽图画的邛海湿地,西昌市污水处理厂决定先购买 A、B
两型污水处理设备共 20 台,对邛海湿地周边污水进行处理,每台 A 型污水处理
设备 12 万元,每台 B 型污水处理设备 10 万元.已知 1 台 A 型污水处理设备和 2
台 B 型污水处理设备每周可以处理污水 640 吨,2 台 A 型污水处理设备和 3 台 B
型污水处理设备每周可以处理污水 1080 吨.
(1)求 A、B 两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨?
(2)经预算,市污水处理厂购买设备的资金不超过 230 万元,每周处理污水的
量不低于 4500 吨,请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少?
最少是多少?
方程与不等式专题。
参考答案与试题解析
一.选择题(共 12 小题)
1.使得关于 x 的不等式组 有解,且使分式方程 有非负
整数解的所有的 m 的和是( )
A.﹣1 B.2 C.﹣7 D.0
【分析】根据不等式组的解集的情况得出关于 m 的不等式,求得 m 的解集,再
解分式方程得出 x,根据 x 是非负整数得出 m 所有的 m 的和.
【解答】解:∵关于 x 的不等式组 有解,
∴1﹣2m>m﹣2,
解得 m<1,
由 得 x= ,
∵分式方程 有非负整数解,
∴x= 是非负整数,
∵m<1,
∴m=﹣5,﹣2,
∴﹣5﹣2=﹣7,
故选 C.
【点评】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集,求得 m 的取值范围以及
解分式方程是解题的关键.
2.若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣6x+9=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范
围( )
A.k<1 且 k≠0 B.k≠0 C.k<1D.k>1
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义,令△>0 且二次项系数不为 0
即可.
【解答】解:∵关于 x 的一元二次方程 kx2﹣6x+9=0 有两个不相等的实数根,
∴△>0,
即(﹣6)2﹣4×9k>0,
解得,k<1,
∵为一元二次方程,
∴k≠0,
∴k<1 且 k≠0.
故选 A.
【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义,要知道:(1)△>0
⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0
⇔
方程有两个相等的实数根;(3)△<0
⇔
方程没有实数根.
3.不论 x,y 取何实数,代数式 x2﹣4x+y2﹣6y+13 总是( )
A.非实数 B.正数 C.负数 D.非正数
【分析】先根据完全平方公式进行配方得到 x2+y2+4x﹣6y+14=(x+2)2+(y﹣3)
2+1,然后根据非负数的性质进行证明.
【解答】解:x2﹣4x+y2﹣6y+13=x2﹣4x+4+y2﹣6y+9
=(x﹣2)2+(y﹣3)2,
∵(x+2)2≥0,(y﹣3)2≥0,
∴(x+2)2+(y﹣3)2≥0,
∴不论 x、y 取何值,代数式 x2﹣4x+y2﹣6y+13 的值总是非负数,
故选 A.
【点评】本题考查了配方法的应用:配方法的理论依据是公式 a2±2ab+b2=(a
±b)2;配方法的关键是:先将一元二次方程的二次项系数化为 1,然后在方程
两边同时加上一次项系数一半的平方.
4.关于 x 的分式方程 ﹣ =1 有增根,则 m 的值为( )
A.1 B.4 C.2 D.0
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案.
【解答】解:将分式方程 ﹣ =1 两边同乘(x﹣1),
得 m﹣2﹣2x=x﹣1.
若原分式方程有增根,
则必有 x=1,
将 x=1 代入 m﹣2﹣2x=x﹣1,
得 m=4.
故选(B)
【点评】本题考查分式方程的解法,解题的关键是熟练运用分式方程的解法,本
题属于基础题型.
5.有一个底面半径为 10cm,高为 30cm 的圆柱形大杯中存满了水,把水倒入一
个底面直径为 10cm 的圆柱形小杯中,刚好倒满 12 杯,则小杯的高为( )
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
【分析】通过理解题意可知本题的等量关系,即大杯的体积=12 个小杯的体积,
再利用圆柱体的体积公式列方程求解.
【解答】解:设小杯的高为 x,
根据题意得:π×102×30=π×(10÷2)2•x×12
解得:x=10
则小杯的高为 10cm.
故选 C.
【点评】解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量
关系,列出方程,再求解.
6.某商店出售两件衣服,每件卖了 200 元,其中一件赚了 25%,而另一件赔了
20%,那么商店在这次交易中( )
A.赚了 10 元 B.亏了 10 元 C.赚了 20 元 D.亏了 20 元
【分析】设第一件衣服的进价为 x 元,第二件的进价为 y 元,根据售价﹣成本=
利润,即可得出关于 x(y)的一元一次方程,解之即可求出 x(y)的值,再将
其代入 400﹣x﹣y 中即可得出结论.
【解答】解:设第一件衣服的进价为 x 元,第二件的进价为 y 元,
根据题意得:200﹣x=25%x,200﹣y=﹣20%y,
解得:x=160,y=250,
∴400﹣x﹣y=400﹣160﹣250=﹣10(元).
答:商店在这次交易中亏了 10 元.
故选 B.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方
程是解题的关键.
7.已知关于 x 的方程 x﹣ = ﹣1 的解是正整数,则符合条件的所有整数
a 的积是( )
A.12 B.36 C.﹣4 D.﹣12
【分析】利用解一元一次方程的一般步骤解出方程,根据题意求出 a 的值,计算
即可.
【解答】解:x﹣ = ﹣1
去分母,6x﹣4+ax=2x+8﹣6
移项、合并同类项,(4+a)x=6,
x= ,
由题意得,a=﹣3、﹣2、﹣1、2,
则符合条件的所有整数 a 的积是﹣12,
故选:D.
【点评】本题考查的是一元一次方程的解法,掌握解一元一次方程的一般步骤是
解题的关键.
8.方程|2x﹣1|﹣a=0 恰有两个正数解,则 a 的取值范围是( )
A.﹣1<a<0 B.﹣1<a<1 C.0<a<1 D. <a<1
【分析】由方程|2x﹣1|﹣a=0 恰有两个正数解,即可得不等式组 ,
解此不等式组即可求得答案.
【解答】解:∵方程|2x﹣1|﹣a=0 恰有两个正数解,
∴ ,
解得:0<a<1.
故选 C.
【点评】此题考查了含绝对值符号的一元一次方程的求解方法.此题难度较大,
解题的关键是根据题意得到不等式组: .
9.按国家 2011 年 9 月 1 日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资(薪金)
中,扣除国家规定的免税部分 3500 元后的剩余部分为应纳税所得额,全月应纳
税所得额不超过 1500 元的税率为 3%,超过 1500 元至 4500 元部分的税率为 10%,
若小明妈妈某月缴了 145 元的个人所得税,则她的月工资是( )
A.6000 元 B.5500 元 C.2500 元 D.2000 元
【分析】设小明妈妈某月工资为 x 元,则应缴个人所得税额为(x﹣3500)元,
由税率×税额=税金,建立方程求出其解即可.
【解答】解:设小明妈妈某月工资为 x 元,则应缴个人所得税额为(x﹣3500)
元,由题意,得
3%×1500+10%(x﹣3500﹣1500)=145,
解得:x=6000.
答:小明妈妈的月工资是 6000 元.
故选 A.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用,税率×税额=税金的运用,分段计费
的计算方法的运用,解答时根据应缴个人所得税 145 元建立方程是难点.
10.分式方程 = 无解,则 m 的值为( )
A.2 B.1 C.1 或 2 D.0 或 2
【分析】先把分式方程化为整式方程得到(1﹣m)x=﹣1,由于关于 x 的分式方
程 = 无解,讨论:x=1 或方程(1﹣m)x=﹣1 无解,当 x=1 时,(1﹣m)×
1=﹣1,解得 m=2,当方程(1﹣m)x=﹣1 无解,1﹣m=0,解得 m=1.
【解答】解:把分式方程化为整式方程得到(1﹣m)x=﹣1,
∵关于 x 的分式方程 = 无解,
∴x=1 或或方程(1﹣m)x=﹣1 无解,
当 x=1 时,(1﹣m)×1=﹣1,解得 m=2,
当方程(1﹣m)x=﹣1 无解,1﹣m=0,解得 m=1.
∴m=1 或 2,
故选:C.
【点评】本题考查了分式方程的解:使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分
式方程的解.也考查了分类讨论的思想.
11.若关于 x 的分式方程 有增根,则 k 的值是( )
A.﹣1 B.﹣2 C.2 D.1
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根
的可能值,让最简公分母(x﹣5)=0,得到 x=5,然后代入化为整式方程的方程
算出 k 的值.
【解答】解:方程两边都乘(x﹣5),
得 x﹣6+x﹣5=﹣k,
∵原方程有增根,
∴最简公分母(x﹣5)=0,
解得 x=5,
当 x=5 时,k=1.
故选:D.
【点评】本题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行:
①让最简公分母为 0 确定增根;
②化分式方程为整式方程;
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
12.已知关于 x 的不等式组 有五个整数解,m 的取值范围是( )
A.﹣4≤m<﹣3 B.﹣8≤m<﹣6 C.4<m≤6 D.4≤m<6
【分析】此题可先求解不等式组得到关于 m 的不等式解集,再根据整数解的个
数确定 m 的取值范围.
【解答】解: ,
解①得:x> ,
解②得:x≤7,
则不等式组的解集是: <x≤7.
不等式组有五个整数解,则一定是 7,6,5,4,3,
则 2≤ <3.
解得:则 4≤m<6,
故选:D.
【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集,应遵循以下
原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.
二.填空题(共 10 小题)
13.已知点 P(x,y)位于第二象限,并且 y≤2x+6,x、y 为整数,则点 P 的个
数是 6 .
【分析】先根据第二象限点的坐标特征求出 x,y 的取值范围,再根据 y 的取值
范围求出 x 的整数解,进而可求出符合条件的 y 的值.
【解答】解:∵点 P(x,y)位于第二象限,∴x<0,y>0,
又∵y≤2x+6,∴2x+6>0,即 x>﹣3,所以﹣3<x<0,x=﹣1 或﹣2,
当 x=﹣1 时 0<y≤4,y=1,2,3,4;
当 x=﹣2 时,y≤2,即 y=1 或 2;
综上所述,点 P 为:(﹣1,1),(﹣1,2)(﹣1,3),(﹣1,4),(﹣2,1),(﹣
2,2)共 6 个点.
【点评】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点,并会根据未知
数的范围确定它所满足的特殊条件的值.一般方法是先解不等式组,再根据解集
求特殊值.
14.若不等式组 无解,则 m 的取值范围是 m< .
【分析】先求出各个不等式的解集,因为不等式组无解,所以必须是大大小小找
不到的情况,由此即可求出答案.
【解答】解:解不等式组可得 ,因为不等式组无解,所以 m< .
【点评】本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集,求不等式组中的字母的
值,同样也是利用口诀求解.
注意:当符号方向不同,数字相同时(如:x>a,x<a),没有交集也是无解.
求不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不
到(无解).
15.敌我两军相距 14 千米,敌军于 1 小时前以 4 千米/小时的速度逃跑,现我军
以 7 千米/小时的速度追击 6 小时后可追上敌军.
【分析】设我军以 7 千米/小时的速度追击 x 小时后可追上敌军;等量关系为:
我军的路程=敌军路程+敌我两军相距 14 千米;可列出方程,解可得答案.
【解答】解:设我军以 7 千米/小时的速度追击 x 小时后可追上敌军.
根据题意得:7x=4(1+x)+14,
解得:x=6.
【点评】注意追及问题中的等量关系,不要忘记加上原来相距的距离.
16.已知 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+a=0 的两个解,若(m﹣1)(n
﹣1)=﹣6,则 a 的值为 ﹣4 .
【分析】由 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+a=0 的两个解,得出 m+n=3,
mn=a,整理(m﹣1)(n﹣1)=﹣6,整体代入求得 a 的数值即可.
【解答】解:∵m、n 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+a=0 的两个解,
∴m+n=3,mn=a,
∵(m﹣1)(n﹣1)=﹣6,
∴mn﹣(m+n)+1=﹣6
即 a﹣3+1=﹣6
解得 a=﹣4.
故答案为:﹣4.
【点评】此题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方
程的两根为 x1,x2,则 x1+x2=﹣ ,x1•x2= .
17.已知 x,y 均为实数,且满足关系式 x2﹣2x﹣6=0,y2﹣2y﹣6=0,则 =
﹣ 或 2 .
【分析】当 x=y 时,容易求解;
当 x≠y 时,由关系式 x2﹣2x﹣6=0,y2﹣2y﹣6=0,可知 x、y 是 z2﹣2z﹣6=0 的
两根,由根与系数的关系,求出 x+y 与 xy 的值,再根据 = ,代
入即可求值.
【解答】解:当 x≠y 时,
∵x、y 满足关系式 x2﹣2x﹣6=0,y2﹣2y﹣6=0,
∴x、y 是 z2﹣2z﹣6=0 的两根,
∴x+y=2,xy=﹣6,
∴ = = =﹣ .
当 x,y 的值相等时,原式=2.
故答案为:﹣ 或 2.
【点评】本题容易忽视的情况是 x,y 可能是同一个值这一个情况.
18.若不等式组 无解,则 m 的取值范围是 m≥8 .
【分析】不等式组无解就是两个不等式的解集没有公共部分,可利用数轴进行求
解.
【解答】解:x<8 在数轴上表示点 8 左边的部分,x>m 表示点 m 右边的部分.当
点 m 在 8 这点或这点的右边时,两个不等式没有公共部分,即不等式组无解.则
m≥8.
故答案为:m≥8.
【点评】本题考查不等式组中不等式的未知字母的取值,利用数轴能直观的得到,
易于理解.
19.一座桥长 1200 米,一列火车以每秒 20 米的速度通过这座桥,火车车身长
300 米,则火车从上桥到离开需要 75 秒.
【分析】从火车从上桥到离开的路程:桥长+车身=1200+300=1500 米,然后根据
时间=路程÷速度列式可得结论.
【解答】解:设火车从上桥到离开需要 x 秒,
则 20x=1200+300,
x=75(秒),
则火车从上桥到离开需要 75 秒.
故答案为:75.
【点评】本题考查一元一次方程的应用,解题的关键是明确题意,列出相应的方
程.
20.若实数 a,b 满足(a2+b2)(a2+b2﹣8)+16=0,则 a2+b2= 4 .
【分析】把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使形式复杂的方
程变成一元二次方程,从而达到降次的目的.
【解答】解:令 a2+b2=x,则原方程可化为:
x(x﹣8)+16=0,
∴x2﹣8x+16=0,
即(x﹣4)2=0,
∴x﹣4=0,
解得 x=4,
即 a2+b2=4,
故答案为:4.
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程,换元的实质是转化,关键是构造元
和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识
背景中去研究,从而使复杂问题简单化,变得容易处理.
21.方程 =x﹣1 的根为 4 .
【分析】首先根据二次根式的基本性质得出 x 的取值范围,将无理方程两边平方
取消二次根号,整理得一元二次方程,解一元二次方程,将解代回 x 的取值范围
验算即可得出答案.
【解答】解:由二次根式性质得:
x+5≥0 且 x﹣1≥0,
∴x≥1.
将 =x﹣1 两边平方得:
x+5=x2﹣2x+1,
整理得:x2﹣3x﹣4=0,
分解因式:(x﹣4)(x+1)=0,
得:x1=4,x2=﹣1,
∵x≥1,
∴x=4.
故答案为:4.
【点评】题目考查了无理方程的求解和二次根式的性质,求解无理方程常用的方
法是平方法,不过求出的解一定要带回无理方程进行验算,看是否符合二次根式
的性质.
22.要使关于 x 的方程 有唯一的解,那么 m≠ 3 .
【分析】根据解分式方程的一般步骤,可得方程的解,根据方程有唯一解,可得
答案.
【解答】解:方程两边都乘以(x﹣3),得
x﹣2(x﹣3)=m
x=6﹣m,
∵分式方程有唯一解,
6﹣m﹣3≠0,
m≠3,
故答案为:3.
【点评】本题考查了分式方程的解,注意分式方程有解的条件是分母不能为零.
三.解答题(共 6 小题)
23.已知方程组 的解 x、y 满足 x+y<1,且 m 为正数,求 m 的取值
范围.
【分析】根据消元法,得出 x、y 的值,再根据 x+y<1,且 m 为正数,可得答案.
【解答】解:①×2﹣②,得 3x=1+7m
x= ,
把 x= 代入①得 +y=1+3m,
y= ,
∵x+y<1,
m .
∵m>0,
∴0 .
【点评】本题考查了二元一次方程组的解,先求出二元一次方程组的解,再求出
m 的取值范围.
24.一件夹克衫先按成本提高 50%标价,再以 8 折(标价的 80%)出售,结果获
利 28 元,求这件夹克衫的成本是多少元?
【分析】设这件夹克的成本是 x 元,则标价就为 1.5x 元,售价就为 1.5x×0.8 元,
由利润=售价﹣进价建立方程求出其解即可.
【解答】解:设这件夹克的成本是 x 元,由题意,得
x(1+50%)×80%﹣x=28,
解得:x=140.
答:这件夹克的成本是 140 元.
【点评】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用,列一元一次
方程解实际问题的运用,解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键.
25.如图,在 Rt△ACB 中,∠C=90°,BC=6m,AC=8m,点 P、Q 同时由 A、B 两
点出发分别沿 AC,BC 方向向点 C 匀速运动,已知点 P 移动的速度是 20cm/s,点
Q 移动的速度是 10cm/s,几秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的 ?
【分析】设运动时间为 t 秒,表示出 PC、QC,再根据三角形的面积公式列出方
程,然后根据一元二次方程的解法求解即可.
【解答】解:设运动时间为 t 秒,则 PC=8﹣0.2t,QC=6﹣0.1t,
由题意得, (8﹣0.2t)(6﹣0.1t)= × ×6×8,
整理得,t2﹣100t+900=0,
解得 t1=10,t2=90(舍去),
答:10 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的 .
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,读懂题目信息,准确表示出 PC、QC
是解题的关键,注意单位要统一.
26.在解方程组 时,由于粗心,甲看错了方程组中的 a,而得解为
,乙看错了方程组中的 b,而得解为 ,根据上面的信息解答:
(1)甲把 a 看成了什么,乙把 b 看成了什么?
(2)求出原方程组的正确解.
【分析】(1)把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可;
(2)把甲乙所求的解分别代入方程②和①,求出正确的 a、b,然后用适当的方
法解方程组.
【解答】解:(1)把 代入方程组 得, ,
把 代入方程组 得, .
所以甲把 a 看成了 1,乙把 b 看成了 3.
(2)∵正确的 a=﹣1,b=5,
∴ ,解得: .
【点评】此题考查了二元一次方程组的解,解决本题的关键是明确方程组的解即
为能使方程左右两边相等的未知数的值.
27.阅读理解题:定义:如果一个数的平方等于﹣1,记为 i2=﹣1①,这个数 i
叫做虚数单位.那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数,表示为 a+bi(a,b
为实数),a 叫这个复数的实部,b 叫做这个复数的虚部.
如果只把 i 当成代数,则 i 将符合一切实数运算规则,但要根据①式变通来简便
运算.(不要把复数当成高等数学,它只是一个小学就学过的代数而已!它的加,
减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似.)
例题 1:i3=i2•i=﹣1•i=﹣i;i4=i3•i=﹣i•i=﹣i2=﹣(﹣1)=1
例题 2:(2+i)+(3﹣4i)=(2+3)+(1﹣4)i=5﹣3i(5+i)×(3﹣4i)=15﹣20i+3i
﹣4i2=15﹣17i+4=19﹣17i
同样我们也可以化简 = = =2i
也可以解方程 x2=﹣1,解为 x1=i,x2=﹣i.
读完这段文字,请你解答以下问题:
(1)填空:i5= i ,i6= ﹣1 ;
(2)计算:(2+i)2;
(3)在复数范围内解方程:x2﹣x+1=0.
【分析】(1)根据同底数幂的乘法法则、i2=﹣1 计算;
(2)利用完全平方公式把原式展开,根据 i2=﹣1 计算即可;
(3)利用公式法解出方程,根据 i2=﹣1 得到方程的解.
【解答】解:(1)i5=(i2)2•i=i,
i6=(i2)3=(﹣1)3=﹣1,
故答案为:i;﹣1;
(2)(2+i)2=i2+4i+4=﹣1+4i+4=3+4i;
(3)x2﹣x+1=0,
x= = = ,
x1= ,x2= .
【点评】本题考查的是虚数单位的定义、完全平方公式以及一元二次方程的解法,
掌握 i2=﹣1、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键.
28.为了更好的保护美丽图画的邛海湿地,西昌市污水处理厂决定先购买 A、B
两型污水处理设备共 20 台,对邛海湿地周边污水进行处理,每台 A 型污水处理
设备 12 万元,每台 B 型污水处理设备 10 万元.已知 1 台 A 型污水处理设备和 2
台 B 型污水处理设备每周可以处理污水 640 吨,2 台 A 型污水处理设备和 3 台 B
型污水处理设备每周可以处理污水 1080 吨.
(1)求 A、B 两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨?
(2)经预算,市污水处理厂购买设备的资金不超过 230 万元,每周处理污水的
量不低于 4500 吨,请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少?
最少是多少?
【分析】(1)根据 1 台 A 型污水处理设备和 2 台 B 型污水处理设备每周可以处
理污水 640 吨,2 台 A 型污水处理设备和 3 台 B 型污水处理设备每周可以处理污
水 1080 吨,可以列出相应的二元一次方程组,从而解答本题;
(2)根据题意可以列出相应的不等式组,从而可以得到购买方案,从而可以算
出每种方案购买资金,从而可以解答本题.
【解答】解:(1)设 A 型污水处理设备每周每台可以处理污水 x 吨,B 型污水处
理设备每周每台可以处理污水 y 吨,
解得,
即 A 型污水处理设备每周每台可以处理污水 240 吨,B 型污水处理设备每周每台
可以处理污水 200 吨;
(2)设购买 A 型污水处理设备 x 台,则购买 B 型污水处理设备(20﹣x)台,
则
解得,12.5≤x≤15,
第一种方案:当 x=13 时,20﹣x=7,花费的费用为:13×12+7×10=226 万元;
第二种方案:当 x=14 时,20﹣x=6,花费的费用为:14×12+6×10=228 万元;
第三种方案;当 x=15 时,20﹣x=5,花费的费用为:15×12+5×10=230 万元;
即购买 A 型污水处理设备 13 台,则购买 B 型污水处理设备 7 台时,所需购买资
金最少,最少是 226 万元.
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用,解题的关
键是明确题意,找出所求问题需要的条件.