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- 2021-05-10 发布
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2020年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,满分36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(3分)(2020•衡阳)﹣3的相反数是( )
A.3 B.﹣3 C.13 D.-13
2.(3分)(2020•衡阳)下列各式中,计算正确的是( )
A.a3+a2=a5 B.a3﹣a2=a C.(a2)3=a5 D.a2•a3=a5
3.(3分)(2020•衡阳)2019年12月12日,国务院新闻办公室发布,南水北调工程全面通水5周年来,直接受益人口超过1.2亿人,其中1.2亿用科学记数法表示为( )
A.1.2×108 B.1.2×107 C.1.2×109 D.1.2×10﹣8
4.(3分)(2020•衡阳)下列各式中正确的是( )
A.﹣|﹣2|=2 B.4=±2 C.39=3 D.30=1
5.(3分)(2020•衡阳)下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.赵爽弦图 B.科克曲线
C.笛卡尔心形线 D.斐波那契螺旋线
6.(3分)(2020•衡阳)要使分式1x-1有意义,则x的取值范围是( )
A.x>1 B.x≠1 C.x=1 D.x≠0
7.(3分)(2020•衡阳)如图,在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC
C.AB∥DC,AD=BC D.OA=OC,OB=OD
8.(3分)(2020•衡阳)下列不是三棱柱展开图的是( )
第21页(共21页)
A. B.
C. D.
9.(3分)(2020•衡阳)不等式组x-1≤0,①x+23-x2<1②的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
10.(3分)(2020•衡阳)反比例函数y=kx经过点(2,1),则下列说法错误的是( )
A.k=2
B.函数图象分布在第一、三象限
C.当x>0时,y随x的增大而增大
D.当x>0时,y随x的增大而减小
11.(3分)(2020•衡阳)如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600平方米,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为( )
A.35×20﹣35x﹣20x+2x2=600
B.35×20﹣35x﹣2×20x=600
C.(35﹣2x)(20﹣x)=600
D.(35﹣x)(20﹣2x)=600
12.(3分)(2020•衡阳)如图1,在平面直角坐标系中,▱ABCD在第一象限,且BC∥x轴.直线y=x从原点O出发沿x轴正方向平移,在平移过程中,直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示.那么▱ABCD的面积为( )
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A.3 B.32 C.6 D.62
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分.)
13.(3分)(2020•衡阳)因式分解:a2+a= .
14.(3分)(2020•衡阳)计算:x2+xx-x= .
15.(3分)(2020•衡阳)已知一个n边形的每一个外角都为30°,则n等于 .
16.(3分)(2020•衡阳)一副三角板如图摆放,且AB∥CD,则∠1的度数为 .
17.(3分)(2020•衡阳)某班有52名学生,其中男生人数是女生人数的2倍少17人,则女生有 名.
18.(3分)(2020•衡阳)如图,在平面直角坐标系中,点P1的坐标为(22,22),将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°,再将其长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2;又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°,长度伸长为OP2的2倍,得到线段OP3;如此下去,得到线段OP4,OP5,…,OPn(n为正整数),则点P2020的坐标是 .
三、解答题(木大题共8个小题,19~20题每题6分,21~24题每题8分,25题10分,26题12分,满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
第21页(共21页)
19.(6分)(2020•衡阳)化简:b(a+b)+(a+b)(a﹣b).
20.(6分)(2020•衡阳)一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球,搅匀后从盒子里随机摸出一个球,摸到白球的概率为13.
(1)求n的值;
(2)所有球放入盒中,搅匀后随机从中摸出1个球,放回搅匀,再随机摸出第2个球,求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率.请用画树状图或列表的方法进行说明.
21.(8分)(2020•衡阳)如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F.
(1)求证:DE=DF;
(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.
22.(8分)(2020•衡阳)病毒虽无情,人间有大爱.2020年,在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中,全国(除湖北省外)共有30个省(区、市)及军队的医务人员在党中央全面部署下,白衣执甲,前赴后继支援湖北省.全国30个省(区、市)各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图(不完整)和扇形统计图如下:(数据分成6组:100≤x<500,500≤x<900,900≤x<1300,1300≤x<1700,1700≤x<2100,2100≤x<2500.
根据以上信息回答问题:
(1)补全频数分布直方图.
第21页(共21页)
(2)求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数.
据新华网报道,在支援湖北省的医务人员大军中,有“90后”也有“00后”,他们是青春的力量,时代的脊梁.小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据:
C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”;
H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”;
B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”.
(3)请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员(按4.2万人计)中,“90后”大约有多少万人?(写出计算过程,结果精确到0.1万人)
23.(8分)(2020•衡阳)小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上,当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图①).侧面示意图为图②;使用时为了散热,他在底板下面垫入散热架,如图③,点B、O、C在同一直线上,OA=OB=24cm,BC⊥AC,∠OAC=30°.
(1)求OC的长;
(2)如图④,垫入散热架后,要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°,求点B′到AC的距离.(结果保留根号)
24.(8分)(2020•衡阳)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心O在线段AB上,⊙O交AB于点E,交AC于点F.
(1)判断BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AD=8,AE=10,求BD的长.
25.(10分)(2020•衡阳)在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(﹣1,0),(2,0).
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(1)求这个二次函数的表达式;
(2)求当﹣2≤x≤1时,y的最大值与最小值的差;
(3)一次函数y=(2﹣m)x+2﹣m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b,且a<3<b,求m的取值范围.
26.(12分)(2020•衡阳)如图1,平面直角坐标系xOy中,等腰△ABC的底边BC在x轴上,BC=8,顶点A在y的正半轴上,OA=2,一动点E从(3,0)出发,以每秒1个单位的速度沿CB向左运动,到达OB的中点停止.另一动点F从点C出发,以相同的速度沿CB向左运动,到达点O停止.已知点E、F同时出发,以EF为边作正方形EFGH,使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧,设运动的时间为t秒(t≥0).
(1)当点H落在AC边上时,求t的值;
(2)设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S,请问是否存在t值,使得S=9136?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,取AC的中点D,连结OD,当点E、F开始运动时,点M从点O出发,以每秒25个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动,到达点O停止运动.请问在点E的整个运动过程中,点M可能在正方形EFGH内(含边界)吗?如果可能,求出点M在正方形EFGH内(含边界)的时长;若不可能,请说明理由.
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2020年湖南省衡阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,满分36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(3分)(2020•衡阳)﹣3的相反数是( )
A.3 B.﹣3 C.13 D.-13
【解答】解:﹣3的相反数是3.
故选:A.
2.(3分)(2020•衡阳)下列各式中,计算正确的是( )
A.a3+a2=a5 B.a3﹣a2=a C.(a2)3=a5 D.a2•a3=a5
【解答】解:a3与a5不是同类项,它是一个多项式,因此A选项不符合题意;
同上可得,选项B不符合题意;
(a2)3=a2×3=a6,因此选项C不符合题意;
a2•a3=a2+3=x5,因此选项D符合题意;
故选:D.
3.(3分)(2020•衡阳)2019年12月12日,国务院新闻办公室发布,南水北调工程全面通水5周年来,直接受益人口超过1.2亿人,其中1.2亿用科学记数法表示为( )
A.1.2×108 B.1.2×107 C.1.2×109 D.1.2×10﹣8
【解答】解:1.2亿=120000000=1.2×108.
故选:A.
4.(3分)(2020•衡阳)下列各式中正确的是( )
A.﹣|﹣2|=2 B.4=±2 C.39=3 D.30=1
【解答】解:A、﹣|﹣2|=﹣2,故此选项错误;
B、4=2,故此选项错误;
C、39≠3,故此选项错误;
D、30=1,故此选项正确;
故选:D.
5.(3分)(2020•衡阳)下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
第21页(共21页)
A.赵爽弦图 B.科克曲线
C.笛卡尔心形线 D.斐波那契螺旋线
【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意;
B、既是中心对称图形又是轴对称图形,故此选项符合题意;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
D、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意.
故选:B.
6.(3分)(2020•衡阳)要使分式1x-1有意义,则x的取值范围是( )
A.x>1 B.x≠1 C.x=1 D.x≠0
【解答】解:要使分式1x-1有意义,则x﹣1≠0,
解得:x≠1.
故选:B.
7.(3分)(2020•衡阳)如图,在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC
C.AB∥DC,AD=BC D.OA=OC,OB=OD
【解答】解:∵AB∥DC,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形;
∵AB=DC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形;
∵AB∥DC,AD=BC,则无法判断四边形ABCD是平行四边形,故选项C中的条件,不能判断四边形ABCD是平行四边形;
∵OA=OC,OB=OD,
第21页(共21页)
∴四边形ABCD是平行四边形,故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形;
故选:C.
8.(3分)(2020•衡阳)下列不是三棱柱展开图的是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面,上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面,故均能围成三棱柱,均是三棱柱的表面展开图.
B围成三棱柱时,两个三角形重合为同一底面,而另一底面没有.故C不能围成三棱柱.
故选:B.
9.(3分)(2020•衡阳)不等式组x-1≤0,①x+23-x2<1②的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:x-1≤0,①x+23-x2<1②,
由①得x≤1,
由②得x>﹣2,
故不等式组的解集为﹣2<x≤1,
在数轴上表示为:.
故选:C.
10.(3分)(2020•衡阳)反比例函数y=kx经过点(2,1),则下列说法错误的是( )
A.k=2
B.函数图象分布在第一、三象限
C.当x>0时,y随x的增大而增大
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D.当x>0时,y随x的增大而减小
【解答】解:∵反比例函数y=kx经过点(2,1),
∴1=k2,
解得,k=2,故选项A正确;
∵k=2>0,
∴该函数的图象在第一、三象限,故选项B正确;
当x>0时,y随x的增大而减小,故选项C错误、选项D正确;
故选:C.
11.(3分)(2020•衡阳)如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600平方米,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为( )
A.35×20﹣35x﹣20x+2x2=600
B.35×20﹣35x﹣2×20x=600
C.(35﹣2x)(20﹣x)=600
D.(35﹣x)(20﹣2x)=600
【解答】解:依题意,得:(35﹣2x)(20﹣x)=600.
故选:C.
12.(3分)(2020•衡阳)如图1,在平面直角坐标系中,▱ABCD在第一象限,且BC∥x轴.直线y=x从原点O出发沿x轴正方向平移,在平移过程中,直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示.那么▱ABCD的面积为( )
A.3 B.32 C.6 D.62
第21页(共21页)
【解答】解:过B作BM⊥AD于点M,分别过B,D作直线y=x的平行线,交AD于E,如图1所示,
由图象和题意可得,
AE=6﹣4=2,DE=7﹣6=1,BE=2,
∴AB=2+1=3,
∵直线BE平行直线y=x,
∴BM=EM=2,
∴平行四边形ABCD的面积是:AD•BM=3×2=32.
故选:B.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分.)
13.(3分)(2020•衡阳)因式分解:a2+a= a(a+1) .
【解答】解:a2+a=a(a+1).
故答案为:a(a+1).
14.(3分)(2020•衡阳)计算:x2+xx-x= 1 .
【解答】解:原式=x(x+1)x-x
=x+1﹣x
=1.
故答案为:1.
15.(3分)(2020•衡阳)已知一个n边形的每一个外角都为30°,则n等于 12 .
【解答】解:∵一个n边形的每一个外角都为30°,任意多边形的外角和都是360°,
∴n=360°÷30°=12.
故答案为:12.
16.(3分)(2020•衡阳)一副三角板如图摆放,且AB∥CD,则∠1的度数为 105° .
第21页(共21页)
【解答】解:如图,∵AB∥CD,∠D=45°,
∴∠2=∠D=45°.
∵∠1=∠2+∠3,∠3=60°,
∴∠1=∠2+∠3=45°+60°=105°.
故答案是:105°.
17.(3分)(2020•衡阳)某班有52名学生,其中男生人数是女生人数的2倍少17人,则女生有 23 名.
【解答】解:设女生有x名,则男生人数有(2x﹣17)名,依题意有
2x﹣17+x=52,
解得x=23.
故女生有23名.
故答案为:23.
18.(3分)(2020•衡阳)如图,在平面直角坐标系中,点P1的坐标为(22,22),将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°,再将其长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2;又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°,长度伸长为OP2的2倍,得到线段OP3;如此下去,得到线段OP4,OP5,…,OPn(n为正整数),则点P2020的坐标是 (0,﹣22019) .
第21页(共21页)
【解答】解:∵点P1的坐标为(22,22),将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°,再将其长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2;
∴OP1=1,OP2=2,
∴OP3=4,如此下去,得到线段OP4=23,OP5=24…,
∴OPn=2n﹣1,
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周,
∵2020÷8=252…4,
∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上,正好在y轴的负半轴上,
∴点P2020的坐标是(0,﹣22019).
故答案为:(0,﹣22019).
三、解答题(木大题共8个小题,19~20题每题6分,21~24题每题8分,25题10分,26题12分,满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
19.(6分)(2020•衡阳)化简:b(a+b)+(a+b)(a﹣b).
【解答】解:b(a+b)+(a+b)(a﹣b)
=ab+b2+a2﹣b2
=ab+a2.
20.(6分)(2020•衡阳)一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球,搅匀后从盒子里随机摸出一个球,摸到白球的概率为13.
(1)求n的值;
(2)所有球放入盒中,搅匀后随机从中摸出1个球,放回搅匀,再随机摸出第2个球,求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率.请用画树状图或列表的方法进行说明.
【解答】解:(1)由概率的意义可得,
n2+n=13,解得,n=1,
第21页(共21页)
答:n的值为1;
(2)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下:
共有9种可能出现的结果,其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种.
∴P(一白一黑)=49,
21.(8分)(2020•衡阳)如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F.
(1)求证:DE=DF;
(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.
【解答】(1)证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°,
∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
在△BED与△CFD中,
∠BED=∠CFD∠B=∠CBD=CD,
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴DE=DF;
(2)解:∵∠BDE=40°,
∴∠B=50°,
∴∠C=50°,
∴∠BAC=80°.
22.(8分)(2020•衡阳)病毒虽无情,人间有大爱.2020年,在湖北省抗击新冠病毒的战
第21页(共21页)
“疫”中,全国(除湖北省外)共有30个省(区、市)及军队的医务人员在党中央全面部署下,白衣执甲,前赴后继支援湖北省.全国30个省(区、市)各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图(不完整)和扇形统计图如下:(数据分成6组:100≤x<500,500≤x<900,900≤x<1300,1300≤x<1700,1700≤x<2100,2100≤x<2500.
根据以上信息回答问题:
(1)补全频数分布直方图.
(2)求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数.
据新华网报道,在支援湖北省的医务人员大军中,有“90后”也有“00后”,他们是青春的力量,时代的脊梁.小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据:
C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”;
H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”;
B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”.
(3)请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员(按4.2万人计)中,“90后”大约有多少万人?(写出计算过程,结果精确到0.1万人)
【解答】解:(1)由直方图可得,
1300≤x<1700,这一组的频数是:30﹣3﹣10﹣10﹣2﹣1=4,
补全的频数分布直方图如右图所示;
(2)360°×330=36°,
即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是36°;
第21页(共21页)
(3)4.2×404+103+831614+338+148≈1.2(万人),
答:在支援湖北省的全体医务人员(按4.2万人计)中,“90后”大约有1.2万人.
23.(8分)(2020•衡阳)小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上,当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图①).侧面示意图为图②;使用时为了散热,他在底板下面垫入散热架,如图③,点B、O、C在同一直线上,OA=OB=24cm,BC⊥AC,∠OAC=30°.
(1)求OC的长;
(2)如图④,垫入散热架后,要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°,求点B′到AC的距离.(结果保留根号)
【解答】解:(1)如图③,在Rt△AOC中,OA=24,∠OAC=30°.
∴OC=12OA=12×24=12(cm);
(2)如图④,过点B′作B′D⊥AC,垂足为D,过点O作OE⊥B′D,垂足为E,
由题意得,OA=OB′=24,
当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°,看可得,∠AOB′=150°
∴∠B′OE=60°,
∵∠ACO=∠B′EO=90°,
第21页(共21页)
∴在Rt△△B′OE中,B′E=OB′×sin60°=123,
又∵OC=DE=12,
∴B′D=B′E+DE=12+123,
即:点B′到AC的距离为(12+123)cm.
24.(8分)(2020•衡阳)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心O在线段AB上,⊙O交AB于点E,交AC于点F.
(1)判断BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AD=8,AE=10,求BD的长.
【解答】解:(1)BC与⊙O相切,
理由:连接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC,
∵∠C=90°,
∴∠ODC=90°,
∴OD⊥BC,
∵OD为半径,
∴BC是⊙O切线;
(2)连接DE,
第21页(共21页)
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ADE=90°,
∵∠C=90°,
∴∠ADE=∠C,
∵∠EAD=∠DAC,
∴△ADE∽△ACD,
∴AEAD=ADAC,
108=8AC,
∴AC=325,
∴CD=AD2-AC2=82-(325)2=245,
∵OD⊥BC,AC⊥BC,
∴△OBD∽△ABC,
∴ODAC=BDBC,
∴5325=BDBD+245,
∴BD=1207.
25.(10分)(2020•衡阳)在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(﹣1,0),(2,0).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)求当﹣2≤x≤1时,y的最大值与最小值的差;
(3)一次函数y=(2﹣m)x+2﹣m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b,且a<3<b,求m的取值范围.
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【解答】解:(1)由二次函数y=x2+px+q的图象经过(﹣1,0)和(2,0)两点,
∴1-p+q=04+2p+q=0,解得p=-1q=-2,
∴此二次函数的表达式y=x2﹣x﹣2;
(2)∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1+22=12,
∴在﹣2≤x≤1范围内,当x=﹣2,函数有最大值为:y=4+2﹣2=4;当x=12是函数有最小值:y=14-12-2=-94,
∴的最大值与最小值的差为:4﹣(-94)=254;
(3)y=(2﹣m)x+2﹣m与二次函数y=x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b,
∴x2﹣x﹣2=(2﹣m)x+2﹣m,整理得x2+(m﹣3)x+m﹣4=0,
解得:x1=﹣1,x2=4﹣m,
∵a<3<b,
∴a=﹣1,b=4﹣m>3,
故解得m<1,即m的取值范围是m<1.
26.(12分)(2020•衡阳)如图1,平面直角坐标系xOy中,等腰△ABC的底边BC在x轴
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上,BC=8,顶点A在y的正半轴上,OA=2,一动点E从(3,0)出发,以每秒1个单位的速度沿CB向左运动,到达OB的中点停止.另一动点F从点C出发,以相同的速度沿CB向左运动,到达点O停止.已知点E、F同时出发,以EF为边作正方形EFGH,使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧,设运动的时间为t秒(t≥0).
(1)当点H落在AC边上时,求t的值;
(2)设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S,请问是否存在t值,使得S=9136?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,取AC的中点D,连结OD,当点E、F开始运动时,点M从点O出发,以每秒25个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动,到达点O停止运动.请问在点E的整个运动过程中,点M可能在正方形EFGH内(含边界)吗?如果可能,求出点M在正方形EFGH内(含边界)的时长;若不可能,请说明理由.
【解答】解:(1)如图1﹣1中,
由题意,OA=2,OB=OC=4,EF=EH=FG=HG=1,
当点H落在AC上时,∵EH∥OA,
∴CECO=EHOA,
∴CE4=12,
∴CE=2,
∴点E的运动路程为1,
∴t=1时,点H落在AC上.
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(2)由题意,在E,F的运动过程中,开始正方形EFGH的边长为1,
∵正方形EFGH与△ABC重叠面积为S,S=9136,
∴此时点F与O重合,已经停止运动,如图1﹣2中,重叠部分是五边形OEKJG.
由题意:(t﹣3)2-12•3t-132•(3t﹣13)=9136,
整理得45t2﹣486t+1288=0,解得t=143或9215(舍弃),∴满足条件的t的值为143.
(3)如图3﹣1中,当点M第一次落在EH上时,4t+t=3,t=35
当点M第一次落在FG上时,4t+t=4,t=45,
∴点M第一次落在正方形内部(包括边界)的时长=45-35=15(s),
当点M第二次落在FG上时,4t﹣t=4,t=43,
当点M第二次落在EH上时,4t﹣(t+1)=4,t=53,
点M第二次落在正方形内部(包括边界)的时长=53-43=13,
∴点M落在正方形内部(包括边界)的总时长=15+13=815(s).
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