2013中考数学复习专题四：四边形 26页

中考总复习五：四边形 一、考试目标要求 ‎1.探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念. 2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性. 3.探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件. 4.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件. 5.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件. 6.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面， 并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.‎ 二、知识考点梳理 考点一、四边形的相关概念 知识点一、多边形的有关概念和性质 1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.多边形的性质： (1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°； 　　(2)推论：多边形的外角和是360°； 　　(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条； 　　(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.‎ 知识点二、四边形的有关概念和性质 1.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形. 2.四边形的性质： (1)定理：四边形的内角和是360°； (2)推论：四边形的外角和是360°.‎ 考点一、多边形及镶嵌 1．若一个正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是______. 考点：本题考查n边形的内角和公式：(n-2)·180°和多边形的外角和是360°. 解析：设正多边形边数为n，由题意得： (n-2)·180°=360°×3，解得n=8，∴这个多边形的边数是八边. 2．下列正多边形中，能够铺满地面的是( ) 　　A、正五边形　　　 B、正六边形　　　 C、正七边形　　　 D、正八边形 考点：镶嵌的条件：周角是这种正多边形的一个内角的整倍数. 思路点拔：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌. 　　答案：B ‎3．一个多边形从一个顶点共引出三条对角线，此多边形一定是( )‎ ‎ 　　A.四边形 　　　B. 五边形 　　　C.六边形 　　　D.三角形 思路点拔：n边形的对角线从一个顶点共引(n-3)条对角线. 解析：根据题意列式为n-3=3，∴n=6.故选C.‎ ‎4. 一个同学在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现少了一个内角.少了的这个内角是_________度，他求的是_________边形的内角和. 思路点拔：一个多边形的内角和能被180°整除，本题内角和1125°除以180°后有余数，则少的内角应和这个余数互补. 解析：设这个多边形边数为n，少算的内角度数为x，由题意得：(n-2)·180°=1125°+ x°，∴n=，∵n为整数，0°＜x＜180°，∴符合条件的x只有135°，解得n=9.应填135、九. 总结升华：多边形根据内角或外角求边数，或是根据边数求内角或对角线条数等题是重点，只需要记住各公式或之间的联系，并准确计算.‎ 举一反三： 　　【变式1】如果一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角的度数为135°，那么这个多边形的边数为( )　　A.6　　　 B.7 　　　C.8 　　　D.以上答案都不对 思路点拔：在本题可利用外角去求边数，每个外角为45°，外角和是360°，有几个外角就有几条边.‎ 解析：∵多边形的每个内角度数为135°，∴每个外角为45°，又∵多边形外角和为360°，∴边数=360°÷45°=8，故选C.‎ ‎ 【变式2】多边形的内角和随着边数的增加而_____，边数增加一条时，它的内角和增加___度.‎ 解析：多边形每增加一边，内角和就增加180°. 　　答案：增加、180.‎ 考点二、平行四边形 知识点三、平行四边形 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. ‎ ‎2.平行四边形的性质： (1)平行四边形的对边平行且相等； (2)平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分； 3.平行四边形的判定方法： 　　(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)； 　　(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 　　(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 　　(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 　　(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形. 4.面积公式： S=ah(a是平行四边形的一条边长，h是这条边上的高).‎ 考点二、平行四边形 5. 平行四边形的周长为40，两邻边的比为2：3，则这一组邻边长分别为________. 考点：平行四边形的边的性质. 思路点拔：掌握平行四边形的对边相等. 解析：∵□ABCD中，AB=CD，BC=AD，周长为40，∴AB+BC=20，又∵AB：BC=2：3，令AB=2k，BC=3k，∴2k+3k=20，解得k=4，∴这一组邻边长分别为8和12. 6. 已知O是□ABCD的对角线交点，AC=24，BD=38，AD=14，那么△OBC的周长等于_______. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　考点：平行四边形的对角线互相平分. 　　解析：□ABCD中，OC=AC=12，OB=BD=19，BC=AD=14 　　　　　∴△OBC的周长=OB+OC+BC=19+12+14=45.‎ ‎7. 如图，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是______________.‎ 考点：平行四边形的判定.‎ 思路点拔：本题可以利用平行四边形的判定中的一组对边平行且相等；也可以利用对角线互相平分来判定等.答案不唯一. ‎ 条件一：增加的条件为∠AFE=∠CEF.‎ 证明：∵∠AFE=∠CEF，∴AF∥CE，∠AFD=∠CEB ∵□ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠ADF=∠CBE∴△ADF≌△CBE，∴AF=CE∴四边形AECF是平行四边形.‎ 条件二：增加的条件为BE=DF.‎ 解法一：可利用SAS证明△ABE≌△CDF，△ADF≌△CBE，得AE=CF，AF=CE∴四边形AECF是平行四边形. 　　解法二：连结AC交BD于O，□ABCD中，OA=OC，OB=OD ‎∵BE=DF， ∴OB-BE=OD-DF，得OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形. 　　总结升华：借助平行四边形的性质进行线段或角相等的证明，或利用平行四边形的判定条件确定四边形的形状，是考查的重点. 举一反三： 　　【变式1】在平行四边形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，如右图， 与△ABO面积相等的三角形有( )个. 　　A、1　　　 B、2 　　　C、3 　　　D、4 　　解析：两条对角线分成的四个小三角形面积都相等，等底等高. 　　　　　∴与△ABO面积相等的三角形有△AOD、△COD、△BOC.故选C ‎　【变式2】如图，△ABC中∠ACB=90°，点D、E分别是AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A.　求证：四边形DECF是平行四边形. 　　考点：本题要求会综合运用所学的知识证明结论： 　　(1)三角形的中位线性质； 　　(2)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半； 　　(3)两组对边分别平行的四边形是平行四形. 　　证明：∵D、E分别是AC，AB的中点，∴CE是△ABC的中位线∴AE=AB，DE∥BC 即DE∥‎ CF 　∵△ABC中∠ACB=90°，E是AB的中点，∴CE=AB，∴CE=AE，∴∠A=∠ECD 　∵∠CDF=∠A，∴∠CDF=∠ECD，∴CE∥DF，∴四边形DECF是平行四边形.‎ 考点三、矩形 知识点四、矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质:矩形具有平行四边形的所有性质； 　　(1)矩形的对边平行且相等；　　(2)矩形的四个角都相等，且都是直角；　　(3)矩形的对角线互相平分且相等. 3.矩形的判定方法：‎ ‎(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)； 　　(2)有三个角是直角的四边形是矩形； 　　(3)对角线相等的平行四边形是矩形. 4.面积公式： S=ab(a、b是矩形的边长).‎ 考点三、矩形 8．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=8，则矩形对角线的长_________.‎ 考点：矩形的性质.‎ 思路点拔：掌握矩形的对角线相等,会用一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 解析：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=8，∴AC=2OA=16，故应填16.‎ ‎9. 如右图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处且与AD相交于点O.写出一组相等的线段__________.(不包括和).‎ 思路点拔：理解折叠前后图形的变化，△BCD≌△BED，也可证出△AOB≌△EOD，找出对应量相等.‎ 解析：OD=OB或OE=OA、AB=ED、BE=AD等 总结升华：矩形在平行四边形的基础上进一步特殊化，结合矩形的对角线平分且相等，会运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质. 举一反三：‎ ‎ 　　【变式1】四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判定它是矩形的是( ) 　　A.AB=CD，AD=BC，∠BAD=90° 　　B.AO=CO，BO=DO，AC=BD 　　C.∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180° 　　D.∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°‎ 思路点拔：本题应结合图形去解决，掌握矩形的判定方法.‎ 解析：A选项由AB=CD，AD=BC判定是□ABCD，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可得；B选项由AO=CO，BO=DO判定是□ABCD，再利用对角线相等的平行四边形是矩形；D选项由∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC判定是□ABCD，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可得；而C选项却不能判定,举反例如直角梯形.故选C.‎ ‎【变式2】矩形一个角的平分线分矩形一边成‎2cm和‎3cm，则这个矩形的面积为__________.考点：矩形的面积公式 思路点拔：在没有图形的题中，画图时应考虑全面，本题体现了分类的思想，被分的两部分长度不确定 解析：如图(1)若AE=3，ED=2，则矩形边长分别3和5，面积为‎15cm2‎ 如图(2)若AE=2，ED=3，则矩形边长分别2和5，面积为‎10cm2则这个矩形面积就为‎10cm2和‎15cm2. 　　　　　　　　　　　　　　‎ 考点四、菱形 知识点五、菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质：菱形具有平行四边形的所有性质； 　　(1)菱形的对边平行，四条边都相等； 　　(2)菱形的对角相等； 　　(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形的判定方法： 　　(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)； 　　(2)四条边都相等的四边形是菱形； 　　(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ‎ ‎4.面积公式： S=ah(a是平行四边形的边长，h是这条边上的高)或s=mn(m、n是菱形的两条对角线长).‎ 考点四、菱形 10．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC、BD的长分别为‎5厘米、‎10厘米，则菱形ABCD的面积为_________厘米2. 　　考点：菱形面积. 　　思路点拔：菱形的对角线互相垂直，面积公式有两个：(1)底乘高；(2)对角线乘积的一半. 　　解：菱形ABCD的面积=AC×BD=×5×10=‎25cm2.‎ ‎11．能够判别一个四边形是菱形的条件是(　) 　　A.对角线相等且互相平分 　　　　B.对角线互相垂直且相等 　　C.对角线互相平分　　　　　　　 D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角 考点：菱形的判定 解析：A选项可判定为矩形；B选项不能判定是平行四边形，∴也不能判定是菱形；C选项只能判定是平行四边形；D选项由等角对等边和三角形全等得到四条边都相等.故选D.‎ 总结升华：菱形在平行四边形的基础上进一步特殊化，菱形的对角线互相垂直，把菱形分成四个全等的直角三角形，常利用这一性质求线段和角，以及菱形的面积.‎ 举一反三 ‎【变式1】已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的两个邻角度数分别为 ( ) 　　A. 45°， 135° 　　　B. 60°， 120°　　　 C. 90°， 90° 　　　D. 30°， 150°‎ 思路点拔：菱形的一条对角线与边长相等，则构成等边三角形，从而求出菱形的内角度数. 答案：B ‎【变式2】如图，已知AD平分∠BAC，DE∥AC， DF∥AB， AE=5. (1)判断四边形AEDF的形状? (2)它的周长是多少?‎ 考点：菱形的判定 思路点拔：利用一组邻边相等的平行四边形是菱形的判定方法证明. 证明：(1)∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC， DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE， ∴AE=DE，∴平行四边形AEDF是菱形. 　　　 (2)∵平行四边形AEDF是菱形，AE=5，∴菱形AEDF的周长=4AE=4×5=20.‎ ‎【变式3】如图，菱形ABCO的边长为2，∠AOC=45°，则点B的坐标为___________. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 思路点拔：利用数形结合的思想，可先求A点坐标，再向右平移2个单位.‎ 解析：过A作AD⊥OC于D，∵∠AOC=45°，OA=2，∴AD=OD=，∴A(，) 　　　　　∵AB=2，∴B(2+，).‎ 考点五、正方形 知识点六、正方形 1.正方形的定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形；或有一个角是直角的菱形叫做正方形. 2.正方形的性质:‎ 正方形具有平等四边形、矩形、菱形的所有性质； 　　(1)正方形的对边平行，四条边都相等； 　　(2)正方形的四个角都是直角； 　　(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角； 3.正方形的判定方法： 　　(1)有一组邻边相等的矩形是正方形； 　　(2)有一个角是直角的菱形是正方形； 　　(3)对角线相等的菱形是正方形； 　　(4)对角线互相垂直的矩形是正方形. 4.面积公式： 　　S=a2(a是边长)或s=b2(b正方形的对角线长). 　　平行四边形和特殊的平行四边形之间的联系: 　　　　　　　　　　　　　　‎ 考点五、正方形 12．正方形具有而矩形不一定具有的特征是( ) 　　A.四个角都是直角　B.对角线互相平分　C.对角线互相垂直 　D.对角线相等 思路点拔：正方形是满足矩形和菱形的所有性质.∴正方形的对角线互相垂直，而矩形对角线则不一定互相垂直.‎ 答案：C.‎ ‎13．如图，以A、B为顶点作位置不同的正方形，一共可以作( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　A.1个　　　 B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个 　　思路点拔：本题考查学生解题能力，容易将AB是对角线的情况忽略，而错误的选B. 　　解析：如图，共有3个. 　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎14．图中的矩形是由六个正方形组成，其中最小的正方形的面积为1，求这个矩形的长和宽各是多少？ 思路点拔：本题利用正方形的边长相等，及矩形的对边相等，设某个正方形的边长为x，并用x表示矩形的对这得出相应的方程，求出矩形的长和宽.‎ 解：设右下方正方形的边长为，则左下方正方形的边长为+1，左上方正方形的边长为+2，右上方正方形的边长为+3，根据长方形的对边相等可列方程2++1=+2++3，解这个方程得=4，∴长方形的长为13，宽为11.‎ 总结升华：正方形的性质很多，往往是在判定矩形或菱形的基础上再进一步判定正方形，∴做正方形的问题时，要考虑全面，有选择的运用正方形的知识解题.‎ 举一反三： 　　【变式1】下列选项正确的是( ) 　　A.四边相等的四边形是正方形　　　B.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 　　C.对角线垂直的平行四边形是正方形　　　 D.四角相等的四边形是正方形 考点：正方形的判定方法.‎ 思路点拔：掌握正方形的判定方法要从边、角、对角线各方面考虑.‎ 解析：A、C选项能判定是菱形；D选项能判定是矩形；故应选B.‎ ‎【变式2】正方形ABCD中，对角线BD长为‎16cm，P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和等于__cm.‎ 思路点拔：本题方法很多，(1)可以利用三角形面积去求：连接PO，△ABO的面积等于△APO和△BPO的面积之和；(2)也可证明矩形PEOF，得PF=EO，再证PE=AE，从而得出结论.总之，P在AB上移动时，点P到AC、BD的距离之和总等于对角线长的一半.‎ 解析：PE+PF=OA=8cm ‎【变式3】(1)顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是( ) 　　A、平行四边形 　　　B、矩形　　　 C、菱形　　　 D、正方形 ‎ (2)顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形一定是( ) 　　A、平行四边形　　　 B、矩形 　　　C、菱形 　　　D、正方形 ‎ (3)顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是( ) 　　A、平行四边形　　　 B、矩形 　　　C、菱形 　　　D、正方形 ‎ (4)顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形一定是( ) 　　A、平行四边形　　　 B、矩形 　　　C、菱形　　　 D、正方形 考点：中点四边形的判定由原四边形的对角线决定.‎ 思路点拔：规律：顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是平行四边形；顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形一定是菱形；顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是矩形；顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形一定是正方形.‎ 答案：(1)A (2)C (3)B (4)D 考点六、梯形 知识点七、梯形 1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形. 　　(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底. 　　(2)不平行的两边叫做梯形的腰. 　　(3)梯形的四个角都叫做底角. ‎ ‎2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形. 3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 4.等腰梯形的性质：‎ ‎　 (1)等腰梯形的两腰相等； (2)等腰梯形同一底上的两个底角相等. (3)等腰梯形的对角线相等. 5. 等腰梯形的判定方法： 　　(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)； 　　(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； 　　(3)对角线相等的梯形是等腰梯形. 6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 7.面积公式： S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).‎ 考点六、梯形 15．等腰梯形中，，cm，cm，，则梯形的腰长是_________cm. 考点：等腰梯形的性质. 思路点拔：梯形常作的辅助线是作梯形的高，将梯形分成一个矩形和两个直角三角形；本题也可平移一腰，将梯形分成一个平行四边形和一个等边三角形.‎ 解析：过A作AE∥CD交BC于E，∵AD∥EC， ∴EC=AD=5，AE=CD，∴BE=BC-EC=9-5=4 　∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∴AB=AE，∵∠C=60°，∴△ABE是等边三角形 　∴AB=BE=‎4cm，即梯形的腰长是‎4cm.‎ ‎16. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，则此梯形的面积是( ) 　　(A)24　　　 (B)20　　　 (C)16　　　 (D)12‎ 思路点拔：梯形常作的辅助线还有就是平移对角线，将梯形分成一个三角形以及一个平行四边形.‎ 解析：过D作DE∥AC交BC延长线于E，可得CE=AD，DE=AC，∴BE=10， 　∴△BDE的三边为6、8、10，∴△‎ BDE为直角三角形， 　∵△ADB和△CED等底等高，∴梯形ABCD的面积等于△BDE的面积.‎ 即梯形ABCD的面积=6×8×=24.‎ ‎17．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O.有下列四个结论：①AC=BD；②梯形ABCD是轴对称图形；③∠ADB=∠DAC；④△AOD≌△ABO.其中正确的是( ). 　　(A)①③④　　　 (B)①②④ 　　　(C)①②③ 　　　(D)②③④‎ 考点：本题考查的是等腰梯形的性质.‎ 答案：C 总结升华：解决梯形问题时，辅助线是常用的方法，除上述辅助线之外，还可以延长两腰交于一点，构成三角形；若已知一腰中点，可连结一顶点和这个中点，构成两个全等的三角形.‎ 举一反三： 　　【变式1】已知梯形的上底长为3，中位线长为6，则下底长为______.‎ 考点：梯形的中位线性质.‎ 思路点拔：梯形的中位线平行两底，且等于上、下底和的一半.‎ 答案：9.‎ ‎【变式2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，∠ABC和∠BCD互余，若AD=4，BC=10，则EF=_________.‎ 解析：过E作EM∥AB，EN∥CD，交BC于M、N，可求MN=BC-AD=10-4=6 　∵∠ABC和∠BCD互余，可得Rt△MEN，再证EF是Rt△MEP斜边上的中线，可求EF的长=MN=×6=3.‎ ‎【变式3】已知等腰梯形ABCD，AD∥BC ，E为梯形内一点，且.求证：.‎ 思路点拔：利用梯形的性质可证明三角形全等.‎ 证明：在等腰梯形ABCD中，AB=CD，∠BAD=∠CDA，∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA 　∴∠BAD-∠EAD=∠CDA-∠EDA，即∠BAE=∠CDE，∴△BAE≌△CDE，∴EB=EC.‎ 考点七、平面图形 知识点八、平面图形的镶嵌 1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺. 2.平面图形镶嵌的条件： 　　(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌. 　　(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件： 　 　　①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°； 　 　　②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.‎ 三、规律方法指导 1.数形结合思想 　　多边形是反映了数的抽象性与形的直观性这一对矛盾的对立统一，以及在一定条件下的互相转化，由数构形，由形思数的数形结合思想.尤其在平行四边形和矩形、菱形、正方形、梯形中，图形的特点非常鲜明，与我们现实生活的联系很大，利用它们的性质和判定能解决实际中的问题. 2.分类讨论思想 　　根据题目中的已知判断是哪种特殊的平行四边形，不同的特殊的平行四边形的性质和判定不同.结合各自的特点进行分类，得出最终的结论. 3.化归与转化思想 　　要记清和分清平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定，要体会化归思想的应用，如：多边形转化为三角形；平行四边形、梯形及特殊的平行四边形性质的讨论通过对角线转化为全等三角形等. 4.注意观察、分析、总结 ‎ 　　在判断边相等或角相等的问题上，常以平行四边形、梯形及特殊的平行四边形的性质或判定为依据，当条件结论的关系无法找到时，可以通过辅助线将图形适当变化，使条件集中，以便应用条件达到解题的目的，由繁变简，一般与特殊之间的转化. 5.四边形知识点间的联系 ‎ 四．中考题萃 1.(北京市)(4分)若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是( ) 　　A.5 　　　B.6　　　 C.7　　　 D.8‎ ‎2.(赤峰市)(3分)分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有( ) 　　A.①②③　　　 B.②③④ 　　　C.①②④ 　　　D.①②③④都可以 3.(湖北省襄樊市)(3分)顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是( ) 　　A.菱形 　　　B.正方形　　　 C.矩形　　　 D.等腰梯形 4.(衡阳市)(3分)如图，在平行四边形中，，为垂足，如果，那么　　　的度数是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　A. 　　　B. 　　　C.　　　D. 5.(广州)(3分)如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是( ) A. 　　　B.2　　　 C. 　　　D.‎ ‎6.(永春县)(3分)四边形的外角和等于__________度.‎ ‎7.如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，则∠CAD的度数是__________°‎ ‎. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8.(佳木斯市)(3分)一幅图案.在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成.其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是__________.　　9.(江苏省宿迁市)(3分)若一个正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是______. 10.(安顺市)(4分)若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则原四边形可能是__________.(写出两种即可)‎ ‎11.(赤峰市)(4分)如图，已知平分，，，则________. 12.(佛山市)(3分)如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是__________. 13.(湖南省怀化市)(2分)如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC、，CEBD于E，则__________. 14.(海南省)(3分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，AB=‎6cm，则AE=__________cm. ‎ ‎15.(莆田市)(3分)如图，大正方形网格是由16个边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分的面积是__________. 16.(广州)(3分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，AD=6，BC=8，则梯形的高为　　　　. 17.(莆田市)(3分)如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1‎ B=______________度. 18.(湖北省荆门市)(3分)如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为________. 19.(江苏省宿迁市)(3分)如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_________. 20.(内蒙古)(6分)如图，在梯形中，AD∥BC，，，AE⊥BD于E，.求梯形的高. 21.(湖北省荆州市)(6分)如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：DF=DC. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　‎ ‎22.(北京市)(5分)如图，在梯形中，，，，，，求的长. 23.(湖北省荆门市)(10分)某人定制了一批地砖，每块地砖(如图(1)所示)是边长为‎0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH. 　　(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由； 　　(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 　　　　　　　　　　　　　‎ 答案与解析 ‎ 　　1.B　2.C　3.A　4.D　5.C 　　6.360　　7.36 　 8.12 　 9.八边 　　10.矩形、等腰梯形、正方形、对角线相等的四边形 　　11.3 ‎　　12.22.5‎度 　　13.25° 　　14.6　 　　 15.10 　　16.7 　　17.60　　 　　18. 　　19.5 　　20.解：∵AD∥BC，∴∠2=∠3 　　　　　 又AB=AD，∴∠1=∠3.　∠ABC=∠C=60° 　　　　　 ∴∠1=∠2=30° 　　　　　 在Rt△ABE中，，， 　　　　　 ∴AB=2 　　　　　 作AF⊥BC垂足为F， 　　　　　 在Rt△ABF中， 　　　　　 　　　　　 ∴梯形的高为. 　　21.证明：∵AD=AE 　　　　　　 ∴∠ADE=∠FED 　　　　　　 又AD∥BC 　　　　　　 ∴∠ADE=∠DEC 　　　　　　 ∴∠DEC=∠DEF 　　　　　　 又DF⊥AE，四边形ABCD是矩形 　　　　　　 ∴∠DFE=∠C=90° 　　　　　　 又DE=DE 　　　　　　 ∴△DEF≌△DEC(AAS) 　　　　　　 ∴DF=DC. 　　22.解法一：如图1，分别过点作于点 ‎， 　　　　　　　 于点. 　　　　　　　 . 　　　　　　　 又， 　　　　　　　 四边形是矩形. 　　　　　　　 . 　　　　　　　 ，，， 　　　　　　　 . 　　　　　　　 . 　　　　　　　 ， 　　　　　　　 　　　　　　　 在中，， 　　　　　　　 . 　　　 解法二：如图2，过点作，分别交于点. 　　　　　　　 ， 　　　　　　　 . 　　　　　　　 ， 　　　　　　　 . 　　　　　　　 在中，，，， 　　　　　　　 　　　　　　　 在中，，，， 　　　　　　　 . 　　　　　　　 . 　　　　　　　 在中，， 　　　　　　　 . 　　23.解：(1) 四边形EFGH是正方形.‎ ‎ 　　　　　　　 图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE=CF=CG.∴△CEF是等腰直角三角形.因此四边形EFGH是正方形. 　　　　　 (2) 设CE=x， 则BE=0.4-x，每块地砖的费用为y，那么 　　　　　　　 y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x-×0.4×(0.4-x)×10] 　　　　　　　　=10(x-0.2x+0.24) 　　　　　　　　=10［(x-0.1)2+0.23］ (0＜x＜0.4). 　　　　　　　 当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1. 　　　　　　　 答：当CE=CF=‎0.1米时，总费用最省.‎ 学习成果测评 基础达标 一、选择题 　　1.只用下列图形不能镶嵌的是( ) 　　A.三角形　　　 B.四边形　　　 C.正五边形　　　 D.正六边形 　　2.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( ) 　　A.AB=CD 　　　B.AD=BC　　　 C.AB=BC 　　　D.AC=BD ‎3.如图，将平行四边形ABCD沿翻折，使点恰好落在上的点处，则下列结论不一定成立的是( ) A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.‎ ‎4.顺次连结等腰梯形各边的中点，所成的四边形必定是( ) 　　A.等腰梯形　　　 B.菱形　　　 C.矩形 　　　D.平行四边形 ‎5.如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有( ) A.1对 　　　B.2对　　　 C.3对 　　　D.4对 ‎6.如图，矩形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则图中与△AOD面积相等的三角形有( ) A.1个　　　B.2个 　　　C.3个　　　‎ ‎ D.4个 　　7.不能判定四边形ABCD为平行四边形的命题是( ) 　　A.AB∥CD且AB=CD 　　　　　B.AB=AD、BC=CD 　　C.AB=CD，AD=BC　　　　　　D.∠A=∠C，∠B=∠D 　　8.下列命题中，真命题是( ) 　　A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 　　B.有一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形 　　C.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 　　D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形 ‎9.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ) 　　A.对角线相等　　　　　　B.对角线互相垂直且平分 　　C.四条边都相等　　　　　D.对角线平分一组对角 ‎10.如图，将边长为‎8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是( ). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　A‎.3cm　　　 B‎.4cm 　　　C‎.5cm　　　 D‎.6cm 二、填空题 　　11.四边形的内角和等于__________°，外角和等于___________°.‎ ‎12.正方形的面积为4，则它的边长为________，一条对角线长为_________.‎ ‎13.一个多边形，若它的内角和等于外角和的3倍，则它是_________边形.‎ ‎14.如果四边形ABCD满足______________________________条件，那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直(只需填写一组你认为适当的条件)‎ ‎15.已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线的长为________.‎ ‎16.如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，BC=5，AB=4，AE=3，则AF的长为________. 17.如图，梯形ABCD中，AD∥‎ BC，已知AD=4，BC=8，则中位线EF=___________，EF分梯形所得的两个梯形的面积比S1 ：S2为________________. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 18.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为___________. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 三、解答题 　　19.如图，E是正方形ABCD外一点，AE=AD，∠ADE=75°，求∠AEB的度数. 20.如图，正方形中，与分别是、上一点.在①、②∥、③中，请选择其中一个条件，证明. (1)你选择的条件是___________(只需填写序号)； 　　(2)证明： 21.如图，已知平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程(要求：推理过程要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件) ‎ 能力提升 一、选择题 　　1.等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8，则该等腰梯形的面积为( ) 　　A.16 　　　B.32　　　 C.64　　　D.512‎ ‎2.下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(‎ ‎ ) 　　A.菱形 　　　B.矩形　　　 C.正方形 　　　D.等腰梯形 ‎3.如图，平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于( ) 　　A.20° 　　　B.25°　　　 C.30° 　　　D.35°‎ ‎4.如图，在梯形中，，，边的垂直平分线交边于，且为边的中点，又，则梯形的周长等于( ) ‎ ‎　　A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.‎ ‎5.如图，矩形纸片ABCD中，AB=‎3cm，BC=‎4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于( ). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 二、填空题 6.如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形.对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：________________. 7.如图，矩形纸片ABCD，BC=2，∠ABD=30°.将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线DB的距离为________________. 8.四边形ABCD为边长等于1的菱形，顺次连结它的各边中点组成四边形EFGH(四边形EFGH称为原四边形的中点四边形)，再顺次连结四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形，……，则按上述规律组成的第八个中点四边形的边长等于_____________.‎ ‎9.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长为________. 10.如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围第一层有六个白色正六边形，则第n层有___________白色正六边形. ‎ 三、解答题 11.在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点.求证：CE⊥BE. 12.如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处. 　　(1)求证：； 　　(2)设，试猜想之间有何等量关系，并给予证明. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 综合探究 　1.请阅读下列材料： 　　问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结.若，探究与的位置关系及的值. 　　小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决. 　　　　　　　　　　　　　　　 　　请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： 　　(1)写出上面问题中线段与的位置关系及的值； 　　(2)将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明. 　　(3)若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值(用含的式子表示).‎ ‎2.某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在ABCD的四条边上，请你设计两种方案： 　　方案(1)：如图(1)所示，两个出入口E、F已确定，请在图(1)上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法； 　　方案(2)：如图(2)所示，一个出入口M已确定，请在图(2)上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法. 　　　　　　　　　　‎ 基础达标 一、选择题 　　1.C 2. D 3.C 4.B 5.C 6.C 7.B 8.C 9.A 10.A 二、填空题 　　11.360，360 　　　12.2 ， 　　　13.八 　　14.四边形ABCD是菱形或四条边都相等或四边形ABCD是正方形等 　　15.5 　　 16. 　　　17. 6 ，　　　　 18.(2+，)‎ 三、解答题 　　19.解：∵△ADE中，AE=AD，∠ADE=75°，∴∠AED=75° 　　　　　 ∴∠EAD=180°-75°×2=30°，又∵四边形ABCD是正方形， 　　　　　 ∴∠BAD=90°‎ ‎，AB=AD， 　　　　　 ∴△ABE中，AB=AE，∠BAE=120°，∴∠AEB=°°°. 　　20. 解法一：(1)选 ① ； 　　　　　　　　(2)证明：∵是正方形，∴，∠A=∠C=90°.又∵， 　　 　　　　　　　　　　∴△≌△.∴. 　　　　解法二：(1)选 ② ； 　　　　　　　　(2)证明：∵是正方形，∴∥. 　　 　　　　　　　　　　又∵∥，∴四边形是平行四边形.∴. 　　　　解法三：(1)选 ③ ； 　　　　　　　　(2)证明：∵是正方形，∴，∠A=∠C=90°.又∵， 　　 　　　　　　　　　　∴△≌△.∴. 　　21. 结论：四边形PQMN是矩形 　　　　证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB∥CD 　　　　　　　∴∠ABC+∠BAD=180°，∠BCD+∠ABC=180° 　　　　　　　又 ∵ AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线 　　　　　　　∴∠BAP=∠BAD，∠ABP=∠ABC，∴∠BAP+∠ABP=90°∴∠APB=90° 　　　　　　　同理可证：∠Q=∠N=90°∴四边形PQMN是矩形. (或结论：∠Q=90°等).‎ 能力提升 一、选择题 　　1.C 2.D 3.A 4.C 5.D 二、填空题 　　6.答案不唯一. 可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半. 　　7.　　　8. 　　　9.　　　 10. 6n 三、解答题 ‎ 　　11. 证明: 过点C作CF⊥AB，垂足为F. 　　　　　　　∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，∴ ∠D=∠A=∠CFA=90°.∴四边形AFCD是矩形. 　　AD=CF， BF=AB-AF=1.在Rt△BCF中， CF2=BC2-BF2=8，∴ CF=.∴ AD=CF= 　　∵ E是AD中点，∴ DE=AE=AD=，在Rt△ABE和Rt△DEC中， EB2=AE2+AB2=6， EC2=DE2+CD2=3， EB2+EC2=9=BC2.∴ ∠CEB=90°∴ EB⊥EC.‎ ‎12.(1)证一：由题意得，， ， 在矩形中，， ..　.证二：连结，由题意得， . 　在矩形中，， . . . (2)解：可猜想之间存在关系：. 证一：由题意知，. 　由(1)知.在中，，. 　证二：由题意知，.由(1)知，.在中，，.‎ 综合探究 　　1. 解：(1)线段与的位置关系是； . 　　　　　 (2)猜想：(1)中的结论没有发生变化. 　　　　　　　证明：如图，延长交于点，连结. 　　　是线段的中点， .由题意可知.. 　　　， .，. 　　　四边形是菱形， ，. 　　　由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，可得. ‎ ‎. 　　　四边形是菱形， . ..　，..即. 　　　，， ，. . 　(3).‎ ‎　　2. 解：方案(1) 　　　　 　　 　　　　　　画法1 　　　　　　　　　画法2 　　　　　　　　 画法3 　　画法1：(1)过F作FH∥AD交AD于点H； 　 (2)在DC上任取一点G；连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形； 　　画法2：(1)过F作FH∥AB交AD于点H； 　 　　　　(2)过E作EG∥AD交DC于点G；连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形； 　　画法3：(1)在AD上取一点H，使DH=CF； 　 (2)在CD上任取 一点G；连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形. 　　方案(2) 　　画法：(1)过M点作MP∥AB交AD于点P； 　 　　　 (2)在AB上取一点Q，连接PQ； 　 　　　 (3)过M作MN∥PQ交DC于点N； 　　连接QM、PN、MN，则四边形QMNP就是所要画的四边形.‎