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  • 2021-05-10 发布

上海中考数学压轴题综合复习文档

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中考压轴题综合复习一 例 1.如图 1,在 Rt△ABC 中, 90C   ,AC=4,BC=5,D 是 BC 边上一点,CD=3,点 P 在边 AC 上(点 P 与 A、C 不重合),过点 P 作 PE// BC,交 AD 于点 E。(★★★★) (1)设 AP=x,DE=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出 x 的取值范围; (2)当以 PE 为半径的⊙E 与 DB 为半径的⊙D 外切时,求 DPE 的正切值; (3)将△ABD 沿直线 AD 翻折,得到 'AB D ,联结 'B C .如果∠ACE=∠BCB/,求 AP 的 值。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.哪些边已知?哪些边存在特殊关系? 提示:AC=4,BC=5,CD=3;PE// BC 2.角的关系? 提示: 90C   3.特殊图形?提示:PE// BC 形成相似基本图形“A 字型” 二.求解函数关系式,用相似基本图形可直接求得。 三.两 圆 外 切 时 , 根 据 条 件 得 BE BD PE  , 再 计 算 求 解 。 注 意 连 结 DP 后 , DPE PDC   。 四.图形翻折后,会产生很多相等的量(边和角): 1.画出翻折后的图形,让学生画图看看; 2.翻折后有哪些相等的边和相等的角?提示:引导学生寻找翻折前后的相等量,从边和角人 手; 3.添加辅助线,构造相似基本图形求解;延长延长 AD 交 'BB 于 F,则 'AF BB ; 4.再找找题目中的相似三角形? 提示:从翻折前后图形人手, ACD ~ BFD 、 ACE ~ /BCB 5.怎么计算? 提示:用边之比计算求解,先求解 'BB = 5 16 ,再求解 25 64AE ,最后得 125 256AP 。 6.小题回顾总结。 【满分解答】 (1)∵在 Rt△ABC 中,AC=4,CD=3,∴AD=5,∵PE// BC,∴ AD AE AC AP  ,∴ 54 AEx  , ∴ xAE 4 5 ,∴ xDE 4 55  , 即 xy 4 55  ,( 40  x ) (2)当以 PE 为半径的⊙E 与 DB 为半径的⊙D 外切时,有 DE=PE+BD,即 24 3 4 55  xx ,解之得 2 3x ,∴ 2 5PC , ∵PE// BC,∴∠DPE=∠PDC, 在 Rt△PCD 中, tan PDC = 5 6 2 5 3  PC CD ;∴tan DPE = 5 6 (3) 延长 AD 交 BB/于 F,则 AF⊥BB/, ∴ BFDACD  ,又 FDBADC  ,∴ FBDCAD  ∴ ACD ~ BFD ,∴BF= 5 8 ,所以 BB/= 5 16 , ∵∠ACE=∠BCB/,∠CAE=∠CBB/,∴ ACE ~ /BCB ,∴ 25 64AE ,∴ 125 256AP 。 1.如图 2,已知在正方形 ABCD 中,AB = 2,P 是边 BC 上的任意一点,E 是边 BC 延长线上 一点,联结 AP.过点 P 作 PF AP ,与∠DCE 的平分线 CF 相交于点 F.联结 AF,与边 CD 相交于点 G,联结 PG。(★★★★) (1)求证: 45PAF   ;(4 分) (2)⊙P、⊙G 的半径分别是 PB 和 GD,试证明⊙P 与⊙G 外切;(5 分) (3)当 BP 取何值时,PG // CF。(5 分) 【解法点拨】可以参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.边: 2AB BC  , PF AP ; 2.角:CF 平分 DCE , 90B APF     ; 3.特殊图形:正方形 ABCD 。 二.证明 45PAF   ,即证明 PA PF : 方案一.在边 AB 上截取线段 AH,使 AH = PC,联结 PH,证明△AHP≌△PCF 即可; 方案二.过点 F 作 FM BC 于点 M ,则 ABP PMF ∽ ,设 BP a FM b , ,用比例 式可证明 a b ,则 ABP PMF ≌ ; 三.证明量圆外切,即证明 PG BP DG  ,证明线段和差关系,用“截长补短”证明; 四. PG CF∥ 时,可得 CPG 为等腰直角三角形,则 2PG PC ,再结合 PG BP DG  可求得 BP 长。 【满分解答】(1)证明:在边 AB 上截取线段 AH,使 AH = PC,联结 PH. 由正方形 ABCD,得∠B =∠BCD =∠D = 90°,AB = BC = AD.……(1 分) ∵∠APF = 90°,∴∠APF =∠B. ∵∠APC =∠B +∠BAP =∠APF +∠FPC, ∴∠PAH =∠FPC.………………………………………………………(1 分) 又∵∠BCD =∠DCE = 90°,CF 平分∠DCE,∴∠FCE = 45°. ∴∠PCF = 135°. 又∵AB = BC,AH = PC,∴BH = BP,即得∠BPH =∠BHP = 45°. ∴∠AHP = 135°,即得∠AHP =∠PCF.………………………………(1 分) 在△AHP 和△PCF 中,∠PAH =∠FPC,AH = PC,∠AHP =∠PCF, ∴△AHP≌△PCF. ∴AP = PF,即 45PAF   ………………………………………(1 分) (2)解:延长 CB 至点 M,使 BM = DG,联结 AM. 由 AB = AD,∠ABM =∠D = 90°,BM = DG, 得△ADG≌△ABM,即得 AG = AM,∠MAB =∠GAD.………………(1 分) ∵AP = FP,∠APF = 90°,∴∠PAF = 45°. ∵∠BAD = 90°,∴∠BAP +∠DAG = 45°,即得∠MAP=∠PAG = 45°.(1 分) 于是,由 AM = AG,∠MAP =∠PAG,AP = AP, 得△APM≌△APG.∴PM = PG. 即得 PB + DG = PG.∴⊙P 与⊙G 两圆外切.(1 分) (3)解:由 PG // CF,得∠GPC =∠FCE = 45°.…………………………………(1 分) 于是,由∠BCD = 90°,得∠GPC =∠PGC = 45°. ∴PC = GC.即得 DG = BP.………………………………………………(1 分) 设 BP = x,则 DG = x.由 AB = 2,得 PC = GC = 2 – x. ∵ PB + DG = PG , ∴ PG = 2 x . 在 Rt△PGC 中 , ∠ PCG = 90° , 得 2sin 2 CGGPC PG    .即得 2 2 2 2 x x   .解得 2 2 2x   .(1 分) ∴当 (2 2 2)BP   时,PG // CF.………………………………………(1 分) 中考压轴题综合复习二 1.培养学生挖掘信息的能力,并能从题目中寻找有利条件; 2.培养学生分析问题解决问题的能力; 3.让学生学会把难题分解,从而分段击破; 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 例 1.如图,已知在△ ABC 中, AB =4, BC =2,以点 B 为圆心,线段 BC 长为半径的弧交 边 AC 于点 D ,且∠ DBC =∠ BAC , P 是边 BC 延长线上一点,过点 P 作 PQ ⊥ BP , 交线段 BD 的延长线于点 Q .设CP x , DQ y 。(★★★★) (1)求CD 的长; (2)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域; (3)当∠ DAQ =2∠ BAC 时,求CP 的值。 A B C D Q P 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.哪些边已知?哪些边存在特殊关系? 提示: AB =4,BC =2,PQ ⊥ BP ,BC BD ; 2.哪些角存在特殊关系? 提示:∠ DBC =∠ BAC , 90QBP   。 3.特殊图形: BCD 、 ABC 均为等腰三角形, BCD ABC ∽ 。 五.用 BCD ABC ∽ 得到饿比例式可以直接求解CD 的长度; 六.求解函数关系式: 1.分析 x 和 y 分别代表的量? 提示:CP x , DQ y ,都表示边的长度; 2.从图中观察,x 与 y 是否有直接关系? 提示:没有,因此需要添加辅助线,构造基本图 形使得 x 与 y 有联系; 3.分别过点 A 、 D 作 AH BC 、 DE BC ,则由相似基本图形可以求解相关线段的长 度,继而求解很熟关系式; 4.注意求解函数定义域。 七.当∠ DAQ =2∠ BAC 时,为“当题目中的量满足一种特殊关系时,求解相关量”: 1.由∠ DAQ =2∠ BAC 可得到那些角度相等? 提示:得到 ABQ AQB   最为关键; 2.等腰三角形画底边上的高线,用勾股定理求解。 【满分解答】 (1)∵∠DBC=∠BAC,∠BCD=∠ACB,∴△BDC∽△ABC.∴ AB BC BD CD  . (2)∵ 4AB , 2 BDBC ,∴ 1CD . (2)∵BC=BD,∴∠BCD=∠BDC. ∵∠DBC=∠BAC,∠BCD=∠ACB,∴∠ABC=∠BDC.∴∠ABC=∠ACB.∴AC=AB=4. 作 AH⊥BC,垂足为点 H.∴BH=CH=1. 作 DE⊥BC,垂足为点 E,可得 DE∥AH.∴ CA CD CH CE  ,即 4 1 1 CE . ∴ 4 1CE , 4 7BE .又∵DE∥PQ,∴ BE EP BD DQ  ,即 4 7 4 1 2   xy . 整理,得 7 2 7 8  xy .定义域为 x>0. (3)∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA,∠DCB=∠ABD+∠DBC, ∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA.∵∠DAQ=2∠BAC,∠BAC=∠DBC,∴∠ABD=∠ DQA.∴AQ=AB=4. 作 AF⊥BQ,垂足为点 F,可得 2 2 yQF , 2 2 yDF . ∴ 2222 )2 2(4)2 2(3  yy .解得 2 7y . ∴ 2 7 7 2 7 8 x . 解得 16 45x ,即 16 45CP . 1.仔细审题,抓住题目中的不 变量和特殊条件; 2.寻找相似基本图形:A字型、 八字型、一线三角 3.注意利用好“锐角三角比” 和“勾股定理”。 压轴题的解题方法和策略 1.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC=4,BC= 2 1 AB,P 是边 AC 上的一个点,AP= 2 1 PD, ∠APD=∠ABC,联结 DC 并延长交边 AB 的延长线于点 E。(★★★★) (1)求证:AD∥BC; (2)设 AP=x,BE=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域; (3)联结 BP,当△CDP 与△CBE 相似时,试判断 BP 与 DE 的位置关系,并说明理由。 A B C E D P 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.边:AB=AC=4,BC= 2 1 AB,AP= 2 1 PD; 2.角:∠APD=∠ABC; 3.特殊图形:△APD∽△ABC 二.用相似三角形对应角相等即可证明 AD∥BC。 三.求解函数关系式: 1.AP=x,BE=y,都表示边的长度; 2.用第一小问得到的平行线,产生了相似基本图形“A 字型”, BE BC AE AD  ,可求得函数关 系式; 3.注意求解定义域。 四.当△CDP 与△CBE 相似时: 1.用角度关系,证明相似是唯一存在的; 2.用边之比,计算相关线段的长度,再由线段关系得到 BP∥DE。 【满分解答】 (1)证明:∵ ABBC 2 1 , PDAP 2 1 ,∴ PD AP AB BC  .…………………………(1 分) 又∵∠APD=∠ABC,∴△APD∽△ABC.………………………………(1 分) ∴∠DAP=∠ACB.…………………………………………………………(1 分) ∴AD∥BC.…………………………………………………………………(1 分) (2)解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∴∠DAP=∠DPA. ∴AD=PD.…………………………………………………………………(1 分) ∵AP=x,∴AD=2x.…………………………………………………………(1 分) ∵ ABBC 2 1 ,AB=4,∴BC=2. ∵AD∥BC,∴ AD BC AE BE  ,即 xy y 2 2 4  .……………………………(1 分) 整理,得 y 关于 x 的函数解析式为 1 4  xy .……………………………(1 分) 定义域为 41  x .…………………………………………………………(1 分) (3)解:平行.…………………………………………………………………………(1 分) 证明:∵∠CPD=∠CBE,∠PCD>∠E, ∴当△CDP 与△CBE 相似时,∠PCD=∠BCE.…………………………(1 分) ∴ PC DP BC BE  ,即 x xy  4 2 2 .………………………………………………(1 分) 把 1 4  xy 代入,整理得 42 x . ∴x=2,x=-2(舍去).………………………………………………………(1 分) ∴y=4. ∴AP=CP,AB=BE.…………………………………………………………(1 分) ∴BP∥CE,即 BP∥DE. 中考压轴题综合复习三 1.培养学生挖掘信息的能力,并能从题目中寻找有利条件; 2.培养学生分析问题解决问题的能力; 3.让学生学会把难题分解,从而分段击破; 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述,为后面讲解铺垫好基础,大概 5 分钟左右。 一.中考压轴题命题方向: 1.动点+函数+分类讨论; 2.以函数为背景的综合题; 3.以几何图形为背景的综合题; 4.以圆为背景的综合问题。 压轴题命题方向 二.动点产生的分类讨论类型: 1.相似三角形分类讨论; 2.等腰三角形分类讨论; 3.圆相切问题分类讨论; 4.平行四边形分类讨论; 5.函数关系分类讨论! 动点产生的分类讨论类型 分类讨论常见的解题方法和策略 1.相似问题: ①寻找两个三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边之比求解 ③如不能直接求解,则进行相似转化 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 2.等腰问题: ①观察三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边相等求解 ③如不能直接求解,则画底边上的高线, 利用三角比求解 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 3.圆的相切问题: ①分别求解两圆半径和圆心距: ②再分内切和外切讨论,计算求解 ③注意利用好题目中的一些特殊条件 例 1.如图 9,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,二次函数图像经过 (1, 2)A  、 (3, 2)B  和 (0,1)C 三点,顶点为 P 。(★★★★) (1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点 P 的坐标; (2)联结 PC 、 BC ,求 BCP 的正切值; (3)能否在第一象限内找到一点Q ,使得以Q 、C 、A 三点为顶点的三角形与以 C 、P 、 B 三点为顶点的三角形相似?若能,请确定符合条件的点Q 共有几个,并请直接写出它们 的坐标;若不能,请说明理由。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.哪些点的坐标已知? 提示: (1, 2)A  、 (3, 2)B  和 (0,1)C 三点; 2.二次函数解析式和顶点坐标可以求解。 二.求解函数解析式,用待定系数法即可求解。 三.求解三角比的值: 1.先让学生计算出 PBC 的三边长度; 2.通过观察三边的关系,你能得到什么结论吗? 提示: 90CBP   即 CBP 为直角三 角形; 3.计算 tan BCP 的值。 四.当 QCA 与 PBC 相似时: 1. QCA 有什么特殊性质没有? 提示:为直接三角形; 2.怎么分类讨论计算? 提示:分以下三大类计算求解 ①.若 90ACQ   ,过 A 、Q 两点作 y 轴垂线,用相似可求得Q 点坐标为 4(1, ) (9,4)3 或 ; ②.若 90AQC   ,则可直接的Q 点坐标为 (1,1) ; ③.若 90QAC   ,过Q 点作 x 轴垂线,可求的Q 点坐标为 (10,1) ; 3.所求 Q 点坐标有 4 个,分别计算求解。 【满分解答】 (1)设所求二次函数解析式为 2 ( 0)y ax bx c a    由题意,得: 2 9 3 2 1 a b c a b c c            解得: 1 4 1 a b c       因此,所求二次函数的解析式为 2 4 1y x x   ,顶点 P 坐标为 (2, 3) . (2)联结 BP .∵ (0,1), (3, 2), (2, 3)C B P  ∴ 3 2, 2, 2 5BC BP PC   ∴ 2 2 2BC BP PC  ∴ 90CBP   ∴ 2 1tan 33 2 BPBCP BC     (3)能,条件的 Q 点符合共有 4 个,它们分别是 4(1, ) (9,4) (1,1) (10,1)3 或 或 或 。 1.仔细审题,抓住题目中的不 变量和特殊条件; 2.寻找相似基本图形:A字型、 八字型、一线三角 3.注意利用好“锐角三角比” 和“勾股定理”。 压轴题的解题方法和策略 1.如图,Rt△ABO 在直角坐标系中,∠ABO=900,点 A(-25,0),∠A 的正切值为 3 4 ,直线 AB 与 y 轴交于点 C。(★★★★) (1)求点 B 的坐标; (2)将△ABO 绕点 O 顺时针旋转,使点 B 落在 x 轴正半轴上的 'B 处。试在直角坐标系中 画出旋转后的 ' 'A B O ,并写出点 'A 的坐标; (3)在直线 OA/上是否存在点 D,使△COD 与△AOB 相似,若存在,求出点 D 的坐标;若 不存在,请说明理由。 A O B x y C 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.点的坐标:A(-25,0); 2.角: 90ABO   , 4tan 3A  。 7.求解点 B 的坐标,过点 B 画 x 轴垂线,用三角比即可求解。 8.旋转后注意“点 B 落在 x 轴正半轴上的 'B 处”,又因为 90ABO   ,则 'A 在 'B 的正上方, 利用旋转前后对应边相等可直接写出 'A 的坐标; 9.当△COD 与△AOB 相似时: 1.注意点 D 在直线 'OA 上; 2.可以得到 COD 为直角三角形; 3.分类讨论计算: ①当 AB AO OD CO  时:即 15 25 4 5 3 100  x ,解得 16x  。 ②当 AO AB OD CO  时:即 25 15 4 5 3 100  x ,解得 400 9x  【满分解答】 (1)过点 B 作 BH⊥AO 于 H,由 tanA= 3 4 ,设 BH=4k,AH=3k,则 AB=5k 在 Rt△ABO 中,∵tgA= 3 4 ,AO=25,∴AB=15 ∴k=3,∴BH=12 AH=9,∴OH=16 ∴B(-16,12) (2)正确画图。 'A (20,15), (3)在 Rt△AOC 中,AO=25,tgA= 3 4 ,∴OC= 3 100 - 设 OA/的解析式为 y=kx,则 15=20k,则 k= 4 3 ,∴y= 4 3 x ∵△ABO 旋转至△A/B/O,∴∠AOB=∠A/OB/, ∵∠AOB+∠A=900,∠COA/+∠A/OB/=900,∴∠A=∠COA/ ∴在直线 OA/上存在点 D 符合条件,设点 D 的坐标为(x, 4 3 x),则 OD= x4 5 10 当 AB AO OD CO  即 15 25 4 5 3 100  x ,也即 x=16 时,△COD 与△AOB 相似, 此时 D(16,12) 20 当 AO AB OD CO  即 25 15 4 5 3 100  x ,也即 x= 9 400 时△COD 与△AOB 相似, 此时 D( 3 100,9 400 ) 中考压轴题综合复习四 1.培养学生挖掘信息的能力,并能从题目中寻找有利条件; 2.培养学生分析问题解决问题的能力; 3.让学生学会把难题分解,从而分段击破; 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述,为后面讲解铺垫好基础,大概 5 分钟左右。 一.中考压轴题命题方向: 1.动点+函数+分类讨论; 2.以函数为背景的综合题; 3.以几何图形为背景的综合题; 4.以圆为背景的综合问题。 压轴题命题方向 二.动点产生的分类讨论类型: 1.相似三角形分类讨论; 2.等腰三角形分类讨论; 3.圆相切问题分类讨论; 4.平行四边形分类讨论; 5.函数关系分类讨论! 动点产生的分类讨论类型 分类讨论常见的解题方法和策略 1.相似问题: ①寻找两个三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边之比求解 ③如不能直接求解,则进行相似转化 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 2.等腰问题: ①观察三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边相等求解 ③如不能直接求解,则画底边上的高线, 利用三角比求解 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 3.圆的相切问题: ①分别求解两圆半径和圆心距: ②再分内切和外切讨论,计算求解 ③注意利用好题目中的一些特殊条件 例 1.已知△ABC 中,AB=4,BC=6,AC>AB,点 D 为 AC 边上一点,且 DC=AB,E 为 BC 边的中点,联结 DE,设 AD=x。(★★★★) 4.当 DE⊥BC 时(如图 1),求 x 的值; 5.设 ABED CDE S yS 四边形 ,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域; 6.取 AD 的中点 M,联结 EM 并延长交 BA 的延长线于点 P,以 A 为圆心 AM 为半径作⊙A, 试问:当 AD 的长改变时,点 P 与⊙A 的位置关系变化吗?若不变化,请说明具体的位置关 系,并证明你的结论;若变化,请说明理由。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1 哪些边已知?哪些边存在特殊关系? 提示:AB=4,BC=6,AC>AB,DC=AB 二.当 DE BC 时,求解线段的长度: 1.得到了什么特殊条件? 提示:结合“E 为 BC 边的中点”得到“ DE 为 BC 边中垂线”; 2.计算求解,通过中垂线联想到连结 BD ,则得到 AB BD ;再联想到等腰三角形画底边 上的高线,即“过点 B 作 AD 垂线”,再用勾股定理求解。 二.求解面积比: ABED CDE S yS 四边形 1.分别表示哪些图形的面积? 提示:四边形 ABED 和 CDE 。 2.面积比怎么求解? 提示: 方案一.分别求出两个图形的面积,再求解比值; 方案二.用面积转化求解比值。 本题,用“方案二”较简单,连结 BD ,则: BDE DECS S  , 4 ABD DBC S AD x S DC     所以 2 4 ABD CDE S x S    , 2 ABD CDE S x S    ,所以 1 12 ABD BDE ABD CDE CDE S S S xy S S           。 五.证明点与圆的位置关系: 1.点与圆的位置关系有几种? 提示:点在圆外、点在圆上、点在圆内; 2.求解“点与圆的位置关系”等价于求解什么? 提示:等价于比较线段的大小; 3.找找该题的圆心、半径 r 、点到圆心的距离 d 。 提示: r AM 、 d AP 4.该题转化为比较 AM 与 AP 的大小,怎么添加辅助线? 提示:作 AQ BC∥ 或 EN AB∥ ,都可以证明 AM = AP 。 【满分解答】 解:(1)联结 BD,过点 B 作 BH⊥AC 于 H, ∵DE⊥BC,E 为 BC 中点,∴BD=DC,∵AB=DC,∴AB=BD, ∴AH=BH= 1 2 x ,∵AB2-AH2= BC2-CH2,∴ 2 216 ( ) 36 (4 )2 2 x x    , ∴x=1 (2)连 BD,∵点 E 为 BC 中点,∴ BDE CDES S  ∴ 1ABD BDE ABD CDE CDE S S Sy S S         ∵ 4 ABD DBC S x S    ,∴ 2 4 ABD CDE S x S    ,即 2 ABD CDE S x S    ∴ 12 xy   (0<x<6) (3)点 P 在⊙A 上。 证明:取 AC 中点 N,则 AN= 4 2 x , ∵M 为 AD 中点,∴MN= 4 22 2 x x   ∵E 为 BC 中点,∴NE//AB,且 EN=2, ∴MN=EN, ∵NE//AB,∴ AP AM NE MN  ,∴AP=AM ∴点 P 在⊙A 上. 1.仔细审题,抓住题目中的不 变量和特殊条件; 2.寻找相似基本图形:A字型、 八字型、一线三角 3.注意利用好“锐角三角比” 和“勾股定理”。 压轴题的解题方法和策略 1.如图,已知梯形 ABCD ,AD ∥ BC , 5AB AD  , 3 4tan DBC  .E 为射线 BD 上 一动点,过点 E 作 EF ∥ DC 交射线 BC 于点 F .联结 EC ,设 BE x , ECF BDC S yS △ △ 。 (1)求 BD 的长; (2)当点 E 在线段 BD 上时,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)联结 DF ,若△ BDF 与△ BDA 相似,试求 BF 的长。(★★★★) 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.边: 5AB AD  , AD ∥ BC , EF ∥ DC 2.角: 3 4tan DBC  ; 3.特殊图形: ABD 为等腰三角形, EF ∥ DC 形成相似基本图形“A 字型”。 (4) 求解 BD 的长,画等腰 ABD 底边上的高线,用三角比即可求解。 (5) 求解函数关系式, ECF BDC S yS △ △ : 1.求解两个图形的面积比:用面积比转化,引入 BEF ; 2. =ECF BEF S BF BE S CF DE    , 2=( )BEF BDC S BE S BD   ,即可求解函数关系式; 3.注意求解定义域。 (6) 当△ BDF 与△ BDA 相似时: 1.找相等角: DBCADB  ; 2.分类讨论,因为 DBCADB  ,则分以下两个情况讨论: ①当 ABDF  时:可证四边形 ABFD 是平行四边形; ②当 ABDBFD  时:可得 DB DF ; 3.计算求解。 【满分解答】 (1)过点 A 作 AH ⊥ BD 于点 H , ∵ AD ∥ BC , 5AB AD  , ∴ HDBHDBCADBABD  , . 在 ABHRT 中,∵ 4 3tantan  DBCABD , ∴ 5 4cos  AB BHABD ∴ 4 HDBH . ∴ 8BD . (2)∵ EF ∥ DC , ∴ x x BE DE BF FC  8 . ∵△ EFC 与△ EFB 同高,∴ 8EFC EFB S FC x S BF x     . 由 EF ∥ DC 可得:△ EFB ∽△CDB .∴ 2 2 2 8 64 EFB BDC S BE x x S BD               . ∴ 2 28 1 64 64 8 EFCEFB BDC EFB SS x x xy xS S x           , (0 8)x  (3)∵ AD ∥ BC ,∴ DBCADB  . ∵△ BDF 与△ BDA 相似, ① ABDF  ,可证四边形 ABFD 是平行四边形. ∴ 5BF AD  . ② ABDBFD  , ∴ DB DF . 可求得: 5 64BF . 综上所述,当△ BDF 与△ BDA 相似时, BF 的长为 5 或 5 64 . 中考压轴题综合复习五 例 1.已知 2 4AB AD , , 90DAB   , AD BC∥ (如图 1)。 E 是射线 BC 上的动 点(点 E 与点 B 不重合), M 是线段 DE 的中点。(★★★★) (1)设 BE x , ABM△ 的面积为 y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域; (2)如果以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切,求线段 BE 的长; (3)联结 BD ,交线段 AM 于点 N ,如果以 A N D, , 为顶点的三角形与 BME△ 相似, 求线段 BE 的长。 B A D M E C图 1 B A D C备用图 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.哪些边已知?哪些边存在特殊关系? 提示: 2 4AB AD , , AD BC∥ ; 2.有没有动点和特殊点? 提示: E 是射线 BC 上的动点(点 E 与点 B 不重合), M 是线 段 DE 的中点。 3.是否有已知角和特殊角? 提示: 90DAB   。 4.求解函数关系式, ABM△ 的面积为 y ,底边 AB 已知, AB 边上的高也很容易求解,用 直接法计算。 5.两圆外切: 1.用含 x 的代数式表示半径和圆心距,让学生计算 1 2r r d、 、 ; 2.用圆的外切关系列等式 1 2+ =r r d 。 6.当 AND 与 BME△ 相似时: 1.两个三角形中是否有恒相等的角? 提示: DAN MBE   2.是否需要分类讨论? 提示:需要,分两个情况讨论 ①当 ADN BEM   时:可得 DB DE ; ②当 ADB BME   时:可得 BED MEB△ ∽△ ,所以 2BE EM DE  。 3.计算求解。 【参考教法】 (1)取 AB 中点 H ,联结 MH , M 为 DE 的中点, MH BE ∥ , 1 ( )2MH BE AD  . 又 AB BE , MH AB  . 1 2ABMS AB MH  △ ,得 1 2( 0)2y x x   ; (2)由已知得 2 2( 4) 2DE x   . 以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切, 1 1 2 2MH AB DE   ,即 2 21 1( 4) 2 (4 ) 22 2x x       . 解得 4 3x  ,即线段 BE 的长为 4 3 ; (3)由已知,以 A N D, , 为顶点的三角形与 BME△ 相似, 又易证得 DAM EBM   . 由此可知,另一对对应角相等有两种情况:① ADN BEM   ;② ADB BME   . ①当 ADN BEM   时: AD BE ∥ , ADN DBE   . DBE BEM   . DB DE  ,易得 2BE AD .得 8BE  ; ②当 ADB BME   时: AD BE ∥ , ADB DBE   . DBE BME   .又 BED MEB   , BED MEB△ ∽△ . DE BE BE EM   ,即 2BE EM DE  ,得 2 2 2 2 21 2 ( 4) 2 ( 4)2x x x     . 解得 1 2x  , 2 10x   (舍去).即线段 BE 的长为 2. 综上所述,所求线段 BE 的长为 8 或 2。 1.仔细审题,抓住题目中的不 变量和特殊条件; 2.寻找相似基本图形:A字型、 八字型、一线三角 3.注意利用好“锐角三角比” 和“勾股定理”。 压轴题的解题方法和策略 1.已知:Rt ABC 中 , 90C   , 4AC  , cot 3B  ,四边形 MNPQ 的边 MN 在 AB 边上, 2MN  ,顶点 P 、 Q 分别在边 BC 、 AC 上, QM AB 于 M , //PN QM ,如 图。设 AM x ,四边形 MNPQ 的面积记为 y 。(★★★★) (1)当 6 5x  时,求 PB 的长; (2)求 y 关于 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; (3) PCQ 能与 QMA 相似吗?若能,请求出 x 的值;若不能,请说明理由。 C A M N B Q P 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.已知边和特殊边: 4AC  , 2MN  ,QM AB , //PN QM ; 2.已知角和特殊角: 90C   , cot 3B  , 30B   ; 二.求解边的长度,过点C 作 AB 垂线,构造相似基本图形。 三.用相似基本图形看直接计算求解。 四.当 PCQ 与 QMA 相似时: 1.找两个三角形中的相等角,直角相等; 2.分类讨论计算: ①当 60CQP A     时,有 CQP ∽ CAB ∽ MAQ ②当 30CQP B     时,有 CQP ∽ CBA ∽ MQA 【满分解答】 (1)∵ cot 3B  ,∴ 30B   又 90 , 4C AC    ,∴ 8AB  , ∵ 62, 5MN AM x   ,∴ 24 5NB  ∴ 16 35PB  (2)由(1)知: 8AB  , 30B   , 又 AM x ,∴ 6 , 60NB x A     , ∵QM AB , //PN QM ,∴ PN AB ,∴ 33 , (6 )3QM x PN x   , 又∵ 1 ( )2MNPQS QM PN MN  四边形 ,∴ 2 3 2 3(0 2)3y x x    (3)能. 当 60CQP A     时,有 CQP ∽ CAB ∽ MAQ , 此时,可得: 33 (6 )3x x  ,∴ 3 2x  当 30CQP B     时,有 CQP ∽ CBA ∽ MQA , 此时,可得:4 2 2x  ,∴ 1x  所以,当 3 2x  或 1 时, PCQ 能与 QMA 相似。 教师寄语 中考压轴题综合复习六 例 1.已知:如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,BC = 2,AC = 4,P 是斜边 AB 上的一个动点, PD⊥AB,交边 AC 于点 D(点 D 与点 A、C 都不重合),E 是射线 DC 上一点,且∠EPD = ∠ A。设 A、P 两点的距离为 x,△BEP 的面积为 y。(★★★★) (1)求证:AE = 2PE; (2)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域; (3)当△BEP 与△ABC 相似时,求△BEP 的面积。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.哪些边已知?哪些边存在特殊关系? 提示:BC = 2,AC = 4,PD⊥AB; 2.哪些角已知?哪些角存在特殊关系? 提示:∠C = 90°,∠EPD = ∠A。 3.点的运动情况:P 是斜边 AB 上的一个动点,E 是射线 DC 上一点。 4.是否有相似三角形? 提示:△EPD∽△EAP。 二.求解线段的关系,用相似三角形对应边之比可直接求得,让学生计算看看。 三.求解函数关系式: 1.寻找一下 x 与 y 分别代表的量。 提示: AP x ,△BEP 的面积为 y。 2.求解△BEP 的的面积,有没有已知边? 提示: 2 5BP x  3.怎么计算求解? 提示:因为 2 5BP x  ,则求解 BP 边上的高;过点 E 作 BP 的垂线, 结合“相似”和“勾股定理”求解高线即可。 四.当△BEP 与△ABC 相似时: 1.两个三角形中有没有恒相等的角? 提示:没有。 2.怎么讨论计算? 提示:因为 90C   ,则分两个情况讨论∠BEP=∠C=90°或 ∠EBP=∠C=90° (i)当∠BEP=90°时, AB BC PB PE  ; (ii)当∠EBP=90°时,同理可得。 五.总结回顾。 【满分教研】 (1)∵∠APD=∠C=90°,∠A=∠A,∴△ADP∽△ABC.∴ 2 1 AC BC AP PD . ∵∠EPD=∠A,∠PED=∠AEP,∴△EPD∽△EAP. ∴ 2 1 AP PD AE PE .∴AE=2PE. (2)由△EPD∽△EAP,得 2 1 AP PD PE DE ,∴PE=2DE. ∴AE=2PE=4DE. 作 EH⊥AB,垂足为点 H. ∵AP=x,∴ xPD 2 1 .∵PD∥HE,∴ 3 4 AD AE PD HE .∴ xHE 3 2 . 又∵ 52AB ,∴ xxy 3 2)52(2 1  ,即 xxy 3 52 3 1 2  .定义域是 55 80  x . 另解:由△EPD∽△EAP,得 2 1 AP PD PE DE ,∴PE=2DE. ∴AE=2PE=4DE.∴ xxAE 3 52 2 5 3 4  .∴S△ABE= xx 3 5223 52 2 1  . ∴ AB BP S S ABE BEP    ,即 52 52 3 52 x x y  .∴ xxy 3 52 3 1 2  .定义域是 55 80  x . (3)由△PEH∽△BAC,得 AC AB HE PE  ,∴ xxPE 3 5 2 5 3 2  . 当△BEP 与△ABC 相似时,只有两种情形:∠BEP=∠C=90°或 ∠EBP=∠C=90°. (i)当∠BEP=90°时, AB BC PB PE  ,∴ 5 1 52 3 5   x x . 解得 4 53x .∴ 16 25 4 53 3 52516 9 3 1 y . (ii)当∠EBP=90°时,同理可得 2 53x ,则 4 5y 。 1.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC=12。设 E 在 AD 上,AE=2, F 为 AB 上一个动点(不与 A、B 重合),过 F 作 FG∥EC,交 BC 于 G。(★★★★) (1)求梯形 ABCD 的面积; (2)设 BF=x,四边形 EFGC 的面积等于 y,写出 y 与 x 之间的函数解析式,并求出这个函 数的定义域. (3)当 AEF 与 CDE 相似时,求四边形 EFGC 的面积。 D C B A D (备用图) B C A 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.已知边和特殊边:AB=DC=5,AD=6,BC=12,AD∥BC,FG∥EC。 2.点的移动情况:点 F 为 AB 上一个动点(不与 A、B 重合),点G 在 AB 边上。 二.求梯形的面积,让学生独立计算。 三.求解函数关系式: 1.求解 EFGC 的面积,因为四边形 EFGC 为梯形,可以采用下列方案求解面积: 方案一.直接求解: ( ) 2y S EG EC h    ,过点G 作 EC 垂线,可用三角比求解高线; 方案二.用面积和差关系求解,分别延长GF 和 DA ,相交于点 H ,则四边形GHEC 为平行 四边形,所以 EHFGHECy S S 四边形 ,再分别求解。 7.计算求解,注意求解定义域。 六.当 AEF 与 CDE 相似时: 1.找相等角: =A D  ; 2.分类讨论计算: ①当△AEF∽△DEC 时,则 DC AF DE AE  ; ②当△AEF∽△DCE 时,则 DE AF DC AE  ; 3.计算求解。 【满分解答】 解:⑴ 作 AM⊥BC,DN⊥BC,分别交 BC 于 M、N 由题意知,BM=CN=3,再由勾股定理知 AM=4 所以   362 1  AMBCADS ABCD梯形 ; ⑵ 延长 GF、EA 交于 H, 由题意知,四边形 EHGC 是平行四边形,AF=5-x ∴HE=GC=12-BG,而 AE=2, ∴HA=10-BG,由 AD∥BC 得, FB AF BG HA  ,即 x x BG BG  510 ∴BG=2x. 设△AFE 边 AE 上的高为 1h ,△FBG 边 BG 上的高为 2h ,又 421  hh 则 x x h h  5 2 1 ,得到 5 420 1 xh  , 5 4 2 xh  ∴ 5 12044 2   xxSSSy FBGAFEABCE梯形 (0<x<5) 10.①当△AEF∽△DEC 时, 则 DC AF DE AE  , 即 5 5 4 2 x , 解得 2 5x 所以 21y ; ②当△AEF∽△DCE 时,则 DE AF DC AE  , 即 4 5 5 2 x ,解得 5 17x 所以 125 2184y 中考压轴题综合复习七 例 1.如图,在 ABCRt 中,  90C , 5AB , 4 3tan B ,点 D 是 BC 的中点, 点 E 是 AB 边上的动点, DEDF  交射线 AC 于点 F 。(★★★★) (1)求 AC 和 BC 的长; (2)当 EF ∥ BC 时,求 BE 的长; (3)联结 EF ,当 DEF 和 ABC 相似时,求 BE 的长。 A C F E D B A C B (备用图) A C B (备用图) 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.哪些边已知?哪些边存在特殊关系? 提示: 5AB , DEDF  ,CD DB ; 2.哪些角已知?哪些角存在特殊关系? 提示:  90C , 4 3tan B ; 3.点的移动情况。 提示:点 E 是 AB 边上的动点。 七.求解边的长度,等价于解直角三角形,让学生独立计算。 八.当 EF ∥ BC 时,求解 BE 的长度: 1.是否有特殊图形出现? 提示: EF ∥ BC 形成相似基本图形“A 字型”。 2.怎么求解? 提示:由 =90C FDE    ,联想到过点 E 作 BCEH  ,垂足为 H ;通 过 EHB ∽ ACB 得 EFD ∽ FDC ;所以 CDEFFD 2 ,计算求解。 九.当 DEF 和 ABC 相似时: 1.两个三角形中是否恒有相等的角? 提示: =90C FDE    2.怎么分类讨论计算? 提示:由前面一小问知,过点 E 作 BCEH  ,垂足为 H , 由 EHB ∽ ACB 得 EHD ∽ DCF ,所以 DF DE CD EH  。则分两种情况: 1 4 3 BC AC DF DE ; 2 3 4 AC BC DF DE 。 3.计算求解。 【满分解答】 (1)在 ABCRt 中,  90C ∵ 4 3tan  BC ACB ,∴设 kAC 3 , kBC 4 ∴ 55  kAB , ∴ 1k ∴ 3AC , 4BC (2)过点 E 作 BCEH  ,垂足为 H 。 易得 EHB ∽ ACB 设 kCFEH 3 , kBH 4 , kBE 5 ∵ EF ∥ BC ∴ FDCEFD  ∵  90CFDE ∴ EFD ∽ FDC ∴ CD FD FD EF  ∴ CDEFFD 2 即 )44(249 2 kk  化简,得 0489 2  kk 解得 9 1324 k (负值舍去) ∴ 9 2013105  kBE (3)过点 E 作 BCEH  ,垂足为 H . 易得 EHB ∽ ACB 设 kEH 3 , kBE 5 ∵  90HDEHED  90HDEFDC ∴ FDCHED  ∵  90CEHD ∴ EHD ∽ DCF ∴ DF DE CD EH  当 DEF 和 ABC 相似时,有两种情况: 1 4 3 BC AC DF DE ∴ 4 3 CD EH 即 4 3 2 3 k 解得 2 1k ∴ 2 55  kBE 2 3 4 AC BC DF DE ∴ 3 4 CD EH 即 3 4 2 3 k 解得 9 8k ∴ 9 405  kBE 综合 1 、 2 ,当 DEF 和 ABC 相似时, BE 的长为 2 5 或 9 40 . 8.如图,已知在△ABC 中, AB=AC=6,BC=5,D 是 AB 上一点,BD=2,E 是 BC 上一动 点,联结 DE,并作 DEF B   ,射线 EF 交线段 AC 于 F。(★★★★) (1)求证:△DBE∽△ECF; (2)当 F 是线段 AC 中点时,求线段 BE 的长; (3)联结 DF,如果△DEF 与△DBE 相似,求 FC 的长。 F B A C D E B A C D 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.已知边和边的特殊关系:AB=AC=6,BC=5,BD=2; 2.角的关系: =DEF B C    ; 3.点的移动情况:点 E 是边 BC 上一动点,点 F 是边 AC 上一动点; 4.特殊图形: =DEF B C    形成相似三角形基本图形“一线三角”。 二.证明相似三角形,角度直接证明即可。 三.当点 F 是线段 AC 中点时,可得 1 32CF AC  ,用相似三角形计算边长。 四.如果△DEF 与△DBE 相似时: 1.寻找两个三角形中恒相等的角: =B DEF  ; 2.分类讨论计算:分两个情况讨论 ①当 FDE BED   时,DF∥BC,则 AF AD AC AB  ②当 FDE BDE   时: 方案一.作 EO⊥DF,EP⊥BD,EQ⊥CF,垂足分别为 O、P,Q,计算求解; 方案二.则 DE BD EF BE  ,由△DBE∽△ECF,得 DE BD EF EC  , 所有 BD BD BE EC  ,则 5 2BE EC  ,又由△DBE∽△ECF,得 BD BE CE CF  3.计算求解。 【满分解答】 ∵ DEC B BDE     , DEC DEF FEC     , 又 DEF B   ,∴ BDE FEC   , (备用图) ∵AB=AC,∴ B C   ∴△DBE∽△ECF. (2)由△DBE∽△ECF,得 BD BE CE CF  . 设 BE 长为 x , 则 2 5 3 x x  , 解得 1 2x  , 2 3x  .∴BE 的长为 2 或 3. (3)1º 当 FDE BED   时,DF∥BC,∴ AF AD AC AB  ,∴ 2FC  . 2º 解一:当 FDE BDE   时, 作 EO⊥DF,EP⊥BD,EQ⊥CF,垂足分别为 O、P,Q, ∵ FDE BDE   ,∴EO=EP. ∵ DFE DEB EFC     ,∴EO=EQ.∴EP=EQ,∴AE 是 BAC 的平分线. ∵AB=AC,∴ 5 2BE EC  由△DBE∽△ECF,得 BD BE CE CF  ,∴ 25 8FC  Q P O F B A C D E 综上所述,FC 的长为 2 或 25 8 时,△DEF 与△DBE 相似 解二:当 DFE BED   时, DE BD EF BE  , 由△DBE∽△ECF,得 DE BD EF EC  ,∴ BD BD BE EC  ,∴ 5 2BE EC  由△DBE∽△ECF,得 BD BE CE CF  ,∴ 25 8FC  综上所述,FC 的长为 2 或 25 8 时,△DEF 与△DBE 相似。 中考压轴题综合复习八 例 1.已知在梯形 ABCD 中,AB∥DC,且 AB=4,AD=BC=2,∠ABC=120°。P、Q 分别为射 线 BC 和线段 CD 上的动点,且 CQ=2BP。(★★★★) (1)如图 1,当点 P 为 BC 的中点时,求证:△CPQ∽△DAQ; (2)如图 2,当点 P 在 BC 的延长线上时,设 BP=x,△APQ 的面积为 y,求 y 关于 x 的 函数解析式,并写出函数的定义域; (3)以点 A 为圆心 AQ 为半径作⊙A,以点 B 为圆心 BP 为半径作⊙B,当⊙A 与⊙B 相 切时,求 BP 的长。 P CD Q A B 图 1 P CD Q A B 图 2 CD A B 备用图 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.哪些边已知?哪些边存在特殊关系? 提示:AB=4,AD=BC=2,AB∥DC; 2.哪些角已知?哪些角存在特殊关系? 提示:∠ABC=120°, DAB B   ; 3.点的运动情况? 提示:P、Q 分别为射线 BC 和线段 CD 上的动点。 二.当点 P 为 BC 的中点时,求证:△CPQ∽△DAQ: 1.这时,线段 BP 、CP 、CQ 、DQ 的长度是否能求解? 提示:让学生计算看看。 2.根据目前已知的条件,怎么证明相似? 提示:因为题中已知的都是边,则利用 两边成 比例且夹角相等证明。 三.求解函数关系式: 1.寻找一下 x 与 y 分别所表示的量? 提示:BP=x,△APQ 的面积为 y 2.三角形面积怎么求解? 提示:因为 APQ 的每一边都在变化,并且每一条边的 长度都 不好求解,则考虑将三角形分成两个三角形;设 PA 与 DC 的交点为点 E ,则: AQE QEPy S S   。 3.计算求解,注意求解函数定义域。(见后面满分解答部分) 四.两圆相切: 1.回顾两圆相切的三大解题步骤。 提示:求解三个量、分类讨论、计算求解。 2.你能分别求解出两元的半径和圆心距吗? 提示:让学生计算看看。 3.分内切和外切讨论计算。 【满分解答】 (1)过点 A 作 CDAM  ,M 为垂足, 过点 A 作 CDAN  ,N 为垂足 根据题意得:AM=BN,AB=MN=4,DM=CN 在直角三角形△CBN 中, ∴  60DCB ,BC=2 CN=1,BN= 3 ∴ DM=1,AM= 3 ∴CD=6 ∵点 P 为 BC 的中点,且 CQ=2BP ∴CP=1,CQ=2,DA=2,DQ=4 ∴ DQ CQ DA CP  又  60DQCP ∴△CPQ∽△DAQ (2) ∵AB∥DC∴ AB CE PB PC  ∴ 4 2 CE x x  ∴ x xCE 84  ∴ x xx x xxQE 842842 2  过点 P 作 CDPH  交 DC 的延长线于 H 在直角三角形△CBN 中, ∴  60PCH , 2 xPC )2(2 3  xPH ∵ AQPPQEAPQ SSS   ∴ x xx x xxxy 84232 1842)2(2 3 2 1 22  ∴ )42(2 3 2  xxy )32(  x (3) ∵ xDQDM 26,1  ∴ xQM 25  在直角三角形△AQM 中, 3)25( 2  xAQ 当⊙A 与⊙B 外切时, ABBPAQ  43)25( 2  xx 221  xx 当⊙A 与⊙B 内切时, ABBPAQ  43)25( 2  xx 3 10414 1 x , 3 10414 2 x (舍去) ∴当 2BP 时, ⊙A 与⊙B 外切; 当 3 10414 BP 时, ⊙A 与⊙B 内切时. 八.如图,在四边形 ABCD 中,∠B=90°,AD//BC,AB=4,BC=12,点 E 在边 BA 的延长 线上,AE=2,点 F 在 BC 边上,EF 与边 AD 相交于点 G,DF⊥EF,设 AG=x, DF=y。 (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出定义域; (2)当 AD=11 时,求 AG 的长; (3)如果半径为 EG 的⊙E 与半径为 FD 的⊙F 相切,求这两个圆的半径。(★★★★) D G B C A E F 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.已知边和特殊关系的边:AB=4,BC=12,AE=2,AD//BC,DF⊥EF。 2.已知角和特殊角度: 90B EFD     。 3.相似基本型: AG BF∥ 形成相似基本型“A 字型” 二.求解函数关系式: 1.寻找 x 与 y 所代表的量: AG x , ADF y 。 2.计算求解:用 EAG EBF ∽ 、 EAG DFG ∽ 产生的比例关系式求解。 三.当 11AD  :用 11AD AG DG   求解即可。 四.当⊙E 与⊙F 外切时: 1.分别求解两圆的半径和圆心距:半径 Er 、 Fr ,和圆心距 EF ; 2.分内切和外切分类讨论; 3.计算求解。 【满分解答】 (1)∵AD//BC,∠B=90º,∴∠EAG=∠B=90º, ∴EG= .4 222 xAGAE  ∵ ,AE EG AB FG  ∴FG= 2 2 422 44 xx AE EGAB  . ∵∠DFG=∠EAG=90º,∠EGA=∠DGF,∴△DFG∽△EAG. ∴ AG AE GF DF  ,∴ xx y 2 42 2   , ∴y 关于 x 的函数解析式为 x xy 244  ,定义域为 40  x . (2)∵△DFG∽△EAG,∴ ,AG FG EG GD  ∴ x x x GD 2 2 42 4   ,∴GD= x x228 . 当 AD=11 时, 1128 2  x xx , 3 8,1 21  xx . 经检验它们都是原方程的根,且符合题意,所以 AG 的长为 1 或 3 8 . (3)当⊙E 与⊙F 外切时,EF=EG+FD=EG+FG,∴FD=FG, ∵△DFG∽△EAG,∴∠E=∠AGE=∠FGD=∠GDF.∴AG=AE=2; ∴⊙E 的半径 EG= 22 ,⊙F 的半径 FD= 24 . 当⊙E 与⊙F 内切时,EF= FD–EG,∴3 2 2 2 4444 xx xx  , ∵ 04 2  x ,∴3= 14  x ,∴ 1x . ∴⊙E 的半径 EG= 514  ,⊙F 的半径 FD= 54 . 所以⊙E 的半径为 2 2 ,⊙F 的半径为 4 2 ;或⊙E 的半径为 5 ,⊙F 的半径为 4 5 。 中考压轴题综合复习九 例 1.如图, ABC 中, 10 ACAB , 12BC ,点 D 在边 BC 上,且 4BD ,以 点 D 为顶点作 BEDF  ,分别交边 AB 于点 E ,交射线CA 于点 F 。(★★★★★) (1)当 6AE 时,求 AF 的长; (2)当以点C 为圆心 CF 长为半径的⊙C 和以点 A 为圆心 AE 长为半径的⊙ A 相切时, 求 BE 的长; (3)当以边 AC 为直径的⊙O 与线段 DE 相切时,求 BE 的长。 A B CD E F A B CD (备用图) 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.哪些边已知?哪些边存在特殊关系? 提示: 10 ACAB , 12BC , 4BD ; 2.哪些角已知?哪些角存在特殊关系? 提示: C EDF B     ; 3.点的运动情况。 提示:点 E 在 AB 边上,点 F 在射线CA 上; 4.是否有相似基本图形? 提示: C EDF B     形成相似基本型“一线三角” 二.当 6AE 时,求 AF 的长:用相似三角形 BDE CFD ∽ 可直接计算求解。 三.当⊙C 和⊙ A 相切时: 1.你能求解出两圆的半径和圆心距吗? 提示: Cr CF 、 Ar AE , d CA 。 2.当两圆相切时,怎么讨论? 提示:分内切和外切讨论。 3.计算求解。可让学生计算,参考后面满分解答。 四.当以边 AC 为直径的⊙O 与线段 DE 相切时,求 BE 的长: 1.圆与直线相切时:一般怎么添加辅助线? 提示:过圆心作直线垂线。让学生画出图形。 2.计算证明。(参考后面满分解答) 3.回顾小结。 【满分解答】 (1)∵ DEBBFDCEDF  , BEDF  ∴ DEBFDC  ,∵ ACAB  ,∴ BC  ∴ CDF ∽ EBD ∴ BE CD BD CF  ,即 610 8 4 CF ∴ 8CF ,∴ 2810  CFACAF (2)分外切和内切两种情况考虑: 1 当⊙C 和⊙ A 外切时,点 F 在线段CA 上,且 AEAF  ∵ ACAB  ,∴ CFBE  ∵ BE CD BD CF  ,∴ BE CD BD BE  即 32842  CDBDBE ,∴ 24BE 2 当⊙C 和⊙ A 内切时,点 F 在线段CA 延长线上,且 AEAF  ∴ AEAEABBE  10 , AEAFACCF  10 ∵ BE CD BD CF  , AE AE  10 8 4 10 解得 172AE , ∴ 17210 BE 综合 1 、 2 当⊙C 和⊙ A 相切时, BE 的长为 24 或 17210  . (3)取边 AC 中点 O ,过点O 分别作 DEOG  , BCOQ  ,垂足分别为 、G Q ; 过点 A 作 BCAH  ,垂足为 H . ∵⊙O 和线段 DE 相切,∴ 52 1  ACOG 在 CAHRt 中,  90AHC , 5 3 10 6cos  AC CHC 在 CQORt 中,  90CQO ,∵ CO CQC cos ∴ 35 35cos  CCOCQ ∴ 538 DQ ,∴ DQOG  ∵ DOOD  ∴ OGDRt ≌ DQORt ∴ QDOGOD  ∴OG ∥ BC ,∴  90OGDEDB ∴ 5 3coscos  CBE BDB ∴ 3 20 5 3 4 BE ∴当以边 AC 为直径的⊙O 与线段 DE 相切时, 3 20BE 。 1.如图,正方形 ABCD 的边长为 4 , E 是 BC 边的中点,点 P 在射线 AD 上,过 P 作 PF AE 于 F ,设 PA x 。(★★★★) (1)求证: PFA ABE△ ∽△ ; (2)若以 P F E, , 为顶点的三角形也与 ABE△ 相似,试求 x 的值; (3)试求当 x 取何值时,以 D 为圆心,DP 为半径的⊙D 与线段 AE 只有一个公共点。 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.已知边和特殊关系的边。提示: 4AB BD CD AD    , 2BE EC  ,PF AE 。 2.已知角和特殊关系角。提示: 90B C PFA       ,以及由直角产生的很多相等角。 3.特殊图形:正方形 ABCD 。 二.证明 PFA ABE△ ∽△ ,用两角相等可直接证明。 三.当 PFE 与 ABE△ 相似时: 1.寻找两个题目中的相等角。 提示: 90B PFE     。 2.分类讨论:分以下两个情况讨论 ①当 PEF EAB   时:则有 PE AB∥ ,则四边形 ABEP 为矩形。 ②当 PEF AEB   时:用边之比可直接求解。 四.当 DP 为半径的⊙D 与线段 AE 只有一个公共点时: 1.根据前面例题一样添加辅助线:过圆心作线段垂线; 2.区别好“圆与直线只有一个公共点”和“圆与线段只有一个公共点”。 3.画图观察。(见后面满分解答图) 【满分解答】 (1)证明:∵正方形 ABCD ,∴ AD BC∥ , 且∠ABE=900 PAF AEB   又∵ PF AE ,∴ 90PFA ABE     PFA ABE△ ∽△ (2)解:情况 1,当 EFP ABE△ ∽△ ,且 PEF EAB   时, 则有 PE AB∥ 四边形 ABEP 为矩形, 2PA EB   ,即 2x  情况 2,当 PFE ABE△ ∽△ ,且 PEF AEB   时,∵ PAF AEB   PEF PAF   , PE PA  PF AE ,点 F 为 AE 的中点, 2 2 2 24 2 20 2 5AE AB BE      1 52EF AE   由 PE EF AE EB  ,即 5 22 5 PE  得 5PE  ,即 5x  满足条件的 x 的值为 2 或 5. (3) 作 DH⊥AE,则⊙P 与线段 AE 的距离 d 即为 DH 的长,可得 d= 5 58 当点P在AD边上时,⊙P的半径r=DP= 4-x;当点P在AD的延长线上时,⊙P的半径r=DP=x-4 如图 1 时,⊙P 与线段 AE 相切,此时 d=r,即 5 584,45 58  xx 如图 2 时,⊙P 与线段 AE 相切,此时 d=r,即 5 584,45 58  xx 如图 3 时,⊙P 恰巧过点 A,即 DP=DA=4,亦即 8x 如图 4 时,DE=r,即 x-4= 52 ,即 524  ∴当 8 54 5x   或 8 54 5x   或 5248  x 时,⊙D 与线段 AE 只有一个公共点; 中考压轴题综合复习十 例 1.如图,已知梯形 ABCD中,AD // BC , BCAB  , 4AB , 5 CDAD , 4 3cot C . 点 P 在边 BC 上运动(点 P 不与点 B 、点C 重合),一束光线从点 A 出发,沿 AP 的方向射 出,经 BC 反射后,反射光线 PE 交射线CD于点 E 。(★★★★) (1)当 CEPE  时,求 BP 的长度; (2)当点 E 落在线段CD 上时,设 xBP  , yDE  ,试求 y 与 x 之间的函数关系, 并写出其定义域; (3)联结 PD,若以点 A 、 P 、 D 为顶点的三角形与 PCE 相似,试求 BP 的长度。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.哪些边已知?哪些边存在特殊关系? 提示: 4AB , 5 CDAD , AD // BC , BCAB  。 2.哪些角已知?哪些角存在特殊关系? 提示: 90B   , 3cos 4APB EPC C    , 。 3.点的移动情况。 提示:点 P 在边 BC 上运动(点 P 不与点 B 、点C 重合),点 E 在射线 CD 上。 11.当 CEPE  时,求 BP 的长度。该情况下可得到什么特殊条件? 提示: APB C   , 用三角比或相似三角形都可以求解。(详细过程见后面满分解答) 12.求解函数关系式: 9.寻找一下 x 与 y 所代表的量。 提示: xBP  , yDE  。 10.从图中观察 x 与 y 是否有直接关系,并于后面计算求解。 11.添加辅助线求解。 提示;延长 PE 与 AD 的延长线交于点 F,计算求解。 十.当 APD 与 PCE 相似时: 1.寻找一下两个三角形中是否有恒相等的角度? 提示:∠DAP=∠EPC 2.怎么分类讨论计算? 提示:分两个情况讨论 ①当∠ADP=∠C 时,推出 BP=2。 ②当∠APD=∠C 时,可按照后面两个方法求解。 (7) 计算求解。 (8) 回顾总结。 【满分解答】 (1) 根据已知,得 BC=8,∠APB=∠EPC ∵PE=CE ∴∠EPC=∠C ∴∠APB=∠C (方法一)∵cot∠C= 4 3 ∴ 4 3 AB BP ∵AB=4 ∴BP=3 即 BP=3 时,PE=CE (方法二)∴AP∥DC ∴PC=AD=5 ∴BP=3 即 BP=3 时,PE=CE (2) 延长 PE 与 AD 的延长线交于点 F,(如图 1) ∵ BP=x ∴ PC=8-x , AF=2x ∵DE=y DC=AD=5 ∴EC=5-y DF=2x-5 ∵AF∥BC ∴ 即 y y x x   58 52 ∴   3 525   x xy ∵点 E 在线段 CD 上 ∴函数定义域为 x 2 5 <8 (3) ∵AD∥BC ∴∠DAP=∠APB, ∵∠APB=∠EPC ∴∠DAP=∠EPC 若△APD 与△PCE, 则有如下两种情况: (ⅰ)∠ADP=∠C 时, (如图) 推出 BP=2 时,△APD∽△PEC; (ⅱ) ∠APD=∠C 时 (法一)又∵∠ADP=∠DPC ∴△APD∽△DCP∴ PCADPD 2 ∵  222 54 xPD  ∴    xx  85516 2 解得 2 215 2,1 x ,经检验,均符合题意故 2 215 2,1 x 时,△APD∽△PCE; DF DE PC EC  ∴当 BP 为 2, 2 215  时,△APD 与△PCE 相似。 (法二)过点 D 作 DH⊥AP 于点 H ∵∠DAP=∠APB ∴ AD AH AP BP AD DH AP AB  , ∵ 224 xAP  ∴ 22 16 5, 16 20 x xAH x DH     ∴ 2 2 16 516 x xxHP   ∵ cot∠C= 4 3 ∴ 4 3cot  DH HPDPH 22 2 16 203 16 5164 xx xx          解得 2 215 2,1 x 经检验,均符合题意.故 2 215 2,1 x 时,△APD∽△PCE; ∴当 BP 为 2, 2 215  时,△APD 与△PCE 相似。 1.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC=12。设 E 在 AD 上,AE=2, F 为 AB 上一个动点(不与 A、B 重合),过 F 作 FG∥EC,交 BC 于 G。(★★★★) (1)求梯形 ABCD 的面积; (2)设 BF=x,四边形 EFGC 的面积等于 y,写出 y 与 x 之间的函数解析式,并求出这个函 数的定义域. (3)当 AEF 与 CDE 相似时,求四边形 EFGC 的面积。 D C B A D (备用图) B C A 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.已知边和特殊边:AB=DC=5,AD=6,BC=12,AD∥BC,FG∥EC。 2.点的移动情况:点 F 为 AB 上一个动点(不与 A、B 重合),点G 在 AB 边上。 二.求梯形的面积,让学生独立计算。 三.求解函数关系式: 1.求解 EFGC 的面积,因为四边形 EFGC 为梯形,可以采用下列方案求解面积: 方案一.直接求解: ( ) 2y S EG EC h    ,过点G 作 EC 垂线,可用三角比求解高线; 方案二.用面积和差关系求解,分别延长GF 和 DA ,相交于点 H ,则四边形GHEC 为平行 四边形,所以 EHFGHECy S S 四边形 ,再分别求解。 3.计算求解,注意求解定义域。 四.当 AEF 与 CDE 相似时: 1.找相等角: =A D  ; 2.分类讨论计算: ①当△AEF∽△DEC 时,则 DC AF DE AE  ; ②当△AEF∽△DCE 时,则 DE AF DC AE  ; 3.计算求解。 【满分解答】 解:⑴ 作 AM⊥BC,DN⊥BC,分别交 BC 于 M、N 由题意知,BM=CN=3,再由勾股定理知 AM=4 所以   362 1  AMBCADS ABCD梯形 ; ⑵ 延长 GF、EA 交于 H, 由题意知,四边形 EHGC 是平行四边形,AF=5-x ∴HE=GC=12-BG,而 AE=2, ∴HA=10-BG,由 AD∥BC 得, FB AF BG HA  ,即 x x BG BG  510 ∴BG=2x. 设△AFE 边 AE 上的高为 1h ,△FBG 边 BG 上的高为 2h ,又 421  hh 则 x x h h  5 2 1 ,得到 5 420 1 xh  , 5 4 2 xh  ∴ 5 12044 2   xxSSSy FBGAFEABCE梯形 (0<x<5) 四.①当△AEF∽△DEC 时, 则 DC AF DE AE  , 即 5 5 4 2 x , 解得 2 5x 所以 21y ; ②当△AEF∽△DCE 时,则 DE AF DC AE  , 即 4 5 5 2 x ,解得 5 17x 所以 125 2184y 中考压轴题综合复习十一 例 1.如图,在 ABC 中, 6,5  BCACAB , D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的两个动 点( D 不与 A 、B 重合),且保持 BCDE ∥ ,以 DE 为边,在点 A 的异侧作正方形 DEFG 。 (1)试求 ABC 的面积; (2)当边 FG 与 BC 重合时,求正方形 DEFG 的边长; (3)设 xAD  , ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积为 y ,试求 y 关于 x 的函数 关系式,并写出定义域; (4)当 BDG 是等腰三角形时,请直接写出 AD 的长.。(★★★★★) 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.题目中有哪些已知量? 提示:从边、角归类寻找。 ①边: 6,5  BCACAB , BCDE ∥ ; ②角: B C   ; 2.题中有什么特殊的图形没?提示: ABC 等腰、正方形 DEFG 。 3.你能求解一下题目中的其它线段吗?提示:设 AD x ,让学生求解 ABC 底边上的高, 并用含 x 的代数式表示 DE 的长。 二.求解 ABC 的面积,画高线直接求解。 三.当边 FG 与 BC 重合时,求正方形 DEFG 的边长:用相似基本图形直接求解。 四.求解函数关系式: 1.寻找 x 与 y 所代表的量? 提示: xAD  , ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积为 y 。 2.在点的移动过程中,所求面积图形的形状是否会发生变化。 提示:画图观察,会变化, 所以分两个情况求解。 3.计算求解:①当 0 2x < 时,② 2 5x< < 时。 五..当 BDG 是等腰三角形时: 1.需要讨论吗?提示:需要,分两大情况讨论; 2.怎么讨论?提示:当 BDG 是等腰三角形时,根据点G 的位置分:点G 在 ABC 内部和 外面两大类讨论: (1)当点G 在 ABC 内部时:因为 90DGB > ,所以该情况下只可能 DG BG 。 但该情况下不能直接求解出,则画底边上的高(点G 作GH AB )。(如图 1) 则: HDG QAB   ,所以 cos cosHDG QAB   ; (2)当点G 在 ABC 外面时:分以下情况讨论 ①当 DB DG 时:直接利用相等计算,即 6 55 x x  ; ②当 DB DG 时:(如图 2)设 BC 与 DG 交点为 M ,则可得:BM DG 且点 M 为 DG 中点;所以: cos cosHDG QAB   ; ③当 DG BG ,不成立。 3.怎么计算?你会求解吗?提示:见上面求解,可让学生自己计算。 4.通过本题的分析求解后,你觉得等腰三角形的分类讨论题目还难吗? 6.提示学生利用好三角比。 【满分解答】 (1)过 A 作 BCAH  于 H ,∵ 6,5  BCACAB ,∴ 32 1  BCBH . 则在 ABHRt 中, 422  BHABAH ,∴ 122 1  BCAHS ABC . (2)令此时正方形的边长为 a , 则 4 4 6 aa  , 解得 5 12a . (3)当 0 2x < 时, 2 2 25 36 5 6 xxy      . 当 2 5x< < 时,   2 25 24 5 2455 4 5 6 xxxxy  . (4)过点 A 作 AQ BC ,垂足为点Q 。 ∵ 6,5  BCACAB ,则 3 4BQ AQ 、 , 4cos 5QAB  ; 设 AD x ,则 5BD x  , 6 5DE DG x  。 当 BDG 是等腰三角形时,根据点G 的位置,分以下情况讨论: (3)当点G 在 ABC 内部时:因为 90DGB > ,所以该情况下只可能 DG BG 。 但该情况下不能直接求解出,则画底边上的高(点G 作GH AB )。(如图 1) 则: HDG QAB   ,所以 cos cosHDG QAB   ,即 5 42 6 5 5 x x   ,解得: 125 73x  ; (4)当点G 在 ABC 外面时:分以下情况讨论 ①当 DB DG 时:则 6 55 x x  ,解得: 25 11x  ; ②当 DB DG 时:(如图 2)设 BC 与 DG 交点为 M ,则可得:BM DG 且点 M 为 DG 中点, 所以: cos cosHDG QAB   ,即: 3 45 5 5 x x  ,解得: 20 7x  ; ③当 DG BG ,不成立。 综合上可得:当 BDG 是等腰三角形时 7 20,11 25,73 125AD 。 Q H FG E A B C D M Q FG E A B C D (图 1) (图 2) 1.如图,在矩形 ABCD 中,AB = 4,BC = 3,点 E 是边 CD 上任意一点(点 E 与点 C、D 不 重合),过点 A 作 AF⊥AE,交边 CB 的延长线于点 F,联结 EF,交边 AB 于点 G.设 DE = x,BF = y。(★★★★★) (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域; (2)如果 AD = BF,求证:△AEF∽△DEA; (3)当点 E 在边 CD 上移动时,△AEG 能否成为等腰 三角形?如果能,请直接写出线 段 DE 的长;如果不能,请说明理由。 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.已知边和特殊关系的边:AB = 4,BC = 3,AF⊥AE; 2.已知角和特殊角度:直角相等, BAF DAE   ,等等; 3.特殊图形:正方形 ABCD 。 二.求解函数关系式:用相似三角形 FBA EAD ∽ 即可证明。 三.当 AD = BF 时,证明三角形相似:通过观察,题目中已知边的关系,则引导我们要通过 边的计算对应边成比例,再证明相似,通过求解可得 1FG FB GE BC   。 四.当 AEG 为等腰三角形时:分以下三个情况讨论计算求解 1.当 AE AG 时:通过角度相等,可得 FA FC ; 2.当GA GE 时:可得 FAE ADE ∽ ; 3.当 EA EG 时:可得 ADE FCE ∽ ; 4.计算求解,注意利用好等腰产生的角度转化和锐角三角比。 【满分解答】 (1)在矩形 ABCD 中, 90BAD D ABC      ,AD = BC = 3. 即得∠D =∠ABF. ∵AF⊥AE,∴ 90EAF BAD     . 又∵ EAF BAF BAE     , BAD DAE BAE     , ∴∠DAE =∠BAF. 于是,由∠D =∠ABF,∠DAE =∠BAF,得△DAE∽△BAF. ∴ AD DE AB BF  . 由 DE = x,BF = y,得 3 4 x y  ,即得 4 3y x . ∴y 关于 x 的函数解析式是 4 3y x ,定义域是0 4x  . (2)∵AD = BF,AD = BC,∴BF = BC. 在矩形 ABCD 中,AB // CD,∴ 1FG FB GE BC   .即得 FG = EG. 于是,由 90EAF  ,得 AG = FG.∴∠FAG =∠AFG. ∴∠AFE =∠DAE. 于是,由 EAF D   ,∠AFE =∠DAE,得△AEF∽△DEA. (3)当点 E 在边 CD 上移动时,△AEG 能成为等腰三角形. 此时,① 当 AG = EG 时, 9 4DE  ;② 当 AE = GE 时, 3 2DE  ;③ 当 AG = AE 时, 7 8DE  . 中考压轴题综合复习十二 例 1.如图十二,在边长为 1 的正方形 ABCD 中,点 E 在边 BC 上(与端点不重合),点 F 在射 线 DC 上。(★★★★★) (1)若 AF=AE,并设CE =x,△AEF 的面积为 y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数 的定义域; (2)当CE 的长度为何值时,△AEF 和△ECF 相似? (3)若 4 1CE ,延长 FE 与直线 AB 交于点 G,当 CF 的长度为何值时,△EAG 是等腰三 角形? 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.观察寻找一下题目中的特殊图形? 提示:正方形 ABCD ; 2.已知边和特殊边的关系? 提示:正方形的边长为 1; 3.点的运动情况:点 E 在边 BC 上(与端点不重合),点 F 在射线 DC 上。 二.当 AF AE 时,求解函数关系式: 1.寻找 x 与 y 所表示的量? 提示: 2.该情况下,点 F 的运动情况? 提示:观察可得,该情况下点 F 在 DC 边上; 3.怎么求解图形面积? 提示: ABCD ABE ADF CEFy S S S S      。 4.计算求解,注意求解函数定义域。 三.当CE 的长度为何值时,△AEF 和△ECF 相似:即△AEF 和△ECF 相似时,求CE 的长: 1.观察一下,两个三角形中是否有“恒相等的角”。提示:没有,但 90FAE < , 90C   。 2.怎么分类讨论计算? 提示:分以下两个情况讨论, ①若 090AEF  时,可得 AE AE EC BE  ,即点 E 为 BC 中点。 ②当∠AFE=90°,同理可得即点 F 为 DC 中点。 12.计算求解。 13.若 EAG 是等腰三角形时,求CF 的长: 1.分析、寻找 EAG 每个点的位置? 提示:点 A 、 E 定点,点G 在直线 AB 上运动; 2.怎么分类讨论? 提示:根据点G 的位置,分三大类讨论: ①当点 G 在 AB 延长线上时:则分 EA EG 、 AE AG 两个情况; ②当点 G 在 AB 边上时:则GA GE ③当点 G 在 BA 延长线上时:则 AG AE 3.计算求解,注意利用三角比和勾股定理。(详细过程见后面满分解答) 【满分解答】 (1) 在 Rt ABE 和 Rt ADF 中,∵ AB AD , AE AF , ∴ Rt ABE Rt ADF ≌ ∴ 1BE DF x   ∴ ABCD ABE ADF CEFy S S S S      ∴ 2 21 1 11 1 (1 ) 1 (1 )2 2 2y x x x          ∴ 21 2y x x   ( 0 1x  ) (2) ①若 090AEF  ,∵ ~AEF ECF  ∴ FAE FEC EAB     ,∴ ~ECF ABE  ∴ AE EF EC CF  , EF AE CF BE  ∴ AE AE EC BE  ∴ 1 2CE BE  ②当∠AFE=90°,同理可得 1 2CF FD  ,∵ CE FD CF AD  ∴ 1 4CE  (3)①当 AE=GE,且点G 在 AB 延长线上时:则 1AB BG  ,(如图 1) ∵ CF CE BG BE  , 4 1CE ,∴ 1 1 3 CF  ,∴ CF= 3 1 ②当 AE=AG,且点G 在 AB 延长线上时:(如图 2) ∵ 4 1CE ,∴ 5 4AG AE  ∵ CF CE BG BE  ,∴ 1 5 314 CF   ,∴CF=12 1 ③当 AG=EG,且点G 在 AB 边上时:(如图 3) ∵ 4 1CE , ∴ 3BG CF , 2 2 2EG BE GB  , ∴     2 2 231 3 34CF CF      , ∴CF= 96 7 ④当 AG=AE,且点G 在 BA 延长线上时:(如图 4) ∵ 4 1CE ,∴ 5 4AG AE  ,∵ CF CE BG BE  ,∴ 1 5 314 CF   ,∴CF= 3 4 解题方法总结: 1.如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=4,AD=6,∠ABC=60°;点 P 是射线 AD 上的一个动 点(与点 A 不重合),BP 与 AC 相交于点 E,设 AP= x 。(★★★★) (1)求 AC 的长; (2)如果△ABP 和△BCE 相似,请求出 x 的值; (3)当△ABE 是等腰三角形时,求 x 的值。 A B DP C E 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.已知边和存在特殊关系的边:AB=4、AD=6, AD BC∥ 、 AD BC∥ ; 2.已知角和特殊角:∠ABC=60°; 3.特殊图形:平行四边形 ABCD, AP BC∥ 形成相似基本图“八字型”。 二.求解 AC 的长:过 A 点作 BC 垂线,用“锐角三角比+勾股定理”即可求解。 三.当△ABP 和△BCE 相似时: 1.寻找两个三角形中“恒相等的角” : APB EBC   ; 2.分类讨论计算:因为 BAP BCD ECB   > ,则 ECBABP  ,所以相似唯一; 3.计算求解:用比例式直接计算求解。 四.当△ABE 是等腰三角形时:分三个情况讨论 1.当 4 ABAE 时:因为 AP ∥ BC ,则 EC AE BC AP  , 即 472 4 6  x ; 2.当 4 ABBE 时:因为 AP ∥ BC ,则 BC AP BE PE  , 即 64 41642 xxx  ; 3.当 BEAE  时,不成立。 4.计算求解。 【满分解答】 (1)过点 A 作 FBCAF 于 在 AFBRt 中,  90AFB ,  60ABF ∴ 322 3460sin4sin  ABFABAF 22 1460cos4cos  ABFABBF 在 AFCRt 中,  90AFC ∴ 724)32( 2222  FCAFAC (2)过点 P 作 GBCPG 于 在 BPGRt 中,  90PGB ∴ 164)2()32( 22222  xxxPGBGBP 如果 ABP 和 BCE 相似 ∵ EBCAPB  又∵ BAP BCD ECB   > ∴ ECBABP  ∴ BC EC BP AB  即 6 726 6 164 4 2   x xx 解得 3 4,8 21  xx (不合题意,舍去) ∴ 8x (3)①当 4 ABAE 时: ∵ AP ∥ BC ∴ EC AE BC AP  即 472 4 6  x 解得 874 x ②当 4 ABBE 时: ∵ AP ∥ BC ∴ BC AP BE PE  即 64 41642 xxx  解得 0,5 12 21  xx (不合题意,舍去) ③在 AFCRt 中,  90AFC ∵ 4 2 3FC AF > 在线段 FC 上截取 AFFH  ∴ 45FAE FAH   > ∴ 45 30 60BAE ABC ABE       > > > ∴ BEAE  综上所述,当 ABE 是等腰三角形时, 5 12874 或x 。 1.仔细审题,抓住题目中的不 变量和特殊条件; 2.寻找相似基本图形:A字型、 八字型、一线三角 3.注意利用好“锐角三角比” 和“勾股定理”。 压轴题的解题方法和策略 中考压轴题综合复习十三 例 1.如图 1,在等腰梯形 ABCD 中,AD BC∥ ,E 是 AB 的中点,过点 E 作 EF BC∥ 交 CD 于点 F 。 4 6AB BC , , 60B  ∠ 。点 P 为线段 EF 上的一个动点,过 P 作 PM EF 交 BC 于点 M ,过 M 作 MN AB∥ 交折线 ADC 于点 N ,连结 PN ,设 EP x 。 (★★★★★) (1)求点 E 到 BC 的距离; (2)当点 N 在线段 AD 上时(如图 2), PMN△ 的形状是否发生改变?若不变,求出 PMN△ 的周长;若改变,请说明理由; (3)当点 N 在线段 DC 上时(如图 3),是否存在点 P ,使 PMN△ 为等腰三角形?若存 在,请求出所有满足要求的 x 的值;若不存在,请说明理由。 N 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.哪些边已知?哪些边存在特殊关系? 提示: 4 6AB BC , , AD BC EF∥ ∥ , PM EF , MN AB∥ 。 2.哪些角已知?哪些角存在特殊关系? 提示: 60B  ∠ 。 3.点的运动情况。提示:点 P 为线段 EF 上的一个动点,点 M 为 BC 边上的一个动点, 点 N 为折线段 ADC 上的一个动点。 二.求点 E 到 BC 的距离:画高线直接利用三角比求解。 三.当点 N 在线段 AD 上时,判定 PMN△ 的形状是否会变化,并求周长: PM 的长度等 于点 E 到 BC 的距离,MN AB , PN 可以画高线求解;则 PMN△ 的形状不会变化,周 长也可以求解了。 四.当点 N 在线段 DC 上,并且 PMN△ 为等腰三角形时: 1.这时判定一下 MNC△ 的形状。 提示: MNC△ 恒为等边三角形; 2.怎么分类讨论计算? 提示:分以下三个情况讨论计算求解 ①当 PM PN 时,如图 3,作 PR MN 于 R ,则 MR NR . ②当 MP MN 时,如图 4,这时 3MC MN MP   . ③当 NP NM 时,如图 5, 30NPM PMN  ∠ ∠ . 3.计算求解。 【满分解答】 (1)如图 1,过点 E 作 EG BC 于点G. ∵ E 为 AB 的中点, ∴ 1 22BE AB  . 在 Rt EBG△ 中, 60B  ∠ ,∴ 30BEG  ∠ . ∴ 2 21 1 2 1 32BG BE EG    , . 即点 E 到 BC 的距离为 3. (2)当点 N 在线段 AD 上运动时, PMN△ 的形状不发生改变. ∵ PM EF EG EF , ,∴ PM EG∥ . ∵ EF BC∥ ,∴ EP GM , 3PM EG  . 同理 4MN AB  . 如图 2,过点 P 作 PH MN 于 H ,∵ MN AB∥ , ∴ 60 30NMC B PMH    ∠ ∠ ,∠ .∴ 1 3 2 2PH PM  . ∴ 3cos30 2MH PM   .则 3 54 2 2NH MN MH     . 在 Rt PNH△ 中, 22 2 2 5 3 72 2PN NH PH               . ∴ PMN△ 的周长= 3 7 4PM PN MN     . (3)当点 N 在线段 DC 上运动时, PMN△ 的形状发生改变,但 MNC△ 恒为等边三 角形. ①当 PM PN 时,如图 3,作 PR MN 于 R ,则 MR NR . 类似(2), 3 2MR  .∴ 2 3MN MR  . ∵ MNC△ 是等边三角形,∴ 3MC MN  . 此时, 6 1 3 2x EP GM BC BG MC         . 图 3 A D E B F C P N M 图 4 A D E B F C P M N 图 5 A D E B F(P) C M N GG R G ②当 MP MN 时,如图 4,这时 3MC MN MP   . 此时, 6 1 3 5 3x EP GM       . ③当 NP NM 时,如图 5, 30NPM PMN  ∠ ∠ . 则 120PMN  ∠ ,又 60MNC  ∠ ,∴ 180PNM MNC  ∠ ∠ . 因此点 P 与 F 重合, PMC△ 为直角三角形.∴ tan30 1MC PM   . 此时, 6 1 1 4x EP GM      . 综上所述,当 2x  或 4 或 5 3 时, PMN△ 为等腰三角形. 1.如图 1,在△ ABC 中, ACB  90 , 2AC BC  ,M 是边 AC 的中点,CH BM 于 H 。(★★★★★) (1)试求 sin MCH 的值; (2)求证: ABM CAH   ; (3)若 D 是边 AB 上的点,且使△ AHD 为等腰三角形,请求 AD 的长。 【解法点拨】: 1.寻找题目中的特殊条件和不变的量: ① M 是边 AC 的中点; ②CH BM ; ③题目中的线段 AB BM CH MH AH、 、 、 、 都可求解(让学生自己计算);⑤④⑥ 2.证明角度相等,回顾证明角度相等的方法后,知本题利用相似角简单,但题目中很多线段 的长度都求解,因此利用两边成比例证明△AMH∽△BMA 即可得 ABM CAH   ; 3.当△ AHD 为等腰三角形时,分三个情况讨论: ①当 AD DH 时:因为边长不能直接求出,则利用三角比求解,过点 D 作 DE AH , 因为 MAH ABM   ,则 DAE CBM MCH     ,所以 cos cosDAE MCH   ; ②当 AD AM 时:可直接得 AD 的长; ③当 AM DM 时:因为边长不能直接求出,则利用三角比求解,过点 H 作 HQ AD , 因为 MAH ABM   ,则 DAE CBM MCH     ,所以 cos cosDAE MCH   。 4.注意利用好等腰三角形的性质:底边上三线合一;通常情况下用“画底边上的高+三角比 求解”; 5.注意便讲解边让学生计算求解,加强师生之间的互动性。 【满分解答】:(1)在△MBC 中,∠MCB= 90 ,BC=2, 又∵M 是边 AC 的中点,∴AM=MC= 2 1 BC=1, ∴MB= 521 22  , 又 CH⊥BM 于 H,则∠MHC= 90 , ∴∠MCH=∠MBC, ∴sin∠MCH= 5 5 CM BM  . (2)在△MHC 中, 5sin 5MH CM MCH    . ∴AM2=MC2= MBMH  ,即 MA MB MH MA  , 又∵∠AMH=∠BMA,∴△AMH∽△BMA,∴∠ABM=∠CAH. (9) 由前两问可得: 2 10 5AH  , 2 5cos 5MCH  。当△ AHD 为等腰三角形时,分以 下三个情况讨论: ① 当 AD DH 时 : 如 图 1 , 过 点 D 作 DE AH , 因 为 MAH ABM   , 则 DAE CBM MCH     ,所以 cos cosDAE MCH   ; 所以: AE CH AD CM  ,即 10 2 5: :15 5AD  ,所以 2 2AD  ; ②当 AD AM 时:如图 2,可直接得 2 10 5AD  ; ③ 当 AM DM 时 : 如 图 3 , 过 点 H 作 HQ AD , 因 为 MAH ABM   , 则 DAE CBM MCH     ,所以 cos cosDAE MCH   所以: AQ CH AH CM  ,即 2 10 2 5: :15 5AQ  ,所以 8 22 5AD AQ  ; 综上可得,当△ AHD 为等腰三角形时, AD 的长为 5 102 、 5 28 、 2 2 。 E C A B H M D C A B H M D Q C A B H M D 中考压轴题综合复习十四 例 1.如图,梯形 ABCD 中,AD//BC,CD⊥BC,已知 AB=5,BC=6,cosB= 3 5 。点 O 为 BC 边上的动点,联结 OD,以 O 为圆心,BO 为半径的⊙O 分别交边 AB 于点 P,交线段 OD 于 点 M,交射线 BC 于点 N,联结 MN。(★★★★★) 五.当 BO=AD 时,求 BP 的长; 六.点 O 运动的过程中,是否存在 BP=MN 的情况?若存在,请求出当 BO 为多长时 BP=MN; 若不存在,请说明理由; 七.在点 O 运动的过程中,以点 C 为圆心,CN 为半径作⊙C,请直接写出当⊙C 存在时, ⊙O 与⊙C 的位置关系,以及相应的⊙C 半径 CN 的取值范围。 图 1 图 2 图 3 A B C D O P M N A B C D (备用图) 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.哪些边已知? 哪些边存在特殊关系? 提示:AB=5,BC=6,AD//BC,CD⊥BC。 2.哪些角已知? 哪些角存在特殊关系? 提示: 3cos 5B  , 3.点的移动情况。提示:点 O 为 BC 边上的动点,点 P 为 AB 边上的动点,点 M 为线段OD 上的动点,点 N 为射线 BC 上的动点。 二.当 BO=AD 时,求 BP 的长: 1.该情况下,得到什么特殊图形? 提示:平行四边形 ABOD 。 2.怎么计算求解? 提示:过圆心O 作弦 BP 的垂线,用三角比求解。 三.点 O 运动的过程中,是否存在 BP=MN 的情况? 提示:见后面满分解答。 四.判定⊙O 与⊙C 的位置关系,以及相应的⊙C 半径 CN 的取值范围: 1.回顾两圆的位置关系。 提示:外离、外切、相交、内切、内含。 2.由图可知道⊙O 与⊙C 的位置关系可能为哪些? 提示:内切、外切。 3.求解⊙C 半径 CN 的取值范围。 提示:见后面满分解答 【满分解答】 (1)过点 A 作 AE⊥BC,在 Rt△ABE 中,由 AB=5,cosB= 3 5 得 BE=3 ∵CD⊥BC,AD//BC,BC=6,∴AD=EC=BC-BE=3 当 BO=AD=3 时, 在⊙O 中,过点 O 作 OH⊥AB,则 BH=HP ∵ cosBH BBO  ,∴BH= 3 93 5 5   ∴BP= 18 5 (2)不存在 BP=MN 的情况 假设 BP=MN 成立,∵BP 和 MN 为⊙O 的弦,则必有∠BOP=∠DOC 过 P 作 PQ⊥BC,过点 O 作 OH⊥AB,∵CD⊥BC,则有△PQO∽△DOC 设 BO=x,则 PO=x,由 3cos 5 BH Bx   ,得 BH= 3 5 x , ∴BP=2BH= 6 5 x ∴BQ=BP×cosB= 18 25 x ,PQ= 24 25 x , ∴OQ= 18 7 25 25x x x  ∵△PQO∽△DOC,∴ PQ DC OQ OC  即 24 425 7 6 25 x xx   ,得 29 6x  当 29 6x  时,BP= 6 5 x = 29 5 >5=AB,与点 P 应在边 AB 上不符, ∴不存在 BP=MN 的情况 (注:若能直接写出不成立的理由是:只有当点 P 和点 M 分别在 BA 的延长线及 OD 的延长线上时才有可能成立,而此时不符题意。则给 6 分) (3)情况一:⊙O 与⊙C 相外切,此时,0<CN<6; 情况二:⊙O 与⊙C 相内切,此时,0<CN≤ 7 3 .- A B C D O P M NQ H 1.如图,已知 AB⊥MN,垂足为点 B,P 是射线 BN 上的一个动点,AC⊥AP,∠ACP=∠BAP, 解题方法总结: AB=4,BP=x,CP=y,点 C 到 MN 的距离为线段 CD 的长。(★★★★★) (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域. (2)在点 P 的运动过程中,点 C 到 MN 的距离是否会发生变化?如果发生变化,请用 x 的代数式表示这段距离;如果不发生变化,请求出这段距离. (3)如果圆 C 与直线 MN 相切,且与以 BP 为半径的圆 P 也相切,求 BP∶PD 的值。 A B P D C NM 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.已知边和特殊关系的边:AB=4,AB⊥MN,,AC⊥AP; 2.相等角和特殊关系角: 90CAP ABP     ,∠ACP=∠BAP。 二.求解函数关系式: 1.寻找 x 与 y 所表示的量。 提示:BP=x,CP=y。 2.计算求解。 提示:用相似三角形直接求解。 三.求解CD 的长是否发生变化: 1.观察图并结合题目中的已知条件,添加辅助线,构造基本图形;延长CA 与 MN 交于点 E ; 2.计算求解。可得 AP 为 CDE 的中位线; 四.圆与直线、圆与圆的位置关系: 1.求解两圆的半径和圆心距; 2.分内讨论计算:分内切和外切讨论 (i)当圆 C 与圆 P 外切时, CP PB CD  ; (ii)当圆 C 与圆 P 内切时, CP PB CD  。 3.计算解答。 【满分解答】 (1)∵AB⊥MN,AC⊥AP,∴ 90ABP CAP     . 又∵∠ACP=∠BAP,∴△ABP∽△CAP. ∴ BP AP AP PC  ,即 y x x x 16 16 2 2   . ∴所求的函数解析式为 2 16xy x  ( 0)x  . (2)CD 的长不会发生变化. 延长 CA 交直线 MN 于点 E. ∵AC⊥AP,∴ 90PAE PAC     . ∵∠ACP=∠BAP,∴ APC APE   .∴ AEP ACP   . ∴ PE PC .∴ AE AC . ∵ AB MN , CD MN ,∴ //AB CD .∴ 1 2 AB AE CD CE   . ∵AB=4,∴ 8CD  . (3)∵圆 C 与直线 MN 相切,∴圆 C 的半径为 8. (i)当圆 C 与圆 P 外切时, CP PB CD  ,即 8y x  . ∴ 2 16 8x xx    .∴ 2x  . ∴ 3 1: PDBP . (ii)当圆 C 与圆 P 内切时, CP PB CD  ,即 8y x  , ∴ 2 16 8x xx    .∴ 2 16 8x xx    或 2 16 8x xx    . ∴ 2x   (不合题意,舍去)或无实数解.综上所述 3 1: PDBP . 中考压轴题综合复习十五 例 1.如图, ABC 中, 35 3 cos 10AB AC A  , , 。D 为射线 BA 上的点(点 D 不与点 B 重合),作 DE BC∥ 交射线CA 于点 E 。(★★★★★) (1) 若CE x , BD y ,求 y 与 x 的函数关系式,并写出函数的定义域; (2) 当分别以线段 BD ,CE 为直径的两圆相切时,求 DE 的长度; (3) 当点 D 在 AB 边上时, BC 边上是否存在点 F ,使△ABC 与△DEF 相似?若存在, 请求出线段 BF 的长;若不存在,请说明理由。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 十一.哪些边已知?哪些边存在特殊关系? 提示: 5 3AB AC , ,DE BC∥ 。 十二.已知角和特殊关系角? 提示: 3cos 10A  。 3.点的移动情况。 提示: D 为射线 BA 上的点(点 D 不与点 B 重合), E 为射线CA 一 点。 二.求解函数关系式:用相似基本图形可直接求解,注意选择好比例式。 三.当两圆相切时: 1.寻找一下两圆的圆心运动情况。 提示:同时在 AB 、 AC 上,或同时在 BA 、CA 延长 线上。 2.寻找两圆的半径和圆心距,让学生计算看看。 3.怎么分类讨论? 提示:根据点的不同位置,分三个情况讨论: ①当点 D 在 BA 边上时(两圆外切),如下图(1); ②当点 D 在 BA 延长线上时(两圆内切),如下图(2)、(3); 4.计算求解。 四.当 ABC 与 DEF 相似时: 1.观察 DEF 每个顶点的位置情况。 提示:D 在 AB 边上、E 在 AC 边上、F 在 BC 边 上; 2. ABC 的形状有什么特殊性? 提示: ABC 为等腰三角形。 3.怎么分类讨论? 提示:分以下三个情况讨论: ①当∠EDF=∠B 时,如下图(4),易得:AD=DE=DF=DB; ②当∠DEF=∠B 时,如下图(5),易得: DBF EFC ≌ ; ③当∠DFE=∠B 时,如下图(6),易得:四边形 DFCE 为平行四边形。 4.计算求解,利用好相似转化和角度相等的一些特殊条件。 【满分解答】 (1)∵DE//BC, AD AE DB EC  ∴ 5 3y x y x   ∴ 5 3y x ,( 0x  ) (2)作 BH⊥AC,垂足为点 H, ∵cosA= 3 10 ,AB=5,∴AH= 3 2 = 1 2 AC,∴BH 垂直平分 AC, ∴△ABC 为等腰三角形,AB=CB=5; 解法一: ①当点 D 在 BA 边上时(两圆外切),如下图(1) 易知:O1O2 //BC,∴O1O2= AO1,即: 52 2 2 x y y   ∵ 5 3y x ,∴ 30 13x  ∵DE//BC,∴DE=AD=5-y,∴ 5 53DE x   . ∴ 5 30 1553 13 13DE      ②当点 D 在 BA 延长线上时(两圆内切),如下图(2)、(3), 易知:O1O2 //BC,且 O1O2= AO1, (ⅰ) 如图(2), ∵O1O2= AO1,即: 52 2 2 y x y   ∵ 5 3y x ,∴ 30 7x  ∵DE//BC,∴DE=AD= y-5,∴ 5 53DE x  .∴ 5 30 1553 7 7DE     (ⅱ) 如图(3),∵O1O2= AO1,即: 52 2 2 y x y   ∵ 5 3y x ,∴ 10x  ∵DE//BC,∴DE=AD= y-5,∴ 5 53DE x  .∴ 5 3510 53 3DE     解法二: (2)①当点 D 在 BA 边上时(两圆外切),如上图(1) ∵ 1 1 2AO O O AB BC  ,∴ 5 2 2 2 5 5 y x y   ∵ 5 3y x ,∴ 30 13x  ∵ AE DE AC BC  ,∴ 303 13 3 5 DE  ,∴ 15 13DE  ②(ⅰ) 当点 D 在 BA 延长线上时(两圆内切),如上图(2) ∵ 1 1 2AO O O AB BC  ,∴ 5 2 2 2 5 5 y y x   ∵ 5 3y x ,∴ 30 7x  ∵ AE DE AC BC  ,∴ 30 37 3 5 DE  ,∴ 15 7DE  (ⅱ) 当点 D 在 BA 延长线上时(两圆内切),如上图(3) ∵ 1 1 2AO O O AB BC  ∴ 52 2 2 5 5 y y x   ,∵ 5 3y x ,∴ 10x  ; ∵ AE DE AC BC  ,∴ 30 37 3 5 DE  ,∴ 35 3DE  所以,当两圆相切时, 15 13DE  或 15 7DE  或 35 3DE  。 (3)①当∠EDF=∠B 时,如图(4) 易得:AD=DE=DF=DB,∴AF⊥BC, 由 cosA=cosC= 3 10 ,AC=3,∴ 9 10FC  ,∴ 41 10BF  . ②当∠DEF=∠B 时,如图(5) 易得: DBF EFC ≌ ,∴ 5 2BF  . ③当∠DFE=∠B 时,如图(6) 易得:四边形 DFCE 为平行四边形, ∴ AE DE AC BC  ,∴ 3 5 3 3 5 k k  ,∴ 15 34k  ,∴ 1255 3 34BF k   。 所以,当△ABC 与△DEF 相似时, BF 的长为 41 10 、 5 2 或125 34 。 1.在等腰 ABC 中,已知 5 ACAB cm, 6BC cm,动点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出 发,沿 AB、BC 方向匀速移动,它们的速度都是 1 cm/秒. 当点 P 到达点 B 时,P、Q 两点停 止运动,设点 P 的运动时间为 t(秒)。(★★★★★) (1)当 t 为何值时,PQ⊥AB? 解题方法总结: (2)设四边形 APQC 的面积为 y cm2,写出 y 关于 t 的函数关系式及定义域; (3)分别以 P、Q 为圆心,PA、BQ 长为半径画圆,若⊙P 与⊙Q 相切,求 t 的值; (4)在 P、Q 运动中, BPQ 与 ABC 能否相似?若能,请求出 AP 的长;若不能,请说明 理由。 A B C A B C (备用图) 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.已知边和特殊关系的边: 5 ACAB , 6BC ; 2.角: B C   ; 3.点的移动情况:动点 P 从 A 点沿 AB 方向以 1 cm/秒的速度移动,动点Q 从 B 点沿 BC 方 向以 1 cm/秒的速度移动。 13.当 PQ AB 时,求解运动时间:过点 A 画 BC 垂线,用三角比或相似基本图形求解都可。 14.四边形 APQC 的面积为 y ,求函数关系式:求四边形的面积,因为该四边形的形状随着 带你的运动在变化,可用面积和差关系求解, ABC PBQAPQCy S S S   四边形 。 15.若⊙P 与⊙Q 相切,求解运动时间: 八.求解两圆的半径和圆心距; 九.观察两圆圆心的位置,得出两圆只能外切; 十.计算求解。 (10)当 BPQ 与 ABC 相似时: 1.寻找两三角形中的相等角: B 为公共角,相等; 2.分类讨论计算:分以下两个情况讨论 ①当 BPQ BAC   时:则 BC BQ BA BP  ,即 6 t 5 t5  ②当 BPQ BCA   时: 则 BA BQ BC BP  ,即 5 t 6 t5  3.计算求解。 【满分解答】 (1)过 A 作 AH⊥BC,垂足为 H ,如下图 1 ∵AB=AC,AH⊥BC ∴BH = 2 1 BC =3 又∵PQ⊥AB ∴cos∠B= BQ BP AB BH  ∴ t t5 5 3  ∴t= 8 25 (2)过 P 作 PM⊥BC,垂足为 M,如上图 2 ∵PM⊥BC AH⊥BC ∴PM∥AH∴ AH PM BA BP  ∴ 45 t5 PM ∴PM= t5 44  ∴S△PBQ= 2 5 22 tt  ∴ 2 5 2212 ttSSy PBQABC   定义域 0<t<5 (3)∵ PA=BQ=t∴ 两圆只能外切 过 Q 作 QN⊥AB,垂足为 N ∴ QN= t5 4 , BN= t5 3 ,PN= t5 85  又∵∠PNQ=90°∴ 222 )5 4()5 85()2( ttt  ∴ 212 510 t (4)能,有二种情况: ①当 BPQ BAC   时: ∴ BC BQ BA BP  ,即 6 t 5 t5  ∴t= 11 30 ②当 BPQ BCA   时: ∴ BA BQ BC BP  ,即 5 t 6 t5  ∴t= 11 25 所以,当 t= 11 30 或 t= 11 25 秒时,两个三角形相似。 中考压轴题综合复习十六 例 1.在平行四边形 ABCD 中, 4AB , 3BC ,  120BAD ,点 E 为射线 BC 上的 一动点(不与点 B 、C 重合),过点 E 作 ABEF  ,FE 分别交线段 AB 、射线 DC 于点 F 、 G 。(★★★★) (1)如图,当点 E 在线段 BC 上时, ① 求证: BEF ∽ CEG ; ② 如设 xBE  , DEF 的面积为 y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域; (2)点 E 在射线 BC 上运动时,是否存在 AFDS : DECS =3:2?如存在,请求出 BE 的长; 如不存在,请说明理由。 A D B C 备用图 A D F B C G E 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 十三.哪些边已知?哪些边存在特殊关系? 提示: 4AB , 3BC , ABEF  。 十四.哪些角已知?哪些角存在特殊关系? 提示:  120BAD , 60B   。 十五.点的移动情况。 提示:点 E 为射线 BC 上的一动点(不与点 B 、C 重合),点 F 在线段 AB 上动,点G 在射线 DC 上动。 二.当点 E 在线段 BC 上时,证明: BEF ∽ CEG ,用角度相等可以直接证明。 三.当点 E 在线段 BC 上时,求解函数关系式: 1.寻找 x 与 y 所代表的量。 提示: xBE  , DEF 的面积为 y 。 2.怎么求解? 提示:以 EF 为边,则 DG 为高线,直接求解。 3.计算,注意求解函数定义域。 四.点 E 在射线 BC 上运动时,是否存在 AFDS : DECS =3:2? 1.两个三角形的面积是否都可以直接求解? 提示:都可以,底边都知道,高线都可以求 解,值用直接法较简单。 2.怎么计算? 提示:根据点 E 的位置关系,分两个情况讨论计算求解。 ①当点 E 在线段 BC 上时, AFDS ∶ DECS =3∶2, ②当点 E 在 BC 延长线( 83  x )上时, AFDS ∶ DECS =3∶2 3.计算,注意每个情况下 x 的取值范围。 【满分解答】 (1)①证明:平行四边形 ABCD , AB ∥ DC  BEF ∽ CEG ②解:在 BEFRt 中,  60B , xBBEEF 2 3sin  在 CEGRt 中, 2 360cos xCECG   xxxxDGEFy 8 311 8 3)2 34(2 3 2 1 2 1 2  , 定义域 30  x (2)①当点 E 在线段 BC 上时, AFDS ∶ DECS =3∶2,   60sin)2 14(32 1 x ∶  60sin4)3(2 1 x =3∶2, 解得 3 4BE (符合要求) ②当点 E 在 BC 延长线( 83  x )上时, AFDS ∶ DECS =3∶2   60sin)2 14(32 1 x ∶  60sin4)3(2 1 x =3∶2, 解得 4BE (符合要求) 综上所求, 3 4BE , 4BE 1.已知边长为 4 的正方形 ABCD 截去一个角后成为五边彤 ABCFE(如图).其中 5EF  , 1cot 2DEF  。(★★★★) (1)求线段 DE 、 DF 的长; (2)若 P 是线段 EF 上的一个动点,过 P 作 PG AB , PH BC ,设 PG x ,四边 形 BHPG 的面积为 y ,求 y 关于 x 的函数关系式(写出定义域),并画出函数大致图像; (3)当点 P 运动到四边形 BHPG 相邻两边之比为 2:3 时,求四边形 BHPG 的面积。 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.已知边和特殊关系的边:正方形 ABCD 的边长为 4, 5EF  ; 2.角的情况:正方形 ABCD 的四个内角为直角, 1cot 2DEF  。 解题方法总结: 3.点的移动情况。 提示: P 是线段 EF 上的一个动点。 二.求线段 DE 、 DF 的长:用三角比直接求解即可。 三.求解函数关系: 1.寻找 x 与 y 所代表的量: PG x ,四边形 BHPG 的面积为 y 。 2.四边形 BHPG 为矩形,长和宽都可求解,直接计算。 3.计算求解。 四.四边形 BHPG 相邻两边之比为 2:3 时:用边之比可直接计算求解。 【满分解答】 (1) ∵四边形 ABCD 是正方形, 90D   ∵ 1cot 2 DEDEF DF    设 DE m 则 2DF m (1 分) 2 2 2DE DF EF  (1 分) 即 25 5m  1m  ∴ 1DE  2DF  (2 分) (2)延长GP 交 DC 于 M ∵ PG AB PH ∥ BC ∴ GP ∥ AD ∥ BC ∴ PH ∥ BG ∴ PM FM DE FD  (1 分) ∵ PG x 4GM BC GM   4PM x   2 4FM x  (1 分) ∴  2 2 4 10 2PH MC CF FM x x        (1 分) ∴    210 2 2 10 3 4y x x x x x       (2 分) 画图正确 (2 分) (3)当∴ 2 3 PG PH  时 即 2 10 2 3 x x  20 7x  (不合题意舍去). (1 分) 当∴ 2 3 PH PG  时 即10 2 2 3 x x   15 4x  (1 分) 75 8y  中考压轴题综合复习十七 例 1.在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,对角线 BCAC  , 4AD cm,  45D , 3BC cm。点 E 为射线 BC 上的动点,点 F 在射线 CD 上运动,且满足 ADEAFC  。 (★★★★) (1)如图 1,求 Bcos 的值; (2)点 E 为 BC 延长线上的动点,点 F 在线段 CD 上(点 F 与点C 不重合),如图 2,设 xBE  , yDF  ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域; (3)当 AFD 的面积为 2cm2 时,求 BE 的长。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.哪些边已知?哪些边存在特殊关系? 提示: 4AD , 3BC , BCAC  ,AD ∥ BC 2.哪些角已知?哪些角存在特殊关系? 提示:  45D , ADEAFC  。 3.注意点 E 、 F 的运动位置。 7.求三角比的值:直接计算求解可得。 8.求解函数关系式: 1.寻找 x 与 y 所代表的量。 提示: xBE  , yDF  。 2.怎么计算求解? 提示:用相似三角形 ADF DCE ∽ 产生的比例式直接可得。 3.注意求解函数定义域。 三.当 AFD 的面积为 2cm2 时,求 BE 的长: 1.分析 AFD 的面积是否好求? 提示:根据点 F 的位置不一样,求解有点变化,但都可 以利用相似三角形进行面积转化。 2.怎么分情况计算? 提示:分“点 E 在 BC 的延长线上”和“当点 E 在线段 BC 上”。 3.计算解答。 【满分解答】 (1)∵ AD ∥ BC ,∴ DACACB  . ∵ BCAC  ,∴  90ACB .∴  90DAC . ∵  45D ,∴  45ACD .∴ ACAD  .∵ 4AD ,∴ 4AC . ∵ 3BC ,∴ 522  BCACAB . ∴ 5 3cos  AB BCB . (2)∵ AD ∥ BC ,∴ DCEADF  . ∵ FADFDAAFC  , EDCFDAADE  , 又 ADEAFC  ,∴ EDCFAD  .∴ ADF ∽ DCE . ∴ CE DF DC AD  . 在 ADCRt 中, 222 ACADDC  ,又 4 ACAD ,∴ 24DC . ∵ xBE  ,∴ 3 xCE . 又 yDF  ,∴ 324 4  x y .∴ 2 23 2 2  xy .定义域为 113  x 。 (3)当点 E 在 BC 的延长线上,由(2)可得: ADF ∽ DCE ,∴ 2)(DC AD S S DCE ADF    . ∵ 2AFDS , 4AD , 24DC ,∴ 4DCES . ∵ ACCES DCE  2 1 ,∴ 44)3(2 1  BE ,∴ 5BE . 当点 E 在线段 BC 上, 同理可得: 44)3(2 1  BE . ∴ 1BE .所以 BE 的长为5 或1. 3.如图,已知边长为 3 的等边 ABC ,点 F 在边 BC 上, 1CF  ,点 E 是射线 BA 上一动 点,以线段 EF 为边向右侧作等边 EFG ,直线 EG FG, 交直线 AC 于点 M N, 。 (★★★★★) (1)写出图中与 BEF 相似的三角形; (2)证明其中一对三角形相似; (3)设 BE x MN y , ,求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (4)若 1AE  ,试求 GMN 的面积。 解题方法总结: 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 16.已知边和特殊关系边:等边 ABC 的边长为 3, 1CF  。 17.已知角: 60B EFN C       , 60B FEM A       等等 18.特 殊 图 形 : 等 边 ABC 和 EFG ; 60B EFN C       、 60B FEM A       都形成相似基本图形“一线三角”。 19.动点的位置情况:点 E 是射线 BA 上一动点,点 M 、 N 在直线 AC 上。 (11)写出图中与 BEF 相似的三角形:根据相似基本图形可得由三个三角形。 (12)用角度相等可以证明(1)中的任意两个三角形相似。 (13)求解函数关系式: 14.寻找 x 与 y 所表示的量: BE x MN y , ; 15.计算求解:根据点 E 、 M 、 N 的位置,分以下三个情况讨论计算: (i)当点 E 在线段 AB 上,点 M、N 在线段 AC 上时,用 AC AM MN CN   求解; (ii) 当点 E 在线段 AB 上,点 G 在△ABC 内时,如图 3,用 AC AM CN MN   求解; (iii) 当点 E 在线段 BA 的延长线上时,如图 4,用 AC MN CN AM   求解; 16.计算解答,注意求解函数定义域。 十六.当 1AE  ,试求 GMN 的面积:分以下两个情况讨论计算 1.当点 E 在 AB 边上时:AE=1, GMN 是边长为 1 等边三角形; 2.当点 E 在 AB 延长线上时:AE=1, GMN 是有一个角为 30°的 Rt△。 3.计算解答。 【满分解答】 答:(1)△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN; 证:(2)在△BEF 与△AME 中, ∵∠B=∠A=60°, ∴∠AEM+∠AME=120° ∵∠GEF=60°, ∴∠AEM+∠BEF =120° ∴∠BEF=∠AME ∴△BEF∽△AME 解:(3)(i)当点 E 在线段 AB 上,点 M、N 在线段 AC 上时,如图八, ∵△BEF∽△AME,∴BE︰AM=BF︰AE, 即:x︰AM=2︰(3-x) ,∴AM= 2 32 xx  , 同理可证△BEF∽△CFN;∴BE︰CF=BF︰CN, 即:x︰1=2︰CN ,∴CN= x 2 ∵AC=AM+MN+CN,∴3= 2 32 xx  +y+ x 2 ∴ x xxxy 2 463 23  ( 31  x ) (ii) 当点 E 在线段 AB 上,点 G 在△ABC 内时,如图 3, 同上可得:AM= 2 32 xx  ,CN= x 2 ∵AC=AM +CN-MN,∴3= 2 32 xx  + x 2 -y ∴ x xxxy 2 463 23  ( 10  x ) (iii) 当点 E 在线段 BA 的延长线上时,如图 4, AM= 2 32 xx  ,CN= x 2 ∵AC= MN +CN-AM,∴3= y + x 2 - 2 32 xx  ∴ x xxxy 2 463 23  (x>3) 综上所述: x xxxy 2 463 23  ( 10  x ) 或∴ x xxxy 2 463 23  (x≥1); (4)(i)当点 E 在 AB 边上时:AE=1, GMN 是边长为 1 等边三角形, ∴ 4 3 2 312 1 gmnS ; (ii) 当点 E 在 AB 延长线上时:AE=1, GMN 是有一个角为 30°的 Rt△, ∵x=4, ∴y= 2 9 ,NG= 2 33 , ∴ 8 327 2 9 2 33 2 1 gmnS . 中考压轴题综合复习十八 1.培养学生挖掘信息的能力,并能从题目中寻找有利条件; 2.培养学生分析问题解决问题的能力; 3.让学生学会把难题分解,从而分段击破; 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述,为后面讲解铺垫好基础,大概 5 分钟左右。 一.中考压轴题命题方向: 1.动点+函数+分类讨论; 2.以函数为背景的综合题; 3.以几何图形为背景的综合题; 4.以圆为背景的综合问题。 压轴题命题方向 二.动点产生的分类讨论类型: 1.相似三角形分类讨论; 2.等腰三角形分类讨论; 3.圆相切问题分类讨论; 4.平行四边形分类讨论; 5.函数关系分类讨论! 动点产生的分类讨论类型 分类讨论常见的解题方法和策略 1.相似问题: ①寻找两个三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边之比求解 ③如不能直接求解,则进行相似转化 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 2.等腰问题: ①观察三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边相等求解 ③如不能直接求解,则画底边上的高线, 利用三角比求解 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 3.圆的相切问题: ①分别求解两圆半径和圆心距: ②再分内切和外切讨论,计算求解 ③注意利用好题目中的一些特殊条件 例 1.已知正方形 ABCD 中,E 为对角线 BD 上一点,过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F,连接 DF,G 为 DF 中点,连接 EG,CG。(★★★★★) (1)求证:EG=CG; (2)将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º,如图②所示,取 DF 中点 G,连接 EG, CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. (3)将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1) 中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明) 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: (14)哪些边已知?哪些边存在特殊关系? 提示: EF BD ,正方形 ABCD 四边相等、邻 边垂直; (15)哪些角已知?哪些角存在特殊关系? 提示:正方形 ABCD 四个内角为直角, 90BEF   ; (16)特殊图形。 提示:正方形 ABCD 、 BEF 为等腰直角三角形。 十一.证明: EG CG ,怎么证明? 提示:题目中出现了“直角+中点”联想到直角三角 形的性质(直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半); 十二.当 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45 后, EG CG 是否成立? 十七.寻找旋转以后图形的位置情况? 提示:点 E 在 AB 边上,点 F 在 BD 边上; 十八.观察图中的条件,应该如何添加辅助线证明? 提示:联结 AG ,过点 G 作 AB 垂 线,用“全等+梯形中位线证明”。 四.当 BEF 绕 B 点逆时针旋转任意角后,画图观察,可得 EG CG 任然成立,并且还有 EG CG 等特殊结论。 【满分解答】 (1)证明:在 Rt△FCD 中,∵G 为 DF 的中点,∴ CG= FD. 同理,在 Rt△DEF 中,EG= FD. ∴ CG=EG. (2)(1)中结论仍然成立,即 EG=CG. 证法一:连接 AG,过 G 点作 MN⊥AD 于 M,与 EF 的延长线交于 N 点. 在△DAG 与△DCG 中,∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG, ∴ △DAG≌△DCG.∴ AG=CG。 在△DMG 与△FNG 中,∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG, ∴ △DMG≌△FNG.∴ MG=NG 在矩形 AENM 中,AM=EN。 在 Rt△AMG 与 Rt△ENG 中,∵ AM=EN, MG=NG, ∴ △AMG≌△ENG.∴ AG=EG.∴ EG=CG。 证法二:延长 CG 至 M,使 MG=CG, 连接 MF,ME,EC, 在△DCG 与△FMG 中,∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG, ∴△DCG ≌△FMG.∴MF=CD,∠FMG=∠DCG。 ∴MF∥CD∥AB. ∴ 在 Rt△MFE 与 Rt△CBE 中, ∵ MF=CB,EF=BE,∴△MFE ≌△CBE. ∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°。 ∴ △MEC 为直角三角形。 ∵ MG = CG,∴ EG= MC。 (3)(1)中的结论仍然成立,即 EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG。 解题方法总结: 1.如图(1),已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方,BC 在直线 MN 上,E 是 BC 上一点,以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG。(★★★★★) (1)连接 GD,求证:△ADG≌△ABE; (2)连接 FC,观察并猜测∠FCN 的度数,并说明理由; (3)如图(2),将图(1)中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD,AB=a,BC=b(a、b 为常 数),E 是线段 BC 上一动点(不含端点 B、C),以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG, 使顶点 G 恰好落在射线 CD 上。判断当点 E 由 B 向 C 运动时,∠FCN 的大小是否总保持不 变,若∠FCN 的大小不变,请用含 a、b 的代数式表示 tan∠FCN 的值;若∠FCN 的大小发 生改变,请举例说明。 A 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.特殊图形:正方形 ABCD 、 AEFG ; 2.正方形 ABCD 、 AEFG 的四边相等,四个内角为直角; 二.证明 ADG ABE ≌ : 1.考虑两个三角形中相等的量: AB AD 、 AE AG 、 BAE DAG   ; 2.用“边角边”证明两个三角形全等。 三.求 FCN 的度数:观察猜测 =45FCN  ,过点 F 作 FH MN 于点 H ,可证明 ABE EHF ≌ ,继而得到CH FH ,得证。 四.当条件改变后,试证明 FCN 的大小是否发生变化? 1.结论:不变化,且 tan bFCN a   ; 2.过点 F 作 FH MN 于点 H ,可得△EFH≌△GAD,△EFH∽△ABE ,即 EH=AD= BC=b,则 CH=BE,再用相似可得 tan bFCN a   。 【满分解答】 (1)∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形 ∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90º ∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD ∴∠BAE=∠DAG ∴△ BAE≌△DAG 20.∠FCN=45º 理由是:作 FH⊥MN 于 H,如下图 3 示 ∵∠AEF=∠ABE=90º ∴∠BAE +∠AEB=90º,∠FEH+∠AEB=90º ∴∠FEH=∠BAE 又∵AE=EF,∠EHF=∠EBA=90º ∴△EFH≌△ABE ∴FH=BE,EH=AB=BC,∴CH=BE=FH ∵∠FHC=90º, ∴∠FCH=45º (3)当点 E 由 B 向 C 运动时,∠FCN 的大小总保持不变, 理由是:作 FH⊥MN 于 H ,如下图 4 示 由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90º 结合(1)(2)得∠FEH=∠BAE=∠DAG 又∵G 在射线 CD 上,∠GDA=∠EHF=∠EBA=90º ∴△EFH≌△GAD,△EFH∽△ABE ∴EH=AD=BC=b, ∴CH=BE,∴ EH AB =FH BE =FH CH ∴在 Rt△FEH 中,tan∠FCN=FH CH = EH AB =b a ∴当点 E 由 B 向 C 运动时,∠FCN 的大小总保持不变,tan∠FCN=b a 中考压轴题综合复习十九 1.培养学生挖掘信息的能力,并能从题目中寻找有利条件; 2.培养学生分析问题解决问题的能力; 3.让学生学会把难题分解,从而分段击破; 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述,为后面讲解铺垫好基础,大概 5 分钟左右。 一.中考压轴题命题方向: 1.动点+函数+分类讨论; 2.以函数为背景的综合题; 3.以几何图形为背景的综合题; 4.以圆为背景的综合问题。 压轴题命题方向 二.动点产生的分类讨论类型: 1.相似三角形分类讨论; 2.等腰三角形分类讨论; 3.圆相切问题分类讨论; 4.平行四边形分类讨论; 5.函数关系分类讨论! 动点产生的分类讨论类型 分类讨论常见的解题方法和策略 1.相似问题: ①寻找两个三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边之比求解 ③如不能直接求解,则进行相似转化 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 2.等腰问题: ①观察三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边相等求解 ③如不能直接求解,则画底边上的高线, 利用三角比求解 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 3.圆的相切问题: ①分别求解两圆半径和圆心距: ②再分内切和外切讨论,计算求解 ③注意利用好题目中的一些特殊条件 例 1.已知:如图所示,关于 x 的抛物线 2 ( 0)y ax x c a    与 x 轴交于点 ( 2 0)A  , 、点 (6 0)B , ,与 y 轴交于点C 。(★★★★★) (1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标; (2)在抛物线上有一点 D ,使四边形 ABDC 为等腰梯形,写出点 D 的坐标,并求出直线 AD 的解析式; (3)在(2)中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M ,抛物线上有一动点 P , x 轴上有一 动点Q .是否存在以 A M P Q、 、 、 为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q 的 坐标;如果不存在,请说明理由。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.哪些点的坐标已知? 提示: ( 2 0)A  , 、 (6 0)B , ; 2.找找函数图象经过了哪几个点? 提示:点 A 、 B 、C 。 二.求解函数解析式:用待定系数法即可求解。 三.当四边形 ABDC 为等腰梯形时,求点 D 的坐标:分 AB 为底边和对角线两个情况考虑。 1.当 AB 为底边时:则CD AB∥ ,可直接求得 (4 3)D , ; 2.当 AB 为对角线时:则 AC BD∥ ,且 AD BC ,该情况下无解。 四.当以 A M P Q、 、 、 为顶点四边形为平行四边形时: 1.分析每个点的位置:点 ( 2 0)A  , 、 (2 3)M , 、点 P 在二次函数的图象上、点Q 在 x 轴上。 2.画图观察,分类讨论情况:因为点 A 、 M 确定,则分 AM 为边和对角线两个情况讨论 (如下图示),可由图示直接写出 Q 点坐标。 【满分解答】 (1)根据题意,得 4 2 0 36 6 0 a c a c        ,解得 1 4 3 a c      抛物线的解析式为 21 34y x x    ,顶点坐标是(2,4) (2) (4 3)D , ,设直线 AD 的解析式为 ( 0)y kx b k   直线经过点 ( 2 0)A  ,、点 (4 3)D , 2 0 4 3 k b k b      1 2 1 k b     1 12y x   六.存在. 1(2 2 2 0)Q  , , 2 ( 2 2 2 )Q   ,0 , 3 (6 2 6 0)Q  , , 4 (6 2 6 0)Q  , BA O C y x Q4 Q3 Q1 Q2 P3 P1P2 D C P4 1.如图, ABCD 在平面直角坐标系中, 6AD  ,若OA 、OB 的长是关于 x 的一元二次方 程 2 7 12 0x x   的两个根,且OA OB 。(★★★★★) (1)求 sin ABC 的值。 (2)若 E 为 x 轴上的点,且 16 3AOES △ ,求经过 D 、 E 两点的直线的解析式,并判断 AOE△ 与 DAO△ 是否相似? (3)若点 M 在平面直角坐标系内,则在直线 AB 上是否存在点 F,使以 A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出 F 点的坐标;若不存在,请说明理 由。 解题方法总结: 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.特殊图形:平行四边形 ABCD ; 2.求解相关点的坐标:点 A B C D、 、 、 的坐标都可以求解。 二.求解sin ABC 的值:利用三角比的定义可直接求解。 三.当 16 3AOES △ 时,求解直线 DE 的解析式,先利用三角形的面积求解点 E 的坐标。 四.当以 A 、C 、 F 、 M 为顶点的四边形为菱形时: 1.分析每个点的位置: A(0,4)、C(3,0)、点 F 在直线 AB 上、点 M 在平面直角坐标系 内。 2.画图观察,分 AC 为边和对角线两个情况考虑,可得点 F 的位置有四个情况。 【满分解答】 (1)解 2 7 12 0x x   得 1 24 3x x , OA OB , 4 3OA OB  , 在 Rt AOB△ 中,由勾股定理有 2 2 5AB OA OB   , 4sin 5 OAABC AB     (2)∵点 E 在 x 轴上, 16 3AOES △ , 1 16 2 3AO OE   , 8 3OE  8 80 03 3E E           , 或 , 由已知可知 D(6,4),设 DEy kx b  ,当 8 03E      , 时有 4 6 80 3 k b k b     解得 6 5 16 5 k b       6 16 5 5DEy x  ,同理 8 03E     , 时, 6 16 13 13DEy x  在 AOE△ 中, 890 4 3AOE OA OE   °, , 在 AOD△ 中, 90 4 6OAD OA OD   °, , , OE OA OA OD  , AOE DAO△ ∽△ (3)满足条件的点有四个, 1 2 3 4 75 22 42 44(3 8) ( 3 0) 14 7 25 25F F F F              ,; ,; , ; , 【说明】:本部分为“专题小结”,由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。先让学 生说说本节课的收获,之后是教师寄语。教师寄语可以是:需要完成的作业、需要总结的知 识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。 教师寄语 教师:本专题你有哪些收获和感悟? 中考压轴题综合复习二十 1.培养学生挖掘信息的能力,并能从题目中寻找有利条件; 2.培养学生分析问题解决问题的能力; 3.让学生学会把难题分解,从而分段击破; 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述,为后面讲解铺垫好基础,大概 5 分钟左右。 一.中考压轴题命题方向: 1.动点+函数+分类讨论; 2.以函数为背景的综合题; 3.以几何图形为背景的综合题; 4.以圆为背景的综合问题。 压轴题命题方向 二.动点产生的分类讨论类型: 1.相似三角形分类讨论; 2.等腰三角形分类讨论; 3.圆相切问题分类讨论; 4.平行四边形分类讨论; 5.函数关系分类讨论! 动点产生的分类讨论类型 分类讨论常见的解题方法和策略 1.相似问题: ①寻找两个三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边之比求解 ③如不能直接求解,则进行相似转化 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 2.等腰问题: ①观察三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边相等求解 ③如不能直接求解,则画底边上的高线, 利用三角比求解 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 3.圆的相切问题: ①分别求解两圆半径和圆心距: ②再分内切和外切讨论,计算求解 ③注意利用好题目中的一些特殊条件 例 1.已知在梯形 ABCD 中, DCAB // , PDAD 2 , PBPC 2 , PCDADP  , 4 PCPD ,如图 1。(★★★★★) (1)求证: BCPD // ; (2)若点 Q 在线段 PB 上运动,与点 P 不重合,联结CQ 并延长交 DP 的延长线于点O , 如图 2,设 xPQ  , yDO  ,求 y 与 x 的函数关系式,并写出它的定义域; (3)若点 M 在线段 PA 上运动,与点 P 不重合,联结CM 交 DP 于点 N ,当△ PNM 是 等腰三角形时,求 PM 的值. 【解法点拨】可参考以下方法法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: (17) 边的关系: ① PDAD 2 , PBPC 2 。可得到边成比例: AD PC PD PB  ② 4 PCPD ,可用来求解某些线段的长度。③ (18) 角的关系: PCDADP  。 (19) 相似三角形:△ ADP ∽△CPB 。 五. DCAB // 可由角度相等证明; 六.求解函数关系式,寻找相似基本图形。 方法一:由 / /PQ DC ,可得: PQ PO DC OD  ,进而 4 2 y x y   ; 方法二:由 BCOD // 可得: QB PQ BC PO  ,进而 x xy  24 4 。 三.当△ PNM 是等腰三角形时,分三个情况讨论: 十三.当 PNPM  时:得 DCPM // ,所以 PN DN PM DC  ,所以 DNDC  ; 2.当 MNMP  时,易证: ADMN // ,即:四边形 AMCD 是平行四边形; 3.当 NPNM  时不存在。 【满分解答】 (1)证明:∵ DCAB // ∴ PCDCPB  ∵ PCDADP  ∴ CPBADP  ∵ PDAD 2 , PBPC 2 ∴ PC AD PB PD  ∴△ ADP ∽△ CPB ∴ BAPD  ∴ BCPD // (2)解: ∵ DCAB // , BCPD // ∴四边形 PBCD 是平行四边形∴ BCPD  ∵ 4 PCPD ∴ 4BC ∵ PBPC 2 ∴ 2PB ∵ BCOD // ∴ QB PQ BC PO  ∵ xPQ  , yDO  ∴ 4 yPO , xQB  2 ∴ x xy  24 4 ∴ xy  2 8 定义域是: 20  x (3)解:①当 PNPM  时,∵ DCPM // ∴ PN DN PM DC  ∴ DNDC  由(2)知: 4PD , 2DC ∴ 2 DNPDPNPM ②当 MNMP  时,∵△ ADP ∽△CPB , 4 BCPC 易得: 82  PDADAP 易证: ADMN // 即:四边形 AMCD 是平行四边形 ∴ 2 AMDC ∴ 6 AMAPPM ( 注:当 NPNM  时不存在) 解题方法总结: 1.如图 12,在直角梯形 OABC 中, OA∥CB,A、B 两点的坐标分别为 A(15,0),B(10, 12),动点 P、Q 分别从 O、B 两点出发,点 P 以每秒 2 个单位的速度沿 OA 向终点 A 运动, 点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 BC 向 C 运动,当点 P 停止运动时,点 Q 也同时停止运动.线 段 OB、PQ 相交于点 D,过点 D 作 DE∥OA,交 AB 于点 E,射线 QE 交 x 轴于点 F.设动 点 P、Q 运动时间为 t(单位:秒)。 (1)当 t 为何值时,四边形 PABQ 是等腰梯形,请写出推理过程; (2)当 t=2 秒时,求梯形 OFBC 的面积; (3)当 t 为何值时, △ PQF 是等腰三角形?请写出推理过程。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 4.已知边和特殊关系的边: 15OA  、 10BC  , BC x∥ 轴; 5.点的移动情况:点 P 以每秒 2 个单位的速度沿 OA 向终点 A 运动,点 Q 以每秒 1 个单位的 速度沿 BC 向 C 运动。 6. BO DE x∥ ∥ 轴 形成相似基本图形“A 字型+八字型”。 七.当 t 为何值时,四边形 PABQ 是等腰梯形:则可得QP AB ,过 B 作 BG OA G 于 ,可 直接求解。 八.当 t=2 秒时,求梯形 OFBC 的面积:可求得 4 10 2 8 2OP CQ QB    , , ,直接 计算求解。 九.当 PQF 是等腰三角形时,求t 的值: 9.可把 PQF 的三边用含t 的代数式表示; 10.分以下三个情况讨论: ①当QP PF 时,则 2 212 (10 2 ) 15 2 2t t t t      , ②当QP QF 时, 222222 )]10(215[1212)210(12 ttFHtt 则 ③当QF PF 时, 2 2 4 1412 (5 3 ) 15 ( .3 3t t t      则 , 或 舍去) 3.计算求解。 【满分解答】 (1)如图 4,过 B 作 BG OA G 于 , 则 2 2 2 212 15 10 169 13AB BG GA      ( ) 过 Q 作 ,于HOAQH  则 2 2 2 2 212 10 2 ) 144 (10 3 )QP QH PH t t t        ( 要使四边形 PABQ 是等腰梯形,则 AB QP , 即 ,13)310(144 2  t t 5 3  或 5t  (此时 PABQ 是平行四边形,不合题意,舍去) (2)当 2t 时, 4 10 2 8 2OP CQ QB    , , 。 1 .2 QB QE QD QBCB DE OF AF EF DP OP      ∥ ∥ , 2 2 2 4 15 4 19.AF QB OF        , .1741219102 1  )(梯形OFBCS (3)①当QP PF 时,则 2 212 (10 2 ) 15 2 2t t t t      , .3 19 3 1  tt 或 ②当QP QF 时, 222222 )]10(215[1212)210(12 ttFHtt 则 即 2 2 2 2 512 (10 3 ) 12 (5 3 ) 6t t t      , ③当QF PF 时, 2 2 4 1412 (5 3 ) 15 ( .3 3t t t      则 , 或 舍去) 综上,当 1 19 5 4 3 3 6 3t t t t   , , , 时, △ PQF 是等腰三角形。 中考压轴题综合复习二十一 1.培养学生挖掘信息的能力,并能从题目中寻找有利条件; 2.培养学生分析问题解决问题的能力; 3.让学生学会把难题分解,从而分段击破; 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述,为后面讲解铺垫好基础,大概 5 分钟左右。 一.中考压轴题命题方向: 1.动点+函数+分类讨论; 2.以函数为背景的综合题; 3.以几何图形为背景的综合题; 4.以圆为背景的综合问题。 压轴题命题方向 二.动点产生的分类讨论类型: 1.相似三角形分类讨论; 2.等腰三角形分类讨论; 3.圆相切问题分类讨论; 4.平行四边形分类讨论; 5.函数关系分类讨论! 动点产生的分类讨论类型 分类讨论常见的解题方法和策略 1.相似问题: ①寻找两个三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边之比求解 ③如不能直接求解,则进行相似转化 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 2.等腰问题: ①观察三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边相等求解 ③如不能直接求解,则画底边上的高线, 利用三角比求解 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 3.圆的相切问题: ①分别求解两圆半径和圆心距: ②再分内切和外切讨论,计算求解 ③注意利用好题目中的一些特殊条件 例 1.已知:正方形 ABCD 的边长为 1,射线 AE 与射线 BC 交于点 E,射线 AF 与射线 CD 交 于点 F,∠EAF=45°。(★★★★★) (1)如图 1,当点 E 在线段 BC 上时,试猜想线段 EF、BE、DF 有怎样的数量关系? 并证明你的猜想。 (2)设 BE=x,DF=y,当点 E 在线段 BC 上运动时(不包括点 B、C),如图 1,求 y 关于 x 的函数解析式,并指出 x 的取值范围。 (3)当点 E 在射线 BC 上运动时(不含端点 B),点 F 在射线 CD 上运动.试判断以 E 为圆心以 BE 为半径的⊙E 和以 F 为圆心以 FD 为半径的⊙F 之间的位置关系。 (4)当点 E 在 BC 延长线上时,设 AE 与 CD 交于点 G,如图 2。问⊿EGF 与⊿EFA 能 否相似,若能相似,求出 BE 的值,若不可能相似,请说明理由。 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.已知边和特殊关系的边:正方形 ABCD 的边长为 1; 2.已知角和特殊关系的角: 45EAF   ; 3.点的移动情况:点 E 在射线 BC 上,点 F 在射线CD 上。 二.当点 E 在线段 BC 上时,试猜想线段 EF、BE、DF 的数量关系:猜测 EF BE DF  , 将 ADF 绕着点 A 按顺时针方向旋转 90°,得 'ABF ,用全等三角形即可证明。 三.当点 E 在线段 BC 上运动时(不包括点 B、C),求解函数关系式: 1. x 与 y 所代表的量: BE x , DF y ; 2.列等式求解: 2 2 2EF EC CF  3.注意求解定义域。 四.判断⊙E 和⊙F 的位置关系: 1.寻找两圆的半径和圆心距: Er BE 、 Fr DF 、 d EF ; 2.根据点 E 的位置,分三种情况讨论: ①当点 E 在点 B、C 之间时:由(1)知,EF=BE+DF,故此时⊙E 与⊙F 外切; ②当点 E 在点 C 时,DF=0,⊙F 不存在. ③当点 E 在 BC 延长线上时:同理可得 EF BE DF  ,则两圆内切。 五.当点 E 在 BC 延长线上时, EGF 与 EFA 能否相似: 1.若 EGF 与 EFA 相似,可得到哪些特殊逇结论? 提示: 45CFE   2.列等式求解。 EC CF , 2 2 2EF EC CF  【满分解答】 (1)猜想:EF=BE+DF 证明:将⊿ADF 绕着点 A 按顺时针方向旋转 90°,得⊿ABF′,易知点 F′、B、E 在一直线 上 ∵AF′=AF, ∠F′AE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF, 又 AE=AE, ∴⊿AF′E≌⊿AFE. ∴EF=F′E=BE+DF. (2)由(1)得 EF=x+y 又 CF=1-y,EC=1-x, ∴      222 11 yxxy  . 化简可得  101 1   xx xy . (3)①当点 E 在点 B、C 之间时,由(1)知 EF=BE+DF,故此时⊙E 与⊙F 外切; ②当点 E 在点 C 时,DF=0,⊙F 不存在. ③当点 E 在 BC 延长线上时,将⊿ADF 绕着点 A 按顺时针方向旋转 90°,得⊿ABF′, 图 2. 有 AF′=AF,∠1=∠2, FDFB  ,∴∠F′AF=90°. ∴ ∠F′AE=∠EAF=45°. 又 AE=AE, ∴⊿AF′E≌⊿AFE. ∴ FDBEFBBEFEEF  ∴此时⊙E 与⊙F 内切. 综上所述,当点 E 在线段 BC 上时,⊙E 与⊙F 外切;当点 E 在 BC 延长线上时,⊙E 与 ⊙F 内切. (4)⊿EGF 与⊿EFA 能够相似,只要当∠EFG=∠EAF=45°即可. 这时有 CF=CE. 设 BE=x,DF=y,由(3)有 EF=x- y. 由 222 EFCFCE  ,得      222 11 yxyx  . 化简可得  11 1   xx xy . 又由 EC=FC,得 yx  11 ,即 1 111   x xx ,化简得 0122  xx ,解之得 21,21 21  xx (不符题意,舍去). ∴所求 BE 的长为 21 . 1.如图,已知在正方形 ABCD 中,AB = 2,P 是边 BC 上的任意一点,E 是边 BC 延长线上一 点,联结 AP.过点 P 作 PF⊥AP,与∠DCE 的平分线 CF 相交于点 F.联结 AF,与边 CD 相交于点 G,联结 PG。(★★★★★) (1)求证:AP = FP; (2)⊙P、⊙G 的半径分别是 PB 和 GD,试判断⊙P 与⊙G 两圆的位置关系,并说明理由; (3)当 BP 取何值时,PG // CF。 解题方法总结: B A C D EP F G 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.已知边和特殊关系的边:正方形 ABCD 的边长为 2, PF AP ,CF 平分 DCE ; 2.已知角和特殊关系的角: 90APF   , 45FCE   。 二.证明 AP = FP 时: 方法一:过点 F 作 FN BE ,垂足为 N ,先证明 ABP PNF  ,再证明 ABP ≌ PNF 可得;即:对应边相等的两个三角形全等,全等三角形的对应边相等; 方法二:在 AB 上截取 AH PC ,证明 AHP ≌ PCF 即可。 三.判断⊙P 与⊙G 两圆的位置关系: 1.寻找两圆的半径和圆心距: Pr BP 、 Gr DG 、 d PG ; 2.进行题目意思转化,等价于“判定三条线段 BP 、 DG 、 PG 的关系”; 3.证明 BP + DG = PG ,则两圆外切。 四.当 PG // CF 时,求 BP 得值: 1.得到了什么特殊结论? 提示: PCG 为等腰直角三角形。 2.列等式计算求解: 2PG PC 。 【满分解答】 (1)证明:在边 AB 上截取线段 AH,使 AH = PC,联结 PH. 由正方形 ABCD,得∠B =∠BCD =∠D = 90°,AB = BC = AD. ∵∠APF = 90°,∴∠APF =∠B. ∵∠APC =∠B +∠BAP =∠APF +∠FPC, ∴∠PAH =∠FPC. 又∵∠BCD =∠DCE = 90°,CF 平分∠DCE,∴∠FCE = 45°. ∴∠PCF = 135°. 又∵AB = BC,AH = PC,∴BH = BP,即得∠BPH =∠BHP = 45°. ∴∠AHP = 135°,即得∠AHP =∠PCF. 在△AHP 和△PCF 中,∠PAH =∠FPC,AH = PC,∠AHP =∠PCF, ∴△AHP≌△PCF.∴AP = PF. (2)解:⊙P 与⊙G 两圆的位置关系是外切. 延长 CB 至点 M,使 BM = DG,联结 AM. 由 AB = AD,∠ABM =∠D = 90°,BM = DG, 得△ADG≌△ABM,即得 AG = AM,∠MAB =∠GAD. ∵AP = FP,∠APF = 90°,∴∠PAF = 45°. ∵∠BAD = 90°,∴∠BAP +∠DAG = 45°,即得∠MAP=∠PAG = 45°. 于是,由 AM = AG,∠MAP =∠PAG,AP = AP, 得△APM≌△APG.∴PM = PG. 即得 PB + DG = PG. ∴⊙P 与⊙G 两圆的位置关系是外切. (3)解:由 PG // CF,得∠GPC =∠FCE = 45°. 于是,由∠BCD = 90°,得∠GPC =∠PGC = 45°. ∴PC = GC.即得 DG = BP. 设 BP = x,则 DG = x.由 AB = 2,得 PC = GC = 2 – x. ∵PB + DG = PG,∴PG = 2 x. 在 Rt△PGC 中,∠PCG = 90°,得 2sin 2 CGGPC PG    . 即得 2 2 2 2 x x   .解得 2 2 2x   . ∴当 (2 2 2)BP   时,PG // CF. 中考压轴题综合复习二十二 1.培养学生挖掘信息的能力,并能从题目中寻找有利条件; 2.培养学生分析问题解决问题的能力; 3.让学生学会把难题分解,从而分段击破; 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 例 1.梯形 ABCD 中, AD BC∥ , ABC   ( 0 90    ), 3AB CD  , 5BC  。 点 P 为射线 BC 动点(不与点 B 、 C 重合),点 E 在直线 DC 上,且 APE   。记 1PAB   , 2EPC   , BP x ,CE y 。(★★★★★) (1)当点 P 在线段 BC 上时,写出并证明 1 与 2 的数量关系; (2)随着点 P 的运动,(1)中得到的关于 1 与 2 的数量关系,是否改变?若认为不改 变,请证明;若认为会改变,请求出不同于(1)的数量关系,并指出相应的 x 的取值范围; (3)若 1cos 3   ,试用 x 的代数式表示 y 。 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.已知边和特殊关系边: 3AB CD  , 5BC  , AD BC∥ ; 2.已知角和特殊关系角: ABC APE DCB       ; 3.点的移动情况:点 P 为射线 BC 动点(不与点 B 、C 重合),点 E 在直线 DC 上。 二.当点 P 在线段 BC 上时,写出并证明 1 与 2 的数量关系:由三角形的外角性质可得 1 2   。 三.当点 P 在 BC 的延长线上时,写出并证明 1 与 2 的数量关系:画图,由 APB 得内 角和为180 可得 1 2 180 2     ,注意写出相应的 x 的取值范围。 四.当 1cos 3   时,求函数关系式: 1.寻找 x 与 y 所代表的量: BP x ,CE y ,都表示线段的长度; 2.根据 P 点的移动位置,分两个情况讨论: ①当点 P 在线段 BC 上时:可得△ABP∽△PCE,用边之比直接计算求解; ②当点 P 在 BC 的延长线上时:设 AP 与 DC 边相交于点G ,由 ADG PCG ∽ 可得 3 ( 5)2GC xx   ;又因为△EPC∽△EGP,所以 2EP EC EG  ,作 EK⊥BP,用“三 角比+勾股定理”即可计算求解。 【满分解答】 (1)∠1=∠2 证明:∵∠APC=∠ABC+∠1,又∠APC=∠APE+∠2, ∴∠ABC+∠1=∠APE+∠2, ∵∠ABC=α=∠APE,∴∠1=∠2 (2)会改变,当点 P 在 BC 延长线上时,即 5x  时, ∠1 与∠2 的数量关系不同于(1)的数量关系。 解:∵∠APE=α=∠ABC,∴∠APB=α-∠2, ∵∠ABC+∠BAP+∠APB=1800,∴α+∠1+α-∠2=1800, ∴∠1-∠2=1800-2α。 (3)情况 1:当点 P 在线段 BC 上时, ∵∠1=∠2,∠B=∠C, ∴△ABP∽△PCE, ∴ AB BP PC CE  , 即 3 5 x x y  ,∴ 25 1 3 3y x x  。 情况 2:当点 P 在线段 BC 的延长线上时, 可得△EPC∽△EGP,∴ 2EP EC EG  作 AM//CD,可得 3 ( 5)2GC xx   作 EK⊥BP,由 1cos 3   得 1 2 2 1, , 53 3 3CK y KE y KP x y      ∴ 2 2 22 2 1( ) ( 5 )3 3EP y x y    , 于是 2 23( 5) 2 2 1( ) ( ) ( 5 )2 3 3 xy y y x yx      即 2 2 2 23 8 2 1( 5) ( 5) ( 5)2 9 3 9y x y y x x y yx         亦即 23 21 30 2 5 x xy x    PC E B M D 1 2 α G K 解题方法总结: 1.如图,⊙O 的半径为 6,线段 AB 与⊙O 相交于点 C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB 与⊙O 相交于点 E ,设OA x ,CD y 。(★★★★★) 4.求 BD 长; 5.求 y 关于 x 的函数解析式,并写出定义域; 6.当 CE⊥OD 时,求 AO 的长。 O A C D B E 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.已知边和特殊关系边:⊙O 的半径为 6, 4AC  ; 2.角的关系: BOD A   , OCA ODB   ; 3.相似三角形: BDO BOA ∽ , ACO ODB ∽ ; 二.求 BD 的长度:用 ACO ODB ∽ 直接计算求解; 三.求解函数关系式: 1.寻找 x 与 y 所代表的量:OA x ,CD y 。 2.圆中求解函数关系式构造辅助线方法:一般情况下,过圆心作弦的垂线。 3.过圆心O 作CD 垂线,用勾股定理即可计算求解。 4.注意求解函数定义域。 四.当 CE⊥OD 时,求 AO 的长:由垂直关系,联想到寻找角的关系,可得 AOD ADO   即OA OD ,计算求解。 【满分解答】 (1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OAC=∠ODB. ∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC. ∴ AC OD OC BD  ,∵OC=OD=6,AC=4,∴ 4 6 6 BD ,∴BD=9. (2)∵△OBD∽△AOC,∴∠AOC=∠B. 又∵∠A=∠A,∴△ACO∽△AOB. ∴ AC AO AO AB  , ∵ 13 yBDCDACAB ,∴ 4 13 x x y  , ∴ y 关于 x 的函数解析式为 134 1 2  xy . 定义域为 10132  x . (3)∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A. ∴∠AOD=180º–∠A–∠ODC=180º–∠COD–∠OCD=∠ADO. ∴AD=AO,∴ xy  4 ,∴ xx  4134 1 2 . ∴ 1022 x (负值不符合题意,舍去).∴AO= 1022  . 中考压轴题综合复习二十三 1.培养学生挖掘信息的能力,并能从题目中寻找有利条件; 2.培养学生分析问题解决问题的能力; 3.让学生学会把难题分解,从而分段击破; 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述,为后面讲解铺垫好基础,大概 5 分钟左右。 一.中考压轴题命题方向: 1.动点+函数+分类讨论; 2.以函数为背景的综合题; 3.以几何图形为背景的综合题; 4.以圆为背景的综合问题。 压轴题命题方向 二.动点产生的分类讨论类型: 1.相似三角形分类讨论; 2.等腰三角形分类讨论; 3.圆相切问题分类讨论; 4.平行四边形分类讨论; 5.函数关系分类讨论! 动点产生的分类讨论类型 分类讨论常见的解题方法和策略 1.相似问题: ①寻找两个三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边之比求解 ③如不能直接求解,则进行相似转化 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 2.等腰问题: ①观察三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边相等求解 ③如不能直接求解,则画底边上的高线, 利用三角比求解 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 3.圆的相切问题: ①分别求解两圆半径和圆心距: ②再分内切和外切讨论,计算求解 ③注意利用好题目中的一些特殊条件 例 1.已知, 90ACB   , CD 是 ACB 的平分线,点 P 在 CD 上, 2CP  .将三角 板的直角顶点放置在点 P 处,绕着点 P 旋转,三角板的一条直角边与射线 CB 交于点 E,另 一条直角边与直线 CA、直线 CB 分别交于点 F、点 G。(★★★★★)(2012 年普陀二模 25) (1)如图 9,当点 F 在射线 CA 上时, ①求证: PF = PE. ②设 CF= x,EG=y,求 y 与 x 的函数解析式并写出函数的定义域。 (2)联结 EF,当△CEF 与△EGP 相似时,求 EG 的长。 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.已知边和特殊关系边: 2CP  ,CD 是 ACB 的平分线; 2.已知角和特殊关系角: 90ACB   , 90FPE   。 3.点的情况:点 E 在射线射线 CB 上,点 F 在直线 CA 上,点G 在直线 CB 上。 二.当点 F 在射线 CA 上时: (一).证明 PF PE :因为CP 是 ACB 的平分线,则过点 P 作角 ACB 两边的垂线, 用全等即可证明 PF PE 。(如图 2) (二).求解函数关系式: 1.寻找 x 与 y 所代表的量:CF= x,EG=y; 2.由角平分线知,过点 P 作角 ACB 两边的垂线;(如图 3) 3.求解相关线段的长度: 1CN CM PM PN    , 2CE x  ; 4.用 CF∥PN 产生的相似基本形求解CG ; 5. y EG CE CG   ,注意求解定义域。 三.当△CEF 与△EGP 相似时,求 EG 的长: 1.根据点 F 的位置有两种情况: ①当点 F 在射线 CA 上时,如图 4,由分析知这时 CEF PGE ∽ ,则CG CE ; ②当点 F 在 AC 延长线上时,如图 5,由分析知这时 CEF PEG ∽ ,根据“△PMF≌ △PNE+CF∥PN ”可得。 2.计算求解。 【满分解答】 (1)①证明:过点 P 作 PM⊥AC,PN⊥BC,垂足分别为 M、N,如下图 2。 ∵CD 是 ACB 的平分线, ∴PM=PN. 由 90PMC MCN CNP       ,得 90MPN   .∴ 1 90FPN     . ∵ 2 90FPN     ,∴ 1 2   .∴△PMF≌△PNE.∴PF = PE. ②解:∵ 2CP  , ∴ 1CN CM  .[来源:Zxxk.Com] ∵△PMF≌△PNE, ∴ 1NE MF x   .∴ 2CE x  . ∵CF∥PN,∴ CF CG PN GN  .∴ 1 xCG x   .∴ 21 xy xx    (0≤x<1). (2)当△CEF 与△EGP 相似时,点 F 的位置有两种情况: ①当点 F 在射线 CA 上时,如图 4 ∵ 90GPE FCE     , 1 PEG   ,∴ 1G   .∴ FG FE .∴CG CE . 在 Rt△EGP 中, 2 2 2EG CP  . ②当点 F 在 AC 延长线上时,如图 5 ∵ 90GPE FCE     , 1 2   ,∴ 3 2   . ∵ 1 45 5    , 1 45 2    ,∴ 5 2   . 易证 3 4   ,可得 5 4   .∴ 2FC CP  .∴ 1 2FM   . 易证△PMF≌△PNE,可得 1 2EN   . ∵CF∥PN,∴ CF CG PN GN  .∴ 2 1GN   .∴ 2 2EG  . 1.如图, ABC 中, 5 BCAB , 6AC ,过点 A 作 AD ∥ BC ,点 P 、 Q 分别是射 线 AD 、线段 BA 上的动点,且 BQAP  ,过点 P 作 PE ∥ AC 交线段 AQ 于点O ,联接 PQ ,设 POQ 面积为 y , xAP  。(★★★★★)(2012 年金山二模 25) (1)用 x 的代数式表示 PO ; (2)求 y 与 x 的函数关系式,并写出定义域; (3)联接 QE ,若 PQE 与 POQ 相似,求 AP 的长。 解题方法总结: B PD Q C A O E 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.已知边和特殊关系边: 5 BCAB , 6AC ,AD ∥ BC , BQAP  ,PE ∥ AC ; 2.已知角和特殊关系角: BAC BCA   。 3.点的情况:点 P 、Q 分别是射线 AD 、线段 BA 上的动点,点O 在线段 AQ 上。 二.用 x 的代数式表示 PO :用 AP BE∥ 产生的比例式求解。 三.求 y 与 x 的函数关系式: 1.寻找 x 与 y 所代表的量: xAP  , POQ 面积为 y ; 2.方法一:直接计算求解,作 BF⊥AC,QH⊥PE,垂足分别为点 F、H,用含 x 的代数式 表示OP QH、 的长; 方法二:用面积比计算 OPQ OPA S OQ S OA    , 2( )OPA BOE S OA S OB    , 2( )BOE BAC S BE S BC    。 3.注意求解定义域。 四.当 PQE 与 POQ 相似时,求 AP 的长: 1.由(2)知根据点O 的位置分两个情况讨论:分 50 2x  和 5 52 x  两个情况; 2.每个情况下根据条件分析得出相似是唯一的; 3.计算求解。(详解见后面满分解答) 【满分解答】 (1) ∵AD∥BC,PE∥AC∴四边形 APEC 是平行四边形 ∴AC=PE=6 ,AP=EC= x PA PO BE OE  , 5 5 6 PO x PO   可得 6 5PO x (2)∵AB=BC=5,∴∠BAC=∠BCA 又∠APE=∠BCA,∠AOP=∠BCA, ∴∠APE=∠AOP,∴AP=AO= x [来源:学*科*网]∴当 50 2x  时, 5 2OQ x  ; 作 BF⊥AC,QH⊥PE,垂足分别为点 F、H, 则易得 AF=CF=3,AB=5,BF=4 由∠OHQ=∠AFB=90°,∠QOH=∠BAF 得△OHQ∽△AFB ∴ QH OQ BF AB  ,∴ 5 2 4 5 QH x ,∴  4 5 2 8 45 5 xQH x     224 12 25 5y x x   所以 y 与 x 的函数关系式是 224 12 5(0 )25 5 2y x x x     (3)解法一: 当 50 2x  时 由 AP=BQ=x,AQ=BE=5-x,∠PAQ=∠QBE 可得△PAQ≌△QBE,于是 PQ=QE 由于∠QPO=∠EPQ, 所以若△PQE 与△POQ 相似,只有△PQE∽△POQ 可得 OP=OQ 于是 6 5 25 x x  , 25 16x  同理当 5 52 x  ,可得 25 4x  (不合题意,舍) 所以,若△PQE 与△POQ 相似, AP 的长为 25 16 。 解法二:当 50 2x  时, 可得 63 5OH x  ,于是得 3PH  , 84 5QH x  2 2 83 4 5PQ x      由于∠QPO=∠EPQ, 所以若△PQE 与△POQ 相似,只有△PQE∽△POQ 2PQ PO PE  2 2 8 63 4 65 5x x       解得 1 25 16x  , 2 25 4x  (不合题意,舍去) 所以,若△PQE 与△POQ 相似, AP 的长为 25 16 。 【说明】:本部分为“专题小结”,由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。先让学 生说说本节课的收获,之后是教师寄语。教师寄语可以是:需要完成的作业、需要总结的知 识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。 教师寄语 教师:本专题你有哪些收获和感悟?

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