上海中考数学压轴题综合复习文档 114页

中考压轴题综合复习一 例 1.如图 1，在 Rt△ABC 中， 90C   ，AC=4，BC=5，D 是 BC 边上一点，CD=3，点 P 在边 AC 上（点 P 与 A、C 不重合），过点 P 作 PE// BC，交 AD 于点 E。（★★★★） （1）设 AP=x，DE=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （2）当以 PE 为半径的⊙E 与 DB 为半径的⊙D 外切时，求 DPE 的正切值； （3）将△ABD 沿直线 AD 翻折，得到 'AB D ，联结 'B C ．如果∠ACE=∠BCB/，求 AP 的 值。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示：AC=4，BC=5，CD=3；PE// BC 2.角的关系？ 提示： 90C   3.特殊图形？提示：PE// BC 形成相似基本图形“A 字型” 二．求解函数关系式，用相似基本图形可直接求得。 三．两 圆 外 切 时 ， 根 据 条 件 得 BE BD PE  ， 再 计 算 求 解 。 注 意 连 结 DP 后 ， DPE PDC   。 四．图形翻折后，会产生很多相等的量（边和角）： 1.画出翻折后的图形，让学生画图看看； 2.翻折后有哪些相等的边和相等的角？提示：引导学生寻找翻折前后的相等量，从边和角人 手； 3.添加辅助线，构造相似基本图形求解；延长延长 AD 交 'BB 于 F，则 'AF BB ； 4.再找找题目中的相似三角形？ 提示：从翻折前后图形人手， ACD ～ BFD 、 ACE ～ /BCB 5.怎么计算？ 提示：用边之比计算求解，先求解 'BB = 5 16 ，再求解 25 64AE ，最后得 125 256AP 。 6.小题回顾总结。 【满分解答】 （1）∵在 Rt△ABC 中，AC=4，CD=3，∴AD=5，∵PE// BC，∴ AD AE AC AP  ,∴ 54 AEx  ， ∴ xAE 4 5 ,∴ xDE 4 55  ， 即 xy 4 55  ，（ 40  x ） （2）当以 PE 为半径的⊙E 与 DB 为半径的⊙D 外切时，有 DE=PE+BD，即 24 3 4 55  xx ，解之得 2 3x ，∴ 2 5PC ， ∵PE// BC，∴∠DPE=∠PDC， 在 Rt△PCD 中， tan PDC = 5 6 2 5 3  PC CD ；∴tan DPE = 5 6 (3) 延长 AD 交 BB/于 F，则 AF⊥BB/， ∴ BFDACD  ，又 FDBADC  ，∴ FBDCAD  ∴ ACD ～ BFD ，∴BF= 5 8 ，所以 BB/= 5 16 ， ∵∠ACE=∠BCB/，∠CAE=∠CBB/，∴ ACE ～ /BCB ，∴ 25 64AE ,∴ 125 256AP 。 1.如图 2，已知在正方形 ABCD 中，AB = 2，P 是边 BC 上的任意一点，E 是边 BC 延长线上 一点，联结 AP．过点 P 作 PF AP ，与∠DCE 的平分线 CF 相交于点 F．联结 AF，与边 CD 相交于点 G，联结 PG。（★★★★） （1）求证： 45PAF   ；（4 分） （2）⊙P、⊙G 的半径分别是 PB 和 GD，试证明⊙P 与⊙G 外切；（5 分） （3）当 BP 取何值时，PG // CF。（5 分） 【解法点拨】可以参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.边： 2AB BC  ， PF AP ； 2.角：CF 平分 DCE ， 90B APF     ； 3.特殊图形：正方形 ABCD 。 二.证明 45PAF   ，即证明 PA PF ： 方案一.在边 AB 上截取线段 AH，使 AH = PC，联结 PH，证明△AHP≌△PCF 即可； 方案二.过点 F 作 FM BC 于点 M ，则 ABP PMF ∽ ，设 BP a FM b ， ，用比例 式可证明 a b ，则 ABP PMF ≌ ； 三．证明量圆外切，即证明 PG BP DG  ，证明线段和差关系，用“截长补短”证明； 四． PG CF∥ 时，可得 CPG 为等腰直角三角形，则 2PG PC ，再结合 PG BP DG  可求得 BP 长。 【满分解答】（1）证明：在边 AB 上截取线段 AH，使 AH = PC，联结 PH． 由正方形 ABCD，得∠B =∠BCD =∠D = 90°，AB = BC = AD．……（1 分） ∵∠APF = 90°，∴∠APF =∠B． ∵∠APC =∠B +∠BAP =∠APF +∠FPC， ∴∠PAH =∠FPC．………………………………………………………（1 分） 又∵∠BCD =∠DCE = 90°，CF 平分∠DCE，∴∠FCE = 45°． ∴∠PCF = 135°． 又∵AB = BC，AH = PC，∴BH = BP，即得∠BPH =∠BHP = 45°． ∴∠AHP = 135°，即得∠AHP =∠PCF．………………………………（1 分） 在△AHP 和△PCF 中，∠PAH =∠FPC，AH = PC，∠AHP =∠PCF， ∴△AHP≌△PCF． ∴AP = PF，即 45PAF   ………………………………………（1 分） （2）解：延长 CB 至点 M，使 BM = DG，联结 AM． 由 AB = AD，∠ABM =∠D = 90°，BM = DG， 得△ADG≌△ABM，即得 AG = AM，∠MAB =∠GAD．………………（1 分） ∵AP = FP，∠APF = 90°，∴∠PAF = 45°． ∵∠BAD = 90°，∴∠BAP +∠DAG = 45°，即得∠MAP=∠PAG = 45°．（1 分） 于是，由 AM = AG，∠MAP =∠PAG，AP = AP， 得△APM≌△APG．∴PM = PG． 即得 PB + DG = PG．∴⊙P 与⊙G 两圆外切．（1 分） （3）解：由 PG // CF，得∠GPC =∠FCE = 45°．…………………………………（1 分） 于是，由∠BCD = 90°，得∠GPC =∠PGC = 45°． ∴PC = GC．即得 DG = BP．………………………………………………（1 分） 设 BP = x，则 DG = x．由 AB = 2，得 PC = GC = 2 – x． ∵ PB + DG = PG ， ∴ PG = 2 x ． 在 Rt△PGC 中 ， ∠ PCG = 90° ， 得 2sin 2 CGGPC PG    ．即得 2 2 2 2 x x   ．解得 2 2 2x   ．（1 分） ∴当 (2 2 2)BP   时，PG // CF．………………………………………（1 分） 中考压轴题综合复习二 1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件； 2.培养学生分析问题解决问题的能力； 3.让学生学会把难题分解，从而分段击破； 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 例 1.如图，已知在△ ABC 中， AB =4， BC =2，以点 B 为圆心，线段 BC 长为半径的弧交 边 AC 于点 D ，且∠ DBC =∠ BAC ， P 是边 BC 延长线上一点，过点 P 作 PQ ⊥ BP ， 交线段 BD 的延长线于点 Q ．设CP x ， DQ y 。（★★★★） （1）求CD 的长； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当∠ DAQ =2∠ BAC 时，求CP 的值。 A B C D Q P 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示： AB =4，BC =2，PQ ⊥ BP ，BC BD ； 2.哪些角存在特殊关系？ 提示：∠ DBC =∠ BAC ， 90QBP   。 3.特殊图形： BCD 、 ABC 均为等腰三角形， BCD ABC ∽ 。 五．用 BCD ABC ∽ 得到饿比例式可以直接求解CD 的长度； 六．求解函数关系式： 1.分析 x 和 y 分别代表的量？ 提示：CP x ， DQ y ，都表示边的长度； 2.从图中观察，x 与 y 是否有直接关系？ 提示：没有，因此需要添加辅助线，构造基本图 形使得 x 与 y 有联系； 3.分别过点 A 、 D 作 AH BC 、 DE BC ，则由相似基本图形可以求解相关线段的长 度，继而求解很熟关系式； 4.注意求解函数定义域。 七．当∠ DAQ =2∠ BAC 时，为“当题目中的量满足一种特殊关系时，求解相关量”： 1.由∠ DAQ =2∠ BAC 可得到那些角度相等？ 提示：得到 ABQ AQB   最为关键； 2.等腰三角形画底边上的高线，用勾股定理求解。 【满分解答】 （1）∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴△BDC∽△ABC．∴ AB BC BD CD  ． （2）∵ 4AB ， 2 BDBC ，∴ 1CD ． （2）∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC． ∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴∠ABC=∠BDC．∴∠ABC=∠ACB．∴AC=AB=4． 作 AH⊥BC，垂足为点 H．∴BH=CH=1． 作 DE⊥BC，垂足为点 E，可得 DE∥AH．∴ CA CD CH CE  ，即 4 1 1 CE ． ∴ 4 1CE ， 4 7BE ．又∵DE∥PQ，∴ BE EP BD DQ  ，即 4 7 4 1 2   xy ． 整理，得 7 2 7 8  xy ．定义域为 x>0． （3）∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA，∠DCB=∠ABD+∠DBC， ∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA．∵∠DAQ=2∠BAC，∠BAC=∠DBC，∴∠ABD=∠ DQA．∴AQ=AB=4． 作 AF⊥BQ，垂足为点 F，可得 2 2 yQF ， 2 2 yDF ． ∴ 2222 )2 2(4)2 2(3  yy ．解得 2 7y ． ∴ 2 7 7 2 7 8 x ． 解得 16 45x ，即 16 45CP ． 1.仔细审题，抓住题目中的不 变量和特殊条件； 2.寻找相似基本图形：A字型、 八字型、一线三角 3.注意利用好“锐角三角比” 和“勾股定理”。 压轴题的解题方法和策略 1.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=4，BC= 2 1 AB，P 是边 AC 上的一个点，AP= 2 1 PD， ∠APD=∠ABC，联结 DC 并延长交边 AB 的延长线于点 E。（★★★★） （1）求证：AD∥BC； （2）设 AP=x，BE=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结 BP，当△CDP 与△CBE 相似时，试判断 BP 与 DE 的位置关系，并说明理由。 A B C E D P 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.边：AB=AC=4，BC= 2 1 AB，AP= 2 1 PD； 2.角：∠APD=∠ABC； 3.特殊图形：△APD∽△ABC 二.用相似三角形对应角相等即可证明 AD∥BC。 三.求解函数关系式： 1.AP=x，BE=y，都表示边的长度； 2.用第一小问得到的平行线，产生了相似基本图形“A 字型”， BE BC AE AD  ，可求得函数关 系式； 3.注意求解定义域。 四．当△CDP 与△CBE 相似时： 1.用角度关系，证明相似是唯一存在的； 2.用边之比，计算相关线段的长度，再由线段关系得到 BP∥DE。 【满分解答】 （1）证明：∵ ABBC 2 1 ， PDAP 2 1 ，∴ PD AP AB BC  ．…………………………（1 分） 又∵∠APD=∠ABC，∴△APD∽△ABC．………………………………（1 分） ∴∠DAP=∠ACB．…………………………………………………………（1 分） ∴AD∥BC．…………………………………………………………………（1 分） （2）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB． ∴∠DAP=∠DPA． ∴AD=PD．…………………………………………………………………（1 分） ∵AP=x，∴AD=2x．…………………………………………………………（1 分） ∵ ABBC 2 1 ，AB=4，∴BC=2． ∵AD∥BC，∴ AD BC AE BE  ，即 xy y 2 2 4  ．……………………………（1 分） 整理，得 y 关于 x 的函数解析式为 1 4  xy ．……………………………（1 分） 定义域为 41  x ．…………………………………………………………（1 分） （3）解：平行．…………………………………………………………………………（1 分） 证明：∵∠CPD=∠CBE，∠PCD>∠E， ∴当△CDP 与△CBE 相似时，∠PCD=∠BCE．…………………………（1 分） ∴ PC DP BC BE  ，即 x xy  4 2 2 ．………………………………………………（1 分） 把 1 4  xy 代入，整理得 42 x ． ∴x=2，x=-2（舍去）．………………………………………………………（1 分） ∴y=4． ∴AP=CP，AB=BE．…………………………………………………………（1 分） ∴BP∥CE，即 BP∥DE． 中考压轴题综合复习三 1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件； 2.培养学生分析问题解决问题的能力； 3.让学生学会把难题分解，从而分段击破； 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述，为后面讲解铺垫好基础，大概 5 分钟左右。 一．中考压轴题命题方向： 1.动点+函数+分类讨论； 2.以函数为背景的综合题； 3.以几何图形为背景的综合题； 4.以圆为背景的综合问题。 压轴题命题方向 二．动点产生的分类讨论类型： 1.相似三角形分类讨论； 2.等腰三角形分类讨论； 3.圆相切问题分类讨论； 4.平行四边形分类讨论； 5.函数关系分类讨论！ 动点产生的分类讨论类型 分类讨论常见的解题方法和策略 1.相似问题： ①寻找两个三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边之比求解 ③如不能直接求解，则进行相似转化 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 2.等腰问题： ①观察三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边相等求解 ③如不能直接求解，则画底边上的高线， 利用三角比求解 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 3.圆的相切问题： ①分别求解两圆半径和圆心距： ②再分内切和外切讨论，计算求解 ③注意利用好题目中的一些特殊条件 例 1.如图 9，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数图像经过 (1, 2)A  、 (3, 2)B  和 (0,1)C 三点，顶点为 P 。（★★★★） （1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点 P 的坐标； （2）联结 PC 、 BC ，求 BCP 的正切值； （3）能否在第一象限内找到一点Q ,使得以Q 、C 、A 三点为顶点的三角形与以 C 、P 、 B 三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点Q 共有几个，并请直接写出它们 的坐标；若不能，请说明理由。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.哪些点的坐标已知？ 提示： (1, 2)A  、 (3, 2)B  和 (0,1)C 三点； 2.二次函数解析式和顶点坐标可以求解。 二.求解函数解析式，用待定系数法即可求解。 三.求解三角比的值： 1.先让学生计算出 PBC 的三边长度； 2.通过观察三边的关系，你能得到什么结论吗？ 提示： 90CBP   即 CBP 为直角三 角形； 3.计算 tan BCP 的值。 四．当 QCA 与 PBC 相似时： 1. QCA 有什么特殊性质没有？ 提示：为直接三角形； 2.怎么分类讨论计算？ 提示：分以下三大类计算求解 ①.若 90ACQ   ，过 A 、Q 两点作 y 轴垂线，用相似可求得Q 点坐标为 4(1, ) (9,4)3 或 ； ②.若 90AQC   ，则可直接的Q 点坐标为 (1,1) ； ③.若 90QAC   ，过Q 点作 x 轴垂线，可求的Q 点坐标为 (10,1) ； 3.所求 Q 点坐标有 4 个，分别计算求解。 【满分解答】 （1）设所求二次函数解析式为 2 ( 0)y ax bx c a    由题意，得： 2 9 3 2 1 a b c a b c c            解得： 1 4 1 a b c       因此，所求二次函数的解析式为 2 4 1y x x   ，顶点 P 坐标为 (2, 3) ． （2）联结 BP ．∵ (0,1), (3, 2), (2, 3)C B P  ∴ 3 2, 2, 2 5BC BP PC   ∴ 2 2 2BC BP PC  ∴ 90CBP   ∴ 2 1tan 33 2 BPBCP BC     （3)能，条件的 Q 点符合共有 4 个，它们分别是 4(1, ) (9,4) (1,1) (10,1)3 或 或 或 。 1.仔细审题，抓住题目中的不 变量和特殊条件； 2.寻找相似基本图形：A字型、 八字型、一线三角 3.注意利用好“锐角三角比” 和“勾股定理”。 压轴题的解题方法和策略 1.如图，Rt△ABO 在直角坐标系中，∠ABO=900，点 A（-25，0），∠A 的正切值为 3 4 ，直线 AB 与 y 轴交于点 C。（★★★★） （1）求点 B 的坐标； （2）将△ABO 绕点 O 顺时针旋转，使点 B 落在 x 轴正半轴上的 'B 处。试在直角坐标系中 画出旋转后的 ' 'A B O ，并写出点 'A 的坐标； （3）在直线 OA/上是否存在点 D，使△COD 与△AOB 相似，若存在，求出点 D 的坐标；若 不存在，请说明理由。 A O B x y C 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.点的坐标：A（-25，0）； 2.角： 90ABO   ， 4tan 3A  。 7.求解点 B 的坐标，过点 B 画 x 轴垂线，用三角比即可求解。 8.旋转后注意“点 B 落在 x 轴正半轴上的 'B 处”，又因为 90ABO   ，则 'A 在 'B 的正上方， 利用旋转前后对应边相等可直接写出 'A 的坐标； 9.当△COD 与△AOB 相似时： 1.注意点 D 在直线 'OA 上； 2.可以得到 COD 为直角三角形； 3.分类讨论计算： ①当 AB AO OD CO  时：即 15 25 4 5 3 100  x ，解得 16x  。 ②当 AO AB OD CO  时：即 25 15 4 5 3 100  x ，解得 400 9x  【满分解答】 （1）过点 B 作 BH⊥AO 于 H，由 tanA= 3 4 ，设 BH=4k，AH=3k，则 AB=5k 在 Rt△ABO 中，∵tgA= 3 4 ，AO=25，∴AB=15 ∴k=3，∴BH=12 AH=9，∴OH=16 ∴B（-16，12） （2）正确画图。 'A （20，15）， （3）在 Rt△AOC 中，AO=25，tgA= 3 4 ，∴OC= 3 100 - 设 OA/的解析式为 y=kx，则 15=20k，则 k= 4 3 ，∴y= 4 3 x ∵△ABO 旋转至△A/B/O，∴∠AOB=∠A/OB/， ∵∠AOB+∠A=900，∠COA/+∠A/OB/=900，∴∠A=∠COA/ ∴在直线 OA/上存在点 D 符合条件，设点 D 的坐标为（x， 4 3 x），则 OD= x4 5 10 当 AB AO OD CO  即 15 25 4 5 3 100  x ，也即 x=16 时，△COD 与△AOB 相似， 此时 D（16，12） 20 当 AO AB OD CO  即 25 15 4 5 3 100  x ，也即 x= 9 400 时△COD 与△AOB 相似， 此时 D（ 3 100,9 400 ） 中考压轴题综合复习四 1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件； 2.培养学生分析问题解决问题的能力； 3.让学生学会把难题分解，从而分段击破； 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述，为后面讲解铺垫好基础，大概 5 分钟左右。 一．中考压轴题命题方向： 1.动点+函数+分类讨论； 2.以函数为背景的综合题； 3.以几何图形为背景的综合题； 4.以圆为背景的综合问题。 压轴题命题方向 二．动点产生的分类讨论类型： 1.相似三角形分类讨论； 2.等腰三角形分类讨论； 3.圆相切问题分类讨论； 4.平行四边形分类讨论； 5.函数关系分类讨论！ 动点产生的分类讨论类型 分类讨论常见的解题方法和策略 1.相似问题： ①寻找两个三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边之比求解 ③如不能直接求解，则进行相似转化 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 2.等腰问题： ①观察三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边相等求解 ③如不能直接求解，则画底边上的高线， 利用三角比求解 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 3.圆的相切问题： ①分别求解两圆半径和圆心距： ②再分内切和外切讨论，计算求解 ③注意利用好题目中的一些特殊条件 例 1.已知△ABC 中，AB=4，BC=6，AC＞AB，点 D 为 AC 边上一点，且 DC=AB，E 为 BC 边的中点，联结 DE，设 AD=x。（★★★★） 4.当 DE⊥BC 时（如图 1），求 x 的值； 5.设 ABED CDE S yS 四边形 ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； 6.取 AD 的中点 M，联结 EM 并延长交 BA 的延长线于点 P，以 A 为圆心 AM 为半径作⊙A， 试问：当 AD 的长改变时，点 P 与⊙A 的位置关系变化吗？若不变化，请说明具体的位置关 系，并证明你的结论；若变化，请说明理由。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1 哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示：AB=4，BC=6，AC＞AB，DC=AB 二.当 DE BC 时，求解线段的长度： 1.得到了什么特殊条件？ 提示：结合“E 为 BC 边的中点”得到“ DE 为 BC 边中垂线”； 2.计算求解，通过中垂线联想到连结 BD ，则得到 AB BD ；再联想到等腰三角形画底边 上的高线，即“过点 B 作 AD 垂线”，再用勾股定理求解。 二.求解面积比： ABED CDE S yS 四边形 1.分别表示哪些图形的面积？ 提示：四边形 ABED 和 CDE 。 2.面积比怎么求解？ 提示： 方案一.分别求出两个图形的面积，再求解比值； 方案二.用面积转化求解比值。 本题，用“方案二”较简单，连结 BD ，则： BDE DECS S  ， 4 ABD DBC S AD x S DC     所以 2 4 ABD CDE S x S    ， 2 ABD CDE S x S    ，所以 1 12 ABD BDE ABD CDE CDE S S S xy S S           。 五．证明点与圆的位置关系： 1.点与圆的位置关系有几种？ 提示：点在圆外、点在圆上、点在圆内； 2.求解“点与圆的位置关系”等价于求解什么？ 提示：等价于比较线段的大小； 3.找找该题的圆心、半径 r 、点到圆心的距离 d 。 提示： r AM 、 d AP 4.该题转化为比较 AM 与 AP 的大小，怎么添加辅助线？ 提示：作 AQ BC∥ 或 EN AB∥ ，都可以证明 AM = AP 。 【满分解答】 解：（1）联结 BD，过点 B 作 BH⊥AC 于 H， ∵DE⊥BC，E 为 BC 中点，∴BD=DC，∵AB=DC，∴AB=BD， ∴AH=BH= 1 2 x ，∵AB2-AH2= BC2-CH2，∴ 2 216 ( ) 36 (4 )2 2 x x    ， ∴x=1 （2）连 BD，∵点 E 为 BC 中点，∴ BDE CDES S  ∴ 1ABD BDE ABD CDE CDE S S Sy S S         ∵ 4 ABD DBC S x S    ，∴ 2 4 ABD CDE S x S    ，即 2 ABD CDE S x S    ∴ 12 xy   （0＜x＜6） （3）点 P 在⊙A 上。 证明：取 AC 中点 N，则 AN= 4 2 x ， ∵M 为 AD 中点，∴MN= 4 22 2 x x   ∵E 为 BC 中点，∴NE//AB,且 EN=2， ∴MN=EN， ∵NE//AB，∴ AP AM NE MN  ，∴AP=AM ∴点 P 在⊙A 上. 1.仔细审题，抓住题目中的不 变量和特殊条件； 2.寻找相似基本图形：A字型、 八字型、一线三角 3.注意利用好“锐角三角比” 和“勾股定理”。 压轴题的解题方法和策略 1.如图，已知梯形 ABCD ，AD ∥ BC ， 5AB AD  ， 3 4tan DBC  ．E 为射线 BD 上 一动点，过点 E 作 EF ∥ DC 交射线 BC 于点 F ．联结 EC ，设 BE x ， ECF BDC S yS △ △ 。 （1）求 BD 的长； （2）当点 E 在线段 BD 上时，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）联结 DF ，若△ BDF 与△ BDA 相似，试求 BF 的长。（★★★★） 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.边： 5AB AD  ， AD ∥ BC ， EF ∥ DC 2.角： 3 4tan DBC  ； 3.特殊图形： ABD 为等腰三角形， EF ∥ DC 形成相似基本图形“A 字型”。 (4) 求解 BD 的长，画等腰 ABD 底边上的高线，用三角比即可求解。 (5) 求解函数关系式， ECF BDC S yS △ △ ： 1.求解两个图形的面积比：用面积比转化，引入 BEF ； 2. =ECF BEF S BF BE S CF DE    ， 2=( )BEF BDC S BE S BD   ，即可求解函数关系式； 3.注意求解定义域。 (6) 当△ BDF 与△ BDA 相似时： 1.找相等角： DBCADB  ； 2.分类讨论，因为 DBCADB  ，则分以下两个情况讨论： ①当 ABDF  时：可证四边形 ABFD 是平行四边形； ②当 ABDBFD  时：可得 DB DF ； 3.计算求解。 【满分解答】 （1）过点 A 作 AH ⊥ BD 于点 H ， ∵ AD ∥ BC ， 5AB AD  ， ∴ HDBHDBCADBABD  , ． 在 ABHRT 中，∵ 4 3tantan  DBCABD ， ∴ 5 4cos  AB BHABD ∴ 4 HDBH ． ∴ 8BD ． （2）∵ EF ∥ DC ， ∴ x x BE DE BF FC  8 ． ∵△ EFC 与△ EFB 同高，∴ 8EFC EFB S FC x S BF x     ． 由 EF ∥ DC 可得：△ EFB ∽△CDB ．∴ 2 2 2 8 64 EFB BDC S BE x x S BD               ． ∴ 2 28 1 64 64 8 EFCEFB BDC EFB SS x x xy xS S x           ， (0 8)x  （3）∵ AD ∥ BC ，∴ DBCADB  ． ∵△ BDF 与△ BDA 相似， ① ABDF  ，可证四边形 ABFD 是平行四边形． ∴ 5BF AD  ． ② ABDBFD  ， ∴ DB DF ． 可求得： 5 64BF ． 综上所述，当△ BDF 与△ BDA 相似时， BF 的长为 5 或 5 64 ． 中考压轴题综合复习五 例 1.已知 2 4AB AD ， ， 90DAB   ， AD BC∥ （如图 1）。 E 是射线 BC 上的动 点（点 E 与点 B 不重合）， M 是线段 DE 的中点。（★★★★） （1）设 BE x ， ABM△ 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切，求线段 BE 的长； （3）联结 BD ，交线段 AM 于点 N ，如果以 A N D， ， 为顶点的三角形与 BME△ 相似， 求线段 BE 的长。 B A D M E C图 1 B A D C备用图 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示： 2 4AB AD ， ， AD BC∥ ； 2.有没有动点和特殊点？ 提示： E 是射线 BC 上的动点（点 E 与点 B 不重合）， M 是线 段 DE 的中点。 3.是否有已知角和特殊角？ 提示： 90DAB   。 4.求解函数关系式， ABM△ 的面积为 y ，底边 AB 已知， AB 边上的高也很容易求解，用 直接法计算。 5.两圆外切： 1.用含 x 的代数式表示半径和圆心距，让学生计算 1 2r r d、 、 ； 2.用圆的外切关系列等式 1 2+ =r r d 。 6.当 AND 与 BME△ 相似时： 1.两个三角形中是否有恒相等的角？ 提示： DAN MBE   2.是否需要分类讨论？ 提示：需要，分两个情况讨论 ①当 ADN BEM   时：可得 DB DE ； ②当 ADB BME   时：可得 BED MEB△ ∽△ ，所以 2BE EM DE  。 3.计算求解。 【参考教法】 （1）取 AB 中点 H ，联结 MH ， M 为 DE 的中点， MH BE ∥ ， 1 ( )2MH BE AD  ． 又 AB BE ， MH AB  ． 1 2ABMS AB MH  △ ，得 1 2( 0)2y x x   ； （2）由已知得 2 2( 4) 2DE x   ． 以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切， 1 1 2 2MH AB DE   ，即 2 21 1( 4) 2 (4 ) 22 2x x       ． 解得 4 3x  ，即线段 BE 的长为 4 3 ； （3）由已知，以 A N D， ， 为顶点的三角形与 BME△ 相似， 又易证得 DAM EBM   ． 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：① ADN BEM   ；② ADB BME   ． ①当 ADN BEM   时： AD BE ∥ ， ADN DBE   ． DBE BEM   ． DB DE  ，易得 2BE AD ．得 8BE  ； ②当 ADB BME   时： AD BE ∥ ， ADB DBE   ． DBE BME   ．又 BED MEB   ， BED MEB△ ∽△ ． DE BE BE EM   ，即 2BE EM DE  ，得 2 2 2 2 21 2 ( 4) 2 ( 4)2x x x     ． 解得 1 2x  ， 2 10x   （舍去）．即线段 BE 的长为 2． 综上所述，所求线段 BE 的长为 8 或 2。 1.仔细审题，抓住题目中的不 变量和特殊条件； 2.寻找相似基本图形：A字型、 八字型、一线三角 3.注意利用好“锐角三角比” 和“勾股定理”。 压轴题的解题方法和策略 1.已知：Rt ABC 中 ， 90C   , 4AC  , cot 3B  ,四边形 MNPQ 的边 MN 在 AB 边上， 2MN  ，顶点 P 、 Q 分别在边 BC 、 AC 上， QM AB 于 M , //PN QM ，如 图。设 AM x ，四边形 MNPQ 的面积记为 y 。（★★★★） （1）当 6 5x  时，求 PB 的长； （2）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3） PCQ 能与 QMA 相似吗？若能，请求出 x 的值；若不能，请说明理由。 C A M N B Q P 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.已知边和特殊边： 4AC  ， 2MN  ，QM AB ， //PN QM ； 2.已知角和特殊角： 90C   ， cot 3B  ， 30B   ； 二.求解边的长度，过点C 作 AB 垂线，构造相似基本图形。 三．用相似基本图形看直接计算求解。 四.当 PCQ 与 QMA 相似时： 1.找两个三角形中的相等角，直角相等； 2.分类讨论计算： ①当 60CQP A     时，有 CQP ∽ CAB ∽ MAQ ②当 30CQP B     时，有 CQP ∽ CBA ∽ MQA 【满分解答】 （1）∵ cot 3B  ，∴ 30B   又 90 , 4C AC    ，∴ 8AB  , ∵ 62, 5MN AM x   ，∴ 24 5NB  ∴ 16 35PB  （2）由（1）知： 8AB  ， 30B   ， 又 AM x ，∴ 6 , 60NB x A     ， ∵QM AB ， //PN QM ，∴ PN AB ，∴ 33 , (6 )3QM x PN x   ， 又∵ 1 ( )2MNPQS QM PN MN  四边形 ,∴ 2 3 2 3(0 2)3y x x    （3）能． 当 60CQP A     时，有 CQP ∽ CAB ∽ MAQ , 此时，可得： 33 (6 )3x x  ，∴ 3 2x  当 30CQP B     时，有 CQP ∽ CBA ∽ MQA , 此时，可得：4 2 2x  ，∴ 1x  所以，当 3 2x  或 1 时， PCQ 能与 QMA 相似。 教师寄语 中考压轴题综合复习六 例 1.已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 2，AC = 4，P 是斜边 AB 上的一个动点， PD⊥AB，交边 AC 于点 D（点 D 与点 A、C 都不重合），E 是射线 DC 上一点，且∠EPD = ∠ A。设 A、P 两点的距离为 x，△BEP 的面积为 y。（★★★★） （1）求证：AE = 2PE； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示：BC = 2，AC = 4，PD⊥AB； 2.哪些角已知？哪些角存在特殊关系？ 提示：∠C = 90°，∠EPD = ∠A。 3.点的运动情况：P 是斜边 AB 上的一个动点，E 是射线 DC 上一点。 4.是否有相似三角形？ 提示：△EPD∽△EAP。 二.求解线段的关系，用相似三角形对应边之比可直接求得，让学生计算看看。 三.求解函数关系式： 1.寻找一下 x 与 y 分别代表的量。 提示： AP x ，△BEP 的面积为 y。 2.求解△BEP 的的面积，有没有已知边？ 提示： 2 5BP x  3.怎么计算求解？ 提示：因为 2 5BP x  ，则求解 BP 边上的高；过点 E 作 BP 的垂线， 结合“相似”和“勾股定理”求解高线即可。 四.当△BEP 与△ABC 相似时： 1.两个三角形中有没有恒相等的角？ 提示：没有。 2.怎么讨论计算？ 提示：因为 90C   ，则分两个情况讨论∠BEP=∠C=90°或 ∠EBP=∠C=90° （i）当∠BEP=90°时， AB BC PB PE  ； （ii）当∠EBP=90°时，同理可得。 五．总结回顾。 【满分教研】 （1）∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A，∴△ADP∽△ABC．∴ 2 1 AC BC AP PD ． ∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，∴△EPD∽△EAP． ∴ 2 1 AP PD AE PE ．∴AE=2PE． （2）由△EPD∽△EAP，得 2 1 AP PD PE DE ，∴PE=2DE． ∴AE=2PE=4DE． 作 EH⊥AB，垂足为点 H． ∵AP=x，∴ xPD 2 1 ．∵PD∥HE，∴ 3 4 AD AE PD HE ．∴ xHE 3 2 ． 又∵ 52AB ，∴ xxy 3 2)52(2 1  ，即 xxy 3 52 3 1 2  ．定义域是 55 80  x ． 另解：由△EPD∽△EAP，得 2 1 AP PD PE DE ，∴PE=2DE． ∴AE=2PE=4DE．∴ xxAE 3 52 2 5 3 4  ．∴S△ABE= xx 3 5223 52 2 1  ． ∴ AB BP S S ABE BEP    ，即 52 52 3 52 x x y  ．∴ xxy 3 52 3 1 2  ．定义域是 55 80  x ． （3）由△PEH∽△BAC，得 AC AB HE PE  ，∴ xxPE 3 5 2 5 3 2  ． 当△BEP 与△ABC 相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或 ∠EBP=∠C=90°． （i）当∠BEP=90°时， AB BC PB PE  ，∴ 5 1 52 3 5   x x ． 解得 4 53x ．∴ 16 25 4 53 3 52516 9 3 1 y ． （ii）当∠EBP=90°时，同理可得 2 53x ，则 4 5y 。 1.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12。设 E 在 AD 上，AE=2， F 为 AB 上一个动点（不与 A、B 重合），过 F 作 FG∥EC，交 BC 于 G。（★★★★） （1）求梯形 ABCD 的面积； （2）设 BF=x，四边形 EFGC 的面积等于 y，写出 y 与 x 之间的函数解析式，并求出这个函 数的定义域. （3）当 AEF 与 CDE 相似时，求四边形 EFGC 的面积。 D C B A D （备用图） B C A 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.已知边和特殊边：AB=DC=5，AD=6，BC=12，AD∥BC，FG∥EC。 2.点的移动情况：点 F 为 AB 上一个动点（不与 A、B 重合），点G 在 AB 边上。 二.求梯形的面积，让学生独立计算。 三.求解函数关系式： 1.求解 EFGC 的面积，因为四边形 EFGC 为梯形，可以采用下列方案求解面积： 方案一.直接求解： ( ) 2y S EG EC h    ，过点G 作 EC 垂线，可用三角比求解高线； 方案二.用面积和差关系求解，分别延长GF 和 DA ，相交于点 H ，则四边形GHEC 为平行 四边形，所以 EHFGHECy S S 四边形 ，再分别求解。 7.计算求解，注意求解定义域。 六．当 AEF 与 CDE 相似时： 1.找相等角： =A D  ； 2.分类讨论计算： ①当△AEF∽△DEC 时，则 DC AF DE AE  ； ②当△AEF∽△DCE 时，则 DE AF DC AE  ； 3.计算求解。 【满分解答】 解：⑴ 作 AM⊥BC，DN⊥BC，分别交 BC 于 M、N 由题意知，BM=CN=3，再由勾股定理知 AM=4 所以   362 1  AMBCADS ABCD梯形 ； ⑵ 延长 GF、EA 交于 H， 由题意知，四边形 EHGC 是平行四边形，AF=5-x ∴HE=GC=12-BG，而 AE=2， ∴HA=10-BG，由 AD∥BC 得， FB AF BG HA  ,即 x x BG BG  510 ∴BG=2x. 设△AFE 边 AE 上的高为 1h ，△FBG 边 BG 上的高为 2h ，又 421  hh 则 x x h h  5 2 1 ，得到 5 420 1 xh  ， 5 4 2 xh  ∴ 5 12044 2   xxSSSy FBGAFEABCE梯形 （0＜x＜5） 10.①当△AEF∽△DEC 时， 则 DC AF DE AE  , 即 5 5 4 2 x ， 解得 2 5x 所以 21y ； ②当△AEF∽△DCE 时，则 DE AF DC AE  , 即 4 5 5 2 x ，解得 5 17x 所以 125 2184y 中考压轴题综合复习七 例 1.如图，在 ABCRt 中，  90C ， 5AB ， 4 3tan B ，点 D 是 BC 的中点， 点 E 是 AB 边上的动点， DEDF  交射线 AC 于点 F 。（★★★★） （1）求 AC 和 BC 的长； （2）当 EF ∥ BC 时，求 BE 的长； （3）联结 EF ，当 DEF 和 ABC 相似时，求 BE 的长。 A C F E D B A C B （备用图） A C B （备用图） 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示： 5AB ， DEDF  ，CD DB ； 2.哪些角已知？哪些角存在特殊关系？ 提示：  90C ， 4 3tan B ； 3.点的移动情况。 提示：点 E 是 AB 边上的动点。 七．求解边的长度，等价于解直角三角形，让学生独立计算。 八．当 EF ∥ BC 时，求解 BE 的长度： 1.是否有特殊图形出现？ 提示： EF ∥ BC 形成相似基本图形“A 字型”。 2.怎么求解？ 提示：由 =90C FDE    ，联想到过点 E 作 BCEH  ，垂足为 H ；通 过 EHB ∽ ACB 得 EFD ∽ FDC ；所以 CDEFFD 2 ，计算求解。 九．当 DEF 和 ABC 相似时： 1.两个三角形中是否恒有相等的角？ 提示： =90C FDE    2.怎么分类讨论计算？ 提示：由前面一小问知，过点 E 作 BCEH  ，垂足为 H ， 由 EHB ∽ ACB 得 EHD ∽ DCF ，所以 DF DE CD EH  。则分两种情况： 1 4 3 BC AC DF DE ； 2 3 4 AC BC DF DE 。 3.计算求解。 【满分解答】 （1）在 ABCRt 中，  90C ∵ 4 3tan  BC ACB ，∴设 kAC 3 ， kBC 4 ∴ 55  kAB ， ∴ 1k ∴ 3AC ， 4BC （2）过点 E 作 BCEH  ，垂足为 H 。 易得 EHB ∽ ACB 设 kCFEH 3 ， kBH 4 ， kBE 5 ∵ EF ∥ BC ∴ FDCEFD  ∵  90CFDE ∴ EFD ∽ FDC ∴ CD FD FD EF  ∴ CDEFFD 2 即 )44(249 2 kk  化简，得 0489 2  kk 解得 9 1324 k （负值舍去） ∴ 9 2013105  kBE （3）过点 E 作 BCEH  ，垂足为 H ． 易得 EHB ∽ ACB 设 kEH 3 ， kBE 5 ∵  90HDEHED  90HDEFDC ∴ FDCHED  ∵  90CEHD ∴ EHD ∽ DCF ∴ DF DE CD EH  当 DEF 和 ABC 相似时，有两种情况： 1 4 3 BC AC DF DE ∴ 4 3 CD EH 即 4 3 2 3 k 解得 2 1k ∴ 2 55  kBE 2 3 4 AC BC DF DE ∴ 3 4 CD EH 即 3 4 2 3 k 解得 9 8k ∴ 9 405  kBE 综合 1 、 2 ，当 DEF 和 ABC 相似时， BE 的长为 2 5 或 9 40 ． 8.如图，已知在△ABC 中， AB=AC=6，BC=5，D 是 AB 上一点，BD=2，E 是 BC 上一动 点，联结 DE，并作 DEF B   ，射线 EF 交线段 AC 于 F。（★★★★） （1）求证：△DBE∽△ECF； （2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段 BE 的长； （3）联结 DF，如果△DEF 与△DBE 相似，求 FC 的长。 F B A C D E B A C D 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.已知边和边的特殊关系：AB=AC=6，BC=5，BD=2； 2.角的关系： =DEF B C    ； 3.点的移动情况：点 E 是边 BC 上一动点，点 F 是边 AC 上一动点； 4.特殊图形： =DEF B C    形成相似三角形基本图形“一线三角”。 二.证明相似三角形，角度直接证明即可。 三.当点 F 是线段 AC 中点时，可得 1 32CF AC  ，用相似三角形计算边长。 四.如果△DEF 与△DBE 相似时： 1.寻找两个三角形中恒相等的角： =B DEF  ； 2.分类讨论计算：分两个情况讨论 ①当 FDE BED   时，DF∥BC，则 AF AD AC AB  ②当 FDE BDE   时： 方案一.作 EO⊥DF，EP⊥BD，EQ⊥CF，垂足分别为 O、P，Q，计算求解； 方案二.则 DE BD EF BE  ，由△DBE∽△ECF，得 DE BD EF EC  ， 所有 BD BD BE EC  ，则 5 2BE EC  ，又由△DBE∽△ECF，得 BD BE CE CF  3.计算求解。 【满分解答】 ∵ DEC B BDE     ， DEC DEF FEC     ， 又 DEF B   ，∴ BDE FEC   ， (备用图) ∵AB=AC，∴ B C   ∴△DBE∽△ECF． （2）由△DBE∽△ECF，得 BD BE CE CF  ． 设 BE 长为 x ， 则 2 5 3 x x  ， 解得 1 2x  ， 2 3x  ．∴BE 的长为 2 或 3． （3）1º 当 FDE BED   时，DF∥BC，∴ AF AD AC AB  ，∴ 2FC  ． 2º 解一：当 FDE BDE   时， 作 EO⊥DF，EP⊥BD，EQ⊥CF，垂足分别为 O、P，Q， ∵ FDE BDE   ，∴EO=EP． ∵ DFE DEB EFC     ，∴EO=EQ．∴EP=EQ，∴AE 是 BAC 的平分线． ∵AB=AC，∴ 5 2BE EC  由△DBE∽△ECF，得 BD BE CE CF  ，∴ 25 8FC  Q P O F B A C D E 综上所述，FC 的长为 2 或 25 8 时，△DEF 与△DBE 相似 解二：当 DFE BED   时， DE BD EF BE  ， 由△DBE∽△ECF，得 DE BD EF EC  ，∴ BD BD BE EC  ，∴ 5 2BE EC  由△DBE∽△ECF，得 BD BE CE CF  ，∴ 25 8FC  综上所述，FC 的长为 2 或 25 8 时，△DEF 与△DBE 相似。 中考压轴题综合复习八 例 1.已知在梯形 ABCD 中，AB∥DC，且 AB=4，AD=BC=2，∠ABC=120°。P、Q 分别为射 线 BC 和线段 CD 上的动点，且 CQ=2BP。（★★★★） （1）如图 1，当点 P 为 BC 的中点时，求证：△CPQ∽△DAQ； （2）如图 2，当点 P 在 BC 的延长线上时，设 BP=x，△APQ 的面积为 y，求 y 关于 x 的 函数解析式，并写出函数的定义域； （3）以点 A 为圆心 AQ 为半径作⊙A，以点 B 为圆心 BP 为半径作⊙B，当⊙A 与⊙B 相 切时，求 BP 的长。 P CD Q A B 图 1 P CD Q A B 图 2 CD A B 备用图 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示：AB=4，AD=BC=2，AB∥DC； 2.哪些角已知？哪些角存在特殊关系？ 提示：∠ABC=120°， DAB B   ； 3.点的运动情况？ 提示：P、Q 分别为射线 BC 和线段 CD 上的动点。 二．当点 P 为 BC 的中点时，求证：△CPQ∽△DAQ： 1.这时，线段 BP 、CP 、CQ 、DQ 的长度是否能求解？ 提示：让学生计算看看。 2.根据目前已知的条件，怎么证明相似？ 提示：因为题中已知的都是边，则利用 两边成 比例且夹角相等证明。 三．求解函数关系式： 1.寻找一下 x 与 y 分别所表示的量？ 提示：BP=x，△APQ 的面积为 y 2.三角形面积怎么求解？ 提示：因为 APQ 的每一边都在变化，并且每一条边的 长度都 不好求解，则考虑将三角形分成两个三角形；设 PA 与 DC 的交点为点 E ，则： AQE QEPy S S   。 3.计算求解，注意求解函数定义域。（见后面满分解答部分） 四.两圆相切： 1.回顾两圆相切的三大解题步骤。 提示：求解三个量、分类讨论、计算求解。 2.你能分别求解出两元的半径和圆心距吗？ 提示：让学生计算看看。 3.分内切和外切讨论计算。 【满分解答】 （1）过点 A 作 CDAM  ,M 为垂足， 过点 A 作 CDAN  ,N 为垂足 根据题意得:AM=BN,AB=MN=4,DM=CN 在直角三角形△CBN 中, ∴  60DCB ,BC=2 CN=1,BN= 3 ∴ DM=1,AM= 3 ∴CD=6 ∵点 P 为 BC 的中点，且 CQ=2BP ∴CP=1,CQ=2,DA=2,DQ=4 ∴ DQ CQ DA CP  又  60DQCP ∴△CPQ∽△DAQ (2) ∵AB∥DC∴ AB CE PB PC  ∴ 4 2 CE x x  ∴ x xCE 84  ∴ x xx x xxQE 842842 2  过点 P 作 CDPH  交 DC 的延长线于 H 在直角三角形△CBN 中, ∴  60PCH , 2 xPC )2(2 3  xPH ∵ AQPPQEAPQ SSS   ∴ x xx x xxxy 84232 1842)2(2 3 2 1 22  ∴ )42(2 3 2  xxy )32(  x (3) ∵ xDQDM 26,1  ∴ xQM 25  在直角三角形△AQM 中, 3)25( 2  xAQ 当⊙A 与⊙B 外切时， ABBPAQ  43)25( 2  xx 221  xx 当⊙A 与⊙B 内切时， ABBPAQ  43)25( 2  xx 3 10414 1 x , 3 10414 2 x (舍去) ∴当 2BP 时, ⊙A 与⊙B 外切; 当 3 10414 BP 时, ⊙A 与⊙B 内切时. 八．如图，在四边形 ABCD 中，∠B=90°，AD//BC，AB=4，BC=12，点 E 在边 BA 的延长 线上，AE=2，点 F 在 BC 边上，EF 与边 AD 相交于点 G，DF⊥EF，设 AG=x, DF=y。 （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （2）当 AD=11 时，求 AG 的长； （3）如果半径为 EG 的⊙E 与半径为 FD 的⊙F 相切，求这两个圆的半径。（★★★★） D G B C A E F 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.已知边和特殊关系的边：AB=4，BC=12，AE=2，AD//BC，DF⊥EF。 2.已知角和特殊角度： 90B EFD     。 3.相似基本型： AG BF∥ 形成相似基本型“A 字型” 二.求解函数关系式： 1.寻找 x 与 y 所代表的量： AG x ， ADF y 。 2.计算求解：用 EAG EBF ∽ 、 EAG DFG ∽ 产生的比例关系式求解。 三.当 11AD  ：用 11AD AG DG   求解即可。 四.当⊙E 与⊙F 外切时： 1.分别求解两圆的半径和圆心距：半径 Er 、 Fr ，和圆心距 EF ； 2.分内切和外切分类讨论； 3.计算求解。 【满分解答】 （1）∵AD//BC，∠B=90º，∴∠EAG=∠B=90º， ∴EG= .4 222 xAGAE  ∵ ,AE EG AB FG  ∴FG= 2 2 422 44 xx AE EGAB  ． ∵∠DFG=∠EAG=90º，∠EGA=∠DGF，∴△DFG∽△EAG． ∴ AG AE GF DF  ，∴ xx y 2 42 2   ， ∴y 关于 x 的函数解析式为 x xy 244  ，定义域为 40  x ． （2）∵△DFG∽△EAG，∴ ,AG FG EG GD  ∴ x x x GD 2 2 42 4   ，∴GD= x x228 ． 当 AD=11 时， 1128 2  x xx ， 3 8,1 21  xx ． 经检验它们都是原方程的根，且符合题意，所以 AG 的长为 1 或 3 8 ． （3）当⊙E 与⊙F 外切时，EF=EG+FD=EG+FG，∴FD=FG， ∵△DFG∽△EAG，∴∠E=∠AGE=∠FGD=∠GDF．∴AG=AE=2； ∴⊙E 的半径 EG= 22 ，⊙F 的半径 FD= 24 ． 当⊙E 与⊙F 内切时，EF= FD–EG，∴3 2 2 2 4444 xx xx  ， ∵ 04 2  x ，∴3= 14  x ，∴ 1x ． ∴⊙E 的半径 EG= 514  ，⊙F 的半径 FD= 54 ． 所以⊙E 的半径为 2 2 ，⊙F 的半径为 4 2 ；或⊙E 的半径为 5 ，⊙F 的半径为 4 5 。 中考压轴题综合复习九 例 1.如图， ABC 中， 10 ACAB ， 12BC ，点 D 在边 BC 上，且 4BD ，以 点 D 为顶点作 BEDF  ，分别交边 AB 于点 E ，交射线CA 于点 F 。（★★★★★） （1）当 6AE 时，求 AF 的长； （2）当以点C 为圆心 CF 长为半径的⊙C 和以点 A 为圆心 AE 长为半径的⊙ A 相切时， 求 BE 的长； （3）当以边 AC 为直径的⊙O 与线段 DE 相切时，求 BE 的长。 A B CD E F A B CD （备用图） 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示： 10 ACAB ， 12BC ， 4BD ； 2.哪些角已知？哪些角存在特殊关系？ 提示： C EDF B     ； 3.点的运动情况。 提示：点 E 在 AB 边上，点 F 在射线CA 上； 4.是否有相似基本图形？ 提示： C EDF B     形成相似基本型“一线三角” 二．当 6AE 时，求 AF 的长：用相似三角形 BDE CFD ∽ 可直接计算求解。 三.当⊙C 和⊙ A 相切时： 1.你能求解出两圆的半径和圆心距吗？ 提示： Cr CF 、 Ar AE ， d CA 。 2.当两圆相切时，怎么讨论？ 提示：分内切和外切讨论。 3.计算求解。可让学生计算，参考后面满分解答。 四.当以边 AC 为直径的⊙O 与线段 DE 相切时，求 BE 的长： 1.圆与直线相切时：一般怎么添加辅助线？ 提示：过圆心作直线垂线。让学生画出图形。 2.计算证明。（参考后面满分解答） 3.回顾小结。 【满分解答】 （1）∵ DEBBFDCEDF  ， BEDF  ∴ DEBFDC  ，∵ ACAB  ，∴ BC  ∴ CDF ∽ EBD ∴ BE CD BD CF  ，即 610 8 4 CF ∴ 8CF ，∴ 2810  CFACAF （2）分外切和内切两种情况考虑： 1 当⊙C 和⊙ A 外切时，点 F 在线段CA 上，且 AEAF  ∵ ACAB  ，∴ CFBE  ∵ BE CD BD CF  ，∴ BE CD BD BE  即 32842  CDBDBE ，∴ 24BE 2 当⊙C 和⊙ A 内切时，点 F 在线段CA 延长线上，且 AEAF  ∴ AEAEABBE  10 ， AEAFACCF  10 ∵ BE CD BD CF  ， AE AE  10 8 4 10 解得 172AE ， ∴ 17210 BE 综合 1 、 2 当⊙C 和⊙ A 相切时， BE 的长为 24 或 17210  ． （3）取边 AC 中点 O ，过点O 分别作 DEOG  ， BCOQ  ，垂足分别为 、G Q ； 过点 A 作 BCAH  ，垂足为 H . ∵⊙O 和线段 DE 相切，∴ 52 1  ACOG 在 CAHRt 中，  90AHC ， 5 3 10 6cos  AC CHC 在 CQORt 中，  90CQO ，∵ CO CQC cos ∴ 35 35cos  CCOCQ ∴ 538 DQ ，∴ DQOG  ∵ DOOD  ∴ OGDRt ≌ DQORt ∴ QDOGOD  ∴OG ∥ BC ，∴  90OGDEDB ∴ 5 3coscos  CBE BDB ∴ 3 20 5 3 4 BE ∴当以边 AC 为直径的⊙O 与线段 DE 相切时， 3 20BE 。 1.如图，正方形 ABCD 的边长为 4 ， E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上，过 P 作 PF AE 于 F ，设 PA x 。（★★★★） （1）求证： PFA ABE△ ∽△ ； （2）若以 P F E， ， 为顶点的三角形也与 ABE△ 相似，试求 x 的值； （3）试求当 x 取何值时，以 D 为圆心，DP 为半径的⊙D 与线段 AE 只有一个公共点。 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.已知边和特殊关系的边。提示： 4AB BD CD AD    ， 2BE EC  ，PF AE 。 2.已知角和特殊关系角。提示： 90B C PFA       ，以及由直角产生的很多相等角。 3.特殊图形：正方形 ABCD 。 二.证明 PFA ABE△ ∽△ ，用两角相等可直接证明。 三.当 PFE 与 ABE△ 相似时： 1.寻找两个题目中的相等角。 提示： 90B PFE     。 2.分类讨论：分以下两个情况讨论 ①当 PEF EAB   时：则有 PE AB∥ ，则四边形 ABEP 为矩形。 ②当 PEF AEB   时：用边之比可直接求解。 四.当 DP 为半径的⊙D 与线段 AE 只有一个公共点时： 1.根据前面例题一样添加辅助线：过圆心作线段垂线； 2.区别好“圆与直线只有一个公共点”和“圆与线段只有一个公共点”。 3.画图观察。（见后面满分解答图） 【满分解答】 （1）证明：∵正方形 ABCD ，∴ AD BC∥ ， 且∠ABE=900 PAF AEB   又∵ PF AE ，∴ 90PFA ABE     PFA ABE△ ∽△ （2）解：情况 1，当 EFP ABE△ ∽△ ，且 PEF EAB   时， 则有 PE AB∥ 四边形 ABEP 为矩形， 2PA EB   ，即 2x  情况 2，当 PFE ABE△ ∽△ ，且 PEF AEB   时，∵ PAF AEB   PEF PAF   ， PE PA  PF AE ，点 F 为 AE 的中点， 2 2 2 24 2 20 2 5AE AB BE      1 52EF AE   由 PE EF AE EB  ，即 5 22 5 PE  得 5PE  ，即 5x  满足条件的 x 的值为 2 或 5． （3） 作 DH⊥AE，则⊙P 与线段 AE 的距离 d 即为 DH 的长，可得 d= 5 58 当点P在AD边上时，⊙P的半径r=DP= 4-x；当点P在AD的延长线上时，⊙P的半径r=DP=x-4 如图 1 时，⊙P 与线段 AE 相切，此时 d=r,即 5 584,45 58  xx 如图 2 时，⊙P 与线段 AE 相切，此时 d=r,即 5 584,45 58  xx 如图 3 时，⊙P 恰巧过点 A，即 DP=DA=4,亦即 8x 如图 4 时，DE=r,即 x-4= 52 ，即 524  ∴当 8 54 5x   或 8 54 5x   或 5248  x 时，⊙D 与线段 AE 只有一个公共点； 中考压轴题综合复习十 例 1.如图，已知梯形 ABCD中，AD // BC ， BCAB  ， 4AB ， 5 CDAD ， 4 3cot C ． 点 P 在边 BC 上运动（点 P 不与点 B 、点C 重合），一束光线从点 A 出发，沿 AP 的方向射 出，经 BC 反射后，反射光线 PE 交射线CD于点 E 。（★★★★） （1）当 CEPE  时，求 BP 的长度； （2）当点 E 落在线段CD 上时，设 xBP  ， yDE  ，试求 y 与 x 之间的函数关系， 并写出其定义域； （3）联结 PD，若以点 A 、 P 、 D 为顶点的三角形与 PCE 相似，试求 BP 的长度。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示： 4AB ， 5 CDAD ， AD // BC ， BCAB  。 2.哪些角已知？哪些角存在特殊关系？ 提示： 90B   ， 3cos 4APB EPC C    ， 。 3.点的移动情况。 提示：点 P 在边 BC 上运动（点 P 不与点 B 、点C 重合），点 E 在射线 CD 上。 11.当 CEPE  时，求 BP 的长度。该情况下可得到什么特殊条件？ 提示： APB C   ， 用三角比或相似三角形都可以求解。（详细过程见后面满分解答） 12.求解函数关系式： 9.寻找一下 x 与 y 所代表的量。 提示： xBP  ， yDE  。 10.从图中观察 x 与 y 是否有直接关系，并于后面计算求解。 11.添加辅助线求解。 提示;延长 PE 与 AD 的延长线交于点 F，计算求解。 十．当 APD 与 PCE 相似时： 1.寻找一下两个三角形中是否有恒相等的角度？ 提示：∠DAP＝∠EPC 2.怎么分类讨论计算？ 提示：分两个情况讨论 ①当∠ADP＝∠C 时，推出 BP=2。 ②当∠APD＝∠C 时，可按照后面两个方法求解。 (7) 计算求解。 (8) 回顾总结。 【满分解答】 （1） 根据已知，得 BC=8，∠APB＝∠EPC ∵PE=CE ∴∠EPC＝∠C ∴∠APB＝∠C （方法一）∵cot∠C= 4 3 ∴ 4 3 AB BP ∵AB=4 ∴BP=3 即 BP=3 时，PE=CE （方法二）∴AP∥DC ∴PC=AD=5 ∴BP=3 即 BP=3 时，PE=CE (2) 延长 PE 与 AD 的延长线交于点 F，（如图 1） ∵ BP=x ∴ PC=8-x ， AF=2x ∵DE=y DC=AD=5 ∴EC=5-y DF=2x-5 ∵AF∥BC ∴ 即 y y x x   58 52 ∴   3 525   x xy ∵点 E 在线段 CD 上 ∴函数定义域为 x 2 5 ＜8 (3) ∵AD∥BC ∴∠DAP＝∠APB， ∵∠APB＝∠EPC ∴∠DAP＝∠EPC 若△APD 与△PCE, 则有如下两种情况： （ⅰ）∠ADP＝∠C 时， （如图） 推出 BP=2 时，△APD∽△PEC； (ⅱ) ∠APD＝∠C 时 （法一）又∵∠ADP＝∠DPC ∴△APD∽△DCP∴ PCADPD 2 ∵  222 54 xPD  ∴    xx  85516 2 解得 2 215 2,1 x ，经检验，均符合题意故 2 215 2,1 x 时，△APD∽△PCE； DF DE PC EC  ∴当 BP 为 2， 2 215  时，△APD 与△PCE 相似。 （法二）过点 D 作 DH⊥AP 于点 H ∵∠DAP＝∠APB ∴ AD AH AP BP AD DH AP AB  , ∵ 224 xAP  ∴ 22 16 5, 16 20 x xAH x DH     ∴ 2 2 16 516 x xxHP   ∵ cot∠C= 4 3 ∴ 4 3cot  DH HPDPH 22 2 16 203 16 5164 xx xx          解得 2 215 2,1 x 经检验，均符合题意.故 2 215 2,1 x 时，△APD∽△PCE； ∴当 BP 为 2， 2 215  时，△APD 与△PCE 相似。 1.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12。设 E 在 AD 上，AE=2， F 为 AB 上一个动点（不与 A、B 重合），过 F 作 FG∥EC，交 BC 于 G。（★★★★） （1）求梯形 ABCD 的面积； （2）设 BF=x，四边形 EFGC 的面积等于 y，写出 y 与 x 之间的函数解析式，并求出这个函 数的定义域. （3）当 AEF 与 CDE 相似时，求四边形 EFGC 的面积。 D C B A D （备用图） B C A 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.已知边和特殊边：AB=DC=5，AD=6，BC=12，AD∥BC，FG∥EC。 2.点的移动情况：点 F 为 AB 上一个动点（不与 A、B 重合），点G 在 AB 边上。 二.求梯形的面积，让学生独立计算。 三.求解函数关系式： 1.求解 EFGC 的面积，因为四边形 EFGC 为梯形，可以采用下列方案求解面积： 方案一.直接求解： ( ) 2y S EG EC h    ，过点G 作 EC 垂线，可用三角比求解高线； 方案二.用面积和差关系求解，分别延长GF 和 DA ，相交于点 H ，则四边形GHEC 为平行 四边形，所以 EHFGHECy S S 四边形 ，再分别求解。 3.计算求解，注意求解定义域。 四.当 AEF 与 CDE 相似时： 1.找相等角： =A D  ； 2.分类讨论计算： ①当△AEF∽△DEC 时，则 DC AF DE AE  ； ②当△AEF∽△DCE 时，则 DE AF DC AE  ； 3.计算求解。 【满分解答】 解：⑴ 作 AM⊥BC，DN⊥BC，分别交 BC 于 M、N 由题意知，BM=CN=3，再由勾股定理知 AM=4 所以   362 1  AMBCADS ABCD梯形 ； ⑵ 延长 GF、EA 交于 H， 由题意知，四边形 EHGC 是平行四边形，AF=5-x ∴HE=GC=12-BG，而 AE=2， ∴HA=10-BG，由 AD∥BC 得， FB AF BG HA  ,即 x x BG BG  510 ∴BG=2x. 设△AFE 边 AE 上的高为 1h ，△FBG 边 BG 上的高为 2h ，又 421  hh 则 x x h h  5 2 1 ，得到 5 420 1 xh  ， 5 4 2 xh  ∴ 5 12044 2   xxSSSy FBGAFEABCE梯形 （0＜x＜5） 四．①当△AEF∽△DEC 时， 则 DC AF DE AE  , 即 5 5 4 2 x ， 解得 2 5x 所以 21y ； ②当△AEF∽△DCE 时，则 DE AF DC AE  , 即 4 5 5 2 x ，解得 5 17x 所以 125 2184y 中考压轴题综合复习十一 例 1.如图，在 ABC 中， 6,5  BCACAB ， D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的两个动 点（ D 不与 A 、B 重合），且保持 BCDE ∥ ，以 DE 为边，在点 A 的异侧作正方形 DEFG 。 （1）试求 ABC 的面积； （2）当边 FG 与 BC 重合时，求正方形 DEFG 的边长； （3）设 xAD  ， ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积为 y ，试求 y 关于 x 的函数 关系式，并写出定义域； （4）当 BDG 是等腰三角形时，请直接写出 AD 的长.。（★★★★★） 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.题目中有哪些已知量？ 提示：从边、角归类寻找。 ①边： 6,5  BCACAB ， BCDE ∥ ； ②角: B C   ； 2.题中有什么特殊的图形没？提示： ABC 等腰、正方形 DEFG 。 3.你能求解一下题目中的其它线段吗？提示：设 AD x ，让学生求解 ABC 底边上的高， 并用含 x 的代数式表示 DE 的长。 二．求解 ABC 的面积，画高线直接求解。 三．当边 FG 与 BC 重合时，求正方形 DEFG 的边长：用相似基本图形直接求解。 四．求解函数关系式： 1.寻找 x 与 y 所代表的量？ 提示： xAD  ， ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积为 y 。 2.在点的移动过程中，所求面积图形的形状是否会发生变化。 提示：画图观察，会变化， 所以分两个情况求解。 3.计算求解：①当 0 2x ＜ 时，② 2 5x＜ ＜ 时。 五．.当 BDG 是等腰三角形时： 1.需要讨论吗？提示：需要，分两大情况讨论； 2.怎么讨论？提示：当 BDG 是等腰三角形时，根据点G 的位置分：点G 在 ABC 内部和 外面两大类讨论： （1）当点G 在 ABC 内部时：因为 90DGB ＞ ，所以该情况下只可能 DG BG 。 但该情况下不能直接求解出，则画底边上的高（点G 作GH AB ）。（如图 1） 则： HDG QAB   ，所以 cos cosHDG QAB   ； （2）当点G 在 ABC 外面时：分以下情况讨论 ①当 DB DG 时：直接利用相等计算，即 6 55 x x  ； ②当 DB DG 时：（如图 2）设 BC 与 DG 交点为 M ，则可得：BM DG 且点 M 为 DG 中点；所以： cos cosHDG QAB   ； ③当 DG BG ，不成立。 3.怎么计算？你会求解吗？提示：见上面求解，可让学生自己计算。 4.通过本题的分析求解后，你觉得等腰三角形的分类讨论题目还难吗？ 6.提示学生利用好三角比。 【满分解答】 （1）过 A 作 BCAH  于 H ，∵ 6,5  BCACAB ，∴ 32 1  BCBH . 则在 ABHRt 中， 422  BHABAH ，∴ 122 1  BCAHS ABC . （2）令此时正方形的边长为 a ， 则 4 4 6 aa  ， 解得 5 12a . （3）当 0 2x ＜ 时， 2 2 25 36 5 6 xxy      . 当 2 5x＜ ＜ 时，   2 25 24 5 2455 4 5 6 xxxxy  . （4）过点 A 作 AQ BC ，垂足为点Q 。 ∵ 6,5  BCACAB ，则 3 4BQ AQ 、 ， 4cos 5QAB  ； 设 AD x ，则 5BD x  ， 6 5DE DG x  。 当 BDG 是等腰三角形时，根据点G 的位置，分以下情况讨论： （3）当点G 在 ABC 内部时：因为 90DGB ＞ ，所以该情况下只可能 DG BG 。 但该情况下不能直接求解出，则画底边上的高（点G 作GH AB ）。（如图 1） 则： HDG QAB   ，所以 cos cosHDG QAB   ，即 5 42 6 5 5 x x   ，解得： 125 73x  ； （4）当点G 在 ABC 外面时：分以下情况讨论 ①当 DB DG 时：则 6 55 x x  ，解得： 25 11x  ； ②当 DB DG 时：（如图 2）设 BC 与 DG 交点为 M ，则可得：BM DG 且点 M 为 DG 中点， 所以： cos cosHDG QAB   ，即： 3 45 5 5 x x  ，解得： 20 7x  ； ③当 DG BG ，不成立。 综合上可得：当 BDG 是等腰三角形时 7 20,11 25,73 125AD 。 Q H FG E A B C D M Q FG E A B C D （图 1） （图 2） 1.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 4，BC = 3，点 E 是边 CD 上任意一点（点 E 与点 C、D 不 重合），过点 A 作 AF⊥AE，交边 CB 的延长线于点 F，联结 EF，交边 AB 于点 G．设 DE = x，BF = y。（★★★★★） （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果 AD = BF，求证：△AEF∽△DEA； （3）当点 E 在边 CD 上移动时，△AEG 能否成为等腰 三角形？如果能，请直接写出线 段 DE 的长；如果不能，请说明理由。 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.已知边和特殊关系的边：AB = 4，BC = 3，AF⊥AE； 2.已知角和特殊角度：直角相等， BAF DAE   ，等等； 3.特殊图形：正方形 ABCD 。 二.求解函数关系式：用相似三角形 FBA EAD ∽ 即可证明。 三.当 AD = BF 时，证明三角形相似：通过观察，题目中已知边的关系，则引导我们要通过 边的计算对应边成比例，再证明相似，通过求解可得 1FG FB GE BC   。 四.当 AEG 为等腰三角形时：分以下三个情况讨论计算求解 1.当 AE AG 时：通过角度相等，可得 FA FC ； 2.当GA GE 时：可得 FAE ADE ∽ ； 3.当 EA EG 时：可得 ADE FCE ∽ ； 4.计算求解，注意利用好等腰产生的角度转化和锐角三角比。 【满分解答】 （1）在矩形 ABCD 中， 90BAD D ABC      ，AD = BC = 3． 即得∠D =∠ABF． ∵AF⊥AE，∴ 90EAF BAD     ． 又∵ EAF BAF BAE     ， BAD DAE BAE     ， ∴∠DAE =∠BAF． 于是，由∠D =∠ABF，∠DAE =∠BAF，得△DAE∽△BAF． ∴ AD DE AB BF  ． 由 DE = x，BF = y，得 3 4 x y  ，即得 4 3y x ． ∴y 关于 x 的函数解析式是 4 3y x ，定义域是0 4x  ． （2）∵AD = BF，AD = BC，∴BF = BC． 在矩形 ABCD 中，AB // CD，∴ 1FG FB GE BC   ．即得 FG = EG． 于是，由 90EAF  ，得 AG = FG．∴∠FAG =∠AFG． ∴∠AFE =∠DAE． 于是，由 EAF D   ，∠AFE =∠DAE，得△AEF∽△DEA． （3）当点 E 在边 CD 上移动时，△AEG 能成为等腰三角形． 此时，① 当 AG = EG 时， 9 4DE  ；② 当 AE = GE 时， 3 2DE  ；③ 当 AG = AE 时， 7 8DE  ． 中考压轴题综合复习十二 例 1.如图十二，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上(与端点不重合)，点 F 在射 线 DC 上。（★★★★★） （1）若 AF=AE，并设CE =x，△AEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数 的定义域； （2）当CE 的长度为何值时，△AEF 和△ECF 相似? （3）若 4 1CE ，延长 FE 与直线 AB 交于点 G，当 CF 的长度为何值时，△EAG 是等腰三 角形？ 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.观察寻找一下题目中的特殊图形？ 提示：正方形 ABCD ； 2.已知边和特殊边的关系？ 提示：正方形的边长为 1； 3.点的运动情况：点 E 在边 BC 上(与端点不重合)，点 F 在射线 DC 上。 二.当 AF AE 时，求解函数关系式： 1.寻找 x 与 y 所表示的量？ 提示： 2.该情况下，点 F 的运动情况？ 提示：观察可得，该情况下点 F 在 DC 边上； 3.怎么求解图形面积？ 提示： ABCD ABE ADF CEFy S S S S      。 4.计算求解，注意求解函数定义域。 三.当CE 的长度为何值时，△AEF 和△ECF 相似：即△AEF 和△ECF 相似时，求CE 的长： 1.观察一下，两个三角形中是否有“恒相等的角”。提示：没有，但 90FAE ＜ ， 90C   。 2.怎么分类讨论计算？ 提示：分以下两个情况讨论， ①若 090AEF  时，可得 AE AE EC BE  ，即点 E 为 BC 中点。 ②当∠AFE=90°，同理可得即点 F 为 DC 中点。 12.计算求解。 13.若 EAG 是等腰三角形时，求CF 的长： 1.分析、寻找 EAG 每个点的位置？ 提示：点 A 、 E 定点，点G 在直线 AB 上运动； 2.怎么分类讨论？ 提示：根据点G 的位置，分三大类讨论： ①当点 G 在 AB 延长线上时：则分 EA EG 、 AE AG 两个情况； ②当点 G 在 AB 边上时：则GA GE ③当点 G 在 BA 延长线上时：则 AG AE 3.计算求解，注意利用三角比和勾股定理。（详细过程见后面满分解答） 【满分解答】 (1) 在 Rt ABE 和 Rt ADF 中，∵ AB AD ， AE AF ， ∴ Rt ABE Rt ADF ≌ ∴ 1BE DF x   ∴ ABCD ABE ADF CEFy S S S S      ∴ 2 21 1 11 1 (1 ) 1 (1 )2 2 2y x x x          ∴ 21 2y x x   （ 0 1x  ） (2) ①若 090AEF  ，∵ ~AEF ECF  ∴ FAE FEC EAB     ，∴ ~ECF ABE  ∴ AE EF EC CF  ， EF AE CF BE  ∴ AE AE EC BE  ∴ 1 2CE BE  ②当∠AFE=90°，同理可得 1 2CF FD  ，∵ CE FD CF AD  ∴ 1 4CE  （3）①当 AE=GE，且点G 在 AB 延长线上时：则 1AB BG  ，（如图 1） ∵ CF CE BG BE  ， 4 1CE ，∴ 1 1 3 CF  ，∴ CF= 3 1 ②当 AE=AG，且点G 在 AB 延长线上时：（如图 2） ∵ 4 1CE ，∴ 5 4AG AE  ∵ CF CE BG BE  ，∴ 1 5 314 CF   ，∴CF=12 1 ③当 AG=EG，且点G 在 AB 边上时：（如图 3） ∵ 4 1CE ， ∴ 3BG CF ， 2 2 2EG BE GB  ， ∴     2 2 231 3 34CF CF      ， ∴CF= 96 7 ④当 AG=AE，且点G 在 BA 延长线上时：（如图 4） ∵ 4 1CE ，∴ 5 4AG AE  ，∵ CF CE BG BE  ，∴ 1 5 314 CF   ，∴CF= 3 4 解题方法总结： 1.如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点 P 是射线 AD 上的一个动 点（与点 A 不重合），BP 与 AC 相交于点 E，设 AP= x 。（★★★★） （1）求 AC 的长； （2）如果△ABP 和△BCE 相似，请求出 x 的值； （3）当△ABE 是等腰三角形时，求 x 的值。 A B DP C E 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.已知边和存在特殊关系的边：AB=4、AD=6， AD BC∥ 、 AD BC∥ ； 2.已知角和特殊角：∠ABC=60°； 3.特殊图形：平行四边形 ABCD， AP BC∥ 形成相似基本图“八字型”。 二.求解 AC 的长：过 A 点作 BC 垂线，用“锐角三角比+勾股定理”即可求解。 三.当△ABP 和△BCE 相似时： 1.寻找两个三角形中“恒相等的角” ： APB EBC   ； 2.分类讨论计算：因为 BAP BCD ECB   ＞ ，则 ECBABP  ，所以相似唯一； 3.计算求解：用比例式直接计算求解。 四.当△ABE 是等腰三角形时：分三个情况讨论 1.当 4 ABAE 时：因为 AP ∥ BC ，则 EC AE BC AP  ， 即 472 4 6  x ； 2.当 4 ABBE 时：因为 AP ∥ BC ，则 BC AP BE PE  ， 即 64 41642 xxx  ； 3.当 BEAE  时，不成立。 4.计算求解。 【满分解答】 （1）过点 A 作 FBCAF 于 在 AFBRt 中，  90AFB ，  60ABF ∴ 322 3460sin4sin  ABFABAF 22 1460cos4cos  ABFABBF 在 AFCRt 中，  90AFC ∴ 724)32( 2222  FCAFAC （2）过点 P 作 GBCPG 于 在 BPGRt 中，  90PGB ∴ 164)2()32( 22222  xxxPGBGBP 如果 ABP 和 BCE 相似 ∵ EBCAPB  又∵ BAP BCD ECB   ＞ ∴ ECBABP  ∴ BC EC BP AB  即 6 726 6 164 4 2   x xx 解得 3 4,8 21  xx （不合题意，舍去） ∴ 8x （3）①当 4 ABAE 时： ∵ AP ∥ BC ∴ EC AE BC AP  即 472 4 6  x 解得 874 x ②当 4 ABBE 时： ∵ AP ∥ BC ∴ BC AP BE PE  即 64 41642 xxx  解得 0,5 12 21  xx （不合题意，舍去） ③在 AFCRt 中，  90AFC ∵ 4 2 3FC AF ＞ 在线段 FC 上截取 AFFH  ∴ 45FAE FAH   ＞ ∴ 45 30 60BAE ABC ABE       ＞ ＞ ＞ ∴ BEAE  综上所述，当 ABE 是等腰三角形时， 5 12874 或x 。 1.仔细审题，抓住题目中的不 变量和特殊条件； 2.寻找相似基本图形：A字型、 八字型、一线三角 3.注意利用好“锐角三角比” 和“勾股定理”。 压轴题的解题方法和策略 中考压轴题综合复习十三 例 1.如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD BC∥ ，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF BC∥ 交 CD 于点 F 。 4 6AB BC ， ， 60B  ∠ 。点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PM EF 交 BC 于点 M ，过 M 作 MN AB∥ 交折线 ADC 于点 N ，连结 PN ，设 EP x 。 （★★★★★） （1）求点 E 到 BC 的距离； （2）当点 N 在线段 AD 上时（如图 2）， PMN△ 的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN△ 的周长；若改变，请说明理由； （3）当点 N 在线段 DC 上时（如图 3），是否存在点 P ，使 PMN△ 为等腰三角形？若存 在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由。 N 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示： 4 6AB BC ， ， AD BC EF∥ ∥ ， PM EF ， MN AB∥ 。 2.哪些角已知？哪些角存在特殊关系？ 提示： 60B  ∠ 。 3.点的运动情况。提示：点 P 为线段 EF 上的一个动点，点 M 为 BC 边上的一个动点， 点 N 为折线段 ADC 上的一个动点。 二.求点 E 到 BC 的距离：画高线直接利用三角比求解。 三.当点 N 在线段 AD 上时，判定 PMN△ 的形状是否会变化，并求周长： PM 的长度等 于点 E 到 BC 的距离，MN AB ， PN 可以画高线求解；则 PMN△ 的形状不会变化，周 长也可以求解了。 四.当点 N 在线段 DC 上，并且 PMN△ 为等腰三角形时： 1.这时判定一下 MNC△ 的形状。 提示： MNC△ 恒为等边三角形； 2.怎么分类讨论计算？ 提示：分以下三个情况讨论计算求解 ①当 PM PN 时，如图 3，作 PR MN 于 R ，则 MR NR ． ②当 MP MN 时，如图 4，这时 3MC MN MP   ． ③当 NP NM 时，如图 5， 30NPM PMN  ∠ ∠ ． 3.计算求解。 【满分解答】 （1）如图 1，过点 E 作 EG BC 于点G． ∵ E 为 AB 的中点， ∴ 1 22BE AB  ． 在 Rt EBG△ 中， 60B  ∠ ，∴ 30BEG  ∠ ． ∴ 2 21 1 2 1 32BG BE EG    ， ． 即点 E 到 BC 的距离为 3． （2）当点 N 在线段 AD 上运动时， PMN△ 的形状不发生改变． ∵ PM EF EG EF ， ，∴ PM EG∥ ． ∵ EF BC∥ ，∴ EP GM ， 3PM EG  ． 同理 4MN AB  ． 如图 2，过点 P 作 PH MN 于 H ，∵ MN AB∥ ， ∴ 60 30NMC B PMH    ∠ ∠ ，∠ ．∴ 1 3 2 2PH PM  ． ∴ 3cos30 2MH PM   ．则 3 54 2 2NH MN MH     ． 在 Rt PNH△ 中， 22 2 2 5 3 72 2PN NH PH               ． ∴ PMN△ 的周长= 3 7 4PM PN MN     ． （3）当点 N 在线段 DC 上运动时， PMN△ 的形状发生改变，但 MNC△ 恒为等边三 角形． ①当 PM PN 时，如图 3，作 PR MN 于 R ，则 MR NR ． 类似（2）， 3 2MR  ．∴ 2 3MN MR  ． ∵ MNC△ 是等边三角形，∴ 3MC MN  ． 此时， 6 1 3 2x EP GM BC BG MC         ． 图 3 A D E B F C P N M 图 4 A D E B F C P M N 图 5 A D E B F（P） C M N GG R G ②当 MP MN 时，如图 4，这时 3MC MN MP   ． 此时， 6 1 3 5 3x EP GM       ． ③当 NP NM 时，如图 5， 30NPM PMN  ∠ ∠ ． 则 120PMN  ∠ ，又 60MNC  ∠ ，∴ 180PNM MNC  ∠ ∠ ． 因此点 P 与 F 重合， PMC△ 为直角三角形．∴ tan30 1MC PM   ． 此时， 6 1 1 4x EP GM      ． 综上所述，当 2x  或 4 或 5 3 时， PMN△ 为等腰三角形． 1.如图 1，在△ ABC 中， ACB  90 ， 2AC BC  ，M 是边 AC 的中点，CH BM 于 H 。（★★★★★） （1）试求 sin MCH 的值； （2）求证： ABM CAH   ； （3）若 D 是边 AB 上的点，且使△ AHD 为等腰三角形，请求 AD 的长。 【解法点拨】： 1.寻找题目中的特殊条件和不变的量： ① M 是边 AC 的中点； ②CH BM ； ③题目中的线段 AB BM CH MH AH、 、 、 、 都可求解（让学生自己计算）；⑤④⑥ 2.证明角度相等，回顾证明角度相等的方法后，知本题利用相似角简单，但题目中很多线段 的长度都求解，因此利用两边成比例证明△AMH∽△BMA 即可得 ABM CAH   ； 3.当△ AHD 为等腰三角形时，分三个情况讨论： ①当 AD DH 时：因为边长不能直接求出，则利用三角比求解，过点 D 作 DE AH ， 因为 MAH ABM   ，则 DAE CBM MCH     ，所以 cos cosDAE MCH   ； ②当 AD AM 时：可直接得 AD 的长； ③当 AM DM 时：因为边长不能直接求出，则利用三角比求解，过点 H 作 HQ AD ， 因为 MAH ABM   ，则 DAE CBM MCH     ，所以 cos cosDAE MCH   。 4.注意利用好等腰三角形的性质：底边上三线合一；通常情况下用“画底边上的高+三角比 求解”； 5.注意便讲解边让学生计算求解，加强师生之间的互动性。 【满分解答】：（1）在△MBC 中，∠MCB= 90 ，BC=2， 又∵M 是边 AC 的中点，∴AM=MC= 2 1 BC=1， ∴MB= 521 22  ， 又 CH⊥BM 于 H，则∠MHC= 90 ， ∴∠MCH=∠MBC， ∴sin∠MCH= 5 5 CM BM  . （2）在△MHC 中， 5sin 5MH CM MCH    . ∴AM2=MC2= MBMH  ，即 MA MB MH MA  ， 又∵∠AMH=∠BMA，∴△AMH∽△BMA，∴∠ABM=∠CAH. (9) 由前两问可得： 2 10 5AH  , 2 5cos 5MCH  。当△ AHD 为等腰三角形时，分以 下三个情况讨论： ① 当 AD DH 时 ： 如 图 1 ， 过 点 D 作 DE AH ， 因 为 MAH ABM   ， 则 DAE CBM MCH     ，所以 cos cosDAE MCH   ； 所以： AE CH AD CM  ，即 10 2 5: :15 5AD  ，所以 2 2AD  ； ②当 AD AM 时：如图 2，可直接得 2 10 5AD  ； ③ 当 AM DM 时 ： 如 图 3 ， 过 点 H 作 HQ AD ， 因 为 MAH ABM   ， 则 DAE CBM MCH     ，所以 cos cosDAE MCH   所以： AQ CH AH CM  ，即 2 10 2 5: :15 5AQ  ，所以 8 22 5AD AQ  ； 综上可得，当△ AHD 为等腰三角形时， AD 的长为 5 102 、 5 28 、 2 2 。 E C A B H M D C A B H M D Q C A B H M D 中考压轴题综合复习十四 例 1.如图，梯形 ABCD 中，AD//BC，CD⊥BC，已知 AB=5，BC=6，cosB= 3 5 。点 O 为 BC 边上的动点，联结 OD，以 O 为圆心，BO 为半径的⊙O 分别交边 AB 于点 P，交线段 OD 于 点 M，交射线 BC 于点 N，联结 MN。（★★★★★） 五．当 BO=AD 时，求 BP 的长； 六．点 O 运动的过程中，是否存在 BP=MN 的情况？若存在，请求出当 BO 为多长时 BP=MN； 若不存在，请说明理由； 七．在点 O 运动的过程中，以点 C 为圆心，CN 为半径作⊙C，请直接写出当⊙C 存在时， ⊙O 与⊙C 的位置关系，以及相应的⊙C 半径 CN 的取值范围。 图 1 图 2 图 3 A B C D O P M N A B C D （备用图） 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.哪些边已知？ 哪些边存在特殊关系？ 提示：AB=5，BC=6，AD//BC，CD⊥BC。 2.哪些角已知？ 哪些角存在特殊关系？ 提示： 3cos 5B  ， 3.点的移动情况。提示：点 O 为 BC 边上的动点，点 P 为 AB 边上的动点，点 M 为线段OD 上的动点，点 N 为射线 BC 上的动点。 二.当 BO=AD 时，求 BP 的长： 1.该情况下，得到什么特殊图形？ 提示：平行四边形 ABOD 。 2.怎么计算求解？ 提示：过圆心O 作弦 BP 的垂线，用三角比求解。 三.点 O 运动的过程中，是否存在 BP=MN 的情况？ 提示：见后面满分解答。 四.判定⊙O 与⊙C 的位置关系，以及相应的⊙C 半径 CN 的取值范围： 1.回顾两圆的位置关系。 提示：外离、外切、相交、内切、内含。 2.由图可知道⊙O 与⊙C 的位置关系可能为哪些？ 提示：内切、外切。 3.求解⊙C 半径 CN 的取值范围。 提示：见后面满分解答 【满分解答】 （1）过点 A 作 AE⊥BC,在 Rt△ABE 中，由 AB=5，cosB= 3 5 得 BE=3 ∵CD⊥BC，AD//BC，BC=6，∴AD=EC=BC-BE=3 当 BO=AD=3 时， 在⊙O 中，过点 O 作 OH⊥AB,则 BH=HP ∵ cosBH BBO  ,∴BH= 3 93 5 5   ∴BP= 18 5 （2）不存在 BP=MN 的情况 假设 BP=MN 成立，∵BP 和 MN 为⊙O 的弦，则必有∠BOP=∠DOC 过 P 作 PQ⊥BC，过点 O 作 OH⊥AB,∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC 设 BO=x，则 PO=x,由 3cos 5 BH Bx   ，得 BH= 3 5 x , ∴BP=2BH= 6 5 x ∴BQ=BP×cosB= 18 25 x ，PQ= 24 25 x ， ∴OQ= 18 7 25 25x x x  ∵△PQO∽△DOC，∴ PQ DC OQ OC  即 24 425 7 6 25 x xx   ，得 29 6x  当 29 6x  时，BP= 6 5 x = 29 5 ＞5=AB，与点 P 应在边 AB 上不符， ∴不存在 BP=MN 的情况 (注：若能直接写出不成立的理由是：只有当点 P 和点 M 分别在 BA 的延长线及 OD 的延长线上时才有可能成立，而此时不符题意。则给 6 分) （3）情况一：⊙O 与⊙C 相外切，此时，0＜CN＜6； 情况二：⊙O 与⊙C 相内切，此时，0＜CN≤ 7 3 .- A B C D O P M NQ H 1.如图，已知 AB⊥MN，垂足为点 B，P 是射线 BN 上的一个动点，AC⊥AP，∠ACP=∠BAP， 解题方法总结： AB=4，BP=x，CP=y，点 C 到 MN 的距离为线段 CD 的长。（★★★★★） （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域． （2）在点 P 的运动过程中，点 C 到 MN 的距离是否会发生变化？如果发生变化，请用 x 的代数式表示这段距离；如果不发生变化，请求出这段距离． （3）如果圆 C 与直线 MN 相切，且与以 BP 为半径的圆 P 也相切，求 BP∶PD 的值。 A B P D C NM 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.已知边和特殊关系的边：AB=4，AB⊥MN，，AC⊥AP； 2.相等角和特殊关系角： 90CAP ABP     ，∠ACP=∠BAP。 二.求解函数关系式： 1.寻找 x 与 y 所表示的量。 提示：BP=x，CP=y。 2.计算求解。 提示：用相似三角形直接求解。 三.求解CD 的长是否发生变化： 1.观察图并结合题目中的已知条件，添加辅助线，构造基本图形；延长CA 与 MN 交于点 E ； 2.计算求解。可得 AP 为 CDE 的中位线； 四.圆与直线、圆与圆的位置关系： 1.求解两圆的半径和圆心距； 2.分内讨论计算：分内切和外切讨论 （i）当圆 C 与圆 P 外切时， CP PB CD  ； （ii）当圆 C 与圆 P 内切时， CP PB CD  。 3.计算解答。 【满分解答】 （1）∵AB⊥MN，AC⊥AP，∴ 90ABP CAP     ． 又∵∠ACP=∠BAP，∴△ABP∽△CAP． ∴ BP AP AP PC  ，即 y x x x 16 16 2 2   ． ∴所求的函数解析式为 2 16xy x  ( 0)x  ． （2）CD 的长不会发生变化． 延长 CA 交直线 MN 于点 E． ∵AC⊥AP，∴ 90PAE PAC     ． ∵∠ACP=∠BAP，∴ APC APE   ．∴ AEP ACP   ． ∴ PE PC ．∴ AE AC ． ∵ AB MN ， CD MN ，∴ //AB CD ．∴ 1 2 AB AE CD CE   ． ∵AB=4，∴ 8CD  ． （3）∵圆 C 与直线 MN 相切，∴圆 C 的半径为 8． （i）当圆 C 与圆 P 外切时， CP PB CD  ，即 8y x  ． ∴ 2 16 8x xx    ．∴ 2x  ． ∴ 3 1: PDBP ． （ii）当圆 C 与圆 P 内切时， CP PB CD  ，即 8y x  ， ∴ 2 16 8x xx    ．∴ 2 16 8x xx    或 2 16 8x xx    ． ∴ 2x   （不合题意，舍去）或无实数解．综上所述 3 1: PDBP ． 中考压轴题综合复习十五 例 1.如图， ABC 中， 35 3 cos 10AB AC A  ， ， 。D 为射线 BA 上的点（点 D 不与点 B 重合），作 DE BC∥ 交射线CA 于点 E 。（★★★★★） (1) 若CE x ， BD y ，求 y 与 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段 BD ，CE 为直径的两圆相切时，求 DE 的长度； (3) 当点 D 在 AB 边上时， BC 边上是否存在点 F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在， 请求出线段 BF 的长；若不存在，请说明理由。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 十一．哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示： 5 3AB AC ， ，DE BC∥ 。 十二．已知角和特殊关系角？ 提示： 3cos 10A  。 3.点的移动情况。 提示： D 为射线 BA 上的点（点 D 不与点 B 重合）， E 为射线CA 一 点。 二.求解函数关系式：用相似基本图形可直接求解，注意选择好比例式。 三.当两圆相切时： 1.寻找一下两圆的圆心运动情况。 提示：同时在 AB 、 AC 上，或同时在 BA 、CA 延长 线上。 2.寻找两圆的半径和圆心距，让学生计算看看。 3.怎么分类讨论？ 提示：根据点的不同位置，分三个情况讨论： ①当点 D 在 BA 边上时（两圆外切），如下图（1）； ②当点 D 在 BA 延长线上时（两圆内切），如下图（2）、（3）； 4.计算求解。 四.当 ABC 与 DEF 相似时： 1.观察 DEF 每个顶点的位置情况。 提示：D 在 AB 边上、E 在 AC 边上、F 在 BC 边 上； 2. ABC 的形状有什么特殊性？ 提示： ABC 为等腰三角形。 3.怎么分类讨论？ 提示：分以下三个情况讨论： ①当∠EDF=∠B 时，如下图（4），易得：AD=DE=DF=DB； ②当∠DEF=∠B 时，如下图（5），易得： DBF EFC ≌ ； ③当∠DFE=∠B 时，如下图（6），易得：四边形 DFCE 为平行四边形。 4.计算求解，利用好相似转化和角度相等的一些特殊条件。 【满分解答】 （1）∵DE//BC， AD AE DB EC  ∴ 5 3y x y x   ∴ 5 3y x ，（ 0x  ） （2）作 BH⊥AC，垂足为点 H， ∵cosA= 3 10 ，AB=5，∴AH= 3 2 = 1 2 AC，∴BH 垂直平分 AC, ∴△ABC 为等腰三角形，AB=CB=5； 解法一： ①当点 D 在 BA 边上时（两圆外切），如下图（1） 易知：O1O2 //BC，∴O1O2= AO1，即： 52 2 2 x y y   ∵ 5 3y x ，∴ 30 13x  ∵DE//BC，∴DE=AD=5－y，∴ 5 53DE x   . ∴ 5 30 1553 13 13DE      ②当点 D 在 BA 延长线上时（两圆内切），如下图（2）、（３）， 易知：O1O2 //BC，且 O1O2= AO1， (ⅰ) 如图（2）， ∵O1O2= AO1，即： 52 2 2 y x y   ∵ 5 3y x ，∴ 30 7x  ∵DE//BC，∴DE=AD= y－5，∴ 5 53DE x  .∴ 5 30 1553 7 7DE     (ⅱ) 如图（３），∵O1O2= AO1，即： 52 2 2 y x y   ∵ 5 3y x ，∴ 10x  ∵DE//BC，∴DE=AD= y－5，∴ 5 53DE x  .∴ 5 3510 53 3DE     解法二： （2）①当点 D 在 BA 边上时（两圆外切），如上图（1） ∵ 1 1 2AO O O AB BC  ，∴ 5 2 2 2 5 5 y x y   ∵ 5 3y x ，∴ 30 13x  ∵ AE DE AC BC  ，∴ 303 13 3 5 DE  ，∴ 15 13DE  ②(ⅰ) 当点 D 在 BA 延长线上时（两圆内切），如上图（2） ∵ 1 1 2AO O O AB BC  ，∴ 5 2 2 2 5 5 y y x   ∵ 5 3y x ，∴ 30 7x  ∵ AE DE AC BC  ，∴ 30 37 3 5 DE  ，∴ 15 7DE  (ⅱ) 当点 D 在 BA 延长线上时（两圆内切），如上图（3） ∵ 1 1 2AO O O AB BC  ∴ 52 2 2 5 5 y y x   ，∵ 5 3y x ，∴ 10x  ； ∵ AE DE AC BC  ，∴ 30 37 3 5 DE  ，∴ 35 3DE  所以，当两圆相切时， 15 13DE  或 15 7DE  或 35 3DE  。 （3）①当∠EDF=∠B 时，如图（4） 易得：AD=DE=DF=DB，∴AF⊥BC, 由 cosA=cosC= 3 10 ，AC=3，∴ 9 10FC  ，∴ 41 10BF  . ②当∠DEF=∠B 时，如图（5） 易得： DBF EFC ≌ ，∴ 5 2BF  . ③当∠DFE=∠B 时，如图（6） 易得：四边形 DFCE 为平行四边形， ∴ AE DE AC BC  ，∴ 3 5 3 3 5 k k  ，∴ 15 34k  ，∴ 1255 3 34BF k   。 所以，当△ABC 与△DEF 相似时， BF 的长为 41 10 、 5 2 或125 34 。 1.在等腰 ABC 中，已知 5 ACAB cm， 6BC cm，动点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出 发，沿 AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都是 1 cm/秒. 当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点停 止运动，设点 P 的运动时间为 t（秒）。（★★★★★） （1）当 t 为何值时，PQ⊥AB？ 解题方法总结： （2）设四边形 APQC 的面积为 y cm2，写出 y 关于 t 的函数关系式及定义域； （3）分别以 P、Q 为圆心，PA、BQ 长为半径画圆，若⊙P 与⊙Q 相切，求 t 的值； （4）在 P、Q 运动中， BPQ 与 ABC 能否相似？若能，请求出 AP 的长；若不能，请说明 理由。 A B C A B C （备用图） 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.已知边和特殊关系的边： 5 ACAB ， 6BC ； 2.角： B C   ； 3.点的移动情况：动点 P 从 A 点沿 AB 方向以 1 cm/秒的速度移动，动点Q 从 B 点沿 BC 方 向以 1 cm/秒的速度移动。 13.当 PQ AB 时，求解运动时间：过点 A 画 BC 垂线，用三角比或相似基本图形求解都可。 14.四边形 APQC 的面积为 y ，求函数关系式：求四边形的面积，因为该四边形的形状随着 带你的运动在变化，可用面积和差关系求解， ABC PBQAPQCy S S S   四边形 。 15.若⊙P 与⊙Q 相切，求解运动时间： 八．求解两圆的半径和圆心距； 九．观察两圆圆心的位置，得出两圆只能外切； 十．计算求解。 (10)当 BPQ 与 ABC 相似时： 1.寻找两三角形中的相等角： B 为公共角，相等； 2.分类讨论计算：分以下两个情况讨论 ①当 BPQ BAC   时：则 BC BQ BA BP  ，即 6 t 5 t5  ②当 BPQ BCA   时： 则 BA BQ BC BP  ，即 5 t 6 t5  3.计算求解。 【满分解答】 （1）过 A 作 AH⊥BC，垂足为 H ，如下图 1 ∵AB=AC，AH⊥BC ∴BH = 2 1 BC =3 又∵PQ⊥AB ∴cos∠B= BQ BP AB BH  ∴ t t5 5 3  ∴t= 8 25 （2）过 P 作 PM⊥BC，垂足为 M，如上图 2 ∵PM⊥BC AH⊥BC ∴PM∥AH∴ AH PM BA BP  ∴ 45 t5 PM ∴PM= t5 44  ∴S△PBQ= 2 5 22 tt  ∴ 2 5 2212 ttSSy PBQABC   定义域 0＜t＜5 （3）∵ PA=BQ=t∴ 两圆只能外切 过 Q 作 QN⊥AB，垂足为 N ∴ QN= t5 4 ， BN= t5 3 ，PN= t5 85  又∵∠PNQ=90°∴ 222 )5 4()5 85()2( ttt  ∴ 212 510 t （4）能，有二种情况： ①当 BPQ BAC   时： ∴ BC BQ BA BP  ，即 6 t 5 t5  ∴t= 11 30 ②当 BPQ BCA   时： ∴ BA BQ BC BP  ，即 5 t 6 t5  ∴t= 11 25 所以，当 t= 11 30 或 t= 11 25 秒时，两个三角形相似。 中考压轴题综合复习十六 例 1.在平行四边形 ABCD 中， 4AB ， 3BC ，  120BAD ，点 E 为射线 BC 上的 一动点（不与点 B 、C 重合），过点 E 作 ABEF  ，FE 分别交线段 AB 、射线 DC 于点 F 、 G 。（★★★★） （1）如图，当点 E 在线段 BC 上时， ① 求证： BEF ∽ CEG ； ② 如设 xBE  ， DEF 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）点 E 在射线 BC 上运动时，是否存在 AFDS : DECS =3:2？如存在，请求出 BE 的长； 如不存在，请说明理由。 A D B C 备用图 A D F B C G E 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 十三．哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示： 4AB ， 3BC ， ABEF  。 十四．哪些角已知？哪些角存在特殊关系？ 提示：  120BAD ， 60B   。 十五．点的移动情况。 提示：点 E 为射线 BC 上的一动点（不与点 B 、C 重合），点 F 在线段 AB 上动，点G 在射线 DC 上动。 二.当点 E 在线段 BC 上时，证明： BEF ∽ CEG ，用角度相等可以直接证明。 三.当点 E 在线段 BC 上时，求解函数关系式： 1.寻找 x 与 y 所代表的量。 提示： xBE  ， DEF 的面积为 y 。 2.怎么求解？ 提示：以 EF 为边，则 DG 为高线，直接求解。 3.计算，注意求解函数定义域。 四.点 E 在射线 BC 上运动时，是否存在 AFDS : DECS =3:2？ 1.两个三角形的面积是否都可以直接求解？ 提示：都可以，底边都知道，高线都可以求 解，值用直接法较简单。 2.怎么计算？ 提示：根据点 E 的位置关系，分两个情况讨论计算求解。 ①当点 E 在线段 BC 上时， AFDS ∶ DECS =3∶2， ②当点 E 在 BC 延长线（ 83  x ）上时， AFDS ∶ DECS =3∶2 3.计算，注意每个情况下 x 的取值范围。 【满分解答】 （1）①证明：平行四边形 ABCD ， AB ∥ DC  BEF ∽ CEG ②解：在 BEFRt 中，  60B ， xBBEEF 2 3sin  在 CEGRt 中， 2 360cos xCECG   xxxxDGEFy 8 311 8 3)2 34(2 3 2 1 2 1 2  ， 定义域 30  x （2）①当点 E 在线段 BC 上时， AFDS ∶ DECS =3∶2，   60sin)2 14(32 1 x ∶  60sin4)3(2 1 x ＝3∶2， 解得 3 4BE （符合要求） ②当点 E 在 BC 延长线（ 83  x ）上时， AFDS ∶ DECS =3∶2   60sin)2 14(32 1 x ∶  60sin4)3(2 1 x ＝3∶2， 解得 4BE （符合要求） 综上所求， 3 4BE ， 4BE 1.已知边长为 4 的正方形 ABCD 截去一个角后成为五边彤 ABCFE（如图）．其中 5EF  ， 1cot 2DEF  。（★★★★） （1）求线段 DE 、 DF 的长； （2）若 P 是线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PG AB ， PH BC ，设 PG x ，四边 形 BHPG 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数关系式（写出定义域），并画出函数大致图像； （3）当点 P 运动到四边形 BHPG 相邻两边之比为 2：3 时，求四边形 BHPG 的面积。 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.已知边和特殊关系的边：正方形 ABCD 的边长为 4， 5EF  ； 2.角的情况：正方形 ABCD 的四个内角为直角， 1cot 2DEF  。 解题方法总结： 3.点的移动情况。 提示： P 是线段 EF 上的一个动点。 二.求线段 DE 、 DF 的长：用三角比直接求解即可。 三.求解函数关系： 1.寻找 x 与 y 所代表的量： PG x ，四边形 BHPG 的面积为 y 。 2.四边形 BHPG 为矩形，长和宽都可求解，直接计算。 3.计算求解。 四.四边形 BHPG 相邻两边之比为 2：3 时：用边之比可直接计算求解。 【满分解答】 (1) ∵四边形 ABCD 是正方形， 90D   ∵ 1cot 2 DEDEF DF    设 DE m 则 2DF m （1 分） 2 2 2DE DF EF  （1 分） 即 25 5m  1m  ∴ 1DE  2DF  （2 分） (2)延长GP 交 DC 于 M ∵ PG AB PH ∥ BC ∴ GP ∥ AD ∥ BC ∴ PH ∥ BG ∴ PM FM DE FD  （1 分） ∵ PG x 4GM BC GM   4PM x   2 4FM x  （1 分） ∴  2 2 4 10 2PH MC CF FM x x        (1 分) ∴    210 2 2 10 3 4y x x x x x       (2 分) 画图正确 （2 分） (3)当∴ 2 3 PG PH  时 即 2 10 2 3 x x  20 7x  （不合题意舍去）． （1 分） 当∴ 2 3 PH PG  时 即10 2 2 3 x x   15 4x  （1 分） 75 8y  中考压轴题综合复习十七 例 1.在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，对角线 BCAC  ， 4AD cm，  45D ， 3BC cm。点 E 为射线 BC 上的动点，点 F 在射线 CD 上运动，且满足 ADEAFC  。 （★★★★） （1）如图 1，求 Bcos 的值； （2）点 E 为 BC 延长线上的动点，点 F 在线段 CD 上（点 F 与点C 不重合），如图 2，设 xBE  ， yDF  ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当 AFD 的面积为 2cm2 时，求 BE 的长。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示： 4AD ， 3BC ， BCAC  ，AD ∥ BC 2.哪些角已知？哪些角存在特殊关系？ 提示：  45D ， ADEAFC  。 3.注意点 E 、 F 的运动位置。 7.求三角比的值：直接计算求解可得。 8.求解函数关系式： 1.寻找 x 与 y 所代表的量。 提示： xBE  ， yDF  。 2.怎么计算求解？ 提示：用相似三角形 ADF DCE ∽ 产生的比例式直接可得。 3.注意求解函数定义域。 三.当 AFD 的面积为 2cm2 时，求 BE 的长： 1.分析 AFD 的面积是否好求？ 提示：根据点 F 的位置不一样，求解有点变化，但都可 以利用相似三角形进行面积转化。 2.怎么分情况计算？ 提示：分“点 E 在 BC 的延长线上”和“当点 E 在线段 BC 上”。 3.计算解答。 【满分解答】 （1）∵ AD ∥ BC ，∴ DACACB  . ∵ BCAC  ，∴  90ACB .∴  90DAC . ∵  45D ，∴  45ACD .∴ ACAD  .∵ 4AD ，∴ 4AC . ∵ 3BC ，∴ 522  BCACAB . ∴ 5 3cos  AB BCB . （2）∵ AD ∥ BC ，∴ DCEADF  . ∵ FADFDAAFC  ， EDCFDAADE  ， 又 ADEAFC  ，∴ EDCFAD  .∴ ADF ∽ DCE . ∴ CE DF DC AD  . 在 ADCRt 中， 222 ACADDC  ，又 4 ACAD ，∴ 24DC . ∵ xBE  ，∴ 3 xCE . 又 yDF  ，∴ 324 4  x y .∴ 2 23 2 2  xy .定义域为 113  x 。 （3）当点 E 在 BC 的延长线上，由（2）可得： ADF ∽ DCE ，∴ 2)(DC AD S S DCE ADF    . ∵ 2AFDS ， 4AD ， 24DC ，∴ 4DCES . ∵ ACCES DCE  2 1 ，∴ 44)3(2 1  BE ，∴ 5BE . 当点 E 在线段 BC 上， 同理可得： 44)3(2 1  BE . ∴ 1BE .所以 BE 的长为5 或1. 3.如图，已知边长为 3 的等边 ABC ，点 F 在边 BC 上， 1CF  ，点 E 是射线 BA 上一动 点，以线段 EF 为边向右侧作等边 EFG ，直线 EG FG， 交直线 AC 于点 M N， 。 （★★★★★） （1）写出图中与 BEF 相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似； （3）设 BE x MN y ， ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （4）若 1AE  ，试求 GMN 的面积。 解题方法总结： 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 16.已知边和特殊关系边：等边 ABC 的边长为 3， 1CF  。 17.已知角： 60B EFN C       ， 60B FEM A       等等 18.特 殊 图 形 ： 等 边 ABC 和 EFG ； 60B EFN C       、 60B FEM A       都形成相似基本图形“一线三角”。 19.动点的位置情况：点 E 是射线 BA 上一动点，点 M 、 N 在直线 AC 上。 (11)写出图中与 BEF 相似的三角形：根据相似基本图形可得由三个三角形。 (12)用角度相等可以证明（1）中的任意两个三角形相似。 (13)求解函数关系式： 14.寻找 x 与 y 所表示的量： BE x MN y ， ； 15.计算求解：根据点 E 、 M 、 N 的位置，分以下三个情况讨论计算： (i)当点 E 在线段 AB 上，点 M、N 在线段 AC 上时，用 AC AM MN CN   求解； (ii) 当点 E 在线段 AB 上，点 G 在△ABC 内时，如图 3，用 AC AM CN MN   求解； (iii) 当点 E 在线段 BA 的延长线上时，如图 4，用 AC MN CN AM   求解； 16.计算解答，注意求解函数定义域。 十六．当 1AE  ，试求 GMN 的面积：分以下两个情况讨论计算 1.当点 E 在 AB 边上时：AE＝1， GMN 是边长为 1 等边三角形； 2.当点 E 在 AB 延长线上时：AE＝1， GMN 是有一个角为 30°的 Rt△。 3.计算解答。 【满分解答】 答：（1）△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN； 证：（2）在△BEF 与△AME 中， ∵∠B＝∠A＝60°, ∴∠AEM+∠AME=120° ∵∠GEF＝60°, ∴∠AEM+∠BEF =120° ∴∠BEF＝∠AME ∴△BEF∽△AME 解：（3）(i)当点 E 在线段 AB 上，点 M、N 在线段 AC 上时，如图八， ∵△BEF∽△AME，∴BE︰AM＝BF︰AE， 即：x︰AM＝2︰(3-x) ，∴AM＝ 2 32 xx  ， 同理可证△BEF∽△CFN；∴BE︰CF＝BF︰CN， 即：x︰1＝2︰CN ，∴CN＝ x 2 ∵AC=AM+MN+CN，∴3= 2 32 xx  ＋y＋ x 2 ∴ x xxxy 2 463 23  ( 31  x ) (ii) 当点 E 在线段 AB 上，点 G 在△ABC 内时，如图 3， 同上可得：AM＝ 2 32 xx  ，CN＝ x 2 ∵AC=AM ＋CN－MN，∴3= 2 32 xx  ＋ x 2 －y ∴ x xxxy 2 463 23  ( 10  x ) (iii) 当点 E 在线段 BA 的延长线上时，如图 4， AM＝ 2 32 xx  ，CN＝ x 2 ∵AC= MN ＋CN－AM，∴3= y ＋ x 2 － 2 32 xx  ∴ x xxxy 2 463 23  (x>3) 综上所述： x xxxy 2 463 23  ( 10  x ) 或∴ x xxxy 2 463 23  (x≥1)； （4）(i)当点 E 在 AB 边上时：AE＝1， GMN 是边长为 1 等边三角形， ∴ 4 3 2 312 1 gmnS ； (ii) 当点 E 在 AB 延长线上时：AE＝1， GMN 是有一个角为 30°的 Rt△， ∵x=4, ∴y= 2 9 ,NG= 2 33 , ∴ 8 327 2 9 2 33 2 1 gmnS ． 中考压轴题综合复习十八 1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件； 2.培养学生分析问题解决问题的能力； 3.让学生学会把难题分解，从而分段击破； 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述，为后面讲解铺垫好基础，大概 5 分钟左右。 一．中考压轴题命题方向： 1.动点+函数+分类讨论； 2.以函数为背景的综合题； 3.以几何图形为背景的综合题； 4.以圆为背景的综合问题。 压轴题命题方向 二．动点产生的分类讨论类型： 1.相似三角形分类讨论； 2.等腰三角形分类讨论； 3.圆相切问题分类讨论； 4.平行四边形分类讨论； 5.函数关系分类讨论！ 动点产生的分类讨论类型 分类讨论常见的解题方法和策略 1.相似问题： ①寻找两个三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边之比求解 ③如不能直接求解，则进行相似转化 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 2.等腰问题： ①观察三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边相等求解 ③如不能直接求解，则画底边上的高线， 利用三角比求解 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 3.圆的相切问题： ①分别求解两圆半径和圆心距： ②再分内切和外切讨论，计算求解 ③注意利用好题目中的一些特殊条件 例 1.已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG。（★★★★★） （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º，如图②所示，取 DF 中点 G，连接 EG， CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1） 中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： (14)哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示： EF BD ，正方形 ABCD 四边相等、邻 边垂直； (15)哪些角已知？哪些角存在特殊关系？ 提示：正方形 ABCD 四个内角为直角， 90BEF   ； (16)特殊图形。 提示：正方形 ABCD 、 BEF 为等腰直角三角形。 十一．证明： EG CG ，怎么证明？ 提示：题目中出现了“直角+中点”联想到直角三角 形的性质（直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）； 十二．当 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45 后， EG CG 是否成立？ 十七．寻找旋转以后图形的位置情况？ 提示：点 E 在 AB 边上，点 F 在 BD 边上； 十八．观察图中的条件，应该如何添加辅助线证明？ 提示：联结 AG ，过点 G 作 AB 垂 线，用“全等+梯形中位线证明”。 四.当 BEF 绕 B 点逆时针旋转任意角后，画图观察，可得 EG CG 任然成立，并且还有 EG CG 等特殊结论。 【满分解答】 （1）证明：在 Rt△FCD 中，∵G 为 DF 的中点，∴ CG= FD． 同理，在 Rt△DEF 中，EG= FD． ∴ CG=EG． （2）（1）中结论仍然成立，即 EG=CG． 证法一：连接 AG，过 G 点作 MN⊥AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点． 在△DAG 与△DCG 中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴ △DAG≌△DCG．∴ AG=CG。 在△DMG 与△FNG 中，∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴ △DMG≌△FNG．∴ MG=NG 在矩形 AENM 中，AM=EN。 在 Rt△AMG 与 Rt△ENG 中，∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △AMG≌△ENG．∴ AG=EG．∴ EG=CG。 证法二：延长 CG 至 M,使 MG=CG， 连接 MF，ME，EC， 在△DCG 与△FMG 中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG， ∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG。 ∴MF∥CD∥AB． ∴ 在 Rt△MFE 与 Rt△CBE 中， ∵ MF=CB，EF=BE，∴△MFE ≌△CBE． ∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°。 ∴ △MEC 为直角三角形。 ∵ MG = CG，∴ EG= MC。 （3）（1）中的结论仍然成立，即 EG=CG．其他的结论还有：EG⊥CG。 解题方法总结： 1.如图（1），已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方，BC 在直线 MN 上，E 是 BC 上一点，以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG。（★★★★★） （1）连接 GD，求证：△ADG≌△ABE； （2）连接 FC，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由； （3）如图（2），将图（1）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，AB=a，BC=b（a、b 为常 数），E 是线段 BC 上一动点（不含端点 B、C），以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG， 使顶点 G 恰好落在射线 CD 上。判断当点 E 由 B 向 C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不 变，若∠FCN 的大小不变，请用含 a、b 的代数式表示 tan∠FCN 的值；若∠FCN 的大小发 生改变，请举例说明。 A 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.特殊图形：正方形 ABCD 、 AEFG ； 2.正方形 ABCD 、 AEFG 的四边相等，四个内角为直角； 二.证明 ADG ABE ≌ ： 1.考虑两个三角形中相等的量： AB AD 、 AE AG 、 BAE DAG   ； 2.用“边角边”证明两个三角形全等。 三.求 FCN 的度数：观察猜测 =45FCN  ，过点 F 作 FH MN 于点 H ，可证明 ABE EHF ≌ ，继而得到CH FH ，得证。 四.当条件改变后，试证明 FCN 的大小是否发生变化？ 1.结论：不变化，且 tan bFCN a   ； 2.过点 F 作 FH MN 于点 H ，可得△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE ，即 EH＝AD＝ BC＝b，则 CH＝BE，再用相似可得 tan bFCN a   。 【满分解答】 （1）∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形 ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90º ∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD ∴∠BAE＝∠DAG ∴△ BAE≌△DAG 20.∠FCN＝45º 理由是：作 FH⊥MN 于 H，如下图 3 示 ∵∠AEF＝∠ABE＝90º ∴∠BAE +∠AEB＝90º，∠FEH+∠AEB＝90º ∴∠FEH＝∠BAE 又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA＝90º ∴△EFH≌△ABE ∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH ∵∠FHC＝90º， ∴∠FCH＝45º （3）当点 E 由 B 向 C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变， 理由是：作 FH⊥MN 于 H ，如下图 4 示 由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90º 结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG 又∵G 在射线 CD 上，∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90º ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE ∴EH＝AD＝BC＝b， ∴CH＝BE，∴ EH AB ＝FH BE ＝FH CH ∴在 Rt△FEH 中，tan∠FCN＝FH CH ＝ EH AB ＝b a ∴当点 E 由 B 向 C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan∠FCN＝b a 中考压轴题综合复习十九 1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件； 2.培养学生分析问题解决问题的能力； 3.让学生学会把难题分解，从而分段击破； 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述，为后面讲解铺垫好基础，大概 5 分钟左右。 一．中考压轴题命题方向： 1.动点+函数+分类讨论； 2.以函数为背景的综合题； 3.以几何图形为背景的综合题； 4.以圆为背景的综合问题。 压轴题命题方向 二．动点产生的分类讨论类型： 1.相似三角形分类讨论； 2.等腰三角形分类讨论； 3.圆相切问题分类讨论； 4.平行四边形分类讨论； 5.函数关系分类讨论！ 动点产生的分类讨论类型 分类讨论常见的解题方法和策略 1.相似问题： ①寻找两个三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边之比求解 ③如不能直接求解，则进行相似转化 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 2.等腰问题： ①观察三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边相等求解 ③如不能直接求解，则画底边上的高线， 利用三角比求解 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 3.圆的相切问题： ①分别求解两圆半径和圆心距： ②再分内切和外切讨论，计算求解 ③注意利用好题目中的一些特殊条件 例 1.已知：如图所示，关于 x 的抛物线 2 ( 0)y ax x c a    与 x 轴交于点 ( 2 0)A  ， 、点 (6 0)B ， ，与 y 轴交于点C 。（★★★★★） （1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）在抛物线上有一点 D ，使四边形 ABDC 为等腰梯形，写出点 D 的坐标，并求出直线 AD 的解析式； （3）在（2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M ，抛物线上有一动点 P ， x 轴上有一 动点Q ．是否存在以 A M P Q、 、 、 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的 坐标；如果不存在，请说明理由。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.哪些点的坐标已知？ 提示： ( 2 0)A  ， 、 (6 0)B ， ； 2.找找函数图象经过了哪几个点？ 提示：点 A 、 B 、C 。 二.求解函数解析式：用待定系数法即可求解。 三.当四边形 ABDC 为等腰梯形时，求点 D 的坐标：分 AB 为底边和对角线两个情况考虑。 1.当 AB 为底边时：则CD AB∥ ，可直接求得 (4 3)D ， ； 2.当 AB 为对角线时：则 AC BD∥ ，且 AD BC ，该情况下无解。 四.当以 A M P Q、 、 、 为顶点四边形为平行四边形时： 1.分析每个点的位置：点 ( 2 0)A  ， 、 (2 3)M ， 、点 P 在二次函数的图象上、点Q 在 x 轴上。 2.画图观察，分类讨论情况：因为点 A 、 M 确定，则分 AM 为边和对角线两个情况讨论 （如下图示），可由图示直接写出 Q 点坐标。 【满分解答】 （1）根据题意，得 4 2 0 36 6 0 a c a c        ，解得 1 4 3 a c      抛物线的解析式为 21 34y x x    ，顶点坐标是（2，4） （2） (4 3)D ， ，设直线 AD 的解析式为 ( 0)y kx b k   直线经过点 ( 2 0)A  ，、点 (4 3)D ， 2 0 4 3 k b k b      1 2 1 k b     1 12y x   六．存在． 1(2 2 2 0)Q  ， ， 2 ( 2 2 2 )Q   ，0 ， 3 (6 2 6 0)Q  ， ， 4 (6 2 6 0)Q  ， BA O C y x Q4 Q3 Q1 Q2 P3 P1P2 D C P4 1.如图， ABCD 在平面直角坐标系中， 6AD  ，若OA 、OB 的长是关于 x 的一元二次方 程 2 7 12 0x x   的两个根，且OA OB 。（★★★★★） （1）求 sin ABC 的值。 （2）若 E 为 x 轴上的点，且 16 3AOES △ ，求经过 D 、 E 两点的直线的解析式，并判断 AOE△ 与 DAO△ 是否相似？ （3）若点 M 在平面直角坐标系内，则在直线 AB 上是否存在点 F，使以 A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出 F 点的坐标；若不存在，请说明理 由。 解题方法总结： 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.特殊图形：平行四边形 ABCD ； 2.求解相关点的坐标：点 A B C D、 、 、 的坐标都可以求解。 二.求解sin ABC 的值：利用三角比的定义可直接求解。 三.当 16 3AOES △ 时，求解直线 DE 的解析式，先利用三角形的面积求解点 E 的坐标。 四.当以 A 、C 、 F 、 M 为顶点的四边形为菱形时： 1.分析每个点的位置： A（0,4）、C（3,0）、点 F 在直线 AB 上、点 M 在平面直角坐标系 内。 2.画图观察，分 AC 为边和对角线两个情况考虑，可得点 F 的位置有四个情况。 【满分解答】 （1）解 2 7 12 0x x   得 1 24 3x x ， OA OB ， 4 3OA OB  ， 在 Rt AOB△ 中，由勾股定理有 2 2 5AB OA OB   ， 4sin 5 OAABC AB     （2）∵点 E 在 x 轴上， 16 3AOES △ ， 1 16 2 3AO OE   ， 8 3OE  8 80 03 3E E           ， 或 ， 由已知可知 D（6，4），设 DEy kx b  ，当 8 03E      ， 时有 4 6 80 3 k b k b     解得 6 5 16 5 k b       6 16 5 5DEy x  ，同理 8 03E     ， 时， 6 16 13 13DEy x  在 AOE△ 中， 890 4 3AOE OA OE   °， ， 在 AOD△ 中， 90 4 6OAD OA OD   °， ， ， OE OA OA OD  ， AOE DAO△ ∽△ （3）满足条件的点有四个， 1 2 3 4 75 22 42 44(3 8) ( 3 0) 14 7 25 25F F F F              ，； ，； ， ； ， 【说明】：本部分为“专题小结”，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。先让学 生说说本节课的收获，之后是教师寄语。教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知 识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。 教师寄语 教师：本专题你有哪些收获和感悟？ 中考压轴题综合复习二十 1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件； 2.培养学生分析问题解决问题的能力； 3.让学生学会把难题分解，从而分段击破； 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述，为后面讲解铺垫好基础，大概 5 分钟左右。 一．中考压轴题命题方向： 1.动点+函数+分类讨论； 2.以函数为背景的综合题； 3.以几何图形为背景的综合题； 4.以圆为背景的综合问题。 压轴题命题方向 二．动点产生的分类讨论类型： 1.相似三角形分类讨论； 2.等腰三角形分类讨论； 3.圆相切问题分类讨论； 4.平行四边形分类讨论； 5.函数关系分类讨论！ 动点产生的分类讨论类型 分类讨论常见的解题方法和策略 1.相似问题： ①寻找两个三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边之比求解 ③如不能直接求解，则进行相似转化 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 2.等腰问题： ①观察三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边相等求解 ③如不能直接求解，则画底边上的高线， 利用三角比求解 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 3.圆的相切问题： ①分别求解两圆半径和圆心距： ②再分内切和外切讨论，计算求解 ③注意利用好题目中的一些特殊条件 例 1.已知在梯形 ABCD 中， DCAB // ， PDAD 2 ， PBPC 2 ， PCDADP  ， 4 PCPD ，如图 1。（★★★★★） （1）求证： BCPD // ； （2）若点 Q 在线段 PB 上运动，与点 P 不重合，联结CQ 并延长交 DP 的延长线于点O ， 如图 2，设 xPQ  ， yDO  ，求 y 与 x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）若点 M 在线段 PA 上运动，与点 P 不重合，联结CM 交 DP 于点 N ，当△ PNM 是 等腰三角形时，求 PM 的值． 【解法点拨】可参考以下方法法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： (17) 边的关系： ① PDAD 2 ， PBPC 2 。可得到边成比例： AD PC PD PB  ② 4 PCPD ,可用来求解某些线段的长度。③ (18) 角的关系： PCDADP  。 (19) 相似三角形：△ ADP ∽△CPB 。 五. DCAB // 可由角度相等证明； 六.求解函数关系式，寻找相似基本图形。 方法一：由 / /PQ DC ,可得： PQ PO DC OD  ,进而 4 2 y x y   ； 方法二：由 BCOD // 可得： QB PQ BC PO  ，进而 x xy  24 4 。 三．当△ PNM 是等腰三角形时，分三个情况讨论： 十三．当 PNPM  时：得 DCPM // ，所以 PN DN PM DC  ，所以 DNDC  ； 2.当 MNMP  时，易证： ADMN // ，即：四边形 AMCD 是平行四边形； 3.当 NPNM  时不存在。 【满分解答】 （1）证明：∵ DCAB // ∴ PCDCPB  ∵ PCDADP  ∴ CPBADP  ∵ PDAD 2 ， PBPC 2 ∴ PC AD PB PD  ∴△ ADP ∽△ CPB ∴ BAPD  ∴ BCPD // （2）解： ∵ DCAB // ， BCPD // ∴四边形 PBCD 是平行四边形∴ BCPD  ∵ 4 PCPD ∴ 4BC ∵ PBPC 2 ∴ 2PB ∵ BCOD // ∴ QB PQ BC PO  ∵ xPQ  ， yDO  ∴ 4 yPO ， xQB  2 ∴ x xy  24 4 ∴ xy  2 8 定义域是： 20  x （3）解：①当 PNPM  时，∵ DCPM // ∴ PN DN PM DC  ∴ DNDC  由（2）知： 4PD ， 2DC ∴ 2 DNPDPNPM ②当 MNMP  时，∵△ ADP ∽△CPB ， 4 BCPC 易得： 82  PDADAP 易证： ADMN // 即：四边形 AMCD 是平行四边形 ∴ 2 AMDC ∴ 6 AMAPPM （ 注：当 NPNM  时不存在） 解题方法总结： 1.如图 12，在直角梯形 OABC 中， OA∥CB，A、B 两点的坐标分别为 A（15，0），B（10， 12），动点 P、Q 分别从 O、B 两点出发，点 P 以每秒 2 个单位的速度沿 OA 向终点 A 运动， 点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 BC 向 C 运动，当点 P 停止运动时，点 Q 也同时停止运动．线 段 OB、PQ 相交于点 D，过点 D 作 DE∥OA，交 AB 于点 E，射线 QE 交 x 轴于点 F．设动 点 P、Q 运动时间为 t（单位：秒）。 （1）当 t 为何值时，四边形 PABQ 是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当 t=2 秒时，求梯形 OFBC 的面积； （3）当 t 为何值时， △ PQF 是等腰三角形？请写出推理过程。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 4.已知边和特殊关系的边： 15OA  、 10BC  ， BC x∥ 轴； 5.点的移动情况：点 P 以每秒 2 个单位的速度沿 OA 向终点 A 运动，点 Q 以每秒 1 个单位的 速度沿 BC 向 C 运动。 6. BO DE x∥ ∥ 轴 形成相似基本图形“A 字型+八字型”。 七．当 t 为何值时，四边形 PABQ 是等腰梯形：则可得QP AB ，过 B 作 BG OA G 于 ，可 直接求解。 八．当 t=2 秒时，求梯形 OFBC 的面积：可求得 4 10 2 8 2OP CQ QB    ， ， ，直接 计算求解。 九．当 PQF 是等腰三角形时，求t 的值： 9.可把 PQF 的三边用含t 的代数式表示； 10.分以下三个情况讨论： ①当QP PF 时，则 2 212 (10 2 ) 15 2 2t t t t      ， ②当QP QF 时， 222222 )]10(215[1212)210(12 ttFHtt 则 ③当QF PF 时， 2 2 4 1412 (5 3 ) 15 ( .3 3t t t      则 ， 或 舍去） 3.计算求解。 【满分解答】 （1）如图 4，过 B 作 BG OA G 于 ， 则 2 2 2 212 15 10 169 13AB BG GA      （ ） 过 Q 作 ，于HOAQH  则 2 2 2 2 212 10 2 ) 144 (10 3 )QP QH PH t t t        （ 要使四边形 PABQ 是等腰梯形，则 AB QP ， 即 ,13)310(144 2  t t 5 3  或 5t  （此时 PABQ 是平行四边形，不合题意，舍去） （2）当 2t 时， 4 10 2 8 2OP CQ QB    ， ， 。 1 .2 QB QE QD QBCB DE OF AF EF DP OP      ∥ ∥ ， 2 2 2 4 15 4 19.AF QB OF        ， .1741219102 1  ）（梯形OFBCS （3）①当QP PF 时，则 2 212 (10 2 ) 15 2 2t t t t      ， .3 19 3 1  tt 或 ②当QP QF 时， 222222 )]10(215[1212)210(12 ttFHtt 则 即 2 2 2 2 512 (10 3 ) 12 (5 3 ) 6t t t      ， ③当QF PF 时， 2 2 4 1412 (5 3 ) 15 ( .3 3t t t      则 ， 或 舍去） 综上，当 1 19 5 4 3 3 6 3t t t t   ， ， ， 时， △ PQF 是等腰三角形。 中考压轴题综合复习二十一 1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件； 2.培养学生分析问题解决问题的能力； 3.让学生学会把难题分解，从而分段击破； 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述，为后面讲解铺垫好基础，大概 5 分钟左右。 一．中考压轴题命题方向： 1.动点+函数+分类讨论； 2.以函数为背景的综合题； 3.以几何图形为背景的综合题； 4.以圆为背景的综合问题。 压轴题命题方向 二．动点产生的分类讨论类型： 1.相似三角形分类讨论； 2.等腰三角形分类讨论； 3.圆相切问题分类讨论； 4.平行四边形分类讨论； 5.函数关系分类讨论！ 动点产生的分类讨论类型 分类讨论常见的解题方法和策略 1.相似问题： ①寻找两个三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边之比求解 ③如不能直接求解，则进行相似转化 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 2.等腰问题： ①观察三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边相等求解 ③如不能直接求解，则画底边上的高线， 利用三角比求解 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 3.圆的相切问题： ①分别求解两圆半径和圆心距： ②再分内切和外切讨论，计算求解 ③注意利用好题目中的一些特殊条件 例 1.已知：正方形 ABCD 的边长为 1，射线 AE 与射线 BC 交于点 E，射线 AF 与射线 CD 交 于点 F，∠EAF=45°。（★★★★★） （1）如图 1，当点 E 在线段 BC 上时，试猜想线段 EF、BE、DF 有怎样的数量关系？ 并证明你的猜想。 （2）设 BE=x，DF=y，当点 E 在线段 BC 上运动时（不包括点 B、C），如图 1，求 y 关于 x 的函数解析式，并指出 x 的取值范围。 （3）当点 E 在射线 BC 上运动时（不含端点 B），点 F 在射线 CD 上运动.试判断以 E 为圆心以 BE 为半径的⊙E 和以 F 为圆心以 FD 为半径的⊙F 之间的位置关系。 （4）当点 E 在 BC 延长线上时，设 AE 与 CD 交于点 G，如图 2。问⊿EGF 与⊿EFA 能 否相似，若能相似，求出 BE 的值，若不可能相似，请说明理由。 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.已知边和特殊关系的边：正方形 ABCD 的边长为 1； 2.已知角和特殊关系的角： 45EAF   ； 3.点的移动情况：点 E 在射线 BC 上，点 F 在射线CD 上。 二.当点 E 在线段 BC 上时，试猜想线段 EF、BE、DF 的数量关系：猜测 EF BE DF  ， 将 ADF 绕着点 A 按顺时针方向旋转 90°，得 'ABF ，用全等三角形即可证明。 三.当点 E 在线段 BC 上运动时（不包括点 B、C），求解函数关系式： 1. x 与 y 所代表的量： BE x ， DF y ； 2.列等式求解： 2 2 2EF EC CF  3.注意求解定义域。 四.判断⊙E 和⊙F 的位置关系： 1.寻找两圆的半径和圆心距： Er BE 、 Fr DF 、 d EF ； 2.根据点 E 的位置，分三种情况讨论： ①当点 E 在点 B、C 之间时：由（1）知，EF=BE+DF，故此时⊙E 与⊙F 外切； ②当点 E 在点 C 时，DF=0，⊙F 不存在. ③当点 E 在 BC 延长线上时：同理可得 EF BE DF  ，则两圆内切。 五.当点 E 在 BC 延长线上时， EGF 与 EFA 能否相似： 1.若 EGF 与 EFA 相似，可得到哪些特殊逇结论？ 提示： 45CFE   2.列等式求解。 EC CF , 2 2 2EF EC CF  【满分解答】 （1）猜想：EF=BE+DF 证明：将⊿ADF 绕着点 A 按顺时针方向旋转 90°，得⊿ABF′，易知点 F′、B、E 在一直线 上 ∵AF′=AF， ∠F′AE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF， 又 AE=AE， ∴⊿AF′E≌⊿AFE. ∴EF=F′E=BE+DF. （2）由（1）得 EF=x+y 又 CF=1-y，EC=1-x， ∴      222 11 yxxy  . 化简可得  101 1   xx xy . （3）①当点 E 在点 B、C 之间时，由（1）知 EF=BE+DF，故此时⊙E 与⊙F 外切； ②当点 E 在点 C 时，DF=0，⊙F 不存在. ③当点 E 在 BC 延长线上时，将⊿ADF 绕着点 A 按顺时针方向旋转 90°，得⊿ABF′， 图 2. 有 AF′=AF，∠1=∠2， FDFB  ，∴∠F′AF=90°. ∴ ∠F′AE=∠EAF=45°. 又 AE=AE， ∴⊿AF′E≌⊿AFE. ∴ FDBEFBBEFEEF  ∴此时⊙E 与⊙F 内切. 综上所述，当点 E 在线段 BC 上时，⊙E 与⊙F 外切；当点 E 在 BC 延长线上时，⊙E 与 ⊙F 内切. （4）⊿EGF 与⊿EFA 能够相似，只要当∠EFG=∠EAF=45°即可. 这时有 CF=CE. 设 BE=x，DF=y，由（3）有 EF=x- y. 由 222 EFCFCE  ，得      222 11 yxyx  . 化简可得  11 1   xx xy . 又由 EC=FC，得 yx  11 ，即 1 111   x xx ，化简得 0122  xx ，解之得 21,21 21  xx （不符题意，舍去）. ∴所求 BE 的长为 21 . 1.如图，已知在正方形 ABCD 中，AB = 2，P 是边 BC 上的任意一点，E 是边 BC 延长线上一 点，联结 AP．过点 P 作 PF⊥AP，与∠DCE 的平分线 CF 相交于点 F．联结 AF，与边 CD 相交于点 G，联结 PG。（★★★★★） （1）求证：AP = FP； （2）⊙P、⊙G 的半径分别是 PB 和 GD，试判断⊙P 与⊙G 两圆的位置关系，并说明理由； （3）当 BP 取何值时，PG // CF。 解题方法总结： B A C D EP F G 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.已知边和特殊关系的边：正方形 ABCD 的边长为 2， PF AP ，CF 平分 DCE ； 2.已知角和特殊关系的角： 90APF   ， 45FCE   。 二.证明 AP = FP 时： 方法一：过点 F 作 FN BE ，垂足为 N ，先证明 ABP PNF  ，再证明 ABP ≌ PNF 可得；即：对应边相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等； 方法二：在 AB 上截取 AH PC ，证明 AHP ≌ PCF 即可。 三.判断⊙P 与⊙G 两圆的位置关系： 1.寻找两圆的半径和圆心距： Pr BP 、 Gr DG 、 d PG ； 2.进行题目意思转化，等价于“判定三条线段 BP 、 DG 、 PG 的关系”； 3.证明 BP + DG = PG ，则两圆外切。 四.当 PG // CF 时，求 BP 得值： 1.得到了什么特殊结论？ 提示： PCG 为等腰直角三角形。 2.列等式计算求解： 2PG PC 。 【满分解答】 （1）证明：在边 AB 上截取线段 AH，使 AH = PC，联结 PH． 由正方形 ABCD，得∠B =∠BCD =∠D = 90°，AB = BC = AD． ∵∠APF = 90°，∴∠APF =∠B． ∵∠APC =∠B +∠BAP =∠APF +∠FPC， ∴∠PAH =∠FPC． 又∵∠BCD =∠DCE = 90°，CF 平分∠DCE，∴∠FCE = 45°． ∴∠PCF = 135°． 又∵AB = BC，AH = PC，∴BH = BP，即得∠BPH =∠BHP = 45°． ∴∠AHP = 135°，即得∠AHP =∠PCF． 在△AHP 和△PCF 中，∠PAH =∠FPC，AH = PC，∠AHP =∠PCF， ∴△AHP≌△PCF．∴AP = PF． （2）解：⊙P 与⊙G 两圆的位置关系是外切． 延长 CB 至点 M，使 BM = DG，联结 AM． 由 AB = AD，∠ABM =∠D = 90°，BM = DG， 得△ADG≌△ABM，即得 AG = AM，∠MAB =∠GAD． ∵AP = FP，∠APF = 90°，∴∠PAF = 45°． ∵∠BAD = 90°，∴∠BAP +∠DAG = 45°，即得∠MAP=∠PAG = 45°． 于是，由 AM = AG，∠MAP =∠PAG，AP = AP， 得△APM≌△APG．∴PM = PG． 即得 PB + DG = PG． ∴⊙P 与⊙G 两圆的位置关系是外切． （3）解：由 PG // CF，得∠GPC =∠FCE = 45°． 于是，由∠BCD = 90°，得∠GPC =∠PGC = 45°． ∴PC = GC．即得 DG = BP． 设 BP = x，则 DG = x．由 AB = 2，得 PC = GC = 2 – x． ∵PB + DG = PG，∴PG = 2 x． 在 Rt△PGC 中，∠PCG = 90°，得 2sin 2 CGGPC PG    ． 即得 2 2 2 2 x x   ．解得 2 2 2x   ． ∴当 (2 2 2)BP   时，PG // CF． 中考压轴题综合复习二十二 1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件； 2.培养学生分析问题解决问题的能力； 3.让学生学会把难题分解，从而分段击破； 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 例 1.梯形 ABCD 中， AD BC∥ ， ABC   （ 0 90    ）， 3AB CD  ， 5BC  。 点 P 为射线 BC 动点（不与点 B 、 C 重合），点 E 在直线 DC 上，且 APE   。记 1PAB   ， 2EPC   ， BP x ，CE y 。（★★★★★） （1）当点 P 在线段 BC 上时，写出并证明 1 与 2 的数量关系； （2）随着点 P 的运动，（1）中得到的关于 1 与 2 的数量关系，是否改变？若认为不改 变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的 x 的取值范围； （3）若 1cos 3   ，试用 x 的代数式表示 y 。 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.已知边和特殊关系边： 3AB CD  ， 5BC  ， AD BC∥ ； 2.已知角和特殊关系角： ABC APE DCB       ； 3.点的移动情况：点 P 为射线 BC 动点（不与点 B 、C 重合），点 E 在直线 DC 上。 二.当点 P 在线段 BC 上时，写出并证明 1 与 2 的数量关系：由三角形的外角性质可得 1 2   。 三.当点 P 在 BC 的延长线上时，写出并证明 1 与 2 的数量关系：画图，由 APB 得内 角和为180 可得 1 2 180 2     ，注意写出相应的 x 的取值范围。 四.当 1cos 3   时，求函数关系式： 1.寻找 x 与 y 所代表的量： BP x ，CE y ，都表示线段的长度； 2.根据 P 点的移动位置，分两个情况讨论： ①当点 P 在线段 BC 上时：可得△ABP∽△PCE，用边之比直接计算求解； ②当点 P 在 BC 的延长线上时：设 AP 与 DC 边相交于点G ，由 ADG PCG ∽ 可得 3 ( 5)2GC xx   ；又因为△EPC∽△EGP，所以 2EP EC EG  ，作 EK⊥BP，用“三 角比+勾股定理”即可计算求解。 【满分解答】 （1）∠1=∠2 证明：∵∠APC=∠ABC+∠1，又∠APC=∠APE+∠2， ∴∠ABC+∠1=∠APE+∠2， ∵∠ABC=α=∠APE，∴∠1=∠2 （2）会改变，当点 P 在 BC 延长线上时，即 5x  时， ∠1 与∠2 的数量关系不同于（1）的数量关系。 解：∵∠APE=α=∠ABC，∴∠APB=α－∠2， ∵∠ABC+∠BAP+∠APB=1800，∴α+∠1+α－∠2=1800， ∴∠1－∠2=1800－2α。 （3）情况 1：当点 P 在线段 BC 上时， ∵∠1=∠2，∠B=∠C， ∴△ABP∽△PCE， ∴ AB BP PC CE  ， 即 3 5 x x y  ，∴ 25 1 3 3y x x  。 情况 2：当点 P 在线段 BC 的延长线上时， 可得△EPC∽△EGP，∴ 2EP EC EG  作 AM//CD，可得 3 ( 5)2GC xx   作 EK⊥BP，由 1cos 3   得 1 2 2 1, , 53 3 3CK y KE y KP x y      ∴ 2 2 22 2 1( ) ( 5 )3 3EP y x y    ， 于是 2 23( 5) 2 2 1( ) ( ) ( 5 )2 3 3 xy y y x yx      即 2 2 2 23 8 2 1( 5) ( 5) ( 5)2 9 3 9y x y y x x y yx         亦即 23 21 30 2 5 x xy x    PC E B M D 1 2 α G K 解题方法总结： 1.如图，⊙O 的半径为 6，线段 AB 与⊙O 相交于点 C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB 与⊙O 相交于点 E ，设OA x ，CD y 。（★★★★★） 4.求 BD 长； 5.求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； 6.当 CE⊥OD 时，求 AO 的长。 O A C D B E 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.已知边和特殊关系边：⊙O 的半径为 6， 4AC  ； 2.角的关系： BOD A   ， OCA ODB   ； 3.相似三角形： BDO BOA ∽ ， ACO ODB ∽ ； 二.求 BD 的长度：用 ACO ODB ∽ 直接计算求解； 三.求解函数关系式： 1.寻找 x 与 y 所代表的量：OA x ，CD y 。 2.圆中求解函数关系式构造辅助线方法：一般情况下，过圆心作弦的垂线。 3.过圆心O 作CD 垂线，用勾股定理即可计算求解。 4.注意求解函数定义域。 四.当 CE⊥OD 时，求 AO 的长：由垂直关系，联想到寻找角的关系，可得 AOD ADO   即OA OD ，计算求解。 【满分解答】 （1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB． ∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC． ∴ AC OD OC BD  ，∵OC=OD=6，AC=4，∴ 4 6 6 BD ，∴BD=9． （2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC=∠B． 又∵∠A=∠A，∴△ACO∽△AOB． ∴ AC AO AO AB  ， ∵ 13 yBDCDACAB ，∴ 4 13 x x y  ， ∴ y 关于 x 的函数解析式为 134 1 2  xy ． 定义域为 10132  x ． （3）∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A． ∴∠AOD=180º–∠A–∠ODC=180º–∠COD–∠OCD=∠ADO． ∴AD=AO，∴ xy  4 ，∴ xx  4134 1 2 ． ∴ 1022 x （负值不符合题意，舍去）．∴AO= 1022  ． 中考压轴题综合复习二十三 1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件； 2.培养学生分析问题解决问题的能力； 3.让学生学会把难题分解，从而分段击破； 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述，为后面讲解铺垫好基础，大概 5 分钟左右。 一．中考压轴题命题方向： 1.动点+函数+分类讨论； 2.以函数为背景的综合题； 3.以几何图形为背景的综合题； 4.以圆为背景的综合问题。 压轴题命题方向 二．动点产生的分类讨论类型： 1.相似三角形分类讨论； 2.等腰三角形分类讨论； 3.圆相切问题分类讨论； 4.平行四边形分类讨论； 5.函数关系分类讨论！ 动点产生的分类讨论类型 分类讨论常见的解题方法和策略 1.相似问题： ①寻找两个三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边之比求解 ③如不能直接求解，则进行相似转化 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 2.等腰问题： ①观察三角形中是否有相等角 ②观察能否直接利用边相等求解 ③如不能直接求解，则画底边上的高线， 利用三角比求解 ④注意利用好题目中的一些特殊条件 3.圆的相切问题： ①分别求解两圆半径和圆心距： ②再分内切和外切讨论，计算求解 ③注意利用好题目中的一些特殊条件 例 1.已知， 90ACB   ， CD 是 ACB 的平分线，点 P 在 CD 上， 2CP  ．将三角 板的直角顶点放置在点 P 处，绕着点 P 旋转，三角板的一条直角边与射线 CB 交于点 E，另 一条直角边与直线 CA、直线 CB 分别交于点 F、点 G。（★★★★★）（2012 年普陀二模 25） （1）如图 9，当点 F 在射线 CA 上时， ①求证： PF = PE． ②设 CF= x，EG=y，求 y 与 x 的函数解析式并写出函数的定义域。 （2）联结 EF，当△CEF 与△EGP 相似时，求 EG 的长。 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.已知边和特殊关系边： 2CP  ，CD 是 ACB 的平分线； 2.已知角和特殊关系角： 90ACB   ， 90FPE   。 3.点的情况：点 E 在射线射线 CB 上，点 F 在直线 CA 上，点G 在直线 CB 上。 二.当点 F 在射线 CA 上时： （一）.证明 PF PE ：因为CP 是 ACB 的平分线，则过点 P 作角 ACB 两边的垂线， 用全等即可证明 PF PE 。（如图 2） （二）.求解函数关系式： 1.寻找 x 与 y 所代表的量：CF= x，EG=y； 2.由角平分线知，过点 P 作角 ACB 两边的垂线；（如图 3） 3.求解相关线段的长度： 1CN CM PM PN    ， 2CE x  ； 4.用 CF∥PN 产生的相似基本形求解CG ； 5. y EG CE CG   ，注意求解定义域。 三.当△CEF 与△EGP 相似时，求 EG 的长： 1.根据点 F 的位置有两种情况： ①当点 F 在射线 CA 上时，如图 4，由分析知这时 CEF PGE ∽ ，则CG CE ； ②当点 F 在 AC 延长线上时，如图 5，由分析知这时 CEF PEG ∽ ，根据“△PMF≌ △PNE+CF∥PN ”可得。 2.计算求解。 【满分解答】 （1）①证明：过点 P 作 PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为 M、N，如下图 2。 ∵CD 是 ACB 的平分线， ∴PM＝PN． 由 90PMC MCN CNP       ，得 90MPN   ．∴ 1 90FPN     ． ∵ 2 90FPN     ，∴ 1 2   ．∴△PMF≌△PNE．∴PF = PE． ②解：∵ 2CP  ， ∴ 1CN CM  ．[来源:Zxxk.Com] ∵△PMF≌△PNE， ∴ 1NE MF x   ．∴ 2CE x  ． ∵CF∥PN，∴ CF CG PN GN  ．∴ 1 xCG x   ．∴ 21 xy xx    （0≤x＜1）． （2）当△CEF 与△EGP 相似时，点 F 的位置有两种情况： ①当点 F 在射线 CA 上时，如图 4 ∵ 90GPE FCE     ， 1 PEG   ，∴ 1G   ．∴ FG FE ．∴CG CE ． 在 Rt△EGP 中， 2 2 2EG CP  ． ②当点 F 在 AC 延长线上时，如图 5 ∵ 90GPE FCE     ， 1 2   ，∴ 3 2   ． ∵ 1 45 5    ， 1 45 2    ，∴ 5 2   ． 易证 3 4   ，可得 5 4   ．∴ 2FC CP  ．∴ 1 2FM   ． 易证△PMF≌△PNE，可得 1 2EN   ． ∵CF∥PN，∴ CF CG PN GN  ．∴ 2 1GN   ．∴ 2 2EG  ． 1.如图， ABC 中， 5 BCAB ， 6AC ，过点 A 作 AD ∥ BC ，点 P 、 Q 分别是射 线 AD 、线段 BA 上的动点，且 BQAP  ，过点 P 作 PE ∥ AC 交线段 AQ 于点O ，联接 PQ ，设 POQ 面积为 y ， xAP  。（★★★★★）（2012 年金山二模 25） （1）用 x 的代数式表示 PO ； （2）求 y 与 x 的函数关系式，并写出定义域； （3）联接 QE ，若 PQE 与 POQ 相似，求 AP 的长。 解题方法总结： B PD Q C A O E 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.已知边和特殊关系边： 5 BCAB ， 6AC ，AD ∥ BC ， BQAP  ，PE ∥ AC ； 2.已知角和特殊关系角： BAC BCA   。 3.点的情况：点 P 、Q 分别是射线 AD 、线段 BA 上的动点，点O 在线段 AQ 上。 二.用 x 的代数式表示 PO ：用 AP BE∥ 产生的比例式求解。 三.求 y 与 x 的函数关系式： 1.寻找 x 与 y 所代表的量： xAP  ， POQ 面积为 y ； 2.方法一：直接计算求解，作 BF⊥AC，QH⊥PE，垂足分别为点 F、H，用含 x 的代数式 表示OP QH、 的长； 方法二：用面积比计算 OPQ OPA S OQ S OA    ， 2( )OPA BOE S OA S OB    ， 2( )BOE BAC S BE S BC    。 3.注意求解定义域。 四.当 PQE 与 POQ 相似时，求 AP 的长： 1.由（2）知根据点O 的位置分两个情况讨论：分 50 2x  和 5 52 x  两个情况； 2.每个情况下根据条件分析得出相似是唯一的； 3.计算求解。（详解见后面满分解答） 【满分解答】 （1） ∵AD∥BC，PE∥AC∴四边形 APEC 是平行四边形 ∴AC=PE=6 ，AP=EC= x PA PO BE OE  , 5 5 6 PO x PO   可得 6 5PO x （2）∵AB=BC=5，∴∠BAC=∠BCA 又∠APE=∠BCA，∠AOP=∠BCA， ∴∠APE=∠AOP，∴AP=AO= x [来源:学*科*网]∴当 50 2x  时， 5 2OQ x  ； 作 BF⊥AC，QH⊥PE，垂足分别为点 F、H， 则易得 AF=CF=3，AB=5，BF=4 由∠OHQ=∠AFB=90°，∠QOH=∠BAF 得△OHQ∽△AFB ∴ QH OQ BF AB  ，∴ 5 2 4 5 QH x ，∴  4 5 2 8 45 5 xQH x     224 12 25 5y x x   所以 y 与 x 的函数关系式是 224 12 5(0 )25 5 2y x x x     （3）解法一： 当 50 2x  时 由 AP=BQ=x，AQ=BE=5-x，∠PAQ=∠QBE 可得△PAQ≌△QBE，于是 PQ=QE 由于∠QPO=∠EPQ， 所以若△PQE 与△POQ 相似，只有△PQE∽△POQ 可得 OP=OQ 于是 6 5 25 x x  ， 25 16x  同理当 5 52 x  ，可得 25 4x  （不合题意，舍） 所以，若△PQE 与△POQ 相似， AP 的长为 25 16 。 解法二：当 50 2x  时， 可得 63 5OH x  ，于是得 3PH  , 84 5QH x  2 2 83 4 5PQ x      由于∠QPO=∠EPQ， 所以若△PQE 与△POQ 相似，只有△PQE∽△POQ 2PQ PO PE  2 2 8 63 4 65 5x x       解得 1 25 16x  ， 2 25 4x  （不合题意，舍去） 所以，若△PQE 与△POQ 相似， AP 的长为 25 16 。 【说明】：本部分为“专题小结”，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。先让学 生说说本节课的收获，之后是教师寄语。教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知 识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。 教师寄语 教师：本专题你有哪些收获和感悟？