中考数学专题复习八几何证明题 27页

专题八：几何证明题 ‎【问题解析】‎ 几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力，几何证明题和计算题在中考中占有重要地位．根据新的课程标准，对几何证明题证明的方法技巧上要降低，繁琐性、难度方面要降低．但是注重考查学生的基础把握推理能力，所以几何证明题是目前常考的题型．‎ ‎【热点探究】‎ 类型一：关于三角形的综合证明题 ‎【例题1】（2016·四川南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． ‎ ‎（1）求证：BD=CE； ‎ ‎（2）求证：∠M=∠N． ‎ ‎ ‎ ‎【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可 ‎ ‎（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可． ‎ ‎【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，， ‎ ‎∴△ABD≌△ACE（SAS）， ‎ ‎∴BD=CE； ‎ ‎（2）证明：∵∠1=∠2， ‎ ‎∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE， ‎ 即∠BAN=∠CAM， ‎ 由（1）得：△ABD≌△ACE， ‎ ‎∴∠B=∠C， ‎ 在△ACM和△ABN中，， ‎ ‎∴△ACM≌△ABN（ASA）， ‎ ‎∴∠M=∠N． ‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键． ‎ ‎【同步练】‎ ‎（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．‎ ‎（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°‎ ‎①求证：AD=BE；‎ ‎②求∠AEB的度数．‎ ‎（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．‎ 类型二：关于四边形的综合证明题 ‎【例题2】（2016·山东省滨州市·10分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．‎ ‎（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；‎ ‎（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．‎ ‎【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质．‎ ‎【分析】（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．‎ ‎（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）四边形EBGD是菱形．‎ 理由：∵EG垂直平分BD，‎ ‎∴EB=ED，GB=GD，‎ ‎∴∠EBD=∠EDB，‎ ‎∵∠EBD=∠DBC，‎ ‎∴∠EDF=∠GBF，‎ 在△EFD和△GFB中，‎ ‎，‎ ‎∴△EFD≌△GFB，‎ ‎∴ED=BG，‎ ‎∴BE=ED=DG=GB，‎ ‎∴四边形EBGD是菱形．‎ ‎（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，‎ 在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2，‎ ‎∴EM=BE=，‎ ‎∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，‎ ‎∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=2，‎ 在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，‎ ‎∴∠NDC=∠NCD=45°，‎ ‎∴DN=NC=，‎ ‎∴MC=3，‎ 在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=．MC=3，‎ ‎∴EC===10．‎ ‎∵HG+HC=EH+HC=EC，‎ ‎∴HG+HC的最小值为10．‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型．‎ ‎【同步练】‎ ‎（2016·山东省济宁市·3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．‎ ‎（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；‎ ‎（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．‎ 类型三：关于圆的综合证明题 ‎【例题3】（2016·山东潍坊）正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：‎ ‎（1）四边形EBFD是矩形；‎ ‎（2）DG=BE．‎ ‎【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理．‎ ‎【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，进而得出答案；‎ ‎（2）直接利用正方形的性质的度数是90°，进而得出BE=DF，则BE=DG．‎ ‎【解答】证明：（1）∵正方形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，‎ 又∵DF∥BE，‎ ‎∴∠EDF+∠BED=180°，‎ ‎∴∠EDF=90°，‎ ‎∴四边形EBFD是矩形；‎ ‎（2））∵正方形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴的度数是90°，‎ ‎∴∠AFD=45°，‎ 又∵∠GDF=90°，‎ ‎∴∠DGF=∠DFC=45°，‎ ‎∴DG=DF，‎ 又∵在矩形EBFD中，BE=D ‎【同步练】‎ ‎（枣庄市 2015 中考 -24）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．‎ ‎（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）求证：BC2=CD•2OE；‎ ‎（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．‎ 类型四：关于相似三角形的证明问题 ‎【例题4】（2016·黑龙江齐齐哈尔·8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．‎ ‎（1）求证：△ACD∽△BFD；‎ ‎（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．‎ ‎（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得==1，即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，‎ ‎∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，‎ ‎∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，‎ ‎∴∠DBF=∠DAC，‎ ‎∴△ACD∽△BFD．‎ ‎（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°‎ ‎∴=1，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∵△ACD∽△BFD，‎ ‎∴==1，‎ ‎∴BF=AC=3．‎ ‎【同步练】‎ ‎（2016·湖北武汉·10分）在△ABC中，P为边AB上一点．‎ ‎(1) 如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；‎ ‎(2) 若M为CP的中点，AC＝2，‎ ‎① 如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；‎ ‎② 如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．‎ ‎ ‎ ‎【达标检测】‎ ‎1. （2016·黑龙江哈尔滨·8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．‎ ‎（1）求证：AP=BQ；‎ ‎（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．‎ ‎2. （2016·四川内江）(9分)如图6所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．‎ ‎(1)求证：D是BC的中点；‎ ‎(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．‎ D C E F B A 图6‎ ‎3. （烟台市 2015 中考 -23）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．‎ ‎（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．‎ ‎（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．‎ ‎4. （2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第22题7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△CBF；‎ ‎（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．‎ ‎　‎ ‎5. （烟台市 2014 中考 -24）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．‎ 求证：tanα•tan=．‎ ‎6. （2015•梧州,第25题12分）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．‎ ‎（1）求证：HF=AP；‎ ‎（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．‎ ‎7. （2015•北海,第25题12分）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．‎ ‎（1）求证：PE是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：ED平分∠BEP；‎ ‎（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．‎ ‎【参考答案】‎ 类型一：关于三角形的综合证明题 ‎【同步练】‎ ‎（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．‎ ‎（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°‎ ‎①求证：AD=BE；‎ ‎②求∠AEB的度数．‎ ‎（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．‎ ‎【考点】等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】（1）①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD=BE；‎ ‎②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；‎ ‎（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．‎ ‎【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，‎ ‎∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．‎ ‎∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，‎ ‎∴∠ACD=∠BCE．‎ ‎∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，‎ ‎∴AC=BC，DC=EC．‎ 在△ACD和△BCE中，有，‎ ‎∴△ACD≌△BCE（SAS），‎ ‎∴AD=BE．‎ ‎②解：∵△ACD≌△BCE，‎ ‎∴∠ADC=∠BEC．‎ ‎∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，‎ ‎∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，‎ ‎∴∠BEC=130°．‎ ‎∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，‎ ‎∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．‎ ‎（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，‎ ‎∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．‎ ‎∵CM⊥DE，‎ ‎∴∠CMD=90°，DM=EM．‎ 在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，‎ ‎∴DE=2DM=2×=2CM．‎ ‎∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，‎ ‎∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，‎ ‎∴∠BEN=180°﹣120°=60°．‎ 在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，‎ ‎∴BE==BN．‎ ‎∵AD=BE，AE=AD+DE，‎ ‎∴AE=BE+DE=BN+2CM．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算，解题的关键是：（1）通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE；（2）找出线段AD、DE的长．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键．‎ 类型二：关于四边形的综合证明题 ‎【同步练】‎ ‎（2016·山东省济宁市·3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．‎ ‎（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；‎ ‎（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．‎ ‎【考点】正方形的性质．‎ ‎【分析】（1）根据正方形的性质以及勾股定理即可求得；‎ ‎（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得CE⊥AF，进一步得出∠BAF=∠BCN，然后通过证得△ABF≌△CBN得出AF=CN，进而证得△ABF∽△COM，根据相似三角形的性质和正方形的性质即可证得CN=CM．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴△ABD是等腰直角三角形，‎ ‎∴2AB2=BD2，‎ ‎∵BD=，‎ ‎∴AB=1，‎ ‎∴正方形ABCD的边长为1；‎ ‎（2）CN=CM．‎ 证明：∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线，‎ ‎∴CE⊥AF，‎ ‎∴∠AEN=∠CBN=90°，‎ ‎∵∠ANE=∠CNB，‎ ‎∴∠BAF=∠BCN，‎ 在△ABF和△CBN中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABF≌△CBN（AAS），‎ ‎∴AF=CN，‎ ‎∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，‎ ‎∴∠BAF=∠OCM，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ ‎∴∠ABF=∠COM=90°，‎ ‎∴△ABF∽△COM，‎ ‎∴=，‎ ‎∴==，‎ 即CN=CM．‎ 类型三：关于圆的综合证明题 ‎【同步练】‎ ‎（枣庄市 2015 中考 -24）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．‎ ‎（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）求证：BC2=CD•2OE；‎ ‎（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．‎ 思路分析：‎ 本题考查了切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点．故对于题（1）可以连接OD，BD，由AB为圆O的直径，得到∠ADB为直角，从而 得出三角形BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，利用等边对等角得到一对角相等，再由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形ABC中两锐角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为圆O的切线；‎ 对于题（2）首先可证明OE是△ABC的中位线，则AC=2OE，然后证明△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；‎ 对于题（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，之后根据三角形中位线定理OE的长即可求得．‎ 解题过程：‎ ‎（1）证明：连接OD，BD，‎ ‎∵AB为圆O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ 在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，‎ ‎∴CE=DE=BE=BC，‎ ‎∴∠C=∠CDE，‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠A=∠ADO，‎ ‎∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，‎ ‎∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，‎ ‎∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，‎ ‎∴DE为⊙O的切线；‎ ‎（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，‎ ‎∴OE是△ABC的中位线，‎ ‎∴AC=2OE，‎ ‎∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，‎ ‎∴△ABC∽△BDC，‎ ‎∴，即BC2=AC•CD．‎ ‎∴BC2=2CD•OE；‎ ‎（3）解：∵cos∠BAD=，‎ ‎∴sin∠BAC=，‎ 又∵BE=6，E是BC的中点，即BC=12，‎ ‎∴AC=15．‎ 又∵AC=2OE，‎ ‎∴OE=AC=．‎ 规律总结：‎ 熟练把握切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点是解决本题的关键．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．‎ 类型四：关于相似三角形的证明问题 ‎【同步练】‎ ‎（2016·湖北武汉·10分）在△ABC中，P为边AB上一点．‎ ‎(1) 如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；‎ ‎(2) 若M为CP的中点，AC＝2，‎ ‎① 如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；‎ ‎② 如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似形综合，考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形中位线性质，勾股定理。‎ ‎【答案】 （1）证△ACP∽△ABC即可；（2）①BP＝；②‎ ‎【解析】（1）证明：∵∠ACP＝∠B，∠BAC＝∠CAP，∴△ACP∽△ABC，∴AC：AB＝AP：AC，∴AC2＝AP·AB；‎ ‎（2）①如图，作CQ∥BM交AB延长线于Q，设BP＝x，则PQ＝2x ‎∵∠PBM＝∠ACP，∠PAC＝∠CAQ，∴△APC∽△ACQ，由AC2＝AP·AQ得：22＝（3－x）（3＋x），∴x＝ ‎ ‎ ‎ 即BP＝；‎ ‎②如图：作CQ⊥AB于点Q，作CP0＝CP交AB于点P0，‎ ‎∵AC＝2，∴AQ＝1，CQ＝BQ＝ ，‎ 设P0Q＝PQ＝1－x，BP＝－1＋x，‎ ‎∵∠BPM＝∠CP‎0A，∠BMP＝∠CAP0，∴△AP‎0C∽△MPB，∴，‎ ‎∴MP∙ P‎0C＝AP0 ∙BP＝x（－1＋x），解得x＝‎ ‎∴BP＝－1＋＝．‎ ‎【达标检测】‎ ‎1. （2016·黑龙江哈尔滨·8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．‎ ‎（1）求证：AP=BQ；‎ ‎（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．‎ ‎【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．‎ ‎【解答】解：（1）∵正方形ABCD ‎∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°‎ ‎∵DP⊥AQ ‎∴∠ADP+∠DAP=90°‎ ‎∴∠BAQ=∠ADP ‎∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P ‎∴∠AQB=∠DPA=90°‎ ‎∴△AQB≌△DPA（AAS）‎ ‎∴AP=BQ ‎（2）①AQ﹣AP=PQ ‎②AQ﹣BQ=PQ ‎③DP﹣AP=PQ ‎④DP﹣BQ=PQ ‎2. （2016·四川内江）(9分)如图6所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．‎ ‎(1)求证：D是BC的中点；‎ ‎(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．‎ D C E F B A 图6‎ ‎[考点]三角形例行，特殊四边形的性质与判定。‎ ‎(1)证明：∵点E是AD的中点，∴AE＝DE．‎ ‎∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．‎ ‎∴△EAF≌△EDC． ‎ ‎∴AF＝DC．‎ ‎∵AF＝BD，‎ ‎∴BD＝DC，即D是BC的中点． ‎ ‎(2)四边形AFBD是矩形．证明如下：‎ ‎∵AF∥BD，AF＝BD，‎ ‎∴四边形AFBD是平行四边形． ‎ ‎∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中点，‎ ‎∴AD⊥BC．‎ ‎∴□AFBD是矩形． ‎ ‎3. （烟台市 2015 中考 -23）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．‎ ‎（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．‎ ‎（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．‎ 思路分析：‎ ‎（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由=得∠DAE=∠BAE，由AB为直径得∠AEB=90°，根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形；‎ ‎（2）由等腰三角形的性质得BE=CE=BC=6，再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8，接着由AB为直径得到∠ADB=90°，则可利用面积法计算出BD=，然后在Rt△ABD中利用勾股定理计算出AD=，再根据正弦的定义求解．‎ 解题过程：‎ 解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：‎ 连结AE，如图，‎ ‎∵=，‎ ‎∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠AEB=90°，‎ ‎∴AE⊥BC，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形；‎ ‎（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，‎ ‎∴BE=CE=BC=×12=6，‎ 在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，‎ ‎∴AE==8，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴AE•BC=BD•AC，‎ ‎∴BD==，‎ 在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=，‎ ‎∴AD==，‎ ‎∴sin∠ABD===．‎ ‎ ‎ 规律总结：‎ 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理．‎ ‎4. （2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第22题7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△CBF；‎ ‎（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．‎ ‎　‎ 考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．‎ 分析： （1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF；‎ ‎（2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．‎ 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，‎ ‎∵E、F分别为边AB、CD的中点，‎ ‎∴AE=AB，CF=CD，‎ ‎∴AE=CF，‎ 在△ADE和△CBF中，‎ ‎∵‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△CBF（SAS）；‎ ‎（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形，理由如下：‎ 解：由（1）可得BE=DF，‎ 又∵AB∥CD，‎ ‎∴BE∥DF，BE=DF，‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形，‎ 连接EF，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，‎ ‎∴DF∥AE，DF=AE，‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形，‎ ‎∴EF∥AD，‎ ‎∵∠ADB是直角，‎ ‎∴AD⊥BD，‎ ‎∴EF⊥BD，‎ 又∵四边形BFDE是平行四边形，‎ ‎∴四边形BFDE是菱形．‎ 点评： 本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定以及菱形的判定，利用好E、F是中点是解题的关键．‎ ‎5. （烟台市 2014 中考 -24）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．‎ 求证：tanα•tan=．‎ ‎【解析】：连接AC先求出△PBD∽△PAC，再求出=，最后得到tanα•tan=．‎ ‎【解答】：证明：连接AC，则∠A=∠POC=，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴tanα=，BD∥AC，‎ ‎∴∠PBD=∠A，‎ ‎∵∠P=∠P，‎ ‎∴△PBD∽△PAC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵PB=0B=OA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴tana•tan=•==． ‎ ‎【点评】：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出△PBD∽△PAC，再求出tanα•tan=．‎ ‎6. （2015•梧州,第25题12分）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．‎ ‎（1）求证：HF=AP；‎ ‎（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．‎ 考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．所有 分析： （1）先根据EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出结论；‎ ‎（2）由勾股定理求出BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP，再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论．‎ 解答： （1）证明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，‎ ‎∴∠EQN=∠BHM=90°．‎ ‎∵∠EMQ=∠BMH，‎ ‎∴△EMQ∽△BMH，‎ ‎∴∠QEM=∠HBM．‎ 在Rt△APB与Rt△HFE中，‎ ‎，‎ ‎∴△APB≌△HFE，‎ ‎∴HF=AP；‎ ‎（2）解：由勾股定理得，BP===4．‎ ‎∵EF是BP的垂直平分线，‎ ‎∴BQ=BP=2，‎ ‎∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=2×=．‎ 由（1）知，△APB≌△HFE，‎ ‎∴EF=BP=4，‎ ‎∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．‎ 点评： 本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．‎ ‎7.‎ ‎8. （2015•北海,第25题12分）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．‎ ‎（1）求证：PE是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：ED平分∠BEP；‎ ‎（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．‎ 考点： 切线的判定．‎ 分析： （1）如图，连接OE．欲证明PE是⊙O的切线，只需推知OE⊥PE即可；‎ ‎（2）由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，根据“同角的余角相等”推知∠3=∠4，结合已知条件证得结论；‎ ‎（3）设EF=x，则CF=2x，在RT△OEF中，根据勾股定理得出52=x2+（2x﹣5）2，求得EF=4，进而求得BE=8，CF=8，在RT△AEB中，根据勾股定理求得AE=6，然后根据△AEB∽△EFP，得出=，求得PF=，即可求得PD的长．‎ 解答： （1）证明：如图，连接OE．‎ ‎∵CD是圆O的直径，‎ ‎∴∠CED=90°．‎ ‎∵OC=OE，‎ ‎∴∠1=∠2．‎ 又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，‎ ‎∴∠PED=∠2，‎ ‎∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，‎ ‎∴OE⊥EP，‎ 又∵点E在圆上，‎ ‎∴PE是⊙O的切线；‎ ‎（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB=∠CED=90°，‎ ‎∴∠3=∠4（同角的余角相等）．‎ 又∵∠PED=∠1，‎ ‎∴∠PED=∠4，‎ 即ED平分∠BEP；‎ ‎（3）解：设EF=x，则CF=2x，‎ ‎∵⊙O的半径为5，‎ ‎∴OF=2x﹣5，‎ 在RT△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x﹣5）2，‎ 解得x=4，‎ ‎∴EF=4，‎ ‎∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，‎ ‎∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB=90°，‎ ‎∵AB=10，BE=8，‎ ‎∴AE=6，‎ ‎∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，‎ ‎∴△AEB∽△EFP，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴PF=，‎ ‎∴PD=PF﹣DF=﹣2=．‎ 点评： 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．‎