中考专题复习之正多边形和圆 5页

中考专题复习之正多边形和圆 知识考点：‎ ‎1、掌握正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长、面积等的计算；‎ ‎2、掌握圆周长、弧长的计算公式，能灵活运用它们来计算组合图形的周长；‎ ‎3、掌握圆、扇形、弓形的面积计算方法，会通过割补、等积变换求组合图形的面积；‎ ‎4、掌握圆柱、圆锥的侧面展开图的有关计算。‎ 精典例题：‎ ‎【例1】如图，两相交圆的公共弦AB为，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。‎ 分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只须求出两圆的半径与的平方比即可。‎ 解：设正三角形外接圆⊙O1的半径为，正六边形外接圆⊙O2的半径为，由题意得：，，∴∶＝∶；∴⊙O1的面积∶⊙O2的面积＝1∶3。‎ ‎【例2】已知扇形的圆心角为1500，弧长为，求扇形的面积。‎ 分析：此题欲求扇形的面积，想到利用扇形的面积公式，，由条件＝1500，看到，不管是用前者还是用后者都必须求出扇形的半径，怎么求？由条件想到利用弧长公式不难求出扇形半径。‎ 解：设扇形的半径为，则，＝1500，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴。‎ ‎【例3】如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，PO＝4cm，∠APB＝600，求阴影部分的周长。‎ 分析：此题欲求阴影部分的周长，须求PA、PB和的长，连结OA、OB，根据切线长定理得PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠，∠APO＝∠BPO＝300，在Rt△PAO中可求出PA的长，根据四边形内角和定理可得∠AOB＝1200，因此可求出的长，从而能求出阴影部分的周长。‎ 解：连结OA、OB ‎∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点 ‎∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠‎ ‎∠APO＝∠APB＝300‎ 在Rt△PAO中，AP＝‎ OA＝PO＝2，∴PB＝‎ ‎∵∠APO＝300，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠‎ ‎∴∠AOB＝300，∴‎ ‎∴阴影部分的周长＝PA＋PB＋＝＝cm 答：阴影部分的周长为cm。‎ ‎【例4】如图，已知直角扇形AOB，半径OA＝2cm，以OB为直径在扇形内作半圆M，过M引MP∥AO交于P，求与半圆弧及MP围成的阴影部分面积。‎ 分析：要求的阴影部分的面积显然是不规则图形的面积，不可能直接用公式，只有用“割补法”，连结OP。‎ 解：连结OP ‎∵AO⊥OB，MP∥OA，∴MP∥OB 又OM＝BM＝1，OP＝OA＝2‎ ‎∴∠1＝600，∠2＝300‎ ‎∴PM＝‎ 而，‎ 设PM交半圆M于Q，则直角扇形BMQ的面积为 ‎∴‎ ‎ ＝＝‎ 探索与创新：‎ ‎【问题】如图，大小两个同心圆的圆心为O，现任作小圆的三条切线分别交于A、B、C点，记△ABC的面积为，以A、B、C为顶点的三个阴影部分的面积分别为、、，试判断是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。‎ 分析：这是一道开放性试题，所考查的结果是否为定值，我们首先应明白已知条件中有哪些定值。为此设大小圆半径分别为和（和均为定值），小圆的每条切线与大圆所夹小弓形的面积相等且为定值，设这个定值为P，如图有：‎ ‎，，‎ ‎∴………①‎ 又∵‎ ‎ ∴………②‎ ‎ 把②代入①得：（定值）‎ ‎ ∴为定值，这个定值为。‎ 跟踪训练：‎ 一、选择题：‎ ‎1、正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2、如图，两同心圆间的圆环的面积为，过小圆上任一点P作大圆的弦AB，则 的值是（ ）‎ ‎ A、16 B、 C、4 D、‎ ‎3、如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且为半圆的，设扇形AOC、△COB、弓形BC的面积分别为、、，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A、＜＜ B、＜＜‎ C、＜＜ D、＜＜‎ ‎ ‎ ‎4、如图，⊙O1和⊙O2外切于P，它们的外公切线与两圆分别相切于点A、B，设⊙O1的半径为，⊙O2的半径为，的长为，的长为，若，则（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎5、如图，A是半径为1的⊙O外一点，OA＝2，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连结AC，则图中阴影部分的面积为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ ‎ ‎6、如图，在△ABC中，∠BAC＝300，AC＝，BC＝，以直线AB为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的表面积是（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ 二、填空题：‎ ‎1、扇形的圆心角为1500，扇形的面积为cm2，则扇形的弧长为 。‎ ‎2、一个圆锥形零件底面圆半径为4 cm，母线长为12 cm，则这个零件的展开图的圆心角的度数是 。‎ ‎3、如图，正△ABC的中心O恰好为扇形ODE的圆心，要使扇形ODE绕O无论怎样旋转，△‎ ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC的面积的，则扇形的圆心角应为 。‎ ‎ ‎ ‎4、如图，A、B、C、D是圆周上的四个点，，且弦AB＝8，CD＝4，则图中两个弓形（阴影）面积的和是 （结果保留三个有效数字）。‎ ‎5、目前，全国人民都在积极支持北京的申奥活动，你们知道吗？国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，每个圆环的内、外圆直径分别为8和10，图中两两相交成的小曲边四边形（阴影部分）的面积相等，已知五个圆环覆盖的面积是122.5平方单位，请你计算出每个小曲边四边形的面积为 平方单位（取3.14）‎ 三、计算或证明题：‎ ‎1、如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，若∠C＝900，AD＝4，BD＝6，求图中阴影部分的面积。‎ ‎ ‎ ‎2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，O点在AB上，半圆O切AC于D，切BC于E，AO＝15cm，BO＝20cm，求的长。‎ ‎3、如图，有一个直径是1米圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为900的扇形ABC，求：‎ ‎（1）被剪掉（阴影）部分的面积；‎ ‎（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？‎ ‎4、如图，⊙O与⊙外切于M，AB、CD是它们的外公切线，A、B、C、D为切点，⊥OA于E，且∠AOC＝1200。‎ ‎（1）求证：⊙的周长等于的弧长；‎ ‎（2）若⊙的半径为1cm，求图中阴影部分的面积。‎ ‎ ‎ 跟踪训练参考答案 一、选择题：DABCBD 二、填空题：‎ ‎ 1、cm；2、1200；3、1200；4、15.4；5、2.35‎ 三、计算或证明题：‎ ‎1、；‎ ‎2、；‎ ‎3、（1）平方米，（2）米；‎ ‎4、（1）证明：由已知得∠AO＝600，ABO为直角梯形，设⊙O与⊙的半径分别为、，则cos600＝，即，∴⊙的周长为，而＝＝，∴⊙的周长等于的弧长。（2）cm2。‎