中考数学一轮复习 图形的性质二 几何作图 29页

几何作图 第二十六讲 第五章　图形的性质(二) 1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺 2．基本作图 (1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角； (3)作角的平分线； (4)作线段的垂直平分线； (5)过一点作已知直线的垂线． 3．利用基本作图作三角形 (1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形； (3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形； (5)已知一直角边和斜边作直角三角形． 4．与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)； (2)作三角形的内切圆； (3)作圆的内接正方形和正六边形． 5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型 1．两种画图方法 对于一个既不属于尺规基本作图，又不属于已知条件为边角边、 角边角、角角边、边边边、斜边直角边的三角形的作图题，可以 分析图形中是否有属于上述情况的三角形，先把它作出来，再发 展成整个图形，这种思考方法，称为三角形奠基法；也可以按求 作图形的要求，一步一步地直接画出图形，这时，关键的点常常 由两条直线(或圆弧)相交来确定，称为交会法．事实上，往往把 三角形奠基法和交会法结合使用． 2．三点注意 (1)一般的几何作图，初中阶段只要求写出已知、求作、作法三个 步骤，完成作图时，需要注意作图痕迹的保留，作法中要注意作 图语句的规范和最后的作图结论． (2)根据已知条件作几何图形时，可采用逆向思维，假设已作出图 形，再寻找图形的性质，然后作图或设计方案． (3)实际问题要理解题意，将实际问题转化为数学问题． 3．六个步骤 尺规作图的基本步骤： (1)已知：写出已知的线段和角，画出图形； (2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化； (3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过 程，但图中必须保留基本作图的痕迹； (4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据 已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全 符合题设条件； (5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些 情况下，问题有一个解、多个解或者没有解； (6)结论：对所作图形下结论． B 1．(2014·安顺)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得 出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是( ) A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS D 2．(2013·曲靖)如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画 弧，交OA于点C，交OB于点D.再分别以点C，D为圆心，大于CD 的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE， 连接CD.则下列说法错误的是( ) A．射线OE是∠AOB的平分线 B．△COD是等腰三角形 C．C，D两点关于OE所在直线对称 D．O，E两点关于CD所在直线对称 A 3．(2015·嘉兴)数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图， 已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q.” 分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是( ) D 4．(2015·深圳)如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法 在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是 ( ) 5．(2014·绍兴)用直尺和圆规作△ABC，使BC＝a，AC＝b，∠B ＝35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是 ______________________． 画三角形 【例1】　(2015·杭州)“综合与实践”学习活动准备制作一组三 角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边 的长度为大于1且小于5的整数个单位长度． (1)用记号(a，b，c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形，如(2，3 ，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出 所有满足条件的三角形． (2)用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形(用给定的单位长 度，不写作法，保留作图痕迹)． 解：(1)共9种：(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，3)，(2，3，4)，(2 ，4，4)，(3，3，3)，(3，3，4)，(3，4，4)，(4，4，4)　(2)由(1) 可知，只有(2，3，4)，即a＝2，b＝3，c＝4时满足a＜b＜c.如图 的△ABC即为满足条件的三角形 【点评】　(1)作三角形包括：①已知三角形的两边及其夹角，求 作三角形；②已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；③已知 三角形的三边，求作三角形； (2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时 ，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形． [对应训练] 1．(2015·南京)如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3 的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所 画等腰三角形长为3的边上标注数字3) 解：满足条件的所有图形如图所示： 应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图 解：(1)如图 【点评】　本题考查了尺规作图及解直角三角形的应用，正确的 作出图形是解答本题的关键． [对应训练] 2．(2015·济宁)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC 的一个外角． 实验与操作： 根据要求进行尺规作图，并在图中标明 相应字母(保留作图痕迹，不写作法) (1)作∠DAC的平分线AM； (2)作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连 接AE，CF. 猜想并证明： 判断四边形AECF的形状并加以证明． 通过画图确定圆心 解：(1)如图①，点O为所求 【点评】　根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，在AB上 另找一点C，分别画弦AC，BC的垂直平分线，交点即为圆心O. [对应训练] 3．(2014·兰州)如图，在△ABC中，先作∠BAC的角平分线AD交 BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A，D两点作⊙ O(用尺 规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔 加黑)． 解：作出角平分线AD，作AD的中垂线交AC于点O，作出⊙ O， ∴⊙ O为所求作的圆 试题　尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形． 已知：∠α，线段a. 求作：△ABC，使AB＝AC，∠BAC＝α，AD⊥BC于D，且AD＝a. 错解　如图，(1)作∠EAF＝∠α； (2)作AG平分∠EAF，并在AG上截取AD＝a； (3)过D画直线MN交AE，AF分别于C，B，△ABC为所求作的等腰 三角形． 剖析　上述画法考虑AD平分∠BAC，等腰三角形顶角的平分线与 底边上的高重合，但是画法(3)没有注意到要使AD⊥BC，也难以使 AB＝AC. 正解　如图，(1)作∠EAF＝∠α　 (2)作AG平分∠EAF，并在AG上截取AD＝a　 (3)过D作MN⊥AG，MN与AE，AF分别交于B，C.则△ABC即为所 求作的等腰三角形