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全国各地中考数学压轴题精选及答案整理版

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全国各地中考数学压轴题精选 1、(黄石市 2011 年)(本小题满分 9 分)已知⊙ 1O 与⊙ 2O 相交于 A 、B 两点,点 1O 在⊙ 2O 上,C 为⊙ 2O 上一点(不与 A , B , 1O 重合),直线 CB 与⊙ 1O 交于另一 点 D 。 (1)如图(8),若 AC 是⊙ 2O 的直径,求证: AC CD ; (2)如图(9),若 C 是⊙ 1O 外一点,求证: 1O C AD ; (3)如图(10),若 C 是⊙ 1O 内一点,判断(2)中的结论是否成立。 2、(黄石市 2011 年)(本小题满分 10 分)已知二次函数 2 2 4 8y x mx m    (1)当 2x  时,函数值 y 随 x 的增大而减小,求 m 的取值范围。 (2)以抛物线 2 2 4 8y x mx m    的顶点 A 为一个顶点作该抛物线的内接 正三角形 AMN ( M , N 两点在抛物线上),请问:△ AMN 的面积是与 m 无关的定值吗?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由。 (3)若抛物线 2 2 4 8y x mx m    与 x 轴交点的横坐标均为整数,求整数 m 的值。 A O C B D x y 26题备用图 A O C B D x y 26题图 3、(2011 年广东茂名市)如图,⊙P 与 y 轴相切于坐标原点 O(0,0),与 x 轴相交于 点 A(5,0),过点 A 的直线 AB 与 y 轴的正半轴交于点 B,与⊙P 交于点 C. (1)已知 AC=3,求点B的坐标; (4分) (2)若 AC= a , D 是 OB的中点.问:点 O、P、C、D 四点是否在同一圆上?请说明 理由.如果这四点在同一圆上,记这个圆的圆心为 1O ,函数 x ky  的图象经过 点 1O ,求 k 的值(用含 a 的代数式表示). 4、庆市潼南县 2011 年)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 是直角三角形,∠ ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线 2y x bx c   经过 A,B 两点,抛物 线的顶点为 D. (1)求 b,c 的值; (2)点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点(点 A、B 除外),过点 E 作 x 轴的 垂线 交抛物线于点 F,当线段 EF 的长度最大时,求点 E 的坐标; (3)在(2)的条件下:①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;②在抛 物线上是否存在一点 P,使△EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形? 若存在, 求出所有点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 第 3 题图 χ y G F E D C B A (第 6 题) (第 5 题) 5、苏省宿迁市 2011 年)(本题满分 10 分)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点, P 是反比例函数 y= x 6 (x>0)图象上的任意一点,以 P 为圆心,PO 为半径的圆与 x、 y 轴分别交于点 A、B. (1)判断 P 是否在线段 AB 上,并说明理由; (2)求△AOB 的面积; (3)Q 是反比例函数 y= x 6 (x>0)图象上异于点 P 的另一点,请以 Q 为圆心, QO 半径画圆与 x、y 轴分别交于点 M、N,连接 AN、MB.求证:AN∥MB. 6、苏省宿迁市 2011 年)(本题满分 12 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=1, BC= 2 1 ,以点 C 为圆心,CB 为半径的弧交 CA 于点 D;以点 A 为圆心,AD 为半 径的弧交 AB 于点 E. (1)求 AE 的长度; (2)分别以点 A、E 为圆心,AB 长为半径画弧,两弧交于 点 F(F 与 C 在 AB 两侧),连接 AF、EF,设 EF 交弧 DE 所 在的圆于点 G,连接 AG,试猜想∠EAG 的大小,并说明理由. 题 7 图(1) A1 B C D A F E B C D A F E B C D A F E B1 C1 F1 D1 E1 A1 B1 C1 F1 D1 E1A2 B2 C2 F2 D2 E2 题 7 图(2) 题 7 图(3) 题 8 图(1) B H FA(D) G C E C(E) B F A(D) 题 8 图(2) 7、(11 年广东省)10.如图(1),将一个正六边形各边延长,构成一个正六角星形 AFBDCE, 它的面积为 1;取△ABC 和△DEF 各边中点,连接成正六角星形 A1F1B1D1C1E1,如 图 (2) 中 阴 影 部 分 ; 取 △ A1B1C1 和 △ D1E1F1 各 边 中 点 , 连 接 成 正 六 角 星 形 A2F2B2D2C2E2,如图(3)中阴影部分;如此下去…,则正六角星形 A4F4B4D4C4E4 的面 积为_________________. 8、{1 年广东省)21.如图(1),△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形,AC 与 DE 重合, AB=AC=EF=9,∠BAC=∠DEF=90º,固定△ABC,将△DEF 绕点 A 顺时针旋转,当 DF 边与 AB 边重合时,旋转中止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设 DE,DF(或 它们的延长线)分别交 BC(或它的延长线) 于 G,H 点,如图(2) (1)问:始终与△AGC 相似的三角形有 及 ; (2)设 CG=x,BH=y,求 y 关于 x 的函数关系式(只要求根据图(2)的情形说明理由) (3)问:当 x 为何值时,△AGH 是等腰三角形. 图 3 图 1 图 2 9、11 年凉山州)如图,抛物线与 x 轴交于 A( 1x ,0)、B( 2x ,0)两点,且 1 2x x , 与 y 轴交于点  0, 4C  ,其中 1 2x x, 是方程 2 4 12 0x x   的两个根。 (1)求抛物线的解析式; (2)点 M 是线段 AB 上的一个动点,过点 M 作 MN ∥ BC ,交 AC 于点 N ,连 接 CM ,当 CMN△ 的面积最大时,求点 M 的坐标; (3)点  4,D k 在(1)中抛物线上,点 E 为抛物线上一动点,在 x 轴上是否存在点 F ,使以 A D E F、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形,如果存在,求出所有满足 条件的点 F 的坐标,若不存在,请说明理由。 10、市二○一一年)27.(本题满分 12 分)情境观察 将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开,得到△ABC 和△A′C′D,如图 1 所示. 将△A′C′D 的顶点 A′与点 A 重合,并绕点 A 按逆时针方向旋转,使点 D、A(A′)、B 在同一条直线上,如图 2 所示. 观察图 2 可知:与 BC 相等的线段是 ▲ ,∠CAC′= ▲ °. 问题探究 如图 3,△ABC 中,AG⊥BC 于点 G,以 A 为直角顶点,分别以 AB、AC 为直角边,向 △ABC 外作等腰 Rt△ABE 和等腰 Rt△ACF,过点 E、F 作射线 GA 的垂线,垂足分别 为 P、Q. 试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系,并证明你的结论. 图 4 (备用图) 拓展延伸 如图 4,△ABC 中,AG⊥BC 于点 G,分别以 AB、AC 为一边向△ABC 外作 矩形 ABME 和矩形 ACNF,射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB= k AE,AC= k AF,试探 究 HE 与 HF 之间的数量关系,并说明理由. 11、市二○一一年)28.(本题满分 12 分)如图,已知一次函数 y = - x +7 与正比例 函数 y = 4 3 x 的图象交于点 A,且与 x 轴交于点 B. (1)求点 A 和点 B 的坐标; (2)过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C,过点 B 作直线 l∥y 轴.动点 P 从点 O 出发,以 每秒 1 个单位长的速度,沿 O—C—A 的路线向点 A 运动;同时直线 l 从点 B 出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线 l 交 x 轴于点 R,交线 段 BA 或线段 AO 于点 Q.当点 P 到达点 A 时,点 P 和直线 l 都停止运动.在 运动过程中,设动点 P 运动的时间为 t 秒. ①当 t 为何值时,以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8? ②是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求 t 的值; 若不存在,请说明理由. M A y N B D P x C 第 12 题O C 图 1 图 12、{11 济宁)如图,第一象限内半径为 2 的⊙C 与 y 轴相切于点 A,作直径 AD,过 点 D 作⊙C 的切线 l 交 x 轴于点 B,P 为直线 l 上一动点,已知直线 PA 的解析式为: y=kx+3。 (1) 设点 P 的纵坐标为 p,写出 p 随变化的函数关系式。 (2)设⊙C 与 PA 交于点 M,与 AB 交于点 N,则不论动点 P 处于直线 l 上(除点 B 以外) 的什么位置时,都有△AMN∽△ABP。请你对于点 P 处于图中位置时的两三角形相似 给予证明; (3)是否存在使△AMN 的面积等于 25 32 的 k 值?若存在,请求出符合的 k 值;若不存在, 请说明理由。 13、市 2011 年)(本题满分 10 分)孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一 起研究某条抛物线 2 ( 0)y ax a  的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面 直角坐标系的原点 O ,两直角边与该抛物线交于 A 、 B 两点,请解答以下问题: (1)若测得 2 2OA OB  (如图 1),求 a 的值; (2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点 O 旋转到如图 2 所示位置时,过 B 作 BF x 轴于点 F ,测得 1OF  ,写出此时点 B 的坐标,并求点 A 的横. 坐标..; (3)对该抛物线,孔明将三角板绕点 O 旋转任意角度时惊奇地发现,交点 A 、B 的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标. 14、如图①,P 为△ABC 内一点,连接 PA、PB、PC,在△PAB、△PBC 和△PAC 中, 如果存在一个三角形与△ABC 相似,那么就称 P 为△ABC 的自相似点. ⑴如图②,已知 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ACB>∠A,CD 是 AB 上的中线, 过点 B 作 BE⊥CD,垂足为 E,试说明 E 是△ABC 的自相似点. ⑵在△ABC 中,∠A<∠B<∠C. ①如图③,利用尺规作出△ABC 的自相似点 P(写出作法并保留作图痕迹); ②若△ABC 的内心 P 是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数. 15、题 问题情境 已知矩形的面积为 a(a 为常数,a>0),当该矩形的长为多少时,它的周长最小?最小 值是多少? 数 学 模 型 设 该 矩 形 的 长 为 x , 周 长 为 y , 则 y 与 x 的 函 数 关 系 式 为 2( )( 0)ay x xx   > . 探索研究 ⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验,先探索 函数 1 ( 0)y x xx   > 的图象性质. 1 填写下表,画出函数的图象: x …… 1 4 1 3 1 2 1 2 3 4 …… y …… …… ②观察图象,写出该函数两条不同类型的性质; ③在求二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值时, 除了通过观察图象,还可以通过配方得到.请你通过配方求 函数 1y x x   (x>0)的最小值. AB C D K E F O 2l 1l y x 解决问题⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题,直接写出答案. 16、2011 年初中毕业生学业考试(衢州卷) 已知两直线 1l , 2l 分别经过点 A(1,0),点 B )03( , , 并且当两直线同时相交于 y 正半轴的点 C 时,恰好有 21 ll  ,经过点 A、B、C 的抛物线的对称轴与直线 2l 交于点 K,如图所示。 (1)求点 C 的坐标,并求出抛物线的函数解析式; (2)抛物线的对称轴被直线 1l ,抛物线,直线 2l 和 x 轴依次截得三条线段,问这三条线 段有何数量关系?请说明理由。 (3)当直线 2l 绕点 C 旋转时,与抛物线的另一个交点为 M,请找出使△MCK 为等腰三 角形的点 M,简述理由,并写出点 M 的坐标。 17、(11 凉山州)如图,抛物线与 x 轴交于 A( 1x ,0)、B( 2x ,0)两点,且 1 2x x , 与 y 轴 交 于 点  0, 4C  , 其 中 1 2x x, 是 方 程 2 4 12 0x x   的两个根。 (1)求抛物线的解析式; (2)点 M 是线段 AB 上的一个动点,过点 M 作 MN ∥ BC ,交 AC 于点 N ,连接 CM ,当 CMN△ 的 面积最大时,求点 M 的坐标; (3)点  4,D k 在(1)中抛物线上,点 E 为抛物线 上 一 动 点 , 在 x 轴 上 是 否 存 在 点 F , 使 以 A D E F、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形,如果 存在,求出所有满足条件的点 F 的坐标,若不存在,请说明理由。 第 19 题图(1) A B M CFD N W P Q 第 19 题图(2) A B CD F M N WP Q 18、 (题满分 14 分)平面直角坐标系中,平行四边形 ABOC 如图放置,点 A、C 的坐 标分别为(0,3)、( 1 ,0),将此平行四边形绕点 0 顺时针旋转 90°,得到平行四边 形 ' ' 'A B OC 。 (1)若抛物线过点 C,A, A' ,求此抛物线的解析式; (2)求平行四边形 ABOC 和平行四边形 ' ' 'A B OC 重叠部分△ 'OC D 的周长; (3)点 M 是第一象限内抛物线上的一动点,间:点 M 在何处时△ AMA' 的面积最大?最 大面积是多少?并求出此时点 M 的坐标。 19(2011 年广东省如图(1),(2)所示,矩形 ABCD 的边长 AB=6,BC=4,点 F 在 DC 上,DF=2。动点 M、N 分别从点 D、B 同时出发,沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的 方向运动(点 M 可运动到 DA 的延长线上),当动点 N 运动到点 A 时,M、N 两点同 时停止运动。连接 FM、FN,当 F、N、M 不在同一直线时,可得△FMN,过△FMN 三边的中点作△PQW。设动点 M、N 的速度都是 1 个单位/秒,M、N 运动的时间为 x 秒。试解答下列问题: (1)说明△FMN∽△QWP; (2)设 0≤x≤4(即 M 从 D 到 A 运动的时间段)。试问 x 为何值时,△PQW 为直角三 角形?当 x 在何范围时,△PQW 不为直角三角形? (3)问当 x 为何值时,线段 MN 最短?求此时 MN 的值。 20、(2011 年桂林市)(本题满分 12 分)已知二次函数 21 3 4 2y x x   的图象如图. (1)求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标; (2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与 x 轴, y 轴的交点分别 为 A、B、C 三点,若∠ACB=90°,求此时抛物线的解析式; (3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为 M,以 AB 为直径,D 为圆心作⊙D,试判断 直线 CM 与⊙D 的位置关系,并说明理由. 21、(达州市 2011 年) (10 分)如图,已知抛物线与 x 轴交于 A(1,0),B( 3 ,0) 两点,与 y 轴交于点 C(0,3),抛物线的顶点为 P,连结 AC. (1)求此抛物线的解析式; (2)在抛物线上找一点 D,使得 DC 与 AC 垂直,且直线 DC 与 x 轴交于点 Q,求点 D 的坐标; (3)抛物线对称轴上是否存在一点 M,使得 S△MAP=2S△ACP,若存在,求出 M 点坐标;若 不存在,请说明理由. E G Q P O y x C BA 22、如图 1,把一个边长为 2 2 的正方形 ABCD 放在平面直角坐标系中,点 A 在坐标 原点,点 C 在 y 轴的正半轴上,经过 B、C、D 三点的抛物线 c1 交 x 轴于点 M、N(M 在 N 的左边). (1)求抛物线 c1 的解析式及点 M、N 的坐标; (2)如图 2,另一个边长为 2 2 的正方形 //// DCBA 的中心 G 在点 M 上, /B 、 /D 在 x 轴的负半轴上( /D 在 /B 的左边),点 /A 在第三象限,当点 G 沿着抛物线 c1 从点 M 移到点 N,正方形 //// DCBA 随之移动,移动中 // DB 始终与 x 轴平行. ①直接写出点 C’、D’移动路线形成的抛物线 C(C’)、C(D’)的函数关系式; ②如图3,当正方形 //// DCBA 第一次移动到与正方形ABCD 有一边在同一直线上时, 求点 G 的坐标. 23、(本题满分 12 分)如图,二次函数 21 22y x   与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,点 P 从 A 点出发,以 1 个单位每秒的速度向点 B 运动,点 Q 同时从 C 点 出发,以相同的速度向 y 轴正方向运动,运动时间为 t 秒,点 P 到达 B 点时,点 Q 同 时停止运动。设 PQ 交直线 AC 于点 G。 (1)求直线 AC 的解析式; (2)设△PQC 的面积为 S,求 S 关于 t 的函数解析式; (3)在 y 轴上找一点 M,使△MAC 和△MBC 都是等 腰三角形。直接写出所有满足条件的M 点的坐标; (4)过点 P 作 PE⊥AC,垂足为 E,当 P 点运动时, 线段 EG 的长度是否发生改变,请说明理由。 图 1 图 2 图 3 O QE P B C D A x y (第 22 题) 图 1 O 10 20 28 t S 图 2 24、.如图 1,正方形 ABCD 的顶点 A,B 的坐标分别为(0,10),(8,4),顶点 C,D 在第一象限.点 P 从点 A 出发,沿正方形按逆时针方 向运动,同时,点 Q 从点 E(4,0) 出发,沿 x 轴正方向以相同速度运动.当点 P 到达点 C 时,P,Q 两点同时停止运动.设 运动时间为 t(s). (1)求正方形 ABCD 的边长. (2)当点 P 在 AB 边上运动时,△OPQ 的面积 S(平方单位)与时间 t(s)之间的函数 图像为抛物线的一部分(如图 2 所示),求 P,Q 两点的运动速度. (3)求(2)中面积 S(平方单位)与时间 t(s)的函数解析式及面积 S 取最大值时点 P 的坐标. (4)若点 P,Q 保持( 2)中的速度不变,则点 P 沿着 AB 边运动时,∠OPQ 的大小随着 时间 t 的增大而增大;沿着 BC 边运动时,∠OPQ 的大小随着时间 t 的增大而减小.当点 P 沿着这两边运动时,能使∠OPQ=90°吗?若能,直接写出这样的点 P 的个数;若不 能,直接写不能. B O A C x y B O A C x y 25. 已知 ABC ,以 AC 为边在 ABC 外作等腰 ACD ,其中 AC AD 。 (1)如图 1,若 2DAC ABC   , AC BC ,四边形 ABCD 是平行四边形,则 ABC  ______; (2)如图 2,若 30ABC  , ACD 是等边三角形, 3AB  , 4BC  。求 BD 的长; (3)如图 3,若 ACD 为锐角,作 AH BC 于 H。当 2 2 24BD AH BC  时, 2DAC ABC   是否成立?若不 成立, 请说明 你的理 由 ; 若 成 立,证 明 你 的 结论。 27、 26.(本题满分 12 分)如图,Rt△AOB 中,∠A=90°,以 O 为坐标原点建立直角坐标 系,使点 A 在 x 轴正半轴上,OA=2,AB=8,点 C 为 AB 边的中点,抛物线的顶点是 原点 O,且经过 C 点. (1)填空:直线 OC 的解析式为 ; 抛物线的解析式为 ; (2) 现将该抛物线沿着线段 OC 移动,使其顶点 M 始终在线段 OC 上(包括端点 O、C),抛物线与 y 轴的交点为 D,与 AB 边的交点为 E; ①是否存在这样的点 D,使四边形 BDOC 为平行四边形?如存在,求出此时 抛物线的解析式;如不存在,说明理由; ②设△BOE 的面积为 S,求 S 的取值范围. A B C O 甲槽 乙槽 图 1 y(厘米) 19 14 12 2 O 4 6 B C D A E x(分钟) 图 2 27.(本题满分 12 分)等腰直角△ABC 和⊙O 如图放置,已知 AB=BC=1,∠ABC=90°, ⊙O 的半径为 1,圆心 O 与直线 AB 的距离为 5.现△ABC 以每秒 2 个单位的速度向右移 动,同时△ABC 的边长 AB、BC 又以每秒 0.5 个单位沿 BA、BC 方向增大. ⑴ 当△ABC 的边(BC 边除外)与圆第一次相切时,点 B 移动了多少距离? ⑵ 若在△ABC 移动的同时,⊙O 也以每秒 1 个单位的速度向右移动,则△ABC 从开始 移动,到它的边与圆最后一次相切,一共经过了多少时间? ⑶ 在⑵的条件下,是否存在某一时刻,△ABC 与⊙O 的公共部分等于⊙O 的面积?若 存在,求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间?若不存在,请说明理由. 28、(扬州市 2011 年) (本题满分 12 分)如图 1 是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示 意图,乙槽中有一圆柱形铁块立放其中(圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上).现 将甲槽的水匀速注入乙槽,甲、乙两个水槽中水的深度 y (厘米)与注水时间 x (分 钟)之间的关系如图 2 所示.根据图象提供的信息,解答下列问题: (1)图 2 中折线 ABC 表示________槽中水的深度与注水时间的关系,线段 DE 表示 _______槽中水的深度与注水时间之间的关系(以上两空选填“甲”或“乙”),点 B 的 纵坐标表示的实际意义是________________________________; (2)注水多长时间时,甲、乙两个水槽中水的深度相同? (3)若乙槽底面积为 36 平方厘米(壁厚不计),求乙槽中铁块的体积; (4)若乙槽中铁块的体积为 112 立方厘米,求甲槽底面积(壁厚不计).(直接写出结 果) 备用图 A B P N Q C M A B C N M 图 1 图 2(备用图) 29、(本题满分 12 分)在 ABC△ 中, 90BAC AB AC M  °, , 是 BC 边 的中点, MN BC⊥ 交 AC 于点 N .动点 P 从点 B 出发沿射线 BA 以每秒 3 厘 米的速度运动.同时,动点 Q 从点 N 出发沿射线 NC 运动,且始终保持 MQ MP⊥ . 设运动时间为 t 秒( 0t  ). (1) PBM△ 与 QNM△ 相似吗?以图1为例说明理由; (2)若 60 4 3ABC AB  °, 厘米. ①求动点Q 的运动速度; ②设 APQ△ 的面积为 S (平方厘米),求 S 与t 的函数关系式; (3)探求 2 2BP PQ CQ2、 、 三者之间的数量关系,以图1为例说明理由. 1、 答案:(9 分)证明:(1)如图(一),连接 , ∵ 为 ⊙ 的直径 ∴ ∴ 为⊙ 的直径 ∴ 在 上 又 , 为 的中点 ∴△ 是以 为底边的等腰三角形 ∴ (3 分) (2)如图(二),连接 ,并延长 交⊙ 与点 ,连 ∵四边形 内接于⊙ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又 为⊙ 的直径 ∴ ∴ (3 分) (3)如图(三),连接 ,并延长 交⊙ 与点 ,连 ∵ 又 ∴ ∴ 又 ∴ (3 分) 2、答案:解:(1)∵ ∴由题意得, (3 分) (2)根据抛物线和正三角形的对称性,可知 轴,设抛物线的对称 轴 与 交 于 点 , 则 。 设 ∴ 又 ∴ ∴ ∴ , ∴ 定值 (3 分) (3)令 ,即 时,有 由题意, 为完全平方数,令 即 ∵ 为整数, ∴ 的奇偶性相同 ∴ 或 解 得 或 综 合 得 3、解:本大题共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分) (1)解法一:连接 OC,∵OA 是⊙P 的直径,∴OC⊥AB, 在 Rt△AOC 中, ,1 分 在 Rt△AOC 和 Rt△ABO 中,∵∠CAO=∠OAB ∴Rt△AOC∽Rt△ABO, ∴ ,即 , ··3 分 ∴ , ∴ ···4 分 解法二:连接 OC,因为 OA 是⊙P 的直径, ∴∠ ACO=90° 在 Rt △ AOC 中 , AO=5 , AC=3 , ∴ OC=4, ······1 分 过 C 作 CE ⊥ OA 于 点 E , 则 : , 即 ,∴ ,·····2 分 ∴ ∴ 设经过 A、C 两点的直线解析式为: .把点 A(5,0)、 代入上式得: , 解得: , ∴ , ∴点 .·4 分 (2)点 O、P、C、D 四点在同一个圆上,理由如下:连接 CP、CD、DP, ∵OC⊥AB,D 为 OB 上的中点, ∴ ,∴∠3=∠4,又∵OP=CP,∴∠1=∠2,∴∠1+∠3= ∠2+∠4=90°, ∴PC ⊥CD,又∵DO⊥OP,∴Rt△PDO 和 Rt△PDC 是同以 PD 为斜边的直角 三角形, ∴PD 上的中点到点 O、P、C、D 四点的距离相等, ∴点 O、P、C、D 在以 DP 为直径的同一个圆上; 由上可知,经过点 O、P、 C、D 的圆心 是 DP 的中点,圆心 ,由(1)知:Rt△AOC ∽Rt△ABO,∴ ,求得: AB= ,在 Rt△ABO 中, ,OD= , ∴ ,点 在函数 的图象上,∴ , ∴ . 4、解:(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为 ,· 把点 A(0,4)代入上式得: , , ∴抛物线的对称轴是: . (2)由已知,可求得 P(6,4). · 提示:由题意可知以 A、O、M、P 为顶点的四边形有两条边 AO=4、OM=3, 又知点 P 的坐标中 ,所以,MP>2,AP>2;因此以 1、2、3、4 为边或 以 2、3、4、5 为边都不符合题意,所以四条边的长只能是 3、4、5、6 的 一种情况,在 Rt△AOM 中, ,因为 抛物线对称轴过点 M,所以在抛物线 的图象上有关于点 A 的对称点与 M 的距离为 5,即 PM=5,此时点 P 横坐标为 6,即 AP=6;故以 A、O、M、 P 为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数 3、4、5、6 成立, 即 P(6,4). (注:如果考生直接写出答案 P(6,4),给满分 2 分,但考生答案错 误,解答过程分析合理可酌情给 1 分) ⑶法一:在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N,使△NAC 面积最大. 设 N 点的横坐标为 ,此时点 N ( , 过点 N 作 NG∥ 轴交 AC 于 G;由点 A(0,4)和点 C(5,0)可求出直线 AC 的解析式为: ;把 代入得: ,则 G ,此时:NG= -( ), = . ∴ ∴当 时,△CAN 面积的最大值为 , 由 , 得 : , ∴N( , -3). 法二:提示:过点 N 作 轴的平行线交 轴于点 E,作 CF⊥EN 于点 F,则 (再设出点 N 的坐标,同样可求,余下过程略) 5、(1)由已知得:A(-1,0) B(4,5)----1 分 ∵二次函数 的图像经过点 A(-1,0)B(4,5) ∴ 解得:b=-2 c=-3 (2 如26题图:∵直线 AB 经过点 A(-1,0) B(4,5) ∴直线 AB 的解析式为:y=x+1 ∵二次函数 ∴设点 E(t, t+1),则 F(t, ) -∴EF= = ∴当 时,EF 的最大值= ∴点 E 的坐标为( , ) (3)①如26题图:顺次连接点 E、B、F、D 得四边形EBFD. 可求出点 F 的坐标( , ),点 D 的坐标为(1,-4) S = S + S = = ② 如 2 6 题 备 用 图 : ⅰ ) 过 点 E 作 a ⊥ EF 交 抛 物 线 于 点 P, 设 点 P(m, ) 则 有 : 解 得: , ∴ , ⅱ)过点 F 作 b⊥EF 交抛物线于 ,设 (n, ) 则有: 解得: , (与点 F 重合,舍去)∴ 综上所述:所有点 P 的坐标: , ( . 能使△EFP 组成以 EF 为直角边的直角三角形. --12 分 6、解:(1)点 P 在线段 AB 上,理由如下: ∵点 O 在⊙P 上,且∠AOB= 90° ∴AB 是⊙P 的直径 ∴点 P 在线段 AB 上. (2)过点 P 作 PP1⊥x 轴,PP2⊥y 轴,由题意可知 PP1、PP2 是△AOB 的中位线,故 S△AOB= OA×OB= ×2 PP1×PP2 ∵P 是反比例函数 y= (x>0)图象上的任意一点 ∴S△AOB= OA×OB= ×2 PP1×2PP2=2 PP1×PP2=12. (3)如图,连接 MN,则 MN 过点 Q,且 S△MON=S△AOB=12. ∴OA·OB =OM·ON ∴ ∵∠AON=∠MOB ∴△AON∽△MOB ∴∠ OAN=∠OMB ∴AN∥MB. 7、解:(1)∵四边形 ABCD 是正方形 ∴∠A=∠B=∠D=90°,AD=AB ∵QE⊥AB,MF⊥BC ∴∠AEQ=∠MFB=90°∴四边形 ABFM、AEQD 都是矩形 ∴MF=AB,QE=AD,MF⊥QE 又∵PQ⊥MN ∴∠EQP =∠FMN 又∵∠QEP=∠MFN=90° ∴△PEQ≌△NFM. (2)∵点 P 是边 AB 的中点,AB=2,DQ=AE=t ∴PA=1, PE=1-t,QE=2 由勾股定理,得 PQ= = ∵△PEQ≌△NFM ∴MN=PQ= 又∵ PQ⊥MN ∴ S = = = t2-t+ ∵0≤t≤2 ∴当 t=1 时,S 最小值=2. 综上:S= t2-t+ ,S 的最小值 为 2. 8、解:(1)在 Rt△ABC 中,由 AB=1,BC= 得 AC= = ∵ BC=CD,AE=AD ∴AE=AC-AD= . (2)∠EAG=36°,理由如下: ∵FA=FE=AB=1,AE= ∴ = ∴△FAE 是黄 金三角形 ∴∠F=36°,∠AEF=72° ∵AE=AG,FA=FE ∴∠FAE=∠FEA =∠AGE ∴△AEG∽△FEA ∴∠EAG=∠F=36°. 9、 答 案 : 10、(1)、△HAB △HGA; (2)、由△AGC∽△HAB,得 AC/HB=GC/AB,即 9/y=x/9,故 y=81/x (0