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- 2021-05-10 发布
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旋转的模型及例题
(一)夹半角模型
已知:正方形ABCD中,∠EAF=45°,求证:(1)BE+DF=EF;(2)△EFC周长等于2倍边长;
方法:将△ADF绕A点顺时针旋转90°,使得AD与AB重合,然后证△AEF≌△AEG;证得BE+DF=EF
例题:已知∠BAC=45°BD=4,CD=6,求△ABC的面积?
解析:将△ABD和△ADC分别关于AB、AC对称,构造夹半角模型
例题:如图1 ,正方形中,分别是边上的两点,且,
连结,请写出之间的熟练关系并证明;
如图2,中,,为上两点,且,请写出线段之间的数量关系,并证明;
(3) 如图3,在(1)中,若点在延长线上,在延长线上,其他条件不变,(1)中的结论变化吗?
(4) 如图4,在(2)中若点在的延长线上,其它条件不变,(2)中的结论还成立吗?请证明你的结论;
解析:都是通过旋转得来!
推广:一般的夹半角模型
条件:△ABC是等边三角形,BD=CD,∠BDC=120°∠MDN=60°
结论:BM+CN=MN △AMN的周长=2倍边长
条件:AB=AD,∠B+∠D=180°,2∠MAN=∠BAD
结论:BM+DN=MN
例题:边长为的等边的两边上分别有两点,点为平面内
一点,,.当点在线段上运动时,探索的周长与边长的关系.
⑴ 如图1,当点在外时,的周长是否发生变化?请证明你的结论.
⑵ 如图2,当点在内时,⑴中的结论是否成立?若成立,请求出此时的周长;若不成立,请说明理由.
⑶ 如图3,是满足的任意三角形,其中.是 与平分线的交点,分别在上,且.当点在线段上运动时,猜想的周长是否发生变化?若不变,请直接写出的周长(用表示,不需要化简);若变化,请说明理由.
(二)手拉手模型
等边三角形
结论:(1) △BCE≌△ACD,△BCM≌△CAN,
△MCE≌△NCD
(2)AD=BE,∠AFB=60°
(3)△MCN为等边三角形
(4)MN∥BD
(5)CF为∠BFD的角平分线
(6)FC+FE=FD
结论:(1) △BCE≌△ACD
(2) AD=BE,∠AFB=60°
(3) CF为∠BFD的角平分线
正方形中的旋转
结论:(1) △BGC≌△DEC
(2) BG=DE,BG⊥DE
结论:(1) △BGC≌△DEC
(2) BG=DE,BG⊥DE
例题:如图,已知四边形ABCD中,AD=CD,∠ABC=75°,∠ADC=60°,AB=2,BC=
(1) 以线段BD、AB、BC作为三角形的三边,
则这个三角形为___________三角形,(锐角、直角、钝角)
求BD边所对的角的度数。
(2) 求四边形ABCD的面积
.已知:,,以AB为一边作正方形ABCD,
使P、D两点落在直线AB的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD 的
最大值,及相应∠APB的大小.