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- 2021-05-10 发布
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初中数理部分:
类型一.有关概念的识别1.下面几个数:0.23 ,1.010010001…,,3π,,,其中,无理数的个数有( )
A、1 B、2 C、3 D、4
解析:本题主要考察对无理数概念的理解和应用,其中,1.010010001…,3π,是无理数
故选C
举一反三:
【变式1】下列说法中正确的是( )
A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数
【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念,
∵=9,9的平方根是±3,∴A正确.
∵1的立方根是1,=1,是5的平方根,∴B、C、D都不正确.
【变式2】如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是( )
A、1 B、1.4 C、 D、
【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系.∵正方形的边长为1,对角线为,由圆的定义知|AO|=,∴A表示数为,故选C.
【变式3】
【答案】∵π= 3.1415…,∴9<3π<10
因此3π-9>0,3π-10<0
∴
类型二.计算类型题
2.设,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
解析:(估算)因为,所以选B
举一反三:
【变式1】1)1.25的算术平方根是__________;平方根是__________.2) -27立方根是__________. 3)___________, ___________,___________.
【答案】1);.2)-3. 3), ,
【变式2】求下列各式中的
(1) (2) (3)
【答案】(1)(2)x=4或x=-2(3)x=-4
类型三.数形结合
3. 点A在数轴上表示的数为,点B在数轴上表示的数为,则A,B两点的距离为______
解析:在数轴上找到A、B两点,
举一反三:
【变式1】如图,数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数是( ).
A.-1 B.1- C.2- D.-2
【答案】选C
[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示:
化简
【答案】:
(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|
【变式1】化简:
5.已知:=0,求实数a, b的值。
分析:已知等式左边分母不能为0,只能有>0,则要求a+7>0,分子+|a2-49|=0,由非负数的和的性质知:3a-b=0且a2-49=0,由此得不等式组 从而求出a, b的值。
解:由题意得
由(2)得 a2=49 ∴a=±7
由(3)得 a>-7,∴a=-7不合题意舍去。
∴只取a=7
把a=7代入(1)得b=3a=21
∴a=7, b=21为所求。
举一反三:
【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0,求(x-y)3-z3的值。
解:∵(x-6)2++|y+2z|=0
且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,
几个非负数的和等于零,则必有每个加数都为0。
∴ 解这个方程组得
∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65
【变式2】已知那么a+b-c的值为___________
【答案】初中阶段的三个非负数: ,
a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2
∴只取x=15(cm)
答:新的正方形边长应取15cm。
举一反三:
【变式1】拼一拼,画一画: 请你用4个长为a,宽为b的矩形拼成一个大正方形,并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。(4个长方形拼图时不重叠)
(1)计算中间的小正方形的面积,聪明的你能发现什么?
(2)当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时,大正方形的面积就比小正方形的面积
多24cm2,求中间小正方形的边长.
解析:(1)如图,中间小正方形的边长是:
,所以面积为=
大正方形的面积=,
一个长方形的面积=。
所以,
答:中间的小正方形的面积,
发现的规律是:(或)
(2) 大正方形的边长:,小正方形的边长:
,即 ,
又 大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2
所以有,
化简得:
将代入,得:
cm
答:中间小正方形的边长2.5 cm。
易错题
7.判断下列说法是否正确
(1)的算术平方根是-3; (2)的平方根是±
15.
(3)当x=0或2时, (4)是分数
解析:(1)错在对算术平方根的理解有误,算术平方根是非负数.故
(2)表示225的算术平方根,即=15.实际上,本题是求15的平方根,
故的平方根是.
(3)注意到,当x=0时, =,显然此式无意义,
发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”,故x≠0,所以当x=2时,x=0.
(4)错在对实数的概念理解不清. 形如分数,但不是分数,它是无理数.
引申提高
8.(1)已知的整数部分为a,小数部分为b,求a2-b2的值.
(2)把下列无限循环小数化成分数:①②③
(1)分析:确定算术平方根的整数部分与小数部分,首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间,那么较小的整数即为算术平方根的整数部分,算术平方根减去整数部分的差即为小数部分.
解:由 得
的整数部分a=5, 的小数部分,
∴
(2)解:(1) 设x= ①
则 ②
②-①得
9x=6
∴ .
(2) 设 ①
则 ②
②-①,得
99x=23
∴ .
(3) 设 ①
则 ②
②-①,得
999x=107,
∴ .
一、选择题:
1.的算术平方根是 ( )
A.0.14 B.0.014 C. D.
2.的平方根是 ( )
A.-6 B.36 C.±6 D.±
3.下列计算或判断:①±3都是27的立方根;②;③的立方根是2;④,
其中正确的个数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.在下列各式中,正确的是 ( )
A.; B.; C.; D.
5.下列说法正确的是 ( )
A.有理数只是有限小数 B.无理数是无限小数 C.无限小数是无理数 D.是分数
6.下列说法错误的是 ( )
A. B. C.2的平方根是 D.
7.若,且,则的值为 ( )
A. B. C. D.
8.下列结论中正确的是 ( )
A.数轴上任一点都表示唯一的有理数; B.数轴上任一点都表示唯一的无理数;
C. 两个无理数之和一定是无理数; D. 数轴上任意两点之间还有无数个点
9.-27 的立方根与的平方根之和是 ( )
A.0 B.6 C.0或-6 D.-12或6
10.下列计算结果正确的是 ( )
A. B. C. D.
二.填空题:
11.下列各数:①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、
⑦0.3030003000003……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、⑧0中,其中是有理数的有
__________;无理数的有__________.(填序号)
12.的平方根是__________;0.216的立方根是__________.
13.算术平方根等于它本身的数是__________;立方根等于它本身的数是__________.
14. 的相反数是__________;绝对值等于的数是__________.
15.一个正方体的体积变为原来的27倍,则它的棱长变为原来的__________倍.
三、解答题:
16.计算或化简:
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
17.已知 ,且x是正数,求代数式的值。
18.观察右图,每个小正方形的边长均为1,
⑴图中阴影部分的面积是多少?边长是多少?
⑵估计边长的值在哪两个整数之间。
⑶把边长在数轴上表示出来。
参考答案:
一、选择题:
1、A 2、C 3、B 4、B 5、B 6、D 7、B 8、D 9、C 10、B
二.填空题:
11、①②⑤⑥⑧;③④⑦. 12、;0.6. 13、;. 14、; . 15、3.
三、解答题:
16、计算或化简:
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
17、解: 25x2=144
又∵x是正数
∴x=
∴
18、解:①图中阴影部分的面积17,边长是
②边长的值在4与5之间
③
2012全国中考真题解析梯形
2. (2011新疆乌鲁木齐,9,4)如图.梯形ABCD中,AD∥BC、AB=CD,AC丄BD于点O,∠BAC=60°,若BC=,则此梯形的面积为( )
A、2 B、1+ C、 D、2+
考点:等腰梯形的性质;垂线;三角形内角和定理;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理。
专题:计算题。
分析:过O作EF⊥AD交AD于E,交BC于F,根据等腰梯形的性质得出∠ABC=∠DCB,证△ABC≌△DCB,推出∠DBC=∠ACB,求出∠DBC=∠ACB=45°,根据直角三角形性质求出OF,根据勾股定理求出OB、OA,OE、AD,根据面积公式即可求出面积.
解答:解:过O作EF⊥AD交AD于E,交BC于F,
∵等腰梯形ABCD,AD∥BC,AB=CD,∴∠ABC=∠DCB,
∵BC=BC,∴△ABC≌△DCB,∴∠DBC=∠ACB,
∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°,∴∠DBC=∠ACB=45°,∴OB=OC,
∵OF⊥BC,∴OF=BF=CF=BC=,由勾股定理得:OB=,
∵∠BAC=60°,∴∠ABO=30°,由勾股定理得:OA=1,AB=2,
同法可求OD=OA=1,AD=,OE=,
S梯形ABCD=(AD+BC)•EF=×()×(+)=2+
故答案为:2+.
点评:本题主要考察对等腰梯形的性质,全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,垂线,勾股定理,直角三角形斜边上的中线性质等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.
3.(2011•贵港)如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,EF⊥AD于点F,AD=4,EF=5,则梯形ABCD的面积是( )
A、40 B、30
C、20 D、10
考点:梯形;全等三角形的判定与性质。
分析:
作延长DE交AB延长线上点G,过点G作GH⊥FE,交FE的延长线上于点H,然后将梯形ABCD的面积转化为梯形HGFA的面积,根据条件首先证明GE=ED,再证出GH=DF,进而得到GH+AF)的长,HF的长,即可得到答案.
解答:解:延长DE交AB延长线上点G,过点G作GH⊥FE,交FE的延长线上于点H,
∵CD∥BA,E是AB中点,
∴△CED≌△BGE,
∴GE=ED,即点E也是GD的中点,
∵∠GHF=∠DFH=90°,
∴CD∥HG,
∵点E也是GD的中点,
∴△GHE≌△DFE,
∴GH=DF,HE=EF=5,
∴GH+AF=AF+DF=AD=4,
∴梯形ABCD与梯形HGFC的面积相等,
∵S梯形HGFC=(GH+AF)•HF=×4×2×5=20,
∴S梯形ABCD=20.
故选:C.
点评:此题主要考查了全等三角形的判定与性质,梯形的面积公式,解决问题的关键是通过作辅助线,把梯形ABCD的面积转化为梯形HGFC的面积求解.
4. 从正五边形的五个顶点中,任取四个顶点连成四边形,对于事件,“这个四边形是等腰梯形”.下列推断正确的是( )
A、事件是不可能事件 B、事件是必然事件
C、事件发生的概率为 D、事件发生的概率为
【答案】B
【考点】正多边形和圆;三角形内角和定理;等腰三角形的性质;多边形内角与外角;等腰梯形的判定;随机事件;概率公式.
【专题】证明题.
【分析】连接BE,根据正五边形ABCDE的性质得到BC=DE=CD=AB=AE,根据多边形的内角和定理求出∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED=108°,根据等腰三角形的性质求出∠ABE=AEB=36°,求出∠CBE=72°,推出BE∥CD,得到四边形BCDE是等腰梯形,即可得出答案.
【解答】解:
连接BE,∵正五边形ABCDE,∴BC=DE=CD=AB=AE,
根据多边形的内角和定理得:∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED= =108°,
∴∠ABE=∠AEB=(180°-∠A)=36°,∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=72°,
∴∠C+∠CBE=180°,∴BE∥CD,
∴四边形BCDE是等腰梯形,即事件M是必然事件,故选B.
【点评】本题主要考查对正多边形与圆,三角形的内角和定理,等腰三角形的性质,等腰梯形的判定,必然事件,概率,随机事件,多边形的内角和定理等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.
5. (2011北京,4,4分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,若AD=1,BC=3,则的值为( )
A. B. C. D.
考点:相似三角形的判定与性质;梯形。
专题:证明题。
分析:根据梯形的性质容易证明△AOD∽△COB,然后利用相似三角形的性质即可得到AO:CO的值.
解答:解:∵四边形ABCD是梯形,
∴AD∥CB,
∴△AOD∽△COB,
∴,
∵AD=1,BC=3.
∴.
故选B.
点评:此题主要考查了梯形的性质,利用梯形的上下底平行得到三角形相似,然后用相似三角形的性质解决问题.
6. (2011江苏连云港,7,3分)如图,在正五边形ABCDE中,对角线AD,AC与EB分别交于点M,N.下列说法错误的是( )
A.四边形EDCN是菱形 B.四边形MNCD是等腰梯形
C.△AEM与△CBN相似 D.△AEN与△EDM全等
考点:相似三角形的判定;全等三角形的判定;菱形的判定;等腰梯形的判定。
分析:首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE,BE∥CD,AD∥BC,AC∥DE,AC=AD=BE,根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得A正确,根据等腰梯形的判定方法即可证得B正确,利用SSS即可判定D正确,利用排除法即可求得答案.
解答:解:∵在正五边形ABCDE中,
∴AB=BC=CD=DE=AE,BE∥CD,AD∥BC,AC∥DE,
∴四边形EDCN是平行四边形,
∴▱EDCN是菱形;故A正确;
同理:四边形BCDM是菱形,
∴CN=DE,DM=BC,
∴CN=DM,
∴四边形MNCD是等腰梯形,故B正确;
∴EN=ED=DM=AE=CN=BM=CD,
∵AN=AC﹣CN,EM=BE﹣BM,
∵BE=AC,
∴△AEN≌△EDM(SSS),故D正确.
故选C.
点评:此题考查了正五边形的性质,菱形的判定与性质,等腰梯形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识.此题综合性很强,注意数形结合思想的应用.
7. (2011,台湾省,32,5分)如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形,其中E在CD上,AD与GH相交于I点,且AD∥HE.若∠A=60°,且AB=7,DE=4,HE=5,则梯形HEDI的面积为何?( )
A、6 B、8
C、10﹣2 D、10+2
考点:梯形;菱形的性质。
专题:计算题。
分析:利用菱形和正方形的性质分别求得HE和ID、DE的长,利用梯形的面积计算方法算得梯形的面积即可.
解答:解:四边形ABCD为菱形且∠A=60°⇒∠ADE=180°﹣60°=120°,
又AD∥HE⇒∠DEH=180°﹣120°=60°,
作DM⊥HE于M点,则△DEM为30°﹣60°﹣90°的三角形,
又DE=4⇒EM=2,DM=2,
且四边形EFGH为正方形⇒∠H=∠I=90°,
即四边形IDMH为矩形⇒ID=HM=5﹣2=3,
梯形HEDI面积==8.
故选B.
点评:本题考查了梯形的面积的计算,解题的关键是正确的利用菱形和正方形的性质计算梯形的底和高.
8. (2011山东济南,11,3分)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,下列结论不一定正确的是( )
A.AC=BD B.∠OBC=∠OCB
C.S△AOB=S△DOC D.∠BCD=∠BDC
考点:等腰梯形的性质。
分析:由四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,根据等腰梯形的对角线相等,即可证得AC=BD,又由△ABC≌△DCB与△AOB≌△DOC,证得B与C正确,利用排除法即可求得答案.
解答:解:∵四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,
∴AB=CD,AC=BD,故A正确;
∵∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SAS),
∴∠OBC=∠OCB,故B正确;
∴∠ABO=∠DCO,
∵∠AOB=∠DOC,
∴△AOB≌△DOC(AAS),
∴S△AOB=S△DOC,故C正确.
利用排除法,即可得D错误.
故选D.
点评:此题考查了等腰梯形的性质与全等三角形的判定与性质.解此题的关键是注意数形结合思想的应用与排除法的应用.
11. (2011山东淄博7,3分)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=1,BD平分∠ABC,BD⊥CD,则AD+BC等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
考点:等腰梯形的性质。
分析:由AD∥BC,BD平分∠ABC,易证得△ABD是等腰三角形,即可求得AD=AB=1,又由四边形ABCD是等腰梯形,易证得∠C=2∠DBC,然后由BD⊥CD,根据直角三角形的两锐角互余,即可求得∠DBC=30°,则可求得BC的值,继而求得AD+BC的值.
解答:解:∵AD∥BC,AB=DC,
∴∠C=∠ABC,∠ADB=∠DBC,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠DBC,∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AD=AB=1,
∴∠C=2∠DBC,
∵BD⊥CD,
∴∠BDC=90°,
∴∠DBC+∠C=90°,
∴∠C=60°,∠DBC=30°,
∴BC=2CD=2×1=2,
∴AD+BC=1+2=3.
故选B.
12..(2011年四川省绵阳市,11,3分)已知等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD相交于O,∠ABD=30°,AC⊥BC,AB=8cm,则△COD的面积为( )
A、 cm2 B、cm2 C、cm2 D、cm2
考点:等腰梯形的性质.
专题:几何图形问题.
分析:由已知∠ABD=30°,可得∠CAB=30°,又因为AC⊥BC,根据直角三角形中30度所对的角是斜边的一半可求得BC,AC,的长;进而求出三角形ACB的面积,再求出三角形COB的面积,所以求出三角形AOB的面积,又因为AB∥CD所以△AOB∽△DOC,利用相似的性质:面积之比等于相似比的平方即可求出△COD的面积.
解答:解:
∵AC⊥BC,∠ABD=30°,
∴∠CAB=30°,
∵AB=8cm,
∴BC=4cm,AC=4 cm,
∴S△ABC= ×4×4 =8 cm,
∵梯形ABCD是等腰梯形,CD∥AB,
∴∠CAB=∠DCA=30°,
∵∠CAB=30°,
∴∠DAC=∠DCA=30°,
∴CD=AD=BC=4cm,
∴D0= ,
∴S△ADO= ××4= ,
∴S△AOB=S△ABC-S△ADO=
∵AB∥CD,
∴△AOB∽△DOC,
∴()2= ∴S△DOC=,
故选A.
点评:此题主要考查等腰梯形的性质:①等腰梯形是轴对称图形,它的对称轴是经过上下底的中点的直线;②等腰梯形同一底上的两个角相等;③等腰梯形两条对角线相等.
13. (2011•宜昌,12,3分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,点E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则下列结论一定正确的是( )
A、∠HGF=∠GHE B、∠GHE=∠HEF
C、∠HEF=∠EFG D、∠HGF=∠HEF
考点:等腰梯形的性质;三角形中位线定理;菱形的判定与性质。
专题:计算题。
分析:利用三角形中位线定理证明四边形HEFG是平行四边形,进而可以得到结论.
解答:解:连接BD,
∵E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴HE∥GE=BD,HE=GE=BD
∴四边形HEFG是平行四边形,
∴∠HGF=∠HEF,
故选D.
点评:本题考查了等腰梯形的性质及三角形的中位线定理,解题的关键是利用中位线定理证得四边形为平行四边形.5. (2011陕西,16,3分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,若AD=3,BC=7,则梯形ABCD面积的最大值 .
考点:梯形;等腰三角形的性质;平行四边形的判定与性质。
专题:计算题。
分析:过D作DE∥AC交BC的延长线于E,DH⊥BC于H,得到四边形ADEC是平行四边形,推出AC=DE,AD=CE=3,∠BFH=∠BDE=90°,求出BH=EH=DH=5,根据梯形的面积公式(AD+BC)•DH,即可求出答案.
解答:解:
过D作DE∥AC交BC的延长线于E,DH⊥BC于H,
∵DE∥AC,AD∥BC,
∴四边形ADEC是平行四边形,
∴AC=DE,AD=CE=3,∠BFH=∠BDE=90°,
∴BH=EH=(3+7)=5, DH=5,
∴梯形的面积的最大值是(AD+BC)•DH=×10×5=25,
故答案为:25.
点评:本题主要考查对梯形的性质,平行四边形的性质和判定,等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握,正确作辅助线把梯形转化成平行四边形和三角形是解此题的关键.
8. (2011湖北咸宁,15,3分)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,,,
,点E在AB边上,且CE平分,DE平分
,则点E到CD的距离为 .
考点:相似三角形的判定与性质;角平分线的性质;直角梯形。
分析:首先由过点E作EF⊥CD于F,过点D作DH⊥BC于H,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,即可得四边形ABHD是矩形,又由CE平分∠BCD,DE平分∠ADC,即可得AD=FD,BC=FC,即可求得CD的长,继而在Rt△DHC中求得DH的长,则可得点E到CD的距离.
解答:解:过点E作EF⊥CD于F,过点D作DH⊥BC于H,
∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴∠A=∠B=90°
∵CE平分∠BCD,DE平分∠ADC,
∴AE=EF,BE=EF,
∴EF=AE=BE=AB,
∴△ADE≌△FDE,△CEF≌△CEB,
∴DF=AD=2,CF=CB=4,
∴CD=6,
∵AB⊥BC,DH⊥BC,AD∥BC,
∴∠A=∠B=∠BHD=90°,
∴四边形ABHD是矩形,
∴DH=AB,BH=AD=2,
∴CH=BC﹣BH=2,
在Rt△DHC中,DH=4,
∴EF=2.
三、解答题
1. (2011江苏苏州,23,6分)如图,已知四边形ABCD是梯形,AD∥BC,∠A=90°,BC=BD,CE⊥BD,垂足为E.
(1)求证:△ABD≌ECB;
(2)若∠DBC=50°,求∠DCE的度数.
考点:直角梯形;全等三角形的判定与性质.
分析:(1)因为这两个三角形是直角三角形,BC=BD,因为AD∥BC,还能推出∠ADB=∠EBC,从而能证明:△ABD≌ECB.
(2)因为∠DBC=50°,BC=BD,可求出∠BDC的度数,进而求出∠DCE的度数.
解答:解:(1)∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠EBC.
∵CE⊥BD,∠A=90°,
∴∠A=∠CEB,
在△ABD和△ECB中,
∴△ABD≌△ECB;
(2)∵∠DBC=50°,BC=BD,
∴∠EDC=65°,
又∵CE⊥BD,
∴∠CED=90°,
∴∠DCB=90°-∠EDC=25°.
点评:本题考查了全等三角形的判定和性质,以及直角梯形的性质,直角梯形有两个角是直角,有一组对边平行.
4. (2011重庆市,24,10分) 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.
⑴ 求证:AD=AE;
⑵ 若AD=8,DC=4,求AB的长.
考点:直角梯形;全等三角形的判定与性质;勾股定理.
分析:(1)连接AC,证明△ADC与△AEC全等即可;
(2)设AB=x,然后用x表示出BE,利用勾股定理得到有关x的方程,解得即可.
答案:24.解:(1)连接AC
∵AB∥CD
∴∠ACD=∠BAC
∵AB=BC
∴∠ACB=∠BAC
∴∠ACD=∠ACB
∵AD⊥DC AE⊥BC
∴∠D=∠AEC=900
∵AC=AC
∴△ADC≌△AEC
∴AD=AE
(2)由(1)知:AD=AE ,DC=EC
设AB=x, 则BE=x-4 ,AE=8
在Rt△ABE中 ∠AEB=900
由勾股定理得:
解得:x=10
∴AB=10
点评:本题考查梯形,矩形、直角三角形的相关知识.解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线,把梯形分割为矩形和直角三角形,从而由矩形和直角三角形的性质来求解.
5. (2010重庆,24,10分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD.过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连接EG、AF.
(1)求EG的长;
(2)求证:CF=AB+AF.
A
B
E
G
C
D
F
24题图
考点:梯形;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理
分析:(1)根据BD⊥CD,∠DCB=45°,得到∠DBC=∠DCB,求出BD=CD=2,根据勾股定理求出BC=2,根据CE⊥BE,点G为BC的中点即可求出EG;
(2)在线段CF上截取CH=BA,连接DH,根据BD⊥CD,BE⊥CD,推出∠EBF=∠DCF,证出△ABD≌△HCD,得到AD=BD,∠ADB=∠HDC,根据AD∥BC,得到∠ADB=∠DBC=45°,推出∠ADB=∠HDB,证出△ADF≌△HDF,即可得到答案.
解答:(1)解:∵BD⊥CD,∠DCB=45°,
∴∠DBC=45°=∠DCB,∴BD=CD=2,在Rt△BDC中BC==2,∵CE⊥BE,点G为BC的中点,∴EG=BC=.
答:EG的长是.
(2)证明:在线段CF上截取CH=BA,连接DH,
A
B
E
G
C
D
F
24题答图
∵BD⊥CD,BE⊥CE,
∴∠EBF+∠EFB=90°,∠DFC+∠DCF=90°,
∵∠EFB=∠DFC,
∴∠EBF=∠DCF,
∵DB=CD,BA=CH,
∴△ABD≌△HCD,
∴AD=DH,∠ADB=∠HDC,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC=45°,
∴∠HDC=45°,∴∠HDB=∠BDC﹣∠HDC=45°,
∴∠ADB=∠HDB,
∵AD=HD,DF=DF,
∴△ADF≌△HDF,
∴AF=HF,
∴CF=CH+HF=AB+AF,
∴CF=AB+AF.
点评:本题主要考查对梯形,全等三角形的性质和判定,平行线的性质,直角三角形斜边上的中线,勾股定理等知识点的理解和掌握,综合运用性质进行推理是解此题的关键.
6.(2011•贺州)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=3CD,对角线AC、BD交于点O,中位线EF与AC、BD分别交于M、N两点,则图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的( )
A、 B、
C、 D、
考点:梯形中位线定理;三角形中位线定理。
分析:首先根据梯形的中位线定理,得到EF∥CD∥AB,再根据平行线等分线段定理,得到M,N分别是AD,BC的中点;然后根据三角形的中位线定理得到CD=2EM=2NF,最后根据梯形面积求法以及三角形面积公式求出,即可求得阴影部分的面积与梯形ABCD面积的面积比.
解答:解:过点D作DQ⊥AB,交EF于一点W,
∵EF是梯形的中位线,
∴EF∥CD∥AB,DW=WQ,
∴AM=CM,BN=DN.
∴EM=CD,NF=CD.
∴EM=NF,
∵AB=3CD,设CD=x,∴AB=3x,EF=2x,
∴MN=EF﹣(EM+FN)=x,
∴S△AME+S△BFN=×EM×WQ+×FN×WQ=(EM+FN)QW=x•QW,
S梯形ABFE=(EF+AB)×WQ=QW,
S△DOC+S△OMN=CD×DW=xQW,
S梯形FECD=(EF+CD)×DW=xQW,
∴梯形ABCD面积=xQW+xQW=4xQW,
图中阴影部分的面积=x•QW+xQW=xQW,
∴图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的:=.
故选:C.
11. (2011•南充,21,8分)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M是BC的中点.
(1)求证:△MDC是等边三角形;
(2)将△MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC(即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值.
考点:等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;旋转的性质。
专题:证明题;几何综合题。
分析:(1)过点D作DP⊥BC,于点P,过点A作AQ⊥BC于点Q,得到CP=BQ=AB,CP+BQ=AB,根据ADPQ是矩形,AD=PQ,推出BC=2AD,由点M是BC的中点,推出BM=CM=AD=AB=CD,根据等边三角形的判定即可得到答案;
(2)△AEF的周长存在最小值,理由是连接AM,由ABMD是菱形,得出△MAB,△MAD和△MC′D′是等边三角形,推出∠BME=∠AMF,证出△BME≌△AMF(ASA),得出BE=AF,ME=MF,推出△EMF是等边三角形,根据MF的最小值为点M到AD的距离,即EF的最小值是,即可求出△AEF的周长.
解答:(1)证明:过点D作DP⊥BC,于点P,过点A作AQ⊥BC于点Q,
∵∠C=∠B=60°
∴CP=BQ=AB,CP+BQ=AB,
又∵ADPQ是矩形,AD=PQ,
故BC=2AD,
由已知,点M是BC的中点,
BM=CM=AD=AB=CD,
即△MDC中,CM=CD,∠C=60°,
故△MDC是等边三角形.
(2)解:△AEF的周长存在最小值,理由如下:
连接AM,由(1)平行四边形ABMD是菱形,
△MAB,△MAD和△MC′D′是等边三角形,
∠BMA=∠BME+∠AME=60°,∠EMF=∠AMF+∠AME=60°,
∴∠BME=∠AMF,
在△BME与△AMF中,BM=AM,∠EBM=∠FAM=60°,
∴△BME≌△AMF(ASA),
∴BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB,
∵∠EMF=∠DMC=60°,故△EMF是等边三角形,EF=MF,
∵MF的最小值为点M到AD的距离,即EF的最小值是,
△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,
△AEF的周长的最小值为2+,
答:存在,△AEF的周长的最小值为2+.
12. (2011四川攀枝花,19)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD,∠B=60°,DE⊥AC于点E,已知该梯形的高为.
(1)求证:∠ACD=30°;
(2)DE的长度.
考点:等腰梯形的性质;解直角三角形。
分析:(1)利用梯形的两底平行和等腰三角形的性质可以得到AC平分∠DCB,从而得证;(2)利用30°的角所对的直角边是斜边的一半和DC的长即可求得DE的长.
解答:解:(1)∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA,
∵AB=CD=AD,
∴∠DAC=∠DCA,∠DCB=∠B=60°,
∴∠DCA=∠BCA,
∴∠ACD=30°;
(2)作DG⊥BC于G点,
∵∠B=60°,梯形的高为,
∴DC=DG÷sin∠DCG=÷=2,
∴DE=DC×sin∠ACD=2×=1.
∴DE的长为1.
点评:本题考查了等腰梯形的性质及解直角三角形的知识,解题的关键是正确的利用等腰梯形的性质.
13. (2011杭州,22,10分)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,对角线AC与BD相交于点O,线段OA,OB的中点分别为E,F.
(1)求证:△FOE≌△DOC;
(2)求sin∠OEF的值;
(3)若直线EF与线段AD,BC分别相交于点G,H,求的值.
考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;三角形中位线定理;直角梯形;锐角三角函数的定义.
专题:证明题;代数几何综合题.
分析:(1)由EF是△OAB的中位线,利用中位线定理,得EF∥AB,EF= AB,又CD∥AB,CD= AB,可得EF=CD,由平行线的性质可证△FOE≌△DOC;
(2)由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB,利用sin∠OEF=sin∠CAB=,由勾股定理得出AC与BC的关系,再求正弦值;
(3))由(1)可知AE=OE=OC,EF∥CD,则△AEG∽△ACD,利用相似比可得EG= CD,同理得FH= CD,又AB=2CD,代入中求值.
解答:解:(1)∵EF是△OAB的中位线,
∴EF∥AB,EF= AB,
而CD∥AB,CD=AB,
∴EF=CD,∠OEF=∠OCD,∠OFE=∠ODC,
∴△FOE≌△DOC
;
(2)∵在Rt△ABC中,AC= ,
∴sin∠OEF=sin∠CAB= ==;
(3)∵AE=OE=OC,EF∥CD,
∴△AEG∽△ACD,
∴,即EG= CD,
同理FH= CD,
∴.
点评:本题综合考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质,勾股定理,中位线定理,锐角三角函数定义的运用.关键是由全等、相似得出相关线段之间的位置关系,数量关系