中考数学总复习题 24页

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  • 2021-05-10 发布

中考数学总复习题

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初中数理部分: 类型一.有关概念的识别1.下面几个数:0.23 ,1.010010001…,,3π,,,其中,无理数的个数有( )   A、1    B、2    C、3    D、4   解析:本题主要考察对无理数概念的理解和应用,其中,1.010010001…,3π,是无理数   故选C   举一反三:   【变式1】下列说法中正确的是( )   A、的平方根是±3  B、1的立方根是±1  C、=±1  D、是5的平方根的相反数   【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念,       ∵=9,9的平方根是±3,∴A正确.       ∵1的立方根是1,=1,是5的平方根,∴B、C、D都不正确.   【变式2】如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是( )                     A、1    B、1.4    C、    D、   【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系.∵正方形的边长为1,对角线为,由圆的定义知|AO|=,∴A表示数为,故选C.   【变式3】   【答案】∵π= 3.1415…,∴9<3π<10       因此3π-9>0,3π-10<0       ∴ 类型二.计算类型题   2.设,则下列结论正确的是( )   A.       B.   C.       D. ‎ ‎   解析:(估算)因为,所以选B   举一反三:   【变式1】1)1.25的算术平方根是__________;平方根是__________.2) -27立方根是__________. 3)___________, ___________,___________.   【答案】1);.2)-3. 3), ,   【变式2】求下列各式中的   (1)    (2)    (3)   【答案】(1)(2)x=4或x=-2(3)x=-4 类型三.数形结合   3. 点A在数轴上表示的数为,点B在数轴上表示的数为,则A,B两点的距离为______   解析:在数轴上找到A、B两点,   举一反三:   【变式1】如图,数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数是( ).                    A.-1 B.1- C.2- D.-2   【答案】选C   [变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示:                    化简   【答案】:                  (5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|       【变式1】化简:‎ ‎     5.已知:=0,求实数a, b的值。   分析:已知等式左边分母不能为0,只能有>0,则要求a+7>0,分子+|a2-49|=0,由非负数的和的性质知:‎3a-b=0且a2-49=0,由此得不等式组 从而求出a, b的值。   解:由题意得     由(2)得 a2=49 ∴a=±7     由(3)得 a>-7,∴a=-7不合题意舍去。     ∴只取a=7     把a=7代入(1)得b=‎3a=21     ∴a=7, b=21为所求。   举一反三:   【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0,求(x-y)3-z3的值。   解:∵(x-6)2++|y+2z|=0     且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,     几个非负数的和等于零,则必有每个加数都为0。     ∴ 解这个方程组得     ∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65   【变式2】已知那么a+b-c的值为___________   【答案】初中阶段的三个非负数: ,       a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2      ∴只取x=15(cm)   答:新的正方形边长应取‎15cm。   举一反三:   【变式1】拼一拼,画一画: 请你用4个长为a,宽为b的矩形拼成一个大正方形,并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。(4个长方形拼图时不重叠)                   ‎ ‎   (1)计算中间的小正方形的面积,聪明的你能发现什么?   (2)当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多‎3cm时,大正方形的面积就比小正方形的面积      多‎24cm2,求中间小正方形的边长.                       解析:(1)如图,中间小正方形的边长是:         ,所以面积为=         大正方形的面积=,         一个长方形的面积=。         所以,                        答:中间的小正方形的面积,          发现的规律是:(或)      (2) 大正方形的边长:,小正方形的边长:        ,即 ,        又 大正方形的面积比小正方形的面积多‎24 cm2        所以有,        化简得:        将代入,得:        cm        答:中间小正方形的边长‎2.5 cm。‎ 易错题   7.判断下列说法是否正确   (1)的算术平方根是-3;   (2)的平方根是±‎ ‎15.   (3)当x=0或2时,   (4)是分数   解析:(1)错在对算术平方根的理解有误,算术平方根是非负数.故       (2)表示225的算术平方根,即=15.实际上,本题是求15的平方根,         故的平方根是.      (3)注意到,当x=0时, =,显然此式无意义,         发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”,故x≠0,所以当x=2时,x=0.      (4)错在对实数的概念理解不清. 形如分数,但不是分数,它是无理数. 引申提高   8.(1)已知的整数部分为a,小数部分为b,求a2-b2的值.       (2)把下列无限循环小数化成分数:①②③   (1)分析:确定算术平方根的整数部分与小数部分,首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间,那么较小的整数即为算术平方根的整数部分,算术平方根减去整数部分的差即为小数部分.   解:由 得       的整数部分a=5, 的小数部分,     ∴                (2)解:(1) 设x= ①          则 ②          ②-①得          9x=6          ∴ .        (2) 设 ①          则 ②‎ ‎          ②-①,得          99x=23          ∴ .        (3) 设 ①          则 ②          ②-①,得          999x=107,          ∴ .‎ ‎  一、选择题:   1.的算术平方根是 ( )   A.0.14    B.0.014    C.    D.   2.的平方根是 ( )   A.-6    B.36    C.±6    D.±   3.下列计算或判断:①±3都是27的立方根;②;③的立方根是2;④,     其中正确的个数有 ( )   A.1个    B.2个    C.3个    D.4个   4.在下列各式中,正确的是 ( )   A.;   B.;   C.;   D.   5.下列说法正确的是 ( )   A.有理数只是有限小数   B.无理数是无限小数   C.无限小数是无理数   D.是分数   6.下列说法错误的是 ( )   A.  B.  C.2的平方根是  D.   7.若,且,则的值为 ( )   A.    B.    C.    D.‎ ‎   8.下列结论中正确的是 ( )   A.数轴上任一点都表示唯一的有理数;    B.数轴上任一点都表示唯一的无理数;   C. 两个无理数之和一定是无理数;      D. 数轴上任意两点之间还有无数个点   9.-27 的立方根与的平方根之和是 ( )   A.0    B.6    C.0或-6    D.-12或6   10.下列计算结果正确的是 ( )   A.    B.    C.    D.   二.填空题:   11.下列各数:①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、     ⑦0.3030003000003……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、⑧0中,其中是有理数的有     __________;无理数的有__________.(填序号)   12.的平方根是__________;0.216的立方根是__________.   13.算术平方根等于它本身的数是__________;立方根等于它本身的数是__________.   14. 的相反数是__________;绝对值等于的数是__________.   15.一个正方体的体积变为原来的27倍,则它的棱长变为原来的__________倍.   三、解答题:   16.计算或化简:   (1)      (2)      (3)   (4)     (5)   (6)   17.已知 ,且x是正数,求代数式的值。   18.观察右图,每个小正方形的边长均为1,‎ ‎⑴图中阴影部分的面积是多少?边长是多少?   ⑵估计边长的值在哪两个整数之间。   ⑶把边长在数轴上表示出来。‎ ‎ 参考答案:   一、选择题:   1、A 2、C 3、B 4、B 5、B 6、D 7、B 8、D 9、C 10、B   二.填空题:   11、①②⑤⑥⑧;③④⑦. 12、;‎0.6. 13‎、;. 14、; . 15、3.   三、解答题:   16、计算或化简:   (1) (2) (3) (4) (5) (6)   17、解: 25x2=144        又∵x是正数        ∴x=        ∴   18、解:①图中阴影部分的面积17,边长是       ②边长的值在4与5之间       ③‎ ‎2012全国中考真题解析梯形 ‎2. (2011新疆乌鲁木齐,9,4)如图.梯形ABCD中,AD∥BC、AB=CD,AC丄BD于点O,∠BAC=60°,若BC=,则此梯形的面积为(  )‎ ‎ A、2 B、1+ C、 D、2+ 考点:等腰梯形的性质;垂线;三角形内角和定理;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理。‎ 专题:计算题。‎ 分析:过O作EF⊥AD交AD于E,交BC于F,根据等腰梯形的性质得出∠ABC=∠DCB,证△ABC≌△DCB,推出∠DBC=∠ACB,求出∠DBC=∠ACB=45°,根据直角三角形性质求出OF,根据勾股定理求出OB、OA,OE、AD,根据面积公式即可求出面积.‎ 解答:解:过O作EF⊥AD交AD于E,交BC于F,‎ ‎∵等腰梯形ABCD,AD∥BC,AB=CD,∴∠ABC=∠DCB,‎ ‎∵BC=BC,∴△ABC≌△DCB,∴∠DBC=∠ACB,‎ ‎∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°,∴∠DBC=∠ACB=45°,∴OB=OC,‎ ‎∵OF⊥BC,∴OF=BF=CF=BC=,由勾股定理得:OB=,‎ ‎∵∠BAC=60°,∴∠ABO=30°,由勾股定理得:OA=1,AB=2,‎ 同法可求OD=OA=1,AD=,OE=,‎ S梯形ABCD=(AD+BC)•EF=×()×(+)=2+‎ 故答案为:2+.‎ 点评:本题主要考察对等腰梯形的性质,全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,垂线,勾股定理,直角三角形斜边上的中线性质等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.‎ ‎ 3.(2011•贵港)如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,EF⊥AD于点F,AD=4,EF=5,则梯形ABCD的面积是(  )‎ ‎ A、40 B、30‎ ‎ C、20 D、10‎ 考点:梯形;全等三角形的判定与性质。‎ 分析:‎ 作延长DE交AB延长线上点G,过点G作GH⊥FE,交FE的延长线上于点H,然后将梯形ABCD的面积转化为梯形HGFA的面积,根据条件首先证明GE=ED,再证出GH=DF,进而得到GH+AF)的长,HF的长,即可得到答案.‎ 解答:解:延长DE交AB延长线上点G,过点G作GH⊥FE,交FE的延长线上于点H,‎ ‎∵CD∥BA,E是AB中点,‎ ‎∴△CED≌△BGE,‎ ‎∴GE=ED,即点E也是GD的中点,‎ ‎∵∠GHF=∠DFH=90°,‎ ‎∴CD∥HG,‎ ‎∵点E也是GD的中点,‎ ‎∴△GHE≌△DFE,‎ ‎∴GH=DF,HE=EF=5,‎ ‎∴GH+AF=AF+DF=AD=4,‎ ‎∴梯形ABCD与梯形HGFC的面积相等,‎ ‎∵S梯形HGFC=(GH+AF)•HF=×4×2×5=20,‎ ‎∴S梯形ABCD=20.‎ 故选:C.‎ 点评:此题主要考查了全等三角形的判定与性质,梯形的面积公式,解决问题的关键是通过作辅助线,把梯形ABCD的面积转化为梯形HGFC的面积求解.‎ ‎ 4. 从正五边形的五个顶点中,任取四个顶点连成四边形,对于事件,“这个四边形是等腰梯形”.下列推断正确的是(  )‎ A、事件是不可能事件 B、事件是必然事件 ‎ ‎ C、事件发生的概率为 D、事件发生的概率为 ‎ ‎【答案】B ‎【考点】正多边形和圆;三角形内角和定理;等腰三角形的性质;多边形内角与外角;等腰梯形的判定;随机事件;概率公式.‎ ‎【专题】证明题.‎ ‎【分析】连接BE,根据正五边形ABCDE的性质得到BC=DE=CD=AB=AE,根据多边形的内角和定理求出∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED=108°,根据等腰三角形的性质求出∠ABE=AEB=36°,求出∠CBE=72°,推出BE∥CD,得到四边形BCDE是等腰梯形,即可得出答案.‎ ‎【解答】解: 连接BE,∵正五边形ABCDE,∴BC=DE=CD=AB=AE, 根据多边形的内角和定理得:∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED= =108°, ∴∠ABE=∠AEB=(180°-∠A)=36°,∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=72°, ∴∠C+∠CBE=180°,∴BE∥CD, ∴四边形BCDE是等腰梯形,即事件M是必然事件,故选B.‎ ‎【点评】本题主要考查对正多边形与圆,三角形的内角和定理,等腰三角形的性质,等腰梯形的判定,必然事件,概率,随机事件,多边形的内角和定理等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.‎ ‎ 5. (2011北京,4,4分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,若AD=1,BC=3,则的值为(  )‎ ‎ A. B. C. D. 考点:相似三角形的判定与性质;梯形。‎ 专题:证明题。‎ 分析:根据梯形的性质容易证明△AOD∽△COB,然后利用相似三角形的性质即可得到AO:CO的值.‎ 解答:解:∵四边形ABCD是梯形,‎ ‎∴AD∥CB,‎ ‎∴△AOD∽△COB,‎ ‎∴,‎ ‎∵AD=1,BC=3.‎ ‎∴.‎ 故选B.‎ 点评:此题主要考查了梯形的性质,利用梯形的上下底平行得到三角形相似,然后用相似三角形的性质解决问题.‎ ‎6. (2011江苏连云港,7,3分)如图,在正五边形ABCDE中,对角线AD,AC与EB分别交于点M,N.下列说法错误的是( )‎ A.四边形EDCN是菱形 B.四边形MNCD是等腰梯形 ‎ C.△AEM与△CBN相似 D.△AEN与△EDM全等 ‎ ‎ 考点:相似三角形的判定;全等三角形的判定;菱形的判定;等腰梯形的判定。‎ 分析:首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE,BE∥CD,AD∥BC,AC∥DE,AC=AD=BE,根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得A正确,根据等腰梯形的判定方法即可证得B正确,利用SSS即可判定D正确,利用排除法即可求得答案.‎ 解答:解:∵在正五边形ABCDE中,‎ ‎∴AB=BC=CD=DE=AE,BE∥CD,AD∥BC,AC∥DE,‎ ‎∴四边形EDCN是平行四边形,‎ ‎∴▱EDCN是菱形;故A正确;‎ 同理:四边形BCDM是菱形,‎ ‎∴CN=DE,DM=BC,‎ ‎∴CN=DM,‎ ‎∴四边形MNCD是等腰梯形,故B正确;‎ ‎∴EN=ED=DM=AE=CN=BM=CD,‎ ‎∵AN=AC﹣CN,EM=BE﹣BM,‎ ‎∵BE=AC,‎ ‎∴△AEN≌△EDM(SSS),故D正确.‎ 故选C.‎ 点评:此题考查了正五边形的性质,菱形的判定与性质,等腰梯形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识.此题综合性很强,注意数形结合思想的应用.‎ ‎7. (2011,台湾省,32,5分)如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形,其中E在CD上,AD与GH相交于I点,且AD∥HE.若∠A=60°,且AB=7,DE=4,HE=5,则梯形HEDI的面积为何?(  )‎ ‎ A、6 B、8 ‎ C、10﹣2 D、10+2 考点:梯形;菱形的性质。‎ 专题:计算题。‎ 分析:利用菱形和正方形的性质分别求得HE和ID、DE的长,利用梯形的面积计算方法算得梯形的面积即可.‎ 解答:解:四边形ABCD为菱形且∠A=60°⇒∠ADE=180°﹣60°=120°,‎ 又AD∥HE⇒∠DEH=180°﹣120°=60°,‎ 作DM⊥HE于M点,则△DEM为30°﹣60°﹣90°的三角形,‎ 又DE=4⇒EM=2,DM=2,‎ 且四边形EFGH为正方形⇒∠H=∠I=90°,‎ 即四边形IDMH为矩形⇒ID=HM=5﹣2=3,‎ 梯形HEDI面积==8.‎ 故选B.‎ 点评:本题考查了梯形的面积的计算,解题的关键是正确的利用菱形和正方形的性质计算梯形的底和高.‎ ‎8. (2011山东济南,11,3分)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,下列结论不一定正确的是( )‎ A.AC=BD B.∠OBC=∠OCB ‎ C.S△AOB=S△DOC D.∠BCD=∠BDC 考点:等腰梯形的性质。‎ 分析:由四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,根据等腰梯形的对角线相等,即可证得AC=BD,又由△ABC≌△DCB与△AOB≌△DOC,证得B与C正确,利用排除法即可求得答案.‎ 解答:解:∵四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,‎ ‎∴AB=CD,AC=BD,故A正确;‎ ‎∵∠ABC=∠DCB,BC=CB,‎ ‎∴△ABC≌△DCB(SAS),‎ ‎∴∠OBC=∠OCB,故B正确;‎ ‎∴∠ABO=∠DCO,‎ ‎∵∠AOB=∠DOC,‎ ‎∴△AOB≌△DOC(AAS),‎ ‎∴S△AOB=S△DOC,故C正确.‎ 利用排除法,即可得D错误.‎ 故选D.‎ 点评:此题考查了等腰梯形的性质与全等三角形的判定与性质.解此题的关键是注意数形结合思想的应用与排除法的应用.‎ ‎11. (2011山东淄博7,3分)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=1,BD平分∠ABC,BD⊥CD,则AD+BC等于(  )‎ ‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 考点:等腰梯形的性质。‎ 分析:由AD∥BC,BD平分∠ABC,易证得△ABD是等腰三角形,即可求得AD=AB=1,又由四边形ABCD是等腰梯形,易证得∠C=2∠DBC,然后由BD⊥CD,根据直角三角形的两锐角互余,即可求得∠DBC=30°,则可求得BC的值,继而求得AD+BC的值.‎ 解答:解:∵AD∥BC,AB=DC,‎ ‎∴∠C=∠ABC,∠ADB=∠DBC,‎ ‎∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABC=2∠DBC,∠ABD=∠DBC,‎ ‎∴∠ABD=∠ADB,‎ ‎∴AD=AB=1,‎ ‎∴∠C=2∠DBC,‎ ‎∵BD⊥CD,‎ ‎∴∠BDC=90°,‎ ‎∴∠DBC+∠C=90°,‎ ‎∴∠C=60°,∠DBC=30°,‎ ‎∴BC=2CD=2×1=2,‎ ‎∴AD+BC=1+2=3.‎ 故选B.‎ ‎12..(2011年四川省绵阳市,11,3分)已知等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD相交于O,∠ABD=30°,AC⊥BC,AB=8cm,则△COD的面积为(  )‎ A、 cm2 B、cm2 C、cm2 D、cm2‎ 考点:等腰梯形的性质.‎ 专题:几何图形问题.‎ 分析:由已知∠ABD=30°,可得∠CAB=30°,又因为AC⊥BC,根据直角三角形中30度所对的角是斜边的一半可求得BC,AC,的长;进而求出三角形ACB的面积,再求出三角形COB的面积,所以求出三角形AOB的面积,又因为AB∥CD所以△AOB∽△DOC,利用相似的性质:面积之比等于相似比的平方即可求出△COD的面积.‎ 解答:解: ∵AC⊥BC,∠ABD=30°, ∴∠CAB=30°, ∵AB=8cm, ∴BC=4cm,AC=4 cm, ∴S△ABC= ×4×4 =8 cm, ∵梯形ABCD是等腰梯形,CD∥AB, ∴∠CAB=∠DCA=30°, ∵∠CAB=30°, ∴∠DAC=∠DCA=30°, ∴CD=AD=BC=4cm, ∴D0= , ∴S△ADO= ××4= , ∴S△AOB=S△ABC-S△ADO= ∵AB∥CD, ∴△AOB∽△DOC, ∴()2= ∴S△DOC=, 故选A.‎ 点评:此题主要考查等腰梯形的性质:①等腰梯形是轴对称图形,它的对称轴是经过上下底的中点的直线;②等腰梯形同一底上的两个角相等;③等腰梯形两条对角线相等.‎ ‎13. (2011•宜昌,12,3分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,点E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则下列结论一定正确的是(  )‎ ‎ A、∠HGF=∠GHE B、∠GHE=∠HEF ‎ C、∠HEF=∠EFG D、∠HGF=∠HEF 考点:等腰梯形的性质;三角形中位线定理;菱形的判定与性质。‎ 专题:计算题。‎ 分析:利用三角形中位线定理证明四边形HEFG是平行四边形,进而可以得到结论.‎ 解答:解:连接BD,‎ ‎∵E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA的中点,‎ ‎∴HE∥GE=BD,HE=GE=BD ‎∴四边形HEFG是平行四边形,‎ ‎∴∠HGF=∠HEF,‎ 故选D.‎ 点评:本题考查了等腰梯形的性质及三角形的中位线定理,解题的关键是利用中位线定理证得四边形为平行四边形.5. (2011陕西,16,3分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,若AD=3,BC=7,则梯形ABCD面积的最大值 .‎ 考点:梯形;等腰三角形的性质;平行四边形的判定与性质。‎ 专题:计算题。‎ 分析:过D作DE∥AC交BC的延长线于E,DH⊥BC于H,得到四边形ADEC是平行四边形,推出AC=DE,AD=CE=3,∠BFH=∠BDE=90°,求出BH=EH=DH=5,根据梯形的面积公式(AD+BC)•DH,即可求出答案.‎ 解答:解:‎ 过D作DE∥AC交BC的延长线于E,DH⊥BC于H,‎ ‎∵DE∥AC,AD∥BC,‎ ‎∴四边形ADEC是平行四边形,‎ ‎∴AC=DE,AD=CE=3,∠BFH=∠BDE=90°,‎ ‎∴BH=EH=(3+7)=5, DH=5,‎ ‎∴梯形的面积的最大值是(AD+BC)•DH=×10×5=25,‎ 故答案为:25.‎ 点评:本题主要考查对梯形的性质,平行四边形的性质和判定,等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握,正确作辅助线把梯形转化成平行四边形和三角形是解此题的关键.‎ ‎8. (2011湖北咸宁,15,3分)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,,,‎ ‎,点E在AB边上,且CE平分,DE平分 ‎,则点E到CD的距离为 .‎ 考点:相似三角形的判定与性质;角平分线的性质;直角梯形。‎ 分析:首先由过点E作EF⊥CD于F,过点D作DH⊥BC于H,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,即可得四边形ABHD是矩形,又由CE平分∠BCD,DE平分∠ADC,即可得AD=FD,BC=FC,即可求得CD的长,继而在Rt△DHC中求得DH的长,则可得点E到CD的距离.‎ 解答:解:过点E作EF⊥CD于F,过点D作DH⊥BC于H,‎ ‎∵AD∥BC,AB⊥BC,‎ ‎∴∠A=∠B=90°‎ ‎∵CE平分∠BCD,DE平分∠ADC,‎ ‎∴AE=EF,BE=EF,‎ ‎∴EF=AE=BE=AB,‎ ‎∴△ADE≌△FDE,△CEF≌△CEB,‎ ‎∴DF=AD=2,CF=CB=4,‎ ‎∴CD=6,‎ ‎∵AB⊥BC,DH⊥BC,AD∥BC,‎ ‎∴∠A=∠B=∠BHD=90°,‎ ‎∴四边形ABHD是矩形,‎ ‎∴DH=AB,BH=AD=2,‎ ‎∴CH=BC﹣BH=2,‎ 在Rt△DHC中,DH=4,‎ ‎∴EF=2.‎ 三、解答题 ‎1. (2011江苏苏州,23,6分)如图,已知四边形ABCD是梯形,AD∥BC,∠A=90°,BC=BD,CE⊥BD,垂足为E. (1)求证:△ABD≌ECB; (2)若∠DBC=50°,求∠DCE的度数.‎ 考点:直角梯形;全等三角形的判定与性质.‎ 分析:(1)因为这两个三角形是直角三角形,BC=BD,因为AD∥BC,还能推出∠ADB=∠EBC,从而能证明:△ABD≌ECB. (2)因为∠DBC=50°,BC=BD,可求出∠BDC的度数,进而求出∠DCE的度数.‎ 解答:解:(1)∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠EBC. ‎ ‎∵CE⊥BD,∠A=90°, ∴∠A=∠CEB,‎ ‎ 在△ABD和△ECB中, ∴△ABD≌△ECB; (2)∵∠DBC=50°,BC=BD, ∴∠EDC=65°, 又∵CE⊥BD, ∴∠CED=90°, ∴∠DCB=90°-∠EDC=25°.‎ 点评:本题考查了全等三角形的判定和性质,以及直角梯形的性质,直角梯形有两个角是直角,有一组对边平行.‎ ‎4. (2011重庆市,24,10分) 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.‎ ‎⑴ 求证:AD=AE;‎ ‎⑵ 若AD=8,DC=4,求AB的长.‎ 考点:直角梯形;全等三角形的判定与性质;勾股定理.‎ 分析:(1)连接AC,证明△ADC与△AEC全等即可; (2)设AB=x,然后用x表示出BE,利用勾股定理得到有关x的方程,解得即可.‎ 答案:24.解:(1)连接AC ‎ ‎∵AB∥CD ‎∴∠ACD=∠BAC ‎∵AB=BC ‎∴∠ACB=∠BAC ‎∴∠ACD=∠ACB ‎ ‎∵AD⊥DC AE⊥BC ‎∴∠D=∠AEC=900 ‎ ‎∵AC=AC ‎ ‎∴△ADC≌△AEC ‎ ‎∴AD=AE ‎ ‎(2)由(1)知:AD=AE ,DC=EC 设AB=x, 则BE=x-4 ,AE=8 ‎ 在Rt△ABE中 ∠AEB=900‎ 由勾股定理得: ‎ 解得:x=10‎ ‎∴AB=10 ‎ 点评:本题考查梯形,矩形、直角三角形的相关知识.解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线,把梯形分割为矩形和直角三角形,从而由矩形和直角三角形的性质来求解.‎ ‎5. (2010重庆,24,10分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD.过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连接EG、AF.‎ ‎(1)求EG的长;‎ ‎(2)求证:CF=AB+AF.‎ A B E G C D F ‎24题图 考点:梯形;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理 分析:(1)根据BD⊥CD,∠DCB=45°,得到∠DBC=∠DCB,求出BD=CD=2,根据勾股定理求出BC=2,根据CE⊥BE,点G为BC的中点即可求出EG;‎ ‎(2)在线段CF上截取CH=BA,连接DH,根据BD⊥CD,BE⊥CD,推出∠EBF=∠DCF,证出△ABD≌△HCD,得到AD=BD,∠ADB=∠HDC,根据AD∥BC,得到∠ADB=∠DBC=45°,推出∠ADB=∠HDB,证出△ADF≌△HDF,即可得到答案.‎ 解答:(1)解:∵BD⊥CD,∠DCB=45°,‎ ‎∴∠DBC=45°=∠DCB,∴BD=CD=2,在Rt△BDC中BC==2,∵CE⊥BE,点G为BC的中点,∴EG=BC=.‎ 答:EG的长是.‎ ‎(2)证明:在线段CF上截取CH=BA,连接DH,‎ A B E G C D F ‎24题答图 ‎∵BD⊥CD,BE⊥CE,‎ ‎∴∠EBF+∠EFB=90°,∠DFC+∠DCF=90°,‎ ‎∵∠EFB=∠DFC,‎ ‎∴∠EBF=∠DCF,‎ ‎∵DB=CD,BA=CH,‎ ‎∴△ABD≌△HCD,‎ ‎∴AD=DH,∠ADB=∠HDC,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠ADB=∠DBC=45°,‎ ‎∴∠HDC=45°,∴∠HDB=∠BDC﹣∠HDC=45°,‎ ‎∴∠ADB=∠HDB,‎ ‎∵AD=HD,DF=DF,‎ ‎∴△ADF≌△HDF,‎ ‎∴AF=HF,‎ ‎∴CF=CH+HF=AB+AF,‎ ‎∴CF=AB+AF.‎ 点评:本题主要考查对梯形,全等三角形的性质和判定,平行线的性质,直角三角形斜边上的中线,勾股定理等知识点的理解和掌握,综合运用性质进行推理是解此题的关键.‎ ‎6.(2011•贺州)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=3CD,对角线AC、BD交于点O,中位线EF与AC、BD分别交于M、N两点,则图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的(  )‎ ‎ A、 B、 ‎ C、 D、 考点:梯形中位线定理;三角形中位线定理。‎ 分析:首先根据梯形的中位线定理,得到EF∥CD∥AB,再根据平行线等分线段定理,得到M,N分别是AD,BC的中点;然后根据三角形的中位线定理得到CD=2EM=2NF,最后根据梯形面积求法以及三角形面积公式求出,即可求得阴影部分的面积与梯形ABCD面积的面积比.‎ 解答:解:过点D作DQ⊥AB,交EF于一点W,‎ ‎∵EF是梯形的中位线,‎ ‎∴EF∥CD∥AB,DW=WQ,‎ ‎∴AM=CM,BN=DN.‎ ‎∴EM=CD,NF=CD.‎ ‎∴EM=NF,‎ ‎∵AB=3CD,设CD=x,∴AB=3x,EF=2x,‎ ‎∴MN=EF﹣(EM+FN)=x,‎ ‎∴S△AME+S△BFN=×EM×WQ+×FN×WQ=(EM+FN)QW=x•QW,‎ S梯形ABFE=(EF+AB)×WQ=QW,‎ S△DOC+S△OMN=CD×DW=xQW,‎ S梯形FECD=(EF+CD)×DW=xQW,‎ ‎∴梯形ABCD面积=xQW+xQW=4xQW,‎ 图中阴影部分的面积=x•QW+xQW=xQW,‎ ‎∴图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的:=.‎ 故选:C.‎ ‎11. (2011•南充,21,8分)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M是BC的中点.‎ ‎(1)求证:△MDC是等边三角形;‎ ‎(2)将△MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC(即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值.‎ 考点:等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;旋转的性质。‎ 专题:证明题;几何综合题。‎ 分析:(1)过点D作DP⊥BC,于点P,过点A作AQ⊥BC于点Q,得到CP=BQ=AB,CP+BQ=AB,根据ADPQ是矩形,AD=PQ,推出BC=2AD,由点M是BC的中点,推出BM=CM=AD=AB=CD,根据等边三角形的判定即可得到答案;‎ ‎(2)△AEF的周长存在最小值,理由是连接AM,由ABMD是菱形,得出△MAB,△MAD和△MC′D′是等边三角形,推出∠BME=∠AMF,证出△BME≌△AMF(ASA),得出BE=AF,ME=MF,推出△EMF是等边三角形,根据MF的最小值为点M到AD的距离,即EF的最小值是,即可求出△AEF的周长.‎ 解答:(1)证明:过点D作DP⊥BC,于点P,过点A作AQ⊥BC于点Q,‎ ‎∵∠C=∠B=60°‎ ‎∴CP=BQ=AB,CP+BQ=AB,‎ 又∵ADPQ是矩形,AD=PQ,‎ 故BC=2AD,‎ 由已知,点M是BC的中点,‎ BM=CM=AD=AB=CD,‎ 即△MDC中,CM=CD,∠C=60°,‎ 故△MDC是等边三角形.‎ ‎(2)解:△AEF的周长存在最小值,理由如下:‎ 连接AM,由(1)平行四边形ABMD是菱形,‎ ‎△MAB,△MAD和△MC′D′是等边三角形,‎ ‎∠BMA=∠BME+∠AME=60°,∠EMF=∠AMF+∠AME=60°,‎ ‎∴∠BME=∠AMF,‎ 在△BME与△AMF中,BM=AM,∠EBM=∠FAM=60°,‎ ‎∴△BME≌△AMF(ASA),‎ ‎∴BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB,‎ ‎∵∠EMF=∠DMC=60°,故△EMF是等边三角形,EF=MF,‎ ‎∵MF的最小值为点M到AD的距离,即EF的最小值是,‎ ‎△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,‎ ‎△AEF的周长的最小值为2+,‎ 答:存在,△AEF的周长的最小值为2+.‎ ‎12. (2011四川攀枝花,19)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD,∠B=60°,DE⊥AC于点E,已知该梯形的高为.‎ ‎(1)求证:∠ACD=30°;‎ ‎(2)DE的长度.‎ 考点:等腰梯形的性质;解直角三角形。‎ 分析:(1)利用梯形的两底平行和等腰三角形的性质可以得到AC平分∠DCB,从而得证;(2)利用30°的角所对的直角边是斜边的一半和DC的长即可求得DE的长.‎ 解答:解:(1)∵AD∥BC,‎ ‎∴∠DAC=∠BCA,‎ ‎∵AB=CD=AD,‎ ‎∴∠DAC=∠DCA,∠DCB=∠B=60°,‎ ‎∴∠DCA=∠BCA,‎ ‎∴∠ACD=30°;‎ ‎(2)作DG⊥BC于G点,‎ ‎∵∠B=60°,梯形的高为,‎ ‎∴DC=DG÷sin∠DCG=÷=2,‎ ‎∴DE=DC×sin∠ACD=2×=1.‎ ‎∴DE的长为1.‎ 点评:本题考查了等腰梯形的性质及解直角三角形的知识,解题的关键是正确的利用等腰梯形的性质.‎ ‎13. (2011杭州,22,10分)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,对角线AC与BD相交于点O,线段OA,OB的中点分别为E,F.‎ ‎ (1)求证:△FOE≌△DOC; (2)求sin∠OEF的值; (3)若直线EF与线段AD,BC分别相交于点G,H,求的值.‎ 考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;三角形中位线定理;直角梯形;锐角三角函数的定义.‎ 专题:证明题;代数几何综合题.‎ 分析:(1)由EF是△OAB的中位线,利用中位线定理,得EF∥AB,EF= AB,又CD∥AB,CD= AB,可得EF=CD,由平行线的性质可证△FOE≌△DOC; (2)由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB,利用sin∠OEF=sin∠CAB=,由勾股定理得出AC与BC的关系,再求正弦值; (3))由(1)可知AE=OE=OC,EF∥CD,则△AEG∽△ACD,利用相似比可得EG= CD,同理得FH= CD,又AB=2CD,代入中求值.‎ 解答:解:(1)∵EF是△OAB的中位线, ∴EF∥AB,EF= AB, 而CD∥AB,CD=AB, ∴EF=CD,∠OEF=∠OCD,∠OFE=∠ODC, ∴△FOE≌△DOC ‎; (2)∵在Rt△ABC中,AC= , ∴sin∠OEF=sin∠CAB= ==; (3)∵AE=OE=OC,EF∥CD, ∴△AEG∽△ACD, ∴,即EG= CD, 同理FH= CD, ∴.‎ 点评:本题综合考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质,勾股定理,中位线定理,锐角三角函数定义的运用.关键是由全等、相似得出相关线段之间的位置关系,数量关系