中考数学压轴题训练 120页

2015 年中考数学压轴题训练 1．（北京模拟）已知抛物线 y＝－x 2＋2x＋m－2 与 y 轴交于点 A（0，2m－7），与直线 y＝ 2x 交于点 B、C（B 在 C 的右侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 E，在抛物线的对称轴上是否存在一点 F，使得∠BFE＝∠CFE，若存 在，求出点 F 的坐标，若不存在，说明理由； （3）动点 P、Q 同时从原点出发，分别以每秒 5 个单位长度、每秒 2 5 个单位长度的速度 沿射线 OC 运动，以 PQ 为斜边在直线 BC 的上方作直角三角形 PMQ（直角边分别平行于坐标 轴），设运动时间为 t 秒．若△PMQ 与抛物线 y＝－x 2＋2x＋m－2 有公共点，求 t 的取值范 围． 解：（1）把点 A（0，2m－7）代入 y＝－x 2＋2x＋m－2，得 m＝5 ∴抛物线的解析式为 y＝－x 2＋2x＋3 （2）由 y＝－x 2＋2x＋3 y＝2x 解得 x1＝ 3 y1＝2 3 x2＝－ 3 y2＝－2 3 ∴B（ 3，2 3），C（－ 3，－2 3） ∵y＝－x 2＋2x＋3＝－( x－1 )2＋4 ∴抛物线的对称轴为 x＝1 设 F（1，y） ∵∠BFE＝∠CFE，∴tan∠BFE＝tan∠CFE 当点 F 在点 B 上方时， 3－1 y－2 3 ＝ 3＋1 y＋2 3 解得 y＝6，∴F（1，6） 当点 F 在点 B 下方时， 3－1 2 3－y ＝ 3＋1 －y－2 3 解得 y＝6（舍去） ∴满足条件的点 F 的坐标是 F（1，6） （3）由题意，OP＝ 5t，OQ＝2 5t，∴PQ＝ 5t ∵P、Q 在直线直线 y＝2x 上 ∴设 P（x，2x），则 Q（2x，4x）（x ＜0） ∴ x 2＋4x 2 ＝ 5t，∴x＝－t xO y A B C P Q M xO y A B C F E xO y A B C P Q M ∴P（－t，－2t），Q（－2t，－4t） ∴M（－2t，－2t） 当 M（－2t，－2t）在抛物线上时，有－2t＝－4t 2－4t＋3 解得 t＝ 13－1 4 （舍去负值） 当 P（－t，－2t）在抛物线上时，有－2t＝－t 2－2t＋3 解得 t＝ 3（舍去负值） ∴t 的取值范围是： 13－1 4 ≤t ≤ 3 2．（北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线 y1＝ax 2＋3x＋c 经过原点及点 A（1，2），与 x 轴相交于另一点 B． （1）求抛物线 y1 的解析式及 B 点坐标； （2）若将抛物线 y1 以 x＝3 为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线 y2，已知抛物线 y2 与 x 轴交于两点，其中右边的交点为 C 点．动点 P 从 O 点出发，沿线段 OC 向 C 点运动，过 P 点作 x 轴的垂线，交直线 OA 于 D 点，以 PD 为边在 PD 的右侧作正方形 PDEF． ①当点 E 落在抛物线 y1 上时，求 OP 的长； ②若点 P 的运动速度为每秒 1 个单位长度，同时线段 OC 上另一点 Q 从 C 点出发向 O 点运动， 速度为每秒 2 个单位长度，当 Q 点到达 O 点时 P、Q 两点停止运动．过 Q 点作 x 轴的垂线， 与直线 AC 交于 G 点，以 QG 为边在 QG 的左侧作正方形 QGMN．当这两个正方形分别有一条边 恰好落在同一条直线上时，求 t 的值．（正方形在 x 轴上的边除外） 解：（1）∵抛物线 y1＝ax 2＋3x＋c 经过原点及点 A（1，2） ∴ c＝2 a＋3＋c＝2 解得 a＝－1 c＝0 ∴抛物线 y1 的解析式为 y1＝－x 2＋3x 令 y1＝0，得－x 2＋3x＝0，解得 x1＝0，x2＝3 ∴B（3，0） （2）①由题意，可得 C（6，0） 过 A 作 AH⊥x 轴于 H，设 OP＝a 可得△ODP∽△OAH，∴ DP OP ＝ AH OH ＝2 ∴DP＝2OP＝2a ∵正方形 PDEF，∴E（3a，2a） ∵E（3a，2a）在抛物线 y1＝－x 2＋3x 上 x A y O B CP F ED Q G N M x A y O B CP F ED Q G N M H O P N Q C x y D A E F M G ∴2a＝－9a 2＋9a，解得 a1＝0（舍去），a2＝ 7 9 ∴OP 的长为 7 9 ②设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋b ∴ 2＝k＋b 0＝6k＋b 解得 k＝－ 2 5 ，b＝ 12 5 ∴直线 AC 的解析式为 y＝－ 2 5 x＋ 12 5 由题意，OP＝t，PF＝2t，QC＝2t，GQ＝ 4 5 t 当 EF 与 MN 重合时，则 OF＋CN＝6 ∴3t＋2t＋ 4 5 t＝6，∴t＝ 30 29 当 EF 与 GQ 重合时，则 OF＋QC＝6 ∴3t＋2t＝6，∴t＝ 6 5 当 DP 与 MN 重合时，则 OP＋CN＝6 ∴t＋2t＋ 4 5 t＝6，∴t＝ 30 19 当 DP 与 GQ 重合时，则 OP＋CQ＝6 ∴t＋2t＝6，∴t＝2 3．（北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax 2＋bx＋4 经过 A（－3，0）、B （4，0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 在 x 轴的负半轴上，且 BD＝BC．动点 P 从点 A 出发， 沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 移动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 以某 一速度向点 A 移动． （1）求该抛物线的解析式； （2）若经过 t 秒的移动，线段 PQ 被 CD 垂直平分，求此时 t 的值； （3）该抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使 MQ＋MA 的值最小？若存在，求出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由． 解：（1）∵抛物线 y＝ax 2＋bx＋4 经过 A（－3，0）、B（4，0）两点 ∴ 9a－3b＋4＝0 16a＋4b＋4＝0 解得 a＝－ 1 3 ，b＝ 1 3 xA y O C BD P Q O P N Q C x y D A E F M G O PN Q C x y D A E F M G O PN Q C x y D A E F M G xA y O C BD P Q ∴所求抛物线的解析式为 y＝－ 1 3 x 2＋ 1 3 x＋4 （2）连接 DQ，依题意知 AP＝t ∵抛物线 y＝－ 1 3 x 2＋ 1 3 x＋4 与 y 轴交于点 C ∴C（0，4） 又 A（－3，0，B（4，0） 可得 AC＝5，BC＝4 2，AB＝7 ∵BD＝BC，∴AD＝AB－BD＝7－4 2 ∵CD 垂直平分 PQ，∴QD＝DP，∠CDQ＝∠CDP ∵BD＝BC，∴∠DCB＝∠CDB ∴∠CDQ＝∠DCB，∴DQ∥BC ∴△ADQ∽△ABC，∴ AD AB ＝ DQ BC ∴ AD AB ＝ DP BC ，∴ 7－4 2 7 ＝ DP 4 2 解得 DP＝4 2－ 32 7 ，∴AP＝AD＋DP＝ 17 7 ∴线段 PQ 被 CD 垂直平分时，t 的值为 17 7 （3）设抛物线 y＝－ 1 3 x 2＋ 1 3 x＋4 的对称轴 x＝ 1 2 与 x 轴交于点 E 由于点 A、B 关于对称轴 x＝ 1 2 对称，连接 BQ 交对称轴于点 M 则 MQ＋MA＝MQ＋MB，即 MQ＋MA＝BQ 当 BQ⊥AC 时，BQ 最小，此时∠EBM＝∠ACO ∴tan∠EBM＝tan∠ACO＝ 3 4 ∴ ME BE ＝ 3 4 ，即 ME 4－ 1 2 ＝ 3 4 ，解得 ME＝ 21 8 ∴M（ 1 2 ，21 8 ） ∴在抛物线的对称轴上存在一点 M（ 1 2 ，21 8 ），使得 MQ＋MA 的值最小 4．（北京模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．动点 P 从点 A 出发，沿 AC→CB→BA 边运动，点 P 在 AC、CB、BA 边上运动的速度分别为每秒 3、4、5 个单位．直线 l 从与 AC 重合的位置开始，以每秒 4 3 个单位的速度沿 CB 方向移动，移动过程中保持 l∥AC， 且分别与 CB、AB 边交于点 E、F．点 P 与直线 l 同时出发，设运动的时间为 t 秒，当点 P 第 xA y O C BE Q M x＝ 1 2 一次回到点 A 时，点 P 和直线 l 同时停止运动． （1）当 t＝_________秒时，点 P 与点 E 重合；当 t＝_________秒时，点 P 与点 F 重合； （2）当点 P 在 AC 边上运动时，将△PEF 绕点 E 逆时针旋转，使得点 P 的对应点 P′ 落在 EF 上，点 F 的对应点为 F′ ，当 EF′⊥AB 时，求 t 的值； （3）作点 P 关于直线 EF 的对称点 Q，在运动过程中，若形成的四边形 PEQF 为菱形，求 t 的值； （4）在整个运动过程中，设△PEF 的面积为 S，直接写出 S 关于 t 的函数关系式及 S 的最大 值． 解：（1）3；4.5 提示：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8 ∴AB＝ 6 2＋8 2 ＝10，∴sinB＝ AC AB ＝ 3 5 ，cosB＝ BC AB ＝ 4 5 ，tanB＝ AC BC ＝ 3 4 当点 P 与点 E 重合时，点 P 在 CB 边上，CP＝CE ∵AC＝6，点 P 在 AC、CB 边上运动的速度分别为每秒 3、4 个单位 ∴点 P 在 AC 边上运动的时间为 2 秒，CP＝4( t－2 ) ∵CE＝ 4 3 t，∴4( t－2 )＝ 4 3 t，解得 t＝3 当点 P 与点 F 重合时，点 P 在 BA 边上，BP＝BF ∵AC＝6，BC＝8，点 P 在 AC、CB、BA 边上运动的速度分别为每秒 3、4、5 个单位 ∴点 P 在 AC、CB 边上运动的时间共为 4 秒，BF＝BP＝5( t－4 ) ∵CE＝ 4 3 t，∴BE＝8－ 4 3 t 在 Rt△BEF 中， BE BF ＝cosB ∴ 8－ 4 3 t 5( t－4 ) ＝ 4 5 ，解得 t＝4.5 （2）由题意，∠PEF＝∠MEN ∵EF∥AC，∠C＝90°，∴∠BEF＝90°，∠CPE＝∠PEF ∵EN⊥AB，∴∠B＝∠MEN ∴∠CPE＝∠B，∴tan∠CPE＝tanB ∵tan∠CPE＝ CE CP ，tanB＝ AC BC ＝ 3 4 ∴ CE CP ＝ 3 4 ，∴CP＝ 4 3 CE ∵AP＝3t（0＜t ＜2），CE＝ 4 3 t，∴CP＝6－3t B C A P l F E B C A 备用图 E B O C A P l F Q E B M C A P l F N B C A l F E (P) B C A l F E (P) ∴6－3t＝ 4 3 × 4 3 t，解得 t＝ 54 43 （3）连接 PQ 交 EF 于 O ∵P、Q 关于直线 EF 对称，∴EF 垂直平分 PQ 若四边形 PEQF 为菱形，则 OE＝OF＝ 1 2 EF ①当点 P 在 AC 边上运动时 易知四边形 POEC 为矩形，∴OE＝PC∴PC＝ 1 2 EF ∵CE＝ 4 3 t，∴BE＝8－ 4 3 t，EF＝BE·tanB＝ 3 4 ( 8－ 4 3 t )＝6－t ∴6－3t＝ 1 2 ( 6－t )，解得 t＝ 6 5 ②当点 P 在 CB 边上运动时，P、E、Q 三点共线，不存在四边形 PEQF ③当点 P 在 BA 边上运动时，则点 P 在点 B、F 之间 ∵BE＝8－ 4 3 t，∴BF＝ BE cosB ＝ 5 4 ( 8－ 4 3 t )＝10－ 5 3 t ∵BP＝5( t－4 )，∴PF＝BF－BP＝10－ 5 3 t－5( t－4 )＝30－ 20 3 t ∵∠POF＝∠BEF＝90°，∴PO∥BE，∴∠OPF＝∠B 在 Rt△POF 中， OF PF ＝sinB ∴ 1 2 ( 6－t ) 30－ 20 3 t ＝ 3 5 ，解得 t＝ 30 7 ∴当 t＝ 6 5 或 t＝ 30 7 时，四边形 PEQF 为菱形 （4）S＝ － 2 3 t 2＋4t（0≤t ≤2） 4 3 t 2－12t＋24（2＜t ≤3） － 4 3 t 2＋12t－24（3＜t ≤4） 8 3 t 2－28t＋72（4＜t ≤4.5） － 8 3 t 2＋28t－72（4.5＜t ≤6） S 的最大值为 16 3 5．（北京模拟）在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝10，CD＝6，AD＝BC＝4．点 P 从点 B 出 发，沿线段 BA 向点 A 匀速运动，速度为每秒 2 个单位，过点 P 作直线 BC 的垂线 PE，垂足 为 E．设点 P 的运动时间为 t（秒）． （1）∠A＝___________°； （2）将△PBE 沿直线 PE 翻折，得到△PB′E，记△PB′E 与梯形 ABCD 重叠部分的面积为 S， E B C A P l F Q O 求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值； （3）在整个运动过程中，是否存在以点 D、P、B′ 为顶点的三角形为直角三角形或等腰三 角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）60° （2）∵∠A＝∠B＝60°，PB＝PB′ ∴△PB′B 是等边三角形 ∴PB＝PB′＝BB′＝2t，BE＝B′E＝t，PE＝ 3t 当 0＜t ≤2 时 S＝S△PB′E ＝ 1 2 B′E·PE＝ 1 2 t· 3t＝ 3 2 t 2 当 2＜t ≤4 时 S＝S△PB′E － S△FB′C ＝ 3 2 t 2－ 3 4 ( 2t－4 )2＝－ 3 2 t 2＋4 3t－4 3 当 4＜t ≤5 时 设 PB′、PE 分别交 DC 于点 G、H，作 GK⊥PH 于 K ∵△PB′B 是等边三角形，∴∠B′PB＝60°＝∠A ∴PG∥AD，又 DG∥AP ∴四边形 APGD 是平行四边形 ∴PG＝AD＝4 ∵AB∥CD，∴∠GHP＝∠BPH ∵∠GPH＝∠BPH＝ 1 2 ∠B′PB＝30° ∴∠GHP＝∠GPH＝30°，∴PG＝GH＝4 ∴GK＝ 1 2 PG＝2，PK＝KH＝PG·cos30°＝2 3 ∴PH＝2PK＝4 3 ∴S＝S△PGH ＝ 1 2 PH·GK＝ 1 2 ×4 3×2＝4 3 综上得，S 与 t 之间的函数关系式为： S＝ 3 2 t 2（0＜t ≤2） － 3 2 t 2＋4 3t－4 3（2＜t ≤4） 4 3（4＜t ≤5） （3）①若∠DPB′＝90° A C B D P E B′ A C B D 备用图 A C B D P E B′ F A C B D P E B′ A C B D P E B′ G H K A C B D P E B′ CD E B′ N ∵∠B′PB＝60°，∴∠DPA＝30° 又∠A＝60°，∴∠ADP＝90° ∴AP＝2AD，∴10－2t＝8，∴t＝1 若∠PDB′＝90° 作 DM⊥AB 于 M，DN⊥B′B 于 N 则 AM＝2，DM＝2 3，NC＝3，DN＝3 3 PM＝|10－2－2t|＝|8－2t| NB′＝|3＋4－2t|＝|7－2t| DP 2＝DM 2＋PM 2＝( 2 3 )2＋( 8－2t )2＝( 8－2t )2＋12 DB′ 2＝DN 2＋NB′＝( 3 3 )2＋( 7－2t )2＝( 7－2t )2＋27 ∵DP 2＋DB′ 2＝B′P 2 ∴( 8－2t )2＋12＋( 7－2t )2＋27＝( 2t )2 解得 t1＝ 15＋ 73 2 ＞5（舍去），t2＝ 15－ 73 2 若∠DB′P＝90°，则 DB′ 2＋B′P 2＝DP 2 ∴( 7－2t )2＋27＋( 2t )2＝( 8－2t )2＋12 解得 t1＝－1（舍去），t2＝0（舍去） ∴存在以点 D、P、B′ 为顶点的三角形为直角三角形，此时 t＝1 或 t＝ 15－ 73 2 ②若 DP＝B′P，则( 8－2t )2＋12＝( 2t )2 解得 t＝ 19 8 若 B′D＝B′P，则( 7－2t )2＋27＝( 2t )2 解得 t＝ 19 7 若 DP＝DB′，则( 8－2t )2＋12＝( 7－2t )2＋27 解得 t＝0（舍去） ∴存在以点 D、P、B′ 为顶点的三角形为等腰三角形，此时 t＝ 19 8 或 t＝ 19 7 6．（北京模拟）已知二次函数 y＝－ 3 3 mx 2＋3mx－2 的图象与 x 轴交于点 A（2 3，0）、点 B，与 y 轴交于点 C． （1）求点 B 坐标； （2）点 P 从点 C 出发以每秒 1 个单位的速度沿线段 CO 向 O 点运动，到达点 O 后停止运动， 过点 P 作 PQ∥AC 交 OA 于点 Q，将四边形 PQAC 沿 PQ 翻折，得到四边形 PQA′C′，设点 P 的运动时间为 t． A C B D P E B′ A C B D P B′ E ①当 t 为何值时，点 A′ 恰好落在二次函数 y＝－ 3 3 mx 2＋3mx－2 图象的对称轴上； ②设四边形 PQA′C′ 落在第一象限内的图形面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值． 解：（1）将 A（2 3，0）代入 y＝－ 3 3 mx 2＋3mx－2 得 0＝－ 3 3 m×( 2 3 )2＋3m×2 3－2，解得 m＝ 3 3 ∴y＝－ 1 3 x 2＋ 3x－2 令 y＝0，得－ 1 3 x 2＋ 3x－2＝0，解得：x1＝ 3，x2＝2 3 ∴B（ 3，0） （2）①由 y＝－ 1 3 x 2＋ 3x－2，令 x＝0，得 y＝－2 ∴C（0，－2） ∵y＝－ 1 3 x 2＋ 3x－2＝－ 1 3 ( x－ 3 2 3 )2＋ 1 4 ∴二次函数图象的对称轴为直线 x＝ 3 2 3 过 A′ 作 A′H⊥OA 于 H 在 Rt△AOC 中，∵OC＝2，OA＝2 3 ∴∠OAC＝30°，∠OCA＝60° ∴∠PQA＝150°，∠A′QH＝60°，AQ＝A′Q＝2QH ∵点 A′ 在二次函数图象的对称轴上 ∴ OQ＋QH＝ 3 2 3 OQ＋2QH＝2 3 解得 QH＝ 3 2 ∴AQ＝ 3，CP＝1 ∴t＝1 ②分两种情况： ⅰ）当 0＜t ≤1 时，四边形 PQA′C′ 落在第一象限内的图形为等腰三角形 QA′D DQ＝A′Q＝ 3t A′H＝AQ·sin60°＝ 3t· 3 2 ＝ 3 2 t S＝S△A′DQ ＝ 1 2 · 3t· 3 2 t＝ 3 3 4 t 2 ∵当 0＜t ≤1 时，S 随 t 的增大而增大 ∴当 t＝1 时，S 有最大值 3 3 4 ⅱ）当 1＜t ＜2 时，四边形 PQA′C′ 落在第一象限内的图形为四边形 EOQA′ S 四边形 EOQA′ ＝S 梯形 PQA′C′ － S△OPQ － S△PC′E A B C O A′ x P HC′ y (Q) AB C O A′ x P Q H D C′ y ＝[2 3－ 3 2 ( 2－t )2]－ 3 2 ( 2－t )2－ 3 4 t 2 ＝－ 5 3 4 t 2＋4 3t－2 3 ∵－ 5 3 4 t 2＋4 3t－2 3＝－ 5 3 4 ( t－ 8 5 )2＋ 6 3 5 且 1＜ 8 5 ＜2，∴当 t＝ 8 5 时，S 有最大值 6 3 5 ∵ 6 3 5 ＞ 3 3 4 ，∴S 的最大值是 6 3 5 7．（北京模拟）已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝120°，E 是 AB 的中点，过 E 点作射线 EF ∥BC，交 CD 于点 G，AB、AD 的长恰好是方程 x 2－4x＋a 2＋2a＋5＝0 的两个相等实数根，动 点 P、Q 分别从点 A、E 出发，点 P 以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB 由 A 向 B 运动，点 Q 以 每秒 2 个单位长度的速度沿 EF 由 E 向 F 运动，设点 P、Q 运动的时间为 t（秒）． （1）求线段 AB、AD 的长； （2）当 t ＞1 时，求△DPQ 的面积 S 与时间 t 之间的函数关系 式； （3）是否存在△DPQ 是直角三角形的情况，如果存在，求出 时间 t；如果不存在，请说明理由． 解：（1）由题意，△＝4 2－4( a 2＋2a＋5 )＝－4( a＋1 )2＝0 ∴a＝－1 原方程可化为 x 2－4＋4＝0，解得∴x1＝x2＝2 ∴AB＝AD＝2 （2）作 AH⊥BC 于 H，交 EG 于 O，DK⊥EF 于 K，PM⊥DA 交 DA 的延长线于 M ∵AD∥BC，∠A＝120°，AB＝AD＝2 ∴∠B＝60°，AH＝ 3 ∵E 是 AB 中点，且 EF∥BC，∴AO＝DK＝ 3 2 ∵AP＝t，∴PM＝ 3 2 t ∵t ＞1，∴点 P 在点 E 下方 延长 FE 交 PM 于 S，设 DP 与 EF 交于点 N 则 PS＝ 3 2 t－ 3 2 ∵AD∥BC，EF∥BC，∴EF∥AD ∴ EN AD ＝ PE PA ，∴ EN 2 ＝ t－1 t ∴EN＝ 2( t－1 ) t ，∴QN＝2t－ 2( t－1 ) t A B D Q C P E F A B D Q C P E FG AB C O A′ x P Q H E C′ y A B D Q C P E FN GS O K H M ∴S＝ 1 2 ( 2t－ 2( t－1 ) t )( 3 2 t－ 3 2 ＋ 3 2 ) ＝ 3 2 t 2－ 3 2 t＋ 3 2 即 S＝ 3 2 t 2－ 3 2 t＋ 3 2 （t ＞1） （3）由题意，AM＝ 1 2 t，∴DM＝2＋ 1 2 t ∴DP 2＝DM 2＋PM 2＝( 2＋ 1 2 t )2＋( 3 2 t )2＝t 2＋2t＋4 又 DQ 2＝DK 2＋KQ 2＝( 3 2 )2＋( 2t－ 1 2 －2 )2＝4t 2－10t＋7 PQ 2＝PS 2＋SQ 2＝( 3 2 t－ 3 2 )2＋( 2t＋ t－1 2 )2＝7t 2－4t＋1 ①若∠PDQ＝90°，则 DP 2＋DQ 2＝PQ 2 ∴t 2＋2t＋4＋4t 2－10t＋7＝7t 2－4t＋1 解得 t＝ 6－1（舍去负值） ②若∠DPQ＝90°，则 PD 2＋PQ 2＝DQ 2 ∴t 2＋2t＋4＋7t 2－4t＋1＝4t 2－10t＋7 解得 t＝ 6 2 －1（舍去负值） ③若∠DQP＝90°，则 DQ 2＋PQ 2＝PD 2 ∴4t 2－10t＋7＋7t 2－4t＋1＝t 2＋2t＋4 解得 t＝ 4± 6 5 综上所述，存在△DPQ 是直角三角形的情况，此时 t＝ 6－1，t＝ 6 2 －1，t＝ 4± 6 5 8．（天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，直 y＝－x＋4 2 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B．在 线段 OA 上有一动点 P，以每秒 2 个单位长度的速度由点 O 向点 A 匀速运动，以 OP 为边作 正方形 OPQM 交 y 轴于点 M，连接 QA 和 QB，并从 QA 和 QB 的中点 C 和 D 向 AB 作垂线，垂足 分别为点 F 和点 E．设 P 点运动的时间为 t 秒，四边形 CDEF 的面积为 S1，正方形 OPQM 与四 边形 CDEF 重叠部分的面积为 S2． （1）直接写出 A 点和 B 点坐标及 t 的取值范围； （2）当 t＝1 时，求 S1 的值； y P A Q xO D C F B M E （3）试求 S2 与 t 的函数关系式 （4）直接写出在整个运动过程中，点 C 和点 D 所走过的路程之和． 解：（1）A（4 2，0）、B（0，4 2），0≤t ≤4 （2）过 Q 作 QH⊥AB 于 H ∵C、D 分别是 QA 和 QB 的中点 ∴CD∥AB，CD＝ 1 2 AB＝ 1 2 ×4 2× 2＝4 ∵CF⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE ∴四边形 CDEF 是平行四边形 又∵CF⊥AB，∴四边形 CDEF 是矩形 ∵CF⊥AB，QH⊥AB，∴CF∥QH 又∵C 是 QA 中点，∴CF＝ 1 2 QH 连接 OQ ∵正方形 OPQM，∴∠1＝∠2，OP＝PQ＝QM＝MO ∵OA＝OB，∴PA＝MB ∴Rt△QPA≌Rt△QMB，∴QA＝QB，∠PQA＝∠MQB ∵QH⊥AB，∴∠3＝∠4 ∴∠1＋∠MQB＋∠3＝180°，∴O、Q、H 三点共线 ∴QH＝OH－OQ ∵t＝1，点 P 的运动速度为每秒 2 个单位长度 ∴OP＝ 2，∴OQ＝2 又∵OA＝4 2，∴OH＝4 ∴QH＝OH－OQ＝4－2＝2，∴CF＝1 ∴S1＝CD·CF＝4×1＝4 （3）当点 Q 落在 AB 上时，OQ⊥AB，△QOA 是等腰直角三角形 ∴t＝2 2÷ 2＝2 当 0≤t ≤2 时，S2＝0 当点 E 落在 QM 上，点 F 落在 PQ 上时， △CFK 和△DEG 都是等腰直角三角形 过 C 作 CT⊥PQ 于 T 则 CT＝ 1 2 AP＝ 1 2 ( 4 2－ 2t )＝ 2 2 ( 4－t ) ∴CF＝ 2CT＝4－t 连接 OQ，分别交 AB、CD 于 N、R 则 ON＝ 2 2 OA＝ 2 2 ×4 2＝4 ∵OP＝ 2t，∴OQ＝2t，∴QN＝2t－4 y P A Q xO D C F B M E H 1 2 3 4 y P A Q xO D C F B M E G H I K N R y P A Q xO D C F B M E G KN R T ∴CF＝ 1 2 QN＝t－2 ∴4－t＝t－2，∴t＝3 当 2＜t ≤3 时，重叠部分为等腰梯形 GHIK △QGK 和△QHI 都是等腰直角三角形 ∵QN＝2t－4，RN＝CF＝t－2，∴QR＝t－2 ∴GK＝2QR＝2t－4，HI＝2QN＝4t－8 ∴S2＝ 1 2 ( GK＋HI )·RN＝ 1 2 ( 2t－4＋4t－8 )( t－2 )＝3( t－2 )2 当 3＜t ≤4 时，重叠部分为六边形 GHEFIK 易知 Rt△CIK≌Rt△DHG，∴GH＝KI＝2CT＝ 2( 4－t ) ∴S2＝S 矩形 CDEF －2S△CIK ＝CD·CF－KI·CT ＝4( t－2 )－ 2( 4－t )· 2 2 ( 4－t )＝－t 2＋12t－24 综上得 S2 关于 t 的函数关系式为： S2＝ 0（0≤t ≤2） 3( t－2 )2（2＜t ≤3） －t 2＋12t－24（3＜t ≤4） （4）8 提示：点 C 和点 D 走过的路程分别为以 OP 为边的正方形的对角线的一半 9．（上海模拟）如图，正方形 ABCD 中，AB＝5，点 E 是 BC 延长线上一点，CE＝BC，连接 BD．动 点 M 从 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 BD 向 D 运动；动点 N 从 E 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 EB 向 B 运动，两点同时出发，当其中一点到达终点后另一点也停止运 动．设运动时间为 t 秒，过 M 作 BD 的垂线 MP 交 BE 于 P． （1）当 PN＝2 时，求运动时间 t； （2）是否存在这样的 t，使△MPN 为等腰三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明 理由； y P A Q xO D C F B M E GH I K N R T （3）设△MPN 与△BCD 重叠部分的面积为 S，直接写出 S 与 t 的函数关系式和函数的定义域． 解：（1）∵正方形 ABCD，∴∠DBC＝45° ∵MP⊥DB，∴△BMP 是等腰直角三角形 ∵BM＝ 2t，∴BP＝ 2BM＝2t 又 PN＝2，NE＝2t 当 0＜t ＜2.5 时，BP＋PN＋NE＝BE ∴2t＋2＋2t＝10，∴t＝2 当 2.5＜t ＜5 时，BP－PN＋NE＝BE ∴2t－2＋2t＝10，∴t＝3 （2）过 M 作 MH⊥BC 于 H 则△NQC∽△NMH，∴ QC CN ＝ MH HN ∴ QC 5－2t ＝ t 10－t－2t ，∴QC＝ 5t－2t 2 10－3t 令 QC＝y，则 y＝ 5t－2t 2 10－3t 整理得 2t 2－( 3y＋5 )t＋10y＝0 ∵t 为实数，∴[－( 3y＋5 )]2－4×2×10y ≥0 即 9y 2－50y＋25≥0，解得 y ≥5（舍去）或 y ≤ 5 9 ∴线段 QC 长度的最大值为 5 9 （3）当 0＜t ＜2.5 时 ∵∠MPN＝∠DBC＋∠BMP＝45°＋90°＝135° ∴∠MPN 为钝角，∴MN ＞MP，MN ＞PN 若 PM＝PN，则 2t＝10－4t 解得 t＝ 5 7 ( 4－ 2 ) 当 2.5＜t ＜5 时 ∵∠MNP＞∠MBP＝∠MPB，∴MP ＞MN 若 MN＝PN，则∠PMN＝∠MPN＝45° ∴∠MNP＝90°，即 MN⊥BP ∴BN＝NP，BP＝2BN ∴2t＝2( 10－2t )，解得 t＝ 10 3 若 PM＝PN A B D NCP M E A B D NCP M E Q H A B D PCN E M A B D NCP E M A B D PCN M E A D B PCN M E ∵PN＝BP－BN＝BP－( BE－NE )＝BP＋NE－BE ∴ 2t＝2t＋2t－10，解得 t＝ 5 7 ( 4＋ 2 ) ∴当 t＝ 5 7 ( 4－ 2 )，t＝ 10 3 ，t＝ 5 7 ( 4＋ 2 )时，△MPN 为等腰三角形 （4）S＝ 8t 3－50t 2＋75t 20－6t （0＜t ＜2.5） 5t－ 25 2 （2.5＜t ＜5） 10．（重庆模拟）如图，已知△ABC 是等边三角形，点 O 是 AC 的中点，OB＝12，动点 P 在线 段 AB 上从点 A 向点 B 以每秒 3 个单位的速度运动，设运动时间为 t 秒．以点 P 为顶点， 作等边△PMN，点 M，N 在直线 OB 上，取 OB 的中点 D，以 OD 为边在△AOB 内部作如图所示的 矩形 ODEF，点 E 在线段 AB 上． （1）求当等边△PMN 的顶点 M 运动到与点 O 重合时 t 的值； （2）求等边△PMN 的边长（用含 t 的代数式表示）； （3）设等边△PMN 和矩形 ODEF 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 t 的函数关系式及自 变量 t 的取值范围； （4）点 P 在运动过程中，是否存在点 M，使得△EFM 是等腰三角形？若存在，求出对应的 t 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）当点 M 与点 O 重合时 ∵△ABC、△PMN 是等边三角形，O 为 AC 中点 ∴∠AOP＝30°，∠APO＝90° ∵OB＝12，∴AO＝4 3＝2AP＝2 3t 解得 t＝2 ∴当 t＝2 时，点 M 与点 O 重合 （2）由题设知∠ABM＝30°，AB＝8 3，AP＝ 3t ∴PB＝8 3－ 3t，PM＝PB·tan30°＝8－t 即等边△PMN 的边长为 8－t A O D C B F E 备用图 A O D C B P N F M E A O D C B F E 备用图 A D B PCN M E R A D B NCP M E Q A O D C B P F E (N)(M) A O D C B P N F M E （3）S＝ 2 3t＋6 3（0≤t ≤1） －2 3t 2＋6 3t＋4 3（1＜t ≤2） － 3 2 t 2＋10 3（2＜t ≤4） 2 3t 2－20 3t＋50 3（4＜t ≤5） 0（5＜t ≤8） 提示： ①当 0≤t ≤1 时，PM 经过线段 AF 设 PM 交 AF 于点 J，PN 交 EF 于点 G，则重叠部分为直角梯形 FONG ∵AP＝ 3t，∴AJ＝2 3t，JO＝4 3－2 3t MO＝4－2t，ON＝8－t－( 4－2t )＝4＋t 作 GH⊥ON 于 H 则 GH＝FO＝2 3，HN＝2，FG＝OH＝4＋t－2＝2＋t ∴S＝S 梯形 FONG ＝ 1 2 ( FG＋ON )·FO ＝ 1 2 ( 2＋t＋4＋t )·2 3＝2 3t＋6 3 ②当 1＜t ≤2 时，PM 经过线段 FO 设 PM 交 EF 于点 I，则重叠部分为五边形 IJONG FJ＝AJ－AF＝2 3t－2 3，FI＝2t－2 ∴S＝S 梯形 FONG －S△FIJ ＝2 3t＋6 3－ 1 2 ( 2 3t－2 3 )( 2t－2 ) ＝－2 3t 2＋6 3t＋4 3 ③当 2＜t ≤4 时，PN 经过线段 ED 设 PN 交 ED 于点 K，则重叠部分为五边形 IMDKG ∵AP＝ 3t，∴PE＝4 3－ 3t ∴IG＝GE＝4－t，EK＝4 3－ 3t ∴KD＝2 3－( 4 3－ 3t )＝ 3t－2 3，DN＝t－2 ∴S＝S 梯形 IMNG －S△KDN ＝ 1 2 ( 4－t＋8－t )·2 3－ 1 2 ( 3t－2 3 )( t－2 ) ＝－ 3 2 t 2＋10 3 ④当 4＜t ≤5 时，PM 经过线段 ED 设 PM 交 ED 于点 R，则重叠部分为△RMD ∵AP＝ 3t，∴EP＝ 3t－4 3 ∴ER＝2EP＝2 3t－8 3 ∴RD＝2 3－( 2 3t－8 3 )＝10 3－2 3t MD＝10－2t ∴S＝S△RMD ＝ 1 2 ( 10－2t )( 10 3－2 3t ) ＝2 3t 2－20 3t＋50 3 ⑤当 5＜t ≤8 时，S＝0 A O D B P N F M E A O D C B P N F M EGJ H A O D C B P N I M EGF J A O D C B P N F M E G I K A O D C B P N F M E R （4）∵MN＝BN＝PN＝8－t，∴MB＝16－2t ①若 FM＝EM，则 M 为 OD 中点 ∴OM＝3 ∵OM＋MB＝OB，∴3＋16－2t＝12 ∴t＝3.5 ②若 FM＝FE＝6，则 OM＝ 6 2－( 2 3 )2 ＝2 6 ∵OM＋MB＝OB，∴2 6＋16－2t＝12 ∴t＝2＋ 6 ③若 EF＝EM＝6，点 M 在 OD 或 DB 上 则 DM＝ 6 2－( 2 3 )2 ＝2 6 ∴DB＋DM＝MB 或者 DB－DM＝MB ∴6＋2 6＝16－2t 或 6－2 6＝16－2t ∴t＝5－ 6或 t＝5＋ 6 综上所述，当 t＝3.5、2＋ 6、5－ 6、5＋ 6时，△MEF 是等腰三角形 11．（浙江某校自主招生）如图，正方形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，且 OA 边和 AB 边所在直 线的解析式分别为 y＝ 3 4 x 和 y＝－ 4 3 x＋ 25 3 ． （1）求正方形 OABC 的边长； A O D C B P N F M E A O D C B P N F M E A O D C B P N F M E （2）现有动点 P、Q 分别从 C、A 同时出发，点 P 沿线段 CB 向终点 B 运动，速度为每秒 1 个单位，点 Q 沿折线 A→O→C 向终点 C 运动，速度为每秒 k 个单位，设运动时间为 2 秒．当 k 为何值时，将△CPQ 沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？ （3）若正方形以每秒 5 3 个单位的速度沿射线 AO 下滑，直至顶点 B 落在 x 轴上时停止下滑．设 正方形在 x 轴下方部分的面积为 S，求 S 关于滑行时间 t 的函数关系式，并写出相应自变量 t 的取值范围． 解：（1）联立 y＝ 3 4 x y＝－ 4 3 x＋ 25 3 解得 x＝4 y＝3 ∴A（4，3），∴OA＝ 4 2＋3 2 ＝5 ∴正方形 OABC 的边长为 5 （2）要使△CPQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的 四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△CPQ 为等腰三角形即可 当 t＝2 秒时 ∵点 P 的速度为每秒 1 个单位，∴CP＝2 分两种情况： ①当点 Q 在 OA 上时，∵PQ≥BA＞PC，∴只存在一点 Q，使 QC＝QP 作 QN⊥CP 于 N，则 CN＝ 1 2 CP＝OQ＝1 ∴QA＝5－1＝4，∴k＝ 4 2 ＝2 ②当点 Q 在 OC 上时，同理只存在一点 Q，使 CP＝CQ＝2 ∴OQ＋OA＝10－2＝8，∴k＝ 8 2 ＝4 综上所述，当 t＝2 秒时，以所得的等腰三角形 CPQ 沿底边翻折， 翻折后得到菱形的 k 值为 2 或 4 （3）①当点 A 运动到点 O 时，t＝3 当 0＜t ≤3 时，设 O′C′ 交 x 轴于点 D C B xO A y C B xO A y Q P C B xO A y Q PN xO y A′ B′ D C′ O′ 则 tan∠DOO′＝ 3 4 ，即 DO′ OO′ ＝ DO′ 5 3 t ＝ 3 4 ，∴DO′＝ 5 4 t ∴S＝ 1 2 DO′·OO′＝ 1 2 · 5 4 t· 5 3 t＝ 25 24 t 2 ②当点 C 运动到 x 轴上时，t＝( 5× 4 3 )÷ 5 3 ＝4 当 3＜t ≤4 时，设 A′B′ 交 x 轴于点 E ∵A′O＝ 5 3 t－5，∴A′E＝ 3 4 A′O＝ 5t－15 4 ∴S＝ 1 2 ( A′E＋O′D)·A′O′＝ 1 2 ( 5t－15 4 ＋ 5 4 t )·5＝ 50t－75 8 ③当点 B 运动到 x 轴上时，t＝( 5＋5× 4 3 )÷ 5 3 ＝7 当 4＜t ≤7 时，设 B′C′ 交 x 轴于点 F ∵A′E＝ 5t－15 4 ，∴B′E＝5－ 5t－15 4 ＝ 35－5t 4 ∴B′F＝ 4 3 B′E＝ 35－5t 3 ∴S＝5 2－ 1 2 · 35－5t 4 · 35－5t 3 ＝－ 25 24 t 2＋ 175 12 t－ 625 24 综上所述，S 关于滑行时间 t 的函数关系式为： S＝ 25 24 t 2（0＜t ≤3） 50t－75 8 （3＜t ≤4） － 25 24 t 2＋ 175 12 t－ 625 24 （4＜t ≤7） 12．（浙江某校自主招生）如图，正方形 ABCD 的边长为 8cm，动点 P 从点 A 出发沿 AB 边以 1cm/秒的速度向点 B 匀速移动（点 P 不与点 A、B 重合），动点 Q 从点 B 出发沿折线 BC－CD 以 2cm/秒的速度匀速移动．点 P、Q 同时出发，当点 P 停止时，点 Q 也随之停止．连接 AQ 交 BD 于点 E．设点 P 运动时间为 t（秒）． （1）当点 Q 在线段 BC 上运动时，点 P 出发多少时间后，∠BEP＝∠BEQ？ （2）设△APE 的面积为 S（cm2），求 S 关于 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围； （3）当 4＜t＜8 时，求△APE 的面积为 S 的变化范围． A B D E C P Q xO y A′ B′ F C′ O′ E xO y A′ B′ D C′ O′ E 解（1）AP＝xcm，BQ＝2xcm ∵∠BEP＝∠BEQ，BE＝BE，∠PBE＝∠QBE＝45° ∴△PBE≌△QBE，∴PB＝BQ 即 8－x＝2x，∴x＝ 8 3 ∴点 P 出发 8 3 秒后，∠BEP＝∠BEQ （2）①当 0＜x ≤4 时，点 Q 在 BC 上，作 EN⊥AB 于 N，EM⊥BC 于 M ∵AD∥BC，∴ AE EQ ＝ AD BQ ＝ 8 2x ＝ 4 x 即 AE EQ ＝ 4 x ，∴ AE AQ ＝ 4 x＋4 ∴ NE BQ ＝ AE AQ ，∴NE＝ AE·BQ AQ ＝ 8x x＋4 ∴S＝ 1 2 AP·NE＝ 1 2 x· 8x x＋4 ＝ 4x 2 x＋4 即 S＝ 4x 2 x＋4 （0＜x ≤4） ②当 4＜x ＜8 时，点 Q 在 CD 上，作 QF⊥AB 于 F，交 BD 于 H 则 AE EQ ＝ AD HQ ＝ 8 16－2x ＝ 4 8－x 即 AE EQ ＝ 4 8－x ，∴ AE AQ ＝ 4 8－x＋4 ＝ 4 12－x 作 EN⊥AB 于 N，则 NE FQ ＝ AE AQ ∴NE＝ AE·FQ FQ ＝ 32 12－x ∴S＝ 1 2 AP·NE＝ 1 2 x· 32 12－x ＝ 16x 12－x 即 S＝ 16x 12－x （4＜x ＜8） （3）当 4＜x ＜8 时，由 S＝ 16x 12－x ，得 x＝ 12S 16＋S ∵4＜x ＜8，∴4＜ 12S 16＋S ＜8 ∵S ＞0，∴16＋S ＞0，∴4( 16＋S )＜12S ＜8( 16＋S ) 解得 8＜S ＜32 13．（浙江模拟）如图，菱形 ABCD 的边长为 6 且∠DAB＝60°，以点 A 为原点、边 AB 所在 A B D E C P Q N M A B D E C P Q N F H 直线为 x 轴且顶点 D 在第一象限建立平面直角坐标系．动点 P 从点 D 出发沿折线 D－C－B 向终点 B 以每秒 2 个单位的速度运动，同时动点 Q 从点 A 出发沿 x 轴负半轴以每秒 1 个单位 的速度运动，当点 P 到达终点时停止运动．设运动时间为 t，直线 PQ 交边 AD 于点 E． （1）求出经过 A、D、C 三点的抛物线解析式； （2）是否存在时刻 t，使得 PQ⊥BD？若存在，求出 t 值，若不存在，请说明理由； （3）设 AE 长为 y，试求 y 与 t 之间的函数关系式； （4）若 F、G 为 DC 边上两点，且点 DF＝FG＝1，试在对角线 DB 上找一点 M、抛物线对称轴 上找一点 N，使得四边形 FMNG 周长最小并求出周长最小值． 解：（1）由题意得：D（3，3 3）、C（9，3 3） 设经过 A、D、C 三点的抛物线解析式为 y＝ax 2＋bx 把 D、C 两点坐标代入上式，得： 9a＋3b＝3 3 81a＋9b＝3 3 解得：a＝－ 3 9 ，b＝ 4 3 3 ∴抛物线的解析式为：y＝－ 3 9 x 2＋ 4 3 3 x （2）连接 AC ∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD 若 PQ⊥BD，则 PQ∥AC 当点 P 在 DC 上时 ∵PC∥AQ，PQ∥AC，∴四边形 PQAC 是平行四边形 ∴PC＝AQ，即 6－2t＝t, ∴t＝2 当点 P 在 CB 上时，PQ 与 AC 相交，此时不存在符合要求的 t 值 （3）①当点 P 在 DC 上，即 0≤t ≤3 时 ∵DP∥AQ，∴△DEP∽△AEQ ∴ DE y ＝ DP AQ ＝ 2t t ＝2，∴y＝ 1 3 AD＝2 ②当点 P 在 CB 上，即 3＜t ≤6 时 ∵AE∥BP，∴△QEA∽△QPB ∴ AE BP ＝ QA QB ，即 y 12－2t ＝ t 6＋t ∴y＝ 12－2t 6＋t 综上所述，y 与 t 之间的函数关系式为： xA y E D C B F G Q P xA y F′ D C B F G M N G′H xA y E D C B F G Q P xA y E D C B F G Q P y＝ 2 （0≤t ≤3） 12－2t 6＋t （3＜t ≤6） （4）作点 F 关于直线 BD 的对称点 F′，由菱形对称性知 F′ 在 DA 上，且 DF′＝DF＝1 作点 G 关于抛物线对称轴的对称点 G′，易求 DG′＝4 连接 F′G′ 交 DB 于点 M、交对称轴于点 N，则点 M、N 即为所求的两点 过 F′ 作 F′H⊥DG′ 于 H，可得 HD＝ 1 2 ，F′H＝ 3 2 ，HG′＝ 9 2 ∴F′G′＝ F′H 2＋HG′ 2 ＝ 21 ∴四边形 FMNG 周长最小值为 F′G′＋FG＝ 21＋1 14．（浙江模拟）如图，直线 y＝－x＋5 和直线 y＝kx－4 交于点 C（3，m），两直线分别交 y 轴于点 A 和点 B，一平行于 y 轴的直线 l 从点 C 出发水平向左平移，速度为每秒 1 个单位， 运动时间为 t，且分别交 AC、BC 于点 P、Q，以 PQ 为一边向左侧作正方形 PQDE． （1）求 m 和 k 的值； （2）当 t 为何值时，正方形的边 DE 刚好在 y 轴上？ （3）当直线 l 从点 C 出发开始运动的同时，点 M 也同时在线段 AB 上由点 A 向点 B 以每秒 4 个单位的速度运动，问点 M 从进入正方形 PQDE 到离开正方形持续的时间有多长？ 解：（1）把 C（3，m）代入 y＝－x＋5 得 m＝2 ∴C（3，2），代入 y＝kx－4 得 k＝2 （2）由题意，点 P 横坐标为 3－t 当 x＝3－t 时，y＝－x＋5＝t＋2，∴P（3－t，t＋2） ∵PQ∥y 轴，∴点 Q 横坐标为 3－t 当 x＝3－t 时，y＝2x－4＝2－2t，∴Q（3－t，2－2t） ∴PQ＝t＋2－( 2－2t )＝3t ∵正方形 PQDE，∴PQ＝PE 当正方形的边 DE 刚好在 y 轴上时，3t＝3－t，∴t＝ 3 4 A O C B y x l P QD E A O C B y x l P QD E （3）∵直线 y＝－x＋5 交 y 轴于点 A，∴A（0，5） ∴点 M 坐标为（0，5－4t） 当点 M 和点 P 的纵坐标相等时，5－4t＝t＋2，∴t＝ 3 5 ∵ 3 5 ＜ 3 4 ，∴点 M 进入正方形 PQDE 时，t＝ 3 4 当点 M 和点 Q 的纵坐标相等时，5－4t＝2－2t，∴t＝ 3 2 ∴点 M 从进入正方形 PQDE 到离开正方形持续的时间为：t＝ 3 2 － 3 4 ＝ 3 4 15．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，Rt△OAB 的直角边 OA 在 x 轴 的正半轴上，点 B 坐标为（ 3，1），以 OB 所在直线为对称轴将△OAB 作轴对称变换得△OCB．动 点 P 从点 O 出发，沿线段 OA 向点 A 运动，动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CO 向点 O 运动．P、Q 两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度．设点 P 运动的时间为 t（秒）． （1）求∠AOC 的度数； （2）记四边形 BCQP 的面积为 S（平方单位），求 S 与 t 之间的函数关系式； （3）设 PQ 与 OB 交于点 M． ①当△OMQ 为等腰三角形时，求 t 的值． ②探究线段 OM 长度的最大值，说明理由． 解：（1）∵点 B 坐标为（ 3，1），∴OA＝ 3，AB＝1 ∴在 Rt△OAB 中，tan∠AOB＝ AB OA ＝ 1 3 ＝ 3 3 ∴∠AOB＝30° ∵将△OAB 作轴对称变换得△OCB ∴△OCB≌△OAB，∴∠COB＝∠AOB＝30° ∴∠AOC＝60° （2）∵OP＝CQ＝t，AB＝1，OC＝OA＝ 3 ∴AP＝OQ＝ 3－t ∴S＝2S△OAB － S△OPQ － S△PAB ＝OA·AB－ 1 2 OP·OQ·sin∠AOC－ 1 2 PA·AB ＝ 3×1－ 1 2 ×t×( 3－t )× 3 2 － 1 2 ×( 3－t )×1 ＝ 3 4 t 2－ 1 4 t＋ 3 2 （3）①若△OMQ 为等腰三角形，则可能有三种情况： （i）若 OM＝MQ，则∠MQO＝∠MOQ＝30° ∵∠AOC＝60°，∴∠OPQ＝90° ∴OP＝ 1 2 OQ，即 t＝ 1 2 ( 3－t ) 解得：t＝ 3 3 B P A C O Q x y M B P A C O Q x y M B P A C O Q x y M （ii）若 OM＝OQ，则∠OMQ＝∠OQM＝75° ∵∠AOC＝60°，∴∠OPQ＝45° 过点 Q 作 QD⊥OA 于 D，则 QD＝DP 即 3 2 ( 3－t )＝t－ 1 2 ( 3－t ) 解得：t＝1 （iii）若 MQ＝OQ，则∠OMQ＝∠MOQ＝∠MOP 得 PQ∥OA，显然不符合题意 ②分别过点 P、Q 作 OB 的垂线，垂足分别为 E、F ∵OP＝t，OQ＝ 3－t，∠MOP＝∠MOQ＝30° ∴S△OPQ ＝S△OPM ＋ S△OOM ＝ 1 2 OM·PE＋ 1 2 OM·QF ＝ 1 4 OM·OP＋ 1 4 OM·OQ＝ 1 4 OM( OP＋OQ ) ＝ 1 4 OM( t＋ 3－t )＝ 3 4 OM 过点 Q 作 QG⊥OA 于 G 则 S△OPQ ＝ 1 2 OP·QG ＝ 1 2 OP·OQ·sin60° ＝ 3 4 t( 3－t )＝－ 3 4 ( t 2－ 3t ) ∴ 3 4 OM＝－ 3 4 ( t 2－ 3t ) ∴OM＝－( t 2－ 3t )＝－( t－ 3 2 )2＋ 3 4 ∴当 t＝ 3 2 时，线段 OM 的长度取得最大值 3 4 16．（浙江模拟）已知直线 y＝ 4 3 x＋4 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，点 C 从 O 点出 发沿射线 OA 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，同时点 D 从 A 点出发沿 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向 B 点匀速运动，当点 D 到达 B 点时 C、D 都停止运动．点 E 是 CD 的 中点，直线 EF⊥CD 交 y 轴于点 F，点 E′ 与 E 点关于 y 轴对称．点 C、D 的运动时间为 t B P A C O Q x y M D B P A C O Q x y ME F G （秒）． （1）当 t＝________秒时，点 F 经过原点 O； （2）设四边形 BDCO 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式； （3）当直线 EF 与△AOB 的一边垂直时，求 t 的值； （4）以 CD 为一边，在 CD 的右侧作菱形 CDMN，其中 DM∥x 轴． 当点 N 在直线 E′F 左侧时，直接写出菱形 CDMN 与△EFE′ 重叠部分 为轴对称图形时 t 的取值范围． 解：（1） 5 2 提示： ∵直线 y＝ 4 3 x＋4 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B ∴A（－3，0），B（0，4），∴AO＝3，BO＝4 ∴AB＝ AO 2＋BO 2 ＝ 3 2＋4 2 ＝5 当点 F 经过原点时，连接 OD 由题意，EF 是 CD 的垂直平分线 ∴OD＝OC＝t ∵AD＝t，∴AD＝OD，∴∠DAO＝∠DOA ∵∠DBO＋∠DAO＝90°，∠DOB＋∠DOA＝90° ∴∠DBO＝∠DOB，∴OD＝BD ∴AD＝BD，∴AD＝ 1 2 AB＝ 5 2 （2）∵AO＝3，BO＝4，AB＝5 ∴sin∠BAO＝ BO AB ＝ 4 5 ，cos∠BAO＝ AO AB ＝ 3 5 过 D 作 DH⊥AC 于 H 当 0≤t ≤3 时 ∵CO＝t，AD＝t，∴AC＝3－t，DH＝AD·sin∠BAO＝ 4 5 t ∴S＝S△ABO － S△ADC ＝ 1 2 ×3×4－ 1 2 ·( 3－t )· 4 5 t＝ 2 5 t 2－ 6 5 t＋6 当 3＜t ≤5 时，AC＝t－3 ∴S＝S△ABO ＋ S△ADC ＝ 1 2 ×3×4＋ 1 2 ·( t－3 )· 4 5 t＝ 2 5 t 2－ 6 5 t＋6 综合得 S 与 t 的函数关系式为： S＝ 2 5 t 2－ 6 5 t＋6（0≤t ≤5） （3）当 EF⊥BO 时 ∵EF⊥CD，∴CD∥BO，∴∠ACD＝90° 在 Rt△ADC 中， AC AD ＝cos∠BAO B A C O D x y F E E′ B A C O D x y F E E′ H B AC O D y F E E′ H x B A O D y F E E′ xC F O y B D CA x E E′ (F) ∴ 3－t t ＝ 3 5 ，∴t＝ 15 8 当 EF⊥AB 时 ∵EF⊥CD，∴直线 CD 与直线 AB 重合 ∴点 C 与点 A 重合，∴t＝3 （4）t＝ 5 4 或 t＝ 15 4 提示：①当 0＜t ＜ 15 8 ，且重叠部分为等腰梯形 PEQM 时 则∠PEQ＝∠MQE ∵菱形 CDMN，∴CD∥MN ∴∠MQE＝∠CEQ，∴∠PEQ＝∠CEQ ∵EF⊥CD，即∠CEF＝90°，∴∠CEQ＝45° ∴∠ACD＝∠CEQ＝45° 过 D 作 DH⊥AC 于 H，则△DHC 是等腰直角三角形 ∴DH＝HC，∴ 4 5 t＝3－t－ 3 5 t，∴t＝ 5 4 ②当 15 8 ＜t ＜5，且重叠部分为等腰梯形 EHNK 时 同理可得∠CHE＝45° 连接 DH ∵EF 垂直平分 CD，∴CH＝DH，∠DHE＝∠CHE＝45° ∴∠DHC＝90°，∴DH＝ 4 5 t 而 CH＝CO－HO＝CO－( AO－AH )＝t－( 3－ 3 5 t ) ∴t－( 3－ 3 5 t )＝ 4 5 t，∴t＝ 15 4 17．（浙江模拟）如图 1，矩形 ABCD 中，AB＝21，AD＝12，E 是 CD 边上的一点，DE＝16，M 是 BC 边的中点，动点 P 从点 A 出发，沿边 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动．设 动点 P 的运动时间是 t 秒． （1）求线段 AE 的长； （2）当△ADE 与△PBM 相似时，求 t 的值； （3）如图 2，连接 EP，过点 P 作 PH⊥AE 于 H． B A O D y E′ xF (C) E O y B D CA F x E E′ M N P Q H O y B D C A F x E E′ M N H K ①当 EP 平分四边形 PMEH 的面积时，求 t 的值； ②以 PE 为对称轴作线段 BC 的轴对称图形 B′C′，当线段 B′C′ 与线段 AE 有公共点时， 写出 t 的取值范围（直接写出答案）． 解：（1）∵ABCD 是矩形，∴∠D＝90° ∴AE＝ AD 2＋DE 2 ＝ 12 2＋16 2 ＝20 （2）∵∠D＝∠B＝90° ∴△ADE 与△PBM 相似时，有两种情况： 当∠DAE＝∠PMB 时，有 DE PB ＝ AD BM 即 16 21－t ＝ 12 6 ，解得 t＝13 当∠DAE＝∠BPM 时，有 DE BM ＝ AD PB 即 16 6 ＝ 12 21－t ，解得 t＝ 33 2 （3）①由题意得：S△EHP ＝S△EMP ∵DC∥AB，∴∠DEA＝∠HAP 又∵∠D＝∠AHP＝90°，∴△ADE∽△PHA ∴ AH DE ＝ PH AD ＝ AP AE ，即 AH 16 ＝ PH 12 ＝ t 20 ∴AH＝ 4 5 t，PH＝ 3 5 t，EH＝20－ 4 5 t ∴S△EHP ＝ 1 2 × 3 5 t×( 20－ 4 5 t ) ∵DC＝21，DE＝16，∴EC＝5 ∴S△EMP ＝S 梯形 EPBC － S△ECM － S△PBM ＝ 1 2 ( 5＋21－t )×12－ 1 2 ×5×6－ 1 2 ×( 21－t )×6 ∴ 1 2 × 3 5 t×( 20－ 4 5 t )＝ 1 2 ( 5＋21－t )×12－ 1 2 ×5×6－ 1 2 ×( 21－t )×6 解得 t＝ 75±5 17 4 ∵0＜t ＜21，∴t＝ 75－5 17 4 D A CE B M P 图 1 D A CE B M P H 图 2 D A CE B M 备用图 D A CE B M P H C′ B′ N D A CE B M P H D A CE B M P H ② 140 11 ≤t ≤20 提示：当点 B′ 落在线段 AE 上时 连接 B′P、EB，∵B′C′ 和 BC 关于 PE 对称 ∴B′P＝BP＝21－t，B′E＝BE＝ BC 2＋EC 2 ＝ 12 2＋5 2 ＝13 ∴AB′＝AE－B′E＝20－13＝7，B′H＝AH－AB′＝ 4 5 t－7 在 Rt△B′HP 中，B′H 2＋PH 2＝B′P 2 ∴( 4 5 t－7 )2＋( 3 5 t )2＝( 21－t )2，解得 t＝ 140 11 当点 C′ 落在线段 AE 上时 连接 C′P、CP，∵B′C′ 和 BC 关于 PE 对称 C′P 2＝CP 2＝12 2＋( 21－t )2，C′E＝CE＝5 ∴AC′＝AE－C′E＝20－5＝15，C′H＝AH－AC′＝ 4 5 t－15 在 Rt△C′HP 中，C′H 2＋PH 2＝C′P 2 ∴( 4 5 t－15 )2＋( 3 5 t )2＝12 2＋( 21－t )2，解得 t＝20 18．（浙江模拟）如图，抛物线与 x 轴交于 A（6，0）、B（19，0）两点，与 y 轴交于点 C（0， 8），直线 CD∥x 轴交抛物线于另一点 D．动点 P、Q 分别从 C、D 两点同时出发，速度均为每 秒 1 个单位，点 P 向射线 DC 方向运动，点 Q 向射线 BD 方向运动，设 P、Q 运动的时间为 t （秒），AQ 交 CD 于 E． （1）求抛物线的解析式； （2）求△APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式； （3）连接 BE．是否存在某一时刻 t，使得∠AEB＝∠BDC？若 存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵抛物线与 x 轴交于 A（6，0）、B（19，0）两点 ∴设抛物线的解析式为 y＝a( x－6 )( x－19 ) ∵抛物线与 y 轴交于点 C（0，8） ∴8＝a( 0－6 )( 0－19 )，∴a＝ 4 57 ∴y＝ 4 57 ( x－6 )( x－19 ) （2）作 PF⊥x 轴于 F，QG⊥x 轴于 G，DH⊥x 轴于 H， ∵CD∥x 轴，∴PF＝DH＝OC＝8 当 y＝8 时， 4 57 ( x－6 )( x－19 )＝8 O B y xA C P QE D D A CE B M P H B C O B y xA C P QE D F H G 解得 x1＝0，x2＝25 ∴D（25，8），OH＝CD＝25 ∵B（19，0），∴BH＝25－19＝6 ∴BD＝ BH 2＋DH 2 ＝ 6 2＋8 2 ＝10 ∵△BDH∽△BQG，∴ BD BQ ＝ DH QG ＝ BH BG ∴ 10 10＋t ＝ 8 QG ＝ 6 BG ∴QG＝ 4 5 t＋8，BG＝ 3 5 t＋6 ∴FG＝t＋19＋ 3 5 t＋6＝ 8 5 t＋25，AG＝ 3 5 t＋19 ∴S＝S 梯形 PFGQ － S△PAF － S△QAG ＝ 1 2 ( PF＋QG )·FG－ 1 2 AF·PF－ 1 2 AG·QG ＝ 1 2 ( 8＋ 4 5 t＋8 )( 8 5 t＋25 )－ 1 2 ( t＋6 )·8－ 1 2 ( 3 5 t＋19 )( 4 5 t＋8 ) ＝ 2 5 t 2＋ 44 5 t＋100 （3）∵AC＝BD＝10，∴四边形 ABDC 是等腰梯形 ∴∠ACD＝∠BDC 若∠AEB＝∠BDC，则∠AEC＋∠BED＝∠BED＋∠EBD ∴∠AEC＝∠EBD，∴△AEC∽△EBD ∴ AC ED ＝ CE DB ，即 10 ED ＝ 25－ED 10 解得 ED＝5 或 ED＝20（＞AB，舍去） ∵△QED∽△QAB，∴ ED AB ＝ QD QB 即 5 13 ＝ t t＋10 ，∴t＝ 25 4 ∴存在某一时刻 t，使得∠AEB＝∠BDC，t＝ 25 4 19．（浙江模拟）如图，抛物线 y＝ax 2＋bx＋c（a＞0）交 x 轴于 A、B 两点（A 在 B 的左侧）， 交 y 轴于 C 点，已知 B 点坐标为（8，0），tan∠ABC＝ 1 2 ，△ABC 的面积为 8． （1）求抛物线的解析式； （2）直线 EF（EF∥x 轴，且分别交 y 轴、线段 CB 于 E、F 两点）从 C 点开始，以每秒 1 个 单位的速度向下运动，与 x 轴重合时停止运动；同时动点 P 从 B 点出发沿线段 BO 以每秒 2 个单位的速度向终点 O 运动，连接 FP，设运动时间为 t 秒．是否存在 t 的值，使以 P、B、F 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，连接 AC 交 EF 于点 G．当 t 为何值时，A、P、F、G 所围成的图形是 y C F E G 平行四边形、等腰梯形和等腰直角三角形． 解：（1）∵B（8，0），∴OB＝8 ∵ OC OB ＝tan∠ABC＝ 1 2 ，∴OC＝4，∴C（0，4） ∵S△ABC ＝8，∴ 1 2 AB·OC＝8 ∴AB＝4，∴OA＝4，∴A（4，0） 把 A、B、C 三点坐标代入 y＝ax 2＋bx＋c，得 16a＋4b＋c＝0 64a＋8b＋c＝0 c＝4 解得 a＝ 1 8 ，b＝－ 3 2 ，c＝4 ∴抛物线的解析式为 y＝ 1 8 x 2－ 3 2 x＋4 （2）存在 ∵AB＝OC＝4，OB＝8，∴AC＝4 2，BC＝4 5 由题意，BP＝2t，BF＝4 5－ 5t 若△PBF∽△ABC，则 PB AB ＝ BF BC 即 2t 4 ＝ 4 5－ 5t 4 5 ，∴t＝ 4 3 若△FBP∽△ABC，则 BF AB ＝ BP BC 即 4 5－ 5t 4 ＝ 2t 4 5 ，∴t＝ 20 7 ∴当 t＝ 4 3 或 t＝ 20 7 时，以 P、B、F 为顶点的三角形与△ABC 相似 （3）t＝ 4 3 时，A、P、F、G 所围成的图形是平行四边形 t＝2 时，A、P、F、G 所围成的图形是等腰梯形 t＝ 24 5 时，A、P、F、G 所围成的图形是等腰直角三角形 20．（浙江模拟）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 为等腰三角形，直线 AC 的解析 式为 y＝－2x＋6，将△AOC 沿直线 AC 折叠，点 O 落在平面内的点 E 处，直线 AE 交 x 轴于点 D． （1）求直线 AD 解析式； （2）动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴正方向匀速运动，点 Q 是射线 CE 上的点，且∠PAQ＝∠BAC．设点 P 运动时间为 t 秒，△POQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函 数关系式； （3）在（2）的条件下，直线 CE 上是否存在一点 F，使以点 F、A、D、P 为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，求出 t 值及 Q 点坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵直线 AC 解析式为 y＝－2x＋6 ∴A（0，6），C（3，0），∴OA＝6，OC＝3 由题意，∠AEC＝∠AOC＝90°，AE＝AO＝6，CE＝CO＝3 设 CD＝x，则 OD＝x＋3 易证△CED∽△AOD，∵AO＝2CE ∴OD＝2DE，即 DE＝ x＋3 2 在 Rt△CED 中，3 2＋( x＋3 2 )2＝x 2 解得 x＝5（舍去负值），∴CD＝5 ∴OD＝8，D（8，0） 设直线 AD 解析式为 y＝kx＋6，则有： 8k＋6＝0，∴k＝－ 3 4 ∴y＝－ 3 4 x＋6 （2）①当 P 在线段 BO 上时，即 0＜t ＜3 时 ∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠BAP＝∠CAQ 又∵∠ABP＝∠ACQ＝∠ACO，AB＝AC ∴△ABP≌△ACQ，∴BP＝CQ＝t，OP＝3－t 作 QH⊥OD 于 H，则 QH＝CQ·sin∠ECD＝ 4 5 t ∴S＝ 1 2 OP·QH＝ 1 2 ( 3－t )· 4 5 t＝－ 2 5 t 2＋ 6 5 t 即 S＝－ 2 5 t 2＋ 6 5 t ②当 P 在 x 轴正半轴上时，即 t ＞3 时 同①可得：BP＝CQ＝t，OP＝t－3 ∴S＝ 1 2 OP·QH＝ 1 2 ( t－3 )· 4 5 t＝ 2 5 t 2－ 6 5 t 即 S＝ 2 5 t 2－ 6 5 t OB y x A C E D OB y x A C E D OB y x A C E DP Q H OB y x A C E DP Q H 综上可知：S＝ － 2 5 t 2＋ 6 5 t（0＜t ＜3） S＝ 2 5 t 2－ 6 5 t（t ＞3） （3）以点 F、A、D、P 为顶点的四边形是平行四边形 则 AF∥PD，AF＝PD 易得直线 CE 解析式为 y＝ 4 3 x－4 当 y＝6 时， 4 3 x－4＝6，∴x＝ 15 2 即 AF＝ 15 2 ，∴PD＝ 15 2 ∴t＝BP＝BD－PD＝3＋8－ 15 2 ＝ 7 2 ∴CQ＝BP＝ 7 2 ，∴CH＝CQ·cos∠ECD＝ 7 2 × 3 5 ＝ 21 10 OH＝OC＋CH＝3＋ 21 10 ＝ 51 10 QH＝CQ·sin∠ECD＝ 7 2 × 4 5 ＝ 14 5 ∴Q（ 51 10 ，14 5 ） 或 t＝BP＝BD＋PD＝3＋8＋ 15 2 ＝ 37 2 ∴CQ＝BP＝ 37 2 ，∴CH＝CQ·cos∠ECD＝ 37 2 × 3 5 ＝ 111 10 OH＝OC＋CH＝3＋ 111 10 ＝ 141 10 QH＝CQ·sin∠ECD＝ 37 2 × 4 5 ＝ 74 5 ∴Q（141 10 ，74 5 ） 综上所述，存在符合条件的点 F，此时 t＝ 7 2 ，Q（ 51 10 ，14 5 ）；或 t＝ 37 2 ，Q（141 10 ，74 5 ） 21．（江苏无锡）如图，菱形 ABCD 的边长为 2cm，∠DAB＝60°．点 P 从 A 点出发，以 3 cm/s 的速度，沿 AC 向 C 作匀速运动；与此同时，点 Q 也从 A 点出发，以 1cm/s 的速度，沿射线 AB 作匀速运动．当 P 运动到 C 点时，P、Q 都停止运动．设点 P 运动的时间为 t s． （1）当 P 异于 A、C 时，请说明 PQ∥BC； （2）以 P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与 边 BC 分别有 1 个公共点和 2 个公共点？ OB y x A C E D P F OB y x A C E DP F 解：（1）∵四边形 ABCD 为菱形，∴AB＝BC＝2，∠BAC＝ 1 2 ∠DAB 又∵∠DAB＝60°，∴∠BAC＝∠BCA＝30° 如图 1，连接 BD 交 AC 于点 O ∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC⊥BD，OA＝ 1 2 AC ∴OB＝ 1 2 AB＝1，∴OA＝ 3，AC＝2 3 运动 t 秒时，AP＝ 3t，AQ＝t，∴ AP AQ ＝ AC AB ＝ 3 又∵∠PAQ＝∠CAB，∴△PAQ∽△CAB ∴∠APQ＝∠ACB，∴PQ∥BC （2）如图 2，设⊙P 与 BC 切于点 M，连接 PM，则 PM⊥BC 在 Rt△CPM 中，∵∠PCM＝30°，∴PM＝ 1 2 PC＝ 3－ 3 2 t 由 PQ＝AQ＝t，即 3－ 3 2 t＝t 解得 t＝4 3－6，此时⊙P 与边 BC 有一个公共点 如图 3，⊙P 过点 B，此时 PQ＝PB ∵∠PQB＝∠PAQ＋∠APQ＝60° ∴△PQB 为等边三角形 ∴QB＝PQ＝AQ＝t，∴t＝1 ∴当 4 3－6＜t ≤1 时，⊙P 与边 BC 有 2 个公共点 如图 4，⊙P 过点 C，此时 PC＝PQ 即 2 3－ 3t＝t，∴t＝3－ 3 ∴当 1＜t ≤3－ 3 时，⊙P 与边 BC 有一个公共点 当点 P 运动到点 C，即 t＝2 时，⊙P 过点 B 此时⊙P 与边 BC 有一个公共点 ∴当 t＝4 3－6 或 1＜t ≤3－ 3 或 t＝2 时，⊙P 与菱形 ABCD 的边 BC 有 1 个公共点 当 4 3－6＜t ≤1 时，⊙P 与边 BC 有 2 个公共点 22．（江苏苏州）如图，正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合，将正方形 ABCD 以 lcm/s 的速度沿 FG 方向移动，移动开始前点 A 与点 F 重合．在移动过程中，边 AD 始终与边 FG 重合，连接 CG，过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P，连接 PD．已知正方形 ABCD 的边 长为 lcm，矩形 EFGH 的边 FG、GH 的长分别为 4cm、3cm．设正方形移动时间为 x（s），线段 GP 的长为 y（cm），其中 0≤x ≤2.5． B P A D C Q A BQ D C P 图 1 O A BQ D C P 图 2 M A BQ D C P 图 3 A BQ D C P 图 4 （1）试求出 y 关于 x 的函数关系式，并求当 y＝3 时相应 x 的值； （2）记△DGP 的面积为 S1，△CDG 的面积为 S2，试说明 S1－S2 是常数； （3）当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时，求线段 PD 的长． 解：（1）∵CG∥AP，∴∠CGD＝∠PAG ∴tan∠CGD＝tan∠PAG，∴ CD GD ＝ PG AG ∵GF＝4，CD＝DA＝1，AF＝x，∴GD＝3－x，AG＝4－x ∴ 1 3－x ＝ y 4－x ，即 y＝ 4－x 3－x ∴y 关于 x 的函数关系式为 y＝ 4－x 3－x 当 y＝3 时， 4－x 3－x ＝3，解得 x＝2.5 （2）∵S1＝ 1 2 GP·GD＝ 1 2 ·4－x 3－x ·( 3－x )＝ 4－x 2 S2＝ 1 2 GD·CD＝ 1 2 ( 3－x )·1＝ 3－x 2 ∴S1－S2＝ 4－x 2 － 3－x 2 ＝ 1 2 ，即为常数 （3）延长 PD 交 AC 于点 Q ∵正方形 ABCD 中，AC 为对角线，∴∠CAD＝45° ∵PQ⊥AC，∴∠ADQ＝45° ∴∠GDP＝∠ADQ＝45° ∴△DGP 是等腰直角三角形，∴GD＝GP ∴3－x＝ 4－x 3－x ，解得 x＝ 5± 5 2 ∵0≤x ≤2.5，∴x＝ 5－ 5 2 在 Rt△DGP 中，PD＝ GD cos45° ＝ 2( 3－x )＝ 2＋ 10 2 23．（江苏连云港）如图，甲、乙两人分别从 A（1， 3）、B（6，0）两点同时出发，点 O 为 坐标原点．甲沿 AO 方向、乙沿 BO 方向均以 4km/h 的速度行走，t h 后，甲到达 M 点，乙到 达 N 点． （1）请说明甲、乙两人到达 O 点前，MN 与 AB 不可能平行． （2）当 t 为何值时，△OMN∽△OBA？ A H C B FD E P G A H C B FD E P G Q （3）甲、乙两人之间的距离为 MN 的长，设 s＝MN 2，求 s 与 t 之间的函数关系式，并求甲、 乙两人之间距离的最小值． 解：（1）∵A（1， 3），∴OA＝2，∠AOB＝60° 假设 MN∥AB，则有 OM OA ＝ ON OB ∵OM＝2－4t，ON＝6－4t，∴2－4t 2 ＝ 6－4t 6 解得 t＝0 即在甲、乙两人到达 O 点前，只有当 t＝0 时，△OMN∽△OAB ∴MN 与 AB 不可能平行 （2）∵甲达到 O 点时间为 t＝ 2 4 ＝ 1 2 ，乙达到 O 点时间为 t＝ 6 4 ＝ 3 2 ∴甲先到达 O 点，∴t＝ 1 2 或 t＝ 3 2 时，O、M、N 三点不能构成三角形 ①当 t ＜ 1 2 时，若△OMN∽△OBA，则有 2－4t 6 ＝ 6－4t 2 解得 t＝2＞ 1 2 ，∴△OMN 与△OBA 不相似 ②当 1 2 ＜t ＜ 3 2 时，∠MON＞∠OAB，显然△OMN 与△OBA 不相似 ③当 t ＞ 3 2 时，4t－2 6 ＝ 4t－6 2 ，解得 t＝2＞ 3 2 ∴当 t＝2 时，△OMN∽△OBA （3）①当 t ≤ 1 2 时，如图 1，过点 M 作 MH⊥x 轴，垂足为 H 在 Rt△MOH 中，∵∠AOB＝60° ∴MH＝OM·sin60°＝( 2－4t )× 3 2 ＝ 3( 1－2t ) ∴NH＝ 1 2 ( 4t－2 )＋( 6－4t )＝5－2t ∴s＝[ 3( 1－2t )]2＋( 5－2t )2＝16t 2－32t＋28 ②当 1 2 ＜t ≤ 3 2 时，如图 2，作 MH⊥x 轴，垂足为 H 在 Rt△MNH 中，MH＝ 3 2 ( 4t－2 )＝ 3( 2t－1 ) O B y x A O B y x A M H 图 1 N O B y x A M H 图 2 N NH＝ 1 2 ( 4t－2 )＋( 6－4t )＝5－2t ∴s＝[ 3( 1－2t )]2＋( 5－2t )2＝16t 2－32t＋28 ③当 t ＞ 3 2 时，同理可得 s＝[ 3( 1－2t )]2＋( 5－2t )2＝16t 2－32t＋28 综上所述，s＝16t 2－32t＋28 ∵s＝16t 2－32t＋28＝16( t－1 )2＋12 ∴当 t＝1 时，s 有最小值为 12 ∴甲、乙两人距离的最小值为 2 3km 24．（江苏南通）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10 厘米，BC＝12 厘米，D 是 BC 的中点．点 P 从 B 出发，以 a 厘米/秒（a＞0）的速度沿 BA 匀速向点 A 运动，点 Q 同时以 1 厘米/秒的速 度从 D 出发，沿 DB 匀速向点 B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运 动，设它们运动的时间为 t 秒． （1）若 a＝2，△BPQ∽△BDA，求 t 的值； （2）设点 M 在 AC 上，四边形 PQCM 为平行四边形． ①若 a＝ 5 2 ，求 PQ 的长； ②是否存在实数 a，使得点 P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求出 a 的值；若不存在，请 说明理由． 解：（1）∵BC＝12，D 是 BC 的中点 ∴BD＝CD＝6 ∵a＝2，∴BP＝2t，DQ＝t，BQ＝6－t ∵△BPQ∽△BDA，∴ BP BD ＝ BQ BA ∴ 2t 6 ＝ 6－t 10 ，∴t＝ 18 13 （2）①∵a＝ 5 2 ，∴BP＝ 5 2 t ∵四边形 PQCM 为平行四边形，∴PQ∥AC ∴△BPQ∽△BAC，∴ BP BA ＝ BQ BC ∴ 5 2 t 10 ＝ 6－t 12 ，∴t＝ 3 2 ，∴BP＝ 15 4 CB D A Q P CB D A Q P M ∵AB＝AC，∴PQ＝BP＝ 15 4 ②不存在 理由：假设存在实数 a，使得点 P 在∠ACB 的角平分线上 则四边形 PQCM 为菱形，∴BP＝PQ＝CQ＝6＋t 由①知， BP BA ＝ BQ BC ，∴ 6＋t 10 ＝ 6－t 12 ∴t＝－ 6 11 ＜0 ∴不存在实数 a，使得点 P 在 ACB 的角平分线上 25．（江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l1：y＝ 1 2 x 与直线 l2：y＝－ x＋6 相交于点 M，直线 l2 与 x 轴相交于点 N． （1）求 M、N 的坐标； （2）在矩形 ABCD 中，已知 AB＝1，BC＝2，边 AB 在 x 轴上，矩形 ABCD 沿 x 轴自左向右以 每秒 1 个单位长度的速度移动．设矩形 ABCD 与△OMN 的重合部分的面积为 S，移动的时间为 t（从点 B 与点 O 重合时开始计时，到点 A 与点 N 重合时计时结束）．直接写出 S 与自变量 t 之间的函数关系式（不需要给出解答过程）； （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，S 的值最大？并求出最大值． 解：（1）对于 y＝－x＋6，令 y＝0，得 x＝6 ∴点 N 的坐标为（6，0） 由题意，得 y＝ 1 2 x y＝－x＋6 解得 x＝4 y＝2 ∴点 M 的坐标为（4，2） （2）当 0≤t ≤1 时，S＝ 1 4 t 2 当 1＜t ≤4 时，S＝ 1 2 t－ 1 4 当 4＜t ＜5 时，S＝－ 3 4 t 2＋ 13 2 t－ 49 4 A B l1 N M x l2 CD y O A B l1 N M x l2 CD y O A l1 N M x l2 CD y O B A l1 N M x l2 CD y O B 当 5≤t ＜6 时，S＝－t＋ 13 2 当 6≤t ≤7 时，S＝ 1 2 ( 7－t )2 （3）解法一：当 0≤t ≤1 时，S 最大＝ 1 4 当 1＜t ≤4 时，S 最大＝ 7 4 当 4＜t ＜5 时，S＝－ 3 4 ( t－ 13 3 )2＋ 11 6 ∴当 t＝ 13 3 时，S 最大＝ 11 6 当 5≤t ＜6 时，S 最大＝ 3 2 当 6≤t ≤7 时，S 最大＝ 1 2 综上可知，当 t＝ 13 3 时，S 的值最大，且最大值是 11 6 解法二：由（2）中的函数关系式可知， S 的最大值一定在 4＜t ＜5 时取得 当 4＜t ＜5 时，S＝－ 3 4 ( t－ 13 3 )2＋ 11 6 ∴当 t＝ 13 3 时，S 的值最大，且最大值是 11 6 26．（江苏模拟）已知抛物线与 x 轴交于 B、C（1，0）两点，与 y 轴交于点 A，顶点坐标为 （ 5 2 ，－ 27 16 ）．P、Q 分别是线段 AB、OB 上的动点，它们同时分别从点 A、O 向 B 点匀速运 动，速度均为每秒 1 个单位，设 P、Q 运动时间为 t（0≤t≤4）． （1）求此抛物线的解析式，并求出 P 点的坐标（用 t 表示）； （2）当△OPQ 面积最大时求△OBP 的面积； （3）当 t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？ （4）△OPQ 是否可能为等边三角形？若可能请求出 t 的值；若不可能请说明理由，并改变 Q 点的运动速度，使△OPQ 为等边三角形，求出 Q 点运动的速度和此时 t 的值． 解：（1）设抛物线的解析式为 y＝a( x－ 5 2 )2－ 27 16 ∵抛物线过点 C（1，0） y O x A BC Q P A l1 N M x l2 CD y O B A l1 N M x l2 CD y O B ∴0＝a( 1－ 5 2 )2－ 27 16 ，∴a＝ 3 4 ∴y＝ 3 4 ( x－ 5 2 )2－ 27 16 令 y＝0，得 x1＝1，x2＝4，∴B（4，0） 令 x＝0，得 y＝3，∴A（0，3） ∴AB＝ 3 2＋4 2 ＝5 过点 P 作 PM⊥y 轴于 M 则△AMP∽△AOB，∴ AM AO ＝ PM OB ＝ AP AB 即 AM 3 ＝ PM 4 ＝ t 5 ，∴AM＝ 3 5 t，PM＝ 4 5 t ∴P（ 4 5 t，3－ 3 5 t） （2）过点 P 作 PN⊥x 轴于 N ∴S△OPQ ＝ 1 2 OQ·PN＝ 1 2 ·t·( 3－ 3 5 t ) ＝－ 3 10 t 2＋ 3 2 t＝－ 3 10 ( t－ 5 2 )2＋ 15 8 ∴当 t＝ 5 2 时，△OPQ 面积最大 此时 OP 为 AB 边上的中线 ∴S△OBP ＝ 1 2 S△AOB ＝ 1 2 × 1 2 ×3×4＝3 （3）若∠OPQ＝90°，则 OP 2＋PQ 2＝OQ 2 ∴( 4 5 t )2＋( 3－ 3 5 t )2＋( t－ 4 5 t )2＋( 3－ 3 5 t )2＝t 2 解得 t1＝3，t2＝15（舍去） 若∠OQP＝90°，则 PM＝OQ∴ 4 5 t＝t，∴t＝0（舍去） ∴当 t＝3 时，△OPQ 为直角三角形 （4）∵OP 2＝( 4 5 t )2＋( 3－ 3 5 t )2，PQ 2＝( t－ 4 5 t )2＋( 3－ 3 5 t )2 ∴OP≠PQ，∴△OPQ 不可能是等边三角形 设 Q 的速度为每秒 k 个单位时，△OPQ 为等边三角形 则 OQ＝2PM，∴kt＝2· 4 5 t，得 k＝ 8 5 PN＝ 3 2 OP＝ 3 2 OQ，∴3－ 3 5 t＝ 3 2 · 8 5 t ∴t＝ 20 3－15 13 27．（江苏模拟）如图，在梯形纸片 ABCD 中，BC∥AD，∠A＋∠D＝90°，tanA＝2，过点 B 作 BH⊥AD 于 H，BC＝BH＝2．动点 F 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 DH 运动到点 H 停止，在运动过程中，过点 F 作 FE⊥AD 交折线 D－C－B 于点 E，将纸片沿直线 EF 折叠，点 O x A BC Q P y M N C、D 的对应点分别是点 C1、D1．设 F 点运动的时间是 t（秒）． （1）当点 E 和点 C 重合时，求 t 的值； （2）在整个运动过程中，设△EFD1 或四边形 EFD1C1 与梯形 ABCD 重叠部分面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式和相应自变量 t 的取值范围； （3）平移线段 CD，交线段 BH 于点 G，交线段 AD 于点 P．在直线 BC 上是否存在点 Q，使△ PGQ 为等腰直角三角形？若存在，求出线段 BQ 的长；若不存在，说明理由． 解：（1）过点 C 作 CK⊥AD 于 K 则四边形 BHKC 是矩形，∴HK＝BC＝2，CK＝BH＝2 在 Rt△CKD 中，∠DCK＋∠D＝90° ∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DCK＝∠A ∴tan∠DCK＝tanA＝2，即 DK CK ＝2 ∴DK＝4，即 t＝4 （2）∵ BH AH ＝tanA＝2，BH＝2，∴AH＝1 ∴AD＝AH＋HK＋DK＝1＋2＋4＝7 ①当 0＜t ≤3.5 时，重叠部分为△EFD1 由题意，D1F＝DF＝t 在 Rt△EFD 中，∠DEF＋∠D＝90° ∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DEF＝∠A ∴tan∠DEF＝tanA＝2，即 DF EF ＝2，∴EF＝ 1 2 t ∴S＝S△EFD1 ＝ 1 2 D1F·EF＝ 1 2 t· 1 2 t＝ 1 4 t 2 ②当 3.5＜t ≤4 时，重叠部分为四边形 AFEM 过点 M 作 MN⊥AD 于 N 则 tanA＝D1A＝2t－7， MN AN ＝tanA＝2，得 AN＝ 1 2 MN MN D1A＋AN ＝tanD1＝tanD＝cotA＝ 1 2 即 MN 2t－7＋ 1 2 MN ＝ 1 2 ，得 MN＝ 2 3 ( 2t－7 ) ∴S＝S△EFD1 － S△MD1A ＝ 1 4 t 2－ 1 2 ( 2t－7 )· 2 3 ( 2t－7 ) ＝－ 13 12 t 2＋ 28 3 t－ 49 3 D1A B C F E DH A B C DH 备用图 A B C DH K D1A B C F E DH D1 A B C F E DHN M D1 A B C F E DHN M C1 D1 A B C F E DH C1 ③当 4＜t ≤5 时，重叠部分为五边形 AFEC1M S＝S△C1D1FE － S△MD1A ＝ 1 2 ( t－4＋t )·2－ 1 2 ( 2t－7 )· 2 3 ( 2t－7 ) ＝－ 4 3 t 2＋ 34 3 t－ 61 3 ④当 5＜t ≤6 时，重叠部分为梯形 AFEB S＝S 梯形 AFEB ＝ 1 2 ( 6－t＋7－t )·2＝－2t＋13 （3）①当点 P 为直角顶点时 作 QO⊥AD 于 O，则∠GPH＋∠QPO＝90° ∵∠GPH＋∠PGH＝90°，∴∠PGH＝∠QPO 又∵PG＝PQ，∠GHP＝∠POQ＝90° ∴△GHP≌△POQ，∴HP＝OQ＝2，PO＝ 1 2 OQ＝1 ∴BQ＝HO＝3 ②当点 Q 为直角顶点时 同①可证△BQG≌△OQP，∴BQ＝OQ＝2 ③当点 G 为直角顶点时 同①可证△BQG≌△HGP，∴BG＝HP＝2GH＝2BQ ∵BG＋GH＝BH，∴2BQ＋BQ＝2，∴BQ＝ 2 3 ∴在直线 BC 上存在点 Q，使△PGQ 为等腰直角三角形，线段 BQ 的长为 3，2， 2 3 28．（江苏模拟）如图 1，直线 l：y＝－ 3 4 x＋3 分别交 x 轴、y 轴于 B、A 两点，等腰 Rt△ CDE 的斜边 C D 在 x 轴上，且 C D＝6．若直线 l 以每秒 3 个单位的速度向上匀速运动，同时 点 C 从（6，0）开始以每秒 2 个单位的速度向右匀速运动（如图 2），设运动后直线 l 分别 交 x 轴、y 轴于 N、M 两点，以 OM、ON 为边作如图所示的矩形 OMPN．设运动时间为 t 秒． （1）运动 t 秒后点 E 坐标为______________，点 N 坐标为______________（用含 t 的代数 式表示）； （2）设矩形 OMPN 与运动后的△CDE 的重叠部分面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出 相应的 t 的取值范围； （3）若直线 l 和△CDE 运动后，直线 l 上存在点 Q 使∠OQC＝90°，则当在线段 MN 上符合 条件的点 Q 有且只有两个时，求 t 的取值范围； （4）连接 PC、PE，当△PCE 是等腰三角形时，直接写出 t 的值． A B xC D y O E l 图 1 N M xC y O P Dl E 图 2 A B C DH P O Q G A B C DH PO G (Q) A B C DH P G Q 解：（1）E（9＋2t，3），N（4＋4t，0） （2）运动 t 秒时，ON＝4＋4t，OC＝6＋2t，OD＝12＋2t 当点 N 与点 C 重合时，4＋4t＝6＋2t，得 t＝1 当点 E 在边 PN 上时，4＋4t＝9＋2t，得 t＝2.5 当点 N 与点 D 重合时，4＋4t＝12＋2t，得 t＝4 ①当 1＜t ≤2.5 时，重叠部分为等腰 Rt△CFN CN＝FN＝4＋4t－( 6＋2t )＝2t－2 ∴S＝ 1 2 ( 2t－2 )2＝2t 2－4t＋2 ②当 2.5＜t ＜4 时，重叠部分为四边形 CEGN ND＝12＋2t－( 4＋4t )＝8－2t ∴S＝S△CDE － S△NGD ＝ 1 2 ×6×3－ 1 2 ( 8－2t )2＝－2t 2＋16t－23 ③当 t ≥4 时，重叠部分为△CDE ∴S＝ 1 2 ×6×3＝9 （3）①当直线 l 过点 C，即 C、N 重合时，则线段 MN 上只存在一点 Q 使∠OQC＝90° 由（2）知，此时 t＝1 ②以 OC 为直径作⊙O′，当直线 l 切⊙O′ 于点 Q 时，则线段 MN 上只存在一点 Q 使∠OQC＝ 90° OO′＝O′Q＝ 1 2 OC＝3＋t O′N＝ON－OO′＝4＋4t－(3＋t )＝1＋3t 由 O′Q O′N ＝sin∠O′NQ＝sin∠MNO＝ 3 5 得 3＋t 1＋3t ＝ 3 5 ，解得 t＝3 所以当在线段 MN 上符合条件的点 Q 有且只有两个时，t 的取值范围是 1＜t ＜3 （4）t＝ 3 10－5 13 ，t＝ 2 5 ，t＝ 7 13 ，t＝1 N xD y O E l M (C) Q xC D y O E lN M F P N M xC y O P D l E G 提示：∵P（4＋4t，3＋3t），C（6＋2t，0），E（9＋2t，3） ∴PC 2＝( 2t－2 )2＋( 3＋3t )2 PE 2＝( 2t－5 )2＋( 3t )2，CE 2＝18 若 PC＝PE，则( 2t－2 )2＋( 3＋3t )2＝( 2t－5 )2＋( 3t )2 解得 t＝ 2 5 若 PC＝CE，则( 2t－2 )2＋( 3＋3t )2＝18 解得 t＝ 3 10－5 13 （舍去负值） 若 PE＝CE，则( 2t－5 )2＋( 3t )2＝18 解得 t＝1 或 t＝ 7 13 29．（江苏模拟）如图，抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 的顶点为 C（0，－ 3），与 x 轴交于点 A、B （A 在 B 的左侧），连接 AC、BC，得等边△ABC．点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位的速度向 点 A 运动，同时点 Q 从点 C 出发，以每秒 3 个单位的速度向 y 轴负方向运动，连接 PQ 交 射线 BC 于点 D，当点 P 到达点 A 时，点 Q 停止运动．设运动时间为 t 秒． （1）求抛物线的解析式； （2）设△PQC 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式； （3）以点 P 为圆心，PB 为半径的圆与射线 BC 交于点 E，试说明：在点 P 运动的过程中，线 段 DE 的长是一定值，并求出该定值． 解：（1）∵抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 的顶点为 C（0，－ 3） ∴抛物线的对称轴是 y 轴，∴b＝0 可设抛物线的解析式为 y＝ax 2－ 3 ∵△ABC 是等边三角形，且 CO⊥AB，CO＝ 3 ∴AO＝1，∴A（－1，0） A C O B x y 备用图 A C O B Q x y P C xD y O E l M Q NO′ A C O B D x H Q P E y 把 A（－1，0）代入 y＝ax 2－ 3，得 a＝ 3 ∴抛物线的解析式为 y＝ 3x 2－ 3 （2）当 0＜t ＜1 时，OP＝1－t，CQ＝ 3t ∴S＝ 1 2 CQ·OP＝ 1 2 · 3t·( 1－t )＝－ 3 2 t 2＋ 3 2 t 当 1＜t ＜2，OP＝t－1，CQ＝ 3t ∴S＝ 1 2 CQ·OP＝ 1 2 · 3t·( t－1 )＝ 3 2 t 2－ 3 2 t （3）连接 PE，过 D 作 DH⊥y 轴于 H，设 DH＝a ①当 0＜t ＜1 时 ∵PB＝PE，∠PBE＝60° ∴△PBE 为等边三角形∴BE＝PB＝t ∵△QDH∽△QPO ∴ DH PO ＝ QH QO ，即 a 1－t ＝ 3a＋ 3t 3t＋ 3 ∴a＝ 1－t 2 ，∴DC＝1－t ∴DE＝CB－EB－DC＝2－t－( 1－t )＝1 ②当 1＜t ＜2 时 同理，△QDH∽△QPO，得 DH PO ＝ QH QO ∴ a t－1 ＝ 3t－ 3a 3t＋ 3 ∴a＝ t－1 2 ，∴DC＝t－1∴DE＝DC＋CE＝t－1＋( 2－t )＝1 综上所述，在点 P 运动的过程中，线段 DE 的长是定值 2 30．（河北）如图，点 A（－5，0），B（－3，0），点 C 在 y 轴的正半轴上，∠CBO＝45°， CD∥AB，∠CDA＝90°．点 P 从点 Q（4，0）出发，沿 x 轴向左以每秒 1 个单位长的速度运 动，运动时间为 t 秒． （1）求点 C 的坐标； （2）当∠BCP＝15°，求 t 的值； （3）以点 P 为圆心，PC 为半径的⊙P 随点 P 的运动而变化，当⊙P 与四边形 ABCD 的边（或 边所在的直线）相切时，求 t 的值． 解：（1）∵∠BCO＝∠CBO＝45°，∴OC＝OB＝3 又∵点 C 在 y 轴的正半轴上，∴点 C 的坐标为（0，3） （2）当点 P 在点 B 右侧时，如图 2 若∠BCP＝15°，得∠PCO＝30° 故 OP＝OC·tan30°＝ 3 此时 t＝4＋ 3 当点 P 在点 B 左侧时，如图 3 BA Q xP O y CD A C O B H x D Q P E y 由∠BCP＝15°，得∠PCO＝60° 故 OP＝OC·tan60°＝3 3 此时 t＝4＋3 3 ∴t 的值为 4＋ 3 或 4＋3 3 （3）由题意知，若⊙P 与四边形 ABCD 的边相切，有以下三种情况： ①当⊙P 与 BC 相切于点 C 时，有∠BCP＝90° 从而∠OCP＝45°，得到 OP＝3，此时 t＝1 ②当⊙P 与 CD 相切于点 C 时，有 PC⊥CD 即点 P 与点 O 重合，此时 t＝4 ③当⊙P 与 AD 相切时，由题意，∠DAO＝90° ∴点 A 为切点，如图 4 PC 2＝PA 2＝( 9－t )2，PO 2＝( t－4 )2 于是( 9－t )2＝( t－4 )2＋32，解得：t=5.6 ∴t 的值为 1 或 4 或 5.6 31．（河北模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．点 P 从点 A 出发沿 AB 以每秒 2 个单位长的速度向点 B 匀速运动；点 Q 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度 向点 A 匀速运动．运动过程中 DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 PB－BC 于点 E．点 P、Q 同时出发，当点 P 到达点 B 时停止运动，点 Q 也随之停止．设点 P、Q 运动的时间是 t 秒． （1）当 t＝______________秒，直线 DE 经过点 B；当 t＝______________秒，直线 DE 经过 点 A； （2）四边形 DPBE 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值；若不能，请说明理由； （3）当 t 为何值时，点 E 是 BC 的中点？ （4）以 E 为圆心，EC 长为半径的圆能否与 AB、AC、PQ 同时相切？若能，直接写出 t 的值； 若不能，请说明理由． 解：（1）20－2 73 3 ；2 提示：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6 ∴BC＝ AB 2－AC 2 ＝ 10 2－6 2 ＝8 当直线 DE 经过点 B 时，连接 QB，则 PB＝QB B Q A D C E P B Q A D C P (E) BA Q xP O y CD 图 2 BA Q xP O y CD 图 4 BA Q xP O y CD 图 3 ∴(10－2t )2＝t 2＋8 2，解得 t＝ 20＋2 73 3 （舍去）或 t＝ 20－2 73 3 当直线 DE 经过点 A 时，AP＝AQ ∴2t＝6－t，即 t＝2 （2）①当 DE∥PB 时，四边形 DPBE 是直角梯形 此时∠APQ＝90°，由△AQP∽△ABC，得 AP AC ＝ AQ AB 即 2t 6 ＝ 6－t 10 ，解得 t＝ 18 13 ②当 PQ∥BC 时，四边形 DPBE 是直角梯形 此时∠AQP＝90°，由△APQ∽△ABC，得 AQ AC ＝ AP AB 即 6－t 6 ＝ 2t 10 ，解得 t＝ 30 11 （3）连接 QE、PE，作 EG⊥PB 于 G，则 QE＝PE ∵QE 2＝t 2＋4 2 PE 2＝PG 2＋EG 2＝(10－2t－ 4 5 ×4)2＋( 3 5 ×4)2 ∴t 2＋4 2＝(10－2t－ 4 5 ×4)2＋( 3 5 ×4)2 解得 t＝ 68＋2 481 15 （舍去）或 t＝ 68－2 481 15 （4）不能 设⊙E 与 AB 相切于 F 点，连接 EF、EP、EQ 则 EC＝EF，EQ＝EP，∠ECQ＝∠EFP＝90° ∴△ECQ≌△EFP，∴QC＝PF ∵∠C＝90°，∴⊙E 与 AC 相切于 C 点 ∴AC＝AF，∴AQ＝AP 又 AD＝AD，DQ＝DP ∴△ADQ≌△ADP，∴∠ADQ＝∠ADP＝90° 又∠QDE＝90°，∴A、D、E 三点在同一直线上 由（1）知，此时 t＝2，AQ＝6－t＝4 ∵AB＝10，AC＝6，∴sinB＝ AC AB ＝ 6 10 ＝ 3 5 设 EC＝EF＝x，则 EB＝ EF sinB ＝ 5 3 x ∵EC＋EB＝BC，∴x＋ 5 3 x＝8 ∴x＝3，∴EC＝EF＝3 ∴AE＝ AC 2＋EC 2 ＝ 6 2＋3 2 ＝3 5 易知△ADQ∽△ACE，∴ AD AC ＝ AQ AE B Q A D C P E B Q A D C P E B Q A D C P E B Q A D C E P G B Q A D C P E F ∴ AD 6 ＝ 4 3 5 ，∴AD＝ 8 5 5 ∴ED＝AE－AD＝3 5－ 8 5 5＝ 7 5 5＝ 49 5 而 EC＝3＝ 45 5 ，∴ED＞EC ∴此时⊙E 与 PQ 相离 ∴⊙E 不能与 AB、AC、PQ 同时相切 32．（山东青岛）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E 分别是 AC、AB 的中点，连接 DE．点 P 从点 D 出发，沿 DE 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 2cm/s，当点 P 停止运动时，点 Q 也停止运动．连接 PQ，设运动时间为 t（s）（0＜t ＜4）．解答下列问题： （1）当 t 为何值时，PQ⊥AB？ （2）当点 Q 在 B、E 之间运动时，设五边形 PQBCD 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数 关系式； （3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻 t，使 PQ 分四边形 BCDE 两部分的面积之比为 S△PQE : S 五边形 PQBCD ＝1 : 29？若存在，求出此时 t 的值以及点 E 到 PQ 的距离 h；若不存在，请说明理 由． 解：（1）如图①，在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，AC＝6，BC＝8 ∴AB＝ 6 2＋8 2 ＝10 ∵D、E 分别是 AC、AB 的中点 AD＝DC＝3，AE＝EB＝5，DE∥BC 且 DE＝ 1 2 BC＝4 ∵PQ⊥AB，∴∠PQB＝∠C＝90° 又∵DE∥BC，∴∠AED＝∠B ∴△PQE∽△ACB，∴ PE AB ＝ QE BC 由题意得：PE＝4－t，QE＝2t－5 ∴ 4－t 10 ＝ 2t－5 8 ，解得 t＝ 41 14 （2）如图②，过点 P 作 PM⊥AB 于 M 由△PME∽△ACB，得 PM AC ＝ PE AB A BC 备用图 ED A P Q BC ED A P Q BC ED ① A P Q BC ED ② M ∴ PM 6 ＝ 4－t 10 ，得 PM＝ 3 5 ( 4－t ) ∴S△PQE ＝ 1 2 EQ·PM＝ 1 2 ( 2t－5 )· 3 5 ( 4－t )＝ 3 5 t 2－ 39 10 t＋6 S 梯形 DCBE ＝ 1 2 ×( 4＋8 )×3＝18 ∴y＝18－( 3 5 t 2－ 39 10 t＋6)＝－ 3 5 t 2＋ 39 10 t＋12 （3）假设存在时刻 t，使 S△PQE : S 五边形 PQBCD ＝1 : 29 此时 S△PQE ＝ 1 30 S 梯形 DCBE ∴ 3 5 t 2－ 39 10 t＋6＝ 1 30 ×18，解得 t1＝2，t2＝ 9 2 （舍去） 当 t＝2 时，PM＝ 3 5 ( 4－2 )＝ 6 5 ，ME＝ 4 5 ( 4－2 )＝ 8 5 EQ＝5－2×2＝1，MQ＝ME＋EQ＝ 8 5 ＋1＝ 13 5 PQ＝ PM 2＋MQ 2 ＝ 205 5 ∵ 1 2 PQ·h＝ 3 5 ，∴h＝ 6 5 × 5 205 ＝ 6 205 205 33．（山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（1，0），C（3， 0），D（3，4），以 A 为顶点的抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 过点 C．动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动．点 P，Q 的运动速度均为每秒 1 个单位，运动时间为 t 秒．过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E． （1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）过点 E 作 EF⊥AD 于 F，交抛物线于点 G．当 t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值 为多少？ （3）在动点 P，Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H， 使以 C，Q，E，H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值． 解：（1）A（1，4） 由题意，可设抛物线解析式为 y＝a( x－1 )2＋4 ∵抛物线过点 C（3，0） ∴0＝a( 3－1 )2＋4，∴a＝－1 ∴抛物线的解析式为 y＝－( x－1 )2＋4 即 y＝－x 2＋2x＋3 xO y A D C B F G EP Q xO y A D C B F G EP Q （2）∵A（1，4），C（3，0） ∴可求直线 AC 的解析式为 y＝－2x＋6 P（1，4－t） 将 y＝4－t 代入 y＝－2x＋6 中，解得点 E 的横坐标为 x＝1＋ t 2 ∴点 G 的横坐标为 1＋ t 2 ，代入抛物线的解析式中，可求点 G 的纵坐标为 4－ t 2 4 ∴GE＝( 4－ t 2 4 )－( 4－t )＝t－ t 2 4 又点 A 到 GE 的距离为 t 2 ，C 到 GE 的距离为 2－ t 2 即 S△ACG ＝S△AEG ＋ S△CEG ＝ 1 2 EG· t 2 ＋ 1 2 EG( 2－ t 2 )＝ 1 2 ·2( t－ t 2 4 )＝－ 1 4 ( t－2 )2＋1 当 t＝2 时，S△ACG 的最大值为 1 （3）t＝ 20 13 或 t＝20－8 5 提示：∵A（1，4），C（3，0），∴AB＝4，BC＝2 ∴AC＝ 2 2＋4 2 ＝2 5，∴cos∠BAC＝ AB AC ＝ 4 2 5 ＝ 2 5 5 ∵PE⊥AB，AP＝t，∴AE＝ AP cos∠BAC ＝ 5 2 t ∴CE＝2 5－ 5 2 t 若 EQ＝CQ，则在矩形 ABCD 内存在点 H，使四边形 CQEH 为菱形 过点 Q 作 QN⊥EC 于 N，则 CE＝2CN 在 Rt△QNC 中，CN＝CQ·cos∠ACD＝CQ·cos∠BAC＝ 2 5 5 t ∴2 5－ 5 2 t＝ 4 5 5 t，解得 t＝ 20 13 若 CE＝CQ，则在矩形 ABCD 的 AD 边上存在点 H，使四边形 CQHE 为菱形 ∴2 5－ 5 2 t＝t，解得 t＝20－8 5 34．（山东模拟）把 Rt△ABC 和 Rt△DEF 按图 1 摆放（点 C 与点 E 重合），点 B、C（E）、F 在同一条直线上．∠BAC＝∠DEF＝90°，∠ABC＝45°，BC＝9，DE＝6，EF＝8．如图 2， △DEF 从图 1 的位置出发，以 1 个单位/秒的速度沿 CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的 同时，点 P 从△DEF 的顶点 F 出发，以 3 个单位/秒的速度沿 FD 向点 D 匀速移动．当点 P 移 动到点 D 时，P 点停止移动，△DEF 也随之停止移动．DE 与 AC 相交于点 Q，连接 BQ、PQ， 设移动时间为 t（s）． （1）设△BQE 的面积为 y，求 y 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； （2）当 t 为何值时，三角形 DPQ 为等腰三角形？ （3）是否存在某一时刻 t，使 P、Q、B 三点在同一条直线上？若存在，求出此时 t 的值； 若不存在，说明理由． (E) A B D C F 图 1 A B D E F 图 2 P Q C xO y A D C B EP Q H N xO y A D C B EP Q H 解：（1）∵∠ACB＝45°，∠DEF＝90°，∴∠EQC＝45° ∴EC＝EQ＝t，∴BE＝9－t ∴y＝ 1 2 BE·EQ＝ 1 2 ( 9－t )t 即 y＝－ 1 2 t 2＋ 9 2 t（0＜t ≤ 10 3 ） （2）在 Rt△DEF 中，∵∠DEF＝90°，DE＝6，EF＝8 ∴DF＝ DE 2＋EF 2 ＝ 6 2＋8 2 ＝10 ①当 DQ＝DP 时，则 6－t＝10－3t，解得 t＝2 ②当 PQ＝PD 时，过 P 作 PG⊥DQ 于 G 则 DH＝HQ＝ 1 2 ( 6－t ) ∵HP∥EF，∴△DHP∽△DEF ∴ DH DE ＝ DP DF ，即 1 2 ( 6－t ) 6 ＝ 10－3t 10 ，解得 t＝ 30 13 ③当 QP＝QD 时，过 Q 作 QH⊥DP 于 H 则 DH＝HP＝ 1 2 ( 10－3t ) 可得△DHQ∽△DEF，∴ DH DE ＝ DQ DF 即 1 2 ( 10－3t ) 6 ＝ 6－t 10 ，解得 t＝ 14 9 （3）假设存在某一时刻 t，使 P、Q、B 三点在同一条直线上 过 P 作 PK⊥BF 于 K，则△PKF∽△DEF ∴ PK DE ＝ KF EF ＝ PF DF ，即 PK 6 ＝ KF 8 ＝ 3t 10 ∴PK＝ 9 5 t，KF＝ 12 5 t ∵P、Q、B 三点共线，∴△BQE∽△BPK ∴ BE QE ＝ BK PK ，即 9－t t ＝ 9－t＋8－ 12 5 t 9 5 t ，解得 t＝ 1 2 即当 t＝ 1 2 秒时，P、Q、B 三点在同一条直线上 A B D E F PQ C K A B D E F P Q C G A B D E F H Q C P A B D E F P Q C 35．（山东模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC 于 D，且 BD＝8cm．点 M 从点 A 出发，沿 AC 方向匀速运动，速度为 2cm/s；同时直线 PQ 由点 B 出发沿 BA 方向匀速运动， 速度为 1cm/s，运动过程中始终保持 PQ∥AC，直线 PQ 交 AB 于 P，交 BC 于 Q，连接 PM，设 运动时间为 t（s）． （1）当四边形 PQCM 是等腰梯形时，求 t 的值； （2）当点 M 在线段 PC 的垂直平分线上时，求 t 的值； （3）当 t 为何值时，①△PQM 是等腰三角形；②△PQM 是直角三角形； （4）是否存在时刻 t，使以 PM 为直径的圆与 BC 相切？若存在，求出 t 的值；若不存在， 请说明理由． 解：（1）作 PE⊥AC 于 E，作 QF⊥AC 于 F 若四边形 PQCM 是等腰梯形，则 ME＝CF 易知四边形 PQFE 是矩形，∴EF＝PQ ∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC ∵AB＝AC，∴PQ＝PB＝t，∴EF＝t ∵AB＝10，BD＝8，∴AD＝ 10 2－8 2 ＝6 易证△APE∽△ABD，∴ AE AD ＝ AP AB 即 AE 6 ＝ 10－t 10 ，∴AE＝6－ 3 5 t ∴ME＝AE－AM＝6－ 3 5 t－2 t＝6－ 13 5 t CF＝AC－( AE＋EF )＝10－( 6－ 3 5 t＋t )＝4－ 2 5 t 由 ME＝CF，得 6－ 13 5 t＝4－ 2 5 t，解得 t＝ 10 11 ∴当 t＝ 10 11 s 时，四边形 PQCM 是等腰梯形 （2）若点 M 在线段 PC 的垂直平分线上，则 MP＝MC 作 MG⊥AB 于 G，则△AMG∽△ABD ∴ AG AD ＝ MG BD ＝ AM AB ，∴ AG 6 ＝ MG 8 ＝ 2t 10 ∴AG＝ 6 5 t，MG＝ 8 5 t E A C F B D P Q M A CB D P Q MG A CB D P Q M ∴PG＝10－t－ 6 5 t＝10－ 11 5 t 在 Rt△GPM 中，MP 2＝( 8 5 t )2＋( 10－ 11 5 t )2＝ 37 5 t 2－44t＋100 又∵MC 2＝( 10－2t )2＝4t 2－40t＋100 由 MP＝MC，得 37 5 t 2－44t＋100＝4t 2－40t＋100 解得 t1＝ 20 17 ，t2＝0（舍去） ∴当 t＝ 20 17 s 时，点 M 在线段 PC 的垂直平分线上 （3）①若 PQ＝PM，则 t 2＝ 37 5 t 2－44t＋100 即 8t 2－55t＋125＝0 △＝(－55) 2－4×8×125＝－975＜0，方程无实数解 若 MP＝MQ，则点 M 在线段 PQ 的垂直平分线上 作 PE⊥AC 于 E，∴EM＝ 1 2 PQ＝ 1 2 t 由（1）知，AE＝6－ 3 5 t ∵AE＋EM＝AM，∴6－ 3 5 t＋ 1 2 t＝2t 解得 t＝ 20 7 若 PQ＝MQ，作 PE⊥AC 于 E，作 QF⊥AC 于 F 由（1）知，QF＝PE ∵△APE∽△ABD，∴ PE BD ＝ AP AB 即 PE 8 ＝ 10－t 10 ，∴QF＝PE＝8－ 4 5 t 又 FM＝AM－( AE＋EF )＝2t－( 6－ 3 5 t＋t )＝ 8 5 t－6 ∴MQ 2＝(8－ 4 5 t )2＋( 8 5 t－6)2＝ 16 5 t 2－32t＋100 由 PQ＝MQ，得 t 2＝ 16 5 t 2－32t＋100 解得 t1＝ 50 11 ，t2＝10（舍去） ∴当 t＝ 20 7 s 或 t＝ 50 11 s 时，△PQM 是等腰三角形 ②若∠MPQ＝90°，则 AM＝6－ 3 5 t ∴2t＝6－ 3 5 t，∴t＝ 30 13 若∠PMQ＝90°，则 PM 2＋QM 2＝PQ 2 E A CB D P Q M E A CB DP Q M F A CB D P Q M ∴37 5 t 2－44t＋100＋ 16 5 t 2－32t＋100＝t 2 即 12t 2－95t＋250＝0 △＝(－55) 2－4×8×125＝－2975＜0，方程无实数解 若∠PQM＝90°，作 PE⊥AC 于 E 则 AE＝6－ 3 5 t，EM＝PQ＝t ∵AE＋EM＝AM，∴6－ 3 5 t＋t＝2t ∴t＝ 15 4 ∴当 t＝ 30 13 s 或 t＝ 15 4 s 时，△PQM 是直角三角形 （4）设 PM 的中点为 N，分别过 P、N、M 作 BC 的垂线，垂足为 G、K、H 易证△PBG∽△BCD，△MCH∽△BCD ∴ PG BD ＝ PB BC ， MH BD ＝ MC BC ∵AC＝10，AD＝6，∴DC＝4 ∴BC＝ 8 2＋4 2 ＝4 5 ∴ PG 8 ＝ t 4 5 ， MH 8 ＝ 10－2t 4 5 ∴PG＝ 2 5 t，MH＝ 2 5 (10－2t ) ∴NK＝ 1 2 ( PG＋MH )＝ 1 5 (10－t ) 若以 PM 为直径的圆与 BC 相切，则 PM＝2NK ∴PM 2＝4NK 2 ∴37 5 t 2－44t＋100＝ 4 5 (10－t )2 解得 t1＝ 10 11 ，t2＝ 10 3 ∴当 t＝ 10 11 s 或 t＝ 10 3 s 时，以 PM 为直径的圆与 BC 相切 36．（内蒙古包头、乌兰察布）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，点 D 在 BC 上，且 CD＝3cm．现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 l cm/ 秒的速度沿 AC 向终点 C 运动；点 Q 以 1.25cm/秒的速度沿 BC 向终点 C 运动．过点 P 作 PE∥BC 交 AD 于点 E，连接 EQ．设动点运动时间为 t 秒（t＞0）． （1）连接 DP，经过 1 秒后，四边形 EQDP 能够成为平行四边形吗？请说明理由； （2）连接 PQ，在运动过程中，不论 t 取何值时，总有线段 PQ 与线段 AB 平行，为什么？ （3）当 t 为何值时，△EDQ 为直角三角形． A DQ C P B E E A CB DP Q M A CB D P Q M G HK N 解：（1）能． ∵点 P 的速度为 l cm/秒，点 Q 的速度为 1.25 cm/秒，t＝1 秒 ∴AP＝1，BQ＝1.25 ∴QD＝BC－CD－BQ＝5－3－1.25＝0.75 ∵PE∥BC，∴△APE∽△ACD ∴ PE CD ＝ AP AC ，即 PE 3 ＝ 1 4 ∴PE＝0.75，∴PE＝QD ∴四边形 EQDP 是平行四边形 （2）∵AC＝4，BC＝5，AP＝t，BQ＝1.25t ∴CP＝4－t，CQ＝5－1.25t ∴ CP CA ＝ 4－t 4 ， CQ CB ＝ 5－1.25t 5 ＝ 4－t 4 ∴ CP CA ＝ CQ CB ，∴PQ∥AB （3）①当∠EQD＝90°时 易证△EDQ∽△ADC，∴ DQ DC ＝ EQ AC 显然点 Q 在点 D 右侧，DQ＝1.25t－2，EQ＝PC＝4－t ∴ 1.25t－2 3 ＝ 4－t 4 ，解得 t＝2.5 ②当∠DEQ＝90°时易证△DEQ∽△DCA，∴ DE DC ＝ DQ DA ∵PE∥BC，∴△APE∽△ACD，∴ AE AD ＝ AP AC ∵AC＝4，CD＝3，∴AD＝5 ∴ AE 5 ＝ t 4 ，∴AE＝1.25t，DE＝5－1.25t 显然点 Q 在点 D 右侧，DQ＝1.25t－2 ∴ 5－1.25t 3 ＝ 1.25t－2 5 ，解得 t＝3.1 ∴当 t＝2.5 秒或 t＝3.1 秒时，△EDQ 为直角三角形 37．（内蒙古呼伦贝尔）如图①，在平面直角坐标系内，Rt△ABC≌Rt△FED，点 C、D 与原点 O 重合，点 A、F 在 y 轴上重合，∠B＝∠E＝30°，AC＝FD＝ 3．△FED 不动，△ABC 沿直线 BE 以每秒 1 个单位的速度向右平移，直到点 B 与点 E 重合为止．设平移时间为 x（秒），平 移过程中 AB 与 EF 的交点为 M． （1）求出图①中点 B 的坐标； （2）如图②，当 x＝4 秒时，求出过 F、M、A 三点的抛物线的解析式；此抛物线上有一动点 P，以点 P 为圆心，以 2 为半径的⊙P 在运动过程中是否存在与 y 轴相切的情况，若存在， 直接写出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设移动 x 秒后两个三角形重叠部分的面积为 S，求出整个运动过程中 S 与 x 的函数关 系式． A DQ C P B E A D Q C P B E A D Q C P B E A B C E (F) (D)O x y F BD EO x y C A M 解：（1）如图①，在 Rt△ABC 中，AC＝ 3，∠B＝30° ∴BC＝ 3AC＝3，∴B（－3，0） （2）如图②，∵x＝4，∴A（4， 3），B（1，0） 过 M 作 MH⊥BE 于 H 由题意，OE＝BC＝3，∴BE＝2 ∵∠B＝∠E，∴MB＝ME ∴BH＝ 1 2 BE＝1，∴OH＝2，MH＝ 3 3 ∴M（2， 3 3 ） 设抛物线的解析式为 y＝ax 2＋bx＋c，把 F、M、A 三点坐标代入 c＝ 3 4a＋2b＋c＝ 3 3 16a＋4b＋c＝ 3 解得 a＝ 3 6 b＝－ 2 3 3 c＝ 3 ∴抛物线的解析式为 y＝ 3 6 x 2－ 2 3 3 x＋ 3 P1（2， 3 3 ）或 P2（－2，3 3） 提示：若半径为 2 的⊙P 与 y 轴相切，那么点 P 的横坐标为 2 或－2 当 x＝2 时，y＝ 3 6 x 2－ 2 3 3 x＋ 3＝ 3 3 当 x＝－2 时，y＝ 3 6 x 2－ 2 3 3 x＋ 3＝3 3 ∴存在符合条件的点 P，坐标为 P1（2， 3 3 ）或 P2（－2，3 3） （3）当点 B、O 重合时，x＝3，所以整个运动过程可分为两个阶段： ①当 0≤x ＜3 时，如图③ BO＝3－x，CD＝x，OG＝CH＝ 3 3 BO＝ 3 3 ( 3－x ) FG＝ 3－ 3 3 ( 3－x )＝ 3 3 x ∴S＝S 梯形 FDCH － S△FGM A B C E (F) (D)O x y 图① F B D EO x y 图③ C AM HG F BD EO x y 图② C A M H ＝ 1 2 [ 3＋ 3 3 ( 3－x )]·x－ 1 2 · 3 3 x· 3 2 · 3 3 x ＝－ 3 4 x 2＋ 3x ②当 3≤x ≤6 时，如图④，BE＝3－( x－3 )＝6－x ∴S＝S△BME ＝ 1 2 ( 6－x )· 1 2 ( 6－x )· 3 3 ＝ 3 12 x 2－ 3x＋3 3 综上所述，S 与 x 的函数关系式为： S＝ － 3 4 x 2＋ 3x（0≤x ＜3） 3 12 x 2－ 3x＋3 3（3≤x ≤6） 38．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，Rt△OAB 的直角边 OA 在 x 轴正半轴上，且 OA＝4，AB＝2，将△OAB 沿某条直线翻折，使 OA 与 y 轴正半轴的 OC 重合．点 B 的对应点为点 D，连接 AD 交 OB 于点 E． （1）求 AD 所在直线的解析式： （2）连接 BD，若动点 M 从点 A 出发，以每秒 2 个单位的速度沿射线 AO 运动，线段 AM 的垂 直平分线交直线 AD 于点 N，交直线 BD 于点 Q．设线段 QN 的长为 y（y≠0），点 M 的运动时 间为 t 秒，求 y 与 t 之问的函数关系式（直接写出自变量 t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，连接 MN，当 t 为何值时，直线 MN 与过 D、E、O 三点的圆相切，并 求出此时切点的坐标． 解：（1）由题意，△OAB≌△OCD ∴OC＝OA＝4，CD＝AB＝2 ∴D（2，4） 设直线 AD 的解析式为 y＝kx＋b，把 A（4，0），D（2，4）代入 0＝4k＋b 4＝2k＋b 解得 k＝－2 b＝8 ∴y＝－2x＋8 （2）由 B（4，2），D（2，4），可得直线 BD 的解析式为 y＝－x＋6 ∵直线 NQ 垂直平分线段 AM ∴NH⊥AM，AH＝MH＝ 1 2 AM＝ 1 2 ×2t＝t ∴OH＝4－t，∴H（4－t，0）∴点 Q、N 的横坐标为为 4－t AO C x E B D y 备用图 AO C x E B D y F BD EO x y 图④ C A M AO C x N B D y E Q HM AO C x N B D y E Q HM ∴QH＝－( 4－t )＋6＝t＋2，NH＝－2( 4－t )＋8＝2t 当 0＜t ＜2 时，点 Q 在点 N 上方 y＝QN＝t＋2－2t＝－t＋2 当 t ＞2 时，点 Q 在点 N 下方 y＝QN＝2t－( t＋2 )＝t－2 （3）过点 D 作 DF⊥OA 于 F，则 CD∥OF，CD＝OF＝2 ∵OA＝4，∴AF＝OF＝2 ∵DF⊥OA，∴OD＝AD，∠ODC＝∠DOF＝∠DAF ∵△OAB≌△OCD，∴∠COD＝∠AOB ∵∠COD＋∠AOD＝90°，∴∠OED＝∠AOB＋∠OAD＝90° ∴OD 为经过 D、E、O 三点的圆的直径，OD 的中点 O′ 为圆心 在 Rt△OCD 中，OD＝ OC 2＋CD 2 ＝2 5 tan∠COD＝ CD OC ＝ 1 2 ，tan∠ODC＝ OC CD ＝2 ∵NH 垂直平分线段 AM，∴∠NMA＝∠NAM ∵∠DOA＝∠NAM，∠NMA＝∠DOA，∴MN∥OD 设直线 MN 与⊙O′ 相切于 G 点，连接 O′G，作 GK⊥OA 于 K，MI⊥OD 于 I 则∠OO′G＝∠O′GM＝90° ∵MI⊥OD，∴四边形 O′IMG 为矩形 ∴IM＝O′G＝ 5，MG＝O′I ∴OI＝ 5 2 ，OM＝ 5 2 ，∴MG＝O′I＝ 5 2 ∴KG＝1，MK＝ 1 2 ，∴OK＝3，∴G（3，1） ∵OM＋AM＝OA，∴ 5 2 ＋2t＝4，∴t＝ 3 4 同理可求当 t＝ 13 4 时，切点 G（－1，3） ∴当 t＝ 3 4 或 t＝ 13 4 时，直线 MN 与过 D、E、O 三点的圆相切，切点分别为 G（3，1）或 G （－1，3） 39．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝x＋b 与 x 轴交于点 A，与正比例 函数 y＝－ 4 3 x 的图象交于点 B，过 B 点作 BC⊥y 轴，点 C 为垂足，C（0，8）． （1）求直线 AB 的解析式； （2）动点 M 从点 A 出发沿线段 AO 以每秒 1 个单位的速度向终点 O 匀速移动，过点 M 作 x 轴的垂线交折线 A－B－O 于点 P．设 M 点移动的时间为 t 秒，线段 BP 的长为 d，求 d 与 t 之间的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围； （3）在（2）的条件下，动点 Q 同时从原点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿折线 O－C－B 向点 B 移动，当动点 M 停止移动时，点 Q 同时停止移动．当 t 为何值时，△BPQ 是等腰三角 形？ CB y A O CB y x A O CB y x AO C x E B D y F K GI M O′ N AO C x E B D y FK G I M O′ N 解：（1）∵BC⊥y 轴，点 C 为垂足，C（0，8） ∴点 B 的纵坐标为 8 ∵y＝－ 4 3 x，当 y＝8 时，x＝－6，∴B（－6，8） 把（－6，8）代入 y＝x＋b，得 8＝－6＋b，∴b＝14 ∴直线 AB 的解析式为 y＝x＋14 （2）由题意得 AM＝t ∵直线 AB：y＝x＋14 交 x 轴于点 A ∴A（－14，0），∴OA＝14 过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D ∵B（－6，8），∴BD＝8，OD＝6 ∴AD＝14－6＝8，∴AB＝ 8 2＋8 2 ＝8 2 OB＝ 8 2＋6 2 ＝10，∴∠BAD＝45°，cos∠DOB＝ 3 5 ①当点 M 在 AD 上时 ∵PM⊥x 轴，∴∠PMA＝90°，∴AP＝ 2t ∴d＝BP＝AB－AP＝8 2－ 2t（0≤t ＜8） ②当点 M 在 OD 上时，OM＝14－t ∵∠PMO＝90°，cos∠DOB＝ 3 5 ，∴OP＝ 5 3 ( 14－t ) ∴d＝BP＝OB－OP＝10－ 5 3 ( 14－t )＝ 5 3 t－ 40 3 （8＜t ≤14） 综上，d＝ 8 2－ 2t（0≤t ＜8） 5 3 t－ 40 3 （8＜t ≤14） （3）①当点 P 在 AB 上时（0≤t ＜8），Q 在 OC 上 BQ 2＝BC 2＋CQ 2＝6 2＋( 8－t )2 ∵PM＝OQ＝t，∠PMO＝∠MOQ＝90° ∴四边形 PMOQ 为矩形，∴PQ＝OM＝14－t ∵PM＝OQ＝t，∴PQ∥AO ∴∠BPQ＝∠BAO＝∠ABD ∵∠PBQ＞∠ABD，∴∠PBQ＞∠BPQ，∴PQ≠BQ 当 BP＝BQ 时，( 8 2－ 2t )2＝6 2＋( 8－t )2 A O CB y x P MD A O CB y x P M D A O CB y x P M D Q 解得 t1＝2 或 t2＝14 ∵0≤t ＜8，∴t2＝2 当 PB＝PQ 时，( 8 2－ 2t )2＝( 14－t )2，解得 t＝2±6 2 ∵0≤t ＜8，∴t＝2±6 2 不合题意，舍去 ②当点 P 在 BO 上时（8＜t ≤14），Q 在 BC 上 BQ＝6＋8－t＝14－t 当 BP＝BQ 时， 5 3 t－ 40 3 ＝14－t，解得 t＝ 41 4 当 PB＝PQ 时，过点 P 作 PH⊥BC 于 H ∴BQ＝2BH ∵BH＝DM＝t－8，∴14－t＝2( t－8 )，解得 t＝10 当 QB＝QP 时，过点 Q 作 QK⊥BC 于 K ∴BP＝2BK ∵BP＝ 5 3 ( t－8 )，BK＝ 3 5 ( 14－t ) ∴ 5 3 ( t－8 )＝ 6 5 ( 14－t )，解得 t＝ 452 43 综上，当 t＝2 或 t＝10 或 t＝ 41 4 或 t＝ 452 43 时，△BPQ 是等腰三角形 40．（哈尔滨模拟）如图，直线 y＝ 4 3 x＋12 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，直线 BC 交 x 轴于点 C，且 AB＝AC． （1）求直线 BC 的解析式； （2）点 P 从点 C 出发沿线段 CO 以每秒 1 个单位的速度向点 O 运动，过点 P 作 y 轴的平行线， 分别交直线 BC、直线 AB 于点 Q、M，过点 Q 作 QN⊥AB 于点 N．设点 P 的运动时间为 t（秒）， 线段 MN 的长为 d，求 d 与 t 的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围； （3）若经过 A、N、Q 三点的圆与直线 BC 交于另一点 K，当 t 为何值时，KQ:AQ＝ 10 :10？ A O C N y xP Q B M K A O CB y x P MD QH A O CB y x P MD Q K 解：（1）∵直线 y＝ 4 3 x＋12 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B ∴A（－9，0），B（0，12），∴OA＝9，OB＝12 ∴AB＝ 9 2＋12 2 ＝15，∴sin∠BAO＝ OB AB ＝ 4 5 ∵AB＝AC，∴AC＝15，∴C（6，0） 设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋b ∴ c＝12 6k＋b＝0 解得 k＝－2 b＝12 ∴直线 BC 的解析式为 y＝－2x＋12 （2）由题意，PC＝t，∴OP＝6－t ∴点 P 的横坐标为 6－t ∴PM＝ 4 3 ( 6－t )＋12，PQ＝－2( 6－t )＋12 ∴MQ＝PM－PQ＝20－ 10 3 t ∵∠AMP＋∠MAP＝∠AMP＋∠MQN＝90° ∴∠MQN＝∠MAP＝∠BAO ∴sin∠MQN＝sin∠BAO＝ 4 5 ∴MN＝MQ·sin∠MQN＝ 4 5 ( 20－ 10 3 t )＝16－ 8 3 t ∴d＝16－ 8 3 t（0≤t ＜6） （3）连接 AK、AQ ∵∠ANQ＝90°，∴AQ 为经过 A、N、Q 三点的圆的直径 ∴∠AKQ＝90° ∵OB＝12，OC＝6，∴BC＝ 6 2＋12 2 ＝6 5 由 S△ABC ＝ 1 2 AC·OB＝ 1 2 BC·AK，得 AK＝6 5 ∵KQ : AQ＝ 10 : 10，∴设 KQ＝m，则 AQ＝ 10m 在 Rt△AKQ 中，AK 2＋KQ 2＝AQ 2 ∴( 6 5)2＋m 2＝( 10m )2，m＝2 5 ∴AQ＝ 10m＝10 2 ∵tan∠BCO＝ OB OC ＝2，∴PQ＝PC·tan∠BCO＝2t A O C N y xP Q B M K 在 Rt△AQP 中，AP 2＋PQ 2＝AQ 2 ∴( 15－t )2＋( 2t )2＝( 10 2 )2 解得 t1＝1，t2＝5 ∴当 t＝1 或 t＝5 时，KQ : AQ＝ 10 : 10 41．（哈尔滨模拟）如图，直线 y＝－kx＋6k（k ＞0）与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，且 △AOB 的面积是 24． （1）求直线 AB 的解析式； （2）点 P 从点 O 出发，以每秒 2 个单位的速度沿折线 OA－AB 运动；同时点 E 从点 O 出发， 以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正半轴运动，过点 E 作与 x 轴平行的直线 l，与线段 AB 相交 于点 F，当点 P 与点 F 重合时，点 P、E 均停止运动．连接 PE、PF，设△PEF 的面积为 S，点 P 运动的时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围； （3）在（2）的条件下，过 P 作 x 轴的垂线，与直线 l 相交于点 M，连接 AM，当 tan∠MAB ＝ 1 2 时，求 t 的值． 解：（1）∵y＝－kx＋6k，当 x＝0 时，y＝6k；当 y＝0 时，x＝6 ∴OA＝6，OB＝6k ∵S△AOB ＝24，∴ 1 2 ×6×6k＝24，∴k＝ 4 3 ∴直线 AB 的解析式为 y＝－ 4 3 x＋8 （2）根据题意，OE＝t，EF∥OA，∴△BEF∽△BOA ∴ EF OA ＝ BE BO ，即 EF 6 ＝ 8－t 8 ，∴EF＝ 3 4 ( 8－t ) ①当 0＜t ≤3 时，点 P 在 OA 上运动 过点 P 作 PH⊥EF 于 H，则 PH＝OE＝t ∴S＝ 1 2 EF·PH＝ 1 2 · 3 4 ( 8－t )·t＝－ 3 8 t 2＋3t ②当点 P 在 AB 上运动时 过点 P 作 PG⊥OA 于 G，设直线 PG 与 EF 相交于点 M，则 MG＝OE＝t 易知△APG∽△ABO，∴ PG BO ＝ AP AB ∵OA＝6，OB＝8，∴AB＝ 6 2＋8 2 ＝10 B O y xA 备用图 B O y x E A F P l B O y x E A F P lH B O y x E A F P l G M ∴ PG 8 ＝ 2t－6 10 ，∴PG＝ 4 5 ( 2t－6 ) 当点 P 与点 F 重合时，有 PG＝OE ∴ 4 5 ( 2t－6 )＝t，解得 t＝8，即 PG＝8 点 P 与点 F 重合前，MP＝MG－PG＝t－ 4 5 ( 2t－6 )＝－ 3 5 t＋ 24 5 ∴S＝ 1 2 EF·MP＝ 1 2 · 3 4 ( 8－t )(－ 3 5 t＋ 24 5 )＝ 9 40 t 2－ 18 5 t＋ 72 5 综上，S＝ － 3 8 t 2＋3t（0＜t ≤3） 9 40 t 2－ 18 5 t＋ 72 5 （3＜t ＜8） （3）①当点 P 在 OA 上，点 M 在点 F 左侧时 作 MC⊥AB 于 C，FD⊥OA 于 D 则 FD＝OE＝t，EM＝OP＝2t，MF＝EF－EM＝ 3 4 ( 8－t )－2t 在 Rt△CMF 中， CM CF ＝tan∠MFC＝tan∠BAO＝ OB OA ＝ 4 3 设 CM＝4k，则 CF＝3k，MF＝ ( 4k )2＋( 3k )2 ＝5k 在 Rt△MAC 中， CM AC ＝tan∠MAC＝tan∠MAB＝ 1 2 ∴AC＝2CM＝8k，∴AF＝5k，∴MF＝AF 在 Rt△AFD 中， FD AF ＝ t AF ＝sin∠FAD＝sin∠BAO＝ 4 5 ∴AF＝ 5 4 t，∴ 3 4 ( 8－t )－2t＝ 5 4 t，解得 t＝ 3 2 当点 P 在 OA 上，点 M 在点 F 右侧时，可求得 t＝ 11 4 ②当点 P 在 AB 上时，过点 M 作 MK⊥AB 于 K 在 Rt△PMK 中， MK PK ＝tan∠MPK＝tan∠ABO＝ 3 4 设 MK＝3m，则 PK＝4m，MP＝5m，AK＝6m ∴AP＝AK－PK＝2m，∴2t－6＝2m ∵MP＝t－ 4 5 ( 2t－6 )，∴t－ 4 5 ( 2t－6 )＝5m ∴t－ 4 5 ( 2t－6 )＝ 5 2 ( 2t－6 )，解得 t＝ 99 28 综上所述，满足条件的 t 值是 3 2 或 11 4 或 99 28 42．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 在 x 轴的正半轴上， △AOB 为等腰三角形，且 OA＝OB＝10，过点 B 作 y 轴的垂线，垂足为 D，直线 AB 的解析式 B O y x E A F P l CM D B O y x E A F P l G M K 为 y＝－3x＋30，点 C 在线段 BD 上，点 D 关于直线 OC 的对称点在腰 OB 上． （1）求点 B 坐标； （2）点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位的速度沿折线 BC－CO 运动；同时点 Q 从点 O 出发， 以每秒 1 个单位的速度沿对角线 OB 向终点 B 运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止 运动．设△PQC 的面积为 S，运动时间为 t，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取 值范围； （3）在（2）的条件下，连接 PQ，设 PQ 与 OB 所成的锐角为α，当α＝90°－∠AOB 时，求 t 的值． 解：（1）过点 B 作 BF⊥OA 于 F，设 B（a，－3a＋30） 在 Rt△OBF 中，a 2＋( －3a＋30 )2＝10 2 解得 a1＝10（舍去），a2＝8 当 a＝8 时，－3a＋30＝6 ∴B（8，6） （2）设点 D 关于直线 OC 的对称点为 D′，连接 CD′ ∵D′ 在腰 OB 上，∴OD＝OD′，∠DOC＝∠D′OC 又 OC＝OC，∴△DOC≌△D′OC ∴CD′＝CD，∠CDO′＝∠CDO＝90° ∴S△POQ ＝ 1 2 OD·BD ＝ 1 2 OD·CD ＋ 1 2 OB·CD′ ∴CD＝ OD·BD OD＋OB ＝ 6×8 6＋10 ＝3，∴BC＝5 ①当 0≤t ＜5 时，点 P 在线段 BC 上 过点 Q 作 QE⊥BD 于 E，则△BQE∽△BOD ∴ QE OD ＝ BQ BO ，即 QE 6 ＝ 10－t 10 ，∴QE＝6－ 3 5 t ∴S＝ 1 2 PC·QE＝ 1 2 ( 5－t )( 6－ 3 5 t ) 即 S＝ 3 10 t 2－ 9 2 t＋15 ②当 5＜t ≤10 时，点 P 在线段 CO 上 过点 Q 作 QF⊥OC 于 F ∵COQ＝∠COD，∠QFO＝∠CDO＝90° ∴△QFO∽△CDO，∴ QF CD ＝ OQ OC C O y x D A B C O y x D A B 备用图 C O y x D A BE P Q C O y x D A B F D′ C O y x D A B QP F 即 QF 3 ＝ t 3 5 ，∴QF＝ 5 5 t ∴S＝ 1 2 PC·QF＝ 1 2 ( t－5 )· 5 5 t 即 S＝ 5 10 t 2－ 5 2 t （3）①当 0≤t ＜5 时 ∵α＝90°－∠AOB＝∠BOD，即∠PQB＝∠DOB ∴PQ∥DO，∴△BPQ∽△BDO ∴ BP BD ＝ BQ BO ，即 t 8 ＝ 10－t 10 ，∴t＝ 40 9 ②当 5＜t ≤10 时，过点 P 作 PH⊥OB 于 H ∵∠PQO＝∠BOD，∴tan∠PQO＝∠BOD＝ 4 3 设 PH＝4k，则 QH＝3k，OH＝8k，OP＝4 5k ∴OQ＝11k，∴11k＝t，∴k＝ t 11 ∴OP＝4 5k＝ 4 5 11 t 又∵OP＝3 5－( t－5 )＝3 5＋5－t ∴4 5 11 t＝3 5＋5－t，∴t＝ 143 5－55 41 ∴当α＝90°－∠AOB 时，t 的值为 40 9 或 143 5－55 41 43．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 A（25 6 ，0），点 B（3，4），将△OAB 沿 直线 OB 翻折，点 A 落在第二象限内的点 C 处． （1）求点 C 的坐标； （2）动点 P 从点 O 出发，以每秒 5 个单位的速度沿 OB 向终点 B 运动，连接 AP，将射线 AP 绕着点 A 逆时针旋转与 y 轴交于一点 Q，且旋转角α＝ 1 2 ∠OAB．设线段 OQ 的长为 d，点 P 运动的时间为 t 秒，求 d 与 t 的函数关系式（直接写出时间 t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，连接 CP．点 P 在运动的过程中，是否存在 CP∥AQ，若存在，求此 时 t 的值，并辨断点 B 与以点 P 为圆心，OQ 长为半径的⊙P 的位置关系；若不存在，请说明 理由． B O C xA y 备用图 B O C xA y C O y x D A B P Q H C O y x D A BP Q 解：（1）过点 B 作 BG⊥x 轴于 G，过点 C 作 CH⊥x 轴于 H ∵A（25 6 ，0），B（3，4），∴OA＝ 25 6 ，OG＝3，BG＝4 ∴AG＝ 7 6 ，∴AB＝ AG 2＋BG 2 ＝ 25 6 ，∴AB＝OA ∵△OAB 沿直线 OB 翻折得到△OCB ∴△OAB≌△OCB，∴AB＝OA＝BC＝CO ∴四边形 ABCO 是菱形 ∴CO∥AB，∴∠COH＝∠BAG ∴Rt△CHO≌Rt△BGA，∴CH＝BG＝4，OH＝AG＝ 7 6 ∴C（－ 7 6 ，4） （2）连接 AC 交 BO 于点 E ∵菱形 ABCO，∴AC⊥BO，∠OAE＝ 1 2 ∠OAB ∵α＝ 1 2 ∠OAB，∴∠OAP＝∠OAE，∴∠OAQ＝∠EAP ∵∠AOQ＝∠AEP＝90°，∴△AOQ≌△AEP ∴ PE OQ ＝ AE AO 由（1）知，CH＝4，AH＝ 16 3 ∴AC＝ AH 2＋CH 2 ＝ 20 3 ，∴AE＝ 10 3 ，同理 OE＝ 5 2 ①当 0≤t ＜ 1 2 时 ∵OP＝5t，∴PE＝ 5 2 －5t，∴ 5 2 －5t d ＝ 10 3 25 6 ∴d＝－ 25 4 t＋ 25 8 ②当 1 2 ＜t ≤1 时，同理可求 d＝ 25 4 t－ 25 8 （3）过点 P 作 PK⊥AB 于 K ∵AQ∥CP，∴∠PCE＝∠QAE ∵AE＝CE，AC⊥BO，∴PC＝PA B O C xA y E P Q B O C xA y GH B O C xA y E P Q F K ∴∠PAE＝∠PCE＝∠QAE＝ 1 2 ∠PAQ ∴∠PAB＝∠QAE，∴∠PAE＝∠PAB，∴PE＝PK ∵菱形 ABCO，∴∠PBK＝∠OBF ∴sin∠PBK＝sin∠OBF＝ OF OB ＝ PK PB ＝ 4 5 ∵OP＝5t，OB＝5，∴PE＝5t－ 5 2 ，PB＝5－5t ∴ 5t－ 5 2 5－5t ＝ 4 5 ，解得 t＝ 13 18 ∴存在 CP∥AQ，此时 t＝ 13 18 ∵ 1 2 ＜ 13 18 ＜1，∴当 t＝ 13 18 时，OQ＝d＝ 25 4 t－ 25 8 ＝ 25 18 BP＝OB－OP＝5－5t＝ 25 18 ∴BP＝OQ，即点 B 与圆心 P 的距离等于⊙P 的半径，点 B 在⊙P 上 ∴存在 CP∥AQ，此时 t＝ 13 18 ，且点 B 在⊙P 上 44．（黑龙江大庆）已知等边△ABC 的边长为 3 个单位，若点 P 由 A 出发，以每秒 1 个单位 的速度在三角形的边上沿 A→B→C→A 方向运动，第一次回到点 A 处停止运动，设 AP＝S， 用 t 表示运动时间． （1）当点 P 由 B 到 C 运动的过程中，用 t 表示 S； （2）当 t 取何值时，S 等于 7（求出所有的 t 值）； （3）根据（2）中 t 的取值，直接写出在哪些时段 AP＜ 7？ 解：（1）当点 P 在 BC 上时，有 3≤t ≤6 作 PM⊥AB，垂足为 M 由 PB＝t－3，∠B＝60°，得 PM＝ 3 2 ( t－3 )，BM＝ 1 2 ( t－3 ) ∴AM＝3－ 1 2 ( t－3 ) 于是 S＝AP＝ AM 2＋BM 2 ＝ ( t－3 )2－3( t－3 )＋9 （3≤t ≤6） A C B （2）当 S＝ 7 时 （i）当点 P 在 AB 上时，有 t＝ 7 （ii）当点 P 在 CA 上时，有 t＝9－ 7 （iii）当点 P 在 BC 上时，S＝ ( t－3 )2－3( t－3 )＋9 ＝ 7 解得 t＝4 或 t＝5 综上 t＝ 7 或 t＝9－ 7 或 t＝4 或 t＝5 （3）根据（2）可知 0＜t ＜ 7，4＜t ＜5，9－ 7＜t ≤9 这三个时间段内 AP＜ 7 45．（黑龙江大兴安岭、鸡西、齐齐哈尔、黑河、七台河）如图，在平面直角坐标系中，已 知 Rt△AOB 的两条直角边 OA、OB 分别在 y 轴和 x 轴上，并且 OA、OB 的长分别是方程 x 2－ 7x＋12＝0 的两根（OA＜OB），动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向 点 O 运动；同时，动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动， 设点 P、Q 运动的时间为 t 秒． （1）求 A、B 两点的坐标． （2）求当 t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似，并直接写出此时点 Q 的坐标． （3）当 t＝2 时，在坐标平面内找一点 M，使以 A、P、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形， 求 M 点的坐标； （4）在 P、Q 运动过程中，在坐标平面内是否存在点 N，使以 A、P、Q、N 为顶点的四边形 是菱形？若存在，请直接写出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）解方程 x 2－7x＋12＝0，得 x1＝3，x2＝4 ∵OA＜OB，∴OA＝3，OB＝4 ∴A（0，3），B（4，0） （2）由题意得，AP＝t，AQ＝5－2t 可分两种情况讨论： ①当∠APQ＝∠AOB 时，△APQ∽△AOB 如图 1， t 3 ＝ 5－2t 5 ，解得 t＝ 15 11 ∴Q（ 20 11 ，18 11 ） ②当∠AQP＝∠AOB 时，△APQ∽△ABO 如图 2， t 5 ＝ 5－2t 3 ，解得 t＝ 25 13 ∴Q（ 12 13 ，30 13 ） B Q x P O y A 图 1 B Q x P O y A 图 2 B Q x P O y A （3）当 t＝2 时，AP＝2，AQ＝5－2t＝1 ∴PO＝1，∴P（0，1）， 点 Q 的横坐标为：1×cos∠ABO＝ 4 5 ，纵坐标为：3－1×sin∠ABO＝ 12 5 ∴Q（ 4 5 ，12 5 ） 若 AP 是平行四边形的边，则 MQ∥AP，MQ＝AP＝2，如图 3、图 4 ∴点 M 的横坐标为 4 5 ，纵坐标为：12 5 ＋2＝ 22 5 或 12 5 － 2＝ 2 5 ∴M1（ 4 5 ，22 5 ），M2（ 4 5 ，2 5 ） 若 AP 是平行四边形的对角线，则△AMP≌PQA，如图 5 ∵点 Q 的横坐标为 4 5 ，∴点 M 的横坐标为－ 4 5 ∵点 A 的纵坐标比点 Q 的纵坐标大 3 5 ∴点 M 的纵坐标比点 P 的纵坐标大 3 5 即点 M 的纵坐标为：1＋ 3 5 ＝ 8 5 ∴M3（－ 4 5 ，8 5 ） （4）存在．N1（ 4 3 ，1 3 ），N2（ 3 2 ，55 16 ），N3（－ 20 17 ，36 17 ） 提示：有三种情况 若 AP＝AQ，则在坐标平面内存在点 N， 使四边形 APNQ 是菱形，如图 6 ∴t＝5－2t，解得 t＝ 5 3 ，∴AQ＝ 5 3 ∴Q（ 4 3 ，2），∴N1（ 4 3 ，1 3 ） 若 AP＝PQ，则在坐标平面内存在点 N， 使四边形 APQN 是菱形，如图 7 由题意，P（0，3－t），Q（4－ 8 5 t， 6 5 t） ∴PQ 2＝( 4－ 8 5 t )2＋( 3－t－ 6 5 t )2 ∴t 2＝( 4－ 8 5 t )2＋( 3－t－ 6 5 t )2，解得 t＝ 25 16 或 t＝ 5 2 当 t＝ 5 2 时，点 Q 与点 A 重合，不合题意，舍去 ∴t＝ 25 16 ，∴Q（ 3 2 ，15 8 ） B Q x P O y A 图 4 M B Q x P O y A 图 3 M B Q x P O y A 图 5 M B Q x P O y A 图 6 N B Q x P O y A 图 7 N ∴N2（ 3 2 ，55 16 ） 若 AQ＝PQ，则在坐标平面内存在点 N， 使四边形 ANPQ 是菱形，如图 8 连接 NQ 交 AP 于 O′，则 NQ⊥AP，AO′＝O′P ∴AP＝2AO′，∴t＝ 6 5 ( 5－2t ) 解得 t＝ 30 17 ，∴Q（ 20 17 ，36 17 ） ∴N3（－ 20 17 ，36 17 ） 46．（吉林）如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝2cm，AC＝4cm．动点 P 从点 A 出发，沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向点 B 运动，动点 Q 从点 B 同时出发，沿 BA 方向以 1cm/s 的速度向点 A 运动．当点 P 到达点 B 时，P，Q 两点同时停止运动．以 AP 为一边向上作正方形 APDE，过 点 Q 作 QF∥BC，交 AC 于点 F．设点 P 的运动时间为 t s，正方形 APDE 和梯形 BCFQ 重合部 分的面积为 S cm2． （1）当 t＝_________s 时，点 P 与点 Q 重合； （2）当 t＝_________s 时，点 D 在 QF 上； （3）当点 P 在 Q，B 两点之间（不包括 Q，B 两点）时，求 S 与 t 之间的函数关系式． 解：（1）1 （2） 4 5 提示：点 D 在 QF 上时 ∵QF∥BC，∠DPQ＝CAB＝90° ∴△PQD∽△ABC，∴ PD PQ ＝ AC AB 即 t 2－2t ＝ 4 2 ，解得 t＝ 4 5 （3）如图①，当点 D 在 BC 上时 由四边形 APDE 是正方形，得 DP∥AC ∴△BDP∽△BCA，∴ PB DP ＝ AB CA ＝ 2 4 ＝ 1 2 BQ D P C A E F B C A （备用图） B Q x P O y A 图 8 N O′ BQ D P C A E(F) ∴PB＝ 1 2 DP＝ 1 2 t 由 AP＋PB＝AB，得 t＋ 1 2 t＝2，解得 t＝ 4 3 此时点 E 与点 F 重合 当 1＜t ≤ 4 3 时 解法 1： 如图②，设 DE 交 FQ 于点 H，则重合部分为梯形 DHQP PQ＝AP＋QB－AB＝t＋t－2＝2t－2 过点 Q 作 QG⊥DE 于点 G，则 DG＝PQ＝2t－2 由△HGQ∽△BAC，得 HG＝ 1 2 ∴HD＝HG＋GD＝ 1 2 t＋2t－2＝ 5 2 t－2 ∴S＝ 1 2 ( PQ＋HD )·DP＝ 1 2 ( 2t－2＋ 5 2 t－2 )·t＝ 9 4 t 2－2t 解法 2： 如图②，设 DE 交 FQ 于点 H 由△FAQ∽△CAB，得 AF＝2AQ＝2( 2－t )＝4－2t ∴EF＝AF－AE＝4－2t－t＝4－3t 由△FEH∽△CAB，得 EH＝ 1 2 EF＝2－ 3 2 t ∴S 梯形 AQHE ＝ 1 2 ( AQ＋EH )·AE＝ 1 2 ( 2－t＋2－ 3 2 t )·t＝－ 5 4 t 2＋2t ∴S＝S 正方形 APDE － S 梯形 AQHE ＝t 2－( － 5 4 t 2＋2t )＝ 9 4 t 2－2t 由题意，当 t＝2 时，点 P 到达点 B 当 4 3 ＜t ＜2 时 如图③，设 DE 交 BC 于点 M，DP 交 BC 于点 N 则重合部分为六边形 EFQPNM 由△FAQ∽△CAB，得 AF＝4－2t ∴S△FAQ ＝ 1 2 AQ·AF＝ 1 2 ( 2－t )( 4－2t )＝( 2－t )2 由△NPB∽△CAB，得 PN＝4－2t ∴DN＝DP－NP＝t－( 4－2t )＝3t－4 由△DMN∽△ABC，得 DM＝ 1 2 ( 3t－4 ) ∴S△DMN ＝ 1 2 DM·DN＝ 1 2 · 1 2 ( 3t－4 )( 3t－4 )＝ 1 4 ( 3t－4 )2 ∴S＝S 正方形 APDE － S△DMN － S△FAQ ＝t 2－ 1 4 ( 3t－4 )2－( 2－t )2＝－ 9 4 t 2＋10t－8 BQ D P C A E F 图② GH BQ D P C A E 图③ F M N 综上所述，S＝ 9 4 t 2－2t（1＜t ≤ 4 3 ） － 9 4 t 2＋10t－8（ 4 3 ＜t ＜2） 47．（吉林模拟）如图，梯形 OABC 中，OA 在 x 轴上，CB∥OA，∠OAB＝90°，B（4，4），BC ＝2．动点 E 从点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段 OA 运动，到点 A 停止，过点 E 作 ED⊥x 轴交折线 O－C－B 于点 D，以 DE 为一边向右作正方形 DEFG．设运动时间为 t（秒）， 正方形 DEFG 与梯形 OABC 重叠面积为 S（平方单位）． （1）求 tan∠AOC 的值； （2）求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值； （3）连接 AC，AC 的中点为 M，t 为何值时，△DMG 为等腰三角形？ 解：（1）过 C 作 CD⊥x 轴于 H ∵B（4，4），BC＝2，∴OH＝2，CH＝4 ∴tan∠AOC＝ CH OH ＝ 4 2 ＝2， （2）当点F 与点A 重合时，OE＝t，AE＝DE＝4－t ∴tan∠AOC＝ DE OE ＝ 4－t t ＝2，解得 t＝ 4 3 当0＜t ≤ 4 3 时，S＝DE 2＝( 2OE )2＝( 2t )2＝4t 2 当 4 3 ≤t ≤2 时，S＝DE·AE＝2t·( 4－t )＝－2t 2＋8t 当2≤t ≤4 时，S＝4AE＝4( 4－t )＝－4t＋16 当0＜t ≤ 4 3 时，t＝ 4 3 时，S 最大＝ 64 9 当 4 3 ≤t ≤2 时，t＝2 时，S 最大＝8 当2≤t ≤4 时，t＝2 时，S 最大＝8 综上，t＝2 时，S 的最大值为 8 （3）t1＝ 13－2 13 9 ，t2＝ 3 2 ，t3＝2 3－1 提示：由题意，A（4，0），C（2，4） ∴M（3，2） D A BC G O E F xH y D A BC G O E x(F) y D A BC G O E F x y D A BC G O E F x y D A BC G O E F x M y D A BC G O E F x y D A BC G O E F x 备用图 y 当0＜t ≤2 时，D（t，2t），G（3t，2t） ∴DM 2＝( t－3 )2＋( 2t－2 )2，DG 2＝4t 2 MG 2＝( 3t－3 )2＋( 2t－2 )2 若 DG＝MG，则 4t 2＝( 3t－3 )2＋( 2t－2 )2 解得 t＝ 13＋2 13 9 ＞2（舍去）或 t＝ 13－2 13 9 若 MD＝MG，则( t－3 )2＋( 2t－2 )2＝( 3t－3 )2＋( 2t－2 )2 解得 t＝0（舍去）或 t＝ 3 2 若 DM＝DG，则( t－3 )2＋( 2t－2 )2＝4t 2，无实数解 当 2＜t ≤4 时，D（t，4），G（t＋4，4） ∴DM 2＝( t－3 )2＋ 2 2，DG 2＝4 2 MG 2＝( t＋1 )2＋ 2 2 若 DG＝MG，则 4 2＝( t＋1 )2＋ 2 2 解得 t＝2 3－1 或 t＝－2 3－1（舍去） 若 MD＝MG，则( t－3 )2＋ 2 2＝( t＋1 )2＋ 2 2 解得 t＝1（舍去） 若 DM＝DG，则( t－3 )2＋ 2 2＝4 2 解得 t＝3±2 3（舍去） 48．（吉林长春）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm．D、E 分别为边 AB、BC 的中点，连接 DE．点 P 从点 A 出发，沿折线 AD－DE－EB 运动，到点 B 停止．点 P 在线段 AD 上以 5cm/s 的速度运动，在折线 DE－EB 上以 1cm/s 的速度运动．当点 P 与点 A 不重合时，过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q，以 PQ 为边作正方形 PQMN，使点 M 落在线段 AQ 上．设 点 P 的运动时间为 t（s）． （1）当点 P 在线段 DE 上运动时，线段 DP 的长为______________cm（用含 t 的代数式表示）． （2）当点 N 落在 AB 边上时，求 t 的值． （3）当正方形 PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式． （4）连接 CD．当点 N 与点 D 重合时，有一点 H 从点 M 出发，在线段 MN 上以 2.5cm/s 的速 度沿 M－N－M 连续做往返运动，直至点 P 与点 E 重合时，点 H 停止往返运动；当点 P 在线段 EB 上运动时，点 H 始终在线段 MN 的中心处．直接写出在点 P 的整个运动过程中，点 H 落在 线段 CD 上时 t 的取值范围． D A BC G O E F x M y D A BC G O E F x M （1）( t－2 ) （2）①当点 P 在线段 DE 上时，如图① PD＝PN＝PQ＝2，∴t－2＝2 ∴t＝4 ②当点 P 在线段 EB 上时，如图② PN＝2PB ∵PN＝PC＝( t－6 )＋2＝t－4 PB＝2－( t－6 )＝8－t ∴t－4＝2( 8－t )，解得 t＝ 20 3 ∴当点 N 落在 AB 边上时，t 的值为 4 或 20 3 （3）①当 2＜t ＜4 时，如图③ S＝2 2－ 1 4 ( 4－t )2 即 S＝－ 1 4 t 2＋2t ②当 20 3 ＜t ＜8 时，如图④ S＝( t－4 )2－ 1 4 ( 3t－20 )2 即 S＝－ 5 4 t 2＋22t－84 （4）t＝ 14 3 或 t＝5 或 6≤t ≤8 提示：当点 H 第一次落在线段 CD 上时 2.5( t－4 )＋ 1 2 ( t－4 )＝2，解得t＝ 14 3 当点 H 第二次落在线段 CD 上时 2.5( t－4 )－2＝ 1 2 ( t－4 )，解得t＝5 当点 H 第三次落在线段 CD 上时 6－2.5( t－4 )＝ 1 2 ( t－4 )，解得t＝6 当 6≤t ≤8 时，点 H 恒在线段 CD 上 49．（长春模拟）如图，在△AOB 中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝6，C 为 OB 上一点，射线 CD⊥ M CA B Q PN D E M CA B Q PD E 图① (N) M CA B N D E 图② P (Q) M CA B N D E 图③ P Q M CA B N D E 图④ P (Q) OB 交 AB 于点 D，OC＝2．点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，点 Q 从点 C 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿 CD 方向运动，P，Q 两点同时出发，当点 P 到达点 B 时停止运动，点 Q 也随之停止．过点 P 作 PE⊥OA 于点 E，PF⊥OB 于点 F，得到矩形 PEOF， 以点 Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形 QMN，斜边 MN∥OB，且 MN＝QC．设运动时间为 t （秒）． （1）求 t＝1 时 FC 的长度． （2）求 MN＝PF 时 t 的值． （3）当△QMN 和矩形 PEOF 有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形 面积 S 与 t 的函数关系式． （4）直接写出△QMN 和矩形 PEOF 的边有三个公共点时 t 的值． 解：（1）根据题意，△AOB、△AEP 都是等腰直角三角形 ∵AP＝ 2t，∴OF＝EP＝t ∵OC＝2，∴FC＝|2－t | ∴当 t＝1 时，FC＝1 （2）∵AP＝ 2t，∴AE＝t，PF＝OE＝6－t ∵MN＝QC＝2t，MN＝PF ∴2t＝6－t，∴t＝2 （3）当点 F 在点 C 左侧时，设 MQ、MN 分别与 PF 交于点 G、H 当△QMN 和矩形 PEOF 有重叠部分时 则 MH＝GH＝t－( 2－t )＝2t－2≥0，得 t ≥1 当点 F 与点 C 重合时，t＝2 当 1≤t ≤2 时，重叠部分为△MGH，如图① ∵MH＝GH＝t－( 2－t )＝2t－2 ∴S ＝ 1 2 ( 2t－2 )2＝2t 2－4t＋2 当点 E 落在 MQ 上时，如图② ∵AE＝t，EK＝MK＝t－2，AK＝6－t，AE＋EK＝AK ∴t＋( t－2 )＝6－t，∴t＝ 8 3 当 2＜t ≤ 8 3 时，重叠部分为五边形 IJKLP，如图③ ∵JK＝MK＝t－2，AK＝6－t，∴AJ＝6－t－( t－2 )＝8－2t ∴EK＝6－t－t＝6－2t，EI＝EJ＝8－2t－t＝8－3t ∴S ＝S 矩形 EKLP － S△EJI＝t( 6－2t )－ 1 2 ( 8－3t )2＝－ 13 2 t 2＋30t－32 当 MN 与 EP 重合时，t＝3 当 8 3 ＜t ≤3 时，重叠部分为矩形 EKLP，如图④ ∴S ＝t( 6－2t )＝－2t 2＋6t P A BC M O F DE N Q P A C M O F DE N Q B 图① G H P A F M O C D E N Q B 图③ I J K L P A F M O C D E N Q B 图④ K L P A C M O F D E N Q B 图② K A C M O DE N Q B 图⑤ (F) (P) (F) （4）t＝2 或 t＝ 8 3 提示：如图⑤、图② 50．（长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，梯形 ABCD 的顶点 A、B、D 的坐标分别为 A（－ 3，0），B（15，0），D（0，4），且 CD＝10．一条抛物线经过 C、D 两点，其顶点 M 在 x 轴上．点 P 从点 A 出发以每秒 5 个单位的速度沿 AD 向点 D 运动，到点 D 后又以每秒 3 个单位的速度 沿 DC 向点 C 运动，到点 C 停止；同时，点 E 从点 B 出发以每秒 5 个单位的速度沿 BO 运动， 到点 O 停止．过点 E 作 y 轴的平行线，交边 BC 或 CD 于点 Q，交抛物线于点 R．设 P、E 两点 运动的时间为 t（秒）． （1）写出点 M 的坐标，并求这条抛物线的解析式； （2）当点 Q 和点 R 之间的距离为 8 时，求 t 的值； （3）直接写出使△MPQ 成为直角三角形时 t 值的个数； （4）设 P、Q 两点直径的距离为 d，当 2≤d≤7 时，求 t 的取值范围． 解：（1）M（5，0） 设抛物线的解析式为 y＝a( x－5)2 ∵抛物线经过点 D（0，4），∴25a＝4，∴a＝ 4 25 ∴抛物线的解析式为 y＝ 4 25 ( x－5 )2 或 y＝ 4 25 x 2－ 8 5 x＋4 （2）作 CN⊥AB 于 N，则 CN＝4，BN＝5 ①当 0≤t ≤1 时，由△BQE∽△BCN 得： BE QE ＝ BN CN ＝ 5 4 ∵BE＝5t，∴QE＝4t ∵RQ＝8，∴RE＝4t＋8 ∴R（15－5t，4t＋8） ∵点 R 在抛物线 y＝ 4 25 ( x－5 )2 上，∴ 4 25 ( 15－5t－5 )2＝4t＋8 解得 t1＝ 5＋ 17 2 ＞1（舍去） ，t2＝ 5－ 17 2 ②当 1≤t ≤3 时，QR≤CN＝4 ∴当 t＝ 5－ 17 2 时，点 Q 和点 R 之间的距离为 8 （3）4 提示： 当 0≤t ≤1 时，P 在线段 AD 上，Q 在线段 BC 上，∠PMQ ≥∠DMC ＞90° 当 1＜t ≤ 13 3 时（P 到达 C 时，t＝1＋ 10 3 ＝13 3 ），P、Q 均在 CD 上 A B R xE C Q D P MO y A B R xE C Q D P MO y N 若∠PMQ＝90°，则由射影定理得：(8－3t )(10－5t )＝4 2 解得 t1＝ 35－ 265 15 ，t2＝ 35＋ 265 15 若∠PQM＝90°，则 Q 到达 M 的正上方，t＝ 10 5 ＝2 若∠QPM＝90°，则 P 到达 M 的正上方，t＝1＋ 5 3 ＝ 8 3 所以使△MPQ 成为直角三角形时的 t 值有 4 个 （4）∵当 t＝1 时，P、Q 分别到达 D、C 两点，CD＝10 ∴当 2≤d ≤7 时，P、Q 均在 CD 上 当点 P 和点 Q 相遇前，d＝PQ＝3＋15－( 3t＋5t )＝18－8t ∴2≤18－8t ≤7，解得 11 8 ≤t ≤2 当点 P 和点 Q 相遇后，d＝PQ＝8t－18 ∴2≤8t－18≤7，解得 5 2 ≤t ≤ 25 8 ∵25 8 ＞3，而 3t－3＝7 时，t＝ 10 3 ∴ 5 2 ≤t ≤ 10 3 综上所述，当 2≤d ≤7 时，t 的取值范围为 11 8 ≤t ≤2 或 5 2 ≤t ≤ 10 3 51．（辽宁大连）如图，△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点 P、Q 同时从点 C 出 发，以 1cm/s 的速度分别沿 CA、CB 匀速运动，当点 Q 到达点 B 时，点 P、Q 同时停止运动．过 点 P 作 AC 的垂线 l 交 AB 于点 R，连接 PQ、RQ，并作△PQR 关于直线 l 对称的图形，得到 △PQ′R．设点 Q 的运动时间为 t（s），△PQ′R 与△PAR 重叠部分的面积为 S（cm2）． （1）t 为何值时，点 Q′ 恰好落在 AB 上？ （2）求 S 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围； （3）S 能否为 9 8 cm2？若能，求出此时的 t 值，若不能，说明理由． B l AC Q P R Q′ B A 备用图 C B A 备用图 C 解：（1）过点 Q′ 作 Q′H⊥AC，垂足为 H（如图 1） ∴∠Q′HA＝90°＝∠C，Q′H∥BC ∴AQ′H△∽△ABC，∴ Q′H BC ＝ AH AC 由题意知 QC＝CP＝PH＝Q′H＝t ∴ t 6 ＝ AH 8 ，即 AH＝ 4 3 t ∵CP＋PH＋HA＝CA，即 t＋t＋ 4 3 t＝8 ∴t＝ 12 5 ，即 t 为 12 5 s 时，点 Q′ 恰好落在 AB 上 （2）①当 0＜t ≤ 12 5 时（如图 2） 同理 RP BC ＝ AP AC ，即 RP 6 ＝ 8－t 8 ∴RP＝ 3 4 ( 8－t ) ∴S＝S△PQ′R ＝S△PQR ＝ 1 2 RP·CP＝ 1 2 × 3 4 ( 8－t )×t＝－ 3 8 t 2＋3t ②当 12 5 ＜t ≤6 时（如图 3） 设 PQ′ 与 AB 相交于点 M，过点 M 作 MH⊥AC，垂足为 H 设 MH＝a，由对称性知，∠MPH＝∠QPC＝45°，则 PH＝MH＝a 同理 MH BC ＝ AH AC ，即 a 6 ＝ AH 8 ，∴AH＝ 4 3 a ∵CP＋PH＋HA＝CA，即 t＋a＋ 4 3 a＝8 ∴a＝ 3 7 ( 8－t ) ∴S＝ 1 2 RP·PH＝ 1 2 × 3 4 ( 8－t )× 3 7 ( 8－t )＝ 9 56 ( 8－t )2＝－ 9 56 t 2－ 18 7 t＋ 72 7 综上，S＝ － 3 8 t 2＋3t（0＜t ≤ 12 5 ） － 9 56 t 2－ 18 7 t＋ 72 7 （12 5 ＜t ≤6） （3）若 S＝ 9 8 ，则 ①当 0＜t ≤ 12 5 时，－ 3 8 t 2＋3t＝ 9 8 ，解得 t1＝4＋ 13（舍去），t2＝4－ 13 ②当 12 5 ＜t ≤6 时， 9 56 ( 8－t )2＝ 9 8 ，解得 t1＝8＋ 7（舍去），t2＝8－ 7 即 S 能为 9 8 cm2，此时 t 为( 4－ 13 )s 或( 8－ 7 )s B l AC Q P R Q′ 图 1 H B l AC Q P R Q′ 图 2 B l AC Q P R Q′ 图 3 M H 52．（辽宁葫芦岛）△ABC 中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD 为 AB 边的高，如图 1，A 在原点处， 点 B 在 y 轴正半轴上，点 C 在第一象限．若 A 从原点出发，沿 x 轴向右以每秒 1 个单位长的 速度运动，则点 B 随之沿 y 轴下滑，并带动△ABC 在平面内滑动，如图 2．设运动时间为 t 秒，当 B 到达原点时停止运动． （1）当 t＝0 时，求点 C 的坐标； （2）当 t＝4 时，求 OD 的长及∠BAO 的大小； （3）求从 t＝0 到 t＝4 这一时段点 D 运动路线的长； （4）当以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与坐标轴相切时，求 t 的值． 解：（1）∵BC＝AC，CD⊥AB ∴D 为 AB 的中点，∴AD＝ 1 2 AB＝4 在 Rt△CAD 中，CD＝ 5 2－4 2 ＝3 ∴点 C 的坐标为（3，4） （2）如图 2，当 t＝4 时，AO＝4 在 Rt△ABO 中，D 为 AB 的中点 ∴OD＝ 1 2 AB＝4 ∴△AOD 为等边三角形，∴∠BAO＝60° （3）如图 3，从 t＝0 到 t＝4 这一时段点 D 的运动路线是DD′︵ 其中 OD＝OD′＝4，又∠D′OD＝90°－60°＝30° ∴DD′︵ 的长为 30π×4 180 ＝ 2π 3 （4）由题意，AO＝t 当⊙C 与 x 轴相切时，A 为切点，如图 4 ∴CA⊥OA，∴CA∥y 轴 ∴∠CAD＝∠ABO，∴Rt△CAD∽Rt△ABO ∴ AB CA ＝ AO CD ，即 8 5 ＝ t 3 ∴t＝ 24 5 y B C D xO 图 2 A y B CD xO (A) 图 1 y B C D xO 图 2 A y B C D′ xO 图 3 A D y B C xO 图 5 A D y B C xO 图 4 A D 当⊙C 与 y 轴相切时，B 为切点，如图 5 同理可得 t＝ 32 5 ∴t 的值为 24 5 或 32 5 53．（辽宁丹东）已知抛物线 y＝ax 2－2ax＋c 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 的坐标是（－1，0），O 是坐标原点，且|OC|＝3|OA|． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出直线 BC 的函数表达式； （3）如图 1，D 为 y 轴负半轴上的一点，且 OD＝2，以 OD 为边向左作正方形 ODEF．将正方 形 ODEF 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴的正方向移动，当点 F 与点 B 重合时停止移动．在移 动过程中，设正方形 O′DEF 与△OBC 重叠部分的面积为 S，运动时间为 t 秒． ①求 S 与 t 之间的函数关系式； ②在运动过程中，S 是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说 明理由； （4）如图 2，点 P（1，k）在直线 BC 上，点 M 在 x 轴上，点 N 在抛物线上，是否存在以 A、 M、N、P 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出 M 点坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵A（－1，0），|OC|＝3|OA|，∴C（0，－3） ∵抛物线 y＝ax 2－2ax＋c 经过 A、C 两点 ∴ a＋2a＋c＝0 c＝－3 解得 a＝1 b＝－3 ∴抛物线的函数表达式为 y＝x 2－2x－3 （2）直线 BC 的函数表达式为 y＝x－3 （3）①设 D（m，－2），则 E（m－2，－2） 当正方形 ODEF 的顶点 D 运动到直线 BC 上时 有－2＝m－3，∴m＝1 正方形 ODEF 的边 EF 运动到与 OC 重合时 m＝2 当正方形 ODEF 的顶点 E 运动到直线 BC 上时 有－2＝( m－2 )－3，∴m＝3 BO C A x y P 图 2 BO C A x y DE F 图 1 B O′ C A x y DE F O G B O′ C A x y DE F O G H I 在 y＝x－3 中，当 y＝0 时，x＝3，∴B（3，0） 当正方形 ODEF 的顶点 F 运动到与点 B 重合时 有 m＝3＋2＝5 当 0＜t ≤1 时，重叠部分为矩形 OGDO′ S＝2t 当 1＜t ≤2 时，重叠部分为五边形 OGHIO′ HD＝ID＝t－1 S＝S 矩形 OGDO′ － S△HID ＝2t－ 1 2 ( t－1 )2＝－ 1 2 t 2＋3t－ 1 2 当 2＜t ≤3 时，重叠部分为五边形 FEHIO′ S＝S 正方形 O′DEF － S△HID ＝2 2－ 1 2 ( t－1 )2＝－ 1 2 t 2＋t＋ 7 2 当 3＜t ≤5 时，重叠部分为△FKB FB＝FK＝2－( t－3 )＝5－t S＝ 1 2 ( 5－t )2＝ 1 2 t 2－5t＋ 25 2 ②当 t＝2 秒时，S 有最大值，最大值为 7 2 （4）存在． M1（－ 2－1，0），M2（ 2－1，0） M3（3－ 6，0），M4（3＋ 6，0） 提示：如图 54．（辽宁本溪）如图，已知抛物线 y＝ax 2＋bx＋3 经过点 B（－1，0）、C（3，0），交 y 轴 于点 A，将线段 OB 绕点 O 顺时针旋转 90°，点 B 的对应点为点 M，过点 A 的直线与 x 轴交 于点 D（4，0）．直角梯形 EFGH 的上底 EF 与线段 CD 重合，∠FEH＝90°，EF∥HG，EF＝EH ＝1．直角梯形 EFGH 从点 D 开始，沿射线 DA 方向匀速运动，运动的速度为 1 个长度单位/ 秒，在运动过程中腰 FG 与直线 AD 始终．．重合，设运动时间为 t 秒． （1）求此抛物线的解析式； （2）当 t 为何值时，以 M、O、H、E 为顶点的四边形是特殊的平行四边形； （3）作点 A 关于抛物线对称轴的对称点 A′，直线 HG 与对称轴交于点 K．当 t 为何值时， 以 A、A′、G、K 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的 t 值． B A C O (E) D(F) H G x y A′ K B A C O M (E) D(F) H G x y B O′ C A x y DE F O H I B O′ C A x y DE F O K BO C A x y P M3M1 N1 N2 N3 M4 N4 解：（1）∵抛物线 y＝ax 2＋bx＋3 经过点 B（－1，0）、C（3，0） ∴ a－b＋3＝0 9a＋3b＋3＝0 解得 a＝－1 b＝2 ∴抛物线的解析式为 y＝－x 2＋2x＋3 （2）过点 F′ 作 F′N⊥OD 轴于点 N，延长 E′H′ 交 x 轴于点 P ∵点 M 是点 B 绕 O 点顺时针旋转 90° 后得到的 ∴点 M 的坐标为（0，1） ∵点 A 是抛物线与 y 轴的交点 ∴A 点坐标为（0，3），∴OA＝3 ∵D（4，0），∴OD＝4 ∴AD＝ 3 2＋4 2 ＝5 ∵E′H′∥OM，E′H′＝OM＝1 ∴四边形 MOH′E′ 是平行四边形（当 EH 不与 y 轴重合时） ∵F′N∥OA，∴△F′ND∽△AOD，∴ F′N AO ＝ ND OD ＝ F′D AD ∵直角梯形 E′F′G′H′ 是直角梯形 EFGH 沿射线 DA 方向平移得到的 ∴F′D＝t，∴ F′N 3 ＝ ND 4 ＝ t 5 ，∴F′N＝ 3 5 t，ND＝ 4 5 t ∵E′F′＝PN＝1，∴OP＝OD－ND－PN＝4－ 4 5 t－1＝3－ 4 5 t ∵E′P＝F′N＝ 3 5 t，E′H′＝1，∴H′P＝ 3 5 t－1 若平行四边形 MOH′E′ 是矩形，则∠MOH′＝90° 此时 H′G′ 与 x 轴重合，∴F′N＝1 ∵ 3 5 t＝1，∴t＝ 5 3 B A C O M D x y 备用图 B A C O M D x y E′ F′ G′ H′ P N B A C O M D x y E′ F′ H′ N (G′) B A C M D y A′ E H G F K 即当 t＝ 5 3 秒时平行四边形 MOH′E′ 是矩形 若平行四边形 MOH′E′ 是菱形，则 OH′＝E′H′＝1 在 Rt△H′OP 中，( 3－ 4 5 t )2＋( 3 5 t－1 )2＝1 2 解得 t＝3 即当 t＝3 秒时平行四边形 MOH′E′ 是菱形 综上：当 t＝ 5 3 秒时平行四边形 MOH′E′ 是矩形； 当 t＝3 秒时平行四边形 MOH′E′ 是菱形 （3）t1＝ 35 12 秒，t2＝ 95 12 秒 提示：∵KG∥AA′，∴当 KG＝AA′＝2 时， 以 A、A′、G、K 为顶点的四边形为平行四边形 当点 E 与点 C 重合、点 F 与点 D 重合时 KG＝KH＋HG＝KH＋CD＋ CH tan∠ADO ＝2＋1＋ 4 3 ＝ 13 3 ∴移动 t 秒时，KG＝ 13 3 － 4 5 t（直线 HG 在 AA′ 下方） 或 KG＝ 4 5 t－ 13 3 （直线 HG 在 AA′ 上方） 由 13 3 － 4 5 t＝2，得 t＝ 35 12 由 4 5 t－ 13 3 ＝2，得 t＝ 95 12 55．（辽宁模拟）将 Rt△ABC 和 Rt△DEF 按图 1 摆放（点 F 与点 A 重合），点 A、E、F、B 在 同一直线上。∠ACB＝∠DEF＝90°，∠BAC＝∠D＝30°，BC＝8cm，EF＝6cm． 如图 2，△DEF 从图 1 位置出发，以 1cm/s 的速度沿射线 AB 下滑，DE 与 AC 相交于点 H，DF 与 AC 相交于点 G，设下滑时间为 t（s）（0＜t ≤6）． （1）当 t＝___________s 时，△GHD 经过旋转后与△AFG 能够组成菱形； （2）当 t 为何值时，点 G 在线段 AE 的垂直平分线上？ （3）是否存在某一时刻 t，使 B、C、D 三点在同一条直线上，若存在，求出 t 的值；若不 存在，请说明理由； （4）设△DEF 与△ABC 的重合部分的面积为 S，直接写出 S 与 t 之间的函数关系式以及 S 的 最大值（不需要给出解答过程）． A B D C E (F) A B D G C E H F A B C B A C O M D x y A′ K E F H G 解：（1）6 3－6 提示：由题意，∠A＝∠AGF＝∠DGH＝∠D＝30° 若△GHD 经过旋转后与△AFG 能够组成菱形 则 AG＝DG，即 3t＝12－t ∴t＝6 3－6 （2）连接 EG ∵点 G 在线段 AE 的垂直平分线上 ∴AG＝EG，∴AE＝2AG·cos30°＝ 3AG＝3AF ∴t＋6＝3t，∴t＝3 （3）假设存在存在某一时刻 t，使 B、C、D 三点在同一条直线上 ∵∠BFD＝∠B＝60°，∴△BFD 是等边三角形 ∵DE⊥BF，∴BE＝EF，BF＝2EF＝12 ∵AF＋BF＝AB＝2BC ∴t＋12＝16，∴t＝4 （4）S＝ － 3 12 t 2＋2 3t＋6 3（0＜t ≤6） － 3 3 4 t 2＋10 3t－18 3（6＜t ≤8） － 3 4 t 2＋2 3t＋14 3（8＜t ≤10） 3 4 t 2－8 3t＋64 3（10＜t ≤16） 0（t ＞16） S 的最大值为 46 3 3 56．（辽宁模拟）如图，抛物线 y＝ax 2＋bx＋ 15 2 （a≠0）经过 A（－3，0），B（5，0）两点， 点 C 为抛物线顶点，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D． （1）求抛物线的解析式； （2）动点 P 从点 C 出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段 CD 向终点 D 匀速运动，过点 P 作 PM⊥CD，交 BC 于点 M，以 PM 为一边向上作 正方形 PMNQ，边 QN 交 BC 于点 R，延长 NM 交 x 轴于点 E．设运动时 O N y xA D E B C RQ P M A B C E D F G H A B C E D F G H A B C E D F G H A B C E D F G H A B C E D F G K A B C E D F G K L A B CE D F G L 间为 t（秒）． ①当 t 为何值时，点 N 落在抛物线上； ②在点 P 运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形 QEBR 为平行四边形？若存在，求出 此时刻的 t 值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵抛物线 y＝ax 2＋bx＋ 15 2 （a≠0）经过 A（－3，0），B（5，0）两点 ∴ 9a－3b＋ 15 2 ＝0 25a＋5b＋ 15 2 ＝0 解得： a＝－ 1 2 b＝1 ∴抛物线的解析式为 y＝－ 1 2 x 2＋x＋ 15 2 （2）①∵y＝－ 1 2 x 2＋x＋ 15 2 ＝－ 1 2 ( x－1)2＋8，∴C（1，8） ∴CD＝8，OD＝1，BD＝4 又∵PM⊥CD，CD⊥AB，∴PM∥AB ∴Rt△CPM∽Rt△CDB ∴ PM DB ＝ CP CD ，即 PM 4 ＝ t 8 ，∴PM＝ 1 2 t ∵四边形 PDEM 为矩形，∴DE＝PM＝ 1 2 t ∴OE＝1＋ 1 2 t，即点 E 的横坐标为 1＋ 1 2 t ∴点 N 的横坐标为 1＋ 1 2 t 若点 N 落在抛物线上，则点 N 的纵坐标为－ 1 2 (1＋ 1 2 t ) 2 ＋(1＋ 1 2 t )＋ 15 2 ∴NE＝－ 1 2 (1＋ 1 2 t ) 2 ＋(1＋ 1 2 t )＋ 15 2 ＝－ 1 8 t 2＋8 ∵CP＝t，PD＝ME，∴ME＝8－t ∴NM＝NE－ME＝－ 1 8 t 2＋8－( 8－t )＝－ 1 8 t 2＋t ∵四边形 PMNQ 是正方形，∴PM＝NM ∴ 1 2 t＝－ 1 8 t 2＋t，即 t1＝0（舍去），t2＝4 ∴当 t＝4 秒时，点 N 落在抛物线上 ②由于 QR∥EB，要使四边形 QEBR 为平行四边形，只需 QR＝EB ∵Rt△CQR∽Rt△CDB，∴ QR DB ＝ CQ CD N y C RQ P M O N y xA D E B C RQ P M ∵CQ＝CP－QP＝CP－PM＝t－ 1 2 t＝ 1 2 t ∴ QR 4 ＝ 1 2 t 8 ，∴QR＝ 1 4 t 而 EB＝5－(1＋ 1 2 t )＝4－ 1 2 t ∴ 1 4 t＝4－ 1 2 t，∴t＝ 16 3 ∴当 t＝ 16 3 秒时，四边形 QEBR 为平行四边形 57．（辽宁模拟）如图 1，已知点 A（8，4），点 B（0，4），线段 CD 的长为 3，点 C 与原点 O 重合，点 D 在 x 轴正半轴上．线段 CD 沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度向右平移， 过点 D 作 x 轴的垂线交线段 AB 于点 E，交 OA 于点 G，连接 CE 交 OA 于点 F（如图 2），设运 动时间为 t．当 E 点与 A 点重合时停止运动． （1）求线段 CE 的长； （2）记△CDE 与△ABO 公共部分的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式； （3）如图 2，连接 DF． ①当 t 取何值时，以 C、F、D 为顶点的三角形为等腰三角形？ ②△CDF 的外接圆能否与 OA 相切？如果能，直接写出此时 t 的值；如果不能，请说明理由． 解：（1）在 Rt△CDE 中，CD＝3，DE＝4 ∴CE＝ 3 2＋4 2 ＝5 C AB O E xD y GF 图 2 AB O E xD y G 图 1 (C) （2）作 FH⊥CD 于 H ∵AB∥OD，∴△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG ∴ CF EF ＝ OC AE ＝ t 8－3－t ， DG EG ＝ OD AE ＝ t＋3 8－3－t 又∵CF＋EF＝5，DG＋EG＝4，∴CF＝t，EG＝ 5－t 2 ∵FH∥ED，∴ HD CD ＝ EF CE ，∴HD＝ EF CE ·CD＝ 3 5 (5－t ) ∴S＝ 1 2 EG·HD＝ 1 2 ×5－t 2 × 3 5 (5－t )＝ 3 20 (5－t )2（0≤t≤5） （3）①由（2）知 CF＝t （i）当 CF＝CD 时，则 t＝3 （ii）当 CF＝DF 时，则 CH＝ 1 2 CD ∵FH∥ED，∴CF＝ 1 2 CE＝ 5 2 ，∴t＝ 5 2 （iii）当 DF＝CD 时 作 DK⊥CF 于 K，则 CK＝ 1 2 CF＝ 1 2 t ∵CK＝CD·cos∠ECD，∴ 1 2 t＝3× 3 5 ，∴t＝ 18 5 综上，当 t＝3 或 5 2 或 18 5 时，△CDF 为等腰三角形 ②能 t＝ 15 11 提示： 作 FH⊥CD 于 H，则△FCH∽△ECD ∴ CH CD ＝ FH ED ＝ CF CE ，即 CH 3 ＝ FH 4 ＝ t 5 ∴CH＝ 3 5 t，FH＝ 4 5 t，OH＝t＋ 3 5 t ＝ 8 5 t 若△CDF 的外接圆与 OA 相切，则 F 点为切点 由切割线定理，得：OF 2＝OC·OD ∴( 8 5 t ) 2 ＋( 4 5 t ) 2 ＝t( t＋3 )，解得 t＝ 15 11 58．（贵州安顺）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边长 OA、OC 分别为 12cm、 6cm，点 A、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上，抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 经过点 A、B， 且 18a＋c＝0． （1）求抛物线的解析式； （2）如果点 P 由点 A 开始沿 AB 边以 1cm/s 的速度向终点 B 移动，同时点 Q 由点 B 开始沿 BC 边以 2cm/s 的速度向终点 C 移动．移动开始后第 t 秒时，设△PBQ 的面积为 S． ①试写出 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围； ②当 S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点 R，使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平 C Q O x y C AB O E xD y GF H C AB O E xD y GF K C AB O E xD y GF H 行四边形？如果存在，求出 R 点的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（1）设抛物线的解析式为 y＝ax 2＋bx＋c 由题意知点 A（0，－12），∴c＝－12 又∵18a＋c＝0，∴a＝ 2 3 ∵AB∥OC，且 AB＝6 ∴抛物线的对称轴是 x＝－ b 2a ＝3，∴b＝－4 ∴抛物线的解析式为 y＝ 2 3 x 2－4x－12 （2）①S＝ 1 2 ·2t·( 6－t )＝－t 2＋6t＝－( t－3 )2＋9（0＜t ＜6） ②当 t＝3 时，S 取得最大值为 9 此时点 P 的坐标（3，－12），点 Q 坐标（6，－6） 若以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形，则有以下三种情况： （Ⅰ）当点 R 在 BQ 左侧，且在 PB 下方时，点 R 的坐标（3，－18） 将（3，－18）代入抛物线的解析式中，满足解析式 所以存在点 R，点 R 的坐标为（3，－18） （Ⅱ）当点 R 在 BQ 左侧，且在 PB 上方时，点 R 的坐标（3，－6） 将（3，－6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点 R 不满足条件 （Ⅲ）当点 R 在 BQ 右侧，且在 PB 上方时，点 R 的坐标（9，－6） 将（9，－6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点 R 不满足条件 综上所述，点 R 坐标为（3，－18） 59．（贵州六盘水）如图 1，已知△ABC 中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm．如果点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度 均为 2cm/s．连接 PQ，设运动的时间为 t（单位：s）（0≤t ≤4）．解答下列问题： （1）当 t 为何值时，PQ∥BC． （2）设△AQP 的面积为 S（单位：cm2），当 t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值． （3）是否存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求出此时 t 的值； 若不存在，请说明理由． （4）如图 2，把△AQP 沿 AP 翻折，得到四边形 AQPQ′ ．那么是否存在某时刻 t，使四边形 AQPQ′ 为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由． B A C P Q 图 1 B A C P Q 图 2 Q′ 解：（1）若 PQ∥BC，则△APQ∽△ABC ∴ AP AB ＝ AQ AC ，∴ 10－2t 10 ＝ 2t 8 ，解得 t＝ 20 9 ∴当 t＝ 20 9 s 时 PQ∥BC （2）∵8 2＋6 2＝10 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠C＝90° 过 P 作 PH⊥AC 于 H，则 PH∥BC ∴△APH∽△ABC，∴ PH BC ＝ AP AB ∴ PH 6 ＝ 10－2t 10 ，∴PH＝－ 6 5 t＋6 ∴S＝ 1 2 AQ·PH＝ 1 2 ×2t(－ 6 5 t＋6 )＝－ 6 5 t 2＋6t＝－ 6 5 ( t－ 5 2 )2＋ 15 2 ∴当 t＝ 5 2 s 时，S 取最大值为 15 2 cm2 （3）不存在 理由是：若 PQ 把△ABC 的面积平分，即 S△APQ ＝ 1 2 S△ABC 则－ 6 5 t 2＋6t＝ 1 2 × 1 2 ×6×8，整理得 t 2－5t＋10＝0 ∵△＝25－40＝－15＜0，∴此方程无实数解 ∴不存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把△ABC 的面积平分 （4）存在 理由是：连接 QQ′，交 AP 于 E，若四边形 AQPQ′ 是菱形 则 QE⊥AP，AE＝PE＝ 1 2 AP＝ 1 2 ( 10－2t )＝5－t 易知△AQE∽△ABC，∴ AE AC ＝ AQ AB ∴ 5－t 8 ＝ 2t 10 ，解得 t＝ 25 13 ∵0＜ 25 13 ＜4，∴存在 当 t＝ 25 13 s 时，四边形 AQPQ′ 为菱形 此时 AP＝10－2t＝10－2× 25 13 ＝ 80 13 ∵△AQE∽△ABC，∴ QE BC ＝ AQ AB ∴ QE 6 ＝ 2t 10 ，∴QE＝ 6 5 t＝ 6 5 × 25 13 ＝ 30 13 ，∴QQ′＝2QE＝ 60 13 B A C P Q H B A C P Q Q′ E ∴S 菱形 AQPQ′ ＝ 1 2 AP·QQ′＝ 1 2 × 80 13 × 60 13 ＝ 2400 169 （cm2） 60．（贵州模拟）如图（1），在 Rt△AOB 中，∠A＝90°，AB＝6，OB＝4 3，∠AOB 的平分线 OC 交 AB 于 C，过 O 点作与 OB 垂直的直线 OF．动点 P 从点 B 出发沿折线 BC→CO 方向以每秒 1 个单位长度的速度向终点 O 运动，同时动点 Q 从点 C 出发沿折 CO→OF 方向以相同的速度 运动．设点 P 的运动时间为 t 秒，当点 P 到达点 O 时 P、Q 同时停止运动． （1）求 OC、BC 的长； （2）设△CPQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式； （3）如图（2），当点 P 在 OC 上、点 Q 在 OF 上运动时，PQ 与 OA 交于点 E． ①当 t 为何值时，△OPE 为等腰三角形？ ②直接写出线段 OE 长度的最大值． 解：（1）在 Rt△AOB 中，∠A＝90°，AB＝6，OB＝4 3 ∴sin∠AOB＝ OA OB ＝ 6 4 3 ＝ 3 2 ，∴∠AOB＝60° ∵OC 平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，OA＝ 1 2 OB＝2 3 在 Rt△AOC 中，∠A＝90°，∠AOC＝30°，AC＝ OA 3 ＝2 OC＝2AC＝4 ∴BC＝AB－AC＝6－2＝4 （2）①当 0＜t ＜4 时，点 P 在 BC 上，点 Q 在 OC 上，如图（1） CP＝4－t，CQ＝t 过点 P 作 PM⊥OC 于 M 在 Rt△CPM 中，∠M＝90°，∠MCP＝60° ∴CM＝ 1 2 PC＝ 1 2 ( 4－t )，PM＝ 3CM＝ 3 2 ( 4－t ) ∴S＝ 1 2 QC·PM＝ 1 2 t· 3 2 ( 4－t )＝－ 1 2 t 2＋ 3 4 t ②当 t＝4 时，点 P 与点 C 重合，点 Q 与点 O 重合，此时不能构成△CPQ ③当 4＜t ≤8 时，点 P 在 OC 上，点 Q 在 OQ 上，如图（2） PC＝t－4，OQ＝t－4 过点 Q 作 QN⊥OC 于 N 在 Rt△OQN 中，∠QNO＝90°，∠QON＝60°，ON＝ 1 2 OQ＝ 1 2 ( t－4 ) QN＝ 3ON＝ 3 2 ( t－4 ) A B P O Q F C 图（2） E A B P O Q F C 图（1） A B P O Q F C 图（1） M A B P O Q F C 图（2） N A B P O Q F C 图（3） E H ∴S＝ 1 2 PC·QN＝ 1 2 ( t－4 )· 3 2 ( t－4 )＝ 3 4 ( t－4 )2 （3）①（i）若 OP＝OE，则∠OPE＝∠OEP＝75° ∴∠EQO＝∠OEP－∠AOQ＝75°－30°＝45° 过点 E 作 EH⊥OQ 于 H，如图（3） 则 QH＝EH＝ 1 2 OE，OH＝ 3 2 OE ∴OQ＝QH＋OH＝( 1 2 ＋ 3 2 )OE ∴OE＝ 2OQ 1＋ 3 ＝ 2( t－4 ) 1＋ 3 ， 又∵OP＝8－t，∴2( t－4 ) 1＋ 3 ＝8－t 解得 t＝ 12＋4 3 3 （ii）若 EP＝EO，则∠EPO＝∠EOP＝30°，如图（4） ∴∠PQO＝90°，OQ＝ 1 2 OP ∴t－4＝ 1 2 ( 8－t )，解得 t＝ 16 3 （iii）若 PE＝PO，则 PE∥OF，PE 不与 OF 相交，故舍去 综上所述，当 t＝ 12＋4 3 3 或 t＝ 16 3 时，△OPE 为等腰三角形 ②线段 OE 长的最大值为 3 提示：作 PF⊥OQ 于 F，PG⊥OA 于 G，QH⊥OA 于 H，如图（5） 则 PF＝ 3 2 OP＝ 3 2 ( 8－t )，PG＝ 1 2 OP，QH＝ 1 2 OQ ∴△POQ ＝ 1 2 OQ·PF＝ 1 2 ( t－4 )· 3 2 ( 8－t )＝－ 3 4 t 2＋3 3t－8 3 △POQ ＝S△POE ＋ S△QOE ＝ 1 2 OE·PG＋ 1 2 OE·QH ＝ 1 2 OE( PG＋QH )＝ 1 4 OE( OP＋OQ )＝ 1 4 OE( 8－t＋t－4 )＝OE ∴OE＝－ 3 4 t 2＋3 3t－8 3＝ － 3 4 ( t－6)2＋ 3 ∴当 t＝6 时，线段 OE 的长取得最大值 3 61．（四川广元）如图，在矩形 ABCO 中，AO＝3，tan∠ACB＝ 4 3 ．以 O 为坐标原点，OC 为 x 轴，OA 为 y 轴建立平面直角坐标系．设 D，E 分别是线段 AC，OC 上的动点，它们同时出发， 点 D 以每秒 3 个单位的速度从点 A 向点 C 运动，点 E 以每秒 1 个单位的速度从点 C 向点 O 运动．设运动时间为 t（秒）． （1）求直线 AC 的解析式； （2）用含 t 的代数式表示点 D 的坐标； A B P O Q F C 图（4） E A B P O Q F C 图（5） E F H G （3）当 t 为何值时，△ODE 为直角三角形？ （4）在什么条件下，以 Rt△ODE 的三个顶点能确定一条对称轴平行于 y 轴的抛物线？并请 选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式． 解：（1）在 Rt△ABC 中，BC＝AO＝3，tan∠ACB＝ AB BC ＝ 4 3 ∴CO＝AB＝4，∴A（0，3），B（4，3），C（4，0） 设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋b ∴ b＝3 4k＋b＝0 解得 k＝－ 3 4 ，b＝3 ∴y＝－ 3 4 x＋3 （2）在 Rt△AOC 中，AO＝3，OC＝4，∴AC＝5 过点 D 作 DF⊥AO 于 F，则△AFD∽△AOC ∴ AF AO ＝ FD OC ＝ AD AC ，∴ AF 3 ＝ FD 4 ＝ 3t 5 ∴AF＝ 9 5 t，FD＝ 12 5 t ∴D（12 5 t，3－ 9 5 t） （3）①若∠DOE＝90°，则点 D 与点 A 重合，点 E 与点 C 重合 此时 t＝0 ②若∠ODE＝90°，过点 D 作 DG⊥OC 于 G 则△ODG∽△DEG，∴ DG OG ＝ EG DG ∴ 3－ 9 5 t 12 5 t ＝ 4－ 12 5 t－t 3－ 9 5 t ，解得 t＝ 15 19 或 t＝1 ③若∠OED＝90°，则△DEC∽△AOC ∴ DE AO ＝ EC OC ，∴ 3－ 9 5 t 3 ＝ t 4 ，解得 t＝ 20 17 综上，当 t＝0 或 t＝ 15 19 或 t＝1 或 t＝ 20 17 时，△ODE 为直角三角形 （4）∵抛物线过 Rt△ODE 的三个顶点，且对称轴平行于 y 轴 ∴∠ODE＝90° BA C D EO x y BA C D EO x y F BA C D EO x y F G BA C D EO x y F 选择 t＝1 时的情况，则 D（12 5 ，6 5 ），E（3，0） ∵抛物线过 O（0，0），∴设抛物线的解析式为 y＝ax 2＋bx 将点 D，E 坐标代入，求得 a＝－ 5 6 ，b＝ 5 2 ∴抛物线的解析式为 y＝－ 5 6 x 2＋ 5 2 x 62．（湖南张家界）如图，抛物线 y＝－x 2＋ 5 3 3x＋2 与 x 轴交于 C、A 两点，与 y 轴交于 点 B，点 O 关于直线 AB 的对称点为 D． （1）分别求出点 A、点 C 的坐标； （2）求直线 AB 的解析式； （3）若反比例函数 y＝ k x 的图象经过点 D，求 k 的值； （4）现有两动点 P、Q 同时从点 A 出发，分别沿 AB、AO 方向向 B、O 移动，点 P 每秒移动 1 个单位，点 Q 每秒移动 1 2 个单位，设△POQ 的面积为 S，移动时间为 t．问：在 P、Q 移动 过程中，S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的 t 值；若不存在，请 说明理由． 解：（1）令 y＝0，即－x 2＋ 5 3 3x＋2＝0，解得 x1＝－ 3 3 ，x2＝2 3 ∴C（－ 3 3 ，0），A（2 3，0） （2）令 x＝0，即 y＝2，∴B（0，2） 设直线 AB 的解析式为 y＝k1x＋2，把 A（2 3，0）代入 得 0＝2 3k1＋2，∴k1＝－ 3 3 ∴直线 AB 的解析式为 y＝－ 3 3 x＋2 （3）连接 DA ∵OA＝2 3，OB＝2，∴∠BAO＝30° ∵D 点与 O 点关于 AB 对称 1O x y C Q A P B D 1 2 1O x y C Q A P B D 1 2 ∴OD⊥AB，DA＝OA，∴∠BAD＝∠BAO＝30° ∴△DOA 是等边三角形 ∴OD＝OA＝2 3，∠DOA＝60° ∴D 点的横坐标为 3，纵坐标为 3，即 D（ 3，3） ∵反比例函数 y＝ k x 的图象经过点 D ∴3＝ k 3 ，∴k＝3 3 （4）AP＝t，AQ＝ 1 2 t，点 P 到 OQ 的距离为 1 2 t ∴S＝ 1 2 ( 2 3－ 1 2 t )· 1 2 t＝－ 1 8 t 2＋ 3 2 t＝－ 1 8 ( t－2 3)2＋ 3 2 依题意， 0＜t ≤4 0＜ 1 2 t ≤2 3 得 0＜t ≤4 ∴当 t＝2 3 时，S 有最大值为 3 2 63．（湖北鄂州）已知：如图 1，抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 与 x 轴正半轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 y＝x－2 经过 A、C 两点，且 AB＝2． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线 DE 平行于 x 轴并从 C 点开始以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正方向平移，且分别 交 y 轴、线段 BC 于点 E、D，同时动点 P 从点 B 出发，沿 BO 方向以每秒 2 个单位的速度运 动（如图 2），当点 P 运动到原点 O 时，直线 DE 与点 P 都停止运动，连接 DP，若点 P 运动时 间为 t 秒，设 s＝ ED＋OP ED·OP ，当 t 为何值时，s 有最小值，并求出最小值； （3）在（2）的条件下，是否存在 t 的值，使以 P、B、D 为顶点的三角形与△ABC 相似？若 存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由． （1）∵直线 y＝x－2 与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 C ∴A（2，0），C（0，－2） 又 AB＝2，∴B（4，0） 设抛物线解析式为 y＝a( x－2 )( x－4 )，把 C 点坐标代入，得 a＝－ 1 4 ∴抛物线的解析式为 y＝－ 1 4 ( x－2 )( x－4 )＝－ 1 4 x 2＋ 3 2 x－2 （2）依题意，CE＝t，PB＝2t，∴OP＝4－2t O x y C A B 图 1 O x y C A B 图 2 E D P O x y C A B E D P ∵DE∥BA，∴ ED OB ＝ CE CO 即 ED 4 ＝ CE 2 ，∴ED＝2CE＝2t 又 s＝ ED＋OP ED·OP ＝ 2t＋4－2t 2t( 4－2t ) ＝ 1 －t 2＋2t ∵－t 2＋2t＝－( t－1 )2＋1 ∴当 t＝1 时，－t 2＋2t 有最大值 1 ∴当 t＝1 时，s 有最小值＝ 1 1 ＝1 （3）由题意可求：CD＝ 5t，BC＝2 5 ∴BD＝2 5－ 5t ∵∠PBD＝∠ABC ∴以 P、B、D 为顶点的三角形与△ABC 相似有两种情况 ①当 BP BA ＝ BD BC 时，即 2t 2 ＝ 2 5－ 5t 2 5 ，解得 t＝ 2 3 ②当 BP BC ＝ BD BA 时，即 2t 2 5 ＝ 2 5－ 5t 2 ，解得 t＝ 10 7 ∴当 t＝ 2 3 或 t＝ 10 7 时，以 P、B、D 为顶点的三角形与△ABC 相似 64．（湖北咸宁）如图，在平面直角坐标系中，点 C 的坐标为（0，4），动点 A 以每秒 1 个单 位长的速度，从点 O 出发沿 x 轴的正方向运动，M 是线段 AC 的中点．将线段 AM 以点 A 为中 心，沿顺时针方向旋转 90°，得到线段 AB．过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 E，过点 C 作 y 轴的垂线，交直线 BE 于点 D．运动时间为 t 秒． （1）当点 B 与点 D 重合时，求 t 的值； （2）设△BCD 的面积为 S，当 t 为何值时，S＝ 25 4 ？ （3）连接 MB，当 MB∥OA 时，如果抛物线 y＝ax 2－10ax 的顶点在△ABM 内部（不包括边）， 求 a 的取值范围． 解：（1）当点 B 与点 D 重合时，BE＝4 ∵∠CAB＝90°，∴∠CAO＋∠BAE＝90° ∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∴∠CAO＝∠ABE ∴Rt△CAO∽Rt△ABE ∴ CA AB ＝ AO BE ，∴ 2AB AB ＝ t 4 ∴t＝8 y xO C 备用图 y xO A B C M D E O x y C A B E D P y xO A B C M D E （2）由 Rt△CAO∽Rt△ABE 可知：BE＝ 1 2 t，AE＝2 当 0＜t ＜8 时，S＝ 1 2 CD·BD＝ 1 2 ( 2＋t )( 4－ 1 2 t )＝ 25 4 ∴t1＝t2＝3 当 t ＞8 时，S＝ 1 2 CD·BD＝ 1 2 ( 2＋t )( 1 2 t－ 4 )＝ 25 4 ∴t1＝3＋5 2，t1＝3－5 2（舍去） ∴当 t＝3 或 3＋5 2 时，S＝ 25 4 （3）过 M 作 MN⊥x 轴于 N，则 MN＝ 1 2 CO＝2 当 MB∥OA 时，BE＝MN＝2，OA＝2BE＝4 抛物线 y＝ax 2－10ax 的顶点坐标为（5，－25a） 它的顶点在直线 x＝5 上移动． 直线 x＝5 交 MB 于点（5，2），交 AB 于点（5，1） ∴1＜－25a ＜2 ∴＝－ 2 25 ＜a ＜－ 1 25 65．（湖北宜昌）如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝ 3 3 x＋1 分别与两坐标轴交于 B，A 两点，C 为该直线上一动点，以每秒 1 个单位长度的速度从点．．A．开始．．沿直线 BA 向右上移动， 作等边△CDE，点 D 和点 E 都在 x 轴上，以点 C 为顶点的抛物线 y＝a(x－m)2＋n 经过点 E．⊙M 与 x 轴、直线 AB 都相切，其半径为 3(1－ 3)a． （1）求点 A 的坐标和∠ABO 的度数； （2）当点 C 与点 A 重合时，求 a 的值； （3）点 C 移动多少秒时，等边△CDE 的边 CE 第一次与⊙M 相切？ 解：（1）当 x＝0 时，y＝1；当 y＝0 时，x＝－ 3 ∴OA＝1，OB＝ 3 ∴A 的坐标是（0，1），∠ABO＝30° （2）∵△CDE 为等边三角形，点 A（0，1） ∴D 的坐标是（－ 3 3 ，0），E 的坐标是（ 3 3 ，0） 把点 A（0，1），D（－ 3 3 ，0），E（ 3 3 ，0）代入 y＝a( x－m )2＋n B A D EO x y (C) （图 1） B A O x y （图 2） M y xO A B C M D EN x＝5 y xO A B C M D E 解得：a＝－3 （3）如图，设切点分别是 Q，N，P，连接 MQ，MN，MP，ME，过 C 点作 CH⊥x 轴，H 为垂足， 过 A 作 AF⊥CH，F 为垂足 ∵△CDE 为等边三角形，∠ABO＝30° ∴∠BCE＝90°，∠ECN＝90° ∵CE，AB 分别与⊙M 相切，∴∠MPC＝∠CNM＝90° ∴四边形 MPCN 为矩形 ∵MP＝MN，∴四边形 MPCN 为正方形 方法一： ∴MP＝MN＝CP＝CN＝3(1－ 3)a（a ＜0） ∵EC 和 x 轴都与⊙M 相切，∴EP＝EQ ∵∠NBQ＋∠NMQ＝180°，∴∠PMQ＝60°，∴∠EMQ＝30° ∴在 Rt△MEP 中，tan30°＝ PE PM ，∴PE＝( 3－3 )a ∴CE＝CP＋PE＝3(1－ 3)a＋( 3－3 )a＝－2 3a ∴DH＝HE＝－ 3a，CH＝－3a，BH＝－3 3a ∴OH＝－3 3a－ 3，OE＝－4 3a－ 3 ∴C（－3 3a－ 3，－ 3a），E（－4 3a－ 3，0） 设二次函数的解析式为 y＝a( x＋3 3a＋ 3 )2－3a ∵E 在该抛物线上 ∴a(－4 3a－ 3＋3 3a＋ 3 )2－3a＝0 得 a 2＝1，解得 a1＝1，a2＝－1 ∵a ＜0，∴a＝－1 ∴AF＝2 3，CF＝2，∴AC＝4 ∴点 C 移动 4 秒时，等边△CDE 的边 CE 第一次与⊙M 相切 方法二： ∵C（m，n）在直线 AB：y＝ 3 3 x＋1 上 ∴n＝ 3 3 m＋1 ① 在 Rt△EPM 中，∠PEM＝60°，EP＝ 3(1－ 3)a 3 ＝( 3－3 )a ∴CE＝CP＋PE＝3(1－ 3)a＋( 3－3 )a＝－2 3a ∵sin∠HEC＝ CH CE ，∴ 3 2 ＝ n －2 3a 即 n＝－3a ② 由①、②两式得 m＝－3 3a－ 3 ∴C（－3 3a－ 3，－ 3a），E（－4 3a－ 3，0） 以下同方法一 66．（广东珠海）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝3 2，DC＝ 2，高 CE＝2 2，对 角线 AC、BD 交于 H，平行于线段 BD 的两条直线 MN、RQ 同时从点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀 速平移，分别交等腰梯形 ABCD 的边于 M、N 和 R、Q，分别交对角线 AC 于 F、G；当直线 RQ 到达点 C 时，两直线同时停止移动．记等腰梯形 ABCD 被直线 MN 扫过的图形面积为 S1、被直 B A O x y M D H E Q PF C N 线 RQ 扫过的图形面积为 S2，若直线 MN 平移的速度为 1 单位/秒，直线 RQ 平移的速度为 2 单位/秒，设两直线移动的时间为 x 秒． （1）填空：∠AHB＝__________；AC＝__________； （2）若 S2＝3S1，求 x； （3）设 S2＝mS1，求 m 的变化范围． （1）90°；4 （2）直线移动有两种情况：0＜x ＜ 3 2 及 3 2 ≤x ≤2 ①当 0＜x ＜ 3 2 时 ∵MN∥BD，∴△AMN∽△ARQ，△ANF∽△AQG ∴ S2 S1 ＝ ( AG AF ) 2 ＝4，∴S2＝4S1≠3S1 ②当 3 2 ≤x ≤2 时 CG＝4－2x，CH＝1，S△BCD ＝ 1 2 ×4×1＝2，S△CRQ ＝2×( 4－2x 1 ) 2 ＝8( 2－x )2 ∴S1＝ 2 3 x 2，S2＝8－8( 2－x )2 由 S2＝3S1，得方程 8－8( 2－x )2＝3× 2 3 x 2，解得 x1＝ 6 5 （舍去），x2＝2 ∴x 的值为 2 （3）当 0＜x ＜ 3 2 时，m＝4 当 3 2 ≤x ≤2 时，由 S2＝mS1，得 m＝ 8－8( 2－x )2 2 3 x 2 ＝－ 36 x 2 ＋ 48 x －12＝－36( 1 x － 2 3 )2 ＋4 m 是 1 x 的二次函数，当 3 2 ≤x ≤2 时，即当 1 2 ≤ 1 x ≤ 2 3 时，m 随 1 x 的增大而增大 当 x＝ 3 2 时，m 最大，最大值为 4；当 x＝2 时，m 最小，最小值为 3 ∴3≤m≤4 A B M N Q D C H R G F E 备用图A B M N Q D C H R G F E 67．（广东茂名）如图所示，抛物线 y＝ax 2＋ 3 2 x＋c 经过原点 O 和 A（4，2），与 x 轴交于 点 C，点 M、N 同时从原点 O 出发，点 M 以 2 个单位/秒的速度沿 y 轴正方向运动，点 N 以 1 个单位/秒的速度沿 x 轴正方向运动，当其中一个点停止运动时，另一点也随之停止． （1）求抛物线的解析式和点 C 的坐标； （2）在点 M、N 运动过程中， ①若线段 MN 与 OA 交于点 G，试判断 MN 与 OA 的位置关系，并说明理由； ②若线段 MN 与抛物线相交于点 P，探索：是否存在某一时刻 t，使得以 O、P、A、C 为顶点 的四边形是等腰梯形？若存在，请求出 t 值；若不存在，请说明理由． 解；（1）依题意，得 c＝0 16a＋ 3 2 ×4＋c＝2 解得 a＝－ 1 4 c＝0 ∴抛物线的解析式为 y＝－ 1 4 x 2＋ 3 2 x 令 y＝0，则有－ 1 4 x 2＋ 3 2 x＝0 解得 x1＝0，x2＝6，∴点 C 坐标为（6，0） （2）①MN⊥OA，理由如下： 过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，则 OB＝4，AB＝2 由已知可得： OM ON ＝ OB AB ＝ 2 1 ，∴Rt△MON∽Rt△OBA ∴∠AOB＝∠NMO ∵∠NMO＋∠MNO＝90°，∴∠AOB＋∠MNO＝90° O x y C N A M P G O x y C N A M G B ∴∠OGN＝90°，∴MN⊥OA ②存在 设点 P 的坐标为（x，y），依题意可得：当点 P 是点 A 关于抛物线对称轴的对称点时，四边 形 APOC 为等腰梯形 易知点 P 坐标为（2，2） 过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，则 PD＝2，OD＝2 由 Rt△PDN∽Rt△MON，得 PD DN ＝ OM ON ＝ 2 1 ∴DN＝1，∴ON＝OD＋DN＝2＋1＝3 ∴t＝ 3 1 ＝3 ∴当 t＝3 秒时，以 O、P、A、C 为顶点的四边形是等腰梯形 68．（广东湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形 AOB 的顶点 A、B 分别落在坐标轴 上，O 为原点，点 A 的坐标为（6，0），点 B 的坐标为（0，8）．动点 M 从点 O 出发，沿 OA 向终点 A 以每秒 1 个单位的速度运动，同时动点 N 从点 A 出发，沿 AB 向终点 B 以每秒 5 3 个 单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点 M、N 运动 的时间为 t 秒（t＞0）． （1）当 t＝3 秒时，直接．．写出点 N 的坐标，并求出经过 O、A、N 三点的抛物线的解析式； （2）在此运动的过程中，△MNA 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存 在，请说明理由； （3）当 t 为何值时，△MNA 是一个等腰三角形？ 解：（1）N（3，4） 设抛物线的解析式为 y＝ax 2＋bx＋c 把 O（0，0），A（6，0），N（3，4）代入，得： c＝0 36a＋6b＋c＝0 9a＋3b＋c＝4 解得 a＝－ 4 9 b＝ 8 3 c＝0 ∴抛物线的解析式为 y＝－ 4 9 x 2＋ 8 3 x （2）∵A（6，0），B（0，8），∴OA＝6，OB＝8 ∴AB＝ 6 2＋8 2 ＝10 过点 N 作 NH⊥OA 于 H，则△ANH∽△ABO ∴ AH AO ＝ NH BO ＝ AN AB ，∴ AH 6 ＝ NH 8 ＝ 5 3 t 10 ∴AH＝t，NH＝ 4 3 t O x y B AM N O x y C N A M P D O x y B AM N H G ∴S△MNA ＝ 1 2 AM·NH＝ 1 2 ( 6－t )· 4 3 t＝－ 2 3 t 2＋4t＝－ 2 3 ( t－3 )2＋6 ∴当 t＝3 秒时△MNA 的面积有最大值，且最大值为 6 （3）①若 AM＝AN，则 6－t＝ 5 3 t，∴t＝ 9 4 ②若 NM＝NA，则 AM＝2AH ∴6－t＝2t，∴t＝2 ③若 MN＝MA，过点 M 作 MG⊥AB 于 G 则△AMG∽△ABO，得 AG＝ 3 5 MA＝ 3 5 ( 6－t ) ∴AN＝2AG，∴ 5 3 t＝ 6 5 ( 6－t )，∴t＝ 108 43 ∴当 t＝2 或 t＝ 9 4 或 t＝ 108 43 时，△MNA 是等腰三角形 69．（广西玉林、防城港）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 AOCD 的顶点 A 的坐标是（0， 4），现有两动点 P、Q，点 P 从点 O 出发沿线段 OC（不包括端点 O，C）以每秒 2 个单位长度 的速度匀速向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发沿线段 CD（不包括端点 C，D）以每秒 1 个单位长 度的速度匀速向点 D 运动．点 P，Q 同时出发，同时停止．设运动时间为 t（秒），当 t＝2 （秒）时，PQ＝2 5． （1）求点 D 的坐标，并直接写出 t 的取值范围； （2）连接 AQ 并延长交 x 轴于点 E，把 AE 沿 AD 翻折交 CD 延长线于点 F，连接 EF，则△AEF 的面积 S 是否随 t 的变化而变化？若变化，求出 S 与 t 的函数关系式；若不变化，求出 S 的值； （3）在（2）的条件下，t 为何值时，四边形 APQF 是梯形？ 解：（1）当 t＝2（秒）时，OP＝4，CQ＝2 在 Rt△PCQ 中，PC＝ PQ 2－CQ 2 ＝ ( 2 5)2－2 2 ＝4 ∴OC＝OP＋PC＝4＋4＝8，CD＝OA＝4 ∴D（8，4） 0＜t ＜4 （2）S 值不变化 ∵Rt△QCE∽Rt△QDA，∴ CE CQ ＝ DA DQ 即 CE t ＝ 8 4－t ，∴CE＝ 8t 4－t 由题意，QF＝2QD＝2( 4－t ) O x y Q P A D F C E O x y Q P A D F C E ∴S＝ 1 2 QF( AD＋CE )＝( 4－t )( 8＋ 8t 4－t )＝32 ∴S 值不发生变化，S＝32 （3）若四边形 APQF 是梯形，则 PQ∥AF ∴△PCQ∽△ADF，∴ PC CQ ＝ AD DF 又 PC＝8－2t，DF＝DQ＝4－t，∴ 8－2t t ＝ 8 4－t 解得 t＝6±2 5 ∵0＜t ＜4，∴t＝6＋2 5不合题意，舍去 ∴当 t＝6－2 5（秒）时，四边形 APQF 是梯形 70．（福建福州）如图①，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点 P 从点 A 开始沿 边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点 P 作 PD∥BC，交 AB 于点 D，连接 PQ．点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒（t ≥0）． （1）直接用含 t 的代数式分别表示：QB＝______________，PD＝_______________． （2）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由．并 探究如何改变点 Q 的速度（匀速运动），使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度； （3）如图②，在整个运动过程中，求出线段 PQ 中点 M 所经过的路径长． 34．解：（1）8－2t 4 3 t （2）不存在 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10 ∵PD∥BC，∴△ADP∽△ABC ∴ AD AB ＝ AP AC ，即 AD 10 ＝ t 6 ，∴AD＝ 5 3 t ∵BQ∥DP，∴当 BQ＝DP 时，四边形 PDBQ 是平行四边形 即 8－2t＝ 4 3 t，解得 t＝ 12 5 AC B D P Q 图① AC B D P Q 图② M AC B D P Q 图① 当 t＝ 12 5 时，DP＝ 4 3 ×12 5 ＝ 16 5 ，BD＝10－ 5 3 ×12 5 ＝6 ∴DP≠BD，∴□PDBQ 不能为菱形 设点 Q 的运动速度为每秒 v 个单位长度 则 BQ＝8－vt，DP＝ 4 3 t，BD＝10－ 5 3 t 要使四边形 PDBQ 为菱形，则 DP＝BD＝BQ 当 DP＝BD 时，即 4 3 t＝10－ 5 3 t，解得 t＝ 10 3 当 DP＝BQ，t＝ 10 3 时，即 4 3 ×10 3 ＝8－ 10 3 v，解得 v＝ 16 15 ∴当点 Q 的运动速度为每秒 16 15 个单位长度时，经过 10 3 秒，四边形 PDBQ 是菱形 （3）解法一： 以 C 为原点，AC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 依题意，可知 0≤t ≤4，当 t＝0 时，点 M1 的坐标为（3，0） 当 t＝4 时，点 M2 的坐标为（1，4） 设直线 M1M2 的解析式为 y＝kx＋b，则： 3k＋b＝0 k＋b＝4 解得： k＝－2 b＝6 ∴直线 M1M2 的解析式为 y＝－2x＋6 ∵P（6－t，0），Q（0，2t） ∴在运动过程中，线段 PQ 中点 M3 的坐标为（6－t 2 ，t） 把 x＝ 6－t 2 代入 y＝－2x＋6，得 y＝－2×6－t 2 ＋6＝t ∴点 M3 在直线 M1M2 上 过点 M2 作 M2N⊥x 轴于点 N，则 M2N＝4，M1N＝2 ∴M1M2＝ 2 2＋4 2 ＝2 5 ∴线段 PQ 中点 M 所经过的路径长为 2 5 单位长度 解法二： 设 E 是 AC 中点，连接 ME 当 t＝4 时，点 Q 与点 B 重合，运动停止 设此时 PQ 中点为 F，连接 EF 过点 M 作 MN⊥AC 于点 N，则 MN∥BC ∴△PMN∽△PQC，∴ MN QC ＝ PN PC ＝ PM PQ 即 MN 2t ＝ PN 6－t ＝ 1 2 ，∴MN＝t，PN＝3－ 1 2 t ∴CN＝PC－PN＝6－t－(3－ 1 2 t )＝3－ 1 2 t ∴EN＝CE－CN＝3－(3－ 1 2 t )＝ 1 2 t AC B D P Q 图② N M2 M3 M1 x y AC B D P Q 图③ H N E F M ∴tan∠MEN＝ MN EN ＝2 ∵tan∠MEN 的值不变，∴点 M 在直线 EF 上 过点 F 作 FH⊥AC 于点 H，则 EH＝2，FH＝4 ∴EF＝ 2 2＋4 2 ＝2 5 当 t＝0 时，点 M 与点 E 重合；当 t＝4 时，点 M 与点 F 重合 ∴线段 PQ 中点 M 所经过的路径长为 2 5 单位长度 71．（福建漳州）如图，在□OABC 中，点 A 在 x 轴上，∠AOC＝60°，OC＝4cm．OA＝8cm．动 点 P 从点 O 出发，以 1cm/s 的速度沿线段 OA→AB 运动；动点 Q 同时．．从点 O 出发，以 acm／s 的速度沿线段 OC→CB 运动，其中一点先到达终点 B 时，另一点也随之停止运动．设运动时 间为 t 秒． （1）填空：点 C 的坐标是（_____，_____），对角线 OB 的长度是__________cm； （2）当 a＝1 时，设△OPQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出当 t 为何值时， S 的值最大？ （3）当点 P 在 OA 边上，点 Q 在 CB 边上时，线段 PQ 与对角线 OB 交于点 M．若以 O、M、P 为顶点的三角形与△OAB 相似，求 a 与 t 的函数关系式，并直接写出 t 的取值范围． 解：（1）C（2，2 3），OB＝4 7 （2）①当 0＜t ≤4 时 过点 Q 作 QD⊥x 轴于点 D，则 QD＝ 3 2 t ∴S＝ 1 2 OP·QD＝ 3 4 t 2 ②当 4≤t ≤8 时 过点 Q 作 QE⊥x 轴于点 E，则 QE＝2 3 ∴S＝ 1 2 OP·QE＝ 3t ③当 8≤t ＜12 时 延长 QP 交 x 轴于点 F，过点 P 作 PH⊥AF 于点 H 易证△PBQ 与△PAF 均为等边三角形 ∴OF＝OA＋AF＝OA＋AP＝t，AP＝t－8 O x y Q P BC A O x y Q D BC AP O x y Q E BC AP ∴PH＝ 3 2 ( t－8 ) ∴S＝S△OQF － S△OPF ＝ 1 2 t·2 3－ 1 2 t· 3 2 ( t－8 ) ＝－ 3 4 t 2＋3 3t 当 t＝8 时，S 最大 （3）①当△OPM∽△OAB 时，则 PQ∥AB ∴CQ＝OP ∴at－4＝t，a＝1＋ 4 t t 的取值范围是 0＜t ≤8 ②当△OPM∽△OBA 时，则 OP OB ＝ OM OA ∴ t 4 7 ＝ OM 8 ，∴OM＝ 2 7 7 t 又∵QB∥OP，∴△BQM∽△OPM ∴ BQ OP ＝ BM OM ，∴ 12－at t ＝ 4 7－ 2 7 7 t 2 7 7 t 整理得 t－at＝2，∴a＝1－ 2 t t 的取值范围是 6≤t ≤8 综上所述：a＝1＋ 4 t （0＜t ≤8）或 a＝1－ 2 t （6≤t ≤8） 72．（福建模拟）如图，已知在矩形 ABCD 中，AD＝12，CD＝6，点 E 从点 D 出发，沿线段 DA 以每秒 1 个单位的速度向点 A 方向移动，同时点 F 从点 C 出发，沿射线 CD 方向以每秒 2 个 单位的速度移动，当 B、E、F 三点共线时，两点同时停止移动．设点 E 移动的时间为 t（秒）． （1）求当 t 为何值时，E、F 两点同时停止移动； （2）设四边形 BCFE 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； （3）求当 t 为何值时，以 E、F、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形； （4）求当 t 为何值时，∠BEC＝∠BFC； （5）在运动过程中 BF、CE 有怎样的位置关系？证明你的结论． A B D O C E F O x y Q F BC A P H O x y Q M BC AP O x y Q M BC AP A B D C E F 解：（1）当 B、E、F 三点共线时，E、F 两点同时停止运动 由题意，ED＝t，BC＝12，FD＝2t－6，FC＝2t ∵ED∥BC，∴△FED∽△FBC．∴ FD FC ＝ ED BC ∴ 2t－6 2t ＝ t 12 ，解得 t＝6 ∴当 t＝6 秒时，E、F 两点同时停止运动 （2）∵ED＝t，CF＝2t ∴S＝S△BCE ＋ S△ECF ＝ 1 2 ×12×6＋ 1 2 ×2t×t＝t 2＋36 即 S＝t 2＋36（0≤t ≤6） （3）EF 2＝( 2t－6 )2＋t 2＝5t 2－24t＋36，FC 2＝4t 2 EC 2＝6 2＋t 2＝t 2＋36 ①若 EF＝EC，则点 F 只能在 CD 的延长线上 ∴5t 2－24t＋36＝t 2＋36，∴t＝0（舍去）或 t＝6 ②若 CE＝CF，则 t 2＋36＝4t 2，∴t＝2 3（舍去负值） ③若 FE＝FC，则 5t 2－24t＋36＝4t 2 ∴t＝12＋6 3（舍去）或 t＝12－6 3 （4）∵∠BCF＝∠CDE＝90°， BC CD ＝ CF DE ＝2 ∴△BCF∽△CDE，∴∠BFC＝∠CED ∵AD∥BC，∴∠BCE＝∠CED 若∠BEC＝∠BFC，则∠BEC＝∠BCE ∴BE＝BC，∴( 12－t )2＋6 2＝12 2 ∴t＝12＋6 3（舍去）或 t＝12－6 3 ∴当 t＝12－6 3 时，∠BEC＝∠BFC （5）BF⊥CE ∵△BCF∽△CDE，∴∠BFC＝∠CED ∵∠ECD＋∠CED＝90°，∴∠ECD＋∠BFC＝90° ∴∠COF＝90°，∴BF⊥CE 73．（福建模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，长为 4cm 的动线段 DE（端 点 D 从点 B 开始）沿 BC 边以 1cm/s 的速度向点 C 运动，当端点 E 到达点 C 时运动停止．过 点 E 作 EF∥AC 交 AB 于点 F，连接 DF，设运动的时间为 t 秒． （1）当 t 为何值时，△DEF 为等腰三角形； （2）设 M、N 分别是 DF、EF 的中点，求在整个运动过程中 MN 所扫过的面积． 解：（1）∵EF∥AC，∴ EF AC ＝ BE BC A B CD E F 即 EF 10 ＝ t＋4 16 ，∴EF＝ 5 8 ( t＋4) ①当 DF＝EF 时，则∠EDF＝∠DEF＝∠B ∴点 B 与点 D 重合，∴t＝0 ②当 DE＝EF 时，则 4＝ 5 8 ( t＋4)，解得 t＝ 12 5 ③当 DE＝DF 时，则∠DFE＝∠DEF＝∠B＝∠C ∴△DEF∽△ABC，∴ DE AB ＝ EF BC 即 4 10 ＝ 5 8 ( t＋4) 16 ，解得 t＝ 156 25 综上所述，当 t＝0 或 12 5 或 156 25 秒时，△DEF 为等腰三角形 （2）设 P 是 AC 的中点，连接 BP ∵ EF AC ＝ BE BC ，∴ EN CP ＝ BE BC 又∠BEN＝∠C，∴△BNE∽△BPC ∴∠NBE＝∠PBC ∴点 N 沿直线 BP 运动，MN 也随之平移 如图，设 MN 从 ST 位置运动到 PQ 位置，则四边形 PQST 是平行四边形 ∵M、N 分别是 DF、EF 的中点 ∴MN∥DE，且 ST＝MN＝ 1 2 DE＝2 分别过点 T、P 作 TK⊥BC 于 K，PL⊥BC 于 L，延长 ST 交 PL 于点 R，则四边形 TKLR 是矩形 当 t＝0 时，EF＝ 5 8 ( 0＋4)＝ 5 2 ，TK＝ 1 2 EF·sin∠DEF＝ 1 2 × 5 2 × 3 5 ＝ 3 4 当 t＝12 时，EF＝AC＝10，PL＝ 1 2 AC·sinC＝ 1 2 ×10× 3 5 ＝3 ∴PR＝PL－RL＝PL－TK＝3－ 3 4 ＝ 9 4 ∴S□PQST ＝ST·PR＝2× 9 4 ＝ 9 2 ∴在整个运动过程中，MN 所扫过的面积为 9 2 cm2 74．（福建模拟）如图，已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点 P 以每秒 1 个单位 的速度从 A 向 C 运动，同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度沿 A→B→C 方向运动，⊙P 和⊙Q 的 半径都为 1．求： （1）求圆心距 PQ 的最大值； （2）设运动时间为 t，求两圆相切时 t 的值； （3）当 t 为何值时，两圆相离． A B CD E F M N P A B C R L S KT PQ A B C Q P 解：（1）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6 ∴AB＝ 8 2＋6 2 ＝10 当点 Q 在 AB 上时， AQ AP ＝ 2t t ＝2 当点 Q 在 BC 上时， CQ CP ＝ 16－2t 8－t ＝2 ∴PQ 在运动过程中保持平行 ∴当点 Q 运动到点 B 时，PQ 的值最大 过点 B 作 BE∥PQ 交 AC 于 E，则 AE＝ 1 2 AB＝5 ∴CE＝3，∴BE＝ 3 2＋6 2 ＝3 5 即圆心距 PQ 的最大值为 3 5 （2）∵⊙P 和⊙Q 是等圆，∴两圆相切只能是外切 ①当点 Q 在 AB 上，两圆外切时，PQ＝2 ∵PQ∥BE，∴△AQP∽△ABE ∴ AQ AB ＝ PQ BE ，即 2t 10 ＝ 2 3 5 ∴t＝ 2 5 3 ②当点 Q 在 BC 上，两圆外切时，PQ＝2 ∵PQ∥BE，∴△CPQ∽△CAB ∴ CQ CB ＝ PQ BE ，即 16－2t 6 ＝ 2 3 5 ∴t＝8－ t＝8－ 2 5 3 ∴当 t＝ 2 5 3 或 t＝8－ 2 5 5 时，两圆相切 （3）当2 5 3 ＜t ＜8－ 2 5 5 时，两圆相离 75．（海南模拟）在平行四边形 ABOC 中，AO⊥BO，且 AO＝BO．以 AO、BO 所在直线为坐标轴 建立如图所示的平面直角坐标系，已知 B（－6，0），直线 y＝3x＋b 过点 C 且与 x 轴交于点 D． （1）求点 D 的坐标； （2）点 E 为 y 轴正半轴上一点，当∠BED＝45°时，求直线 EC 的解析式； （3）在（2）的条件下，设直线 EC 与 x 轴交于点 F，ED 与 AC 交于点 G．点 P 从点 O 出发以 每秒 1 个单位的速度沿折线 OF－FE 运动，在运动过程中直线 PA 交 BE 于 H，设运动时间为 t．当 以 E、H、A 为顶点的三角形与△EGC 相似时，求 t 的值． A B C Q P E A B C Q PE 解：（1）∵B（－6，0），∴BO＝6 ∵AO＝BO，∴AO＝6 ∵□ABOC，AC∥OB，∴AC＝BO＝6 ∴C（6，6） ∵直线 y＝3x＋b 过点 C，∴6＝18＋b ∴b＝－12，∴y＝3x－12 令 y＝0，得 0＝3x－12 ∴x＝4，∴D（4，0） （2）过 B 作 BK⊥AD 于 K，交 AO 于 I 则∠1＝∠2＝90°－∠3 ∵∠BED＝45°，∴∠EBK＝45° ∴BK＝EK，∴Rt△BDK≌Rt△EIK ∴EI＝BD＝BO＋OD＝6＋4＝10 ∵∠1＝∠2，∴△BOI∽△EOD ∴ OI OD ＝ BO EO ，∴ OI 4 ＝ 6 10＋OI 解得 OI＝2（舍去负值） ∴EO＝EI＋OI＝10＋2＝12 ∴E（0，12） 设直线 EC 的解析式为 y＝kx＋m ∴ 12＝m 6＝6k＋m 解得 k＝－1 m＝12 ∴直线 EC 的解析式为 y＝－x＋12 （3）∵y＝－x＋12，当 y＝0 时，x＝12 ∴F（12，0），∴OF＝12 ∴OE＝OF，∴∠OEF＝45° ∵∠BED＝45°，∴∠4＝∠5 ∵∠OEF＝45°，∴∠ECG＝45° ①当∠EAH＝∠ECG＝45°时，△EHA∽△EGC ∴∠OAP＝∠EAH＝45°，∴OP＝OA＝6 ∴t＝6 ②当∠EHA＝∠ECG＝45°时，△EAH∽△EGC B A C xO y D B A C O y K D E x I 1 2 3 B A C O y D E G F xP H 4 5 ∴ EH EC ＝ EA EG ∵EA＝EO－AO＝6，AC＝6，∴EC＝6 2 ∵EO＝12，OD＝4，∴ED＝ 4 2＋12 2 ＝4 10 ∵EA＝AO＝6，AG∥OD，∴EG＝ 1 2 ED＝2 10 ∴ EH 6 2 ＝ 6 2 10 ，∴EH＝ 18 5 5 ∵∠EHP＝∠EFB＝45°，∠PEH＝∠BEF ∴△EHP∽△EFB，∴ EP EB ＝ EH EF ∴ EP 6 2＋12 2 ＝ 18 5 5 12 2 ，∴EP＝ 9 2 2 ∴t＝12＋12 2－ 9 2 2 ＝12＋ 15 2 2 ∴当以 E、H、A 为顶点的三角形与△EGC 相似时，t 的值为 6 或 12＋ 15 2 2 76．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝x＋4 分别交 x 轴、y 轴于点 A、 B，直线 y＝－2x＋b 分别交 x 轴、y 轴于点 C、D，且 OC＝2OB，直线 AB、CD 相交于点 E． （1）求直线 CD 的解析式； （2）动点 P 从点 B 出发沿线段 BC 以每秒 5 个单位的速度向点 C 匀速运动，同时动点 Q 从 点 D 出发沿线段 DC 以每秒 2 5 个单位的速度向点 C 匀速运动，当 P 到达点 C 时，P、Q 两点 同时停止运动．设运动时间为 t 秒，线段 PQ 的长为 d（d≠0），求 d 与 t 之间的函数关系 式，并直接写出自变量 t 的取值范围； （3）在（2）的条件下，在 P、Q 的运动过程中，设直线 PQ 与直线 AB 相交于点 N．当 t 为 何值时， NQ PQ ＝ 2 3 ？并判断此时以点 Q 为圆心，以 3 2 为半径的⊙Q 与直线 AB 位置关系， 请说明理由． 解：（1）由题意得：A（－4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4 D O y x B C E A D O y x B C E A 备用图 D O y x B C E A 备用图 B A C O y D E G F x P H 4 5 D y B E Q ∵OC＝2OB，∴OC＝8，∴C（8，0） 把 C（8，0）代入 y＝－2x＋b，得 b＝16 ∴直线 CD 的解析式为 y＝－2x＋16 （2）过点 P 作 PG⊥OB 于 G，则△BGP∽△BOC 由题意得：BP＝ 5t，DQ＝2 5t 在 Rt△OBC 中，OB＝4，OC＝8，∴BC＝4 5 ∴ BG BO ＝ GP OC ＝ BP BC ，∴ BG 4 ＝ GP 8 ＝ 5t 4 5 ∴BG＝t，GP＝2t，∴P（2t，4－t） 同理 Q（2t，16－4t），∴PQ∥y 轴 ∴d＝PQ＝16－4t－( 4－t )＝12－3t（0≤t ＜4） （3）联立 y＝x＋4 y＝－2x＋16 解得 x＝4 y＝8 ∴E（4，8） ∵PQ∥y 轴，点 N 是直线 PQ 与直线 AB 的交点 ∴N（2t，2t＋4） ∵ NQ PQ ＝ 2 3 ，∴3NQ＝2PQ 过点 C 作 CH⊥AB 于 H，过点 Q 作 QM⊥AB 于 M ①当点 Q 在 DE 上时，NQ＝16－4t－( 2t＋4 )＝12－6t ∴3( 12－6t )＝2( 12－3t ) ∴t＝1，∴DQ＝2 5 ∵C（8，0），D（16，0），E（4，8），∴DE＝CE＝4 5 ∴EQ＝4 5－2 5＝2 5 ∵OA＝OB＝4，OC＝8，∴AC＝12，∠BAO＝45° ∴CH＝AC·sin45°＝6 2 由△QEM∽△CEH，得 QM CH ＝ QE CE ，即 QM 6 2 ＝ 2 5 4 5 ，∴QM＝3 2 ∴t＝1 时，以点 Q 为圆心，以 3 2 为半径的⊙Q 与直线 AB 相切 ②当点 Q 在 EC 上时，NQ＝2t＋4－( 16－4t )＝6t－12 ∴3( 6t－12 )＝2( 12－3t )，∴t＝ 5 2 ∴DQ＝5 5，∴EQ＝5 5－4 5＝ 5 由△QEM∽△CEH，得 QM CH ＝ QE CE ，即 QM 6 2 ＝ 5 4 5 ，∴QM＝ 3 2 2 ∴t＝ 5 2 时，以点 Q 为圆心，以 3 2 为半径的⊙Q 与直线 AB 相交 综上所述，t＝1 或 t＝ 5 2 时， NQ PQ ＝ 2 3 ；t＝1 时，以点 Q 为圆心，以 3 2 为半径的⊙Q 与直线 AB 相切；t＝ 5 2 时，以点 Q 为圆心，以 3 2 为半径的⊙Q 与直线 AB 相交 D O y x B C E A Q P M N H D O y x B C E A Q P M N H 77．（江苏模拟）如图，抛物线 y＝－ 1 8 x 2＋bx＋c 与 x 轴交于 A、B 两点，交 y 轴交于点 C， cos∠ABC＝ 4 5 ，抛物线的对称轴为直线 x＝1．动点 P 从点 A 出发，沿折线 AB→BC 向终点 C 运动；同时动点 Q 从点 B 出发，沿射线 BC 方向运动．P、Q 两点的运动速度均为每秒 1 个单 位长度，当点 P 到达点 C 时，运动停止，设运动时间为 t 秒． （1）求抛物线的解析式； （2）设△APQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； （3）在运动过程中，是否存在这样的 t 值，使△APQ 是等腰三角形？若存在，请求出所有 符合条件的 t 值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵抛物线 y＝－ 1 8 x 2＋bx＋c 的对称轴为直线 x＝1 ∴－ b 2×( － 1 8 ) ＝1，∴b＝ 1 4 ∴y＝－ 1 8 x 2＋ 1 4 x＋c，∴C（0，c），∴OC＝c 在 Rt△BOC 中，∵cos∠ABC＝ OB BC ＝ 4 5 ∴设 OB＝4k，则 BC＝5k，由勾股定理得 OC＝3k ∴OB＝ 4 3 OC＝ 4 3 c，∴B（ 4 3 c，0） 把 B 点坐标代入 y＝－ 1 8 x 2＋ 1 4 x＋c，得－ 1 8 ×16 9 c 2＋ 1 4 × 4 3 c＋c＝0 ∵c≠0，∴c＝6 ∴抛物线的解析式为 y＝－ 1 8 x 2＋ 1 4 x＋6 （2）由（1）知，B（8，0），C（0，6） ∴OB＝8，OC＝6，∴BC＝10 令 y＝－ 1 8 x 2＋ 1 4 x＋6＝0，解得 x1＝－6 或 x2＝8 ∴A（－6，0），∴OA＝6 O x y C B Q A P O x y C B Q A P D ∴AB＝6＋8＝14，AB＋BC＝14＋10＝24 ①当 0＜t ≤14 时，点 P 在 AB 上 过点 Q 作 QD⊥AB 于 D 则△BDQ∽△BOC，得 QD＝ 3 5 t ∴S＝ 1 2 AP·QD＝ 1 2 t· 3 5 t＝ 3 10 t 2 ②当 14≤t ≤24 时，点 P 在 BC 上 过点 A 作 AE⊥PQ 于 E 则 AE＝ 3 5 AB＝ 42 5 ，又 PQ＝t－( t－14 )＝14 ∴S＝ 1 2 PQ·AE＝ 1 2 ×14×42 5 ＝ 294 5 ∴S 与 t 的函数关系式为：S＝ 3 10 t 2（0＜t ≤14） 294 5 （14≤t ≤24） （3）①当 0＜t ≤14 时 若 AP＝AQ，∵AP＝BQ，∴AQ＝BQ 过点 Q 作 QD⊥AB 于 D 则 AB＝2BD＝ 8 5 t＝14，∴t＝ 35 4 若 PA＝PQ，∵AP＝BQ，∴PQ＝BQ 过点 Q 作 QD⊥AB 于 D 则 AB＝AP＋2BD＝t＋ 8 5 t＝14，∴t＝ 70 13 若 QA＝QP，过点 Q 作 QD⊥AB 于 D 则 AP＝2PD＝2[ 4 5 t－( 14－t )]＝t，∴t＝ 140 13 ②当 14≤t ≤24 时 若 AP＝AQ，过点 A 作 AE⊥PQ 于 E 则 PE＝ 1 2 PQ＝7，BE＝ 4 5 AB＝ 56 5 ，BP＝t－14 ∴7＋t－14＝ 56 5 ，∴t＝ 91 5 若 PA＝PQ，则[ 3 5 ( t－14 )]2＋[14－ 4 5 ( t－14 )]2＝14 2 解得 t＝14 或 t＝ 182 5 （舍去） 若 QA＝QP，则( 3 5 t )2＋( 14－ 4 5 t )2＝14 2 解得 t＝0（舍去）或 t＝ 112 5 综上所述，符合条件的 t 值有 6 个：t1＝ 70 13 ，t2＝ 35 4 ，t3＝ 140 13 ，t4＝14，t5＝ 91 5 ，t6＝ O x y C B Q A P E 112 5 78．（江苏模拟）已知点 A（2 3，0），直线 y＝(2－ 3)x－2 与 x 轴交于点 F，与 y 轴交于 点 B，直线 l 从 AB 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正方向向上平移，平移后的直线交 y 轴于点 C，交 x 轴于点 D，点 A 关于直线 l 的对称点为 A′，连接 AA′、A′D．过点 C 作直 线 AB 的垂线交直线 y＝(2－ 3)x－2 于点 E，以点 C 为圆心 CE 为半径作⊙C．设移动时间为 t（秒）． （1）求点 A′ 的坐标（用含 t 的代数式表示）； （2）当 t 为何值时：①⊙C 经过点 D；②⊙C 与 A′A 相切； （3）探索：⊙C 是否能为△A′DA 的外接圆？请说明理由． 解：（1）∵直线 y＝( 2－ 3)x－2 与 x 轴交于点 F，与 y 轴交于点 B ∴B（0，－2），F（4＋2 3，0） ∴OB＝2，OF＝4＋2 3 由题意 l∥AB，∴∠ODC＝∠OAB ∵A（2 3，0），∴OA＝2 3 ∴tan∠OAB＝ OB OA ＝ 2 2 3 ＝ 3 3 ∴∠ODC＝∠OAB＝30° ∵BC＝t ∴当 0＜t ≤2 时，OC＝2－t，∴OD＝ 3( 2－t ) ∴AD＝2 3－ 3( 2－t )＝ 3t 当 t ＞2 时，OC＝t－2，∴OD＝ 3( t－2 ) ∴AD＝2 3＋ 3( t－2 )＝ 3t 综合得 AD＝ 3t ∵点 A 和 A′，关于直线 l 对称 ∴A′D＝AD＝ 3t，∠A′DA＝60° ∴△A′DA 是等边三角形 过点 A′，作 A′H⊥AD 于 H ∴AH＝ 3 2 t，A′H＝ 3 2 t ∴A′（2 3－ 3 2 t， 3 2 t） （2）①∵OA＝2 3，OF＝4＋2 3，∴AF＝4 O x y C A A′ B D F l O x y A A′ B D F l C E G O x y A A′ B D F l C E O x y C A A′ B D F l H 在 Rt△OAB 中，OB＝2，∠OAB＝30° ∴∠OBA＝60°，AB＝2OB＝4 ∴AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB＝15° ∴∠CBF＝75°，∴∠BCE＝30° ∵CE⊥AB，∴∠BCE＝30° ∴∠CEB＝75°，∴∠CBE＝∠CEB ∴CB＝CE 当⊙C 经过点 D 时，CD＝CE ∴CD＝CB＝t，∴OC＝ 1 2 CD＝ 1 2 t ∵OC＋CB＝OB，∴ 1 2 t＋t＝2，∴t＝ 4 3 ②设⊙C 与 A′A 相切于点 G，则 CG＝CB＝t ∵CD＋CG＝DG，CD＝2OC＝2( t－2 )，DG＝ 3 2 AD＝ 3 2 t ∴2( t－2 )＋t＝ 3 2 t，∴t＝ 8 3 （3）能 理由：∵△A′DA 是等边三角形 ∴当⊙C 是△A′DA 的外接圆时，点 A′，在 y 轴正半轴上 ∴OD＝OA＝2 3，∴ 3( t－2 )＝2 3 ∴t＝4 ∴当 t＝4 秒时，⊙C 是△A′DA 的外接圆 79．（北京模拟）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，在 Rt△DEF 中，∠ DFE＝90°，EF＝6，DF＝8，E、F 两点在 BC 边上，DE、DF 两边分别与 AB 边交于点 G、H．固 定△ABC 不动，△DEF 从点 F 与点 B 重合的位置出发，沿 BC 边以每秒 1 个单位的速度向点 C 运动；同时点 P 从点 F 出发，在折线 FD－DE 上以每秒 2 个单位的速度向点 E 运动．当点 E 到达点 C 时，△DEF 和点 P 同时停止运动．设运动时间为 t（秒）． （1）当 t＝2 时，PH＝_________，DG＝_________； （2）当 t 为何值时，△PDE 为等腰三角形？请说明理由； （3）当 t 为何值时，点 P 与点 G 重合？写出计算过程； （4）求 tan∠PBF 的值（用含 t 的代数式表示）． A B D G C H E F P A BC 备用图 O xA A′ B D F l C E y 解：（1） 5 2 26 5 提示：当 t＝2 时，BF＝2，PF＝4 由△HBF∽△ABC，得 HF＝ 3 2 ，∴PH＝4－ 3 2 ＝ 5 2 ，DH＝8－ 3 2 ＝ 13 2 由△DHG∽△BAC，得 DG＝ 26 5 （2）只有点 P 在 DF 边上运动时，△PDE 才能成为等腰三角形，且 PD＝PE ∵BF＝t，PF＝2t，DF＝8，∴PD＝8－2t 在 Rt△PEF 中，PE 2＝PF 2＋EF 2＝4t 2＋36 得(8－2t )2＝4t 2＋36，解得 t＝ 7 8 ∴当 t＝ 7 8 时，△PDE 为等腰三角形 （3）当点 P 与点 G 重合时，点 P 一定在 DE 边上，DP＝DG ∵tanB＝ AC BC ＝ 9 12 ＝ 3 4 ，tanD＝ EF DF ＝ 6 8 ＝ 3 4 ，∴∠B＝∠D ∴∠DGH＝∠BFH＝90° ∴HF＝BF·tanB＝ 3 4 t，DH＝DF－HF＝8－ 3 4 t DG＝DH·cosD＝(8－ 3 4 t )× 4 5 ＝－ 3 5 t＋ 32 5 由 DP＝DG 得 2t－8＝－ 3 5 t＋ 32 5 ，解得 t＝ 72 13 ∵4＜ 72 13 ＜6，∴此时点 P 在 DE 边上 ∴当 t＝ 72 13 时，点 P 与点 G 重合 （4）当 0＜t ≤4 时，点 P 在 DF 边上运动，tan∠PBF＝ EF DF ＝2 当 4＜t ≤6 时，点 P 在 DE 边上运动，作 PM⊥BC 于 M，则 tan∠PBF＝ PM BM 可得 PE＝DE－DP＝10－(2t－8)＝18－2t PM＝PE·cos∠EPM＝PE·cosD＝ 4 5 (18－2t )＝－ 8 5 t＋ 72 5 EM＝PE·sin∠EPM＝PE·sinD＝ 3 5 (18－2t )＝－ 6 5 t＋ 54 5 BM＝BF＋EF－EM＝t＋6－(－ 6 5 t＋ 54 5 )＝ 11 5 t－ 24 5 ∴tan∠PBF＝ PM BM ＝ 72－8t 11t－24 A B D G C H E F P A BC E FM P G H D 综上所述，tan∠PBF＝ 2（0＜t ≤4） 72－8t 11t－24 （4＜t ≤6） 80．（浙江模拟）如图，在直角坐标系中，△ABC 是等边三角形，点 A 在 y 轴的正半轴上， 点 B（－8，0），点 C（8，0）．直线 l 从 y 轴出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向右 平移，直线 l 与线段 AC 交于点 D，与直线 y＝ 3 3 x 交于点 E，与 x 轴交于点 P．以 DE 为边 向左侧作等边△DEF，DF 与 y 轴交于点 G．当点 D 与点 E 重合时，直线 l 停止移动，设直线 l 的移动时间为 t（秒）． （1）当 t 为何值时，四边形 OEDG 是菱形； （2）是否存在 t 值，使点 G 恰好落在以 DE 为直径的圆上？若存在，求出 t 值；若不存在， 请说明理由； （3）设△DEF 与△ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式； （4）直接写出点（1，2 3）落在△DEF 内部时 t 的取值范围． 解：（1）由题意，E（t， 3 3 t），OP＝t，EP＝ 3 3 t ∴tan∠EOP＝ EP OP ＝ 3 3 ，∴∠EOP＝30°，∴∠OEP＝60° ∵△DEF 是等边三角形，∴∠FDE＝60° ∴∠OEP＝∠FDE，∴GD∥OE 又∵GO∥DE，∴四边形 OEDG 是平行四边形 当 OE＝DE 时，四边形 OEDG 是菱形 ∵△ABC 是等边三角形，点 A 在 y 轴的正半轴上 ∴A（0，8 3） 由 A（0，8 3），C（8，0）可求得直线 AC 的解析式为 y＝－ 3x＋8 3 ∴D（t，－ 3t＋8 3） ∴DE＝－ 3t＋8 3－ 3 3 t＝－ 4 3 3 t＋8 3 ∵OE＝2EP＝ 2 3 3 t，∴－ 4 3 3 t＋8 3＝ 2 3 3 t 解得 t＝4 y＝ 3 3 x A B E D CO F y G P x l y＝ 3 3 x A B E D CO F y G P x l y＝ 3 3 x A B E D CO F y G P x l ∴当 t＝4 秒，四边形 OEDG 是菱形 （2）连接 EG，当∠DGE＝90°时，点 G 恰好落在以 DE 为直径的圆上 ∵△DEF 是等边三角形，∴点 G 为 DF 的中点 ∴DG＝ 1 2 DF＝ 1 2 DE ∵四边形 OEDG 是平行四边形，∴OE＝DG＝ 1 2 DE ∵DE＝－ 4 3 3 t＋8 3，OE＝ 2 3 3 t ∴2 3 3 t＝ 1 2 (－ 4 3 3 t＋8 3 )，解得 t＝3 ∴当 t＝3 秒时，点 G 恰好落在以 DE 为直径的圆上 （3）过点 F 作 FH⊥DE 于 H 则 FH＝ 3 2 DF＝ 3 2 DE＝ 3 2 (－ 4 3 3 t＋8 3)＝－2t＋12 ∵D（t，－ 3t＋8 3），E（t， 3 3 t），∴H（t，－ 3 3 t＋4 3） ∴点 F 横坐标为 t－(－2t＋12 )＝3t－12 ∴F（3t－12，－ 3 3 t＋4 3） 由 A（0，8 3），B（－8，0）可求得直线 AB 的解析式为 y＝ 3x＋8 3 当点 F 落在 AB 上时，有－ 3 3 t＋4 3＝ 3( 3t－12 )＋8 3 解得 t＝ 12 5 当点 D 与点 E 重合时，DE＝0 即－ 4 3 3 t＋8 3＝0，解得 t＝6 ①当 0≤t ≤ 12 5 时，重叠部分为四边形 DMNE ∵△ABC 是等边三角形，AO⊥BC ∴∠OAC＝30°，∴∠ADE＝150° ∵∠FDE＝60°，∴∠ADG＝90° ∴∠FMN＝∠AMD＝30°，∴∠FNM＝90° ∵OP＝t，∴AD＝2t，∴DM＝2 3t ∴FM＝－ 4 3 3 t＋8 3－2 3t＝－ 10 3 3 t＋8 3 ∴FN＝－ 5 3 3 t＋4 3，MN＝ 3FN＝－5t＋12 ∴S＝S△DEF － S△FMN ＝ 1 2 ( 8 3－ 4 3 3 t )(12－2t )－ 1 2 ( 8 3－ 10 3 3 t )(12－5t ) ＝－7 3t 2＋24 3t y＝ 3 3 x A B E D CO F y G P x l H M N y＝ 3 3 x A B E D CO F y G P x l H ②当 12 5 ≤t ≤6 时，重叠部分为△DEF S＝ 1 2 ( 8 3－ 4 3 3 t )(12－2t )＝ 4 3 3 t 2－16 3t＋48 3 综上，S＝ －7 3t 2＋24 3t（0≤t ≤ 12 5 ） 4 3 3 t 2－16 3t＋48 3（12 5 ≤t ≤6） （4）1＜t ＜ 7 2 提示：∵0≤t ≤6，∴2 3≤－ 3 3 t＋4 3≤4 3 ∴点（1，2 3）始终在线段 DF 下方 当点（1，2 3）落在线段 DE 上时，t＝1 当点（1，2 3）落在线段 EF 上时，则有 － 3 3 t＋4 3－2 3 1－( 3t－12 ) ＝ 2 3－ 3 3 t t－1 ，解得 t＝ 7 2 ∵点（1，2 3）落在△DEF 内部 ∴1＜t ＜ 7 2 81．（辽宁模拟）如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝10，BC＝5，CD＝3，∠A＝45°，∠B ＞∠A．动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位的速度沿 A→B→C→D 向点 D 运动；动点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 B→C→D→A 向点 A 运动．P、Q 两点同时出发，当其中一 点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为 t（秒）． （1）当 t 为何值时 PQ∥AD？ （2）设△PBQ 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式； （3）是否存在实数 t，使△PBQ 为等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）作 DE⊥AB 于 E，CF⊥AB 于 F，设 DE＝x 则四边形 DEFC 是矩形，∴EF＝CD＝3，CF＝DE＝x ∵∠A＝45°，∴AE＝DE＝x ∴BF＝AB－AE－EF＝10－x－3＝7－x 在 Rt△BCF 中，( 7－x )2＋x 2＝5 2 解得 x1＝3，x2＝4 ∵∠A＝45°，∠B＞∠A，∴∠B＞45°，∴∠BCF＜45° ∴∠B＞∠BCF，∴CF＞BF 当 x＝3 时，CF＝3，BF＝7－3＝4，CF＜BF ∴x＝3 不合题意，舍去 ∴x＝4，即 DE＝CF＝4，BF＝7－4＝3 过点 Q 作 QG⊥AB 于 G A BP C Q D A BP C Q D E F G ∵PQ∥AD，∴∠QPG＝∠A＝45° ∴PG＝QG ∵PG＝AB－AP－BG＝10－2t－ 3 5 t，QG＝ 4 5 t ∴10－2t－ 3 5 t＝ 4 5 t，∴t＝ 50 17 ∴当 t＝ 50 17 秒时，PQ∥AD （2）①当 0＜t ≤5 时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上 S＝ 1 2 PB·QG＝ 1 2 ( 10－2t )× 4 5 t＝－ 4 5 t 2＋4t ②当 5＜t ≤7.5 时，点 P 在 BC 上，点 Q 在 CD 上 S＝ S△BCQ － S△BCQ ＝ 1 2 ( t－5 )×4－ 1 2 ( t－5 )× 4 5 ( 15－2t )＝ 4 5 t 2－10t＋30 ③当 7.5＜t ≤8 时，点 P、Q 都在 CD 上 S＝ 1 2 [( t－5 )－( 2t－15 )]×4＝－2t＋20 ④当 8＜t ≤9 时，点 P 在 CD 上，点 Q 在 DA 上 S＝ S 梯形 ABCD － S△ABQ － S△BCP － S△PDQ ＝ 1 2 ( 3＋10 )×4－ 1 2 ×10× 2 2 ( 8＋4 2－t )－ 1 2 ( 2t－15 )×4－ 1 2 ( 18－2t )× 2 2 ( t －8 ) ＝－ 2 2 t 2＋( 11 2－4 )t＋36－56 2 ∴S＝ － 4 5 t 2＋4t（0＜t ≤5） 4 5 t 2－10t＋30（5＜t ≤7.5） －2t＋20（7.5＜t ≤8） － 2 2 t 2＋( 11 2－4 )t＋36－56 2（8＜t ≤9） （3）①当 0＜t ≤5 时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上 若 QP＝QB，过点 Q 作 QG⊥AB 于 G 则 BP＝2BG，即 10－2t＝2× 3 5 t ∴t＝ 25 8 若 BP＝BQ，则 10－2t＝t ∴t＝ 10 3 若 PB＝PQ，过点 P 作 PH⊥BC 于 H 则 BQ＝2BH，即 t＝2× 3 5 ( 10－2t ) A B P CQD H A B PCQD A B P C Q D N M A BP C Q D G A BP C Q D H ∴t＝ 60 17 ②当 5＜t ≤7.5 时，点 P 在 BC 上，点 Q 在 CD 上 ∵∠BPQ＞∠C＞90°，∴只能 PB＝PQ 过点 P 作 PH⊥CD 于 H 则 CH＝ 3 5 ( 15－2t )，PH＝ 4 5 ( 15－2t )，QC＝t－5 ∴PQ 2＝PH 2＋QH 2＝[ 4 5 ( 15－2t )]2＋[ t－5＋ 3 5 ( 15－2t )]2 ∴( 2t－10 )2＝[ 4 5 ( 15－2t )]2＋[ t－5＋ 3 5 ( 15－2t )]2 ∴t＝ 10 21 7 ③当 7.5＜t ≤8 时，点 P、Q 都在 CD 上 过点 P 作 PH⊥AB 于 H ∵∠BPQ＞∠C＞90°，∴BQ＞BP 又∵PQ＜CD＝3，BP＞PH＝4，∴BP＞PQ ∴BQ＞BP＞PQ 此时△PBQ 不可能是等腰三角形 ④当 8＜t ≤9 时，点 P 在 CD 上，点 Q 在 DA 上 作 PH⊥AB 于 H，QN⊥AB 于 N，交 CD 于 M ∵8＜t ≤9，∴0≤DP＜2，0＜DQ≤1 ∴4 2＜BP≤2 13，2 13＜BQ≤ 53＋2 2，1≤PQ＜2 ∴BQ＞BP＞PQ 此时△PBQ 不可能是等腰三角形 综上所述，满足条件的 t 值为 25 8 、10 3 、 60 17 、10 21 7 A B P CQD H A B PCQD H A B P C Q D HN M