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- 2021-05-10 发布
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★(旋转)
1.如图1,△≌△,∠∠90°,∠∠30°.△绕着边的中点D旋转, ,分别交线段于点M,K.
(1)观察:①如图2、图3,当∠0° 或60°时,(填“>”,“<”或“=”).
②如图4,当∠30° 时,(只填“>”或“<”).
(2)猜想:如图1,当0°<∠<60°时,,证明你所得到的结论.
图1
图2
图3
图4
(3)如果,请直接写出∠的度数和的值.
2.已知两个全等的直角三角形纸片、,如图(1)放置,点B、D重合,点F在上,与交于点G。∠∠90º,∠∠30º,4。
(1)求证:△是等腰三角形;
图(1)
A
B
C
E
F
F
B(D)
G
G
A
C
E
D
图(2)
(2)若纸片不动,问△绕点F逆时针旋转最小度时,四边形成为以为底的梯形(如图(2)),求此梯形的高。
3.如图,△ ¢C ¢ 是由△绕点A顺时针旋转得到的,连结 ¢ 交斜边于点E, ¢ 的延长线交 ¢ 于点F.
(1)证明:△∽△;
(2)设∠,∠ ¢ =,试探索、满足什么关系时,△与△是全等三角形,并说明理由.
4.在△中,∠90°,∠30°,将△绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△.
(1)如图(1),当∥时,设与相交于D.证明:△ 是等边三角形;
图(1)
【解】
(2)如图(2),连接、,设△和△的面积分别为
S△和S△. 求证:S△∶S△1∶3;
图(2)
【证】
图(3)
(3)如图(3),设中点为E, 中点为P,,连接,当θ°时,长度最大,最大值为.
【解】
图2
A
D
O
B
C
2
1
M
N
图1
A
D
B
M
N
1
2
图3
A
D
O
B
C
2
1
M
N
O
5.在图1至图3中,直线与线段相交
于点O,∠1 = ∠2 = 45°.
(1)如图1,若 = ,请写出与
的数量关系和位置关系;
(2)将图1中的绕点O顺时针旋转得到
图2,其中 = .
求证: = , ⊥ ;
(3)将图2中的拉长为的k倍得到
图3,求的值.
★(相似三角形)
6.如图,光源P在横杆的正上方,在灯光下的影子为,∥,=2m,=6m,点P到的距离是2.7m,则与间的距离是.
7题图
A时
B时
7.如图,小明在A时测得某树的影长为2m,B时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为.
8.如图,梯形的对角线、相交于O,G是的中点.若 = 3, = 9,则 : =( )
A.1 : 2 B.1 : 3 C.2 : 3 D.11 : 20
9.如图,P是△的斜边上异于B,C的一点,过P点作直线截△,使截得的三角形与△相似,满足这样条件的直线共有( )
A. 1条 B.2条 C. 3条 D.4条
10.如图,直角梯形中,∠90°∥,点E在上,点F在
上,(1)求证:△∽△;
⑵当86,点E、F分别是、的中点时,求直角梯形的面积
11.如图,在平行四边形中,过点A作⊥,垂足为E,连接,F为线段上一点,且∠=∠B.
(1) 求证:△∽△
(2) 若=4=3=3,求的长.
12.如图,△是等边三角形,是外角平分线,点D在上,并延长与交于点E.A
D
E
B
F
C
(1)求证:△∽△.
(2)若=6,=2,求的长.
13.如图在△中,∠A=90°,=10,=5,若动点P从点B出发,沿线段运动到A点为止,运动速度为每秒2个单位长度.过点P作∥,交于点M,设动点P运动时间为x秒,的长为y.
(1)求出y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x为何值时,△的面积S有最大值,最大值是多少?
14.(2008安徽) 如图四边形和四边形都是平行四边形,点R为的中点,分别交、于点P、Q。
⑴请写出图中各对相似三角形(相似比为1 除外);
(2)求∶∶
15.如图1,在△中,∠90°,⊥于点D,点O事边上的一点,连接交于点F,⊥交于点E.
请回答以下问题:
(1)试说明:△∽△;
(2)当O为边的中点,且:2时,如图2,求:的值;
(3)当O为边的中点,且:时,请直接写出:的值.
16.如图,在矩形中,12,6,点P沿边从A开始向点B以2的速度移动;点Q沿边从点D开始向点A以1的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t<6),那么:
(1)当2s时,△
为等腰直角三角形.
(2)若四边形的面积为S;S是否随着t的变化而变化?如果是写出它们之间的函数关系式;如果不是求出S的值.
(3)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△相似?
17.已知:如图①,⊥,⊥,垂足分别为B、D,和相交于点E,⊥,垂足为F,我们可以证明成立(不要求考生证明).
若将图①中的垂线改为斜交,如图②,∥,,相交于点E,过点E作∥,交于点F,则:
⑴还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;
⑵请找出S△,S△和S△间的关系式,并给出证明.
18.图1所示的遮阳伞,伞炳垂直于水平地面,起示意图如图2.当伞收紧时,点P与点A重合;当三慢慢撑开时,动点P由A向B移动;当点P到达点B时,伞张得最开。已知伞在撑开的过程中,总有6.0分米,18.0分米.2.0分米。设x分米.
(1)求x的取值范围;
(2)若∠60度,求x的值;
(3)设阳光直射下伞的阴影(假定为圆面)面积为y,求y与x的关系式.(结构保留)
19.如图1,
在平面直角坐标系中,O是坐标原点,□的顶点A的坐标为(-2,0),点D的坐标为(0,),点B在轴的正半轴上,点E为线段的中点,过点E的直线与轴交于点F,与射线交于点G。
(1)求的度数;
(2)连结,以所在直线为对称轴,△经轴对称变换后得到△,记直线 与射线的交点为H。
①如图2,当点G在点H的左侧时,求证:△∽△;
x
C
D
A
O
B
E
G
H
F
y
(图2)
x
C
D
A
O
B
E
y
(图3)
y
x
C
D
A
O
B
E
G
F
(图1)
②若△的面积为,请直接写出点F的坐标。
20.如图,把含有30°角的三角板置入平面直角坐标系中,A,B两点坐标分别为(3,0)和(0,3).动点P从A点开始沿折线运动,点P在,,上运动的,面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查,速度分别为1,,2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动(即移动过程中保持l∥x轴),且分别与,交于E,F两点﹒设动点P与动直线l同时出发,运动时间为t秒,当点P沿折线运动一周时,直线l和动点P同时停止运动.
请解答下列问题:(1)过A,B两点的直线解析式是 ;
(2)当t﹦4时,点P的坐标为 ;当t ﹦ ,点P与点E重合;
(3)① 作点P关于直线的对称点P′. 在运动过程中,若形成的四边形′F为 菱形,则t的值是多少?
② 当t﹦2时,是否存在着点Q,使得△ ∽△ ?若存在, 求出点Q的坐标;若不存在,B
F
A
P
E
O
x
y
请说明理由.